重复测量协方差多变量描述共44页
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建立协变量与应变量之间的线性回归关系； 将协变量的值化为相等； 对观察指标的修正均数进行比较。
协方差分析的应用条件
各组观察指标服从正态分布； 各组观察指标彼此独立； 各组观察指标的总体方差相同(方差齐性)； 各组协变量与观察指标存在线性回归关系； 各组回归方程的斜率相同（回归线平行）；
协变量的要求
连续性变量； 不能影响处理因素； 协变量的取值应在施加处理因素前已获得； 如果协变量的取值是在施加处理因素后，应
设立平行对照的目的是为了保证非处理因素 的影响在处理组和对照组中达到均衡。
表12-2 经两种方法治疗后高血压患者治疗前后的舒张压
序号
1 2 …… 9 10
处理组 治疗前 治疗后
130 114 124 110 …… …… 126 108 124 106
序号
11 12 …… 19 20
对照组 治疗前 治疗后
表12-1 高血压患者治疗前后的舒张压（mmHg）
编号 1 2
…… 9 10
治疗前 130 124 …… 126 124
治疗后 114 110 …… 108 106
差值 16 14 …… 18 18
前后测量设计和配对设计
配对设计可随机分配同一对子的试验单位， 前后测量设计不能同期观察试验结果；
配对设计比较两种处理的差别，前后测量设 计比较某种处理前后的差别；
X1
Y1
15 85
13 83
…… ……
14 84
17 90
B饲料
X2
Y2
17
97
16
90
…… ……
19
99
18
94
C饲料
X3
Y3
22 89
24 91
…… ……
30 105
32 110
协方差分析的基本思想
将线性回归分析与方差分析结合起来的一种 统计方法；
将未加或难以控制的因素（混杂因素）对观 察指标的影响看作是协变量；
进行校正。
注意事项
各组例数相等； “球对称”检验：如果不满足“球对称”假
设，需用“球对称”悉数对自由度进行校正； 无平行对照的单组重复测量数据分析：如果
满足“球对称”假设，重复测量数据的方差 分析和随机区组方差分析等价。
重复测量数据统计分析常见的误用情况
重复进行各时间点的t检验，必然增加假阳性 错误；
表12-3 不同放置时间后受试者血糖浓度(mmol/L)
受试者 编号
1 2 …… 7 8
0 5.32 5.32 …… 5.88 5.32
放置时间（分）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
45
90
5.32
4.98
5.26
4.93
……
……
5.77
5.43
5.15
5.04
135 4.65 4.70 …… 4.93 4.48
第二节 重复测量数据的两因素两 水平分析
忽略个体曲线变化特征，重复测量数据不满 足常规曲线拟合独立性要求；
差值比较缺乏效度； 协方差分析的条件，协方差分析也是解决前
后测量设计的一种方法，但必须满足条件。
第十三章 协方差分析
（analysis of covariate, ANCOVA）
表13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重
A饲料
干预（A） 组间误差 组内（重复） 时间（B） AB交互作用 组内误差
自由度
19 1 18 20 1 1 18
SS
2517.9 202.5 2314.5 1702.0 1020.1 348.1 333.8
MS
202.5 128.6
1020.1 348.1 18.54
F
P
1.57 >0.05
55.0 <0.01 18.8 <0.01
表中n为各组的例数，I为A因素的水平数，J为B因素的水平数， A为A因素不同水平的合计数，B为B因素不同水平的合计数， C为校正悉数。
表12-10 重复测量设计两因素两水平的方差分析表
变异来源 组间（对象）
干预（A） 组间误差 组内（重复） 时间（B） AB交互作用 组内误差
自由度
SS
MS
F
2n-1
前后测量设计假定测量时间对观察结果没有 影响。
前后测量设计和配对设计
配对设计要求每组观察结果和差值相互独立， 且服从正态分布，前后测量设计差值通常与 前一次观察存在相关关系；
