微元法及定积分的几何应用PPT课件
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应用高等数学第3章3.2.3 定积分的应用21页PPT
6
取x为积分变量，在 x[0,6]上任 取一子区间[x, xdx]，当dx很小时， 在该微区间上阀门所受水的微压力是：
dF2gxydx29.8103x(1x3)dx
6
从而所求的压力为
F069.8103(1 3x26x)dx9.810391x33x260 8.23105N
一、微元法的基本思想
如图所示的曲边梯形的面积A是定积分
A
42(y4)y22
dx
-2
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
(
y2
4y
y3 4 )
2
6
2
18
a b 例4
求椭圆
x2 a2
by22
1,(a0,b0) 的面积．
解：如图，先求出椭圆在第一象限内的面积 A1 ，
它是由 yb a2 x2, x0,a与x轴、y轴所围
根据微分的定义有 f(x)dxdA，从而得到曲边梯形的
面积
b
b
AAadAaf(x)dx
一、微元法的基本思想
因此求曲边梯形面积A的方法是：
第一步，在[a，b]上任取一形式子区间[x，x+dx]
（其中dx为x的微元，即无限细分），并求出面
积A的微分dA=f(x)dx，即面积微元；
第二步，以微分表达式f(x)dx为被积表达式，在[a，
成的面积.
a
A1
ab 0a
a2 x2dx
令 x asint, x 0, a,
则 t arcsin x ,
a
dxacostdt.
A1
ab 0a
a2x2dx π 2b
0a
a2a2sin2tacostdt
取x为积分变量，在 x[0,6]上任 取一子区间[x, xdx]，当dx很小时， 在该微区间上阀门所受水的微压力是：
dF2gxydx29.8103x(1x3)dx
6
从而所求的压力为
F069.8103(1 3x26x)dx9.810391x33x260 8.23105N
一、微元法的基本思想
如图所示的曲边梯形的面积A是定积分
A
42(y4)y22
dx
-2
y2 = 2x
(2,-2) A
B (8,4) y = x-4
x
(
y2
4y
y3 4 )
2
6
2
18
a b 例4
求椭圆
x2 a2
by22
1,(a0,b0) 的面积．
解：如图，先求出椭圆在第一象限内的面积 A1 ，
它是由 yb a2 x2, x0,a与x轴、y轴所围
根据微分的定义有 f(x)dxdA，从而得到曲边梯形的
面积
b
b
AAadAaf(x)dx
一、微元法的基本思想
因此求曲边梯形面积A的方法是：
第一步，在[a，b]上任取一形式子区间[x，x+dx]
（其中dx为x的微元，即无限细分），并求出面
积A的微分dA=f(x)dx，即面积微元；
第二步，以微分表达式f(x)dx为被积表达式，在[a，
成的面积.
a
A1
ab 0a
a2 x2dx
令 x asint, x 0, a,
则 t arcsin x ,
a
dxacostdt.
A1
ab 0a
a2x2dx π 2b
0a
a2a2sin2tacostdt
微元法及定积分的几何应用
y
y f (x)
dV [ f ( x)]2 dx
旋转体的体积为 o
V b [ f (x)]2 dx a
a
x
x dx
bx
A( x) [ f ( x)]2
例1 连接坐标原点 O 及点P(h, r )的直线、直线
x h及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴
旋转构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体，
3
O
ax
类似地, 如果旋转体是由连续曲线 x ( y)、
直线 y c 、y d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴
旋转一周而成的立体，体积为 y
dd x ( y)
o
c
x
例3 求由抛物线 y 2 x2 ,直线 x 1及 x 轴所围 图形,绕 x 轴及 y 轴旋转而成的旋转体的体积.
