2017年交大附中自招数学试卷

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2016-2017学年上海交大附中高三(下)开学数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数y＝tan3x的最小正周期为．2．（5分）计算＝．3．（5分）＝．4．（5分）若集合M＝{y|y＝﹣x2+5，x∈R}，N＝{y|y＝，x≥﹣2}，则M∩N＝．5．（5分）二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为．6．（5分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．7．（5分）若cos（π+α）＝﹣，π＜α＜2π，则sinα＝．8．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．9．（5分）三棱锥O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．10．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD 内一点，若∠MGF＝∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．11．（5分）若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分析种数是．12．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）是R上的减函数，且y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．14．（5分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x的取值范围为．二、选择题：15．（5分）在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形16．（5分）已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p418．（5分）某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．（10分）某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝P A＝BC＝2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．21．（10分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．22．（15分）已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．23．（15分）已知二次函数y＝f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y＝f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的表达式；（2）设b n＝a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，，，，…，…（1＝n1＜n2＜n3＜…＜n k＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．【解答】解：函数y＝tan3x的最小正周期为T＝＝．故答案为：．2．【解答】解：＝2×3﹣1×4＝2，故答案为：2．3．【解答】解：＝＝（+）＝，故答案为：4．【解答】解：由M中y＝﹣x2+5≤5，得到M＝（﹣∞，5]，由N中y＝，x≥﹣2，得到y≥0，即N＝[0，+∞），则M∩N＝[0，5]，故答案为：[0，5]5．【解答】解：二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为C104＝210，故答案为：106．【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有＝240种，故答案为：2407．【解答】解：∵cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣，∴cosα＝，又π＜α＜2π，∴sinα＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．8．【解答】解：由得，所以S＝4πR2＝12π．9．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，∴△BOS的面积为定值S＝＝，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V＝×S×h＝＝．故答案为：．10．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF ＝∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，所以ON＝GH＝AB＝1，因为N是FG的中点，所以NG＝FG＝AD＝×2＝1，所以在Rt△ONG中，OG＝＝＝MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得＝，则MO＝＝．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：．11．【解答】解：当A1＝∅时必须A2＝A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31•2；当A1有2个元素时，分析总数为C32•22；当A1＝A时，分析种数为C33•23．所以总的不同分析种数为1+C31•21+C32•22+C33•23＝（1+2）3＝27．故答案为：2712．【解答】解：∵函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），∴a＞1，3＝a+b．∴＝（a﹣1+b）＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故答案为：13．【解答】解：∵y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y＝f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u＝1﹣v，即v+u﹣1＝0的距离最小，此时d＝，故u2+v2的最小值为d2＝，故答案为：14．【解答】解：当A（x）＝1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）＝2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）＝2，当A（x）＝3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）＝2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]二、选择题：15．【解答】解：∵＝cos＝sin，⇒，则△ABC是等腰三角形，故选：A．16．【解答】解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．17．【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n＝d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n＝（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣＝＝，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd＝4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．18．【解答】解：假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5＝x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，化为a（1+r）5＝x•，解得x＝．故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（0.01+a+0.07+0.06+0.02）×5＝1，解得a＝0.04．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率：p1＝（0.06+0.02）×5＝0.4．（3）三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率：p2＝＝．20．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面P AB内作BZ∥P A，则根据：P A⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1＝1，得x1＝0，y1＝﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα＝＝；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）＝λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ＝；∴8λ2﹣18λ+9＝0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．21．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．22．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）＝0解得m＝﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n＝1．23．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）＝（x+1）2﹣，∴S n＝（n+1）2﹣＝n2+n（n∈N*），当n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝，当n＝1时，a1＝s1＝1适合上式，∴数列{a n}的通项公式是：a n＝（n∈N*）；（Ⅱ）∵b n＝a n a n+1cos（n+1）π，（n∈N*），∴T n＝b1+b2+…+b n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，由（Ⅰ）得：数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列，①当n＝2m，m∈N*时，T n＝T2m＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）＝﹣（a2+a4+…+a2m）＝﹣••m＝﹣（8m2+12m）＝﹣（2n2+6n），②当n＝2m﹣1，m∈N*时，T n＝T2m﹣1＝T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2m a2m+1＝﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）＝（8m2+4m+3）＝（2n2+6n+7），∴T n＝，要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．∴t≤[﹣（2+）]min＝﹣；（Ⅲ）由a n＝知，数列{a n}中每一项都不可能是偶数，①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}；②q＝1时，显然不存在这样的数列{ank}，q＝3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*，则an1＝1，n1＝1，ank＝3k﹣1＝，n k＝，∴存在满足条件的数列{a nk}，且n k＝，（k∈N*）．。

【西安小升初名校真题系列】2017年某交大附入学数学真卷 (3)

