合肥工业大学数理统计历年真题(供参考)

1．设随机变量~()X f x （密度函数），且对任意,()()x f x f x -=,若{}P X u αα≥=，则对满足：{}P X a α<=的常数a =（ ）A. u αB. 1u α-C. 1(1)2u α- D. 112uα-2．在假设检验中，记1H 是备择假设，则我们犯第二类错误是（ ）A. 1H 为真时，接受1H .B. 1H 不真时，接受1H .C. 1H 为真时，拒绝1H .D. 1H 不真时，拒绝1H .3. 设15,,X X L 为总体X σ2～N(0,)的样本，则统计量2212323(2)(3)a X X b X X X θ=-+-+的分布及常数应该为（ ）A. a=-1, b=3, ~(2)t θB. a=5, b=11 2~(2)θχ C. a=215σ, b=2111σ 2~(2)θχ D. a=215σ, b=2111σ ~(1,2)F θ 4. 设ˆθ是θ的无偏估计，且()0,D θ>则22ˆθθ是的（ ） A. 无偏估计 B . 有效估计 C . 相合估计 D .以上均不正确.1． 设总体X 的一样本为：2.1, 1.5, 5.5, 2.1, 6.1, 1.3 则对应的经验分布函数是：*()n F x =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩.2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是均匀分布U(0,θ)总体中的简单随机样本,则总体方差的最大似然估计值为_______________.3. 设*()()n F x F x 、分别是总体X 及样本12,,,n X X X L 的分布函数与经验分布函数，则格列汶科定理指出：在样本容量n →∞时，有 , 4. 若非线性回归函数bx ae y -+=100(0>b ),则将其化为一元线性回归形式的变换为________________________.5. 设12,,,n X X X L 是X 的样本，当方差2σ未知时，且样本容量很大(n>50)时，则对统计假设：0010:,:H H μμμμ≥<，0H 的拒绝域是：6.从总体中抽容量为6的样本，其观测值为-1；1.5；-2.8；2.1；1.5；3.4。

则其经验分布函数___________________.()n F x =7.如随机变量~(,)X F n n ，则(1)P X >=—————。

8.单因素方差分析的平方和分解式为——————————————；其中，组内离差平方和是——————————；组间离差平方和是——————————。

9.已知1,,n X X K 独立同服从N （0，1）分布，记2211(),,n i i YY X Z n S ===∑ 其中，221111(),1n n i i i i S X X X X n n ===-=-∑∑，则Z 的分布为____________.10. 从一大批产品中抽取100件进行检查，发现有4件次品，则该批产品次品率0.95的置信区间为_____________.1. 设总体X 服从两点分布，即(1)1(0)p X p p X ===-=，其中p 是未知参数。

15(,,)X X K 是从总体中抽出的简单随机样本，则15(,,)X X K 的联合概率分布15(,,)f x x =L ；如此样本观察值中有3个“1”，2个“0”，则此样本的经验分布函数()n F x =。

2. 设1,,n X X K 是从总体X 抽取的简单随机样本，11m i i X X m ==∑，且2211()n n i i S X X n ==-∑，在样本容量很大，总体方差2σ未知时，则总体数学期望()E X μ=的置信度1α-的置信区间为 。

3. 总体2~(,)X U μσ，1,,n X X K 是X 的简单随机样本，11n i i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，则()E X = ，2()E S = 。

4. 1,,n X X K 是从总体2(,)N μσ抽取的简单随机样本，2,μσ是未知参数。

如11n i i X X n ==∑，221()ni i Q X X ==-∑，则检验假设：0:0H μ=检验统计量____________T =。

5. 1,,n X X K 是来自均匀分布U θθ（，+1） 0θ>（）总体的简单随机样本，则θ矩估计ˆθ= ， 且ˆθθ的无偏估计（填入：”是” 或者”不是”）。

6. 对可化线性回归函数1bxy Ae =+，作代换u = ，v = ，则对应的线性方程为：。

1. 设总体X 的一样本为：2.0, 1.5,3.0, 2.6, 6.1, 2.0 则对应的经验分布函数是： 2. 设1.3 0.6 1.7 2.2 0.3 1.1 是总体服从指数分布的简单随机样本，对应的密度函数为1,0()(0)0,0xe xf x x θθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩，且X 为样本均值时，()E X 的极大似然估计为 ；3. 设X 与Y 是来自两个相互独立的正态总体1N μσ21（，）与2N μσ22（，），且容量分别为1n 及2n的简单随机样本的样本均值，则Z X Y =-的分布_______________.4. 某批产品的任取100件其中有4件次品，则这批产品的次品率p 的置信度为0.95的置信区间 .5. 若非线性回归函数0Bx y a Aa -=+（0a 是已知参数,A 与B 是未知回归参数） 则将其化为一元线性回归时对应的变换为 。

1 总体X 的密度函数是=),(θx f ⎩⎨⎧<≥--.,0,,)(θθθx x e x ， θ是未知参数，n X X X ,...,21为简单随机样本。

（1）分别求θ的矩估计^^111(,,)n X X θθ=K ，极大似然估计^^221(,,)n X X θθ=K（2）^1θ，^2θ是否为θ的无偏估计？并说明理由。

