1.6 完全平方公式

a、b怎样确定？
解：(1) 1022 ＝(100＋2)2 ＝1002＋2×100×2＋22 ＝10 000＋400＋4 ＝10404
(2) 1972 .
公式的综合运 用 例3 计算：(2) (a+b+3) (a+b−3);
若不用一般的多项式乘以多项式 , 怎样用公式来计算 ?
分析 因为两多项式不同, 即不能写成( )2,
应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
拓展练习
下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2；成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2；成立 (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
=(m+n)2+2(m+n)p+p2
=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2
=m2+ n2 +p2+2mn+2mp+2np
扩展练习
仿照上述结果，你能说出(a−b+c)2所得的结 果吗?
把所得结果作为推广了的完全平方公式，试用语言叙 述这一公式：
三个数和的完全平方等于这三 个数的平方和，再加上每两数乘积 的2倍.
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;
应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1;
纠错练习
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一 项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1;
(3) 第一数平方未添括号,
第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号;
(a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+b2;
(a−b)2= [a+(−b)]2 = a 2 + 2a (−b) +(−b) 2
= a2 − 2ab + b2.
利用两数和的
完全平方公式 推证公式
初 识 完全平方公
(a+bb)22= 式aa22++22aabb++bb22.
等进行运算． 难点：几个公式的综合运用．
回顾与思考
完全平方公式共有
2
个：
(a+b)2= (a−b)2=
a2 a2
+ 2ab+ b2; − 2ab+ b2;
这2个公式的区别是左边括号内与右边第二项的符号；不同
联系是 左右两边的结构分别相同．、
第二项的符号与左边括号内的符号相同.
两个公式中的字母都表示什么? (数或代数式)
(a+b)2 (4) 这些孩子第三天得到的糖果数与前 两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？ 为什么？
∵(a+b)2=a2 + 2ab + b2
例题解析
例2 ：利用完全平方公式计算：(1) 1022 ;
完全平方公式(a ±b)2=a2 ± 2ab+ b2
的左边的底数是两数的和或差.
把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ?
题型二 运用完全平方公式进行简便运算 例2 计算:1022. 解析 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22 =10 000+400+4=10 404.
易错点 运用完全平方公式时弄错符号
例 计算:(-2a-3b)2. 错解 原式=4a2-12ab+9b2.
正解 原式=[-(2a+3b)]2=(2a+3b)2=(2a)2+2·2a·3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2. 错解提示 只注意了中间的符号为“-”,就盲目套用公式是出错的根本 原因.
课内练习 1、用完全平方公式计算: 1012，982；
2、⑴ x2−(x−3) 2 ; ⑵ (a+b+3)(a−b+3)
扩展练习
如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公 式中的“b”换成“p”，那么 (a+b)2 变成怎样的式子? 怎样计算(m+n+p)2呢?
(a+b)2变成(m+n+p)2. 逐步计算得到： (m+n+p)2=[(m+n)+p]2
有时需要进行变形，使变形后的式子符 合应用完全平方公式的条件，即为“两 数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
纠错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
几何解释
(a+b)2=a2+2ab+b2
b ab b2
a a2 ab
a
b
(a−b)2 = a2−2ab+b2
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
a
(a+b)2= a2 + 2ab + b2
(a+b)2
=
a2 + 2ab
+ b2
a2
ab
ab
b2
a
b
a+b
a2
ab
Fra Baidu bibliotek
ab
b2
(a-b)2= a2 - 2ab + b2
(1) 第一天有 a 个男孩一起去了老人家，老人一共给了
这些孩子多少块糖？ a2
(2) 第二天有 b个女孩一起去了老人家，老人一共给了
这些孩子多少块糖？ b2
第三天多;
多 (a+b)2 − ( a2 + b2 )= 2ab.
读一读
(3) 第三天这(a+b)个孩子一起去看老人， 老人一共给了这些孩子多少块糖？
解：(1) (2x−3)2 = (2x )2 − 2 • 2x • 3+ 32 = 4x2 − 12x + 9 ;
做题时要边念边写： 第一数 的平方,
减去第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数的平方.
随堂练习
1、计算：
(1) ( x − 2y)2 ； (2) (2xy+ x )2 ； (3) (n +1)2 − n2.
公式的综合运用
例3 计算：(1) (x+3)2−x2; (3) (x+5)2−(x−2)(x−3) .
观察 & 思考
本例两个小题的计算, 可能用到哪些 公式?
(x+3)2−x2 的计算你能用几种方法 ? 试一试.
解: (1)法一 完全平方公式 合并同类项(见教材); 法二: 平方差公式单项式乘多项式.
(a−b)2 = aa22−−22aabb++bb2 2.
结构特征: 左边是 二项式 (两数和(差)) 的平方;
右边是 两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
用自己的语 言叙述上面
的公式
语言表述:
两数和(差) 的平方 等于这两数的平方和
加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
(a−b)2= a2 −ab−b(a−b) = a2−2ab+b2 .
故不能用完全平方公式来计算 , 只能用平方差公式来计算 .
三项能看成两项吗?