2017年某交大附中入学数学真卷（六）一、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）1．一个等腰三角形的底和高的比是8:3，把它沿底边上的高剪开，拼成一个长方形，这个长方形面积是192平方厘米，长方形的周长是___________厘米．【答案】56【点拨】设拼成的长方体为4x ，宽为3x ，则43192x x ⋅=，22164x ==，4x =；长方体周长(4434)256=⨯+⨯⨯=（厘米）．2．三个自然数的最小公倍数是70，这个质数分别是__________．【答案】2，5，7【点拨】70257=⨯⨯，这三个质数分别为2，5，7．3．看图填空．从图中得出24和36公有的因数有__________．（写出具体的因素），其中最大一个是__________，这个数是24和36的__________．【答案】1，2，3，4，6，12，12；最大公约数．【点拨】24和36公有的因数有1，2，3，4，6，12共6个，其中最大的一个是12，12就是24和36的最大公约数． 4．小明将两根长14厘米的铁丝都按照4:3的长度弯折（折角相同），然后摆成一个首尾相连的平行四边形，已知这个四边形的面积是24平方厘米，他的较长边上的高是__________厘米．【答案】3【点拨】根据题意有右图，高2483=÷=（厘米）．5．如图直角ABC △的两条直角边BC 和AB 的比是1:3，如果分别以BC 边、AB 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥体积比是__________．86【答案】3:1【点拨】以BC 边为轴旋转一周，得到圆锥体积为：21π313π3⋅⋅⋅=，以AB 边为轴旋转一周，得到圆锥体积为：21π13π3⋅⋅⋅=，∴(3π):π3:1=．6．如图，第一个图形是一个水平摆放的一个小正方体木块，第二个图形和第三个图形是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，若某个叠放的图形中，小正方体木块总数为153个，则这个图形是第个__________图形．【答案】9【点拨】找到规律，当图形有2层时，小正方体个数：1(411)6+⨯+=．当图形有3层时，小正方体个数：1(411)(421)15+⨯++⨯+=．当图形有n 层时，小正方体个数：[]1(411)(421)4(1)1n +⨯++⨯+++-+ 有[]1(411)(421)4(1)1153n +⨯++⨯+++-+= []4123(1)153n n +⨯++++-=(11)(1)41532n n n +--+⨯=(21)153917n n ⋅-==⨯．∴9n =，即这个图形是第9个． 7．如图，阴影部分的面积与正方形的面积比是5:12，正方体的边长是6厘米，DE 的长是__________厘米．CBA第3个第2个第1个【答案】5【点拨】因16526612DE⨯⨯=⨯，∴5(cm)DE=．8．六（3）班的第一组8个同学进行跳绳比赛，分别跳了80下、90下、76下、120下、98下、95下、95下、98下．这个小组平均每人跳了__________下，这组数据中的中位数是__________，众数是__________．【答案】94，95，95和98【点拨】数据从小到大排列为：76，80，90，95，95，98，98，120．平均数7680909529821207529488+++⨯+⨯+===中位数为95；众数为95，98．二、解答题（共9小题，共76分）9．计算（每小题5分，共20分）（1）17118xx x-=++（2）2.50.8750.25 1.25⨯+⨯（3）5527614718⎡⎤⎛⎫--⨯⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（4）88819999999993+++【答案】（1）解：1718 xx-= +8877x x-=+15x=．（2）原式=2.5(0.8750.125)⨯+2.5=．（3）原式51761418⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭327 4218 =⨯827 =．（4）原式818181 =99999+9+999999⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1000100101110 =++=．10．图形计算．（6分）ED CB A将如图的三角形绕AB 边旋转一周，求所得立体图形的体积．【解析】立体图形是圆锥体，体积213.144350.243⨯⨯⨯=．11．画一画．（6分）（1）如图三角形AOB 向右平移五格后的图形；（2）如图三角形AOB 绕O 点按顺时针方向旋转180︒后的图形．【解析】（1）向右平移5格后的图形是三角形111A B O ；（2）绕O 点顺时针旋转180︒后的图形是三角形22OA B ．12．李叔叔购买了一套商品房，采用分期付款的方式．一种付款方式是第一年先付14万元，以后每年付6万元；另一种付款方式是前一半时间每年付8万5千元，后后一半时间每年付7万5千元．两种方式的付款钱数和付款时间相同．假如一次性付款，可以少付1万6千元．现在李叔叔想一次性付清房款，要付房款多少万元？（7分）【解析】设两种方式的付款时间都是x 年．543CBA1146(1)(8.57.5)2x x +-=+⨯．∴4x =146(41)32+⨯-=（万元）．一次付清房款，要付：32 1.630.4-=（万元）．13．某车间原有职工240人，其中女职工占职工总人数的35，后来又调来一些女职工，这时女职工占职工总人数的58，现在女职工有多少人？【解析】原来女职工数：32401445⨯=（人）．男职工：240144=96-（人）．现在总人数：59612568⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭（人）．现在女职工：25696160-=（人）．14．A 、B 两个木棒插入水池中（如图），两个木棒长度和是340厘米，A 根有34露出水面部分，B 根有25露出水面，则水池深多少厘米？【解析】已知：1345A B =， ∴31::12:554A B ==，B 根长:5340100(cm)125⨯=+．水池深：2100160(cm)5⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭．15．在标有比例尺的地图上，量得两地间相距12厘米，一列客车和一列货车从两地同时相向而行，4小时相遇，已知客车与货车的速度比是3:2，客车每小时行驶多少千米？（7分）【解析】由图中比例尺可知1厘米代表40千米．两地相距：4012480⨯=（千米）．速度和：4804120÷=（千米）．客车速度：31207232⨯=+（千米/时）． 16．如图正方形ABCD 的对角线2AC =厘米，扇形ACB 是以AC 为直径的半圆，扇形DAC 是以D 为圆心，水AB160千米12080400AD 为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积．（8分）【解析】212222ABCD S AD =⨯⨯==正方形．2π4AD S ⨯=扇形． ∴222ππππ11224442S AD AD AD ⎛⎫⎛⎫=-=-⨯=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭空白．∴2π1πππ22π2 3.142 1.142222S ⨯⎛⎫=--=-+=-=-= ⎪⎝⎭阴影．【注意有汉字】17．由19 中选取三个相异的数字x ，y ，z 组成一个三位数xyz 请问xyzx y z++的最小值为何？（8分）【解析】要使xyz x y z++的值最小，即10010x y zx y z ++++百位数取最小，=1x ，分母尽可能最大，9z =．原式10010910(10)9910101010x y y y y y++++===++++要最小，∴1x =，9z =；使分母尽可能大，∴8y =，∴xyz x y z ++的最小值为1102．。

交大自主招生高考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。

A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)2. 已知等差数列{an}的公差d=2，若a1+a5=18，求a3的值。

A. 8B. 10C. 12D. 143. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(5, 7)，求线段AB的中点坐标。

A. (3, 5)B. (4, 6)C. (5, 7)D. (7, 9)4. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模。

A. 5B. 7C. 9D. 115. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a+b+c=12，a^2+b^2=c^2，求三角形ABC的面积。

A. 6B. 8C. 10D. 126. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的极值点。

A. x=1，x=2B. x=1，x=3C. x=2，x=3D. x=1，x=47. 已知等比数列{an}的公比q=2，若a1+a3+a5=24，求a2的值。

A. 6B. 8C. 10D. 128. 在平面直角坐标系中，点P(1, 2)，点Q(4, 6)，求线段PQ的长度。

A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知复数z = 1 - 3i，求z的共轭复数。

A. 1 + 3iB. 1 - 3iC. -1 + 3iD. -1 - 3i10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与y轴的交点坐标。

A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)11. 已知等差数列{an}的公差d=-2，若a1+a5=18，求a3的值。

2017西安交通大学自主招生真题

2017西安交通大学自主招生真题出国留学高考网为大家提供2017西安交通大学自主招生真题，2017西安交通大学自主招生真题西安交通大学今年的测试包括笔试和面试两个环节。

一、笔试笔试为“数理思维”和“创新设计”两个科目。

数理思维测试方式继续采取“现学现考”的方式，10道判断题，5道左右的填空题，5道证明题，考生观看约30分钟由西安交大教授录制的视频后，随堂作答与视频内容有关的试题。

