哈尔滨师大附中(2018级)2021届高三上学期10月月考理科数学试卷及答案
新编黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第一次月考理科数学试卷(含答案)
在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a,b, c ，已知 c ba
(1) 求角 B 的大小；
sin A sin B . sin A sin C
(2)若 b 2 2 ， a c 3 ，求 ABC 的面积 .
18. （本题满分 12 分）
已知函数 f ( x) sin 2 x
(2) 若函数 f x 有两个零点 x1, x2 ，证明： 1
1 2.
ln x1 ln x2
请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号
.
22. ( 本题满分 10 分 ) 选修 4-4: 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
20xx- 度高三学年上学期第一次月考
数学试题 ( 理科 )
考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 )
1. 已知集合 A x x 1 ， B x 3x 1 ，则
A. A B { x | x 0}
A.(0,1)
B.(0,2)
C.( ,1)
D .( ,1]
11. 已知 f ( x) x ln x aex （ e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数
a 的取值范围是
1 A.(0, )
e 12. 已知函数 f x
B.(0, e)
a
xln x
3, g x
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 C .( , e)
e x 3 x 2 ，若 x1 , x2
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二10月月考数学(含答案)
哈师大附中2021级高二学年上学期10月月考数学科试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量，，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，∴+＝（3，5，4），则＝＝5，故选：C．2．焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为6的椭圆方程为（）A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1【解答】解：因为焦点坐标为（0，﹣4），（0，4），且长半轴长为6，所以c＝4，a＝6，所以b2＝a2﹣c2＝62﹣42＝20，所以椭圆的方程为+＝1，故选：D．3．若直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，﹣1），平面α的一个法向量为＝（﹣2，4，2），则（）A．l⊂αB．l∥αC．l⊥αD．l∥α或l⊂α【解答】解：根据题意，直线l的一个方向向量为＝（1，﹣2，﹣1），平面α的一个法向量为＝（﹣2，4，2），则有＝﹣2，故l⊥α，故选：C．4．已知圆C1的圆心在x轴上，半径为1，且过点（2，﹣1），圆C2：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝10，则圆C1，C2的公共弦长为（）A．B．C．D．2【解答】解：设圆C1的方程为（x﹣a）2+y2＝1，代入点（2，﹣1）的坐标得（2﹣a）2+1＝1，解得a＝2，故圆C1的方程为（x﹣2）2+y2＝1，化为一般方程为x2+y2﹣4x+3＝0，圆C2的一般方程为x2+y2﹣8x﹣4y+10＝0，两圆方程作差得4x+4y﹣7＝0，点C1（2，0）到直线4x+4y﹣7＝0的距离为：d＝＝＝，则圆C1，C2的公共弦长为2＝．故选：A．5．圆x2+（y﹣2）2＝4与圆：x2+2mx+y2+m2﹣1＝0至少有三条公切线，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣] B．[5，+∞）C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：根据题意，圆：x2+2mx+y2+m2﹣1＝0，即（x+m）2+y2＝1，其圆心为（﹣m，0），半径r ＝1，圆x2+（y﹣2）2＝4，其圆心为（0，2），半径R＝2，若两圆至少有三条公切线，则两圆外切或外离，则有≥2+1，解可得：m≥或m≤﹣，则m的取值范围为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞），故选：D．6．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若C上存在无数个点P，满足：∠F1PF2＞，则的取值范围为（）A．（0，）B．（，1）C．（，1）D．（0，）【解答】解：因为椭圆C上存在无数个点P，满足∠F1PF2＞，所以以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点，所以c＞b，故选：D．7．已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，直线l：（3﹣2t）x+（t﹣1）y+2t﹣1＝0恒过定点A．若一条光线从点A射出，经直线x﹣y﹣5＝0上一点M发射后到达圆C上的一点N，则|AM|+|MN|的最小值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：直线l可化为3x﹣y﹣1﹣t（2x﹣y﹣2）＝0令2x﹣y﹣2＝0，可得3x﹣y﹣1＝0，求得x＝﹣1，且y＝﹣4，所以，点A的坐标为（﹣1，﹣4）．设点A（﹣1，﹣4）关于直线x﹣y﹣5＝0的对称点为B（a，b），则由，求得，所以点B坐标为（1，﹣6）．由线段垂直平分线的性质可知，|AM|＝|BM|，所以，|AM|+|MN|＝|BM|+|MN|≥|BN|≥|BC|﹣r＝7﹣1＝6，（当且仅当B，M，N，C四点共线时等号成立），所以，|AM|+|MN|的最小值为6，故选：A．8．已知P是直线l：x+y﹣7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4相切，切点分别为A，B．则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：已知P是直线l：x+y﹣7＝0上任意一点，过点P作两条直线与圆C：（x+1）2+y2＝4相切，切点分别为A，B，圆C是以C（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆，由题可知，当∠ACP最小时，|AB|的值最小，，当|PC|取得最小值时，cos∠ACP最大，∠ACP最小，点C到直线l的距离，故当时，cos∠ACP最大，且最大值为，此时，则．故选：A．9．如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切．一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆．则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，BF＝1，BO＝2，，则，∴OD＝2，即a＝2，而2b＝2，即b＝1，所以，所以离心率，故选：B．10．已知圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7）和C2：（x﹣3）2+y2＝1，动圆M与圆C1，圆C2均相切，P是△MC1C2的内心，且，则a的值为（）A．9 B．11 C．17或19 D．19【解答】解：根据题意：圆C1：（x+3）2+y2＝a2（a＞7），其圆心C1（﹣3，0），半径R1＝a，圆C2：（x﹣3）2+y2＝1，其圆心C2（﹣3，0），半径R2＝1，又因为a＞7，所以圆心距|C1C2|＝6＜R1+R2＝a+1，所以圆C2内含于圆C1，如图1，因为动圆M与圆C1，圆C2均相切，设圆M的半径为r，分2种情况讨论：①动圆M与圆C1内切，与圆C2外切（r＜a），则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝1+r，所以C1M+C2M＝a+1，即M的轨迹为以C1，C2为焦点，长轴长为a+1的椭圆，因为P为△MC1C2的内心，设内切圆的半径为r0，又由，则有所以×C1M×r0+×C2M×r0＝3××C1C2×r0，所以C1M+C2M＝3C1C2，所以3C1C2＝18＝a+1，所以a＝17，②圆C2内切于动圆M，动圆M内切于圆C1，则有C1M＝R1﹣r＝a﹣r，C2M＝R2+r＝r﹣1，所以C1M+C2M＝a﹣1，同理可得：3C1C2＝18＝a﹣1，则有a＝19；综合可得：a＝17或19；故选：C．二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）11．已知椭圆的上下焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A1，A2，P是该椭圆上的动点，则下列结论正确的是（）A．该椭圆的长轴长为B．使△PF1F2为直角三角形的点P共有6个C．△PF1F2的面积的最大值为1D．若点P是异于A1、A2的点，则直线P A1与P A2的斜率的乘积等于﹣2【解答】解：椭圆的上下焦点分别为F1，F2，可得a＝，b＝1，c＝1，所以椭圆的长轴长为2，所以A不正确；△PF1F2为直角三角形的点P共有6个，所以B正确；△PF1F2的面积的最大值为＝bc＝1，所以C正确；设P（m，n），易知A1（﹣1，0），A2（1，0），所以直线P A，PB的斜率之积是：＝＝＝﹣2，故D正确，故选：BCD．（多选）12．设有一组圆，下列命题正确的是（）A．不论k如何变化，圆心∁k始终在一条直线上B．存在圆∁k经过点（3，0）C．存在定直线始终与圆∁k相切D．若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，则【解答】解：根据题意，圆，其圆心为（k，k），半径为2，依次分析选项：对于A，圆心为（k，k），其圆心在直线y＝x上，A正确；对于B，圆，将（3，0）代入圆的方程可得（3﹣k）2+（0﹣k）2＝4，化简得2k2﹣6k+5＝0，Δ＝36﹣40＝﹣4＜0，方程无解，所以不存在圆∁k经过点（3，0），B错误；对于C，存在直线，即或，圆心（k，k）到直线或的距离，这两条直线始终与圆∁k相切，C正确，对于D，若圆∁k上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆x2+y2＝1与圆∁k有两个交点，圆心距为，变形可得，解可得：或，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l1：3x+y＝4，l2：x﹣y＝0，l3：2x﹣3my＝4不能构成三角形，则m的取值集合是{﹣，，﹣}．【解答】解：根据题意，若直线l 1：3x +y ＝4，l2：x ﹣y＝0，l 3：2x﹣3my＝4不能构成三角形，有3种情况，①三条直线交于1点，，解可得，则点（1，1）在直线2x﹣3my＝4上，则有2﹣3m＝4，解可得m＝﹣，②l2∥l3，此时有（﹣1）×（﹣3m）＝3m＝2，解可得m＝，③l1∥l3，此时有3×（﹣3m）＝2，解可得m＝﹣，综合可得：m的取值集合为{﹣，，﹣}；故答案为：{﹣，，﹣}．14．过点P（2，2）作圆x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为x+y﹣2＝0．【解答】解：圆x2+y2＝4的圆心为C（0，0），半径为2，以P（2，2），C（0，0）为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，将两圆的方程相减可得公共弦AB的方程2x+2y＝4，即x+y﹣2＝0．故答案为：x+y﹣2＝0．15. 点P（﹣2，2）到直线（2+λ）x﹣（1+λ）y﹣2（3+2λ）＝0的距离的取值范围是______________.0d≤<16．经过坐标原点O且互相垂直的两条直线AC和BD与圆x2+y2﹣4x+2y﹣20＝0相交于A，C，B，D四点，有下列结论：①弦AC长度的最小值为；②线段BO长度的最大值为；③四边形ABCD面积的取值范围为．其中所有正确结论的序号为①③．【解答】解：由题设（x﹣2）2+（y+1）2＝25，则圆心（2，﹣1），半径r＝5，由圆的性质知：当圆心与直线AC距离最大为时AC长度的最小，此时，①正确；BO长度最大，则圆心与B，O共线且在它们中间，此时，②错误；，而，所以，令，则，当，即时，（S ABCD）max＝45，当t＝0或5，即或时，，所以，③正确．故答案为：①③．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题10分) 已知圆22:4670C x y x y+--+=，点(1,0)P.（1）过P做圆C的切线,求切线方程；（2）过P做直线与圆C交于,A B两点，且2AB=,求直线AB的方程解：（1）31)5y x--=-或31)5y x-+=-（2）1122y x=-或22y x=-+18.（本题12分）设过点(2,1)P作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于A、B两点，（1）当AOBS面积取最小值时，求直线l的方程（2）当||||PA PB⋅取得最小值时，求直线l的方程．解：（1）240x y+-=（2）30x y+-=19.（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为2，点12P（，在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程； （2）若圆222:(1)(0)M x y rr ++=>上的点都在椭圆内部，求r 的取值范围。
2021年师大二附中高三数学第一学期10月考包含答案
师大二附中2021届高三第一学期10月考数学试卷一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
