自由度和广义坐标
理论力学中的拉格朗日方程
理论力学中的拉格朗日方程在理论力学中，拉格朗日方程是一种重要的数学工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。
拉格朗日方程由意大利数学家和物理学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出，被广泛应用于经典力学的各个领域。
1. 拉格朗日方程的引入拉格朗日方程的引入是为了解决在复杂的力学系统中，尤其是多体系统中，求解运动方程困难的问题。
拉格朗日方程通过引入广义坐标和广义速度的概念，将原来的N个质点受力问题转化为2N个一阶偏微分方程组的求解问题。
2. 广义坐标和广义速度在拉格朗日方程中，将系统的坐标由笛卡尔坐标系转化为广义坐标系，这样可以更好地描述系统的自由度。
广义坐标的数目等于系统的自由度，它们可以用来完全描述系统的构型。
广义速度则是对广义坐标的时间导数，表示系统的运动状态。
3. 拉格朗日量在拉格朗日力学中，拉格朗日量是一个以广义坐标、广义速度和时间为变量的函数，代表系统的能量和动力学性质。
拉格朗日量可以通过系统的动能和势能函数得到。
对于自由度为n的系统，拉格朗日量可以表示为L(q, q', t)，其中q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。
4. 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是拉格朗日方程的数学形式，它由拉格朗日原理引出。
欧拉-拉格朗日方程可以描述系统在运动过程中的动力学规律。
它可以表示为d/dt(dL/dq') - dL/dq = 0，其中d/dt表示对时间求导数。
通过求解这个方程组，我们可以得到系统的运动方程。
5. 应用与例子拉格朗日方程在经典力学中的应用非常广泛。
例如，它可以用于求解刚体的运动，弹性体的振动，以及受约束的质点系等问题。
通过将系统的动能和势能函数表示为广义坐标和广义速度的函数，可以得到相应的拉格朗日量，进而求解运动方程。
总结：拉格朗日方程是一种在理论力学中广泛应用的工具，用于描述系统的运动行为和力学规律。
它通过引入广义坐标和广义速度的概念，将系统的受力问题转化为求解一阶偏微分方程的问题。
拉格朗日方程-振动
分析力学基础 2.1 自由度和广义坐标
例 1 图 (a)中，质量用一根
弹簧悬挂。图（b）中质量
用一根长度为l，变形可忽略
的悬丝悬挂。分析系统的自
由度，并建立系统的广义坐
(a)
标。
（b）
解 对图（a）所示的系统，尽管质量用弹簧悬挂，但弹簧能自由地伸长， 因此它的约束方程为零，自由度为3。
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
分析力学基础 2 ຫໍສະໝຸດ 位移原理 虚位移原理受定常理想约束的质点系在某一位置平衡的必要与充分条件是：
作用于质点系所有主动力在该位置处的任何虚位移中的虚功之和等于零。
p
其数学表达式为: d W F d r 0
i
i
i 1
其中，Fi为作用于质点系的主动力， dri为虚位移。上式也称为虚功方程。
时的位置，即广义坐标数为2，自由度为2。
分析力学基础 1 自由度和广义坐标
例 2 右图表示由刚性杆l 1和质量m 1及刚性杆l 2和
质量m 2组成的两个单摆在O’ 处用铰链连接成
双摆，并通过铰链O与固定点连接，使双摆只能 在平面内摆动，分析系统的自由度，并建立系统 的广义坐标。 解 由于双摆只能在平面内摆动，因此， z 1 = 0，z 2 = 0， 而双摆的长度l 1和l 2不变，即
对图（b）所示的系统，悬挂质量的悬丝不可伸长， 因此在空间的位置必 须满足质量离悬挂点的距离保持不变的条件，即满足下列方程约束方程：
x2 y2 z2 l2
这样，坐标 x 、 y 和 z 就再不独立。若用球面坐标r 、y 和j 来表示， 必须满足条件 r = l ，只要用y 和j 两个坐标就能完全确定质量在任何瞬
刘晶波结构动力学课件2-1w
f I mu
I — 表示惯性(Inertial)； m— 质量(mass)； ü — 质点的加速度。
9/45
坐标方向：向右为正
10/45
2.1 基本概念
2.1.6 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring）
对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移(弹簧变形)的乘积 方向指向体系的平衡位置。
物理元件： 质量 集中质量m 阻尼器 阻尼系数c 弹簧 弹簧刚度k
基本动力体系： 应包括结构动力分析中涉及的所有物理量。 质量；弹簧；阻尼器。
(a) 单层框架结构
两个力学模型完全等效 因为两个体系的运动方程相同
(b) 弹簧-质点体系
19/45 20/45
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
2.2.0 牛顿(Newton)第二定律
结构动力学
教师：刘晶波 助教：王东洋
