“恒成立”问题的解法ppt课件

f (x) (m 1)x 4m 3 0 恒成立，求实数 m
的范围.
解：
f
f
(1) 0 (2) 0
∴ m4 3
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f (x) ax2 bx c(a 0) ，f (x) 0
在全集 R 上恒成立问题：
（1）f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 （2）f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0
三、解决恒成立问题常用的方法
1 函数性质法
常用 方法
2 变量分离法 3 变换主元法
4 数形结合法
6
1.函数1.性函质数法性质法
（1）恒成立问题与一次函数联系：给定一次函数
y f (x) ax b(a 0) ，若 y f (x) 在 [m, n] 内恒有 f (x) 0 ，则根据函数的
又Q a 4 7 a 4 综上所述，7 a .2
2.变变量量分分离离法法
将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如： a f (x) 或 a f (x) 或 a f (x) 恒成立的形式.
则 a f (x) 恒成立 a 的范围是 f (x) 的值域；
a f (x) 恒成立 a f (x)max ； a f (x) 恒成立 a f (x)min
0在x
[, ]
上恒成立
f f
( ) ( )
0 0
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f (x) ax2 bx c(a 0) ，f (x) 0
在区间 [, ] 上恒成立问题：
（2）当 a 0 时，f (x) 0在x [, ] 上恒成立
f ( ) 0
f
(
)
0
f (x) 0在x [, ] 上恒成立
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f (x) ax2 bx c(a 0) ，f (x) 0
在区间 [, ] 上恒成立问题：
（1）当 a 0 时，f (x) 0在x [, ] 上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f ( ) 0 0
f ( ) 0
f
(x)
思路1： m f (x)在x D上恒成立 m [ f (x)]max 思路2： m f (x)在x D上恒成立 m [ f (x)]min
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小 值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的 方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、 函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有 界性、均值定理等等方法求函数 f (x) 的最值。
3. 变换主元法：
【例5】对任意 a [1,1] ，不等式 x2 (a 4)x 4 2a 0 恒成立，求 x 的取值范围.
解：令 f (a) (x 2)a x2 4x 4 ，则原问题转化为 f (a) 0
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
f ( ) 0 0
f ( ) 0
（2）恒成立问题与二次函数联系：
【例3】已知函数 f (x) x2 ax 3 a ，在 x 2,2
上 f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围.
解：
f
(x)
Hale Waihona Puke Baidu
x
a 2
2
a2 4
a
3 ，令
f (x)
在 2,2 上的最小值为 g(a)
（2）恒成立问题与二次函数联系：
【例2】若函数 f (x) 2x2 2axa 1 的定义域为 R, 则实数 a 的取值范围为______________
解：已知函数的定义域为 R ，即 2x2 2axa 1 0 在 R上恒成立，也即 x2 2ax a 0 恒成立，所以有 (2a)2 4(a) 0 解得 1 a 0 .
讲座内容
1 恒成立问题常见的题型 2 恒成立问题解决的基本策略 3 解决恒成立问题常用的方法 4 恒成立与有解的区别
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一、恒成立问题常见的题型
1. 函数、数列的恒成立问题 2. 由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围 3. 证明不等式恒成立
二、恒成立问题解决的基本策略
两个基本思想解决“恒成立问题”
.
解：当 x (1, 2) 时，由 x2 mx 4 0
得 m x2 4 .令 f (x) x2 4 x 4
x
x
x
则易知 f (x) 在 (1, 2) 上是减函数，
所以 f (x)max f (1) 5 ，∴ m 5 .
3.变变换换主主元元法
处理含参不等式恒成立的某些 问题时，若能适时的把主元变量和 参数变量进行“换位”思考，往往 会使问题降次、简化。
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围 已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个 变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成 函数的最值问题求解.
2. 变量分离法：
【例4】 当 x (1, 2) 时，不等式 x2 mx 4 0
恒成立，则 m 的取值范围是
⑴当
a 2
2 ，即
a
4
时， g(a)
f (2) 7 3a
0
a 7 又 Q a 4 a 不存在.
⑵当
3
2 a 2
2 ，即
4 a 4
时，g(a)
f (a) a2 24
a30
6 a 2 又 Q 4 a 4 4 a 2
⑶当 a 2 ，即 a 4 时，g(a) f (2) 7 a 0 a 7 2
图像（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）af
0 (m)
0
或ⅱ）af
0 (n)
0
亦可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
.
1.函函数数性性质质法法
如图所示.同理，若在 [m, n] 内恒有 f (x) 0
则有
f
f
(m) 0 (n) 0
（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】 如果当自变量满足 1 x 2 时，函数
“恒成立”问题的解法
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、 图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程 等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起 到了积极的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型； ②二次函数型； ③指数、对数型； ④三角函数型；⑤数列型等。解法通常使用: ①函 数最值法；②变量分离法；③数形结合法.