（共10小题；共40分）1. 设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B2. 若35log log 33b ⋅=，则b =（ ） A. 6 B. 5C. 53D. 35【答案】D3. 已知∈，x y R ，且0x y >>，则（ ）A.110x y-> B. 0cosx cosy -<C. 11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()ln 0x y ->【答案】C4. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x =-，那么不等式1()2f x <的解集是（ ） A. 502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B. 302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. {3|02x x -<<或502x ⎫<<⎬⎭D. {3|2x x <-或502x ⎫≤<⎬⎭【答案】D 5. 已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A.15B.C.D.【答案】B6. 若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 取值范围为（ ）A. 01a <<B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<< 【答案】C 7. 函数1()f x x ax=+在(,1)-∞-上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. [1,)+∞ B. (,0)(0,1]-∞ C. (0,1] D. (,0)[1,)-∞⋃+∞【答案】D8. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数m ，n ，都有m n m n a a a +=，若n S a <恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A.14B.34C. 43D. 4【答案】A9. 函数32()f x ax x cx d =-++的图象如图所示，则有（ ）A. 0,0,0a c d ><>B. 0,0,0a c d <<>C. 0,0,0a c d <>>D. 0,0,0a c d >><【答案】C10. 已知函数()|lg |,,()()f x x a b f a f b =>=，且33a b m +>恒成立，那么m 的最大值等于（ ） A. 8 B. 3 C.3 D. 2【答案】D二、填空题（共5小题；共25分）11. 若集合{21}A x x =-<<，{}B x x a =≥，且{2}A B x x ⋃=>-，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】21a -<≤12. 设函数(),12,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩最小值为2，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)3,+∞13. 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若31a =，714S =，则5a =____________. 【答案】314. 已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间，则a 的取值范围是_______.【答案】2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭15. 已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_______.【答案】2(0,)e.三、解答题（共6小题；共85分）16. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）13n na =；（2）(1)2nn n b +=-. 17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+. （1）求A 的大小； （2）如果6cos 2B b ==，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2323+18. 函数cos2()2sin sin cos xf x x x x=++.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （3）求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程. 【答案】（1）,4x x k k Z ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭；（2）2；（3）最小正周期2T π=；对称轴方程为,4x k k Z ππ=+∈. 19. 已知函数()2()22xf x x x a e =-++，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[0,4]x ∈时，求函数()f x 的最小值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.20. 已知()sin f x x =，()ln g x x =，()21=--h x x ax .（1）若[]0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ； （2）对任意(]0,1x ∈都有()()()0+->f x eh x g x ，求整数a 的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.21. 已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列()*n N ∈，且110ab =>.（1）若33a b =，比较2a 与2b 的大小关系； （2）若2244,a b a b ==.①判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；②若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）. 【答案】（1）答案见解析；（2）是{}n a 中的第172项，理由见解析；（3）{1m m =或}*2,m n n N=∈.为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案
届高三数学（理）第一次月考模拟试卷及答案2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷及答案高考数学知识覆盖面广，我们可以通过多做数学模拟试卷来扩展知识面!以下是店铺为你整理的2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷，希望能帮到你。
2018届高三数学(理)第一次月考模拟试卷题目一、选择题(本题共12道小题，每小题5分，共60分)1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，则A∪(∁UB)=( )A.(0，+∞)B.(﹣∞，1)C.(﹣∞，2)D.(0，1)2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1，3}D.{1，4}3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC为锐角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.下列说法错误的是( )A.命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C.若p且q为假命题，则p、q均为假命题D.命题p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”5.已知0A.a2>2a>log2aB.2a>a2>log2aC.log2a>a2>2aD.2a>log2a>a26.函数y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，则 + 的最小值为( )A.3+2B.3+2C.7D.117.已知f(x)是定义在R上的偶函数，在[0，+∞)上是增函数，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，则( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a8.若函数y=f(x)对x∈R满足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]时，f(x)=1﹣x2，g(x)= ，则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间x∈[-5 ，11]内零点的个数为( ) A.8 B.10 C.12 D.149设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n 项和Sn的取值范围是( )A.[ ，2)B.[ ，2]C.[ ，1)D.[ ，1]10.如图所示，点P从点A处出发，按逆时针方向沿边长为a的正三角形ABC运动一周，O为ABC的中心，设点P走过的路程为x，△OAP的面积为f(x)(当A、O、P三点共线时，记面积为0)，则函数f(x)的图象大致为( )A . B.C. D.11.设函数f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，则下列叙述中，正确的序号是( )①对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上是单调函数;②对任意实数a，b，函数y=f(x)在R上都不是单调函数;③对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图象;④存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图象.A.①③B.②③C.①④D.③④12.已知函数，如在区间(1，+∞)上存在n(n≥2)个不同的数x1，x2，x3，…，xn，使得比值= =…= 成立，则n的取值集合是( )A.{2，3，4，5}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{2，3，4}第II卷(非选择题)二、填空题(本题共4道小题，每小题5分，共20分)13.命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .14.定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)= .15.设有两个命题，p：x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函数y=lg(ax2﹣x+a)的定义域为R.如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是 .16.在下列命题中①函数f(x)= 在定义域内为单调递减函数;②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x)，则f(x)一定为偶函数;③若f(x)为奇函数，则 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);④已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则a+b+c=0是f(x)有极值的充分不必要条件;⑤已知函数f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，则f(a)+f(b)>0.其中正确命题的序号为 (写出所有正确命题的序号).三、解答题(本题共7道小题,第1题12分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题10分,第7题10分,共70分)17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函数y=ln(x2﹣4)的定义域为B.(Ⅰ)求A∩B;(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求实数a的取值范围.18.已知关于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集为{x|1≤x≤b}.(1)求实数a，b的值;(2)解关于x的不等式： >0(c为常数).19.已知函数f(x)= 是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且f( )= .(1)确定函数f(x)的解析式;(2)证明f(x)在(﹣1，1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.20.已知关于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).(Ⅰ)解该不等式;(Ⅱ)定义区间(m，n)的长度为d=n﹣m，若a∈R，求该不等式解集表示的区间长度的最大值.21.设关于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的两根分别为α、β(α<β)，函数(1)证明f(x)在区间(α，β)上是增函数;(2)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.选做第22或23题，若两题均选做，只计第22题的分。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学(理)试题含答案
