初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形
初中奥数恒等变形知识点整理
初中奥数恒等变形知识点整理恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等.表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式.如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式.将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换).以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变.如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法.1.如果两个多项式的同次项的'系数都相等，那么这两个多项式是恒等的.如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项).2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的.如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立.x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x=1，代入①，得12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+cc=6再设x=2，代入①，由于已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6b=5∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6解二：将右边展开x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c=x2-2x+1+bx-b+c=x2+(b-2)x+(1-b+c)比较两边同次项的系数，得由②得b=5将b=5代入③得1-5+c=2c=6∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.【初中奥数恒等变形知识点汇总整理】。
整式恒等变形
第8讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二 整体代入消元法【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．题型三 换元法强化挑战【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．模块二 恒等变形→因式分解与不定方程题型一 因式分解基础夯实【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．强化挑战【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．题型二 不定方程【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．【练7】当x 变化时，分式22365112x x x x ++++的最小值是________．模块三 恒等变形→配方法【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则ba的值等于____．【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：(1)(a＋b)(a－b)＝__________．(2)(a－b)2＝__________．2、三元二次：(3)(a＋b＋c)2＝_________．(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．3、二元三次：(5)(a＋b)3＝______________．(6)a3＋b3＝______________．4、三元三次：(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)5、三元四次：(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a26、二元n次：(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)7、n元二次：(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值．【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．(1)求ab＋bc＋ca的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝83，(1)求abc的值；(2)求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．第8讲课后作业【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．的值．【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
初中联赛题型解读一：整式与恒等变形
联赛题型解读（一）——整式与恒等变形左右。
而代数的基础便是整式,其中乘法公式、因式分解以及恒等变形,为代数提供了丰富的知识和技巧。
下面我们通过统计近16 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对整式的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。
总结这几年来初中数学联赛对整式的考察,整式一般会考察2道题左右,考察的分值最高达到41 分（3 道一试题外加 1 道二试题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰。
我们可以认为在接下来的一两年内,会在一试中进行2 题左右的考察。
而且近三年的趋势就是这一块的内容有加强考察的趋势,说明这方面的能力要求在提升。
恒等变形的技巧贯穿了整个代数,可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。
整式中的知识大体来说包含了：乘法公式,因式分解及恒等变形,三个部分,这里简单的介绍前两个部分的基础知识。
1.乘法公式这里介绍常用的八个乘法公式：（1）平方差：a2 -b2 =(a +b)(a -b)；⎣⎦（2） 平方： (a ± b )2= a 2 ± 2ab + b 2 ；（3） 三元完全平方： (a + b + c )2= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ；（4）a 2 +b 2 +c 2 ± ab ± bc ± ca = 1 ⎡(a ± b )2 + (b ± c )2 + (c ± a )2⎤ ； 2 （5） 和（差）的立方： (a + b )3= a 3 + b 3 + 3ab (a + b );(a - b )3= a 3 - b 3 - 3ab (a - b )；（6） 立方和（差）： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ); a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )；（7）（8） a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )-a 4 - b 4 - c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2= (a + b + c )(a + b - c )(b + c - a )(c + a - b )2. 因式分解简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午；（2） 公式法： x 6 - y 6 = (x 3 + y 3 )(x 3 - y 3 ) = (x + y )(x - y )(x 2 + xy + y 2 )(x 2 - xy + y 2 )； （3） 分组分解法： ax + ay + bx + by = a (x + y ) + b (x + y ) = (a + b )(x + y ) ； （4） 十字相乘:二次三项式 abx 2 + (ad + bc ) x + cd = (ax + b )(cx + d ) ；（5） 双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同； （6） 拆项天项: a 4 + a 2b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2b 2 + b 4 - a 2b 2 = (a 2 + ab + b 2 )(a 2 - ab + b 2 ) ; （7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；（8） 主元法：多字母的代数式,可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解； （9） 因式定理：多项式 f (x ) ,当 x = a 的时候 f (a ) = 0 ,则 f ( x ) 有因式 x - a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x 、y 、z 的轮换式有因式 x - y ,则其有因式(x - y )( y - z )(z - x )前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握,后 2 种有兴趣有精力的学生可以选择性的进行学习。
初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形
初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形一、知识要点1、 整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、 整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
3、 乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a±b)2=a 2±2ab+b 2③ (a+b) (a 2-ab+b 2)=a 3+b 3④ (a-b) (a 2+ab+b 2)=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3+b 3+c 3-3abc⑦ (a±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、 整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。
5、 余数定理多项式()x f 除以 (x-a) 所得的余数等于()a f 。