今年视频的核心内容是高等数学“拓扑空间”的概念，主要考察考生的抽象数理思维能力。

创新设计则会设定一些日常生活、工业生产或科技前沿的特定情境，考察学生构建物理模型，灵活运用数学与物理知识，实现某种特定功能，解决特定情境中实际问题的能力。

相比数理思维科目对抽象思维能力的关注，创新设计科目相对更加关注学生的逻辑思维、形象思维、创新思维和创新设计能力。

通过两门科目的考察，学生的综合素质和能力将会得到比较准确的测量。

二、面试面试采用小组比较型面试法，由5位专家面试6名考生。

通过英语口语、人文素养、科学素养、小组辩论和心理素养五个环节，考察每个考生的思维深度、临场应变、沟通交流和团队协作等综合素质。

面试之前，引导员会将考生带到候考室，介绍面试环节，并抽签确定辩论题目。

和通常的教师命题不同，为了使题目更贴近新生代高中生的思维方式和特点，今年，西安交大在教师命题的基础上，也请校内优秀学生参与了命题。

学生们设计的题目立意新颖，大部分题目的考核点和难度都符合要求。

面试试题：1、构建和谐社会依赖于个人素质还是社会秩序?2、不管白猫黑猫，抓住老鼠就是好猫这句话是否赞成?3、人工智能是否会代替人类?4、谈谈对这个世界最宝贵的是数据的理解5、面试需不需要面试父母之类的问题6、对诗意的理解小编精心为您推荐：自主招生信息汇总高考招生计划高考招生简章高考招生信息汇总高考招生自主招生招生计划高考招生简章高考保送生。

交大附中自招真题试卷卷

交大附中自招真题卷整理【例 1】已知甲、乙、丙三个电荷，依次排列在同素来线上，且都处于静止状态，由此可以判断（）A.甲、乙、丙带同种电荷B.甲、丙带同种电荷，甲、乙带异种电荷C.甲、丙带同种电荷，甲、乙可能带同种电荷，也可能带异种电荷D.无论甲、乙、丙带何种电荷，均可能使它们同时静止【例 2】以下列图，作用在杠杆一端且向来与杠杆垂直的力F，将杠杆缓慢地由地址 A 拉至地址 B，在这个过程中，力 F 的大小（）A. 变小B.不变C.变大D.先变大后变小【例 3】人们常常用充气泵为金鱼缸内的水补充氧气，以下列图为充气泵气室的工作原理图。

设大气压强为P0，气室中的气体压强为P，气体经过阀门S1、S2与空气导管相连接，以下选项中正确的选项是（）A.当橡皮碗被拉伸时， P>P0， S1开通 ,S 2关闭B.当橡皮碗被拉伸时， P<P0， S1开通， S2关闭C.当橡皮碗被压缩时， P>P0， S1关闭， S2开通D.当橡皮碗被压缩时， P<P0， S1关闭， S2开通【例 4】以下列图，静止的传达带上有一木块 A 正在匀速下滑, 当传达带突然向上开动时，木块滑终究部所需的时间t 与传达带静止不动时所需时间t 0对照（）A.t=t 0B.t>t 0C.t<t 0D.无法判断【例5】某旅客在火车车厢内以米/ 秒的速度行走。

当车厢静止时，他从车厢头走到车厢尾需要 20 秒。

当火车以10 米/ 秒的速度向前匀速行驶时，则他从车厢头走到车厢尾需要的时间是 ______秒，站在地面上的人看见该旅客经过的行程为______米。

【例 6】以下列图，将一块重为3N，体积为100cm3的石块，用细线系着吞没在装有水的圆柱形容器中，容器中水的深度由10cm上升到 12cm。

则石块所受浮力大小为______牛；细线松动，石块沉到容器底静止后，容器对水平川面的压强为______帕 ( 容器的重力和容器壁的厚度， g=10N/kg) 。

2017年上海交通大学自主招生真题

2017年上海交通大学自主招生真题
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2017年上海交通大学自主招生真题
2017年报名参加上海交通大学自主招生的考生，共有1391人通过审核;获得自主招生入选资格的考生为274人，从通过审核的考生人数上看，平均入选率为19.70%。

而最终获得录取的考生有162人，平均录取率为11.65%。

自主招生考试分为笔试和面试，不同的专业笔试科目不同，数学为必考科目。

【笔试真题】
数学：几何，十个小题六个大题两个小时。

物理：力学，三个小题五个大题两个小时。

物理热力学有一个分析题。

语文：考到了“八仙过海”中的八仙，要求选择不是八仙的选项。

【面试真题】
1、面试中，先是自我介绍，水平好的话可以申请用英语说，用中文版的话之后可能会让你用英语随便说点什么。

2、之后便是根据你的自我介绍和自荐信提问。

如果遇到一些比较刁钻的老师，便会故意为难你，比如问你的专业和他教的专业哪个难，无论你说哪个，他便会说另一个怎么怎么难来反驳，你再次反驳后，他依然会挑刺来反驳你，个人觉得只要说的有理有据，阐明自己的见解和理由就行了。

问问题也会涉及到个人经历，比如问你为什么会担任xx课代表，或者有没有参加过和专业相关的活动，以及竞赛经历，高考状况。

还有，对于本专业名人的了解不能拘泥于交大的，有的老师会特地要求不允许举例交大的名人，要求比较苛刻。

另外，竞赛证书是可以带进面试考场的，允许展示获奖证书。

交大附中数学真题试卷

交大附中数学真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数不是实数？A. πB. √2C. -1D. i2. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。

A. 5B. 3C. 1D. 73. 根据题目所给的几何图形，以下哪个选项是正确的？A. 三角形ABC是等边三角形B. 三角形ABC是直角三角形C. 三角形ABC是等腰三角形D. 三角形ABC是等差三角形4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求第10项的值。

A. 23B. 27C. 29D. 315. 以下哪个不是二次方程的解？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 36. 已知圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π7. 以下哪个是复数的共轭？A. z = 3 + 4iB. z = 3 - 4iC. z = -3 + 4iD. z = -3 - 4i8. 根据题目所给的代数式，求x的值。

A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = -19. 以下哪个是正弦函数的周期？A. 2πB. πC. 4πD. 110. 已知函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求g(π/4)的值。

A. 1B. √2C. 2D. 0二、填空题（每题4分，共20分）11. 求方程3x + 5 = 14的解。

_______12. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求其周长。

_______13. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求第5项的值。

_______14. 求函数h(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2在x=1处的导数值。

_______15. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，求向量a与向量b的点积。

________三、解答题（每题25分，共50分）16. 解不等式组：\[\begin{cases}x + 2 > 4 \\3x - 5 < 14\end{cases}\]17. 证明：若a, b, c是三角形ABC的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，则三角形ABC是直角三角形。

【西安小升初名校真题系列】2017年某交大附入学真卷 (1)