前后测量设计不仅分析前后差值平均值，还 需进行相关回归分析。
设立对照的前后测量设计
通常自身前后对照的结果并不一定能说明处 理的作用，还需设置一个平行对照组。
SS组间
1
SSA
MSA
MSA/ MS组间误差
2(n-1) 2n
SS组间- SSA SS组内
MS组间误差
1
SSB
MSB
MSA/ MS组内误差
1
SSAB
MSAB
MSAB/ MS组内误差
2(n-1) SS组内- SSB- SSAB MS组内误差
表12-10 重复测量设计两因素两水平的方差分析表
变异来源 组间（对象）
一、两因素离均差平方和的分解
表12-9 不考虑组别的SS分解
变异来源
自由度
总
4n-1
组间（观察对象） 2n-1
组内（重复测量）
2n
离均差平方和(SS)
SS总= X2C
1
SS组间2
M2j C
SS组 内
X21 2
M2 j
表中n为每个处理组中观察对象的例数，X为 每个观察结果，M为每个观察对象前后两次 观察的合计，C为校正系数。
结论
不同处理对高血压患者的舒张压没有影响； 测量前后舒张压有改变； 测量前后与处理组间有交互作用，说明处理
组和对照组治疗前后的舒张压变化不同。两 组治疗后的差别大于治疗前的差别，说明治 疗有效。
重复测量数据的两因素多水平分析
方差分析的方法与两因素两水平的相似； 如果拒绝“球对称”，需对FB和FAB检验界值
表12-8 考虑干预和时间因素的SS分解
变异来源 处理组间
干预（A） 时间（B） AB交互作用
自由度 离均差平方和(SS)
3
SS处 理 1 n(T 12T 2 2T 32T 4 2)－ C
1
SSA21n(A12A22)－C
1
SSB21n(B12B22)－C
1
S S A B S S 处 理 S S A S S B
118 124 132 122 …… …… 120 124 134 128
重复测量设计
当前后测量设计的重复测量次数≥3时，则所得观察 结果称为重复测量数据。
重复测量设计和随机区组设计的区别： 1、重复测量设计各时间点是固定的，不能随机分 配，而随机区组设计各组接受的处理可随机分配； 2、重复测量设计各时间点的观察结果有相关关系， 分析各时间点的差异需满足“球对称”，而随机区 组设计各处理组间的观察结果彼此独立，各处理间 比较无需满足“球对称”。
协方差分析的应用条件
各组观察指标服从正态分布； 各组观察指标彼此独立； 各组观察指标的总体方差相同(方差齐性)； 各组协变量与观察指标存在线性回归关系； 各组回归方程的斜率相同（回归线平行）；
协变量的要求
连续性变量； 不能影响处理因素； 协变量的取值应在施加处理因素前已获得； 如果协变量的取值是在施加处理因素后，应
设立平行对照的目的是为了保证非处理因素 的影响在处理组和对照组中达到均衡。
表12-2 经两种方法治疗后高血压患者治疗前后的舒张压
序号
1 2 …… 9 10
处理组 治疗前 治疗后
130 114 124 110 …… …… 126 108 124 106
序号
11 12 …… 19 20
对照组 治疗前 治疗后
表12-1 高血压患者治疗前后的舒张压（mmHg）
编号 1 2
…… 9 10
治疗前 130 124 …… 126 124
治疗后 114 110 …… 108 106
差值 16 14 …… 18 18
前后测量设计和配对设计
配对设计可随机分配同一对子的试验单位， 前后测量设计不能同期观察试验结果；
配对设计比较两种处理的差别，前后测量设 计比较某种处理前后的差别；
X1
Y1
15 85
13 83
…… ……
14 84
17 90
B饲料
X2
Y2
17
97
16
90
…… ……
19
99
18
94
C饲料
X3
Y3
22 89
24 91
…… ……
30 105
32 110
协方差分析的基本思想
将线性回归分析与方差分析结合起来的一种 统计方法；
将未加或难以控制的因素（混杂因素）对观 察指标的影响看作是协变量；
进行校正。
注意事项
各组例数相等； “球对称”检验：如果不满足“球对称”假
设，需用“球对称”悉数对自由度进行校正； 无平行对照的单组重复测量数据分析：如果
满足“球对称”假设，重复测量数据的方差 分析和随机区组方差分析等价。
重复测量数据统计分析常见的误用情况
重复进行各时间点的t检验，必然增加假阳性 错误；