特别地()a f =0时，多项式()x f 能被(x-a) 整除二、例题精讲例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解 因1+2+3+…+1998=()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数， 又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n 、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是1。
L15-S-整式与分的恒等变形
������ ± ������ = (������ ± ������)(������ ∓ ������������ + ������ ) ������ + ������ + ������ − 3������������������ = (������ + ������ + ������)(������ + ������ + ������ − ������������ − ������������ − ������������)
������ + ������ + ������ ± ������������ ± ������������ ± ������������ =
1 1 1 ������������ + ������������ + ������������ = [(������ + ������ + ������) − ������ − ������ − ������ ] = (������ + ������ + ������) − [(������ − ������) + (������ − ������) + (������ − ������) ] 2 3 6
解：(1)原式= ������ − 2 ∙ ������ ∙ 2 + 2 − 9 = (������ − 2) − 3 = (������ − 2 + 3)(������ − 2 − 3) = (������ + 1)(������ − 5) (2)原式= (������ − 4������ + 4) + (������ + 6������ + 9) + 5 = (������ − 2) + (������ + 3) + 5 ∴ 当������ = 2, ������ = −3 时，原式取最小值 5 (3)原式= ������ − 2(������ + 1)������ + (������ + 1) − (������ + 1) + 2������ − 4������ + 27 = (������ − ������ − 1) − ������ − 2������ − 1 + 2������ − 4������ + 27 = (������ − ������ − 1) + ������ − 6������ + 9 + 17 = (������ − ������ − 1) + (������ − 3) + 17 ∴当 ������ = 4 ������ − ������ − 1 = 0 即 时 ������ = 3 ������ − 3 = 0
整式的运算恒等变形竞赛课程
整式恒等变形【专题简介】把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式，在数学求根作图方面有很广泛的应用．因式分解是代数式恒等变形的基础之一，方法众多，相应的训练对学生的代数能力提升较为明显．基本的分解方法有：①提公因式法②公式法③十字相乘常见分解技巧有：①主元法②换元法③拆添法④双十字相乘法高端分解方法有：①因式定理②待定系数③轮换对称【学习目标】学习换元法、因式定理、待定系数题型一消元与降次强化挑战【例1】化简(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2－3(y－z)2－3(x－y)2－3(x－z)2【练1】已知x，y，z为有理数，(y－z)2＋(x－y)2＋(x－z)2＝(y＋z－2x)2＋(z＋x－2y)2＋(x＋y－2z)2，求(yz＋1)(zx＋1)(xy＋1)的值．()z2＋1x2＋1()y2＋1()【例2】（第14届希望杯1试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值【练2】当x－y＝1，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值【例3】（第14届希望杯邀请赛试题）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝.【练3】（1990年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．题型二因式分解基础夯实【例3】（1）已知a5＋a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3＝.(2)若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝.(3)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋bc ＋ac ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a 、b 、c 的值．【练4】（1）方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解（x ≤y ）为 .(2)若x 5＋x 4＋x ＝－1，则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝ .(3)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y的值．【例5】长方形的周长为16cm ，它的两边x ，y 是整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．【练5】矩形的周长为28cm ，它的两边长x cm ，y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．强化挑战【例6】（已知a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求2b ＝a ＋c .【练6】（1）在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b .(2)已知∆ABC 三边a ，b ，c 满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断∆ABC 的形状，并说明理由．题型三乘法公式强化挑战【例7】若x ＋y ＝a ＋b ，且x 2＋y 2＝a 2＋b 2，求证：x 2014＋y 2014＝a 2014＋b 2014.【练7】已知a ＋b ＝c ＋d ，a 3＋b 3＝c 3＋d 3，求证：a 2013＋b 2013＝c 2013＋d 2013.巅峰突破【例8】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013.【练8】（第6届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x＋y)＋6xy－172(a＋b)的值【例9】已知a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0. 【练9】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝．【例10】（2009北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，（1）求ab＋bc＋ac的值（2）求a4＋b4＋c4的值【练10】若a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，a3＋b3＋c3＝83，求①abc的值；②a4＋b4＋c4的值题型四配方深入研究【例11】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y【练11】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y【例12】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y【练12】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y.【例13】已知实数a ，b ，c 满足a －b ＋c ＝7，ab ＋bc ＋b ＋c 2＋16＝0，则 b a的值等于 ．【练13】已知a －b ＝4，ab ＋c 2＋4＝0，则a ＋b ＝ ．【例14】当x 变化时，分式3x 2＋6x ＋512x 2＋x ＋1的最小值是 ．【练14】（2000年联赛）实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y＝ .第9讲7年级尖端班课后作业【习1】已知求x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值.【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．【习3】若m＝20062＋20062×20072，则m（）A．是完全平方数还是奇数B.是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D.不是完全平方数，但是偶数【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24则这样的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【习5】已知a、b、c是三角形三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c2b2的值（）A恒正B恒负C可正可负D非负【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋2b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值【习8】已知x是实数，并且x3＋2x2＋2x＋1＝0，求x2008＋x2011＋x2014的值【习9】（1999年北京初二数学竞赛）若3 x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．【习10】（第18届希望杯初一）有理数a、b、c满足a∶b∶c＝2∶3∶5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】（2010北京市初二数学竞赛）x、y为实数，满足x＋y＝1，x4＋y4＝72，求x2＋y2的值．【习12】（十八届希望杯初二二试）已知a1、a2、a3……a2007是彼此互不相等的负数，且M＝（a1＋a2＋a3……＋a2006）（a2＋a3……＋a2007）N＝（a1＋a2＋a3……＋a2007）（a2＋a3……＋a2006）试比较M、N的大小【习13】（2013年联赛）已知实数x、y、z满足x＋y＝4，│z＋1│＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝．【习14】（2013年竞赛）已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0则abc的最大值为．【习15】（2001年联赛）求实数x、y的值，便得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。