2017年某交大附中入学数学真卷（十）一、填空题（每小题3分，共24分）1．某服装原价为a 元，降价10%后的价格为__________元．【答案】90%a【解析】10%90%a a a -=．2．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为__________．【答案】6或4【解析】14446--=，(144)25-÷=．【点拨】等腰三角形中有两条腰的长度相等，446+>，554+>并且两边之和大于第三边．3．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是__________．【答案】12【解析】黑色区域面积之和占它所在大圆的12．4．一个圆柱体和一个圆锥体的高相等体积也相等，圆锥体的底面积是12平方分米，圆柱体的底面面积是__________平方分米．【答案】4【解析】21234(dm )÷=【点拨】当圆柱的高，体积与圆锥都相等时，圆锥的底面积一定是圆柱的3倍．5．通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上适当的图形．【答案】【解析】第1个图案A 上下对称；第2个图案B 左右对称；第4个图案D 左右对称；第5个图案E 上下对称；第6个图案F 左右对称，所以第3个图案是C 上下对称．6．甲数的13等于乙数的14，甲数__________乙数（选填“大于”、“小于”、“等于”）．【答案】小于【解析】因为1134>，则甲<乙．【点拨】由题可得甲13⨯=乙14⨯，则甲<乙；积相等时，一个因数越大，另一个因数越小．7．在5点30时，时针与分针组成的角是__________度．【答案】15或345【解析】36012215︒÷÷=︒，36015345︒-︒=︒．【点拨】5点30分时，时针在5与6中间，分针指向6，时针与分钟之间距离是半个大格．8．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图（2）需要10根小棒，，按此规律摆下去，第n 个图，按需要小棒__________根（用含有n 的代数式表示）．【答案】62n - 【解析】（1）6124⨯-=（根）．（2）62210⨯-=（根）．（3）63216⨯-=（根）．（4）64222⨯-=（根）．（n ）62(62)n n ⨯-=-（根）．二、计算题（每小题5分，计20分）1．322133.4533555⨯+⨯．【答案】322133.4533555⨯+⨯ 3233.41555⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ 33.47=⨯233.8=．（4）（3）（2）（1）2．2321111 4.251 5.75234334⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】2321111 4.251 5.75234334⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 231111 4.25 5.7523443⎛⎫⎛⎫=⨯++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11083=+ 1183=．3．333313355799101++++⨯⨯⨯⨯ ．【答案】原式1111=3+++13355799101⎛⎫⨯+ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111111111113132352572991012⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111111113123355799101⎡⎤⎛⎫=⨯⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11312101⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭ 150101=．【点拨】裂项消去法：1111()a a n a a n n ⎛⎫=-⨯ ⎪⨯++⎝⎭．4．解方程：()1132152x x --=．【答案】11(32)152x x --= 13152x x -+= 61252x = 2512x =．三、应用题（共8小题，计56分）1．求下图中阴影部分的面积（圆周率取3.14）（6分）【答案】824(cm)÷=，24832(cm)⨯=<长方形面积>，223.144225.12(cm)⨯÷=<半圆面积>，23225.12 6.88(cm)-=．6.88cm．答：阴影部分面积是2【点拨】长方形面积-半圆面积=阴影部分面积．2．甲、乙两人分别沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向甲迎面驶来，列车在甲身旁开过，用了15s，然后在乙身旁开过，用了17s，已知二人的步行速度都是1m/s，这列火车有多长？（6分）【答案】设火车的速度是x米/秒．+⨯=-⨯(1)15(1)17x x+=-x x15151717232x=16x=．(116)151715255+⨯=⨯=（米）答：这列火车长255米．【点拨】甲和火车迎面行驶，15秒共行1个车长；乙和火车同向行驶，17秒火车比乙多行一个车长．3．把99拆成4个数的和，使得第一个数加2，第二个数减2，第三个数乘2，第四个数除以2，得到的结果都相等，拆成的四个数依次是什么？（7分）【答案】设变化后的结果为x，x x x x-+++÷+⨯=(2)(2)22991x=4992x=．22-=，2222422220⨯=，÷=，22244+=，22211答：拆成的四个数依次是20、24、11、44．4．把一个长7厘米，宽6厘米，高4.5厘米的长方体铁块和一个棱长五厘米的长方体的铁块，熔铸成一个大圆柱体，这个圆柱体的底面积是78.5平方厘米，大圆柱体的高应是多少厘米？（7分）【答案】376 4.5555189125314(cm )⨯⨯+⨯⨯=+=<圆柱体体积>，31478.54(cm)÷=．答：圆柱的高应是4cm ．【点拨】长方体体积+长方体体积=圆柱体积．5．一批零件，甲单独做要20天完成，二人合作10天，完成这批零件的910，这时乙做了480个零件，这批零件共有多少个？（7分）【答案】1110202⨯=<甲10天完成总数的12>， 9121025-=<乙10天完成总数的25>， 248012005÷=（个）<单位“1”量=对应量÷对应分率>．答：这批零件有1200个．6．两辆汽车分别从A 、B 两地同时出发，在距中点40千米处相遇，甲行全程需10小时，乙行全程需15小时，求A 、B 两地距离．（7分）【答案】11161015⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭（小时）<两车经过6小时相遇>， 136105⨯=<相遇时甲车行全程的35>， 3115210-=<甲车比全程的一半多行110>， 14040010÷=（千米）<AB 两地距离>．答：AB 两地相距400千米．7．有人问一位老师，他教的特长班有多少学生，老师说:“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球”．请问这个特长班共有多少学生？（8分）【答案】1113124728---=，332828÷=（人）．答：这个特长班共有28人．【点拨】踢足球人数328÷=总人数，总人数=踢足球人数283⨯，所以踢足球人数必须是3的倍数而踢足球的人数比6人少只能是3人．8．观察下列算式：（8分）①2132341⨯-=-=-②2243891⨯-=-=-③235415161⨯-=-=-④___________________（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2分）（2）把这个规律用含字母n 的式子表示出来；（3分）（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．（3分）【答案】（1）246524251⨯-=-=-．（2）规律为2(2)(1)1n n n ⨯+-+=-．（3）答：一定成立．因为2(2)2n n n n ⨯+=+； 2(1)(1)(1)n n n +=++(1)(1)1n n n =+⨯++⨯2=1n n n +++221n n =++；所以222(2)(1)2(21)1n n n n n n n ⨯+-+=+-++=-．。

【西安小升初名校真题系列】2017年某交大附入学数学真卷 (5)