o a xi1 i xi b x
Ai ：第i个小曲边梯形面积
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0
i 1
f (i ) xi
1、分割： [a,b] 分成n个小区间
[xi1, xi ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A n Ai i 1
2、平行截面面积为已知的立体的体积
一个立体,夹在平面x a 和x b 之间,被垂直于 x 轴的平面所截的截面积为 A( x) ,则该立体的体积为
A(x)
a
x x+d
x
bx
例1 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心, 并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 建立坐标系如图,
第十讲 微元法思想与定积分应用
y
y f2(x)
oa
A
A
y f1( x)
b xoa
bx
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
极坐标情形
r ( )
d
r 1( )
r 2( )
o
x
o
x
A 1 [ ( )]2 d 2
A
123
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
133
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
143
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
分、粗、和、精 ２．定积分的思想和方法：
分割 求和 取极限
化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
积零为整
dx的乘积，就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记作
dU ，即dU f ( x)dx ；
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b ，
即为所求量U ．
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f (x)
y f (x)
y
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
《定积分的微元法》课件
2 缺点
微元法在处理复杂曲线时可能过于繁琐，需要进行大量的计算。
定积分的性质1：可加性
定积分具有可加性，即对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，如果区间[a, b]可以分解为无穷个不相交的子区间[a, c] 和[c, b]，则有∫[a, b] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx + ∫[c, b] f(x)dx。
微元法的具体步骤
1. 将曲线划分为无穷多个微小区间。 2. 选择一个微小区间，确定微小区间的宽度和高度。 3. 计算微小区间的面积。 4. 将所有微小区间的面积相加，得到曲线下的总面积。
微元法求解示例1
以求解曲线y=x^2在区间[0, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后 计算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
微元法的引入
微元法是一种使用微小的元素来近似计算整体问题的方法。在定积分中，微 元法采用微小的矩形来近似曲线下的面积，从而实现定积分的计算。
微元法的思路
微元法的核心思路是将整体问题分解为无穷多个微小的部分，并通过对每个 微小部分进行计算来得到整体的结果。在定积分中，我们将曲线划分为无穷 多的微小矩形，并计算每个矩形的面积。
微元法求解示例2
以求解曲线y=sin(x)在区间[0, π]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区 间，每个区间的宽度为dx。然后计算每个微小区间的面积，并将其相加得到 总面积。
微元法求解示例3
以求解曲线y=1/x在区间[1, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后计 算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
三角函数积分
三角函数积分是一类涉及三角函数的积分计算。常见的三角函数积分包括正弦、余弦、正切等函数的积分，通 过应用特定的积分公式可以简化计算。
微元法在处理复杂曲线时可能过于繁琐，需要进行大量的计算。
定积分的性质1：可加性
定积分具有可加性，即对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，如果区间[a, b]可以分解为无穷个不相交的子区间[a, c] 和[c, b]，则有∫[a, b] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx + ∫[c, b] f(x)dx。
微元法的具体步骤
1. 将曲线划分为无穷多个微小区间。 2. 选择一个微小区间，确定微小区间的宽度和高度。 3. 计算微小区间的面积。 4. 将所有微小区间的面积相加，得到曲线下的总面积。
微元法求解示例1
以求解曲线y=x^2在区间[0, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后 计算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
微元法的引入
微元法是一种使用微小的元素来近似计算整体问题的方法。在定积分中，微 元法采用微小的矩形来近似曲线下的面积，从而实现定积分的计算。
微元法的思路
微元法的核心思路是将整体问题分解为无穷多个微小的部分，并通过对每个 微小部分进行计算来得到整体的结果。在定积分中，我们将曲线划分为无穷 多的微小矩形，并计算每个矩形的面积。
微元法求解示例2
以求解曲线y=sin(x)在区间[0, π]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区 间，每个区间的宽度为dx。然后计算每个微小区间的面积，并将其相加得到 总面积。
微元法求解示例3
以求解曲线y=1/x在区间[1, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后计 算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
三角函数积分
三角函数积分是一类涉及三角函数的积分计算。常见的三角函数积分包括正弦、余弦、正切等函数的积分，通 过应用特定的积分公式可以简化计算。
高等数学(第三版)课件：定积分的应用
线 y f ( x，) 直线 x a, x b (a b) 与
• x 轴围成的面积是在x 轴上方和下方曲边梯形
面积的差.