初中数学竞赛——恒等式的证明
初中数学竞赛专题培训恒等式的证明代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．本讲主要介绍恒等式的证明．首先复习一下基本知识，然后进行例题分析．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．1．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析将左边展开，利用条件x+y+z=xyz，将等式左边化简成右边．说明本例的证明思路就是“由繁到简”．例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x＞0，y＞0，z＞0，且说明本例的证明思路是“相向趋进”，在证明方法上，通过设参数k，使左右两边同时变形为同一形式，从而使等式成立．2．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例3 求证：分析用比差法证明左-右=0．本例中，这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b代a，c代b，a代c，则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项．具有这种特性的式子叫作轮换式．利用这种特性，可使轮换式的运算简化．说明本例若采用通分化简的方法将很繁．像这种把一个分式分解成几个部分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧．全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．说明本例采用的是比商法．3．分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法．分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”．而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论．说明本题采用的方法是典型的分析法．例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正数，求证：a=b=c=d．说明本题采用的方法是综合法．4．其他证明方法与技巧求证：8a+9b+5c=0．说明本题证明中用到了“遇连比设为k”的设参数法，前面的例2用的也是类似方法．这种设参数法也是恒等式证明中的常用技巧．例8 已知a+b+c=0，求证2(a4+b4+c4)＝(a2+b2+c2)2．分析与证明用比差法，注意利用a+b+c=0的条件．说明本题证明过程中主要是进行因式分解．分析本题的两个已知条件中，包含字母a，x，y和z，而在求证的结论中，却只包含a，x和z，因此可以从消去y着手，得到如下证法．说明本题利用的是“消元”法，它是证明条件等式的常用方法．例10 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析与证明此题看起来很复杂，但仔细观察，可以使用换元法．说明由本例可以看出，换元法也可以在恒等式证明中发挥效力．例11 设x，y，z为互不相等的非零实数，且求证：x2y2z2=1．分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的所以x2y2=1．三元与二元的结构类似．说明这种欲进先退的解题策略经常用于探索解决问题的思路中．总之，从上面的例题中可以看出，恒等式证明的关键是代数式的变形技能．同学们要在明确变形目的的基础上，深刻体会例题中的常用变形技能与方法，这对以后的数学学习非常重要．练习五1．已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求证：2b=a+c．2．证明：(x+y+z)3xyz-(yz+zx+xy)3=xyz(x3+y3+z3)-(y3z3+z3x3+x3y3)．3．求证：5．证明：6．已知x2-yz=y2-xz=z2-xy，求证：x=y=z或x+y+z=0．7．已知an-bm≠0，a≠0，ax2+bx+c=0，mx2+nx+p=0，求证：(cm-ap)2=(bp-cn)(an-bm)．1.解:原式=((a-b)-(b-c))^2=02.证明：即证xyz[(x+y+z)3-(x3+y3+z3)]=(yz+zx+xy)3-（y3z3+z3x3+x3y3）展开得：xyz[(x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3xz2+3y2z+3yz2+6xyz)-（x3+y3+z3）]=（y3z3+z3x3+x3y3+3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2）-（y3z3+z3x3+x3y3），即（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2=3y2z3x+3z3x2y+3y 2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x23.证明：裂项即可。
整式的恒等变形精品讲义
整式的恒等变形1. 乘法公式也叫作简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
⒉ 基本公式就是最常用、最基础的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式：()()22a b a b a b +-=-． 立方和（差）公式：()()2233a b a ab b a b ±+=±．⒊ 公式的推广：①多项式平方公式：()22222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：()3322333a b a a b ab b ±=+±()4432234464a b a a b a b ab b ±=±+±+()554322345510105a b a a b a b a b ab b ±=±+±+±…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式()()322344a b a a b ab b a b +-+-=-()()43223455a b a a b a b ab b a b +-+-+=+()()5432234566a b a a b a b a b ab b a b +-+-+-=-…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数()()2122232222122n n n n n n n a b a a b a b ab b a b -----+-+-+-=-()()2212222122121n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ---+++-+--+=+类似地： ()()123221n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ------+++++=-⒋ 公式的变形及其逆运算由()2222a b a ab b +=++得()2222a b a b ab +=+-由()()3322333333a b a a b ab b a b ab a b +=+++=+++得()()3333a b a b ab a b +=+-+ 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 n n a b -能被a b -整除， 2121n n a b +++能被a b +整除，22n n a b -能被a b +及a b -整除。
初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形附答案
2、解：由已知，a，b，c为两正一负或两负一正。
①当a，b，c为两正一负时：
；
②当a，b，c为两负一正时：
由①② 知 所有可能的值为0。
应选A
3、解：过A点作AD⊥CD于D，在Rt△BDA中，则于∠B＝60°，所以DB＝ ，AD＝ 。在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2，所以有（a－ ）2＝b2－ C2，整理得a2＋c2=b2＋ac，从而有
3、若 ，求证：a是一完全平方数，并写出a的值。
4、设a、b、c 、d是 四个整数，且使得 是一个非零整数，求证：｜m｜一定是个合数。
5、若 的十位数可取1、3、5、7、9。求 的个位数。
参零售价为每件m（1＋a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1＋a%）b%元。
2、已知-1＜a＜0，化简 得＿＿＿＿＿＿＿
3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________
4、已知x1、x2、……、x40都是正整数，且x1+x2+……+x40＝58，若x12+x22+… …+x402的最大值为A，最小值为B，则A＋B的值等于＿＿＿＿＿＿＿ ＿
A. B. C. 2D. 3
5、已知a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
6、设a、b、c为实数， ，则x、 y、z中，至少有一个值（ ）
A.大于0B.等于0C.不大于0D.小于0
5、计算 ________________
全国初中数学联赛 4.整式恒等变形
整式恒等变形一、配方法 (1)二、降次 (6)三、整体思想 (8)四、其他 (8)一、 配方法1. （1985年全国初中数学联赛1试）设2-=a b ，2-=b c 222++---a b c ab bc ca 的值为_______．【难度】 ★★【解析】15 令222S a b c ab bc ca =++---，则2222222222S a b c ab bc ca =++---222()()()a b b c c a =-+-+- ((222224=+++30=．∴130152S =⨯=．即22215a b c ab bc ca ++---=．2. （1986年全国初中数学联赛1试）设a ，b ，c ，d 都是整数，且22m a b =+，22n c d =+，则mn 也可表示成两个整数的平方和，其形式是：mn =__________．【难度】 ★★【解析】22()()ac bd ad bc -++或填22()()ac bd ad bc ++- 2222()()mn a b c d =+⋅+ 22()()ac bd ad bc =++- 22()()ac bd ad bc =-++填出以上两种形式的任何一种都是正确的．3. （1992年全国初中数学联赛1试）若21310x x -+=，则44x x -+的个位数字是（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 【难度】 ★★ 【解析】D 由21310x x -+=知0x ≠， 所以113x x -+=，222133167x x -+=-=， 4421672x x -+=-．从而4421672x x -+=-的个位数字为927-=． 故选D ．4. （1992年全国初中数学联赛1试）若a ，b 都是正实数，且1110a b a b--=+，则33b a a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________． 