2017年某交大附中入学数学真卷（十二）（满分：100分时间：70分钟）一、填空题（每小题3分，共24分）1．一根钢管，截去部分是剩下部分的14，剩下部分是原钢管长的__________%．【答案】80【解析】该钢管截去部分是剩下的14，所以截去部分是圆钢管的11415=+，剩下部分是原钢管的44145=+，即剩下部分是原钢管的80%．2．在3.014，135，31.4%，3.14&和3.14&&中，最大的数是__________．【答案】135【解析】先把分数、百分数分别化成小数，13 3.25=，31.4%0.314=，因为3.2 3.14 3.14 3.0140.314>>>>&&&，即13 3.14 3.14 3.01431.4%5>>>>&&&，所以最大的数是135．3．有两张陕西省交通地图，比例尺分别为1:1000000与1:800000，老师告诉小明，在两张地图上西安与华山的图上距离相差8厘米，请你帮小明算一算，西安与华山的实际距离是__________千米．【答案】320【解析】设西安到华山的距离为x ，则1188000001000000x x ⨯-⨯=，解得32000000x =，即实际距离是32000000厘米320=千米．4．在下列（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中，可以用若干块和拼成的图形是__________．【答案】（2）（4）【解析】和都是由3个小正方形组成的，所以用这两个图形拼成的图形，其中小正(4)(3)(2)(1)方形的个数必定是3的倍数，根据图中小正方形的个数可以排除图（1），再根据图形特征，可以得出（2）（4）可以由这两个图形拼成．5．一个长方体的长、宽、高分别是a 米、b 米和h 米，如果高增加5米，体积增加__________立方米．【答案】5ab【解析】这个长方体的长和宽没有变，高增加了5米，相当于增加了一个和该长方体长、宽相同，高为5的长方体，所以增加的体积是55a b ab ⨯⨯=（立方米）．6．12399100⨯⨯⨯⨯⨯L ，这个乘积的结果共有__________个0．【答案】24【解析】1到100中含有因数5的数有100520÷=（个），这其中25，50，75，100都含有两个因数5，一共含有5的个数是20424+=（个），所以该成绩的结尾有24个0．7．一个圆柱体，底面半径是8厘米，表面积是1406.72平方厘米，这个圆柱的高是__________厘米．【答案】20【解析】圆柱体的表面积是22π2πr rh +，所以圆柱的高(1406.722 3.1488)(2 3.148)20=-⨯⨯⨯÷⨯⨯=（厘米）．8．（导学号89134235）学校门口经常有小贩搞摸奖活动，某小贩在一只黑色的口袋里装有颜色不同的50只小球，其中红球1只，黄球2只，绿球10只，其余为白球，搅拌匀后，每2元摸一个球（奖品情况为摸着红球获得8元的奖品，摸着黄球获得5元的奖品，摸着绿球获得2元的奖品，摸着白球无奖品），如果花4元同时摸2个球，那么获得10元奖品的概率是__________．【答案】111225【解析】获得10元奖品的情况有两种，情况一：摸中一个8元的和摸中一个2元的，即摸中一次红球，摸中一次绿球，则概率是110101250495049245⨯+⨯=；情况二：摸中两个黄球，当摸出一个黄球后，摸到第二个黄球的概率是149，则概率是2150491225=⨯；则总的概率是211124512251225+=．二、解答题（共76分） 9．计算题（20分）（1）73125 4.520%2043⎡⎤⎛⎫÷-⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】解：原式4723911204253⎡⎤⎛⎫=÷-⨯+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 472398204215⎡⎤=÷-⨯⎢⎥⎣⎦ 4723122045⎡⎤=÷-⎢⎥⎣⎦ 47672020=÷4767= 【解析】略．（2）2518 2 1.523629⎡⎤⎛⎫-⨯+÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】解：原式8365932528⎡⎤⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦76596528⎡⎤=⨯+⨯⎢⎥⎣⎦759528⎡⎤=+⨯⎢⎥⎣⎦399108=⨯31480=【解析】略．（3）11111 13355717191921 ++++⨯⨯⨯⨯⨯L【答案】解：原式1111111111 123355717191921⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L1111111111123355717191921⎛⎫=⨯-+-+-++-+-⎪⎝⎭L111221⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭120221=⨯1021=【解析】略．（4）解方程：1111929 343x⎡⎤⎛⎫--÷=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】解：111992 3124x⎡⎤--=⨯⎢⎥⎣⎦113183612x--=11213612x=+21363x=⨯+759x=【解析】略．10．（导学号89134236）求下列阴影部分的面积（单位：米）．（6分）【答案】解：442222⨯÷-⨯÷16242=÷-÷82=-6=（平方米）答：阴影部分的面积有6平方米．【解析】略．11．某次教学活动安排学生住宿，若每个房间2人，则有12人没有床位；若每个房间3人，则多出2个空床位，问共有多少件房？学生共有多少人？（6分）【答案】解：共有房间：(122)(32)14+÷-=（间），共有学生：1421240⨯+=（人）．答：一共有14间房，学生共有40人．【解析】略． 12．一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？（7分）【答案】解：设两个城市之间的飞行路程为x 千米，则224503260x x-=⨯，解得2448x =．答：两个城市之间的飞行路程为2448千米．【解析】略． 13．（导学号89134237）仓库有一批煤炭，运走的煤炭与剩下的煤炭的重量比为2:7，如果再运走32吨，那么剩下的煤炭只有仓库原有煤炭的35，仓库原有煤炭多少吨？（7分）【答案】解：7332275⎛⎫÷-⎪+⎝⎭733295⎛⎫=÷- ⎪⎝⎭83245=÷ 180=（吨）．答：仓库原有煤炭180吨．【解析】略．14．如图，在一个长8分米，宽6分米，高20分米的长方体容器中倒入一定量的水，然后仿佛一个底面半径为2分米的圆柱形铁块，铁块全部浸没在水中（水未溢出），这时水面上升3.14米，求这个圆柱形铁块的高45°2224是多少分米．（7分）【答案】解：286 3.14(π2)⨯⨯÷⨯48 3.14(3.144)=⨯÷÷484=÷ 12=（分米）．答：这个圆柱形铁块的高是12分米．【解析】略．15．甲、乙两人一起运一批货物，甲搬了8分钟搬完了一半，甲休息一个小时以后，甲、乙一起用了6分钟搬完这批货物，第二天又来了同样一批货，只有乙一个人搬，他需要几分钟搬完？（7分）【答案】解：甲的工作效率是：118216÷=，乙的工作效率是1111621648⎛⎫-÷-= ⎪⎝⎭，则乙一个人搬需要114848÷=（分钟）．答：只有乙一个人搬，他需要48分钟搬完．【解析】略． 16．（导学号89134238）有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50%酒精的溶液，先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯中，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯，问这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几？（8分）【答案】解：把甲、乙两个杯子的容积看作1，第一次将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯后，乙杯中酒精为1111224⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，水为111244-=，甲杯中酒精为14，水为34；第二次将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯，乙杯中酒精为111314428⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭，而乙杯溶液为111122+⨯=，这时乙杯中的酒精是溶液的38．答：这时乙杯中的酒精是溶液的八分之三．【解析】略． 17．（导学号89134239）正方形ABCD 边长8厘米，等腰直角三角形EFG 的斜边GF 长26厘米，正方形和三角形放在同一直线上，如图，10CF =厘米正方形以每秒2厘米的速度向右沿直线运动．3.146820（1）第6秒时，三角形和正方形重叠的面积是多少平方厘米？（4分）【答案】解：如图所示，正方形6秒移动的距离是2612⨯=（厘米），正方形与三角形EFG 重叠的一条边长是12102-=（厘米），由于三角形EFG 为等腰直角赞侥幸，所以45EFG ∠=︒，所以重叠部分面积是2222⨯÷=（平方厘米）．答：第6秒时，三角形与正方形的重叠部分面积是2平方厘米．【解析】略．（2）第几秒时，三角形和正方形重叠的面积是62平方厘米？（4分）【答案】解：88262⨯-=，正方体露出部分的面积是2平方厘米，又2222⨯÷=（平方厘米），所以露出部分三角形的边长为2厘米，所以存在如图所示的两种情况：第一种情况：862-=（厘米），即当正方形走了106824++=（厘米），即运动了24212÷=（秒）．第二种情况：正方形一共走了10(266)30+-=（厘米），运动了30215÷=（秒）．答：第12秒和第15秒时，正方形和三角形的重叠面积是62平方厘米．26cm8cm GFED CBA2cm10cm ABC DEFG8cm 26cmABCD EFG8cm 26cm。

