“恒成立”问题的解法ppt课件

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人教版高中数学2019-2020 必修一第三章恒成立问题(共17张PPT)

得p 0
p 8
1x
2
恒成立问题： 4.已知不等式x2 2ax 1 0对x [1,2]恒成立，其中a 0，求实数a的范围.
记f ( x) x2 2ax 1 等价于[ f ( x)]min 0
恒成立问题：
5.若 lg(| x 3 | | x 7 |) a 0当x R恒成立，求a的范围.
次型函数大于0恒成立的问题.
练习：
1.若x∈R，当1≤x≤3时，不等式px+1>2x 恒成立，求p的取值范围.
2.已知不等式x2+(t-4)x+(4-2t)>0对满足 t∈(-1,1)的所有t都成立，求x取值范围.
恒成立问题：
3.若不等式x2 xp 1 p 2x对x R恒成立，求p的范围.
恒成立问题：
1.当x [1,2]时，ax 2 0恒成立，求a的范围.
形
12 x
12 x
记f ( x) ax 2
则
f f
(1) (2)

a2 2a
0 20
a 2
恒成立问题：
2.若 | p | 2, x2 xp 1 p 2x恒成立，求x的范围.
x
2
hxmin

h1
2， a

1 a

2
a

1．
恒成立问题：
定义在 R 上的增函数 y＝f(x)对任意 x，y∈R 都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求 f(0)； (2)求证：f(x)为奇函数； (3)若 f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 k 的取值范围．

高中数学恒成立问题常见类型及解法.全面PPT资料

典例导悟
（2010·天津高考理科·Ｔ16）设函数
f
(x)
x2
1，对任意
x
2 3
,
，
f
x m
4m2
f
(x)
f
(x 1) 4 f
(m) 恒成立，则实数 m 的取值范围是
。
【解析】依据题意得 x2 1 4m2 (x2 1) (x 1)2 1 4(m2 1) 在 x [ 3 , )
m2
2
上恒定成立，
高中数学恒成立问题常见类型及解法
解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问题大多要利用到一次函数、二次函数的图
象和性质互。相重合，则函数解析式相等。
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种
∵f(0)=4>0,故只需对称轴 4 a 0 ，即 a <－4.
2
∴ a <－8.
综上可得 a －8.
三、变量分离型
【理论阐释】若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量
的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。下面分别举例示之。
一、一次函数型
【理论阐释】

不等式恒成立问题PPT优秀课件

f ( x ) min 0 在 [ 1,1 ]在上成立
1 当 a 0 时， f ( x ) 0 恒成立， f ( x ) 在 [ 1,1 ]上单调递减 f ( x ) min f (1 ) a 2 0 a 2 与 a 0 矛盾 .此时不成立

1 1 在 [， 1 ] 上单调递减， g ( x ) 的最大值为 g () 4 ， a 4 . 2 2
分离参数
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
解： 1 当 x 0 时， f ( x ) 1 0 恒成立， a R .
f ( 1) a 4 0 3 1 1 1 3 ) a 1 0 f( a a a 综上可知 a 4 .
点评
法二可以进行优化吗？
以上两种方法本质是相同的，但我们的收获可能就不同，由于构造的函数一定一动，所以给出的函数一定一动，给出的方法有较大差异，但解决问题的本质是相同的。
求g(x)的最值。即把不等式成立
分离参数
的问题转化为函数的最值问题。
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
问题1
恒成立问题转化为最值问题为什么一定要分离参数呢？不分离行吗？本题还有别的办法吗？
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
法二：（直接求最值）
f ( x ) 0 在 x [ 1,1 ]上恒成立 f ( x ) 3 ax 2 3 3 ( ax 2 1 )

1.3.1-4不等式恒成立问题的解法ppt课件

①
对称轴为x a . 2
O
1
xa
2
2
a
≤
0
2
a≥0
f (0) ≥ 0
8②Oxa Nhomakorabea2③
O1 2
令f (x) x2 ax 1≥ 0,对称轴为x a . 2
1 2
0
f
a 2
( a) 2
1 2
≥0
1
a
0
x
a 2
a≥1
f
22 (1)≥0
5 2
≤
a
≤ -1
2
综上①②③，a
≥
-
5
2
9
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
C （
）
A.0
B.-2
C.- 5 2
D.-3
法三：验证法：令f (x) x2 ax 1, 对称轴为x a . 当a=0时，f ( x) x2 1≥ 0在（0,1 ]恒成立。 2
2 当a 2时，f (x) x2 2x 1 （x 1）2在（0,1 ]恒成立。
由x (0,1 ]， a ≥ (x 1 ).
2
x
Q (x 1 )在(0,1 ]上是减函数, x2
(x
1 x )max
5 2
a ≥- 5
2
7
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2 则a的最小值为（）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法二：令f (x) x2 ax 1,
2
4
2
10
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，

