高三数学《师说》系列一轮复习 几何证明选讲 理 新人教B版
高考数学一轮复习 第一章几何证明选讲第一节全等与相似课件 北师大版
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考纲点击
考情关注
着重考查利用
1.理解相似三角形的 平面几何中三角形 定义与性质，了解 相似，直角三角形
平行截割定理． 的射影定理等知识
2．会证明和应用直 解决平面几何中的 角三角形射影定理. . 线段之间的关系问 3
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• 1. 平 行 线 等 分平线行线段 一定条理 ： 如 果 一 组
• 相似 比；
• (2)相似三角形周长的比等于 相似 比；
• (3) 相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于 相 似 比 的 相似 ；
• (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等
于 平方 比，外接圆的面积比等于相似比
的 平方 ．
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• 6．直角三角形的射影定理
• 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边 上射影的比例 中项 ；两直角边分别是它们在斜边 上 射影 与 斜边 的比例中项．
• 例2 △ABC是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个项点分别在AB，AC上，求这个正方形的 边长．
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• [思路分析] 利用相似三角形的性质定理找 到所求正方形边长与已知条件的关系即可 解得．
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[听课记录] 设正方形 PQMN 为加工成的正方形零 件，边 QM 在 BC 上，顶点 P、N 分别在 AB、AC 上，△ ABC 的高 AD 与边 PN 相交于点 E，设正方形的边长为 x cm，
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2．答案：12 解析：过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 M，可知 M 为 DC 的中点，故EBMC＝12，EFMC＝34，∴FBCC＝23，FBCF＝12.
高中数学《师说》系列一轮复习 导数的概念及其运算课件 理 新人教B版
－fx0.
求 f(x)的导函数 f ′(x)的方法类似．
精选ppt
5．导数的运算 (1)几种常见函数的导数 公式 1 C′＝0(C 为常数)； 公式 2 (xn)′＝nxn－1(n∈Q)； 公式 3 (sinx)′＝cosx； 公式 4 (cosx)′＝－sinx.
精选ppt
(2)对数函数与指数函数的导数 ①(lnx)′＝1x； ②(logax)′＝1xlogae； ③(ex)′＝ex； ④(ax)′＝axlna. (3)函数的和、差、积、商的导数 ①(u±v)′＝u′±v′； ②(uv)′＝u′v＋uv′； ③(uv)′＝u′v－v2 uv′(v≠0)．
3．导数的几何意义与物理意义 ①设函数 y＝f(x)在点 x0 处可导，那么它在该点的导数等于函数 所表示曲线在相应点 M(x0，y0)处的切线斜率．过点 M 的切线方程 为：y－y0＝f ′(x0)(x－x0)． ②设 s＝s(t)是位移函数，则 s′(t0)表示物体在 t＝t0 时刻的瞬时 速度． ③设 v＝v(t)是速度函数，则 v′(t0)表示物体在 t＝t0 时刻的加 速度．
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教材面面观 1．导数的概念 (1)如果当 Δx 时，________，我们就说函数 y＝f(x)在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 f(x)在点 x0 处的导数，记作 f ′(x0)，即 f ′(x0)＝__________________. (2)如果函数 f(x)在开区间(a，b)内________，就说 f(x)在开区间 (a，b)内可导．这时对于开区间(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应 着________，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，这一新函 数叫做 f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作 f ′(x)，即 f ′(x)＝ ________，导函数也简称导数．
高中数学《师说》系列一轮复习 定积分与微分基本定理课件 理 新人教B
(4)ʃ 21|3 －2x|dx＝ʃ 32 1|3－ 2x|dx＋ʃ232 |3 － 2x|dx ＝ʃ32 1(3－ 2x)dx＋ʃ232 (2x－3)dx＝(3x－x2)|321＋(x2－3x)|232＝12.
变式迁移 1 定积分 ʃ1－1|x|(x＋1)dx＝________.