2017届上海交大附中高三下学期返校数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海交大附中高三（下）返校数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=tan3x的最小正周期为．2．计算=．3．=．4．若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N=．5．二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为．6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．7．若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=．8．若一个球的体积为，则它的表面积为．9．三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．11．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A={a1，a2，a3}的不同分析种数是．12．已知函数y=a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．13．已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．14．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））=5，则x的取值范围为．二、选择题：15．在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形16．已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p418．某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．21．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．22．已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．23．已知二次函数y=f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的表达式；（2）设b n=a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，a n1，a n2，a n3，…na nk，…（1=n1＜n2＜n3＜…＜n k ＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{a nk}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海交大附中高三（下）返校数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．函数y=tan3x的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用函数y=Atan（ωx+φ）的周期为，可得结论．【解答】解：函数y=tan3x的最小正周期为T==．故答案为：．2．计算=2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用行列式的运算得，=2×3﹣1×4=2．【解答】解：=2×3﹣1×4=2，故答案为：2．3．=．【考点】极限及其运算．【分析】利用等差数列的求和公式可得1+2+3+…+n=，然后即可求出其极限值．【解答】解：==（+）=，故答案为：4．若集合M={y|y=﹣x2+5，x∈R}，N={y|y=，x≥﹣2}，则M∩N=[0，5] ．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出M与N中y的范围，确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=﹣x2+5≤5，得到M=（﹣∞，5]，由N中y=，x≥﹣2，得到y≥0，即N=[0，+∞），则M∩N=[0，5]，故答案为：[0，5]5．二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为210．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式，求出展开式中x的指数为4，从而求出对应的系数．【解答】解：二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为C104=210，故答案为：106．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有240种．【考点】计数原理的应用．【分析】利用捆绑法，把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，问题得以解决【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有=240种，故答案为：2407．若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式可知cosα=，又π＜α＜2π，利用同角三角函数间的关系式（平方关系）即可求得sinα的值．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，又π＜α＜2π，∴sinα=﹣=﹣．故答案为：﹣．8．若一个球的体积为，则它的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．【解答】解：由得，所以S=4πR2=12π．9．三棱锥O﹣ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】将△BOC作为三棱锥的底面，当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，由此能求出三棱锥O﹣ABC体积的最大值．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA=OB=OC=2，且∠BOC=45°，∴△BOS的面积为定值S==，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V=×S×h==．故答案为：．10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，通过MG和平面EFGH 所成角的正切值为，推出=，然后求解即可．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得=，OG=，则MO=．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：．11．若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A={a1，a2，a3}的不同分析种数是27．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】考虑集合A1为空集，有一个元素，2个元素，和集合A相等四种情况，由题中规定的新定义分别求出各自的分析种数，然后把各自的分析种数相加，利用二次项定理即可求出值．【解答】解：当A1=∅时必须A2=A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31•2；当A1有2个元素时，分析总数为C32•22；当A1=A时，分析种数为C33•23．所以总的不同分析种数为1+C31•21+C32•22+C33•23=（1+2）3=27．故答案为：2712．已知函数y=a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．【考点】基本不等式．【分析】函数y=a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），可得a＞1，3=a+b．于是=（a﹣1+b）=，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵函数y=a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），∴a＞1，3=a+b．∴=（a﹣1+b）=≥=，当且仅当a=，b=时取等号．故答案为：13．已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式组进行化简，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：∵y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u=1﹣v，即v+u﹣1=0的距离最小，此时d=，故u2+v2的最小值为d2=，故答案为：14．已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））=5，则x的取值范围为（1，] ．【考点】其他不等式的解法．【分析】由A（x）表示不小于x的最小整数分类讨论可得2x•A（x）的取值范围，解不等式验证可得．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]二、选择题：15．在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【考点】正弦定理．【分析】由，得sin=sin，⇒，【解答】解：∵=cos=sin，⇒，则△ABC是等腰三角形，故选：A．16．已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．【解答】解：对于复数z，若z+=0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+=0．∴“z+=0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B17．下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4【考点】等差数列的性质；命题的真假判断与应用．【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．﹣a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1数列成立，是真命题．﹣na n=（n+1）d+a n，不一定是正实对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+3（n+1）d﹣a n﹣3nd=4d＞0，+1故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选D．18．某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5=x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5=x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，化为a（1+r）5=x•，解得x=．故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图能估计该地区学员交通法规考试合格的概率．（3）三个人参加交通法规考试，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能估计这三个人至少有两人合格的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（0.01+a+0.07+0.06+0.02）×5=1，解得a=0.04．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率：p1=（0.06+0.02）×5=0.4．（3）三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率：p2==．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=PA=BC=2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）DE为△ABC的中位线，从而得到DE∥BC，然后根据线面平行的判定定理及性质定理即可得到DE∥MN，从而BC∥MN，即MN∥BC；（Ⅱ）过B作BZ∥PA，容易说明BC，BA，BZ三条直线互相垂直，从而以B为原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，这样即可求得的坐标．从而可求出平面PBC的一个法向量坐标，设直线AC与平面PBC所成角为α，根据sinα=即可求出α；（Ⅲ）根据图形设M（0，y，z），由M点在棱BP上，便可得到，从而表示M为M （0，2λ，2λ），根据直线EM与直线AP所成角的余弦值，设直线EM与直线AP所成角为θ，从而通过cosθ=即可求出λ，从而求出M点坐标，由两点间距离公式即可求出MC．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC=MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面PAB内作BZ∥PA，则根据：PA⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1=1，得x1=0，y1=﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα==；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）=λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ=；∴8λ2﹣18λ+9=0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．21．在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x=﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C相切于点P，与直线x=﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．【考点】直线与圆锥曲线的关系；与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（Ⅰ）设出动点E的坐标为（x，y），然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），联立直线方程和抛物线方程化为关于y的一元二次方程后由判别式等于0得到k与b的关系，求出Q的坐标，求出切点坐标，再设出M的坐标，然后由向量的数量积为0证得答案，并求得M的坐标．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x=﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2=4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y=kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b=0．∵直线l与抛物线相切，∴△=16﹣16kb=0，即．∴直线l的方程为y=kx+．令x=﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则==．当m=1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．22．已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点．【分析】（1）根据奇函数的定义可知f（﹣x）+f（x）=0，建立关于m的等式关系，解之即可；（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；（3）先求函数的定义域，讨论（n，a﹣2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n=1．23．已知二次函数y=f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的表达式；（2）设b n=a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，a n1，a n2，a n3，…na nk，…（1=n1＜n2＜n3＜…＜n k＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{a nk}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）先求出s n，通过讨论n的范围，从而得到数列{a n}的通项公式；（2）通过讨论n的奇偶性，从而求出T n的表达式，问题转化为使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立即可；（3）通过讨论公比的奇偶性，从而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）=（x+1）2﹣，∴S n=（n+1）2﹣=n2+n（n∈N*），当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=，当n=1时，a1=s1=1适合上式，∴数列{a n}的通项公式是：a n=（n∈N*）；（Ⅱ）∵b n=a n a n+1cos（n+1）π，（n∈N*），∴T n=b1+b2+…+b n=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，由（Ⅰ）得：数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列，①当n=2m，m∈N*时，T n=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=﹣（a2+a4+…+a2m）=﹣••m=﹣（8m2+12m）=﹣（2n2+6n），②当n=2m﹣1，m∈N*时，T n=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2m a2m+1=﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）=（8m2+4m+3）=（2n2+6n+7），∴T n=，要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．∴t≤[﹣（2+）]min=﹣；（Ⅲ）由a n=知，数列{a n}中每一项都不可能是偶数，①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}；②q=1时，显然不存在这样的数列{ank}，q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*，则an1=1，n1=1，ank=3k﹣1=，n k=，∴存在满足条件的数列{a nk}，且n k=，（k∈N*）．2017年4月22日。