• • 同样可由微元法分析
•⒉ 一般地，根据微元法由曲线 y f ( x), y g( x),
• ( f ( x) g( x)) 及直线x a, x b 所围的图形
• 面积.（右图所示）
• 解: 取 为积分变量,
•
面积微元为
d
A
1 2
(a )2
d
• 于是
A 2 1 (a )2d a 2 2
02
23
2 4 a 2 3
03
• 例5 计算双纽线 r 2 a2 cos2 (a 0)
•
所围成的平面图形的面积（下图所示）
• 解 因 r 2 0,故 的变化范围是 [ 3 , 5 ,]
• ⑴分割区间[a,b],将所求量(曲边梯形面积 A )
分为部分量(小曲边梯形面积 Ai）之和;
• ⑵确定各部分量的近似值(小矩形面积);
Ai f (i )xi
• ⑶求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);
n
A f (i )xi
i 1
• ⑷对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.
n
A lim 0
• 它表示高为f ( x) 、底为 dx 的一个矩形面积.
• ⑵由定积分几何意义可知,当 f (x) 0 时,由曲
线 y f (x)，直线 x a, x b (a b) 与 x 轴所围成
的曲边梯形的面积A为
A
b
f (x)dx
.
a
• ⑶当 f ( x)在区间 [a, b]上的值有正有负时，则曲
•
第五讲定积分的微元法定积分在几何中的应用(一).
第五讲 定积分的微元法 定积分在几何中的应用(一)一、定积分的微元法由引入定积分概念的两个实例不难看出， 可用定积分所求的量 A 具有以下 三个特点：1、量A 是分布在区间［a,b ］上的整体量，即A 与区间［a,b ］有关，在［a,b ］上连续分布。
3、量A 在区间［a,b ］上的分布是非均匀的。
现在来讨论如何用定积分解决一些实际问题。
复习求曲边梯形面积的方法，给出微元法的概念。
设f(x)在区间［a,b ］上连续，且f(x) 0，求以曲线取近 似 计算每 个小 区 间 上 面 积 A i 的 近 似 值 A if( i ) x i2、量A 具有可加性，即整体量等与部分量的和:nA i ；i1f (X )为曲边的［a,b ］上的曲边梯形的面积A .把这个面积A 表示为定积分A a bf (x)dx，求面积A 的思路是“分割、 取近似、求和、取极限”即: 1、分割 将［a,b ］分成n 个小区间，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,其面积记作 A(i 1,2,,n),则 A A ；i12、(x i 1ix n ) ；3、求和求和得A 的近似值A nf( i )i1x i ；4、 n取极限 取极限得 A limi1f( i ) x ibf(x)dx ．为了以后使用方便，可把上述四步概括为下面两步， 设所求量为A ，区间yA 「为[a,b],1、无限细分，化整为零A f x dx ;2、连续求和，积零为整xbbbdA dA x d f x dx f x dx ， A dA dA x faaaa由此不难看出，f x dx 实际上就是量A 在点x 出的微分，将dA f x dx 称为量A 的微元，上述方法称为微元分析法，简称为微元法。
二、定积分在几何中的应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系下面积的计算在dx 0时，将A 从a 到b 连续求和，则有：A f(x)dx. y n由于A 与区间［a,b ］有关，且在［a,b ］上连续分布,上限函数的定义则有：A x f x dx ，从而， x有积分axb X1、当平面图形是由曲线f(x)及直线xb 、y 0所围成时;bb细分区间［a,b ］，从中任取一小区间［x,x dx ］(dx x )，并求出相应于这个小区间的部分量a oA 的近似值///Jx X dx b Xx dx ；xxxf x dxd f x dx f x dxacbf x dx .d2、当平面图形是由曲线 伞yy iX 、y 2 f 2 x 及直线x a 、x b 所围成时;yy i f i xy 2 To xb x若y i y 2时，则有：A f 2 xf i xdxb bf 2 x dxf i aax dx般地,f 2 xf l x dxacf i x af 2 xd dxcf 2 bxf i x dxdf i x f 2 x dx3、当平面图形是由曲线 X i f i y 、 X 2 f 2 y 及直线yd 所围成时;d则：A 2 y 1 y dy .cx 例1、计算由两条抛物线y 2x例2、计算抛物线y22x与圆x2寸8所围平面图形的面积。
高等数学(第二版)上册课件：定积分的几何应用
定积分的几何应用
预备知识：定积分定义的四个步骤，即分割、近似、
求和、取极限；直角坐标与极坐标下常见曲线的图形，
例如椭圆 x2
a2
y2 b2
1，阿基米德螺线
a a 0 等.
