二次根式的性质课件

二 次 根 式
三个性质
2、
a
2
a a 0
3、
1、 ab a b a 0, b 0 两个公式
a2
a a 0
a 2、 b
a b
(a 0, b 0)
四种运算
加 、减、乘、除
题型：最简二次根式：
１、被开方数不含分数； ２、被开方数不含开的尽方的因数或因式； 注意：分母中不含二次根式。

2
我们已经得到:
根据等式的定义，可得
a
2
a , ( a 0)
a
a , (a 0。 )
2
利用这个式子，我们可以把任何一个非负数写 2 成一个数的平方的形式。如 4= 4 。

试一试（4）把下列各数写成平方的形式：
3=
3 ，
2
5 5 2 2
2
(2)
(3)
( a ) a
2
(a 2) 2 a
2
例5:已知:x<0,化简: 16 x
2
解 :
16x (4 x ) 4 x
2 2
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化简 : x 6 x 9 x 2 x 1
2 2
(其中 -1 x 3)
练习1：把下列各式化为最简二次根 3 式 1 2 x 2
5
5 5
32
7
2 7 7
3y
4 2
x 6 xy 3y
练习：把下列各式化成最简二次根式
(1) 1.5 (2) 4a 2 16a 2

3 6 2 2
20a2 2 5a
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
性质 2：( a )2 = a (a≥0)
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 = a -a |a| ； 。
。
a a
2
例2 计算：
(1)
2
a (a 0) a (a 0)
2
(10 ) ( 15 )
2
(2) [ 2 (2) ] 2 2 2
2
2
1. 求式子 x＋1－ 5－ x 有意义wenku.baidu.comX的取值范围。
解:由题意得,
x 1 0 5 | x | 0 x 1 得 5 | x | 5 x 1 x 1 5 x 5
知识结构
三个概念
最简二次根式
同类二次根式 有理化因式 1、 a 0(a 0) --不要求，只 需了解
例3 计算：
3 2 2 4 2 ( ) | | 5 3 5 3
书P7的课内练习
( a ) a (a 0)
2
a ( a 0 ) 2 a a a(a 0) 2 2 a 与（ a）一样吗？ 你的理由是什么？
补充：分别说出下列各式成立 的a的取值范围：
(1) ( a ) a
a
2
≥０
a+
2
b = 0? a
0, b = 0 0, b = 0 0, b = 0
a + | b |= 0 ? a a + | b |= 0 ? a ......
题型:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知：
x4
+
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8 x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 2.已知x,y为实数,且
x 1
A.3
+3(y-2)2 =0,则x-y的值为(
D )
B.-3
C.1
D.-1
练习
１.已知 y =
x - 2 + 2 - x + 3，求x、y的值.
x=2，y=3 ２.已知 a 4 | 3 a | a ，求a的值. a≥4 a 4 a 3 a，即 a 4 3 a-4=9，则 a=13
2
0.04

0.04

2
( a ) a (a 0)
2
2 2 ( ) 7
2
面积 a
a
a
2 7
1 1 2 ( 2 ) 2 3 3
( 5 ) 5
2 2 2 ( ) 3 3
二次根式的性质（３）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
想一想： a2 等于什么呢？
性质 3：当 a≥0 时， a2 = 当 a＜0 时， a2 = 也就是说： a2 =
算一算：(1) (3) （-9） 64
2
a
-a
； 。
。
|a|
(2)
1 2 ( ) 3
(4) (x2+1)2
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )



(2)2 x 2 3 y 2
( 2x)2 ( 3 y)2 2x 3y 2x 3y



练习．在实数范围内分解因式
（1）
3x 15
2
（2）
2a 4b
2
2
解：∵ x - 1 ≥０，
y + 3 ≥０，
x- 1+ y + 3 = 0 ∴ x - 1 ＝０， y + 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３ ∴x＋y＝－２
例
求下列二次根式的值
(1) (3 - p )
2
(2) x - 2 x + 1( x = -
2
3)
解：(1)
(3 - p ) 2 = | 3 - p |
2
(
)
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
与 （√ a ） 是一样的吗？ 你的理由是什么，请小组讨论一下。
3.
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为 2；
课堂小结
（2）被开方数必须是非负数。 3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
12 n为一个整数 , 求自然数n的值.
n≤12 n = 3，8，11，12
二次根式的性质（２）
想一想
a a 0 等于什么?请举例验证.
2
性质２： a a, (a 0)

2

试一试（3）计算: 2 2 5 = 3 = 3 2
5 2

0.04 = 0.04
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键 例 已知 x - 1 + y + 3 = 0 ，求x＋y的值
化简：
(1)
2
10
（ 2）
2
a
4
(3) (4)
(5)
(a＞1 ) 1 2a a 2 2 ( x 1) 9 6 x x
(1＜x＜3 )
ab
2 2 (a＜0,b＞0)
( a ) a(a 0)
2
a ( a 0 ) 2 a a a(a 0)
注意区别 a 与( a）
题型：同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。 下列哪些是同类二次根式
18
3 2
18
、
27
3 3
8
2 2
9m
32
3 m 4 2
8
、
32 是同类二次根式
题型：利用 a ( a ) (a 0) 进行分解因式
2
例：分解因式：
(1) x 2
2
x 2 ( 2 )2 x 2 x 2
∵ 3- p < 0 ∴ (3 - p ) 2 = p - 3 (2)
x2 - 2 x + 1 = ( x - 1) 2 = | x - 1|
当x＝∴当x＝-
3 时，x－１<０ 3时，
x2 - 2x + 1 = 1+ 3
∴ x2 - 2x + 1 = 1- x = 1+ 3
初中阶段的三个非负数：
a (a≥０) |a|
a
归 纳
a 2 a 0 。
由
a aa 0,可以得
2
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
(1)
2.若
15
a
2
2
(2)
2
1 5
2
(1 x ) 1 x,则x的取值范围为
二次根式的性质
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a=
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，