哈师大附中2018级高三上学期期中考试理科数学试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设集合{|24}xA x =≥，集合(){y |y lg 3}B x ==-，则AB =（ ）A ．[)1,2B ．(]1,2C ．[)2,+∞D ．()3+∞，2．若(12)2z i i -=+，则复数z =（ ） A ．1-B ．i -C ．1D ．i3．设1ln 2a =，lg3b =，121()5c -=则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 55. 下列命题错误的是（ ）A. 若平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =βα ，则 γ⊥l .B. 若平面⊥α平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面β.C. 若平面α不垂直于平面β，则平面 α 内一定不存在直线垂直于平面β.D. 若平面⊥α平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.11a b b a+++26．已知()1,2a =，()1,7b =-，2c a b =+，则c 在a 方向上的投影为（ ）A ．35B ．3210-C ．3210D 357．已知函数（，，）的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是（ ）A. 函数图象的对称轴方程为B. 函数的最大值为2C. 函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D. 若函数的两个不同零点分别为，，则最小值为8． 已知函数cbx ax x x f +++=2213)(23，函数)(x f 的两个极值点分别在区间与内，则b a 2+ 的取值范围为 （ ）A. ()1-,3-B. ()1-,2-C. ()+∞,1-D. ()+∞,3-9．如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB ．若点M 为PD 中点，则直线CM 与PB 所成角的大小为( )A.60°B.45°C.30°D.90°()cos()f x A x ωϕ=+0A >0>ω||2ϕπ<()()()g x f x f x '=+()g x ()g x 512x k π=π+()k ∈Z ()g x ()g x P P 31y x =-+()()2h x g x =+1x 2x 12x x -2π10．如图，在各小正方形边长为 1 的网格上依次为某几何体的正视图，侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为 （ ）A. 1+2π3B. 43+2π3C.2√33+√3π3 D. 2√33+√3π611.已知数列{}n a 满足11=a ，)(21*+∈=⋅N n a a n n n ，则=2015S （ ）A. 3-21008B. 3-21009C. 3-231007⨯D. 1-2201512．已知函数2()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有()()12f x f x M -≤成立.则M 的最小值为（ ）A．4B．2C．8D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的零点个数为______________.14.观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第______________项.15.在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=3，BC=4，PA=5，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为_______________．()|ln |2xf x e x =-16.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，22log ,02147,22()f x x x x x x ⎧<⎪⎨-+>=⎪⎩，若函数()(01)y f x a a =-<<有六个零点，分别记为123456,,,,,x x x x x x ，则123456x x x x x x +++++的取值范围是______________.三、解答题（本大题共有6小题，共计70分）17．（本小题10分）已知ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为 ,,a b c ，2cos 3A =,sin B C =（1）求 tan C 的值；（2）若a =ABC ∆的面积．18．（本小题12分）已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，令11-=n n a b .（1）证明：数列}{n b 是等差数列；（2）求数列}{n a 的通项公式．19．（本小题12分）设ABC ∆是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-ππ.（1）求角A 的值；（2）若12=⋅，72=a ，求b ，c （其中c b <）．20．（本小题12分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（1）求证：平面ACF ⊥平面ABCD ； （2）求证：FC ∥平面EAD ； （3）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值．21．（本小题12分）已知函数()f x 是奇函数，()f x 的定义域为(),+ -∞∞，当0x <时，()()ln ex f x x -=（e 为自然数的底数）（1）若函数()f x 在区间()1 a,a+ a>03⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值点，求实数a 的取值范围；（2）如果当x 1≥时，不等式1)(+≥x kx f 恒成立，求实数k 的范围。
黑龙江省哈尔滨师大附中2018-2019学年高二10月月考理科数学试卷Word版含解析
黑龙江省哈尔滨师大附中2018-2019学年高二10月月考理科数学试卷一、选择题：共12题1．到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是A.椭圆B.线段C.圆D.以上都不对【答案】B【解析】本题主要考查点的轨迹、椭圆的定义.由椭圆的定义可知，答案为B.2．椭圆的焦点在轴上，的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与焦点.由题意可得,求解可得3．命题“若”的逆否命题是A.若B.若C.若D.若【答案】D【解析】本题主要考查四种命题.由逆否命题的定义可知，答案为D4．椭圆的一个焦点为(0,2),则实数k的值为A.-1B.1C.D.【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的标准方程与焦点坐标.因为焦点为(0,2),所以焦点在y轴上，因此,所以k=1.5．设，则“a＝1”是“直线l 1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、两条直线的位置关系.当a=1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行成立；当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则a(a＋1)-2=0,所以a=1或-2，因此必要性不成立，故答案为A.6．若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是A.(x-3)2+(y-)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.(x-)2+(y-1)2=1/1【答案】B【解析】设圆心坐标为(a,b),则,又b>0,故b=1,由|4a-3|=5得a=2或a=-,又a>0,故a=2,所求圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1.(采用检验的方法也可以).7．已知为椭圆的左右焦点，点P在C上，，A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的定义、余弦定理，考查了计算能力.a=2，b=1，c=，由题意可得,则，,由余弦定理可得8．直线上的点到圆上的点的最近距离是A. B. C. D.1【答案】C【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，考查了转化思想与计算能力.由题意可知，圆上的点到直线的距离最小值，即为所求，即是圆心到直线的距离减去半径，圆心为(-2,1),半径为1，所以最近距离为9．已知正方体，是棱中点，则直线与直线所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查异面直线所成的角、空间向量的应用，考查了空间想象能力.以点D为原点，DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2，则,,则直线与直线所成角的余弦值为10．椭圆的左右焦点为，为椭圆上任一点，的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查椭圆的定义与基本不等式、余弦定理，考查了逻辑推理能力与计算能力.由题意可知，，由余弦定理可得，当点P是上下顶点时，最小，当P为左右顶点时，最大；所以，所以,所以的最小值为16.11．已知命题，命题恒成立.若为假命题，则实数m的取值范围为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要考查全称命题与特称命题、逻辑联结词，考查了逻辑推理能力.因为为假命题，所以至少有一个是假命题，命题，是真命题；命题恒成立，则,因为为假命题，所以12．倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若与共线，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查直线与椭圆的位置关系、平面向量的坐标表示与共线定理，考查了方程思想与计算能力.设A(x1,y1),B(x2,y2)，设直线方程为y=x+m，代入椭圆方程可得(b2+3a2)x2+2a2mx+a2m2-a2b2=0,x1+x2=,y1+y2=,因为与，所以3a2=4b2,求解可得，椭圆的离心率为二、填空题：共4题13．命题“，有”的否定是.【答案】【解析】本题主要考查全称命题与特称命题的否定.由特称命题否定的定义可知，答案为14．直线与圆相交于A、B两点，.【答案】【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距公式，考查了转化思想与计算能力.圆心(0,0)到直线的距离d=，所以15．椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率过的直线交椭圆于A，B两点，且△的周长为8,椭圆E的方程是.【答案】【解析】本题主要考查椭圆定义、方程与性质，考查了转化思想与计算能力.由离心率可得a=2c，则b=c，由题意，△的周长为8，则4a=8，a=2，所以b=，所以椭圆方程为16．倾斜角为的直线过离心率是的椭圆右焦点直线与交于两点，若= .【答案】【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线的倾斜角与斜率、平面向量的共线定理，考查了转化思想与计算能力.设椭圆的右准线l，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为A1、B1，过B作AA1的垂线，垂足为E，则|AA1|=, |BB1|=,由可得|AA1|=7|BB1|,所以cos∠BAE=,所以直线的斜率是，则=三、解答题：共6题17．已知是椭圆的左右顶点，是异于的椭圆上一点.(1)求到定点的最大值；(2)设的斜率为，求证：为定值.【答案】(1) 设到定点的距离为r，则x2+(y-1)2=r2,联立椭圆方程，消去x，得3y2+2y+r2-17=0,由题意可得0，求解可得,所以到定点的最大值是(2)由椭圆方程可得A(-4，0)，B(4,0),设P(m,n),则,,【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆、两条直线的位置关系直线的斜率公式，考查了转化思想与计算能力.(1)设到定点的距离为r，则x2+(y-1)2=r2,联立椭圆方程，消去x，根据题意，,求解可得结果；(2) 由椭圆方程可得A(-4，0)，B(4,0),设P(m,n),利用直线的斜率公式，结合椭圆方程化简，可得结论.18．直线与椭圆.(1)原点到的距离为，求出的关系；(2)若交于两点，且,求出的关系.【答案】(1)由点到直线的距离公式可得,化简可得(2)设A(x 1,y1),B(x2,y2),将代入椭圆可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则x1+x2=,x1x2=,y1y2=因为,所以x1x2+y1y2=0，化简可得【解析】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线的方程、点到直线的距离公式、平面向量的数量积与坐标表示，考查了方程思想与计算能力.(1)由点到直线的距离公式求解即可；(2)将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，化简求解即可.19．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,长轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)直线过点且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线的方程.【答案】(1)设，由长轴长为.可得a=，由椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形可得b=c=1，所以椭圆方程为(2)由题意可知直线l的斜率存在，则设斜率为k，则直线方程y=kx+2，代入椭圆方程可得(1+2k2)x2+8kx+6,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=，x1x2=，由弦长公式可得|AB|=,原点到直线l的距离d=,则ΔAOB面积S=|AB|·d=,当且仅当即k=时，等号成立，所以直线方程为或【解析】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、点到直线的距离公式与弦长公式、基本不等式，考查了方程思想、转化思想与计算能力.(1)由长轴与椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形求解即可；(2) 由题意可知直线l的斜率存在，则设斜率为k，则直线方程y=kx+2，代入椭圆方程，由韦达定理，结合弦长公式与点到直线的距离公式求解即可.20．如图，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,A=2,E、、F分别是棱AD、A、AB的中点。
哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-2． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）A ．24B ．80C ．64D ．2403． 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=4．函数的零点所在区间为（ ）A ．（3，4）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（0，1）5． 设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B = ð（ ） A.{}|12x x <≤ B.{}|21x x -≤< C. {}|21x x -≤≤ D. {}|22x x -≤≤ 【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.6． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信 息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为（ ）A ．20，2B ．24，4C ．25，2D ．25，47． 已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A B B = C ．()R A B ≠∅ ð D ．()R A B R = ð 8． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ） A ．2bsinAB ．2bcosAC ．2bsinBD ．2bcosB9． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 10．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n- B ．122n +- C ．21n - D ．121n +-11．已知1()21x f x =+，则331(log 2)(log )2f f +=（ ）A ．12B ．1C ．2D ．412．如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一 个红球的概率为 ．14．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分别是AC ，BD 的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.15．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.16．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1212||z z z +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。
高2021届高2018级北京师大二附中高三第一学期10月月考数学试题
师大二附高2021届高三10月考一、选择题(共10小题；共40分)1.设集合{03}M x x =<≤,{02}N x x =<≤那“a M ∈”“a N ∈”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若35log log 33b ⋅=,则b =( )A.6B.5C.53D.353.已知xy R ∈,且0x y >>,则( ) A.110x y -> B.cos cos 0x y -< C.11022x y⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.ln()0x y ->4.已知()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()2f x x =-,那么不等式1()2f x <的解集是() A.502x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B.302x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C.302x x ⎧-<<⎨⎩或502x ⎫<<⎬⎭ D.32x x ⎧<-⎨⎩或502x ⎫≤<⎬⎭5.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin2cos21αα=+,则sin α=( )A.156.若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1,)e 上存在零点,则常数a 的取值范围为( )A.01a <<B.11a e <<C.111a e -<< D.111a e +<<7.函数1()f x x ax =+在(,1)-∞-上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A.[1,)+∞B.(,0)(0,1]-∞⋃C.(0,1]D.(,0)[1,)-∞⋃+∞8.数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知115a =,且对任意正整数m ,n ,都有m n m n a a a +=,若n S a <恒成立,则实数a 的最小值为( ) A.14 B.34 C.43 D.49.函数32()f x ax x cx d =-++的图象如图所示,则有( )A.0,0,0a c d ><>B.0,0,0a c d <<>C.0,0,0a c d <>>D.0,0,0a c d >><10.已知函数()|lg |,,()()f x x a b f a f b =>=,且33a b m +>恒成立,那么m 的最大值等于( )A.8B. D.2二、填空题(共5小题；共25分)11.若集合{21}A x x =-<<,{}B x x a =≥,且{2}A B x x ⋃=>-,则实数a 的取值范围是_______.12.设函数,1()2,1x x a x f x x -+<⎧=⎨≥⎩的最小值为2,则实数a 的取值范围是_______.13.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若371,14a S ==,则5a =_______.14.已知函数32()1f x ax x =-+在(0,1)上有增区间,则a 的取值范围是_______.15.已知函数2()x f x ae x =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是_______.三、解答题(共6小题；共85分)16.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9a a a a a +==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设31323log log log n n b a a a =+++,求数列{}n b 的通项公式.17.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知222b c a bc +=+.(1)求A 的大小；(2)如果cos 23B b ==,求ABC 的面积.18.函数cos2()2sin sin cos xf x x x x =++.(1)求函数()f x 的定义域；(2)求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(3)求函数()f x 的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程.19.已知函数()2()22x f x x x a e =-++,其中e 是自然对数的底数,a R ∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当[0,4]x ∈时,求函数()f x 的最小值.20.已知2()sin ,()ln ,()1f x x g x x h x x ax ===--.(1)若[0,1]x ∈,证明:()(1)f x g x ≥+；(2)对任意(0,1]x ∈,都有()()()0f x e h x g x +->,求整数a 的最大值.21.已知{}n a 是公差不等于0的等差数列,{}n b 是等比数列()*n N ∈,且110a b =>.(1)若33a b =,比较2a 与2b 的大小关系；(2)若2244,a b a b ==.①判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项,并请说明理由； ②若m b 是数列{}n a 中的某一项,写出正整数m 的集合(不必说明理由).。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期第二次月考(10月)数学(文)试题 Word版含答案
哈师大附中2017-2018学年高三上学期第二次月考考试数学文科试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，{}2540B x Z x x =∈-+<，则()=U C ABA.{}0,1,2,3B.{}5C.{}1,2,4D.{}0,4,52.已知向量(1,2)=a ，(1,)m =-b ，若⊥a b ，则m 的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 12- 3．要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像 A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移3π个单位D.向右平移3π个单位4.{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a = A.4 B.5 C.6 D.75.已知 1.22a =，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6.等比数列{}n a 的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则10a = A.32B.64C.512D.10247．已知2a =，3b =，19a b +=，则a b -等于8.在数列{}n a 中，12211,5,()n n n a a a a a n N +++===-∈，则2017a = A.5 B.-5 C.1 D.-1 9．函数3lg ||x y x=的图象大致是10.等比数列{}n a 中，2q =，259822a a a +++=，则数列{}n a 的前99项的和99S =A.100B.88C.77D.6811.点P 是ABC ∆所在平面内任一点，1()3PG PA PB PC =++，则点G 的轨迹一定通过ABC ∆的A. 重心B.内心C.垂心D. 外心 12．已知定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()f x '为其导数，且()sin cos ()0f x x x f x '->恒成立，则A 43ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 64f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()12sin16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭D 63f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在△ABC 中，2,3AB AC ==，1AB BC =，则BC ＝ .14. 等差数列{}n a 的首项为23，公差为2-，则数列前n 项和的最大值为 .15.在ABC ∆中，120,B AB AC =︒=A 的角平分线AD ，则=AD .16.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R ∈恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，11()2xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则①2是函数()f x 的一个周期；②函数()f x 在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数()f x 的最大值是1，最小值是0； ④1x =是函数()f x 的一个对称轴； 其中所有正确的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每题均为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤）17. （本小题满分10分）已知向量(cos sin ,2sin ),(cos sin ,cos )a x x x b x x x =+-＝r r.令()f x a b ⋅＝r r .（I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增．．区间.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n . （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足向量(cos ,cos ),(,2),m A B n a c b m n ==-∥. （I ）求角A 的大小；（II ）若a =ABC ∆面积的最大值.20．（本小题满分12分）已知函数()()221ln 2f x x a a x x =---（0a <），且函数()f x 在2x =处取得极值.（I ）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （II ）求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值.21.（本小题满分12分）等差数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，已知15,252==S a ，数列{}n b ，11b =，对任意n N +∈满足121n n b b +=+（Ⅰ）数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设1nn n a c b =+，求数列}{n c 的前n 项和n T ．22.（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x x =-． （I ）讨论()f x 在(02)π，上的单调性；（II ）求证：当(0)2x ∈，π时，31()03f x x -<.哈师大附中2014级高三上学期第二次月考考试数学文科答案1-5DCBBA 6-10CDCDC 11，12AD16.①②④17. （I ）()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x x x x x x x =+-+⋅ 22cos sin 2sin cos cos 2sin 2x x x x x x =-+=+)4x π=+ 22T ππ==（II ）53[,]84ππ（过程略） 18（I ）n ＝1时，a 1＝2；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，∴a n ＝2n (n ∈N *). （II ）b n ＝1a n a n ＋1＝12n (2n ＋2)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1111111(1)422314(1)n nT n n n =-+-++-=++ 19．（I ）∵(cos ,cos ),(,2),m A B n a c b m n ==-∥,()2cos cos c b A a B ∴-= 由正弦定理，得()2sin sin cos sin cos C B A A B -= 整理得()2sin cos sin sin C A A B C =+= 在ABC ∆中，sin 0C ≠，∴1cos 2A =，∵()0,A π∈，故3A π=（2）由余弦定理，2221cos 22b c a A bc +-==，又a =2220220b c bc bc +-=≥-，得20bc ≤，当且仅当b c =时取到“=”.∴1sin 2S bc A =⋅≤ 20.（I ）由()()11a a f x x x-='--，()20f '=，得1a =-或2a =（舍去）经检验，当1a =-时，函数()f x 在2x =处取得极值。