5.6.1 定积分的微元法 5.6.2 平面图形的面积 5.6.3 旋转体的体积
5.6.4 平面截面面积已知的立体体积
本节课我们来研究定积分在几何上的应用.首先 来介绍一种分析方法.
围成，其中 f (x) g(x) (a x b) ，我们来求它的面积 A
取 x 为积分变量，它的 .
变化区间为 a,b ，我们 在 a,b 上任取一小区间
.
x, x dx
与这个小区间对应窄边形的面积 A 近似地等于高为
f (x) g(x) ，底为 dx 的窄矩形的面积，从而得到面积微元：
dA f (x) g(x)dx
0
2
(cos
x
sin
x)dx
4
(sin x cos x) 4 (sin x cos x) 2
0
4
.
2( 2 1).
.
2. 极坐标情形
有些平面图形，尤其是旋转曲线所包围的图形，
用极坐标来计算比较简单.
设曲边扇形是由曲线
及射线
所围成的图形. 该图形的面积同样也可以用微元法分析，
其面积元素为
dA 1 2 d
2 以此作定积分，得所求曲边扇形的面积公式为：
A
1 2
2
d
例5.6.4 计算阿基米德螺线 a a 0 上相应于
从 变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
分析：先求任取一小区间 , d 的窄曲边扇形的面积.
解 由上面分析，易得面积元素
预备知识：定积分定义的四个步骤，即分割、近似、
求和、取极限；直角坐标与极坐标下常见曲线的图形，
例如椭圆 x2
a2
y2 b2
1，阿基米德螺线
a a 0 等.
5.6.1 定积分的微元法 5.6.2 平面图形的面积 5.6.3 旋转体的体积
5.6.4 平面截面面积已知的立体体积
本节课我们来研究定积分在几何上的应用.首先 来介绍一种分析方法.
围成，其中 f (x) g(x) (a x b) ，我们来求它的面积 A
取 x 为积分变量，它的 .
变化区间为 a,b ，我们 在 a,b 上任取一小区间
.
x, x dx
与这个小区间对应窄边形的面积 A 近似地等于高为
f (x) g(x) ，底为 dx 的窄矩形的面积，从而得到面积微元：
dA f (x) g(x)dx
0
2
(cos
x
sin
x)dx
4
(sin x cos x) 4 (sin x cos x) 2
0
4
.
2( 2 1).
.
2. 极坐标情形
有些平面图形，尤其是旋转曲线所包围的图形，
用极坐标来计算比较简单.
设曲边扇形是由曲线
及射线
所围成的图形. 该图形的面积同样也可以用微元法分析，
其面积元素为
dA 1 2 d
2 以此作定积分，得所求曲边扇形的面积公式为：
A
1 2
2
d
例5.6.4 计算阿基米德螺线 a a 0 上相应于
从 变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
分析：先求任取一小区间 , d 的窄曲边扇形的面积.
解 由上面分析，易得面积元素
定积分的应用之微元法PPT课件
x2
1 3
x3
1
1 3.