【难度】 ★★★【解析】∵1110a b a b --=+，即1b a a b -=，而b a a b +．∴33333b a b a b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-⋅+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5. （1994年全国初中数学联赛1试）设a ，b ，c 是不全相等的任意实数，若2x a bc =-，2y b ca =-，2z c ab =-，则x ，y ，z （ ）A ．都不小于0B ．都不大于0C ．至少有一个小于0D ．至少有一个大于0【难度】 ★★★【解析】D 很容易可以联想到这样的公式；2222222()()()()a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+-， 所以有：2222()2()x y z a b c ab bc ca ++=++--- 222()()()0a b b c c a =-+-+->，即0x y z ++>，故x ，y ，z 中至少有一个大于0． 故选D ．6. （1998年全国初中数学联赛1试）设a ，b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是_______． 【难度】 ★★★ 【解析】 1-222a ab b a b ++-- ()2212a b a b b =+-+-2213312424b a b b -⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭()221311124b a b -⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭≥ 当102b a -+=，10b -=， 即0a =，1b =时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为1-．7. （1999年全国初中数学联赛1试）已知21()()()4b c a b c a -=--且0a ≠，则b ca+=__________． 【难度】 ★★★【解析】2 本题主要考查的是因式分解和一些常用的公式，首先反整个等式展开：∵()()()24b c a b c a -=--，即22224444b b c ac bc ab a -+=-+-， ∴22244420a b c ac ab bc ++--+=，很显然应该对上式逐步配方，然后即可得a b c ，，之间的关系： ∴()()22440b c a b c a +-++=， ∴()220a b c -+=⎡⎤⎣⎦， ∴2a b c =+， ∴2b ca+=．8. （2000年全国初中数学联赛1试）实数x ，y 满足1x y ≥≥和22540x xy x y --++=，则x y +=________．【难度】 ★★★【解析】4 解法一：对于二元的方程，要求未知数我们一般考虑方程的判别式，但对于本题来说，我们应该利用条件所给的不等式，通过配方来分析．2254x xy x y --++()()2244x x x xy x y =-++--+()()()221x x y x =-+--0=．又0x y -≥，1x -≥0，()220x -≥，所以()()()2210x x y x -=--=． 故2x y ==，4x y +=． 解法二：由已知条件条形得()()225411x x y x x x -+=--≤，即2440x x -+≤．()2202x x -⇒=≤．代回原式得到2y =． 得4x y +=．9. （2001年全国初中数学联赛2试）在直角坐标系中有三点(01)A ，，(13)B ，，(26)C ，；已知直线y ax b =+上横坐标为0，1，2的点分别为D ，E ，F ．试求a ，b 的值使得222AD BE CF ++达到最小值．【难度】 ★★★【解析】 D ，E ，F 的坐标为()0D b ，，()1E a b +，，()22F a b +，， 由图象可知：()()()2222221326AD BE CF b a b a b ++=-++-++-22563302046a ab b a b =++--- ()2563032046a b a b b 2=+-+-+2236532155a b b b ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566a b b ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3305506a b b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52a =，56b =，最小值为16．10. （2001年全国初中数学联赛2试）求实数x ，y 的值，使得222(1)(3)(26)y x y x y -++-++-达到最小值．【难度】 ★★★【解析】 ()()()2221326y x y x y -++-++-22563302046x xy y x y =++--+()2563032046x y x y y 2=+-+-+2223353533204655x y y y y ⎛⎫⎛⎫=+---+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2236532155x y y y ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭223651535566x y y ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3305506x y x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，上式取得最小值，此时52x =，56y =，最小值为16．11. （1995年全国初中数学联赛1试）设x 为正实数，则函数21y x x x=-+的最小值是_________．【难度】 ★★【解析】1， 这个题目是将二次函数2y x x =-与反比例函数1y x=作叠加，前面已经说过要求极值一般情况下是要配方的，这里出现了1x，可以联想到公式212x x +-=，这样我们进行两次配方可得：()()22211111y x x x x =-++-=-++． 因而1x =时，y 有最小值1．12. （2013年全国初中数学联赛1试）已知实数x ，y ，z 满足4x y +=，|1|29z xy y +=+-，则23x y z ++=________． 【难度】 ★★【解析】4 由题意：4x y =-，∴()()22|1|29429693z xy y y y y y y y +=+-=-+-=-+-=--， ∴310y z -=+=，∴131x y z ===-，，，∴234x y z ++=．13. （2013年全国初中数学联赛2试）已知实数a b c d ，，，满足222222323()6a c b d ad bc +=+=-=，求2222()()a b c d ++的值．【难度】 ★★★★【解析】 设22m a b =+，22n c d =+，则222223223312m n a b c d +=+++=．因为22(23)(23)2424m n m n mn mn +=-+≥，即21224mn ≥，所以6mn ≤① 又因为222222222222()()mn a b c d a c b d a d b c =++=+++222()()()6ac bd ad bc ad bc =++--=≥② 由①，②可得6mn =，即2222()()6a b c d ++=．注：符合条件的实数a b c d ，，，存在且不唯一，a 1b =，c =，d =14. （2013年全国初中数学联赛1试）如果实数x ，y ，z 满足222()8x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示||x y -，||y z -，||z x -的最大值，则A 的最大值为________．【难度】 ★★★不妨设x y z >>，则A x z =-，令x y a -=，y z b -=，则x z a b -=+，由222()8x y z xy yz zx ++-++=可知，()()()222182x y y z z x ⎡⎤-+-+-=⎣⎦， ∴()22216a b a b +++=，228a b ab ++=，∵()2223830a b a b ab ab ab -=++-=-≥，∴83ab ≤，∴()2832833a b ++=≤，∴a b +．二、 降次15. （1994年全国初中数学联赛1试）当x =32001(419971994)x x --的值为（ ） A ．1B ．1-C ．20012D ．20012-【难度】 ★★【解析】B因为x ()2211994x -=，即24419930x x --=． 于是，()20013419971994x x --()()2001224419934419931x x x x x ⎡⎤=--+---⎣⎦()200111=-=-．故选B ．16. （1986年全国初中数学联赛1试1试）若x =，则分式4322621823815x x x x x x --++=-+_________． 【难度】 ★★【解析】5 ∵4x ==∴28130x x -+=．且分式的分母除以2813x x -+后余2，分式的分子除以2813x x -+后余10． ∴原式值为5．17. （1995年全国初中数学联赛1试1试）已知a 是方程2104x x +-=的根，则354321a a a a a -+--的值等于_______．【难度】 ★★【解析】20这类问题一般都先化简后代值，直接把a =代入将导致复杂的计算． 由已知，有214a a +=，① 原式()()()()2221111a a a a a a -++=-+ ()()222211142014a a a a +++===⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 同学们在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将2a a +作为整体代入．这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活．由①有3214a a a +=，②54314a a a +=③由②-①，得 ()3114a a a -=-④由③-②并将④代入，得()()54323111416a a a a a a a +--=-=-．⑤ ()()32111611612014116a a a a -⎛⎫==++=+= ⎪⎝⎭-原式18. （2008年全国初中数学联赛1试）设a ，则5432322a a a a a a a+---+=-________．【难度】 ★★ 【解析】 2-∵221a a ==-⎝⎭，∴21a a +=，∴()()32325432322222a a a a a a a a a a a a a a a a+--+++---+=-⋅- ()()333322212111(11)211a a a a a a a a a a a --+--===-=-++=-+=-⋅----．19. （2009年全国初中数学联赛1试）设1a ，则32312612a a a +--=（ ） A ．24B ．25 C．10 D．12【难度】 ★★ 【解析】A 由()217a +=，有2226,62a a a a +==-．