恒成立问题常见类型及解法课件

y sin 2x 的图象的上方.
0 a 1。
作直线
x
=
4
，与
y loga
x
和
y sin 2x 的图象分别交于 A、B 两
点，为保证 y loga x 在区间
恒成立问题常见类型及解法
20
（0，］上的图象在 y sin 2x 图象的上方，不难从图中得到其条件 4
是点 A 在点 B 的上方。
典例导悟
关于 x 的方程 9x+(4+ a )3x+4=0 恒有解，求 a 的取值范围。
【解析】方法 1（利用韦达定理）设 3x=t,则 t>0.那么原方程有解即方程 t2+(4+ a )t+4=0 有正根。
Δ
x1
x1
0 x2 (4 x2 4 0
a)
0
，即
(4 a)2 a 4
16
【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要
f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.
道德是人类社会的一种重要意识形态是人们在社会生活实践中形成的并由经济基础决定以善恶为评价形式依靠社会舆论传统习俗和内心信念解析作出函数sin函数log的图象总在函数sin点为保证log在区间道德是人类社会的一种重要意识形态是人们在社会生活实践中形成的并由经济基础决定以善恶为评价形式依靠社会舆论传统习俗和内心信念logsin2道德是人类社会的一种重要意识形态是人们在社会生活实践中形成的并由经济基础决定以善恶为评价形式依靠社会舆论传统习俗和内心信念六采用逆向思维考虑使用反证法理论阐释恒成立问题有时候从正面很难入手这时如果考虑问题的反面有时会有柳暗花明又一村的效果所谓正难则反就是这个道理

高中数学恒成立问题常见类型及解法 PPT

【解析】令 f (m) ＝（ x2 1）m －2 x ＋1，则上述问题即可转化为关于 m 的
一次函数 y f (m) 在区间[-2，2]内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区
间端点，只要

f f
(2)＜0，解得 (2)＜0
7 1＜x＜ 2
3 1, 2
即 x 的取值范围是（ 7 1 ， 3 1 ）.

，
f

x m

4m
2
f
(
x)

f (x 1) 4 f
(m) 恒成立，则实数 m
的取值范围是
。
【解析】依据题意得
x2 m2
1
4m2 (x2
1)

(x
1)2
1
4(m2
1)
在
x [ 3 2
, )
上恒定成立，
即 1 4m2 3 2 1在 x [3 , ) 上恒成立。
m2
x2 x
2
当
x

3 2
时函数
y

3 x2

2 x
1 取得最小值

5 3
，
所以
1 m2

4m2

5 3
，即 (3m2
1)(4m2
3)

0，
解得 m
3 或m
3
。
2
2
四、利用函数的性质解决恒成立问题
【理论阐释】若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=
作直线
x
=
4
，与
y loga
x

不等式恒成立问题的解法PPT

故（*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立，故m=1适合(*) ；
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 解，得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
1
一、方法引入：
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，
则：
f()>0
f(x)>0恒成立 f()>0
f(x)<0恒成立 y
f()<0 f()<0
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 C>0_________Δ_=_b_2_-_4_a_c__<_0___。
≤a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥
2
b (x=
1时取等号
b
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴ ( bx- 1x)max=b-1 (x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:
_____________;

“恒成立”问题的解法ppt完美课件通用

yf(x ) a x b (a 0 )，若 y f (x) 在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0 ，则根据函数的
图像（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）
a f
0 (m)
0
或ⅱ）
a f
0 (n)
0
亦可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
.
“恒成立”问题的解法ppt完美课件通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件通用
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0
在区间 [ , ] 上恒成立问题：
（1）当 a0 时，f(x)0在 x [,]上恒成立
2ba或 2ba或 2ba，
的范围.
解：
f fБайду номын сангаас
(1) 0 (2) 0
∴ m4 3
“恒成立”问题的解法ppt完美课件通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件通用
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0 在全集 R 上恒成立问题：
（1）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0 （2）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0
1.函函数数性性质质法法
如图所示.同理，若在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0
则有
f f
(m) 0 (n) 0
“恒成立”问题的解法ppt完美课件通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件通用
（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】如果当自变量满足 1x2时，函数

函数恒成立问题课件

函数恒成立问题课件
在这个课件中，我们将探讨函数恒成立问题。通过引言，讨论常见问题类型和解法，以及在高中数学和竞赛中的应用。我们还将深入思考这个问题，并提供实践应用和课后作业。
什么是函数恒成立问题
函数恒成立问题是指寻找函数在某个条件下始终成立的情况。悟空数学学院的研究小组发现了数学学术研究中的这个有趣而复杂的领域。
在高中数学中如何解决函数恒成立问题
我们将介绍一些在高中数学中解决函数恒成立问题的技巧，包括代数推导、函数性质分析和图像观察等方法。
函数恒成立问题在竞赛中的应用
函数恒成立问题在数学竞赛中占据重要位置，需要灵活运用数学知识和解题技巧。我们将探讨一些在竞赛中常见的函数恒成立问题类型和解题方法。
函数恒成立问题的应用领域
3
图像分析
通过观察函数的图像，了解恒成立的特征。
通过例子了解函数恒成立问题
让我们通过一些实际的例子，深入了解函数恒成立问题。这将帮助我们更好地理解具体的概念和解题技巧。
函数恒成立问题与等式成立问题的区别
函数恒成立问题涉及的是函数的性质，而等式成立问题则关注方程等式的解。这两个问题虽然相关，但在解决方法和思维模式上存在差异。
函数恒成立问题在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。我们将介绍一些实际应用案例，展示函数恒成立问题的重要性和实用性。
常见的函数恒成立问题类型
多项式函数
探索多项式函数的稳定性和成立条件。
三角函数
分析三角函数在特定条件下的持续成立。
指数函数
研究指数函数在不同区间上的恒成立性质。
复合函数
研究复合函数在不同组合下的恒成立问题。
常见的函数恒成立问题解法
1
数学推导
进行逻辑推理和数学证明，以确定恒成立的解法。值，验证函数恒成立的条件。

