空间向量的直角坐标及其运算

课 题：9 6

空间向量的直角坐标及其运算 (一)

教学目的：

⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律；

3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；

4.会用中点坐标公式解决有关问题

教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：空间向量的坐标的确定及运算 内容分析：

本节有两个知识点：向量和点的直角坐标及向量的坐标运算、夹角和距离公式这一小节，我们在直角坐标系下，使向量运算完全坐标化去掉基底，使空间一个向量对应一个三维数组，这样使向量运算更加方便在上一小节已学习向量运算的基础上，把向量运算完全坐标化，对学生已不会感到抽象和困难在第2个知识点中，我们给出空间解析几何两个最基本的公式：夹角和距离公式在这个知识点中，作为向量坐标计算的例题，还顺便证明了直线与平面垂直的“性质定理”通过解一些立体几何的应用题，就可为学生今后进一步学习空间解析几何、高维向量和矩阵打下基础

要求学生理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算，掌握两点的距离公式垂直于平面的性质定理 教学过程：

一、复习引入：

平面向量的坐标表示

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a

，由平面向量基本

定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得j y i x a

+=

把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =

其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a

在y 轴上的坐

标， 特别地，)0,1(=i

，)1,0(=j ，0,0(0=

2．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =

，),(22y x b = ，

则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=

若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=

3．a ∥b (b

≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0

4平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a

⋅

设i 是x 轴上的单位向量，j

是y 轴上的单位向量，那么

j y i x a

11+=，j y i x b 22+=

所以))((2211j y i x j y i x b a

++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=

又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i

所以b a

⋅2121y y x x +=

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 5.平面内两点间的距离公式

（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=

或||a =

（2）如果表示向量a

的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么

221221)()(||y y x x a -+-=

(平面内两点间的距离公式)

6.向量垂直的判定

设),(11y x a =

，),(22y x b = ，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x

7.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）

cos ＜a ,b ＞= co s θ=||||b a b

a

⋅⋅

8．空间向量的基本定理：若{,,}a b c 是空间的一个基底，p

是空间任意一向量，存在唯一的实数

组,,x y z 使p xa yb zc =++

． 二、讲解新课：

1 空间直角坐标系：

（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，

这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k

表示；

A （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k

，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、

z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系

O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k

都叫坐标向量．通过每两

个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，

zOx 平面；

（3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=

（或

45 ），90yOz ∠= ；

（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立标系

2．空间直角坐标系中的坐标：

如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k

则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++

有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a

在空间直角坐标系O xyz -

中的坐标，记作123(,,)a a a a =

．

在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一

的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++

，有序实

数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．

3．空间向量的直角坐标运算律：

（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =

， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++

， 112233(,,)a b a b a b a b -=---

， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈

， 112233a b a b a b a b ⋅=++

，

112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈

，

1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=

．

（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则212121(,,)AB x x y y z z =---

．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 三、讲解范例：

例1 已知(2,3,5)a =- ，(3,1,4)b =--

，求a b + ，a b - ，

||a

，8a ，a b ⋅ ．

解：(2,3,5)(3,1,

4)(1,2,1

)a b +=-+--=--

， (2,3,5)(3,1,4)(5,4,9)a b -=----=-

，

||a =

88(2,3,5)(16,24,40)a =-=-

， (2,3,5)(3,1,4)29a b ⋅=-⋅--=-

．

例2．求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点解：∵(2,3,1)A --在xOy 平面上的射影(2,3,0)C -，