于是32312612a a a +--()()3621262612a a a a =-+---()2261212621224a a a a =+-=+-=三、 整体思想四、 其他20. （1996年全国初中数学联赛1试）设333199519961997x y z ==，0xyz >，且，则111x y z++=________．【难度】 ★★★ 【解析】1 设333199519961997x y z k ===，显然0k ≠，所以： 333199519961997k k kx y z ===，，，带入方程可得：333=．即：33111x y z ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． ∵0k ≠，∴111x y z=++． 由已知可得0x >，0y >，0z >， ∴1111x y z++=.21. （1997年全国初中数学联赛1试）若实数a ，b ，c 满足2229a b c ++=，代数式222()()()a b b c c a -+-+-的最大值是（ ） A ．27B ．18C ．15D ．12【难度】 ★★ 【解析】A ()()()()()22222222a b b c c a a b c ab bc ca -+-+-=++-++，考虑到等式()()22222a b c a b c ab bc ca ++=+++++， 将两个等式相加得到()()()()()2222222327a b b c c a a b c a b c -+-+-+++=++=，当0a b c ++=时，()()()222a b b c c a -+-+-有最大值27． 故选A ．22. （2002年全国初中数学联赛1试）若22m n =+，22()n m m n =+≠，则332m mn n -+的值为（ ） A ．1 B ．0C ．1-D ．2-【难度】 ★★ 【解析】D22m n =+，22n m =+，两式相减得到()()2210m n n m m n m n -=-⇒-++=．又m n ≠，所以1m n +=-，由立方和公式()()332222m mn n m n m mn n mn -+=+-+- ()222m mn n mn =--+-22m mn n =---()2m m n n =-+-2m n =-．又由已知条件22n m =+，所以33222m mn n m n -+=-=-，故选择D ．23. （2004年全国初中数学联赛1试）已知0abc ≠，且0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab++的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【难度】 ★★【解析】A 本题利用基本恒等式来变形： 原代数式222333a b c a b c bc ca ab abc++++=． 又()()3332223a b c a b c a b c ab bc ca abc ++=++++---+． 由已知0a b c ++=，故33330a b c abc ++-=．即3333a b c abc ++=，代回原式得到2223333a b c a b c bc ca ab abc++++==，选A ．24. （2012全国初中数学联赛1试）已知实数a b ，满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（ ） A ．18- B ．0 C ．1 D ．98 【难度】 ★★★【解析】B ()()22244222219221248a ab b a b a b ab ab ab ab ⎛⎫++=+-+=-++=--+ ⎪⎝⎭， 又∵()20a b +≥，()20a b -≥，故1122ab -≤≤， ∴当12ab =-时，44a ab b ++取最小值0．。
初中数学竞赛辅导：代数式、恒等式、恒等变形
初中数学竞赛辅导：代数式、恒等式、恒等变形初中数学竞赛：代数式、恒等式、恒等变形1．某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（C）A．m（1+a%）（1﹣b%）元B．m•a%（1﹣b%）元C．m（1+a%）b%元D．m（1+a%b%）元解答：解：根据题意，这批衬衣的零售价为每件m（1+a%）元，因调整后的零售价为原零售价的b%，所以调价后每件衬衣的零售价为m（1+a%）b%元．点评：考查列代数式，得到调价后的价格的等量关系是进价本题的关键．2．如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0，那么的所有可能的值为（A）A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．0或﹣2解答：解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．①当a，b，c为两正一负时：；②当a，b，c为两负一正时：．由①②知所有可能的值为0．点评：本题考查了分式的化简求值，涉及到绝对值、非零实数的性质等知识点，注意分情况讨论未知数的取值，不要漏解．3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（C）A．B．C．1 D．解答：解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，∴DB=，AD=，在Rt△ADC中，DC 2=AC2﹣AD2，∴（a ﹣）2=b2﹣C2，即a2+c2=b2+ac，∴．点评：本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．4．设a＜b＜0，a 2+b2=4ab，则的值为（A）A．B．C．2 D．3解答：解：∵a2+b2=4ab，∴a2+b2+2ab=（a+b）2=6ab①∴a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=2ab②，得=∵a＜b＜0，∴ab＞0，a+b＜0，a﹣b＜0，∴==3，∴=．点评：本题考查了完全平方公式及代数式的求值，属于基础题，关键利用已知条件a2+b2=4ab与完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的联系找到与所求比值的关系．5．已知a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（D）A．0 B．1 C．2 D．3解答：解：∵a=2002x+2003，b=2002x+2004，c=2002x+2005，∴a﹣b=﹣1，b﹣c=﹣1，a﹣c=﹣2，∴a 2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=[（a 2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，=[（a ﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，=×（1+1+4），=3．点评：本题主要考查公式法分解因式，达到简化计算的目的，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．6．设a、b、c为实数，，则x、y、z中，至少有一个值（A）A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于0 解答：解：因x+y+z={（a﹣1）2}+{（b﹣1）2}+{（c﹣1）2}+π﹣3＞0，则x、y、z中至少有一个大于0，点评：此题考查的知识点是完全平方公式，关键是把x、y、z相加，运用完全平方公式得出x+y+z={（a﹣1）2}+{（b﹣1）2}+{（c﹣1）2}+π﹣3＞0．7．已知abc≠0，且a+b+c=0，则代数式的值是（A）A．3 B．2 C．1 D．0解答：解：把a=﹣（b+c），b=﹣（a+c），c=﹣（a+b）代入，原式=，=﹣（）﹣（）﹣（），=，=．点评：本题考查了分式的化简求值，属于基础题，主要是由已知条件先变形后再代入化简．8．若M=3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13（x，y是实数），则M的值一定是（C）A．零B．负数C．正数D．整数解答：解：M=3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13，=（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2）=（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2≥0．点评：本题主要考查了非负数的性质，将M的表达式根据完全平方公式的特点进行变形是解答本题的关键．9．某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，若用p表示d，则d=．解答：解：设成本价是1，则（1+p%）（1﹣d%）=1．1﹣d%=，d%=1﹣d=．点评：解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．保证不亏本，即让售价和成本价持平．10．已知﹣1＜a＜0，化简得﹣．解答：解：∵﹣1＜a＜0，∴a+＜0，a﹣＞0；∴==（a﹣）[﹣（a+）]=﹣．点评：解决本题的关键是根据已知条件确定a+，a﹣的符号．11．已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y﹣9，则x+2y+3z= 8．解答：解：∵x+y=5，z2=xy+y﹣9，∴（x+1）+y=6，（x+1）•y=z2+9，∴x+1，y是t2﹣6t+z2+9=0的两个实根．∵方程有实数解，∴△=（﹣6）2﹣4（z2+9）=﹣4z2≥0，∴4z2≤0，∴z2≤0，又∵z2≥0，∴z=0．解方程t2﹣6t+9=0，得x+1=3，y=3，∴x=2，y=3．∴x+2y+3z=2+2×3+3×0=8．点评：本题主要考查了一元二次方程的解法，根的判别式（△=b2﹣4ac）与方程的根的对应关系，根与系数的关系，平方的非负性及代数式求值的方法，综合性较强，有一定难度．解题关键在于能够通过观察将两个已知等式改写，从而发现x+1，y是方程t2﹣6t+z2+9=0的两个实根．12．已知x1、x2、…、x40都是正整数，且x1+x2+…+x40=58，若x12+x22+…+x402的最大值为A，最小值为B，则A+B的值等于494．解答：解：因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故x12+x22+…+x402的最小值和最大值是存在的．不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2=（x1﹣1）+（x2+1），且（x1﹣1）2+（x2+1）2=x12+x22+2（x2﹣x1）+2＞x12+x22，所以，当x1＞1时，可以把x1逐步调整到1，这时x12+x22++x402将增大；同样地，可以把x2，x3，x39逐步调整到1，这时x12+x22++x402将增大．于是，当x1，x2，x39均为1，x40=19时，x12+x22++x402取得最大值，即A=+192=400．若存在两个数x i，x j，使得x j﹣x i≥2（1≤i≤j≤40），则（x i+1）2+（x j﹣1）2=x i2+x j2﹣2（x j﹣x i﹣1）＜x i2+x j2，这说明在x1，x3，x39，x40中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1，这时，x12+x22++x402将减小．