答案 1 解析 由定积分的性质得 ʃ1－1|x|(x＋ 1)dx＝ʃ0－1(－ x)(x＋1)dx＋ʃ10x(x＋1)dx＝ʃ0－1(－ x2－x)dx ＋ʃ10(x2＋x)dx＝(－13x3－12x2)|0－1＋(13x3＋12x2)|10＝(－13＋12)＋(13＋12)＝1.
(2)由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)＞g(x))与直线 x＝a，x＝b(a＜b) 围成的图形的面积为 S＝ʃba[f(x)－g(x)]dx.
(3)利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤 ①根据题意画出图形； ②根据范围，定出积分上、下限； ③确定被积函数； ④写出相应的定积分表达式； ⑤用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分，求出结果．
②由功的物理意义知，物体在压力 F(x)的作用下，沿力 F(x)的方 向做直线运动，使物体从 x＝a 移到 x＝b(a＜b)．因此，求功之前还应 求出位移起始位置与终止位置．
③根据变力做功公式 W＝ʃbaF(x)dx 即可求出变力 F(x)所做的功． 注意 求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x 单位：m.
(2)ʃ32( x＋ 1x)2dx＝ʃ32(x＋1x＋2)dx ＝(12x2＋lnx＋2x)|32＝(92＋ln3＋6)－(2＋ln2＋4)＝ln32＋92. (3)函数 y＝sinx－sin2x 的一个原函数为 y＝－cosx＋12cos2x， 所以 ʃπ30(sinx－sin2x)dx＝(－cosx＋12cos2x)|π30＝(－12－14)－(－1 ＋12)＝－14.
【学海导航】高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第13单元《几何证明选讲》
第十三单元 几何证明选讲第71讲 相似三角形的判定与性质1.如图，△ADE ∽△ACB ，∠ADE ＝∠C ，那么下列比例式成立的是( )A.AD AC ＝AE AB ＝DE BCB. AB AB ＝AE AC ＝DE BCC.AD AE ＝AC AB ＝DE BCD.AD AB ＝AE EC ＝DE BC 2.在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，那么DE ∶BC ＝( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶ 2 D ．1∶13.在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，过C 作CE ⊥BD 于E ，则BE ＝( ) A.b a B.a bC.b 2a 2＋b2 D.a 2＋b 2b(第3题图) (第4题图)4.如图，在△ABC 中，AE ＝ED ＝DC ，FE ∥MD ∥BC ，FD 的延长线交BC 的延长线于点N ，且EF ＝2，则BN ＝( )A ．7B ．6C ．8D ．125.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为 .(第5题图) (第6题图)6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ，AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝______.7.如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上任取一点P ，使△P AD 和△PBC 两个三角形能构成一对相似三角形，这样的点P 有 个． 8.把一个面积为4的三角形ABC 用以下方式生成一个新的三角形DEF ：点D 与点A 关于点B 对称，点E 与点B 关于点C 对称，点F 与点C 关于点A 对称，求三角形DEF 的面积．9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：AD3＝BC·BE·CF.第72讲直线与圆的位置关系1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于()A．15°B．20°C．25°D．30° 2.已知AB与CD相交于圆内一点P，且∠APD＝30°，则弧AD与弧BC所成的圆心角的度数和为()A．30°B．45°C．60°D．180°3.点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于C，则PC的长为()A．4 B．6C．8 D．94.如图，P A是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，P A＝3，PB＝1，则∠ABC＝()A．70°B．60°C．45°D．30°5.如图，P A是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若P A BC＝32，则PBBC＝________.6.如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，以AC为直径作圆O交AB于D，则CD＝.7.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD＝5DB，设∠COD＝θ，则tan θ的值为________．8.如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的大小；(2)当OA＝3时，求AP的长．9.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．第十三单元 几何证明选讲第71讲 相似三角形的判定与性质1．A 由△ADE ∽△ACB ，∠ADE ＝∠C ，可确定两个相似三角形的对应边，由此可知AD AC ＝AE AB ＝DEBC，故选A. 2．C3．C 由直角三角形射影定理可知BC 2＝BE ·BD ，所以BE ＝BC 2BD ＝b2a 2＋b2.4．