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0在x
[, ]
上恒成立
f f
( ) ( )
0 0
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f (x) ax2 bx c(a 0) ，f (x) 0
在区间 [, ] 上恒成立问题：
（2）当 a 0 时，f (x) 0在x [, ] 上恒成立
f ( ) 0
f
(
)
0
f (x) 0在x [, ] 上恒成立
讲座内容
1 恒成立问题常见的题型 2 恒成立问题解决的基本策略 3 解决恒成立问题常用的方法 4 恒成立与有解的区别
3
一、恒成立问题常见的题型
1. 函数、数列的恒成立问题 2. 由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围 3. 证明不等式恒成立
二、恒成立问题解决的基本策略
两个基本思想解决“恒成立问题”
（2）恒成立问题与二次函数联系：
【例2】若函数 f (x) 2x2 2axa 1 的定义域为 R, 则实数 a 的取值范围为______________
解：已知函数的定义域为 R ，即 2x2 2axa 1 0 在 R上恒成立，也即 x2 2ax a 0 恒成立，所以有 (2a)2 4(a) 0 解得 1 a 0 .
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
f ( ) 0 0
f ( ) 0
（2）恒成立问题与二次函数联系：
【例3】已知函数 f (x) x2 ax 3 a ，在 x 2,2
上 f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围.
解：
f
(x)
x
a 2
2
a2 4
a
3 ，令
f (x)
在 2,2 上的最小值为 g(a)
f (x) (m 1)x 4m 3 0 恒成立，求实数 m
的范围.
解：
f
f
(1) 0 (2) 0
∴ m4 3
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f (x) ax2 bx c(a 0) ，f (x) 0
在全集 R 上恒成立问题：
（1）f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 （2）f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f (x) ax2 bx c(a 0) ，f (x) 0
当 a 0 时，f (x) 0在x [, ] 上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f ( ) 0 0
f ( ) 0
f
(x)
思路1： m f (x)在x D上恒成立 m [ f (x)]max 思路2： m f (x)在x D上恒成立 m [ f (x)]min
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理等等方法求函数 f (x) 的最值。
“恒成立”问题的解法
“恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用. 因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型； ②二次函数型； ③指数、对数型； ④三角函数型；⑤数列型等。解法通常使用: ①函数最值法；②变量分离法；③数形结合法.
又Q a 4 7 a 4 综上所述，7 a .2
2.变变量量分分离离法法
将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如： a f (x) 或 a f (x) 或 a f (x) 恒成立的形式.
则 a f (x) 恒成立 a 的范围是 f (x) 的值域；
a f (x) 恒成立 a f (x)max ； a f (x) 恒成立 a f (x)min
⑴当
a 2
2 ，即
a
4
时， g(a)
f (2) 7 3a
0
a 7 又 Q a 4 a 不存在.
⑵当
3
2 a 2
2 ，即
4 a 4
时，g(a)
f (a) a2 24
a30
6 a 2 又 Q 4 a 4 4 a 2
⑶当 a 2 ，即 a 4 时，g(a) f (2) 7 a 0 a 7 2
若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.
2. 变量分离法：
【例4】当 x (1, 2) 时，不等式 x2 mx 4 0
恒成立，则 m 的取值范围是
3. 变换主元法：
【例5】对任意 a [1,1] ，不等式 x2 (a 4)x 4 2a 0 恒成立，求 x 的取值范围.
解：令 f (a) (x 2)a x2 4x 4 ，则原问题转化为 f (a) 0
图像（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）af
0 (m)
0
或ⅱ）af
0 (n)
0
亦可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
.
1.函函数数性性质质法法
如图所示.同理，若在 [m, n] 内恒有 f (x) 0
则有
f
f
(m) 0 (n) 0
（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】如果当自变量满足 1 x 2 时，函数
三、解决恒成立问题常用的方法
1 函数性质法
常用方法
2 变量分离法 3 变换主元法
4 数形结合法
6
1.函数1.性函质数法性质法
（1）恒成立问题与一次函数联系：给定一次函数
y f (x) ax b(a 0) ，若 y f (x) 在 [m, n] 内恒有 f (x) 0 ，则根据函数的
.
解：当 x (1, 2) 时，由 x2 mx 4 0
得 m x2 4 .令 f (x) x2 4 x 4
x
x
x
则易知 f (x) 在 (1, 2) 上是减函数，
所以 f (x)max f (1) 5 ，∴ m 5 .
3.变变换换主主元元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。