数字滤波器[1]

1 a a2 a
3
IIR = Infinite Impulse Response filter
系统的单位脉冲响应h(n)具有无限项，传递函数 h(n) 是z−1的实有理函数
传递函数必须满足稳定性条件（有极点）
n
为达到相同的指标，FIR滤波器的阶数通常要高于IIR滤波器 为达到相同的指标，FIR滤波器的阶数通常要高于IIR滤波器 滤波器的阶数通常要高于
5.2 IIR 数字滤波器的基本结构
x(n) H2(z) w(n) H1(z) y(n)
x(n)
w(n)
+ + +
a1
w(n)
b0
y(n)
+ + +
z -1 z -1 z -1
z -1 z -1 z -1
b1
a2
b2
需max(N,M)个延时单元 max(N,M)个延时单元 需N+M+1个乘法器 N+M+1个乘法器 需2个加法器 +
aN aN−1 − bM−1 −
+
z -1
z -1
bM
a2 x(n) w(n) b0 a1 z-1 z-1
aN z-1 bM-1 b1 z-1 y(n)
bM
只需实现 N 阶滤波器所需的 个延时单元， 最少的 N 个延时单元，故又 称典范型（ 称典范型（N ≥ M）
x(n) a1 a2 a3 w(n) z-1 z-1 z-1 b0 b1 b2 b3 y(n)
5.2 IIR 数字滤波器的基本结构
x(n)
H1(z)
u(n)
H2(z)
y(n)
x(n)
H2(z)
w(n)
H1(z)
y(n)
5.2 IIR 数字滤波器的基本结构
x(n) H1(z) u(n) H2(z) y(n)
x(n)
b0
u(n)
u(n)
y(n)
+ + +
+ + +
a1
z -1 z -1 z -1 需N+M个延时单元 N+M个延时单元 需N+M+1个乘法器 N+M+1个乘法器 需1个加法器 z -1
FIR versus IIR
FIR versus IIR
IIR 滤波器
h(n)无限长 极点位于z平面任意位置 存在极点，低阶次即可实现较好 的频率选择性 非线性相位 递归结构 不能用FFT FFT技术 可利用模拟滤波器设计技术 用于设计规格化的选频滤波器
FIR 滤波器
h(n)有限长 极点固定在原点（N−1） − 存在零点，无极点，需要较高阶 次实现频率选择性 可具有严格的线性相位 一般采用非递归结构 可用FFT FFT技术 设计借助于计算机 可设计各种幅频特性和相频特性 的滤波器
Specifications
技术指标
As Ap
滤波器实现方案 并不唯一！ 并不唯一！
fp,ξ,ε,n
0
Fp
Fs
f
A(f )
Approximation
As Ap 0 Fp fp fs Fs f
有理传递函数 H(z)：① 幅度逼近 (巴特 ： 沃思/最平响应，切比雪夫) 沃思/最平响应，切比雪夫) ② 时域截断 ③ 频域取样 …
x(n)
-1
典范型结构： 典范型结构：
y(n) z
-1
8
x(n) z
8
-1
y(n)
z z
-4
5/4
5/4
-4
-1
11
-3/4
z
-1
-3/4
z
-1
11
z
-1
-2
1/8
z
-1
1/8
z
-1
-2
将 H(z) 因式分解：
得级联型结构：
x(n) 8 0.25 z
-1
y(n) z -0.31 z 1.32
-1 -1
3、级联型：Cascade 级联型：
将共轭成对的复数组合成二阶多项式（系数为实数），为采用相同 将共轭成对的复数组合成二阶多项式（系数为实数），为采用相同 ）， 结构的子网络，将两个实零点/极点组合成二阶多项式，得到： 结构的子网络，将两个实零点/极点组合成二阶多项式，得到：
α2m
x(n) H1(z) H2(z) HK(z) y(n)
第五章 数字滤波器及其设计
s2(t) s1(t) S1(f) S2(f)
Example
f1 ≠ f2 f1 f2
H(f) H(f s1(t)+s2(t)
f1
f2
f
频率选择
s1(t)
Filter?