2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018级高三上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018级高三上学期期末考试数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)满分150分 时间120分钟一、 选择题（每题5分,共60分）1. 设集合{}{}2230,05M x x x N x x =--<=≤≤,则N M ⋂ ( )A.(]0,3B.[)0,3 C ．[)1,0- D ．(]1,0- 2. 若,其中 为虚数单位,则 ( )A. B.C. 7lg 5D.3. 若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213x y p p-=的一个焦点,则p = ( ) A. B. 8 C. 16 D. 32 4. 数列在各项为正数的等比数列{}n a 中,若391,9a a ==,则246810a a a a a ⋅⋅⋅⋅=( )A ．27B ．81C ．243D ．729 5．已知直三棱柱111ABC A B C -,若1,AB BC BB AB BC ==⊥,D 是棱1CC 中点,则直线AC 与直线1B D 所成角的余弦值为( )A ．155 B ．105 C ．223 D ．336. 已知角α的终边上有一点()1,2P -,则sin cos αα-的值为（ ）A ．5 B ．55- C ．355 D ．355- 7．设,m n 是空间中两条不同的直线,,,αβγ是空间中三个不同的平面,给出下列四个命题：（1）若αα//,n m ⊥,则m n ⊥；（2）若αγββα⊥m ,//,//,则m γ⊥；（3）若αα//,//n m ,则n m //；（4）,αγβγ⊥⊥,则βα//.其中正确命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4） 8.“1≠a 或2≠b ”是“3≠+b a ”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要 D ．既不充分也不必要9.已知函数()21ln 22f x x ax x =-+-有两个极值点,则a 的取值范围是（ ） A.2a <- B ．2a > C ．2a <- 或2a > D ．2a ≤- 或2a ≥ 10. 设,给出下列四个结论：①；②；③；④()()c b c a a b +>+log log ．其中正确结论有 ( )A. 个B. 个C. 个D. 个11.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ,若13,AF a =则离心率的取值范围为（ ）A. (]1,4B. (]1,3C. [)3,+∞D. [)4,+∞12. 已知函数()12222+-+=--xx x x x f 与函数()1123++-=x x x g 图像交点分别为：()()()()k k k y x P y x P y x P y x P ,,,,,,333222111⋅⋅⋅,则()()=+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++k k y y y x x x 2121（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．4 二、填空题（每题5分,共20分）13．曲线()2ln 21y x =-在点()1,0处的切线方程为______. 14.已知向量()()()7,,3,1,1,3k c b a ===,若()b c a //-,则=k ______.15.若过点()1,1A 的直线l 将圆()()423:22=-+-y x C 的周长分为2:1两部分,则直线l 的斜率为______.16．已知数列{}n a 满足()n a n a a a n 42374321=-+⋅⋅⋅+++,则=n a ______；=+⋅⋅⋅++22214332a a a a a a ______.三、解答题（17题10分,18-22题每题12分,共70分）17．（本小题满分10分）已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx x f .（1）画出函数()x f 在区间[]π,0上的图像； （2）将函数()x f 的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()x g 的图像,求函数()x g y =图像的对称轴和增区间.18．（本小题满分12分）已知ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,若 b a A c =+21cos .（1）求角C ;（2）若21sin sin ,3==B A c ,,求b a ,（a>b ）的值.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n 229232+-=,n n a b =.（1）证明：数列{}n a 为等差数列； （2）求数列{}n b 的前n 项和为n T .20. （本小题满分12分）在长方体1111D C B A ABCD -中,21==AD AA ,点E 、F 分别在棱CD 、1AA 上,且1111,33CE CD A F A A ==.（1）求证：//DF 平面AE B 1； （2）若二面角11A E B A --的余弦值为630,求棱AB 的长.21．（本小题满分12分）椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,直线:6l x =,若椭圆过点3(1,)2.（1）求椭圆C 的方程；。
黑龙江省2021年高三上学期数学10月月考试卷A卷
黑龙江省2021年高三上学期数学10月月考试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分） (2018高一上·浙江期中) 设集合，，则A .B .C .D .2. （2分）(2019·赤峰模拟) 若存在使成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是（）A .B .C . 是奇函数D . 的单调递增区间是4. （2分）(2018·天津模拟) 对于任意x∈R，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≥1时，函数f(x)＝lnx，若a＝f(2－0.3)，b＝f(log3π)，c＝f(－ )，则a，b，c大小关系是（）A . b>a>cB . b>c>aC . c>a>bD . c>b>a5. （2分）已知则（）A .B .C .D .6. （2分）已知函数f（x）=x+tanx+1，若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（）A . 0B . -1C . -2D . 37. （2分）(2017·广西模拟) 某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地．经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是30°．已知改造费用为50元/m2 ，那么，这块三角形空地的改造费用为（）A . 元B . 元C . 27200元D . 54400元8. （2分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，那么不等式f（x+1）＞3的解集是（）A . （﹣∞，2）∪（2，+∞）B . （﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C . （﹣∞，0）∪（2，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）9. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A . 的图象关于直线对称B . 的图象关于点对称C . 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D . 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是二、填空题 (共6题；共6分)10. （1分） (2018高三上·天津月考) 设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为________．11. （1分）(2020·苏州模拟) 己知为锐角，若，则 ________.12. （1分） (2020高二下·东莞期末) 函数在处的切线方程为________.13. （1分） (2017高一下·南通期中) 方程log2x+ =1的解是________．14. （1分） (2019高二下·吉林月考) 设集合，，，，且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对表示的点中，任取一个，其落在圆内（不含边界）的概率恰为，则的所有可能的正整数值是________．15. （1分） (2019高一上·荆门期中) 已知，则________三、解答题 (共5题；共40分)16. （10分） (2019高三上·镇江期中) 已知函数．（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量的取值集合；（2）若，求函数的单调减区间．17. （5分）(2017·常宁模拟) 设函数f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）若x=0是F（x）的极值点，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q 两点间的最短距离；（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．18. （15分） (2019高二下·佛山月考) 已知二次函数的图像与轴有两个不同的交点，若，且时， .（1）证明：是函数的一个零点；（2）试用反证法证明 .19. （5分）(2019·淮南模拟) 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，过，三点的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，问在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．20. （5分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知函数（）（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在定义域内为单调函数，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共9题；共18分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共40分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
高2021届高2018级黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期10月月考数(理)试题解析版
2021届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第一学期10月月考理科数学试题一、单选题1.已知集合{}|10A x R x =∈+>,{}|1B x Z x =∈≤,则A B =（ ）A.{}|01x x ≤≤B.{}|11x x -<≤C.{}0,1D.{}1【参考答案】C【试题解析】根据交集的运算,即可得出结果.解：根据题意可知{}|1A x R x =∈>-,{}|1B x Z x =∈≤, 所以{}0,1AB =.故选：C.本题考查交集的运算,考查运算求解能力,分析问题能力,属于基础题. 2.设复数z 满足()(1)2z i i i -+=,则||z =（ ）A.5C.2D.1【参考答案】B【试题解析】利用复数的四则运算将复数化简,然后求模即可.由()()12z i i i -+=, 得2121iz i i i=+=++,则z =. 故选B.本题考查复数的四则运算和复数模长的计算公式,属于简单题. 3.已知命题:0,1xp x e ∀≥≥或sin 1x <,则p ⌝为（ ）A.0,1x x e ∃<<且sin 1x >B.0,1x x e ∃≥<或sin 1x >C.0,1x x e ∃≥<且sin 1x ≥D.0,1x x e ∃<≥或sin 1x ≤【参考答案】C【试题解析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断.解：命题:0,1xp x e ∀≥≥或sin 1x <为全称命题,由全称命题的否定为特称命题,则p ⌝为0,1x x e ∃≥<且sin 1x ≥故选：C本题考查全称命题的否定,属于基础题.4.0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【参考答案】B 【试题解析】当,得a <1时方程有根.a <0时,,方程有负根,又a =1时,方程根为,所以选B.5.函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是( )A. B.C. D.【参考答案】A【试题解析】试题分析：由偶函数排除B 、D,排除C.故选A.【考点】函数的图象与性质.6.ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+3C π=,则ABC 的面积为（ ）A.6B.2C.【参考答案】B【试题解析】由条件和余弦定理得到6ab =,再根据三角形的面积公式计算结果.由条件可知：22226c a b ab =+-+,①由余弦定理可知：222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-,② 所以由①②可知,62ab ab -=-,即6ab =,则ABC 的面积为11sin 622S ab C ==⨯=故选：B本题考查解三角形,重点考查转化与化归思想,计算能力,属于基础题型.7.已知奇函数()f x 的定义域为R ,且是以2为周期的周期函数,数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,则()()()1210f a f a f a +++的值为 （ ）A.0B.1C.