所以，当x12+x22++x402取到最小时，x1，x2，x40中任意两个数的差都不大于1．于是当x1=x2=x22=1，x23=x24=x40=2时，x12+x22+…+x402取得最小值，即，故A+B=494．点评：本题考查的是整数问题的综合运用，能根据完全平方公式得出其最大、最小值是解答此题的关键，此题难度较大．13．计算=．解答：解：x4+4=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）=[（x+1）2+1][（x﹣1）2+1]，∴原式=．点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是找到题目中蕴含的共性规律x4+4=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）=[（x+1）2+1][（x﹣1）2+1]．14．已知多项式ax3+bx2﹣47x﹣15可被3x+1和2x﹣3整除，则a+b=26．解答：解：由已知可知，得，解得，∴a+b=24+2=26．点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A被B整除，另外一层意思也就是说，B是A的公因式，使公因式B等于0的值，必是A的一个解．15．已知实数a、b、c、d互不相等，且，试求x的值．解答：解：由已知有a+=x，①；b+=x，②；c+=x，③；d+=x，④；即dx3﹣（ad+1）x2﹣（2d﹣a）x+ad+1=0⑦由④得ad+1=ax，代入⑦得（d﹣a）（x3﹣2x）=0由已知d﹣a≠0，∴x3﹣2x=0若x=0，则由⑥可得a=c，矛盾．故有x 2=2，x=±点评：此题主要考查了分式的等式变形，运用未知数简介代换得出两式相乘等于0的形式，是解决问题的关键．16．如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？解答：证明：（1）∵对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数，∴令x=0，a•02+b•0+c=c，c是整数且是平方数，令x=1，﹣1时a•12+b•1+c，a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c是平方数，∴可设a•12+b•1+c=m12①a•（﹣1）2+b•（﹣1）+c=n12②c=k12（m1n1k1均为整数），①﹣②得：2b=m12﹣n12，∴2b为整数（整数相减为依然为整数），由①得：2a=2m12﹣2b﹣2c，∴2a为整数，∴2a，2b，c都是整数；（2）（1）中已证c是整数且是平方数，令x=2，﹣2时，可设a•22+b•2+c=m22③a•（﹣2）2+b•（﹣2）+c=n22④c=k12（m2n2k1均为整数），③﹣④得：4b=m22﹣n22=（m2+n2）（m2﹣n2）=2（2b），∵2b为整数，∴2（2b）为偶数，则m22﹣n22为偶数，∴（m2+n2），（m2﹣n2）同奇同偶，则可设（m2+n2）=2m，（m2﹣n2）=2n（m，n均为整数），∴4b=2m•2n=4mn，∴b=mn，∴b为整数；（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，则ax2+bx+c=3，而3不是平方数．∴不一定成立．点评：本题考查完全平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特殊值法．17．若a=19952+19952•19962+19962，求证：a是一完全平方数，并写出a的值．解答：解：设x=1995，则1996=x+1，所以a=19952+19952•19962+19962=x2+x2（x+1）2+（x+1）2=（x+1）2﹣2x（x+1）+x2+2x（x+1）+x2（x+1）2=（x+1﹣x）2+2x（x+1）+[x（x+1）]2=1+2x（x+1）+[x（x+1）]2 =[1+x（x+1）]2=（1+1995×1996）2=39820212．故a是一完全平方数，a的值为39820212．点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用．18．设a、b、c、d是四个整数，且使得是一个非零整数，求证：|m|一定是个合数．解答：解：要证明|m|是合数，只要能证出|m|=p•q，p•q均为大于1的正整数即可．====因为m是非零整数，则是非零整数．由于四个数a+b+c﹣d，a+b﹣c+d，a﹣b+c+d，﹣a+b+c+d 的奇偶性相同，乘积应被4整除，所以四个数均为偶数．所以可设a+b+c﹣d=2m1，a+b﹣c+d=2m2，a﹣b+c+d=2m3，﹣a+b+c+d=2m4，其中m1，m2，m3，m4均为非零整数．所以m=（2m1）（2m2）（2m3）（2m4）=4m1m2m3m4，所以|m|=4|m1m2m3m4|≠0，所以|m|是一个合数．点评：本题考查的是质数与合数的定义、因式分解、奇数与偶数的定义、绝对值的性质，涉及面较广，难度较大．19．若a2的十位数可取1、3、5、7、9．求a的个位数．解答：解：设a=10b+c，其中c取自0，1，2，3，4，9，将c2写成两位数的形式为00，01，04，09，16，25，36，49，64，81，其中只有c=4、6时其十位数为奇数，又a2=（10b+c）2=2×（5b2+bc）×10+c2，可见，a2的十位数是一个偶数加上c2的十位数，当a2的十位数为奇数1，2，5，7，9时，a的个位数只能取4、6．点评：此题考查的知识点是尾数特征问题，解答此题的关键是用列举法，依据奇数的平方的十位数字必为偶数解答．。
整式恒等变形
第8 讲整式恒等变形模块一恒等变形→降幂迭代与换元基础夯实题型一降幂迭代法与大除法）如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝____________ 【例1】（第14 届“希望杯”邀请赛试题练1】（1990 年第一届希望杯初二第一试）已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7 的值．题型二整体代入消元法【例2】（第14届希望杯1 试）若x＋y＝－1，求x4＋5x3y＋x2y＋8x2y2＋xy2＋5xy3＋y4的值．【练2】当x－y＝1 时，求x4－xy3－x3y－3x2y＋3xy2＋y4的值．题型三换元法强化挑战【例3】化简（y＋z－2x）2＋（z＋x－2y）2＋（ x＋y－2z）2－3（y－z）2－3（x－y）2－3（x－z）2．【练3】已知x，y，z 为有理数（y－z）2＋（z－x）2＋（x－y）2＝（y＋z－2x）2＋（x＋z－2y）2＋（x＋y－2z）2，求yz 1 zx 1 xy 1 的值．x2 1 y2 1 z2 1模块二题型一恒等变形→因式分解与不定方程因式分解基础夯实【例4】（1）已知a5－a4b－a4＋a－b－1＝0，且2a－3b＝1，则a3＋b3的值等于（2）若a4＋b4＝a2－2a2b2＋b2＋6，则a2＋b2＝______________ ．【练4】（1）若x满足x5＋x4＋x＝－1则x＋x2＋x3＋⋯＋x2012＝______________ ．（2）已知15x2－47xy＋28y2＝0，求x的值．y强化挑战【例5】已知：a、b、c 为三角形的三条边，且a2＋4ac＋3c2－3ab－7bc＋2b2＝0，求证：2b＝a＋c．练5】（1）在三角形ABC 中，a2－16b2－c2＋6ab＋10bc＝0，其中a，b，c 是三角形的三边，求证：a＋c ＝2b．(2)已知△ ABC 三边a、b、c，满足条件a2c－a2b＋ab2－b2c＋c2b－ac2＝0，试判断△ ABC 的形状，并说明理由．题型二不定方程【例6】(1)方程xy－2x－2y＋7＝0 的整数解(x≤y)为_____________ ．(2)已知a> b> c≥0，求适合等式abc＋ab＋ac＋bc＋a＋b＋c＝2011 的整数a，b，c的值．【练6】(1)长方形的周长为16cm，它的两边长x，y 均为整数，且满足x－y－x2＋2xy－y2＋2＝0，求它的面积．(2)矩形的周长28cm，两边长为xcm、ycm，且x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．例7】(2000 年联赛)实数x，y 满足x≥y≥1 和2x2－xy－5x＋y＋4＝0，则x＋y＝_________2练7】当x 变化时，分式3x 6 x 5的最小值是 ___________________1 x2 x 12模块三恒等变形→配方法【例8】已知x2＋2xy＋2y2＋4y＋4＝0，求x，y．练8】已知x2－6xy＋10y2－4y＋4＝0，求x，y．例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．例10】已知实数a、b、c 满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则b的值等于a练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝__________模块四恒等变形→乘法公式知识点睛【常见乘法公式】1、二元二次：（1）（a＋b）（a－b）＝．2 ____________________ （2）（a－b）2＝．2、三元二次：（3）（a＋b＋c）2＝_____ ．222（4）a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝ __ ．3、二元三次：3（5）（a＋b）3＝___________ ．（6） ___________________a3＋b3＝．4、三元三次：（7）（a＋1）（b＋1）（c＋1）＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1（8）（a＋b）（b＋c）（c＋a）＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc2 2 2 2 2 2（9）（a＋b＋c）（ab＋bc＋ca）＝a b＋b c＋c a＋ab ＋bc ＋ca ＋3abc（10）a3＋b3＋c3－3abc＝（a＋b＋c）（a2＋b2＋c2－ab－bc－ca）5、三元四次：3 4 4 2 2 2 2 2 2（11）（a＋b＋c）（a＋b－c）（b＋c－a）（ c＋a－b）＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a2 6、二元n 次：（12）a n－b n＝（a－b）（a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋⋯＋ab n－2＋b n－1）（13）a n＋b n＝（a＋b）（a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋⋯－ab n－2＋b n－1）（n 为奇数）7、n 元二次：（14）（ a1＋a2＋⋯＋a n）2＝a12＋a22＋⋯＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋⋯＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋⋯＋2a n－1a n．2 2 1 2 2（15）a1 ＋⋯＋a n ＋a1a2＋⋯＋a1a n＋a2a3＋⋯＋a2a n＋⋯＋a n－1a n＝[（a1＋a2）＋⋯＋（a n－1＋a n） ]强化挑战【例11】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．