结构动力学 第2章 分析动力学基础 及 运动方程的建立
1/45 2/45
清华大学土木工程系 2015年秋
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
2.1 基本概念
2.1.1 广义坐标与动力自由度
广义坐标 ：能决定质点系(体系)几何位置的彼此独立的 量称为该质点系的广义坐标。 广义坐标可以取长度量纲的量，也可以用角度甚 至面积和体积来表示。 静力自由度 的概念：确定结构体系在空间中位置所需的 独立参数的数目称为结构的自由度。 动力自由度 的定义：结构体系在任意瞬时的一切可能的 变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目称 为结构的动力自由度(数)。
p(t )u f I u f Du f su 0
p (t ) f I f D f s 0
1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。
结构动力学(克拉夫) 第二章 分析动力学基础
第二章 分析动力学基础2.1 基本概念 2.1.1 约束• 定义：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或 运动学的限制。
N 个质点的约束方程： → → 为mi 的位置向量及速度 **弹簧支座不是约束。
• 约束的分类：*稳定（不含t → 左图） 与非稳定（含t → 右图）* 完整（不含 → ）几何约束（有限约束） 与非完整（含 → ）运动约束（微分约束） • 约束条件：zc=a （水平面绝对光滑）一个完整约束 *水平面粗糙，仅滚动无滑动，A 点速度为零 。
两个完整约束*若为刚性圆球，三个约束（A点两个水平方向速度为零，可证明约束微分方程不能积分成有限形式）非完整约束单向（约束方程为不等式）：柔索 与双向（约束方程为等式）：刚杆 工程力学中研究对象：稳定的、完整的、双 向约束• 质点系约束方程：→ （N ：质点数；M 约束数） 2.1.2 自由度与广义坐标 广义坐标定义：能决定体系几何位置的、彼此独立的量广义坐标个数→空间质点系:n=3N-k;平面质点系: n=2N-k0),,,,,,(11=⋅⋅⋅⋅⋅⋅N N r r r r t f 0),,(=i i r r t f i i r r ,0),(=i i rr f 0),,(=i i rr t f Ai r0),(=i r t f i r 0),,(=i i rr t f ϕϕa x a x v C C A =⇒=−=)(0积分 lr ≤l r =0),,(1=⋅⋅⋅N k r r f )~1;~1(0)(M k N i r f i k ===x双连刚杆双质点系的约束方程：广义坐标数：广义坐标：独立参数→角度→ 振型等（见下页） 梁的挠度曲线用三角级数表示： 广义坐标→*自由度定义：在固定时刻，约束许可条件下能自由变更的 独立的坐标数目（对完整约束=广义坐标数）• 自由度数→空间质点系：n=3N-k 平面质点系：n=2N-k （N ：质点数；k: 约束数） 非完整约束：（广义坐标数>系统自由度数）2.1.3 功的定义元功：A →B 过程中力作的功：对摩擦传动轮的例，由于力未移动，位移=？ • 功的新定义：(传动齿轮)• 功率：2.1.4 有势力和体系的势能有势力：（1）大小和方向只决定于体系质点的位置（2）体系从位置A 移动到位置B ，力作功只决定于位置而与路径无关取体系的任意位置为“零位置O ”，从位置A 移动到零位置O 各力作的功为体系在位置A 时的势能UA(位能)。
机械振动学总结全
机械振动学总结 第一章 机械振动学基础第二节 机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数来表示，则这一个运动时周期运动。
其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。
简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度ω称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有)sin()cos()(ψωψωψω+++==+t jA t A z Ae z t j用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数t j e ω对时间求导一次相当于在其前乘以ωj ，而每乘一次j ，相当于有初相角2π。
二．周期振动满足以下条件：1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中22n n n b a A += nn n b a =ψt a n 三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1.俩个同频率的简谐振动)sin(222ψω+=t A x ，)sin(2222ψω+=t A x它们的合成运动也是该频率的简谐振动2.俩个不同频率振动的合成若21ωω≤，则合成运动为若21ωω≥ ，对于A A A ==21 ,则有上式可表示为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。
