长期班高等数学讲义(汪诚义)第六章97113

心之所向，所向披靡

第六章 多元函数微分学

§6.1 多元函数的概念、极限与连续性

(甲)内容要点

一、多元函数的概念

1．二元函数的定义及其几何意义 设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P (x,y )∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。

二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。

例如 1:,

12222≤+--=y x D y x z 二元函

数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。 2．三元函数与n 元函数

Ω∈=),,(),,,(z y x z y x f u 空间一个点集，称为三元函数

。n x x x f u n 元函数称为),,,(21Λ=

它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限

设),(),(00y x y x f 在点的邻域内有定义，如果对任意,00>>δε存在，只要

εδ<-<-+-A y x f y y x x ),(,)()(2020就有

则记以A y x f A y x f y x y x y y x

x ==→→→),(lim ),(lim )

(),(000

或

称当),(),(),(00y x ，f y x y x 时趋于的极限存在，极限值为A 。否则，称为极限不存在。 值得注意：),(),(00y x y x 趋于这里是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于

),(00y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和

简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

三、二元函数的连续性

1．二元函数连续的概念

若处连续在点则称),(),(),(),(lim 00000

y x y x f y x f y x f x

x y y =→→ 若D y x f 在区域),(内每一点皆连续，则称),(y x f 在D 内连续。 2．闭区域上连续函数的性质

定理1 （有界性定理）设),(y x f 在闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上一定有界 定理2 （最大值最小值定理）设),(y x f 在闭区域D 上连续，则),(y x f 在D 上一定有最大值和最小值(,)(,)max (,)(),

min (,)()x y D

x y D

f x y M f x y m ∈∈==最大值最小值

定理3 （介值定理）设),(y x f 在闭区域D 上连续，M 为最大值，m 为最小值，若

,M c m ≤≤则存在使得,),(00D y x ∈C y x f =),(00

（乙）典型例题 一、求二元函数的定义域

例1 求函数xy x

z +

=3

arcsin 的定义域

解：要求

;3313

≤≤-≤x x

即 又要求0,00,00≤≤≥≥≥y x y x xy 或即综合上

述要求得定义域

⎩⎨⎧≤≤≤-003y x 或 ⎩

⎨

⎧≥≤≤03

0y x 例2 求函数的定义域)12ln(4222+-+--=

x y y x z

解：要求 012042

2

2

>+-≥--x y y x 和

即 222

2212x y y x

⎧+≤⎨+>⎩

函数定义域D 在圆2

222≤+y x 的内部（包括边

界）和抛物线x y 212

=+的左侧（不包括抛物线上的点）

二、有关二元复合函数

例1 设),(,),(2

2

y x f y y x y x y x f 求+=-+ 解： 设v y x u y x =-=+,解出)(21

),(21v u y v u x -=+= 代入所给函数化简2

2)(4

1)()(81),(v u v u v u v u f -+-+=

故 2

2)(4

1)()(81),(y x y x y x y x f -+-+=

例2 设),(,53),(2

2

y x f y xy x xy y x f 求+++=+

解： 5)2(532

2

2

2

++++=+++xy y xy x y xy x Θ

5)(2+++=xy y x

5),(2++=∴y x y x f

例3 设z f x ，z y x f y z 和求函数时当,1),1(==-+=

解： 由条件可知

22

11),1,()1(1)12x f u f u x u u u =+==-=+-=+则

1,2)(2-+=

+=∴x y z x x x f

三、有关二元函数的极限

例1 讨论)0()1

1(lim 2常数≠++→∞

→a xy

y

x x a

y x

解：原式=)

(2)11(lim y x xy x xy a

y xy x +→⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡+∞→

而e t xy t xy t t xy

a y x =+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→∞→∞→)11(lim 11lim 令

又a

x y y y x xy x x x a

y a y 1

)1(1lim )(lim 2=+=+∞

→∞→→→ 1a

e ∴=原式