2【练11】（第6 届希望杯初一）已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995（ x 17 ＋y）＋6xy－（ a＋b）的值．2例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝__________________【例13】（2009 年北京市初二数学竞赛）设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．（1）求ab＋bc＋ca 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝8，3 （1）求abc 的值；（2）求a4＋b4＋c4的值．巅峰突破【例14】若x＋y＝a＋b，且x 2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013第8 讲课后作业习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11 的值．习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc 的值．习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m（）A ．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数习4】正整数a、b、c 是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有（） A．1 个B．2个C．3 个D．4 个习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值（）A ．恒正B ．恒负C．可正可负 D ．非负习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．2 2 2 2习7】已知实数a、b、x、y 满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求（a2＋b2）xy＋ab（x2＋y2）的值．习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．习9】（1999 年北京市初二数学竞赛）若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010 的值．习10】（第18 届希望杯初一）有理数a，b，c 满足a：b：c＝2：3：5，且a2＋b2＋c2＝abc，求a＋b＋c的值．【习11】（十八届希望杯初二二试）已知a1，a2，a3，⋯，a2007，是彼此互不相等的负数，且M＝（a1＋a2＋⋯＋a2006）（a2＋a3＋⋯＋a2007），N＝（ a1＋a2＋⋯＋a2007）（a2＋a3＋⋯＋a2006），试比较M、N 的大小．习12】（2013 年联赛）已知实数x，y，z 满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝____________ 习13 】（2013 年竞赛）已知正整数a、b、c 满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc 的最大值为习14】（2001年联赛）求实数x，y 的值，使得（y－1）2＋（x＋y－3）2＋（2x＋y－6）2达到最小值．。
第1讲：整式的恒等变形
第一讲 整式的恒等变形【专题知识点概述】把一个代数式变换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
代数式的恒等变形是数学的基础知识，它在化简、求值、证明恒等式等问题中，有着广泛的应用。
通过代数式的恒等变形，对学生准确理解有关概念，掌握有关法则，提高运算能力、逻辑推理能力，增强解题的灵活性，都有重要的意义。
整式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，它既是代数式恒等变形的基础，又具有独特的复杂性和技巧性。
整式的恒等变形涉及到的主要内容有：整式的各种运算性质和法则；各种乘法公式的正、逆应用，变形应用；因式分解的有关知识等。
其中主要乘法公式除教科书上的平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，有时还用到下面几个：（1）3223333)(b ab b a a b a ±+±=±（2）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++（3）))((1221----++++-=-n n n n n n b ab b a a b a b a下面介绍整式恒等变形的一些常用方法和特殊技巧：一、运用运算性质和法则➢ 例1.设x 、y 、z 都是整数，且11整除7x+2y-5z ，求证：11整除3x-7y+12z 。
➢ 例2.已知d cx bx ax y +++=35，当x=0时，y=-3；当x=-5时，y=9，求x=5时y 的值。
➢ 例3.若a 、b 、c 都是自然数，且满足2345d c b a ==、,且c-a=19，求d-b 的值。
二、灵活应用乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。
➢ 例4.计算1)12()12)(12)(12(3242+++++➢ 例5.已知整数a 、b 、（a-b ）都不是3的倍数，试证33b a +是9的倍数。
11.24 整式的恒等变形+唐建军
11.24 整式的恒等变形在整式的运算中，我们经常要将整式进行恒等变形，使运算方便．两个代数式，如果对于字母的一切允许值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等． 通过变换，将一个代数式化为另一个与它恒等的代数式，称为恒等变形． 乘法公式是进行恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① 22()()a b a b a b +-=- ；② 222()2a b a ab b ±=±+ ；③ 2233()()a b a ab b a b +-+=+ ；④ 2233()()a b a ab b a b -++=- ；⑤ 2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ ；⑥ 222333()()3a b c a b c ab bc ac a b c abc ++++---=++- ；⑦ 33223()33a b a a b ab b ±=±+± ．对上述公式要注意变形、灵活运用．例1 已知2x y -= ，224x y += ，求20042004x y + 的值．解：将2x y -=两边平方，得2224x xy y -+= ，又因为224x y +=，则0xy = ．所以20x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=-⎩ 得2004200420042x y +=．例2 已知2222(23)14()a b c a b c ++=++ ，求::a b c ．解：由原式展开变形得2221310541260a b c ab bc ac ++---= ，即222222(44)(96)(9124)0a ab b a ac c b bc c -++-++-+= ，配方得222(2)(3)(32)0a b a c b c -+-+-= ，即：2030320a b a c b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得2,3b a c a == ．即：::1:2:3a b c = ．例3 已知：0a b c ++= ，求证：3333a b c abc ++= ． 证明：由0a b c ++=得3332223()()0a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++---= 因此，3333a b c abc ++=．练习11．241．已知4,3x y xy +== ，求33x y + 的值．2．已知22221,865a b c a b c c ++=+-+= ，求ab bc ca -- 的值．3．已知210a a ++= ，求198919901994a a a ++ 的值．4．已知2(1)()2a a a b ---= ，求221()2a b ab +- 的值．练习11.24答案1． 333()3()28x y x y xy x y +=+-+=2．由条件得22212,865a b c a b c c +=-+=-+ ， 22222()()()()2(12)(865)(12)22ab bc ca ab c a b a b a b c a b c c c c c --=-++-+=-+---+=--=- 3．由210a a ++=，可得1a ≠ ，即10a -≠ ，因为2(1)(1)0a a a -++= ，所以310a -= ， 即31a = ．可得198919901994198952(1)1(1)0a a a a a a a a ++=++=⨯++=4．由2(1)()2a a a b ---=得2b a -= ， 所以22222111()(2)()2222a b ab a b ab a b +-=+-=-=第五节 整式的恒等变形11.24整式的恒等变形练习11.241．已知1999,1a b == ，求2223a b ab ++ 的值．2．已知2220,1a b c a b c ++=++= ，求bc ca ab ++ 的值．3．若3330,0a b c a b c ++=++= ，求191919a b c ++ 的值．4．已知333,18x y x y +=-+=- ，求77x y + 的值．5．求证：2222()()()()8a b c a b c a b c a b c ab ++++------+= ．6．求证：2(23)(21)(1)1x x x -+-+ 是一个完全平方式．7．已知0a b c ++= ，求证：（1）3223a a c b c b abc +++= ；（2）444222222222a b c a b b c c a ++=++ ．练习11．24答案：1．40020002．1 2 -3．0 4．843-5．略6．略7．略。