、（本题10分） 考察甲与乙两种橡胶制成轮胎的耐磨性，从甲、乙两种对应的轮胎中各任取8只，这8对轮胎分别安装到任取的八架飞机的左右两边作耐磨试验，经过一段时间的起降，测得轮胎的磨损量如下（单位：mg ）：甲 490 510 519 550 602 634 865 499 乙 492 490 520 570 610 689 790 501假设这两中轮胎的磨损量服从正态分布，在α＝0.05下，试检验甲的磨损量比乙是否明显低。

二、（本题10分） 设总体2~(0,)X N σ，11,,;,,m n X X Y Y K K 是X 的样本，1）试证统计量Z C=服从t 分布，确定其自由度与常数C ，（给出推导过程）；2） 若t 分布的密度函数为()T f t （附表给出），试确定θ=()f z θ三、（本题10分）设总体X ⎛⎫⎪⎝⎭01～1-p p （服从0-1分布），1,,n X X K 为X 的样本，试求： ⑴ 参数p 的极大似然估计ˆL p；⑵ ˆL p 关于p 的的无偏估计性； ⑶ˆL p 是否关于p 优效（有效）估计，且给出推导过程。

四、（本题12分） 为检验一电子产品在相同环境下的两种不同的试验方案是否有差异，且假设这两种方。

附录二、 （10分）设12,,,n X X X K 为来自具有有限方差02>σ的总体X 的简单样本，则（1）试推导样本方差2S 的数学期望；（2）如果总体是正态分布2(,)N μσ其中20σ为已知参数，求未知参数μ的优效估计量。

三、（10分） 总体X 服从正态分布),0(2σN ，m n n n X X X X X ++,...,,,.....,121 是来自总体X 的简单随机样本。

记统计量∑∑++===mn n i ini iXnX m Y 121，求2Y 的分布（仅写出服从何种分布，不需密度函数的表达式）。

四、（12分） 设总体X 具有分布律其中)10(<<θθ为未知参数。

现有样本,1,2,1321===x x x 求参数θ的矩估计值和最大似然估计值。

2012年10月8日所讲题目1、设有一正五面体，各面分别编号为1、2、3、4、5，现任意地投掷直到1号面与地面接触为止，记录其投掷的次数，作为一盘试验。

作200盘这样的试验，试验结果如下：投掷次数： 1 2 3 4 ≥5频 数： 48 36 22 18 76 在α＝0.05时，检验此五面体是否均匀。

2012年10月15日所讲题目1、对一元方差分析模型iij i ij n j r i X ,,2,1,,,2,1,ΛΛ==++=εαμ ,假定ijε相互独立同服从分布),0(2σN , （1）试推导出离差平和分解公式；（2）如此模型中的因子A 有四个水平, 每个水平做5次试验. 请完成下列方差分析表：问在显著水平=α0.05下,因子A 不同水平是否有显著差异? 0.05(3,16) 3.24F = 2、设A 、B 、C 、D 四个地区某项经济指标均服从方差相同的正态分布，现从这四地区抽取个数分别为12324,3,2,5,nn n n ====的样本，14n = 经计算得：⑴ 在α＝0.05时，试检验这四个地区的此项经济指标是否存在显著差异;并完成下面的方差分析表：⑵ 试判断哪个地区的指标最高，哪个指标最低（给出理由）。

3、设A 、B 、C 、D 四个工厂生产相同的电子产品，假定每个工厂的产品使用寿命均服从方差相同的正态分布，现从四个工厂抽取个数分别为n1=5、n2=4、n3=5、n4=6的样本，经计算得：⑴ 在α＝0.05时，试检验这四个工厂生产的产品使用寿命是否存在显著差异; ⑵ 试判断哪个厂的电子产品使用寿命最长，哪个寿命最短（给出理由）。

2012年10月17日所讲题目 1、方差分析的基础是________A ． 离差平方和分解公式. B. 自由度分解公式. C. 假设检验. D. A 和B 同时成立.2、设一正五面体，分别涂成红（R ）、黄（Y ）、蓝（Bu ）、白（W ）与黑色(Bl)，现任意的抛掷200次，面朝下的颜色的结果记录如下： 抛掷次数 R Y Bu W Bl 频数 28 48 32 56 36 试检验在α＝0.05时，此五面体是否均匀。

3、用某种计算机程序产生随机个位数，在300次试验中，0,1,2,3，…,8,9相应出现了22,28,41,35,19,25,25,40,30,35.问在显著水平05.0=α时，0至9这十个数字是否等可能由此计算机产生？说明理由。

4、设12,,,nX X X L 为总体X σ2～N(0,)的样本，试确定统计量211()ni i T X n ==∑的分布，求其密度函数。

5、设总体X ～0-1分布，⑴ 试求参数p 的极大似然估计L θ；⑵ L θ关于p 的无偏估计性; ⑶ L θ是否为p 的优效（有效）估计。