振动学总结
机械振动学总结论文第一章 机械振动学基础第一节 引言我们用一下方法研究机械振动： 1：激励物理模型。
2：建立数学模型。
3：方程求解。
4：结果阐述。
第二节 机械振动的运动学概念什么是机械振动？答：机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。
用函数关系式)(x t x =来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数()()1,2,3......x t x t nT n =+=来表示，则这一个运动时周期运动。
其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。
简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为)2sin()2cos(ψπϕπ+=-=t TA t T A x 式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。
简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即)sin()cos(2ψωωψωω+-==+==t A xa t A xv可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
从x x 2ω-=可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有()cos()sin()j wt z AeA wt jA wt ϕϕϕ+==+++可以将上式改写成t j t j j e A e Ae z ωωω==它包含振动的振幅和相角俩个信息，在振动分析时，由于它会给计算带来许多方便而常常得到应用。
二：周期振动任何周期函数满足以下条件： （1）：函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在； （2）：在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
自由度与广义坐标
1 , y 1 , z n , y n , z 1 ,, x n ; t ) 0 f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , z n ; x
(r=1,…,s)
约束方程的个数为：s
静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。 本教材研究：定常、双面、完整约束。
2、刚体的自由度 设刚体由n个质点组成，这个质点组成的不变 系统可以设想由n个质点用很短很短的刚杆连成 的空间不变形的刚性结构。 可以算出连接质点的刚杆数为：
3n 6
每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：
s 3n 6
自由度数为： k 3n s 6
2.自由刚体的自由度
最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体( 形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
2、独立坐标、位形空间、约束方程的概念
(1) 坐标
确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这 些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。
(2)位形
对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立坐 标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形。
(3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之 间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为 约束方程。
( j 1, 2, s )
（2）定常约束与非定常约束 定常约束 当约束方程中都不包含时间t时， 这种约束称为定常约束。 定常几何约束 z
O
l
y A
约束方程的一般形式：
x
1, y 1, z n , y n , z 1, x n ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
第一章下册哈工大理论力学
N=?
按刚片自由度计算 N=3n-s=3×5-(2×4)-2× (3-1)-2=1
按质点自由度计算 N=2n-s=2×5-2-2-4-1=1
B
30 o
O
M
C
30 o
r
O1
D
30 o
A
F
N=?