－1D.2【参考答案】A【试题解析】分析知数列为以1为首项,1为公差的整数列问题转化为求()()()1210f f f +++,由函数周期为2又是奇函数,根据这些性质求出函数的前二个值即可.因为数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列, 所以()11n a n n =+-=,()()()1210f a f a f a +++()()()1210f f f =+++∴奇函数()f x 的定义域为R,(0)0,(1)(1)0f f f ∴=+-=又()f x 是以2为周期的周期函数,(10)(8)(6)(4)(2)(0)0,(1)(1)f f f f f f f f ∴=======- (1)0f ∴=,(9)(7)(5)(3)(1)0f f f f f ∴=====,()()()1210f a f a f a ++⋯+()()()12100f f f =+++=.应选A.本题考查函数的奇偶性与周期性,等差数列的特征,知识覆盖面广,技能性较强,属于中档题.8.已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --,则向量AB 在向量CD 方向上的投影为D.5【参考答案】B【试题解析】分别求出向量AB 、CD 的坐标和数量积,以及模,再由向量AB 在向量CD 方向上的投影为AB CD CD⋅,计算即可得到所求值.由()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --,可得()()2,2,1,3AB CD ==-,()21234AB CD ⋅=⨯-+⨯=,1CD =+=则向量AB 在向量CD 方向上的投影为4210AB CD CD⋅==,故选B.本题考查向量的投影的求法,注意运用向量的数量积的坐标表示和模的求法,考查化简整理的运算能力,属于基础题. 9.若2x =-是函数()()()22xf x x ax ea =+∈R 的极值点,函数()()g x f x m =-恰好有一个零点,则实数m 的取值范围是（ ）A.()24,,0e ⎛⎫+∞⋃-∞ ⎪⎝⎭B.{}24,0e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.24,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.(),0-∞【参考答案】B【试题解析】由2x =-是函数()()()22xf x x ax ea =+∈R 的极值点求出实数a 的值,由题意可知,直线y m =与函数()y f x =的图象有且只有一个交点,利用导数研究函数()y f x =的单调性与极值,数形结合可求得实数m 的取值范围.()()22x f x x ax e =+,该函数的定义域为R ,则()()2222xf x x a x a e '⎡⎤=+++⎣⎦,由于2x =-是函数()()()22xf x x ax ea =+∈R 的极值点,则()2220f ae -'-=-=,解得0a =,()2x e f x x ∴=,则()()2x f x x x e '=+.列表如下：x(),2-∞-2-()2,0-()0,∞+()f x '+0 -+()f x单调递增极大值24e 单调递减极小值0单调递增由于函数()()g x f x m =-恰好有一个零点,则直线y m =与函数()y f x =的图象有且只有一个交点,如下图所示：当x →-∞时,()0f x →；当x →+∞时,()f x →+∞. 由图象可知,当0m =或24m e>时,直线y m =与函数()y f x =的图象有且只有一个交点.综上所述,实数m 的取值范围是{}240,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故选：B.本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,同时也考查了利用函数的极值点求参数,考查计算能力,属于中等题. 10.若函数()()sin xf x e x a =+在区间R 上单调递增,则实数a 的取值范围为（ ）A.)+∞B.()1,+∞C.[)1,-+∞D.)+∞【参考答案】A【试题解析】本题先求导函数,根据已知条件建立不等式()'0f x ≥,接着参变分离,构造新函数())4g x x π=+,求最大值即可解题.解：∵ ()()sin xf x e x a =+,∴ ()()'sin cos )4xx f x ex x a e x a π⎤=++=++⎥⎦,∵ 函数()()sin xf x e x a =+在区间R 上单调递增,∴()()'sin cos )04xx f x ex x a e x a π⎤=++=++≥⎥⎦恒成立,∴ )4a x π≥+恒成立,令())4g x x π=+,即max ()a g x ≥=∴a ≥故选：A.本题考查利用导函数研究原函数的单调性的应用,参变分离三角函数求最值,恒成立问题,是基础题.11.已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩,则方程22[()]3()20f x f x --=实根的个数为（ ）A.2B.3C.4D.5【参考答案】B【试题解析】由()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦得到()2f x =或()12f x =-,再根据()f x 的图象来判断当()2f x =或()12f x =-时对应的x 有几个,即为实根个数由()()22320f x f x --=⎡⎤⎣⎦可得()2f x =或()12f x =-,当0x ≥时,()()21212121f x x x x x '=-=-,当()0,1∈x 时,0fx,()f x 单调递减,当()1,∈+∞x 时,0fx,()f x 单调递增,∴函数()f x 在1x =处取得极小值,极小值为()14611f =-+=-,绘制函数()f x 的图象如图所示,观察可得,方程22[()]3()20f x f x --=的实根个数为3,故选B本题考查函数与方程中,导数在研究函数中的应用,图像法处理零点个数问题,找到变量关系,灵活利用图象,是解题关键12.已知函数()sin ,()f x x x x R =+∈,且()()2223410f y y f x x -++-+≤,则当1y ≥时,1yx +的取值范围是（ ） A.13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,323⎡⎤⎣⎦D.1,3⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【参考答案】A【试题解析】根据已知函数解析式,可知为奇函数,利用导数可判断出其单调递增,由已知函数不等式得22(2)(1)1x y -+-≤,即1y ≥时是以(2,1)为圆心的上半部分的圆,而1y x +表示过点(1,0)-的直线斜率k ,根据几何性质结合图象即可求出1y x +的范围.由()1cos 0f x x '=+≥知：()f x 单调递增,又()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-知：()f x 为奇函数,()()2223410f y y f x x -++-+≤有()()2222341(41)f y y f x x f x x -+≤--+=-+-,∴222341y y x x -+≤-+-,整理得22(2)(1)1x y -+-≤,1y ≥时即(,)x y 的取值区域如下图阴影部分所示：∴1y x +表示直线(1)y k x =+在过图中阴影部分的点时斜率1y k x =+,即问题转化为直线与阴影区域有交点时,k 的取值范围,∴当与半圆相切,k 取最大值,而此时圆心(2,1)到(1)y k x =+的距离211d k==+,得34k =；当交半圆于右端点(3,1)时,k 取最小值为14,所以k 的取值范围13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A本题考查了根据函数的性质确定代数关系的几何意义,应用数形结合的方法求目标代数式的范围,属于难题.二、填空题13.当函数sin 3cos (02)y x x x π=-≤<取得最大值时,x =___________. 【参考答案】【试题解析】试题分析：sin 3cos 2sin 3y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以当232x k πππ-=+时函数取得最大值,此时56x π= 【考点】三角函数最值14.函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________.【参考答案】(),0-∞【试题解析】先确定函数的定义域,再考虑内外函数的单调性,利用复合函数的单调性即可得到结论.由220x x ->, 可得2x >或0x <, 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞又()211t x =--在区间(),0-∞的单调递减,13log y t =单调递减,∴函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是(),0-∞, 故答案为(),0-∞.本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性,属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性,因此也是命题的热点,判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性,正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增,减减→ 增,增减→ 减,减增→ 减）. 15.在直角梯形ABCD 中,AB ⊥AD ,DC ∥AB ,AD ＝DC ＝1,AB ＝2,E 、F 分别为AB 、BC 的中点,点P 在以A 为圆心,AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示).若AP ＝λED ＋μAF ,其中λ,μ∈R ,则2λ－μ的取值范围是______________.【参考答案】[－1,1]【试题解析】建立如图所示的直角坐标系,设∠P AE ＝α,则A (0,0),E (1,0),D (0,1),F (1.5,0.5),P (cos α,sin α)(0°≤α≤90°). ∵AP ＝λED ＋μAF ,∴(cos α,sin α)＝λ(－1,1)＋μ(1.5,0.5), ∴cos α＝－λ＋1.5μ,sin α＝λ＋0.5μ, ∴λ＝14(3sin α－cos α),μ＝12 (cos α＋sin α),∴2λ－μ＝sin α－cos α2sin(α－45°). ∵0°≤α≤90°,∴－45°≤α－45°≤45°, ∴－22≤sin(α－45°)≤22, ∴－2α－45°)≤1. ∴2λ－μ的取值范围是[－1,1].点睛：向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式,再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简,结合三角函数的图象与性质进行求解.三、双空题16.在平面直角坐标系xOy 中,已知向量2222m →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()sin ,cos n x x →=,()0,x π∈.若//m n →→,则x =______；若存在两个不同的x 值,使得n m t n →→→+=恒成立,则实数t 的取值范围为______.【参考答案】34π)22,2+【试题解析】（122x x =,则tan 1x =-,即可得x ；（2）计算得22sin ,cos 22m n x x →→⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭,则22sin 4m n x π→→⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭,1n →=,由条件可转化得22sin 4t x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,π上有两个不同的解,故可得t 的取值范围.（1）由向量共线得22cos sin x x=-,则tan 1x =-,又()0,x π∈,则34x π=-； （2）计算得22sin ,cos 22m n x x →→⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭, 则2222sin cos 22sin 224m n x x x π→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 又存在两个不同的x 值,使得n m t n →→→+=恒成立,则22sin 4t x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在()0,π上有两个不同的解, 令()22sin ,0,4y x x ππ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭, 令4m x π=-,则322sin ,,44y m m ππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭,如图：222t +<<. 故答案为：（1）34π；（2）)22,2+本题考查向量共线,向量数量积的坐标运算,三角函数的性质,考查了函数与方程的关系,考查了转化与化归和数形结合的思想.四、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足：2322n n S n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【参考答案】（1）32n a n =-；（2）31n nT n =+. 【试题解析】（1）本小题运用借n S 求n a 直接求出32n a n =-（2n ≥）,再验证1n =是否满足即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求出31n nT n =+即可.解：（1）∵2322n n S n =- 所以当2n ≥时,2131(1)22n n S n --=-- 两式相减并化简得32n a n =-当1n =时,111a S ==也符合此通项公式 故32n a n =-（2）由（1）知32n a n =-,所以111111(32)(31)33231+⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n n n b a a n n n n 11111111113447323133131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以31n nT n =+本题考查借n S 求n a ,裂项相消法求前n 项和,是基础题.18.