【西安小升初名校真题系列】2017年某交大附入学数学真卷 (1)

2012年某交大附中小升初5·26综合素质评价招生真卷一、精心选一选（每题2分，共20分）1．用3、5、8组成一个三位数，使组成的三位数是5的倍数，有__________种组法．A ．1B ．2C ．3D ．6【答案】B【解析】5的倍数的数能被5整除，特点：末尾为0或5．所以5放在个位上，即385和853．2．经过三个点可以确定__________条直线．A ．1B ．1或2C ．3D ．1或3 【答案】D【解析】画图发：（在同一条直线上）（三点不在同一条直线上）．3．a 是大于0的数，()()a a a a a a +÷+-⨯的结果是__________．A ．aB ．2C ．2a -D ．无法确定【答案】B【解析】根据运算法则：有括号先算括号里的，再算乘除，后算加减．原式202a a a =÷+⨯=．4．已知1212293⨯=⨯，则下面的比例__________成立． A ．1212:2:93= B ．21:212:39= C ．2112:2:39= D ．212:12:39= 【答案】C 【解析】根据内项之积等于外项之积，则有19与12作外项（或内项），23与2作内项（或外项），C 符合．即2112:2:39=．5．从A 面看直观感觉是__________．A ．B ．C ．D ．E ．【答案】D 【解析】从A 面看即从左面看，上方时两个竖的长方形，下方是两个横的长方形，即D 选项符合．6．的第四个框是__________．A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】找规律：下一项比钱一项多一笔，三角形三个边，则下一框有四个边．C 选项符合．7．下面的时间最接近你的年龄的是__________．A ．6000分B ．6000时C ．600周D ．600月A面【答案】C【解析】一天24时，一年则有8760时，知A 、B 选项不符合，一年12个月，10年有120个月，远远小于600元，则只有C 符合题意．8．用两个完全相等的三角形拼成一个平行四边形，三角形的边长分别是6厘米，8厘米，5厘米，这个平行四边形周长最大是__________．A ．38B ．28C ．26D ．22【答案】B【解析】三种情况：①重合5厘米的边，即5厘米边为平行四边形的对角线，则平行四边形边长分别为6厘米、8厘米，则周长为：(68)228+⨯=厘米．②重合6厘米的边，则周长为：(58)226+⨯=厘米．③重合8厘米的边，则周长为：(65)222+⨯=厘米知最大为28厘米，选B 项．9．右图是一辆自行车，主动轮有54齿，从动轮有27齿，后轮直径为1米，如果每秒瞪2圈（即主动轮转2圈），则这辆自行车一小时能行__________公里．A ．43.2πB ．7.2πC ．3.6πD ．14.4π 【答案】D【解析】主动轮每秒转2圈，从动轮每秒转254274⨯÷=圈（即齿数与圈数成反比）．则自行车1小时能行142π42π4π(m)2r ⋅=⨯⨯=． 1h 3600s =，36004π14400π(m)14.4π⨯==．故选D ．10．有两张陕西省交通地图，比例尺分别为1:1000000与1:600000，老师告诉小明，在两张地图上西安与宝鸡的图上距离相差12厘米，请你帮小明算一算，西安与宝鸡的实际距离是__________千米．A ．1800B ．180C ．210D ．168【答案】B【解析】设比例尺小的图上距离为x 厘米，大的为(12)x +厘米，实际距离为y 厘米（1:10000001:600000<），有11000000112600000x y x y ⎫=⎪⎪⎬+⎪=⎪⎭．解之得：18x =，18000000y =厘米180km =．故选B ．二、认真填一填（每题2分，共12分）1．一个整数，“四舍五入”后是6万，这个数最大是__________，最小是__________．【答案】64999；55000．【解析】“四舍五入”为6万，故最大的万位为6，则千位为4，舍去，故为64999．最小数的万位为5，则千位为5，入上去，故为55000．2．袋子里有黑球3个，红球2个，白球1个，随机摸到一个球是红球的可能性是__________．【答案】13【解析】红球有2个，总球数有6个，则为26，即13．3．一件衣服进价为80元，按标价的六折出售还赚52元，那么标价为__________．【答案】220【解析】设标价为x ．60%8052x -=220x =．4．商场门口挂一排彩色灯泡，按照“二红四蓝三黄”的顺序排列，第50只灯泡是__________颜色．【答案】蓝色【解析】找规律：2439++=（个），9个为一组，则有5095÷=（组）⋅⋅⋅⋅⋅⋅5（个），第5个为黄色．故第50只灯泡为蓝色．5．某公司收费部共有15人，某月这15人完成某商品销售定额如下表，这组数据的众数是__________，中位数是__________．【答案】210．【解析】众数为数据最多的，中位数为从小到大排列，处于最中间的数，则众数为210，中位数为210．6．有一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，如图，裁出7个同样大小的圆铝板，则余下的边角料的总面积是__________平方厘米．【答案】8【解析】22π36(cm )S r ==大大圆圆，又13r r =小大圆圆．2177π9S r =⋅⋅小大圆圆17369=⨯⨯228(cm )=．3628S =-余料28(cm )=．【注意有文字】三、细心算一算（每题3分，共12分）1．4462.8198626255⨯-⨯-．【解析】原式62.819862.862.8=⨯-⨯-62.8(1981)=⨯--62.810=⨯628=．2．25182 1.523639⎡⎤⎛⎫-÷+÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．原式8367932538⎡⎤⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦863679352538⎛⎫=⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭169795538⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭779538⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭569158=⨯215=．3．解方程2121 3.4325x x -+=．【解析】2121 3.4325x x -+=11.4 3.46x +=13.14 1.46x =-126x =12x =．4．解方程32.5125%5x ⨯-=．【解析】32.5125%5x ⨯-=1.5 1.25x -=1.5 1.25x =-0.25x =．四、动手操作（共5分）画一条直线将下面图形部分成面积相等的两部分．【解析】有三种方法：③②①五、（本题5分）圆的面积与长方形的面积相等，圆的周长是62.8厘米，长方形的周长是多少厘米？（π 3.14≈）【解析】62.8π210÷÷=（厘米），2π101031.4⨯÷=（厘米），2(10 3.14)82.8⨯+=（厘米）．六、走进生活我最棒（共26分）1．（本题5分）王师傅运100块玻璃，每块运费0.8元，如果破损一块，不但没有运费还要赔偿0.2元，玻璃运到后，王师傅获运费78元，问：破损了几块玻璃？【解析】(1000.878)(0.20.8)2⨯-÷+=（块）．答：破损了2块玻璃．2．（本题5分）陕西省物价局18日组织各界代表召开“居民生活用电试行阶梯电价听证会”．此前，供电公司在某小区试点阶梯电价，规定了如下计费方法：每月用电不超过150度，每度0.5元．超过150度的部分按每度0.7元计算．小明家上月用电平均每度0.55元，问他家上月用电多少度？【解析】设他家上月用电x度．1500.5(150)0.70.55x x⨯+-⨯=0.150.2150x=⨯200x=．答：小明家上月用电200度．3．（本题5分）加工一批零件，甲单独20天完成，乙单独做每天完成这批零件的130．现在两人合作完成这批零件的加工任务，甲中途休息了5天，乙也休息了若干天，这样用19天才完成任务．求乙休息了多少天？【解析】1119114102030⎛⎫--⨯÷=⎪⎝⎭（天）答：乙休息了10天．4．（本题5分）李老师从数学兴趣小组调出1名女生到英语兴趣小组后，剩下的同学中有17是女生．如果不调出这名女生，而是调出2名男生，那么剩下的同学中有15是女生．问原来这个数学兴趣小组有多少名同学？【解析】设原来有x名女生，则原来共有7(1)176x x-+=-名学生，:(762)1:5x x--=785x x-=4x=．答：所以全班原共有7622x-=名学生，这个数学兴趣小组原来共有22名学生．5．（本题6分）客车与货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需要10小时，货车行完全程需要15小时，两车在途中相遇后，客车又行了96千米，这时客车已经行了全程80%，求甲、乙两地相距多少千米？【解析】客车与货车速度之比为11:3:21015=，当两车途中相遇时，客车走了全程的3100%60%32⨯=+．甲乙两地相距96(80%60%)480÷-=（千米）．答：甲、乙两地相距480千米．。