按刚片自由度计算 N=3n-s=3×5-(2×6)-2=1 按质点自由度计算 N=2n-s=2×6-8-1=3？ N=2n-s=2×6-8-1-2=1
代入广义力表达式，系统平衡的时候有：
Q1 P 1 a sin P 2 2a sin F 2a cos 0 Q2 P2 b sin F 2b cos 0
由此解得：
2F tg P1 2 P2
,
2F tg P2
第二种方法： 先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的 一组虚位移，如图所示。 yC 0
由于广义坐标是相互独立的，qk 可以任意取值，因 此要使虚功方程满足，必须有：
Q1 Q2 QN 0
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡方程。 求广义力的方法一：
xi yi zi Qk Fix q Fiy q Fiz q i 1 k k k ( k 1,2, , N )
第 一 章
分析力学基础
物体运动与相互作用之间的关系
牛顿第二定律 （矢量形式表示出来）
矢量力学 质点系动力学普遍定理： 动量定理、动量矩定理和动能定理
求解具有复杂约束系统和变形体的动力学 问题采用分析数学的方法 能量与功
通过虚位移原理和达朗贝尔原理建立普遍形式 下的动力学方程 分析力学
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统1。
1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：(1） 对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率.2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1) 对系统进行受力分析和动量距分析；（2) 利用动量距定理J ∑=M θ，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围:所有的单自由度系统的振动.解题步骤:（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T —U ； （2)由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零，即0)(=+dtU T d ,进一步得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤.用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法.求解步骤：(1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A .（2)由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ， 进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小， 所以有πδζ2=。
振动力学的60对概念
振动力学的60对概念1 广义坐标与自由度广义坐标：能够完全确定系统在运动过程中的某一瞬时在空间所处的几何位置与形状的独立参变量。
自由度：系统独立坐标的数目。
2 线性振动与非线性振动根据系统运动微分方程的性质划分，微分方程中只包含位移、速度的一次方项称为线型振动，如果还包含位移、速度的二阶或高阶项则是非线性振动。
3 离散（集中参数）系统与连续（分布参数）系统单自由度和多自由度振动系统统称为离散系统。
无限自由度系统具有连续分布的质量与连续分布的弹性，称为分布参数系统。
4角振动与扭转振动角振动:振动按位移的特征分为直线振动和角振动。
当质点只作围绕轴线的振动，就称为角振动。
扭转振动:弹性体绕其纵轴产生扭转变形的振动。
5 简谐振动与谐波分析用时间t的正弦或余弦函数表示的运动规律称为简谐振动。
一般的周期振动可以借助傅里叶级数表示成一系列简谐振动的叠加，该过程称为谐波分析。
6 简谐振动的振幅与相位角振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离叫振动的振幅。
相位角：某一物理量随时间(或空间位置)作正弦或余弦变化时，决定该量在任一时刻(或位置)状态的一个数值。
7 简谐振动的周期与频率一次振动循环所需的时间T称为周期；单位时间内振动循环的次数f称为频率。
8 简谐振动的旋转矢量与复指数描述方法（书P4页图1-2 公式1-6）9 幅值谱与相位谱在信号的频域描述中，以频率作为自变量，以组成信号的各个频率成分的幅值作为因变量，这样的频率函数称为幅值谱，它表征信号的幅值随频率的分布情况。
