函数项级数的一致收敛性精选

函数列与函数项级数
§1. 函数项级数的一致收敛性
1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：
⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n
= i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞
⑶ (),1n nx f x nx
=
+ (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞
⑸ 22
33(),1n n x f x n x
=+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞
⑹ (),1n nx f x n x
=++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n
n n x f x x
=+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈
iii) [,),1;x a a ∈+∞>
⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈
⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈
⑽ ()ln ,n x x f x n n
=
(0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞
⑿ 2
()(),x n n f x e --=
i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ .
2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()]()n nf x f x n
= (1,2,)n =⋅⋅⋅. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x .
3. 参数α取什么值时，
(),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =⋅⋅⋅
在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10lim
()n n f x dx ->∞⎰可在积分号下取极
限？
4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =⋅⋅⋅在闭区间[0,1]上收敛，但 1
1
00lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠⎰⎰ 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又
[,]n x a b ∈(1,2,)n =⋅⋅⋅，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞
= 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性：
⑴ 0
(1), [0,1];n n x x
x ∞=-∈∑ ⑵ 12
21(1), (,)(1)
n n n x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =⋅⋅⋅在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证：
()n f x 在[,]a b 上一致有界.
8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且
1()[()()],n f x n f x f x n
=+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '.
9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列
1()()x
n n a f x f t dt +=⎰ (1,2,)n =⋅⋅⋅ 求证：{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于零.
10. 设{()}n f x 在(,)a b 内一致收敛于()f x ，0(,)x a b ∈且
0lim (),n n x x f x a ->= (1,2,)n =⋅⋅⋅.
证明：lim n n a ->∞和0
lim ()x x f x ->存在且相等，即 00lim lim ()lim lim ()n n n x x x x n f x f x ->∞->->->∞
=. 11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：
⑴
1 (,);n x ∞=∈-∞+∞
⑵ 421
, (,);1n x x n x ∞=∈-∞+∞+∑ ⑶ 221
(1)(1), [0,);n nx n e x n x -∞=--∈ +∞+∑ ⑷ 1sin , (2,);2
n n nx x x ∞=∈-+∞+∑ ⑸
521, (,);1n nx x n x ∞=∈-∞+∞+∑ ⑹
211), ||2;2n n n x x x ∞-=+≤ ≤ ⑺ 21
, [0,);nx n x e
x ∞-=∈+∞∑ ⑻ 1
ln , [0,1];!n n n x x x n ∞=∈∑ ⑼
2, (,);n x ∞=∈-∞+∞∑
⑽ 1, ||1;
n n n x r x ∞=≥>∑
⑾ 1ln(1), [,), 1.n n nx x a a nx ∞
=+∈+∞> ∑ 12. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：
⑴
1
2cos (,);n n x π∞
=∈-∞+∞ ⑵
1
[0,2];n x π∞=∈ ⑶ 1
(1), (1,);n
n x x n ∞=-∈-+∞+∑ ⑷ 1(1), (,);sin n
n x n x ∞
=-∈-∞+∞+∑ ⑸ 112sin
, (0,);3n n n x x
∞=∈+∞∑ ⑹
(1)21
||;n n n x a -∞=≤
⑺
1
[1,0];n n x ∞=∈- ⑻ 21
1
(1), [1,1].21n n n x x n +∞=-∈-+∑ 13. 设每一项()n x ϕ都是[,]a b 上的单调函数，如果
()n
x ϕ∑在[,]a b 的端点为绝对收敛，那么这级数在[,]a b 上一致收敛. 14. 证明级数1211(1)
n n n x
∞-=-+∑关于x 在(,)-∞+∞上为一致收敛，但对任何x 并非绝对收敛；而级数2
21(1)n n x x ∞
=+∑虽在(,)x ∈-∞+∞上绝对收敛，但并不一致收敛. 15. 若1()n n u x ∞=∑的一般项|()|(), ,n n u x c x x X ≤∈并且1
()n
n c x ∞=∑在X 上一致收敛，证明1()n
n u x ∞
=∑在X 上也一致收敛且绝对收敛.
()000()()().!
n n n f x f x x x n ∞==-∑
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