已知向量()23sin cos ,sin a x x x =-,()cos ,sin b x x =,()1f x a b =⋅+. （1）求函数()f x 的最小正周期和对称中心 （2）求函数()f x 的单调减区间；【参考答案】（1）最小正周期是π,对称中心为,1()212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（2）5[,],36k k k ππππ++∈Z . 【试题解析】由()1f x a b =⋅+结合向量数量积的坐标公式有()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,（1）由正弦函数的最小正周期为2||T πω=、对称中心为(,1)()k k Z π∈即可求()f x 的最小正周期和对称中心；（2）由正弦函数的单调减区间为()3[2,2]22k k k Z ππππ++∈即可求()f x 的单调减区间；()()21cos cos sin 1f x a b x x x x =⋅+=-⋅++22cos cos sin 1x x x x =-++2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）函数()f x 的最小正周期是22T ππ==, 由2()6x k k Z ππ-=∈得()212k x k Z ππ=+∈,即对称中心为,1()212k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ （2）由于函数sin y u =的单调递减区间为322,22u k u k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭,解不等式()3222262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈,得()536k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 因此,函数()y f x =的单调递减区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ；本题考查了正弦函数的性质,应用了向量数量积的坐标公式、倍角公式、辅助角公式化简函数式,得到三角函数解析式,依据正弦函数的性质求最小正周期、对称中心、单调区间.19.已知函数2π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立,求实数m 的取值范围.【参考答案】（1）max min ()3()2f x f x ∴==，（2）(14)， 【试题解析】（1）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,ππ2π2633x ∴≤-≤,即π212sin 233x ⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭,max min ()3,()2f x f x ∴==.（2）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+,ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, max ()2m f x ∴>-且min ()2m f x <+,14m ∴<<,即m 的取值范围是(1,4).20.已知函数21()ln ()2f x a x x a ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R （1）当1a ＝时,求()f x 在区间[1,]e 上的最大值和最小值；（2）证明：当10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,在区间(1,)+∞上,不等式()2f x ax <恒成立.【参考答案】(1)2max()12e f x =+,min 1()2f x =;(2)见解析.【试题解析】(1)当1a ＝时,21()12f x x nx =+,211'()x f x x x x+=+=利用导数研究函数的单调性即可得出最值; (2)令21()()2212g x f x ax ax ax nx ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭,(1,)x ∈+∞,在区间(1,)+∞上,不等式()2f x ax ＜恒成立等价于()0<g x 在区间(1,)+∞上恒成立.利用导数研究函数的单调性即可得出()g x 大值.(1)解:当1a ＝时,21()12f x x nx =+,则211()x f x x x x'+=+=对于[1,e]x ∈,有'()0f x >.()f x ∴在区间[1,]e 上为增函数2max()()12e f x f e ∴==+,min 1()(1)2f x f ==.(2)证明:21()()2212g x f x ax a x ax nx ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭,(1,)x ∈+∞21(21)21(1)[(21)1]'()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---=--+==当10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,则有210a ≤﹣,此时在区间(1,)x ∈+∞上恒有()0g x '<从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数.()(1)g x g ∴<,又1(1)02g a =--<, ()0g x ∴<,即()2f x ax ＜恒成立.本题考查了函数的最值,考查了不等式恒成立问题.求函数的最值,常用的方法有图像法,单调性分析求最值,导数法等.利用导数求最值时,明确函数的定义域,求导后,解出导数为零的根,分析函数及导数随自变量的变化情况,进而可求出最值.若证明()f x A > 恒成立,只要证明min ()f x A > 即可; 若证明()f x A < 恒成立,只要证明max ()f x A < 即可. 21.已知在ΔABC 中,三内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且π3C =. (1)若224c a ab =-,求sin sin BA； (2)求sin sin A B ⋅的最大值.【参考答案】(1)sin sin B A =（2）34.【试题解析】（1）先利用余弦定理求得b =,再根据正弦定理得结果；（2）根据正弦、余弦的二倍角公式及利用两角和公式化简整理,利用正弦函数的性质求得()f x 的最大值.(1)由余弦定理及题设,22224c a b ab a ab =+-=-得b =.由正弦定理知sin sin b B a A =,得sin sin B A=(2)由已知2π3A B +=,21sin sin sin sin πsin sin 32A B A A A A A ⎫⎛⎫⋅=-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1π1sin 2264A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 2π03A <<∵,∴当π3A =时,sin sin A B 取最大值34. 22.已知函数()()(),xf x x a e b a b =-+∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对给定的a ,函数()f x 有零点,求b 的取值范围；（3）当2a =,0b =时,()()ln F x f x x x -=+,记()y F x =在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为m ,且[),1,m n n n ∈+∈Z ,求n 的值.【参考答案】（1）(),1x a ∈-∞-,函数()f x 单调递减；()1,x a ∈-+∞,函数()f x 单调递增；（2）当1a b e -≤时,函数()f x 有零点； （3）4n =-.【试题解析】（1）函数的定义域为R ,求导得()()'1xf x x a e =-+,再根据()'0f x >和()'0f x <求单调区间即可；（2）结合（1）得函数()f x 在1x a =-时取得最小值,且当x →+∞时,()f x →+∞,故满足题意需满足()()min 10f x f a =-≤,进而求得b 的取值范围；（3）根据题意得()()2ln xF x x e x x =-+-,研究函数的单调性得函数()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减,且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,001x x e =,故()000212m F x x x --==,01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,再令()212h x x x --=,1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即可求得43m -<<-,进而得4n =-.解：（1）函数()f x 的定义域为R ,()()()1'x x x x a e e e f a x x -+=-=+,令()'0f x >得1x a >-,所以函数()f x 在()1,x a ∈-+∞上单调递增； 令()'0f x <得1x a <-,所以函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减. （2）对给定的a ,当x →+∞时,()f x →+∞,又因为函数()f x 在(),1x a ∈-∞-上单调递减,在()1,x a ∈-+∞上单调递增 所以函数()f x 在1x a =-时取得最小值,故函数()f x 要有零点,则需有()()min 10f x f a =-≤, 即：10a e b --+≤,故1a b e -≤,所以对给定的a ,函数()f x 有零点,b 的取值范围为(1,a e -⎤-∞⎦（3）当2a =,0b =时,()()2xf x x e =-,所以()()()ln 2ln xF x f x x x x e x x =+=+---,所以()()()()111'1111x xxx xe F x x e x e x x x x--=--+=-+=-, 令()1x g x xe =-,则()()'10xg x x e =+>在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上成立, 所以()1xg x xe =-在1,14⎛⎫⎪⎝⎭单调递增, 由于111ln 222211111=2=02222g e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()110g e =->,所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使得()00g x =,即001x x e =. 所以存在01,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使得()g x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上满足()0g x <,在()0,1x 上满足()0g x > 所以()'F x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上满足()'0F x >,在()0,1x 上满足()F'0x <, 所以函数()F x 在01,4x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减, 所以()()()000000max 022ln 12xF x e m F x x x x x x ===---=-+,01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭令()212h x x x --=,1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 则()2222222'0x h x x x--=>=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭成立, 所以()212h x x x --=在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增, 由于114142h ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭,()11223h =--=-, 所以43m -<<-, 因为[),1,m n n n ∈+∈Z 所以4n =-.本题考查利用导数研究函数的单调性,函数的零点,函数的最值,考查数学运算求解能力,属于较难题.。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二10月月考数学(理)试题 Word版