C 因为FE ∥MD ∥BC ，AE ＝ED ＝DC ，所以EF BC ＝AE AC ＝13，EF CN ＝ED DC ＝11＝1，所以EF ＝CN ，所以EF BN ＝EF BC ＋CN ＝14，所以BN ＝4EF ＝8.5.92 AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13. 因为BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92.6．15 由三角形相似可得EO BC ＝AO AC ，解得EO ＝152.由对称性知OF ＝OE ，所以EF ＝15. 7．2 设AP ＝x .(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝AP BC ，即36－x ＝x33，所以x 2－6x ＋9＝0，得x ＝3.(2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝AP BP ，即333＝x 6－x，所以得x ＝32.所以符合条件的点P 有2个．8．解析：连接AF ，BD ，CE ，则S △DEF ＝S △ECF ＋S △F AD ＋S △DBE ＋S △ABC ＝2S △ABC ＋2S △ABC＋2S △ABC ＋S △ABC ＝28.9．证明：在Rt △ABC 中，因为AD ⊥BC ， 所以AD 2＝BD ·DC ，且AD ·BC ＝AB ·AC .在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 由射影定理，BD 2＝BE ·BA ，DC 2＝CF ·AC ，所以BD 2·DC 2＝BE ·BA ·CF ·AC ＝BE ·CF ·AD ·BC ＝AD 4，所以AD 3＝BC ·BE ·CF . 第72讲 直线与圆的位置关系1．B 由已知，CO ⊥CP ，即∠OCP ＝90°. 又∠COB ＝2∠CAB ＝70°， 所以∠P ＝90°－∠COB ＝20°. 故选B.2．C 特殊位置法：点P 是圆心即可得正确答案为C.3．B 如右图． 因为OP ⊥PC ，所以P 为弦CD 的中点，故PC 2＝P A ·PB ＝9×4，即PC ＝6(负值舍去)． 4.B 由切割线定理得P A 2＝PB ·PC . 因为P A ＝3，PB ＝1，所以解得PC ＝3， 即BC ＝2，OA ＝1，OP ＝2， 因为OA ⊥P A ，所以∠P ＝30°，∠AOB ＝60°， 因为OA ＝OB ，所以∠ABC ＝60°，故选B. 5.12根据切割线定理有 P A 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )，P A BC ＝32，PB 2＋PB ·BC －34BC 2＝0，(2PB ＋3BC )(2PB －BC )＝0，所以PB BC ＝－32(舍去)，PB BC ＝12.6.125∠ADC 为直径AC 所对的圆周角，则∠ADC ＝90°. 在Rt △ACB 中，CD ⊥AB .由等面积法有AB ·CD ＝CA ·CB ，故得CD ＝125.7.52设BD ＝k (k >0)． 因为AD ＝5DB ，所以AD ＝5k ，AO ＝OB ＝5k ＋k2＝3k ，所以OC ＝OB ＝3k ，OD ＝2k . 由勾股定理得，CD ＝OC 2－OD 2＝(3k )2－(2k )2＝5k ，所以tan θ＝CD OD ＝5k 2k ＝52.8．解析：(1)因为在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°， 所以∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.因为P A ，PB 是⊙O 的切线，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ， 即∠OAP ＝∠OBP ＝90°，所以∠APB ＝60°. (2)如图，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D .因为在△OAB 中，OA ＝OB ，所以AD ＝12AB .因为在Rt △AOD 中，OA ＝3，∠OAD ＝30°，所以AD ＝OA ·cos 30°＝332，AP ＝AB ＝3 3.9．解析：(1)证明：连接DE ，因为ACED 是圆的内接四边形， 所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ， 所以△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DECA，而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE ，又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD . (2)由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ， 根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ， 即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即AD ＝12.。
高中数学《师说》系列一轮复习 推理与证明课件 理 新人教B
(3)用于证明整除问题 用数学归纳法证明与正整数有关的整除问题时，关键也在于第 二步由 p(k)⇒p(k＋1)的过渡中，由于 p(k＋1)中根本没有 p(k)中的因 子，因而要“凑”出归纳假设中的 p(k)，即要“添”项、“减”项．同 时还应注意掌握数或式的整除性知识．另外第二步中变出 p(k)后， 还应辅助文字说明理由，即逻辑推理不可忽视． (4)用于证明三角恒等式(或三角不等式) 用数学归纳法证明与正整数有关的三角恒等式或不等式时，除 了要采用前面所介绍的方法外，还常常要应用三角公式进行化简． (5)用于证明几何问题 用数学归纳法也可以证明与正整数有关的几何问题．这里除了 要严格按照数学归纳法格式和步骤进行证明外，还经常用到一些几 何图形的性质．如一些几何计数问题应抓住所划分的线段、平面、 空间的个数与交点、交线间的关系等.