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初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形一、知识要点1、整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础．3、乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条：①(a+b) (a-b)＝a2-b2②(a±b)2＝a2±2ab+b2③(a+b) (a2-ab+b2)＝a3+b3④(a-b) (a2+ab+b2)＝a3-b3⑤(a+b+c)2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca⑥(a+b+c) (a2+b2+c2-ab-bc-ca)＝a3+b3+c3-3abc⑦(a±b)3＝a3±3a2b+3a b2±b34、整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式．5、余数定理多项式()x f除以(x-a) 所得的余数等于()a f．特别地()a f＝0时，多项式()x f能被(x-a) 整除二、例题精讲例1在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解因1+2+3+ (1998)()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数，又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1．先考虑四个连续的自然数n、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小．很明显n-(n+1)-(n+2)+(n+3)＝0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号，即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)＝ -1+2＝1故所求最小的非负数是1．例2 计算(2x3-x+6)•(3x2+5x-2)分析计算整式的乘法时，先逐项相乘(注意不重不漏)，再合并同类项，然后将所得的多项式按字母的降幂排列．解法1 原式＝6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12＝6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12评注：对于项数多、次数高的整式乘法，可用分离系数法计算，用分离系数法计算时，多项式要按某一字母降幂排列，如遇缺项，用零补上．解法2 2+0-1+6⨯) 3+5-26+0-3+1810+0-5+30-4+0+2-126+10-7+13+32-12所以，原式＝6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12例3求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5) (3x5-x3+2x2+3x-8)展开式中x8的系数解x8的系数＝2⨯2+(-3) ⨯ (-1)+(-7) ⨯3＝-14评注：只要求x8的系数，并不需要把展开式全部展开．例4计算(3x4-5x3+x2+2)÷(x2+3)分析整式除法可用竖式进行解 3 x2– 5x - 8x2+3) 3x4 - 5x3 + x2 + 0x + 23x4+9 x2- 5x3 -8 x2+ 0x- 5x3-15x-8 x2+15x+ 2-8 x2- 2415x+ 26所以，商式为3 x2– 5x– 8，余式为15x+ 26评注：用竖式进行整式除法要注意：(1)被除式和除式要按同一字母的降幂排列；(2)如被除式和除式中有缺项，要留有空位；(3)余式的次数要低于除式的次数；(4)被除式、除式、商式、余式之间的关系是：被除式＝除式⨯商式+余式例5计算(2x5-15x3+10x2-9) ÷(x+3)分析对于除式是一次项系数为1的一次多项式的整式除法可用综合除法进行．用综合除法进行计算，首先要将除式中的常数项改变符号，并用加法计算对应项的系数．解-3 2 0 -15 10 0 -9-6 18 -9 -3 92 -63 1 -3 0∴商式＝2x4-6x3+3x2+x -3评注：用综合除法进行整式除法要注意：（1）被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用0补上；（2）把除式x-a的常数项的相反数a写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开；（3）下移第一个系数作为第三行的第一个数，用它乘以a，加上第二个系数，得到第三行的第二个数，再把这个数乘以a，加上第三个系数，就得到第三行的第三个数，…，依次进行运算，最后一个数即为余数，把它用竖线隔开，线外就是商式的多项式系数．（4）如果除式是一次式，但一次项系数不是1，则应把它化到1才能用综合除法．例6已知x+y＝-3，x3+y3＝-18，求x7+y7的值分析：先通过x+y＝-3，x3+y3＝-18，求出xy，再逐步求出x2+y2、x4+y4，最后求出x7+y7的值解由x3+y3＝(x+y) 3-3xy (x+y) 得-18＝(-3) 3-3 xy⋅(-3) ∴xy＝1又由x2+y2＝(x+y) 2-2xy得x2+y2＝(-3) 2- 2⋅1＝7而x4+y4＝(x2+y2)2-2 x2y2＝72-2＝47∴(-18)⨯47＝(x3+y3)(x4+y4)＝x7+y7+ x3y3 (x+y)＝x7+y7 -3从而x7+y7＝-843评注：本题充分利用x+y和xy，与x2+y2、x4+y4、x7+y7的关系来解题．例7求证：(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3能被2x2+2y2整除分析如果将(x2-xy+y2)3与(x2+xy+y2)3直接展开，太繁，可将两个式子整体处理，分别看作a和b，然后利用乘法公式展开，可将计算简化．解(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3＝[(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)]3 - 3⋅(x2-xy+y2) (x2+xy+y2)[ (x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)]＝(2x2+2y2)3-3⋅(x2-xy+y2) (x2+xy+y2) (2x2+2y2)所以原式能被2x2+2y2整除．评注：本题采用的是整体处理思想．例8 试求x285-x83+x71+x9-x3+x被x-1除所得的余数．解法1 x285-x83+x71+x9-x3+x＝( x285-1) – (x83-1)+( x71-1)+( x9-1) – (x3-1)+( x -1)+2 因为x285-1、x83-1、x71-1、x9-1、x3-1、x -1均可被x-1整除，所以，原式被x-1除所得的余数是2．解法2 由余数定理，余数等于x285-x83+x71+x9-x3+x在x＝1时值，即余数＝1285-183+171+19-13+1＝2评注：本题两种解法中，解法1是通过恒等变形，将原式中能被x -1整除的部分分解出，剩下的就是余数．解法2是通过余数定理来求余数，这是这类问题的通法，要熟练掌握．例9研究8486，98⨯92，…的简便运算，并请你用整式运算形式表示这一简便运算规律．分析：观察8486，98⨯92，…可得：它们的十位数字特点是8＝8，9＝9；而它们的个位数字和为4+6＝10，8+2＝10．则可设十位上的数字为a，个位上的数字为b、c，且b+c＝10 解：根据上面的分析，设十位上的数字为a，个位上的数字为b、c，且b+c＝10 则 (10a+b)(10a+c)＝100a2+10a(b+c)+bc＝100a2+100a+bc＝100a(a+1)+bc评注：以后，凡是遇到上述类型的运算均可用此结果进行简便运算．如72⨯78＝100⨯7⨯8+2⨯8＝5600+16＝5616例10已知关于x的三次多项式除以x2-1时，余式是2x-5；除以x2-4时，余式是-3x+4，求这个三次多项式．分析：利用被除式＝除式⨯商式+余式的关系来解．解：设这个三次多项式为ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)，因为这个三次多项式分别除以x 2-1和x 2-4，故可设两个商式是：ax +m 和ax +n ，由题意得：ax 3+bx 2+cx +d ＝( x 2-1) (ax +m )+2x -5 ①ax 3+bx 2+cx +d ＝( x 2-4) (ax +n )+ (-3x +4) ②在①式中分别取x ＝1, -1，得a +b +c +d ＝ -3，-a +b -c +d ＝ -7在②式中分别取x ＝2, -2，得8a +4b +2c +d ＝ -2，-8a +4b -2c +d ＝ 10由上面四式解得：8 311 3 ,35-===-=d c b a ，， 所以这个三次多项式为831133523-++-x x x 评注：对于求多项式的系数问题常常使用待定系数法．三、巩固练习一、选择题1、若m ＝10x 3-6x 2+5x -4，n ＝2+9x 3+4x -2x 2，则19x 3-8x 2+9x -2等于A 、m +2nB 、m -nC 、3m -2nD 、m +n2、如果(a +b -x )2的结果中不含有x 的一次项，则只要a 、b 满足( )A 、a ＝bB 、a ＝0或b ＝0C 、a ＝ -bD 、以上答案都不对3、若m 2＝m +1，n 2＝n +1，且m ≠n ，则m 5+n 5的值为 ( )A 、5B 、7C 、9D 、114、已知x 2-6x +1＝0，则221xx +的值为 ( ) A 、32 B 、33 C 、34 D 、355、已知33333=++-++cb a abc c b a ，则(a -b )2+(b -c )2+(a -b ) (b -c )的值为 ( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、设()x f ＝x 2+mx +n (m ,n 均为整数)既是多项式x 4+6x 2+25的因式，又是多项式3x 4+4x 2+28x +5的因式，则m 和n 的值分别是( )A 、m ＝2，n ＝5B 、m ＝ -2，n ＝5C 、m ＝2，n ＝ -5D 、m ＝ -2，n ＝ -5二、填空题7、设a 、b 、c 是非零实数，则=++++++abcabc ca ca bc bc ab ab c c b b a a ． 8、设(ax 3-x +6)⋅(3x 2+5x +b )＝6x 5+10x 4-7x 3+13x 2+32x -12，则a ＝ ， b ＝ ．9、x +2除x 4-x 3+3x 2-10所得的余数是10、若x +y -2是整式x 2+axy +by 2-5x +y +6的一个因式，则a +b ＝ ．11、(21+1) (22+1) (24+1) (28+1) (216+1) (232+1) (264+1)+1＝ ．12、已知a 、b 、c 满足()()ac c b b a a c --=--22，则a +b -2c 的值为 ． 三、解答题13、设x 、y 、z 都是整数，且11整除7x +2y -5z ，求证：11整除3x -7y +12z14、计算：(4x 4-6x 2+2) (5x 3-2x 2+x -1)15、计算：(8x 2-2x +x 4-14)÷(x +1) 16、已知1612422++=++a a a a a a ，试求的值． 17、已知x 、y 、z 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++45293333222z y x z y x z y x 求xy z 及x 4+y 4+z 4的值18、当a 、b 为何值时，多项式2x 4+6x 3-3x 2-ax +b 能被多项式2x 2-4x +1整除？19、设P(x )＝x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，a 、b 、c 、d 为常数，P(1)＝1993，P(2)＝3986，P(3)＝5979．试计算()()[]7P 11P 41-+． 20、一个关于x 的二次多项式()x f ，它被(x -1)除余2，它被(x -3)除余28，它还可被(x +1)整除，求()x f ．。