解: (a+b+3) (a+b−3) =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b)2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
平方差公式中的
相等的项(a)、 符号相反的项(b) 在本题中分别是什么？
53 典型例题
例 运用完全平方公式计算: (1)(a+3b)2;(2)(-x+3y)2; (3)(-m-n)2;(4)(2x+3)(-2x-3). 解析 (1)(a+3b)2=a2+2a·3b+(3b)2 =a2+6ab+9b2. (2)(-x+3y)2=(3y-x)2 =(3y)2-2·3y·x+x2 =9y2-6xy+x2. (3)(-m-n)2=(m+n)2 =m2+2mn+n2. (4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)2 =-(4x2+12x+9) =-4x2-12x-9.
题型一 乘法公式的变形应用 例1 已知(a+b)2=25,ab=6,求a2+b2,(a-b)2的值. 解析 因为(a+b)2=25,ab=6, 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=25-2×6=13, (a-b)2=a2+b2-2ab=13-2×6=1. 点拨 在利用完全平方公式进行计算时,经常会遇到公式的如下变形:(1)(a +b)2-2ab=a2+b2;(2)(a-b)2+2ab=a2+b2;(3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(4)(a+b)2-(a-b)2 =4ab.
1.6 完全平方公式 （1）
回顾与思考
对于一般的两个二项式的积, 看准有无相 等的“项”和符号相反的“项”;
仅当把两个二项式的积变成公式标准形式 后，才能使用平方差公式.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公 式原形的两边, 做到不弄错符号、当第一(二)数 是乘积且被平方时 要注意添括号, 是运用平方 差公式进行多项式乘法的关键.
(a-b) 2 =
(a-b) 2 ab
ab
b2
a-b
b
a
a2
2ab
+ b2
a2
ab
ab
b2
例题解析
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ;
(3) (mn−a)2
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,
先把要计算的式子与完全平方公式对照,
明确个是 a , 哪个是 b.
完全平方公式
一块边长为a
米的正方形实验田， b
因需要将其边长增加 b
米.形成四块实验田，
以种植不同的新品种 (如图1—6).
a
用不同的形式表示实验田的 图1—6 b 总面积, 并进行比较.
探索: 你发现了什么?
法一
直 接 求
总面积=(a+b) 2；
a
间
法二
接 求
总面积=a2+ ab+ab+b2.
图1-6-1 A.a2-b2=a(a-b)+b(a-b) B.(a-b)2=a2-2ab+b2 C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.a2-b2=a(a+b)-b(a+b) 答案 C 由图形的整体面积等于各部分的面积之和,得(a+b)(a+b)=(a+b)2 =ab+b2+a2+ab=a2+2ab+b2,即(a+b)2=a2+2ab+b2.故选C.
阅读
44例3(3).
(x+3)2−x2 = (x+3+ x)(x+3−x) = (2x+3)• 3 = 6x+9;
思考 本题的计算有哪几点值得注意? 运算顺序; (x−2)(x−3)展开后的结果要添括号.
随堂练习 p27
1、利用计算整式乘法公式：
(1) 962 ； (2) (a−b−3)(a−b+3).
根据两数和或差的完全平方公式， 能够计算多个数的和或差的平方吗?
完全平方公式在计算化简中有些什么用?
这节课我们就来研究这个问题.
读一读
例1：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做
客时，老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就 给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两 块糖，来三个，就给每人三块糖……
知识点 完全平方公式
1.下列各式正确的是 ( )
A.(2a-1)2=4a2-1 C.(3m+n)2=9m2+n2
B.

x

1 2
2
=x2+x+
1 4
D.(-x-1)2=x2-2x+1
答案
B

x

1 2
2
=x2+2x×
1 2
+
1 4
=x2+x+
1 4
.故选B.
2.如图1-6-1所示,该几何图形的面积可以表示的公式是( )
理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a. (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)， ∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.
拓展练习
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1)
∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[(4a−1)] ＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2. (4) 右边应为:
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同． 完全平方公式的结果 是三项，
结果不同： 即 (a b)2＝a2 2ab+b2; 平方差公式的结果 是两项， 即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原 形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时 不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意 添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘 法的关键.
公式: (a+b)2= a2+ 2ab + b2.
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成 立吗? (2)小颖写出了如下的算式:
(a−b)2= [a+(−b)]2 她是怎么想的?你能继续做下去吗?
推证
(4a−1)(4a+1).
1.6 完全平方公式（2）
教学目标、重点、难点
教学目标 1、熟记完全平方公式，说出公式的结构特征． 2、会用完全平方公式推出三项式的完全平方的结
果． 3、会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完
全平方公式计算． 此外，在推导三项式的完全平方公式的过程中，感悟
换元变换的思想方法. 提高灵活应用公式的能力． 重点：运用完全平方公式、平方差公式、多项式乘法