实验、观察 ―→ 归纳、类比 ―→ 猜测一般性结论
(3)类比推理 ①类比推理的特点 (ⅰ)类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的 事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果． (ⅱ)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性． (ⅲ)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功 能． ②类比推理的一般步骤 (ⅰ)找出两类事物之间的相似性或一致性． (ⅱ)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确 的命题． ③类比推理的思维过程大致如下
设，然后再去凑出当 n＝k＋1 时的结论．
8．数学归纳法对不同题型的应用 (1)用于证明代数恒等式 证明代数恒等式时，应先分析清楚等式两边的构成情况，解这类 题的关键在于第二步将式子转化成与归纳假设的等式结构相同的形 式．第二步的恒等变形过程不能省略． (2)用于证明不等式 用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，关键仍在第二步， 它与证明恒等式比较，证明不等式的难度较大，甚至有时第一步也不 容易．因而第二步用了归纳假设以后往往还要结合证明不等式的其他 方法，如比较法、放缩法、分析法、反证法等才能达到证题目的．
高中数学《师说》系列一轮复习 第三讲 函数的定义域与解析式课件 理 新人教B版
4．表示函数的常用方法有_________、_________、________.
答案 解析法 列表法 图象法
5．分段函数是____________________________．
答案 在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有 着不同的对应法则的函数
答案 (1)满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合 (2)满足不等式 a＜x＜b 的实数 x 的集合 (3)满足不等式 a≤x＜b，或 a＜x≤b 的实数 x 的集合 (4)[a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
3．映射的概念 设 A，B 是________集合，如果按照某一个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有 ____________________与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射．
②由函数定义可知任一垂直于 x 轴的直线与函数的图象至多一 个交点．
③优点与不足 用解析式表示函数关系的优点是：函数关系清楚，容易从自变 量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质．而 不足是抽象、不直观，不能像列表法与图象法那样对函数的动态变 化那样很具体，很直观地被感知．
(2)列表法 ①定义：把两个变量的函数关系用表格的形式表示出来．这种 表示法就叫做列表法． 例如，国内生产总值表，就表示了我国生产总值与年份的函数 关系，还有车站内里程与票价表，就表示了票价与里程的函数关系． ②优点与不足 用列表法表示函数关系的优点是具体、直观，不必通过计算就 知道当自变量取某些值时函数的对应值；而不足是对函数规律，即 函数与自变量之间的内在联系表达不清楚．对应法则究竟是什么， 从表格上有时很难看出来．
高三数学《师说》系列一轮复习 几何概型课件 理 新人教B版
2 答案 3 解析 设事件 M 为 “劣弧 AB 的长度小于 1”， 则满足事件 M 的点 B 可以在定点 A 的两侧与定点 A 构成的弧长小于 1 的弧上随 2 机取一点，由几何概型的概率公式得： P(M)＝ . 3
题型二 与角度有关的几何概型 例 2 在圆心角为直角的扇形 AOB 中，在 AB 上任取一点 P，则 使 ∠ AOP＞ 30° 且∠ BOP＞ 30° 的概率是 ( ) 1 2 A. B. 3 3 1 C. D．无法计算 4
解析 记事件 A＝ “弦长超过圆内接等边三角形的边长 ”． 如图，不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取 一点 F 作垂直于直径的弦， 当弦为 CD 时， 就是等边三角形的边长， 弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概 1 ×2 2 1 型公式得： P(A)＝ ＝ . 2 2
(4)与体积有关的几何概率的求法： ①如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则 其概率的计算公式为 构成事件 A的区域体积 P(A)＝ . 试验的全部结果所构成的区域体积 ②解此类问题一定要注意几何概型的条件 .