表12-3 不同放置时间后受试者血糖浓度(mmol/L)
受试者 编号
1 2 …… 7 8
0 5.32 5.32 …… 5.88 5.32
放置时间（分）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
45
90
5.32
4.98
5.26
4.93
……
……
5.77
5.43
5.15
5.04
135 4.65 4.70 …… 4.93 4.48
第二节 重复测量数据的两因素两 水平分析
忽略个体曲线变化特征，重复测量数据不满 足常规曲线拟合独立性要求；
差值比较缺乏效度； 协方差分析的条件，协方差分析也是解决前
后测量设计的一种方法，但必须满足条件。
第十三章 协方差分析
（analysis of covariate, ANCOVA）
表13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重
A饲料
干预（A） 组间误差 组内（重复） 时间（B） AB交互作用 组内误差
自由度
19 1 18 20 1 1 18
SS
2517.9 202.5 2314.5 1702.0 1020.1 348.1 333.8
MS
202.5 128.6
1020.1 348.1 18.54
F
P
1.57 >0.05
55.0 <0.01 18.8 <0.01
表中n为各组的例数，I为A因素的水平数，J为B因素的水平数， A为A因素不同水平的合计数，B为B因素不同水平的合计数， C为校正悉数。
表12-10 重复测量设计两因素两水平的方差分析表
变异来源 组间（对象）
干预（A） 组间误差 组内（重复） 时间（B） AB交互作用 组内误差
自由度
SS
MS
F
2n-1
前后测量设计假定测量时间对观察结果没有 影响。
前后测量设计和配对设计
配对设计要求每组观察结果和差值相互独立， 且服从正态分布，前后测量设计差值通常与 前一次观察存在相关关系；
前后测量设计不仅分析前后差值平均值，还 需进行相关回归分析。
设立对照的前后测量设计
通常自身前后对照的结果并不一定能说明处 理的作用，还需设置一个平行对照组。
SS组间
1
SSA
MSA
MSA/ MS组间误差
2(n-1) 2n
SS组间- SSA SS组内
MS组间误差
1
SSB
MSB
MSA/ MS组内误差
1
SSAB
MSAB
MSAB/ MS组内误差
2(n-1) SS组内- SSB- SSAB MS组内误差
表12-10 重复测量设计两因素两水平的方差分析表
变异来源 组间（对象）
一、两因素离均差平方和的分解
表12-9 不考虑组别的SS分解
变异来源
自由度
总
4n-1
组间（观察对象） 2n-1
组内（重复测量）
2n
离均差平方和(SS)
SS总= X2C
1
SS组间2
M2j C
SS组 内
X21 2
M2 j
表中n为每个处理组中观察对象的例数，X为 每个观察结果，M为每个观察对象前后两次 观察的合计，C为校正系数。
结论
不同处理对高血压患者的舒张压没有影响； 测量前后舒张压有改变； 测量前后与处理组间有交互作用，说明处理
组和对照组治疗前后的舒张压变化不同。两 组治疗后的差别大于治疗前的差别，说明治 疗有效。
重复测量数据的两因素多水平分析
方差分析的方法与两因素两水平的相似； 如果拒绝“球对称”，需对FB和FAB检验界值
表12-8 考虑干预和时间因素的SS分解
变异来源 处理组间
干预（A） 时间（B） AB交互作用
自由度 离均差平方和(SS)
3
SS处 理 1 n(T 12T 2 2T 32T 4 2)－ C
1
SSA21n(A12A22)－C
1
SSB21n(B12B22)－C
1
S S A B S S 处 理 S S A S S B
118 124 132 122 …… …… 120 124 134 128
重复测量设计
当前后测量设计的重复测量次数≥3时，则所得观察 结果称为重复测量数据。
重复测量设计和随机区组设计的区别： 1、重复测量设计各时间点是固定的，不能随机分 配，而随机区组设计各组接受的处理可随机分配； 2、重复测量设计各时间点的观察结果有相关关系， 分析各时间点的差异需满足“球对称”，而随机区 组设计各处理组间的观察结果彼此独立，各处理间 比较无需满足“球对称”。