平面向量全部讲义全

第一节平面向量的概念及其线性运算

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

例1．若向量a 与b 不相等，则a 与b 一定( )

A ．有不相等的模

B ．不共线

C ．不可能都是零向量

D ．不可能都是单位向量

例2．.给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u u

r 等价于四

边形ABCD 为平行四边形；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 等价于|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .

其中正确命题的序号是( )

A ．②③

B ．①②

C ．③④

D ．④⑤

CA

2．向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

(1)交换律：

a ＋

b ＝b ＋a ；

(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝

a ＋(

b ＋

c )

平行四边形法则

减法

求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差

三角形法则

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与向量a 的积的运算

(1)|λa |＝|λ||a |；

(2)当λ＞0时，λa 的方向与

a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；

当λ＝0时，λa ＝0

λ(μ a )＝(λμ)a ；

(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；

λ(a ＋b )＝λa ＋λb

例3：化简AC －BD ＋CD －AB 得( ) A.AB B.DA C.BC D ．0

例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA u u u r ＋CD u u u r ＋EF u u u r

＝( )

A ．0

B ．BE u u u r

C ．A

D u u u r

D ．CF u u u r

(2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝2

3BC .若DE u u u r ＝λ1AB

u u u r ＋λ2AC u u u r

(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

巩固练习：

1．将4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为______________．

2．若|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则非零向量OA →，OB →

的关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．不确定

3．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB u u u r －CB u u u

r ＋CD u u u r |＝________

4．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD u u u r

等于( )

A ．－BC u u u r ＋12

BA u u u r B ．－BC u u u r －12

BA u u u r C ．BC u u u r －12

BA u u u r D ．BC u u u r ＋12

BA u u u r

5．若A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB u u u r ＋CD u u u r ＝BC u u u r ＋DA u u u r ；②AC u u u r ＋BD u u u r ＝BC u u u r ＋AD u u u r

；③AC u u u r －BD u u u r ＝DC u u u r ＋AB u u u r

.其中正确的有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

6．如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →

.

DD 12 巩固练习 1。16a ＋6b 2。C 3。2 4。A 5。C 6．解：AB →＝AC →＋CB →

＝－3a ＋2b ，

∵D ，E 为AB →

的两个三等分点，∴AD →

＝13AB →＝－a ＋23b ＝DE →. ∴CD →＝CA →＋AD →＝3a －a ＋23b ＝2a ＋23

b .∴CE

→

＝CD →＋DE →

＝2a ＋23b －a ＋23b ＝a ＋43b.

3．共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线等价于存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .

例5．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________

例6． 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB u u u r

＝a ＋b ，BC u u u r ＝2a ＋8b ，CD u u u r ＝3(a －b )，

求证：A ，B ，D 三点共线．(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 巩固练习： 1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2.如图，已知AB u u u r ＝a ，AC u u u r ＝b ，BD u u u r ＝3DC u u u r ，用a ，b 表示AD u u u r ，则AD u u u r

＝( )

A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋1

4b

D.34a ＋1

4

b 3．已知向量a ，b ，

c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．a B ．b C ．c

D ．0

4如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，若AB ＝4，且AD u u u r ＝14

AC u u u r ＋λAB u u u r

(λ∈R )，则

AD 的长为( )

A ．2 3

B ．3 3

C ．4 3

D ．5 3

5．在▱ABCD 中，AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，AN u u u r ＝3NC u u u r ，M 为BC 的中点，则MN u u u u r

＝

________(用a ，b 表示)．

6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC u u u r 2

＝16，|AB u u u r ＋AC u u u r |＝|AB u u u r －AC u u u r |，则|AM u u u u r

|＝

________.

例5．－1

3

例6． [解] (1)证明：∵AB u u u r ＝a ＋b ，BC u u u r ＝2a ＋8b ，CD u u u r ＝3(a －b )，

∴BD u u u r ＝BC u u u r ＋CD u u u r ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB u u u r .∴AB u u u r ，BD u u u r

共线，

又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．

(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，

即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. C B D B －14a ＋1

4

b 2

4．向量的中线公式: 若P 为线段AB 的中点，O 为平面内一点，则OP u u u r ＝12

(OA u u u r ＋OB u u u r

)．

5．三点共线等价关系

A ，P ，

B 三点共线⇔AP u u u r ＝λAB u u u r

(λ≠0)⇔OP u u u r ＝(1－t )·OA u u u r ＋t OB u u u r (O 为平面内异于A ，P ，B 的