0
9
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
A(x) bx
17
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
2
2
2
x3 y3 a3
18
2
2
解出 y2 (a3 x3 )3 ，于是所求体积为
s b 1 y'2dx b 1 f '(x)2dx.
a
a
20
y
B
y
ds N
Vy
AM T
dx Q dy
O a x x dy b x
-a O
ax
若曲线由参数方程
x (t),
y
(t)
( t )给出，这时弧长微元为
于是所求弧长为
ds (dx)2 (dy)2 '(x)2 '(x)2 dt.
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
1 3
x3
1
1 3.
0
9
例 2 求 y2 2x及y x 4 所围成图形面积.
解 作图（如下图） y
y+dy4
B
y
O
x
-2 A
求出交点坐标为A(2,2), B(8,4) . 观察图得知，宜取
y 为积分变量， y 变化范围为[–2，4]（考虑一下，若
取 x 为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处），
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
A(x) bx
17
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
2
2
2
x3 y3 a3
18
2
2
解出 y2 (a3 x3 )3 ，于是所求体积为
s b 1 y'2dx b 1 f '(x)2dx.
a
a
20
y
B
y
ds N
Vy
AM T
dx Q dy
O a x x dy b x
-a O
ax
若曲线由参数方程
x (t),
y
(t)
( t )给出，这时弧长微元为
于是所求弧长为
ds (dx)2 (dy)2 '(x)2 '(x)2 dt.
定积分的应用
一、 定积分应用的微元法 二、用定积分求平面图形的面积 三、用定积分求体积 四、平面曲线的弧长
微元法及定积分的几何应用
定积分的定义
定义
定积分是积分区间[a,b]上，由函数f(x)与x轴围成的曲边梯形的面积，记作 ∫baf(x)dx。
几何意义
定积分的值等于积分区间[a,b]上曲线y=f(x)与直线x=a、x=b以及x轴所围成的 平面图形的面积。
定积分的性质
线性性质
∫baf(x)dx+∫baf(x)dx=∫baf( x)+f(x)dx
微元法可以用于分析流体动力学 问题，例如计算流体流动的速度 场和压力场。
感谢您的观看
THANKS
微元法的计算方法
01
微元法的计算步骤包括：选取微元、确定微元的几何意义、建 立微元的数学模型、进行微元分析、求和得到整体解。
02
在选取微元时，需要保证微元的几何意义明确，数学模型简单，
便于分析和计算。
在进行微元分析时，可以采用积分的方法，将无穷多个微元的
03
值相加得到整体解。
02
定积分பைடு நூலகம்基本概念
定积分在微元法中的应用
解决实际问题
数学建模
定积分的应用范围非常广泛，可以用于解决 各种实际问题，如计算变速直线运动的位移、 求解变力做功等问题。
定积分在数学建模中也有广泛应用，如通过 定积分建立描述自然现象和社会现象的数学 模型。
05
微元法及定积分的实际应用
在物理学中的应用
计算曲线长度
在物理学中，微元法常用于计算曲线或曲面的长 度，例如行星轨道、磁场线等。
区间可加性
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫baf( x)dx，c∈(a,b)
积分中值定理
若f(x)在[a,b]上连续，则存在 一点ξ∈[a,b]，使得 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)
《定积分的微元法》课件
THANK YOU
感谢各位观看
稳定性
对于某些函数，微元法的计算可能不稳定，而数值积分方法通常具 有较好的稳定性。
与解析积分的比较
适用范围
解析积分方法适用于可以找到原函数的积分 ，而微元法适用于无法找到原函数的积分。
计算复杂度
解析积分方法通常需要找到原函数，这可能涉及到 复杂的数学运算，而微元法的计算相对简单。
精度
对于可以找到原函数的积分，解析积分方法 通常给出精确解，而微元法可能只给出近似 解。
计算体积
总结词
利用微元法，可以将定积分转化为求 和的形式，从而计算出旋转体体积。
详细描述
在计算旋转体体积时，首先将旋转体 进行分割，每个小区域近似为一个圆 柱体。然后，根据微元法的思想，将 每个小圆柱体的体积乘以相应的函数 值，并求和得到总体积。
计算长度
总结词
通过微元法，可以将定积分转化为求和的形式，从而计算出曲线长度。
解决物理、工程等领域中的复杂问题，如电磁场 、流体动力学等。
微元法的计算步骤
确定积分区间和被积函数。
将所有小区间的贡献相加，得到整体的 解。