典 例 对 对 碰 题型一 与长度有关的几何概型 例 1 在半径为 1 的圆内一条直径上任取一点，过这个点作垂直 于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？
题型三 与面积有关的几何概型 例 3ABCD 为长方形，AB＝ 2，BC＝ 1，O 为 AB 的中点．在长 方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 ( ) π π A. B ． 1－ 4 4 π π C. D． 1－ 8 8
如图所示，长方形 ABCD 的面积为 2，以 O 为圆心， 1 π 为半径作圆，在矩形内部的部分 (半圆 )的面积为 ， 2
高三数学《师说》系列一轮复习 不等式选讲课件 理 新人教B版
注意 在证明时，还常要用到以下证题依据： 若 a， b∈ R，则 |a|≥ 0， a2≥ 0， (a－ b)2≥ 0； b a 若 a， b 同号，则 ＋ ≥ 2； a b 柯西不等式：若 a，b，x，y∈ R，则 (a2＋ b2)· (x2＋ y2)≥(ax＋ by)2； 1 平方和不等式：若 a， b∈ R，则 a2＋ b2≥ (a＋ b)2； 2 a＋ b 重要不等式： a， b 均为正数，则 ≥ ab， a， b∈ R，则 a2 2 ＋ b2≥ 2ab； 1 1 倒数和不等式，若 a， b 均为正数，则 (a＋ b)( ＋ )≥ 4. a b
3． 不等式的证明方法 (1)比较法． ①作差法：欲证 A＞ B，只需证 A－ B＞ 0.用作差法证明不等式 的步骤为：作差 变形 判断符号． 注意 作差后，其关键在于变形，变形时，应将差式： a.变形 为常数，b.变形为用非负实数 (如完全平方、绝对值等)表示出来，c. 变形为几个因式的积 (商 )的形式，总之，变形的目的要有利于符号 的判定． A ②作商法：欲证 A＞ B，若 B＞ 0，只需证 ＞ 1；若 B＜ 0，只 B A 需证明 ＜ 1. B 步骤：作商 变形 判断商与“ 1”的大小． 注意 在比较商式与 “1”的大小关系时，应注意函数 (特别是 指数函数 )的性质 (特别是单调性 )的运用．
(4)反证法． 从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定 是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法． 注意 用反证法证明不等式要把握三点： ①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多 样性时，必须罗列出各种可能的结论，缺少任何一种可能，反证都 是不完全的． ②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条 件，且必须根据这一条件进行推证，否则，否定结论，不从结论的 反面出发进行推理，就不是反证法． ③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾、有的与假设 矛盾、有的与已知事实相违背等，推导出的矛盾必须是明显的．
高三数学《师说》系列一轮复习 立体几何中的向量方法课件 理 新人教B版
5． 求有关的角 在立体几何中，涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所 成的角、二面角等．关于角的计算，均可归结为求两个向量的夹角． a· b 对于空间向量 a， b，有 cos〈 a， b〉＝ .利用这一结论，我 |a||b| 们可以较方便地处理立体几何中的角的问题． 结论一：设 A∈a， B∈a， C∈b， D∈ b 且直线 a 与 b 是异面直 → → 线，则〈AB，CD 〉就是异面直线 a 与 b 所成的角或它的补角．
(2)直线 l 的向量方程 → ＝ ta 由 (1)可知，直线 l 上任一点 P，一定存在实数 t，使AP 解此式可以看作是直线 l 的参数方程． 直线 l 的参数方程还可以作如下表示： 对空间任一确定的点 O(如图所示 ) ①
→ 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一的实数 t 满足等式： OP＝ → OA＋ ta ② → → → → → → 如果在 l 上取AB＝ a， 则上式可化为： OP＝ OA＋ tAB＝ OA＋ t(OB → → → －OA)＝ (1－ t)OA＋ tOB. ③ ①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程． 1 → 1 → → → t＝ 时，M 为线段 AB 的中点， OM＝ (OA＋ OB)为线段AB的中 2 2 点的向量形式．