相位谱，指的是相位随频率变化的曲线，是信号的重要特征之一。
10粘性阻尼与等效粘性阻尼粘性阻尼，是振动系统的运动受大小与运动速度成正比而方向相反的阻力所引起的能量损耗。
等效粘性阻尼：11临界阻尼与阻尼比任何一个振动系统，当阻尼增加到一定程度时，物体的运动是非周期性的，物体振动连一次都不能完成，只是慢慢地回到平衡位置就停止了。
当阻力使振动物体刚能不作周期性振动而又能最快地回到平衡位置的情况，称为“临界阻尼”。
约束、自由度与广义坐标
n≥4 s 3n 6 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为： n≥4
3.自由刚体的广义坐标 刚体的定点运动的描述方法1—欧拉坐标 z3 z2 z1 z0
q
O
绕z0轴转过y角— —进动角 y3
y j
x0
y
j q
y0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2
y1
绕x1轴转过q角— —章动角
绕z2轴转过j角— —自转角
x1 x2
x3
xA , y A ,j xB , y B ,q
A B j
xA OAcos b
y A OAsin b
C
q r
D
y
xB OAcosb AB cosj
yB OAsin b ABsin j
xC rq
yC=yD-r
式中： yD OAsin b AB sin j r (1 cosq ) c2
2.自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
k 3 4(质点数) （刚杆数） 6 6
设节点数为n,约束数为s。则写成
k 3n s 6
n=4 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。 则一般地：
k 3n s
x y z l0 vt
2 2 2
2
v（匀速）
A
f r ( x1, y1, z1 xn , yn , zn ; t ) 0
（3）完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各 质点速度的投影）的约束，称为完整约束。 〈1〉位移约束----全部几何约束 〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;
1 机械振动的基本概念
（与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都 与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下， 选择平衡位置作为广义坐标的原点） 选择平衡位置作为广义坐标的原点）
自由度：系统独立广义坐标的数目。
单摆有一个自由度； 弹簧摆有两个自由度； 若弹簧摆悬挂的是一个刚性杆，则有 三个自由度； 跳(Free Vibration)：If a system, after an initial disturbance, is left to vibrate on its own, the ensuing vibration is known as ~. No external force acts on the system. 受迫振动(Forced Vibration)：If a system is subject to an external force, the resulting vibration is known as ~ 自激振动; 参数振动
振动分析的一般方法
理论分析方法：包括各种近似分析方法。 理论分析方法 数值分析方法：利用编程或商业软件。 数值分析方法 实验分析方法：借助实验设备和分析仪器完成。 实验分析方法
机翼颤振的两自由度模型
机翼颤振的离散化模型
输电线舞动的两自由度模型
The space needle(structure)
电铃的工作原理示意图
干摩擦引起的自激振动
参数激励的情况(See Reference 12:§8.2.1)
按振动系统的响应(信号) 按振动系统的响应(信号)
简谐振动 周期振动 确定性振动 复合周期振动 非周期振动拟周期振动 瞬态振动 非确定性振动 − 随机振动
研究振动问题的一般步骤
拉格朗日第二类方程
A M A Q M
T 1 2 P 9Q ; ( R r )2 6 g d T 1 2 P 9Q T 2 ; (R r) 0 dt 6 g
r t 0 对定常系统，r i 中不显含时间t，即 ，于是 i/
T1 =0，T0 =0
k k 1 T T a q q 2 j j 2 j 1 1
( 6 . 1 . 6 )
故定常系统的动能是广义速度的二次齐次函数（二次型）。