将每个小区间的代表点上的函数值乘以 小区间的长度$Delta x$，得到该小区间 的贡献。
将积分区间划分为若干个小区间，每个 小区间的长度为$Delta x$。
定积分的几何意义
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积 。
02
当函数图像在x轴上方时，定积分 为正；在x轴下方时，定积分为负 ；与x轴相交时，定积分为零。
02
微元法的基本思想
微元法的概念
微元法是一种将复杂问题简化的数学方法，通过将整体划分 为若干个微小的单元，对每个单元进行单独处理，再求和得 到整体解。
高等数学PPT课件：定积分的微元法(元素法)
2.极坐标下平面图形的面积
平面曲线 r r( ) (极坐标方程)
+ d
射线 , ( )
所围曲边扇形面积A.
曲 边
面积元素 dA 1[r( )]2d
2
扇 形
r r( )
d
A
1[r 2
(
)]2
d
.
O
x
16
定积分在几何学上的应用
例 8 求心形线r a(1 + cos )
A
1[r 2
A( x)
Oa
x•
b
x
x x + dx
采用元素法 体积元素 dV A( x)dx
立体体积 V b A( x)dx. a
25
定积分在几何学上的应用
V abA( x)dx
例5 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,
并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所得
立体的体积.
解 底圆方程 x2 + y2 R2
圆柱
圆锥
圆台
18
定积分在几何学上的应用
(1) 连续曲线 y f ( x),
直线 x a, x b 及 x 轴所围曲边梯形
绕x 轴旋转一周，旋转体体积？
采用元素法
y
y f (x)
积分变量 x, x [a,b],
[x, x + dx][a,b],
O
a x x + dx b
x
以dx 为底，小曲边梯形绕 x 轴旋转成薄片
t
y
b
O
ax
作变量代换, x a cos t, dx a sintdt
当x 0时,t ;当x a时, t 0.
A
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体积元素:
dV[f(x)2]dx
y
y f(x)
旋转体的体积为 o
V b[f(x)]2dx a
a
x
xdx
bx
A(x)[f(x)2]
例1 连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线
xh及x轴围成一个直角三角形． 将它绕x轴
旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，
计算圆锥体的体积． y
P
解 直线OP的方程为
Ai
o a xi
1
i
xi
bx
A i ：第i个小曲边梯形面积
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0 i1
f (i )xi
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
[ x i 1 , x i ] xi xi xi1
1、选变量
．
第二步： 写出U 在任一小区间 [x,xdx] 上的微元
dUf(x)dx
2、求微元
第三步： 以所求量U 的微元 f (x)dx 为被积表达式，
b
写出在区间 [ a , b ] 上的定积分，得 Ua f (x)dx
3、列积分
上述方法称为微元法或元素法，也称为微元分析法．
二. 平面图形的面积
yf(x)
Ai
o a xi
1
i
xi
bx
A
o a x x+dxb x
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间 [x, xdx] 区间长度：dx
[ x i 1 , x i ] xi xi n xi1
曲边梯形面积：A Ai
面积总量：AA
i1
2、近 似A i 代替f (：i)任取xi i [xi1, xi] n
[ x i 1 , x i ] xi xi n xi1
曲边梯形面积：A Ai
i1
2、近 似A i 代替f (：i)任取xi i [xi1, xi] n
3、求和：A f (i )xi
i1
n
4、取极限：Alim 0 i1
f (i)xi
y
yf(x)
[x, xdx] 区间长度：dx
面积总量：AA
y
3、求和：A f (i )xi
i1
n
4、取极限：Alim 0 i1
f (i)xi
y
取i x A f (x)dx
dA
面 积
微
元
Af(x)dx
Alimf(x)dx
b
f (x)dx
a
y
yf(x)
yf(x)
通过寻找部分量的近似值
Ai
（A的微元）来构造定积分 的方法
A
o a xi
1
i
xi
bx
o a x x+dxb x
面图形的面积:
y
y f (x)
b
A a f (x) dx
y g(x)
ao
xxdx
b
x
面积微元: dA [f(x)g(x)]dx,
b
A a f (x)dx.