H(θ) H(θ
Example
s1(t)
S1(f)
θ1
θ2
θ
S2(f)
s2(t)
f0
θ1
f0
θ2
s1(t)
4、并联型
转置定理
原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出 原网络中所有支路方向倒转，并将输入 和输出y(n)相互交 相互交 换，则其系统函数H(z)不改变 换，则其系统函数 不改变
y(n)
x(n) z
b0
-1
y(n) z
b0
-1
x(n)
a1
b1
a1
b1
a2
z
-1
b2
a2
z
-1
b2
bM-1 z
α1m
z-1
z-1
β2m
β1m
x(n) A y(n)
-1 -1 -1
α11 α21
z
β11 β21
α12 α22
z
β12 β22
α13 α23
z
β13 β23
z
-1
z
-1
z
-1
α1m α2m
z
-1
β1m β2m
z
-1
组合优化
3、级联型
级联型的特点： 级联型的特点：
• 调整系数 它零极点 调整系数 它零极点 ， ， 能单独调整滤波器的第k对零点， 能单独调整滤波器的第k对零点，而不影响其 能单独调整滤波器的第k对极点， 能单独调整滤波器的第k对极点，而不影响其
为什么要研究数字滤波器的实现结构？ 为什么要研究数字滤波器的实现结构？
基本运算单元 单位延时
方框图
z-1
流图
常数乘法器
加法器
block diagram & flow graph
5.2 IIR 数字滤波器的基本结构
IIR 数字滤波器的特点： 数字滤波器的特点：
系统函数
差分方程
1）系统的单位脉冲响应h(n)无限长 2）系统函数H(z)在有限z平面（ ）上有极点存在 3）存在输出到输入的反馈，递归型结构: 直接I、II型，级、并联型 直接I II型
Very sensitive to the effects of coefficients quantization if N or M is large !!!
2、直接 II 型 (典范型) 典范型)
将系统函数按零极点因式分解: 将系统函数按零极点因式分解:
* * *
cascade of biquads
gm
β0m β1m
z-1 Am
β0m
HK(z)
Am gm
z
-1
α1m α2m
z
-1
β1m
z
-1
并联型的特点： 并联型的特点： • • • 通过调整系数 ，
一、二阶基本节
可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置 可单独调整一对极点位置，
各并联基本节的误差互相不影响， 各并联基本节的误差互相不影响，故运算累积误差小 可进行并行运算，运算速度高 可进行并行运算，
空间选择
Filter?
概 述
• •
数字滤波器：离散时间系统（有限精度），可完成平滑、预测， 数字滤波器：离散时间系统（有限精度），可完成平滑、预测，微 ），可完成平滑 积分、 分、积分、信号分离和噪声抑制等功能 频率选择数字滤波器： 频率选择数字滤波器：LTI, causal & stable
ω |X(ejω)| ω |H(ejω)| ω |Y(ejω)|
Study of Imperfections
如果不能满足技术 要求， 要求，则需重新进 行函数逼近和( 行函数逼近和(或) 电路实现
缺陷研究：考虑滤波器系数的量化 缺陷研究：
As Ap 0 Fp Fs f
效应，乘积量化影响( 效应，乘积量化影响(非相关舍入或舍入 噪声) 噪声)和动态范围限制
Implementation
t
X(jΩ) Ω
multiplication
t
H(jΩ) Ω Y(jΩ) Ω
t
Ω
信号高频处
Ω
Ω
From analog filter to digital filter x(n)
convolution
digitalization
h(n)
digital filter
y(n)
n
ω X(ejω)
n
H(ejω) Y(ejω)
滤波器频率响应性能调整方便
• 运算的累积误差较小 • 所需存储单元少，可实现时分复用 所需存储单元少， • 组合方式多
Much less sensitive to the effects of coefficients quantization！！！！ quantization！！！！
3、级联型
将H(z)展成部分分式之和：
b1
z -1 z -1 z -1
b2
a2
bM−1 −
+ +
aN−1 −
bM
aN
z -1
a2 x(n) z- 1 z- 1 b1 b0 z- 1 bM-1 y(n) bM a1 z- 1 z- 1