由于动能恒为正，故只有当系统所有质点全部静止时动能才 有零值，因而以广义速度表示的动能的二次型是正定的。
于是：
r r i i r q i j q t j 1 j
k
( 6 . 1 . 2 )
其中 r q , r t 都是qj和t的函数 i/ j i/
系统的动能：
1 n1 2 T m r r m r i i i i i 2 2 i 1 i 1
( c )
第一项：主动力在质点系的虚位移的元功之和：
F r Q q i i j j
i 1 j 1
n
k
( d )
第二项：惯性力在质点系的虚位移的元功之和：
r i m a r m a ( qj ) i i i i i qj i 1 i 1 j 1
1n r r i i m i 2i t t 1 k n 1k k n r r r r i i i i ( m ) q q ( m ) q i j i j 2j q q q t 1 1 i 1 j 1 i 1 j j
9
式中： q 广义速度 j—
刚度法求运动方程
刚度法是一种用于建立结构动力学运动方程的方法，它基于力的平衡条件来建立运动微分方程。
以下是使用刚度法求解结构运动方程的基本步骤：
1. 确定自由度：需要确定结构的独立位移数目，即自由度。
每个自由度对应一个广义坐标。
2. 列出平衡方程：对于每个自由度，根据达朗贝尔原理列出力的平衡方程。
这包括惯性力、弹性恢复力和阻尼力等。
3. 计算刚度系数：刚度系数是指结构在单位位移下产生的力。
对于多自由度体系，需要计算刚度矩阵，其中每个元素代表结构在某一点单位位移引起的力的变化。
4. 建立运动方程：将刚度系数与质量、阻尼系数结合，得到运动方程。
对于单自由度体系，运动方程通常形式为( m\ddot{y}(t) + c\dot{y}(t) + ky(t) = P(t) \)，其中\( m \) 是质量，\( c \) 是阻尼系数，\( k ) 是刚度系数，( P(t) \) 是外部荷载。
5. 求解方程：最后，通过适当的数学方法求解运动方程，得到结构响应的时间历程。
结构动力学多自由度
求解系数：由质量矩阵和刚度矩阵的正交性，阻尼矩阵的一般形式为：
不耦合的运动方程—有阻尼
同理：
故：
不耦合的运动方程—有阻尼
另一种方法：
不耦合的运动方程—有阻尼
体系的对角广义质量矩阵：
不耦合的运动方程—有阻尼
在上式中，每一振型对阻尼矩阵起的作用与振型的阻尼比成比例。因此，任何无阻尼的振型对阻尼矩阵不起作用。
对每一项乘一个未知的时间函数li(t)，并且将这个乘积在时间间隔t1到t2积分：
由于变分为零：
令：
Lagrange运动方程可改写为：
规格化的主振型矩阵：
无阻尼多自由度结构体系自由振动方程：
第i 阶振型的特解：
这样的特解有n个！
振型的物理意义
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
以上矩阵为结构的振型矩阵，为一N*N方阵。
各项前乘 ，可得：
即：
注意：即使质量矩阵和柔度矩阵都是对称的，它们的乘机也是不对称的！
几何约束条件：
Hamilton原理：
动能可以用广义坐标和它们的一次导数表示，位能可以单独用广义坐标表示。非保守力在广义坐标的一组任意变分所引起的虚位移上所做的虚功，可以表示为这些变分的线性函数。
代入Hamilton原理公式：
由分部积分公式：
由：
故：
Lagrange运动方程：
由算例：
此时：
Lagrange运动方程写为：
假定弯矩—位移关系：
上式中，第一项由保守力产生，第二项由非保守力产生。
非保守力所做的虚功：
假定非保守力仅限于横向分布荷载p(x,t)，这些力的虚功为：
非保守力所做的总虚功为：
其中：
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处的渐进形式，则上式简化为
d
2ul (r) dr 2
（8）
2
令
k2
2E
2
p2 2
，V (r)
2 2 U (r)，且在中心力场情况下，势
能只与 r 大小有关，所以
2 [k 2 V (r)] 0 （9）
如前所述，实验上观测散射粒子都是在远离散射中心的地方
进行，所以我们总是关注波函数在 r 时的渐进行为。
• 而在无穷远处，不但有平面波存在，而且有散射波存在，
* 1
z
* 1
1
z
i
2
ik
1
* 1
ik 1* 1
k
v
（2）
• 其数量大小即给出入射粒子流强度，N v 。由此可见，
1 eikz 描述的是单位体积内只有一个入射粒子的情况。
1.2 散射
入射粒子流受散射中心的作用而偏离原来的运动方
向，沿着不同的散射角 ( ,)射出，单位时间内散射到( ,)
目的多少，或散射粒子的概率的大小，所以称它为
散射粒子的角分布。
（2）从量纲看，q( ,) 具有面积的量纲，因此又称它为