例1 计 算 由 两 条 抛 物 线 y2x和 yx2所 围 成 的
图 形 的 面 积 .
y
解 先求两曲线的交点
y2 x
(0,0) (1,1)
a
n
lim 0 i1
f (i )xi
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
[ x i 1 , x i ] xi xi xi1
2、近似代替：
3、求和： 4、取极限：
y
yf(x)
o a xi1 xi b x
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0 i1
f (i )xi
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
1．直角坐标系下平面图形的面积
(1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b
(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积
y
面积微元: Alim f(x)dx
y f(x)
b
面积 A f (x) dx a
a o xxdx b x
(2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (a<b)所围成的平
曲边梯形面积： A
n
Ai
i1
2、近似代替： 任取i [xi1,xi]
A i f (i)xi
y
yf(x)
n
3、求和：A f (i )xi i1
n
4、取极限：Alim 0 i1
f (i)xi
Ai
o a xi
1
i
xi
bx
A i ：第i个小曲边梯形面积
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
进一步推广 所求量为U，满足下列3个条件：
（1）所求量U与变量 x 的变化区间 [a,b] 有关；
（2）所求量U关于区间具有可加性；
（3）部分量 U 能表示成 f ( x )d x 的形式
用定积分微元法计算某个量U的步骤
第一步： 根据问题的具体情况，选取一个 积分变量（如 x ），
并确定积分区间 [ a , b ] ;
y x2
选x为积分变量, x[0,1]
o
x
1
A ( 0
xx2)dx
(2 3
3
x2
x3 3
)1 0
1 3
.
三. 旋转体 的体积 一 般 地 , 如 果 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 yf(x)、 直 线 xa、 xb及 x轴 所 围 成 的 曲 边 梯 形 绕 x
轴 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 ， 体 积 为 多 少 ？
y r x
o
h
r
hx
V
hr (
x)2
dx
1 r2h .
0h
3
( 3 ) 由 曲 线 x ( y ) 0 、 直 线 y c , y d ( c d )
及y轴围成的平面图形的面积为
A
d
( y) dy .
y
c
d
y dy
y
x (y)
f (i )xi
1、分割： [ a , b ] 分成n个小区间
[ x i 1 , x i ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A
n
Ai
i1
2、近似代替： 任取i [xi1,xi]
A i f (i)xi
n
n
3、求和：A Ai f (i ) xi
i1
i 1
4、取极限：
y
yf(x)
[ x i 1 , x i ] xi xi xi1
曲边梯形面积： A
n
Ai
i1
2、近似代替： 任取i [xi1,xi]
A i f (i)xi
y
yf(x)
3、求和：Ai来自4、取极限：o a xi
1
i
xi
bx
A i ：第i个小曲边梯形面积
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx
a
n
lim 0 i1
6.5 定积分的几何应用
b
a f (x)dx
利用定积分解决实际问题的关键： 建立定积分的式子， 即 找出被积函数和积分区间。 建立定积分式子的方法： 微元法（又称元素法）
定积分微元法的实质： 对能够用定积分解决的实际问题，寻找其被积函数和积 分区间的方法。
定积分的定义表达式：
b
f (x)dx