aN z- 1
x(n)
-1
b0 z z a1 z
-1
y(n)
x(n)
b0 z- 1 z- 1
+
a1 a2 z- 1 z- 1
2π π
ω
ωp
2π π
ω
ωp
2π π
ω
（低通滤波）
•
现代数字滤波器： 现代数字滤波器：从含有噪声的数据中估计信号的某些特征或者其 本身。 维纳滤波，线性预测滤波， 本身。如：维纳滤波，线性预测滤波，自适应滤波等
数字滤波器的基本概念
x(t)
convolution
h(t)
analog filter
y(t)
n
multiplication
信号高频处
π
2π π
ω
π
2π π
ω
π
2π π
ω
频率选择数字滤波器
FIR = Finite Impulse Response filter
系统的单位脉冲响应h(n)仅有有限项，传递函数 是z−1的有限阶实系数多项式
h(n)
不存在稳定性问题（无极点），可以实现线性相位
n h(n)
函数逼近：根据技术指标构造某一 函数逼近：
a x
Realization(structure)
y(n)=x(n−1)−ay(n−1) − − − y
电路实现：将传递函数转化为方框 电路实现：
图或程序(软件) 要求经济、简单、 图或程序(软件)，要求经济、简ห้องสมุดไป่ตู้、廉 字长短、 价、字长短、动态范围高
+
Z-1
x(n) z
b0
-1
y(n)
a1
b1
a2
z
-1
b2
bM-1 z
-1
bM
aN-1 aN z
-1
2、直接 II 型 (典范型) 典范型)
直接型的优点： 直接型的优点：
简单、直观
直接型的共同缺点： 直接型的共同缺点：
• 系数 性能 ， 与零极点关系不直接，不易控制和调整滤波器的
• 极点对系数（零极点位置）的变化过于灵敏，易出现不稳 定或较大误差（特别是零点很多且距离很近时） • 运算的累积误差较大
y(n)
b1
b1 b2
-1
b2 bM-1
a2
z
-1
aN-1 z
-1
bM aN
z
-1
z- 1
bM
aN
z- 1
1、直接 I 型
直接 I 型之特点
（1）两个网络级联：第一个横向结构 M 节延时网络实 现零点，第二个有反馈的 N 节延时网络实现极点 （2）共需 ( N+M ) 级延时单元 （3）系数 ai ，bi 不是直接决定单个零极点，因而不能 很好地进行滤波器性能控制 （4）极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响 应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长） 运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差
-0.19
其中 G k , A k , g k , b 0k , b 1k , a 1k , a 2k 均为实数
Error propagation Computation complexity
avoid:
4、并联型：Parallel 并联型：
G0
α2m
H1(z) x(n) H2(z) y(n)
α1m
z-1
z-1
-1
bM-1 z
-1
bM
aN-1 aN z
-1
bM
aN-1 aN z
-1
例：设IIR数字滤波器差分方程为： IIR数字滤波器差分方程为： 数字滤波器差分方程为
试用四种基本结构实现此差分方程。 试用四种基本结构实现此差分方程。 解：对差分方程两边取 z 变换，得系统函数： 变换，得系统函数：
直接Ⅰ型结构： 直接Ⅰ型结构：
产品实现：用硬件如(DSP、专用 (DSP、 产品实现：用硬件如(DSP 数字滤波器设计的基本步骤
硬件，VLSI芯片等)或普通计算机、 硬件，VLSI芯片等)或普通计算机、专 芯片等 用计算机实现
5.1 数字滤波器结构的表示方法
1. 滤波器的基本特性（如有限长取样响应FIR与无限长取样响 滤波器的基本特性（如有限长取样响应 与无限长取样响 应IIR）决定了结构上有不同的特点 ） 2. 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同， 后者影响运算速度。 性，后者影响运算速度。 3. 有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的容差 有限精度（有限字长）实现情况下， 性及稳定性不同。 性及稳定性不同。 4. 好的滤波器结构应使得滤波器性能易于控制，适合于模块 好的滤波器结构应使得滤波器性能易于控制， 化实现，便于时分复用。 化实现，便于时分复用。