( ,) 方向上的微分散射截面，而把
2
Q q( ,)d q( ,)sin dd
（4）
00
称为总散射面积。
“截面”一词，可作如下解释：
•
散射过程实际上是由于空间小区域中的相互作用导
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
致的粒子从一个自由态到另一自由态的跃迁。但是，这种
跃迁的初末态能量是相同的，并且组成连续谱。本讲主要
讨论的仍属于跃迁概率问题，而中心问题是散射截面。散
射截面的计算，主要通过两种近似方法：分波法和玻恩近
似法。
• 1 散射截面
• 1、1 入射
z 设自由粒子流沿着 轴向散射中心入射。首先，我
方向上的面积元 dS 上的粒子数dn 应由下面关系
dS dn N Nd
r2
dn q( ,)Nd
（3）
式中 q( ,) 是比例系数，与入射粒子的能量、散射中心的
性质及粒子出射的方向 ( ,) 有关。
• 实际上由 dn / N q( ,)d 可以看出 （1） q( ,)表明单位时间内沿不同角度( ,) 散射粒子数
（11）
l
式中的 l 0,1,2,，对应的各项称为 s, p, d , 分波，每一个分
波 Rl (r)Pl (cos )都是方程（9）的解。
其中勒让德多项式 Pl (cos ) 为已知，所以我们只需讨论 Rl (r)
满足的径向方程
1 r2
d dr
r 2
dRl (r) dr
地方进行的，因此散射波应该是球面波
2
f ( ,) eikr
r
（5）
其中 f ( ,)是沿 ( ,)方向向外传播的散射波的振幅，称为
散射振幅。由上式可得散射波的概率流密度
Jr
i
2
2
* 2
r
* 2
2
r
i
2
f
( ,) 2
ik r2
们定义：单位时间内穿过垂直于入射方向的单位面积的入
射粒子数称为入射粒子流强度，记为 N 。从波动理论出
发，入射波取为
1 eikz
（1）
其中k 2E ， 是约化质量，p k 是入射粒子动量，
2
v k 是入射粒子的速度
入射波的概率流密度
J z
i
2
1
k 2
V (r)
l
(l r2
1)
Rl
(r)
0
（12）
令
Rl
(r)
ul (r) r
得 ul (r)满足的方程
（13）
d
2ul (r) dr 2
k
2
V
(r)
l
(l r2
1)
ul
(r)
0
（14）
这里，ul (r)的函数形式尚依赖于U (r) 的具体形式，考查 r
• 对于中心力场问题，我们已知对于确定的能量 En ，方程
（9）的一般解可写为
(r, ,) Rl (r)Ylm ( ,)
l,m
若选取粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴，则
中心力场的散射问题具有轴对称性，波函数及散射振幅都与
无关，即 m 0 ，所以有
(r, ) Rl (r)Pl (cos )
q( ,) f ( ,) 2 （7）
• 即散射截面可由散射波的散射振幅决定。问题又转化为对 散射波的研究。
2.分波法
• 2.1薛定谔方程及其边界条件
若入射粒子与散射中心之间的相互作用势能用中心力
场U (r)表示，并假定 lim U (r) 0 ，则体系的薛定谔方程写
为
r
2 2 U (r) E
• q( ,) 及 Q 都是可由实验测定的量，需要讨论的问题是：
如何从薛定谔方程的解来计算散射截面，以便与实验值相 比较，从而来研究粒子间相互作用的性质及其它问题。所 以说，散射截面是散射理论的核心问题。下面讨论散射截 面与散射粒子的波函数之间的关系。
受散射中心作用后，入射粒子将改变方向，动量不再守 恒，从而出现散射波。而实验上观测都是在远离散射中心的
所以满足（9）式的波函数应具有如下的渐进行为（边界条
件）
r
1
2
eikz
f ( ,) eikr
r
（10）
综上所述，中心力场中的散射问题，归结为按不同的势能
函数求解薛定谔方程（9）式，并使其解得的波函数渐进行
为满足（10）式，这样就得到散射振幅——亦得到散射截
面。
2.2薛定谔方程的渐近解
• 按着（3）式，在入射粒子流中，每单位时间穿过与入射
方向垂直的 dQ( ,) q( ,)d 面积的粒子数，即为单位
时间被散射到立体角 d 中去的粒子数 dn ，而单位时间
被散射的总粒子数 则等于单位时间穿过垂直于入射方向
的面积 Q 的入射粒子数。因此，对于入射粒子流来说，
散射体的作用等效于一块横截面积，凡是打在这块面积上 的粒子，都被散射到各个方向上去。
ik r2
v r2
f ( ,) 2
（6）
它的数值即为单位时间内穿过 ( ,) 方向上的单位面积的
粒子数
因此穿过 dS 面积的粒子数是
dn
J r dS
v r2
f ( ,) 2 dS v f ( ,) 2 d N f ( ,) 2 d
• 与（3）比较，可得