交附2017自招

1、一个班级数学测验的平均分为80分，其中两个新转进来的学生成绩分别是70分和60分。

若扣除这两个新来的学生的得分，这个班的平均分可达到81分，则这个班共有学生（包括转进的学生）__________人2、关于x 的一元二次方程20x ax b ++=两根恰好为,a b ，若0ab ≠，则22a b +的值为______3、已知x 8=的解为________4、因式分解：2232a b a b -++-=_____5、如图，半径分别为2,6的圆A 、圆B 外切，它们的两外公切线交与点C ，则图中阴影部分面积为______6、直角三角形三边长都是正整数，其中有一条直角边长是21，则斜边长的最小值是_______7、如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AC AB 上，//,DE BC BD 与CE 交于点O ，直线AO 交DE 于N ，交BC 于M ，若D N O ∆的面积为1，CMO ∆的面积为9，则C D O ∆的面积为_______8、下列哪个时间时钟的时针与分针最接近重叠？A 、6:31B 、6:32C 、6:33D 、6:349、射直角三角形的三边长为,,a b c ，若222a b c a b c+=+=+，则三角形的面积为______ 10、若关于x 的方程212x a x a -+++=有无数个解，则实数a 的值为_______11、设15XOY ∠=︒，A 是OX 上一点，OA D =为OY 上一点，3OD =，C 是射线OX 在上任意一点，B 是射线OY 上任意一点，则折线ABCD 的长AB BC CD ++的最小值是_______12、一本故事书印有26个故事，它们的篇幅分别为1页，2页，…，26页（一张纸为两页）。

从书的第一页起开始印第一个故事，后续的每一个故事都另起一页（例如：若第一个故事的篇幅为3页，第二个故事的初始页码为第4页），那么最多可能有_____个故事的起始页码为奇数13、有10个非负整数，仅知道它们的平均数为3，中位数为x ，若根据这两个数据可以判断出每个整数都不大于7，则x =______14、已知在平面内有四个不同的点,,,,PA 1,PB 2A B P Q ==。

2017年___数学自招真题

2017年___数学自招真题1. 已知三角形的三边为a、b、c，求a+b+c-2ab-2bc-2ca的值。

解：根据三角形的三边关系，有a+b>c，b+c>a，c+a>b。

将a+b+c-2ab-2bc-2ca进行化简，得到(a-b-c)^2>0，即a-b-c不等于0。

2. 设m、n是正整数，且m+n>mn，判断以下四个结论中正确的一个。

解：将m+n-mn>0进行化简，得到(m-1)(n-1)<1。

若m、n均大于1，则m-1≥1，n-1≥1，因此(m-1)(n-1)≥1，与(m-1)(n-1)<1矛盾。

3. 已知方程2x+a=x+a有一个根为1，求实数a的值。

解：将x=1代入方程2x+a=x+a，得到a+2=a+1，化简得a=-1±√5。

当a=-1-√5时，方程2x+a=x+a的根不包括1，因此舍去。

4. 已知a、b、c是不完全相等的任意实数，求x=a-2b+c，y=a+b-2c，z=-2a+b+c的大小关系。

解：将x、y、z相加，得到x+y+z=-2a-2b-2c。

若x、y、z均小于0，则x+y+z<0，与上式矛盾。

5. 已知a、b、c不全为无理数，判断关于a+b、b+c、c+a的说法是否正确。

解：若a、b、c均为有理数，则a+b、b+c、c+a均为有理数，选项A正确。

若a=2，b=3，c=√2，则a+b、b+c、c+a均为无理数，选项B正确。

若a=2，b=-2，c=√2，则a+b、b+c、c+a中有且仅有一个为有理数，选项D错误。

6. 求方程组(x-y)(x-2y)=1，(x+y-2)^2+(2x-y-1)^2的实数解。

解：将(x-y)(x-2y)=1化简，得到x^2-3xy+2y^2=1。

将x+y-2=a，2x-y-1=b，化简得到a^2+b^2=10。

将x=ay+b代入x^2-3xy+2y^2=1，得到a^2-3ab+2b^2=1。