4.利用空间向量证明平行关系与垂直关系 (1)证明线面平行或面面平行 ①证明线面平行：第一种思路是证明这条直线的方向向量与这 个平面的法向量垂直，依据是直线与平面平行的定义——直线与平 面无公共点；第二种思路是证明这条直线的方向向量与这个平面内 某直线的方向向量平行，依据是线面平行的判定定理；第三种思路 是证明直线的方向向量与这个平面共面，依据是共面向量定理． ②证明面面平行：一种思路是证明两个平面的法向量平行，依 据是垂直于同一直线的两个平面平行；另一种思路是证明其中一个 平面的两条相交直线对应的向量与另一个平面内的两条相交直线对 应的向量分别平行，依据是面面平行的判定定理．
高三数学《师说》系列一轮复习数列的综合运用课件理新人教B版
变式迁移 2 某地区原有木材存量为 a，且每年增长率为 25%，因生产建设 的需要每年年底要砍伐的木材量为 b，设 an 为 n 年后该地区森林木 材存量．
20×2＋ …＋ 20×(13－ x)
＝10(x－1)＋ 20× x－ 12 x－2＋ 20×13－ x2 14－ x ＝10[(x－ 1)＋(x－ 2)(x－ 1)＋(13－ x)(14－ x)]
＝10(2x2－ 29x＋ 183)
＝20(x－249)2＋
3115 4
∵x∈N*，∴x＝7 时，S 有最小值 S＝780(m)．
典例对对碰 题型一等差数列模型 例 1 如图，在一直线上共插有 13 面小旗，相邻两面间距离为 10m，在第一面小旗处某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上， 每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的 位置上？最短路程是多少？
分析 本题求走的总路程最短，是一个数列求和问题，而如何 求和是关键，应先画一草图，研究他从第一面旗到另一面旗处走的 路程，然后求和．
考点串串讲 1．用数学模型解题的基本模式
(1)日常生活中涉及到的利息、产量、繁殖等与增长率有关的实 际问题，以及经济活动中的分期付款、期货贸易等问题均可转化为 相应的数列问题，利用数列的有关知识去解决．
(2)建立数学模型的一般步骤 ①认真审题，准确理解题意，明确问题属于哪类应用问题，弄 清题目的已知事项，明确题目所求的结论； ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，将文字语言翻译 成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来； ③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出 满足题意的数学表达式．
所有利润总和的23. (1)若以 2001 年为第一年，试写出这家企业第 n 年的利润 an 与
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(12)圆的切线 ①直线与圆的位置关系 当直线与圆有 2 个公共点时，直线与圆相交； 当直线与圆只有 1 个公共点时，直线与圆相切，公共点称为切点； 当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离． ②切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时经过切点且与圆的切 线垂直的直线过圆心．
(2)对于相似三角形需注意以下几点 ① 相 似 三 角 形 的 传 递 性 ： 如 果 △ABC∽△A1ห้องสมุดไป่ตู้1C1 ， △A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽△A2B2C2. ②平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交， 所构成的三角形与原三角形相似．
③直角三角形相似的判定定理：
考点串串讲
1．平行截割定理常用结论 (1)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． (2)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (3)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得 的对应线段成比例． (4)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在 运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在 三角形与四边形中的灵活应用．
典例对对碰 题型一 平行截割定理 例 1 如图所示，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 BD 的中 点，AE 交 BC 于 F，则BFFC的值为________．
解析 过点 D 作 DM∥AF 交 BC 于点 M.