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考数学试题（理科）第I 卷 (选择题 共 60 分)一、 选择题(本大题共 12个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则m =（ ）A ．4 B. 3 C.52D. 22.圆221:(2)(2)1C x y ++-=与圆222:(2)(5)16C x y -+-=的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切3.椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系是（ ） A. 有相同的长轴长和短轴长 B. 有相等的焦距 C. 有相同的焦点D. 有相同的顶点4.如果实数,x y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2z x y =-的最大值为（ ）A.2B.1C.2-D.3-5.点(2,1)P 关于直线+10x y -=的对称点坐标为（ ）A. 3(0,)2-B. (1,0)-C.(0,1)-D. 3(,0)2-6．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC AB BC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）AB.15D . 7.若椭圆221164x y +=的弦AB 被点(1,1)M 平分，则AB 所在直线方程为（ ） A.450x y -+=B.450x y +-=C.450x y -+=D. 450x y +-=8.一个动圆与圆221:(3)1C x y ++=外切，与圆22:(3)81C x y +-=内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为（ ）A. 2212516y x += B. 2212516x y +=C. 221169y x += D. 221169x y +=9.过点(1,P -作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为A 和B ，则弦长||AB =（ ）B. 2D. 410.已知斜率为1的直线过椭圆22184y x +=的下焦点，交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积是（ ）A ．B. 8C. 4D.8311.长方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为9π，2AB AD ==，则点B 到平面1D AC 的距离等于（ ）12. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：的右焦点为)0,(c F ,上顶点为),0(b A ,直线ca x 2=上存在一点P 满足⋅-=⋅,则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. )1,21[B.)1,22[C.)1,215[- D.]220，（ 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上)13.已知点(,)M x y 是平面区域1024000x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩内的动点，则22(1)(1)x y +++的最大值为 ．14.过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为 .15.已知椭圆2213x y +=上动点为M ，则点M 到直线80x y --=：的距离的最小值为 .16.已知椭圆12622=+y x C ：的左、右焦点分别为,,21F F 过2F 的通径AB （过焦点垂直于长轴的弦叫做通径），则1ABF ∆的内切圆方程为 .三、解答题(本大题共 6个小题，共70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题 10 分）已知直线0103:1=+-y x 与 082:2=-+y x 相交于点A ，点O 为坐标原点，P 为线段OA 的中点． （1）求点P 的坐标；（2）过点P 作直线 垂直于直线1，求直线的方程.18.（本小题12分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过)1,0(),2,3(),4,3(R Q P -三点． （1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0=+-a y x 交于B A ,两点，且CB CA ⊥，求a 的值．19. （本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是直角梯形，90,//DAB AD BC ∠=︒，,AD PAB PAB ⊥∆侧面是等边三角形，2==AB DA ，AD BC 21=，E 是线段AB 的中点． （1）求证：PE ABCD ⊥平面；（2）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值．20. （本小题12分） 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，已知,2,1AB BC AC AB AA ===ABC AA 平面⊥1，点Q M ,分别是1,CC BC 的中点，点P 是棱11B A 上的任一点．（1）求证：MP AQ ⊥；（2）若平面11A ACC 与平面AMP 所成的锐角为θ，且32cos =θ，试确定点P 在棱11B A 上的位置，并说明理由．21.（本小题12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为)0,(c F -，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆 4222b y x =+截得的线段的长为c ，334||=FM ．（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程．22.（本小题12分） 已知椭圆 C:)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为22，左、右焦点分别为21,F F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设Q 为椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 与N M ,两个不同的点，记M QF 2∆的面积为1S ，N OF 2∆的面积为2S ，令21S S S +=，求S 的最大值．2020-2021学年度高二上学期第一次月考数学答案（理科）1-5DDBBC6-10ABAAD 11.12CC13.13 14.2x =或3420x y -+= 15. 16.94)34(22=+-y x 17.（1） 因为直线 l 1:x −3y +10=0 与 l 2:2x +y −8=0 相交于点 A ， 解方程组 {x −3y +10=0,2x +y −8=0,得 {x =2,y =4, 所以 A (2,4)．因为 O (0,0)，P 为线段 OA 中点，故由中点坐标公式求得 P (1,2)． （2） 当 l ⊥l 1时，直线 l 的斜率为3-，因为直线 l 过 P (1,2)， 所以直线 l 的方程：)1(32--=-x y 故 l:3x +y −5=0．18.（1）因为圆 C 的圆心在线段 PQ 的直平分线上，所以可设圆 C 的圆心为 (t ，1)， 则有 (t −3)2+(1−4)2=t 2+(1−1)2，解得 t =3． 则圆 C 的半径为 √32+(1−1)2=3． 所以圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9．（2）可知ACB ∆为等腰直角三角形，点C 到直线AB 距离3sin 45d =︒=解得15a =-或.19.解：（1） 因为 AD ⊥侧面PAB ，PC ⊂平面PAB ，所以 AD ⊥PE ， 又因为 △PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点，所以 PE ⊥AB ， 因为 AD ∩AB =A ，所以 PE ⊥平面ABCD ．（2）以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E −xyz ， 则 E (0,0,0)，C (1,−1,0)，D (2,1,0)，P(0,0,√3)， ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−√3)， 设 n ⃗ =(x,y,z ) 为平面 PDE 的法向量， 由 {n ⃗ ⋅ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EP⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即 {2x +y =0,√3z =0. 令 x =1，可得 n ⃗ =(1,−2,0)，设 PC 与平面 PDE 所成的角为 θ，sinθ=∣∣cos⟨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩∣∣=∣∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗ ∣∣∣∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣=35， 所以 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值为 35．20.解：（1） 由已知得：AB 2+AC 2=BC 2，所以 AB ⊥AC ， 又 AA 1⊥平面ABC ，所以 AA 1，AB ，AC 两两垂直． 如图所示以 A 为原点，分别以 AB ，AC ，AA 1 所在直线为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设 AB =1，则 A (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,0,0)，M (12,12,0)，Q (0,1,12)．设 P (x 0,0,1)(0≤x 0≤1)． AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12)，MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−12,−12,1)，因为 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(x 0−12)+1×(−12)+12×1=0， 所以 AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故 AQ ⊥MP ． （2） 由已知得，AB ⊥平面ACC 1A 1，所以平面 ACC 1A 1 的一个法向量为 n ⃗ 1=(1,0,0)．又 AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,12,0)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,0,1)． 设平面 AMP 的一个法向量为 n ⃗ 2=(x,y,z )，则 {AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 2=0AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 2=0, 即 {12x +12y =0,x 0x +z =0,令 x =1，则 y =−1，z =−x 0．所以平面 AMP 的一个法向量为 n ⃗ 2=(1,−1,−x 0) 又 cos <n ⃗ 1,n ⃗ 2>=n ⃗ 1⋅n ⃗ 2∣n ⃗ 1∣⋅∣n ⃗ 2∣=11×√2+x 0，因为平面ACC1A1与平面AMP所成的锐二面角为θ，且cosθ=23，所以1×√2+x0=23，解得：x0=12，所以点P坐标为(12,0,1)，故P为棱A1B1的中点．21.解：（1）设FM:y=k(x+c)，O到直线FM的距离为√1+k2，因为直线FM被圆x2+y2=b2 4截得的线段的长为c，所以2√b24−(√1+k2)2=c，又e=ca =√33，a2=b2+c2，a2=3c2，b2=2c2，解得k=√33．（2）设M(x0,y0)，x0>0，y0>0，则x023c2+y022c2=1，又因为y0=√33(x0+c)，且FM=√(x0+c)2+y02=4√33，解得c=1，c=3（舍）．所以椭圆的方程为x 23+y22=1．22.（1）由题意知e=ca =√22，所以e2=c2a2=a2−b2a2=12，即a2=2b2，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2+y2=b2，且与直线x−y+2=0相切，所以b=2()2=√2，a2=2b2=4故椭圆C的标准方程为x 24+y22=1．（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线OQ:x=my，则直线MN:x=my+√2，由 {x =my +√2x 24+y 22=1 得 (m 2+2)y 2+2√2my −2=0，y 1+y 2=−2√2m m 2+2，y 1y 2=−2m 2+2．所以∣MN ∣=√m 2+1∣y 2−y 2∣=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√m 2+1√(−2√2m m 2+2)−4(−2m 2+2)=4(m 2+1)m 2+2， 因为 MN ∥OQ ，所以 △QF 2M 的面积等于 △OF 2M 的面积，S =S 1+S 2=S △OMN ， 因为点 O 到直线 MN:x =my +√2 的距离 d =√2√m 2+1， 所以 S =12∣MN ∣⋅d =12×4(m 2+1)m 2+2×√2√m 2+1=2√2×√m 2+1m 2+2令 √m 2+1=t ，则 m 2=t 2−1(t ≥1)，S =2√2tt +1=2√2t+1t，因为 t +1t≥2√t ⋅1t=2(当且仅当t =1t,即t =1,也即m =0时取等号)， 所以当 m =0 时，取得最大值 √2．。
黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021届高三第三次模拟理科数学试题
19．如图，四棱锥 底面 是矩形， 面 ， ， 、 是棱 、 上的点， ， ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）棱 上是否存在点 ，使 面 ？若存在，求出 的值；不存在，请说明理由．
20．已知抛物线 ，圆 ．
【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10，
其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．
S表面积 ．
故选：A．
8．A
【分析】
先证明 面 ，得到 ，再根据空间向量的线性运算和数量积的定义，计算即可.
【详解】
如图所示，
取 的中点 ，连接 ，
和 都是等边三角形，
，
，
面 ， 面 ，
直接利用离散型随机变量的分布，频率分布直方图，线性相关的应用，分层抽样中的个体与抽取的可能性的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，离散型随机变量的各个可能值表示的事件时彼此互斥的不会同时发生，所以A正确；
对于B中，利用频率分布直方图计算的一般数字特征是样本数字特征的估计值，所以B正确；
对于C中，两个相关变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近与1，所以C正确；
【详解】
抛物线 的焦点为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
因此，抛物线 的焦点 到双曲线 的渐近线的距离为 .
故选：D
6．D
【分析】
利用等差性质求得 与 ，结合求和公式即可求解结果．
【详解】
由 得 ，则 ，
由 得 ，则 ，
所以
故选：D
7．A
【分析】
由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10，其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4，由此可求出该几何体的表面积．