∵点 E 是 BD 的中点，∴在△BDM 中，BF＝FM，∵点 D 是
AC 的中点，
(ⅰ)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角 形相似．
(ⅱ)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
3．圆的有关性质结论 (1)圆内接四边形的性质定理与判定定理． (2)圆的内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于它的 内角的对角． (3)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共 圆． (4)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边 形的四个顶点共圆． (5)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长 的积相等． (6)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线 与圆的交点的两条线段长的积相等．
(7)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点 到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
(8)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
(9)圆弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周 角所对的弧也相等．
(10)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是 直径．
(13)弦切角定理 ①弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半． ②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切 角与圆周角相等．
4．几何证明中的思想方法 (1)分类思想方法 所谓分类思想方法就是依据一定的标准，按照既不重复也不遗 漏的原则，将所要研究的对象划分为若干类别，然后通过对每一类 别的研究达到对事物整体研究的目的．例如，按角的关系分类，可 以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，每种类型 的三角形有自身的一些特性，如果不作分类讨论，那么就很难找出 这些特性．另一方面，对一些问题的讨论，必须通过分类才能举全 各个方面，使得到的结论具有一般性．要结合圆周角定理、四点共 圆判定定理和弦切角定理的证明，认真对分类思想方法加以体会．
(简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)； (ⅲ)对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三
角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简述为：三边对 应成比例，两三角形相似)．
②相似三角形的性质定理： (ⅰ)相似三角形的对应角相等； (ⅱ)相似三角形的对应边成比例； (ⅲ)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比 都等于相似比； (ⅳ)相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都 等于相似比； (ⅴ)相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于相似比的平方．
(2)运动变化思想 运动变化思想具体体现为图形的运动变化．几何中的许多问题 源于相同的模型，尽管图形中某些要素的位置关系有差异，但其本 质是相同的．要结合相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长 定理之间的关系领悟运动变化思想在数学探究中的作用． (3)猜想与证明 数学中的许多定理都是先对一定的典型事例进行观察、实验、 类比和归纳后，发现一定的规律性，并提出一个猜想，然后再对猜 想进行严格的证明得来的．猜想和证明既是数学研究的常用方法， 同时又是训练思维的重要工具.
AHA－HMH，
∴x4＝
3－
3 2x
3
＝2－2
x，解得
x＝43.
题型二 射影定理
例 2 如图所示，已知 BD、CE 是△ABC 的两条高，过点 D 的直 线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H，交 CE 于 F，且∠H＝∠BCF.求 证：GD2＝GF·GH.
证明 ∵CE⊥AB，
∴∠H＋∠HFE＝90°.
2．相似三角形 (1)相似三角形的判定与性质 ①相似三角形的判定定理：
(ⅰ)对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简述为：两角对应 相等，两三角形相似)；
(ⅱ)对于任意两个三角形，如果一个三角形的两条边和另一个三 角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似
又∵∠BCF＝∠H，∠HFE＝∠CFG，
∴在△CAF 中，CM＝MF，∴BFFC＝FMB＋FMC＝12.
答案
1 2
变式迁移 1 如 图 所 示 ， 等 边 △DEF 内 接 于 △ABC， 且 DE∥BC， 已 知 AH⊥BC 于点 H，BC＝4，AH＝ 3，则△DEF 的边长为________．
答案
4 3
解析 如题图所示，设 DE＝x，AH 交 DE 于 M，则DBCE＝AAMH＝