弹性力学 第六章 柱体的扭转与弯曲

ν ν
A A
得
∂Φ ∂Φ D = −G ∫∫ x ∂x + y ∂y dA A
70
第七章 柱体的扭转与弯曲
∂( xΦ ) ∂( yΦ ) dA + = 2G ∫∫ ΦdA − G ∫∫ ∂y ∂x A A
利用 Green 公式和(7.1.5)式，方程右边后项成为
图 7.2
u = −θ zy . v = θ zx w = θ ψ ( x , y )
(7.1.1）
式中 α = θ z ， θ 是单位长度的扭转角， z 为截面所在位置，ψ ( x, y ) 是截面翘曲函数。 由(7.1.1)式和(5.1.2)式得
e x = e y = e z = e xy = 0
利用其求端面合力分量得
ν ∂ψ R x = ∫∫ Tx dA = Gθ ∫∫ − y dA ∂x A A ν ∂ψ R y = ∫∫ T y dA = Gθ ∫∫ ∂y + x dA A A
68
第七章 柱体的扭转与弯曲
式中 R x 为端面的 x 向合力，因 R y 为 y 向合力，A 为截面定义域。由于在截面内 (7.1.4) 式 成立，可有如下变换：
dφ ( x, y ) =
相较后，有
∂φ ∂φ dx + dy ∂x ∂y
∂φ σ zx = ∂y σ yz = − ∂φ ∂x
(7.2.1)
φ ( x, y ) 称为扭转应力函数， 即是 Ludwig–Prandtl 提出的扭转应力函数， 与 Φ 差一个系数。
由所设应力分量的情况，谐调方程 (5.22.2b) 只余
第七章 柱体的扭转与弯曲
(Saint-Venant)问题
柱体的扭转问题，在工程技术中有许多应用，根据使用边界情况，扭转问题可分成自由 扭转和限制扭转两类。 柱体扭转时其横截面发生翘曲不受限制称为自由扭转， 反之称为限制 扭转或约束扭转。本章重点放在弹性柱体的自由扭转问题上。Saint-Venant 问题还讨论了 悬臂且周边自由的梁的弯曲问题， 并引进剪力中心或弯曲中心的概念， 这对判断柱体是否联 合发生弯扭有重要意义。
2 ∇ σ zx = 0 2 ∇ σ yz = 0
将 (7.2.1) 式代入后，得
72
第七章 柱体的扭转与弯曲
∂ 2 ∂x ∇ φ = 0 ∂ 2 ∇ φ =0 ∂y
积分后得扭转应力函数表示的谐调方程
∇ 2φ = C
将(7.2.1)式代入柱体侧面边界条件，有
式中 k 是常数。Ludwig–Prandtl 提出了应力函数 Φ( x, y ) 令 这样有
Φ( x, y ) = ϕ −
1 2 x + y2 2
(
)
(7.1.13)
∇ 2 Φ = −2 Φc =k
相应有
(7.1.14)
∂Φ σ zx = Gθ ∂y σ yz = −Gθ ∂Φ ∂x
∂σ zx ∂σ yz =0 + ∂y ∂x
根据 Green 公式有
∂σ zx ∂σ yz ∫∫ ∂x + ∂y A
dA = ∫ (σ zxν x + σ yzν y )ds = ∫ σ zx dy − σ yz dx = 0
此式确定全微分函数 φ ( x, y ) ，并与
用(7.1.9)式有
(7.1.15)
∂Φ 2 ∂Φ 2 D = G ∫∫ + dA ∂x ∂y A
或由 (7.1.15) 式及
(7.1.16)
M t = ∫∫ (T y x − T x y )dA = ∫∫ (xσ yz − yσ zx )dA
∫∫ .
A
∂( xΦ ) ∂( yΦ ) dA = ∫ Φ (xν x + yν y )ds = k ∫ xdy − ydx + ∂y ∂x c c
所以，再利用 Green 公式将环路积分变成面积分，得到
D = 2G ∫∫ Φ dA − 2kA
A
如果柱体是单连域的，此式成立，并且 k 可以取为零，则
如以 ϕ 代替ψ ，扭转问题的方程变成
∂ϕ − y σ zx = Gθ ∂y ∂ ϕ σ = −Gθ − x yz ∂x
及
(7.1.10)
∇ 2ϕ = 0
(7.1.11)
ϕ−
1 2 x + y2 = k 2
(
)
(7.1.12)
A
此时 k1 ≠ 0 ，为由内边界条件确定的常数。 如果 Φ( x, y ) 为常数，它确定一条以这常数为参数的曲线，如将其对 x 求微商：
dΦ ∂Φ ∂Φ dy = + =0 dx ∂x ∂y dx
所以
∂Φ σ yz dy = − ∂x = ∂Φ σ zx dx ∂y
这说明剪应力 τ =
2 2 σ zx + σ yz 切于 Φ( x, y ) 等于常数的曲线。 Φ( x, y ) 等于常数的曲线称为
(7.2.2)
∂φ dy ∂φ dx dφ + = =0 ∂y ds ∂x ds ds
故在侧面边界上应有
φc =k
端面 x 向合力与 y 向合力分别为
(7.2.3)
R x = ∫∫ σ zx dA = ∫∫
A A
∂φ dA = ∫ φν y ds = −k ∫ dx = 0 ∂y ∂φ dA = − ∫ φν x ds = − k ∫ dy = 0 ∂x
∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ −y= x − y + x + x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ +x= y − y + y + x ∂y ∂x ∂y ∂y ∂x
A
如是多连域, 例如对 n 连域
M t = 2 ∫∫ φ dA + 2∑ k i Ai
D = 2G ∫∫ ΦdA
A
(7.1.17)
当是复连域时，例如二连域，环路积分成为
k 0 ∫ xdy − ydx − k1 ∫ xdy − ydx = 2k 0 A0 − 2k1 A1
C0 c1
代替 2kA 并且用 A0 − A1 代替 A ，其中可以取 k 0 = 0 ，则有
D = 2G ∫∫ Φ dA + 2k1 A1
R y = ∫∫ σ yz dA = − ∫∫
A A
由端面扭矩公式
M t = ∫∫ (xσ yz − yσ zx )dA
A
将(7.2.1)式代入得
M t = 2 ∫∫ φ dA − ∫ φ (xν x + yν y )ds
A
如是单连域, 当取 k = 0 , 此式后项积分为零, 故有
M t = 2∫∫ φ dA
M t = Dθ
式中
∂ψ D = G ∫∫ x + ∂y A
2 2 ∂ψ + y − ∂x dA
(7.1.9)
D 称为扭转刚度，物理上 D 总是大于零的，下面从数学上给于证明：
由于(7.1.9)式中的被积函数为平方和，只要排除 D = 0 的情况即可证明。如 D = 0， 只有
∂ψ = y, ∂x
∂ψ = −x ∂y
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第七章 柱体的扭转与弯曲
这时会使ψ 成为不是单值函数，物理上是不可能的，因此 D 不会等于零，只能大于零。 根据解析函数论,ψ 的共轭函数 ϕ 亦满足调和方程，它与ψ 的关系由 Cauchy-Riemann 条件确定，即
∂ψ ∂ϕ = ∂x ∂y
∂ψ ∂ϕ =− ∂y ∂x
和
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第七章 柱体的扭转与弯曲
1 ∂ψ e zx = 2 θ ∂x − y ∂ψ e yz = 1 θ + x 2 ∂y
再由 Hooke 定律求应力得
(7.1.2)
σ x = σ y = σ z = σ xy = 0
∂ψ σ zx = Gθ ∂x − y ψ ∂ σ yz = Gθ ∂y + x
等 Φ 线，即剪应力线。显然边界是条等 Φ 线，并且是条闭合曲线。 Φ 应是单值的，故等 Φ 线不同参数的线不会相交。 最大剪应力应在边界上，可用数学方法证明如下：因为
τ = σ +σ
2 2 zx 2 2 2
2 yz
∂ψ = G θ x + ∂y
2 2 2
2 2 ∂ψ + − y ∂x 2 ∂ 2ψ + 2 ∂x∂y > 0
代入平衡方程后，得
(7.1.3)
∇ 2ψ = 0
为位移表示的平衡方程，ψ 满足平面 Laplace 方程，ψ 为调和函数。 现考虑边界条件： 1） 周边，参见图 7.3, 其外法线方向余弦各个分量为
(7.1.4)
dy νx = ds
dx νy = − ds
y
ds dy dx 0
x ν
νz = 0
(7.1.5) 将(7.1.4)式和(7.1.5)式的结果代入 Cauchy 应力公式 后，得
代入 M t 表达式，得
∂ψ 2 ∂ψ 2 dA = − ∫∫ ∂x + ∂y dA A.
∂ψ M t = Gθ ∫∫ x + ∂y A
通常工程上将此式写成
2 2 ∂ψ + − y dA ∂x
∂ 2τ 2 ≤0 ∂x 2
∂ 2τ 2 ≤0 ∂y 2
才会有极大值，这对上调和函数是不可能的，所以 τ 在边界上有最大值。
§7.2 应力解法
历史上有许多人讨论了应力解法， 为简单起见， 我们假设 σ xx = σ yy = σ zz = σ xy = 0 则 平衡方程在不计体力时，由前两个平衡方程得出 σ zx , σ yz 只是 x , y 的函数，第三个方程为
0
Ty
x
ν
y
Tx
ν
M t = ∫∫ (T y x − Tx y )dA = ∫∫ (xσ yz − yσ zx )dA
ν ν
A A
图 7.4
2 ∂ψ ∂ψ 2 = Gθ ∫∫ x + y + x ∂y − y ∂x A
利用周边边界条件和 Green 公式可以证明
dA
∂ψ ∂ψ x ∂y − y ∂x ∫∫ A
∂ 2ψ ∇ τ = 2G θ 2 + ∂x 2
2
∂ 2ψ + 2 ∂y
71
第七章 柱体的扭转与弯曲
由于有此式的结果， τ 2 被称为上调和函数，如在域内有极大值, 根据复合函数求极值的法 则，应有某点 ( x0 , y 0 ) ∈ A
dx 1 d 2 dy dψ x + y2 =y +x = ds 2 ds ds dν
(
)
(7.1.6)
此式利用了公式
dψ = ν • ∇ψ dν
2） 端面，例如右端面外法线的方向余弦各个分量为
图 7.3
ν x =ν y = 0
νz =1
这时，右端面作用的应力向量分量为
ν ∂ψ T x = σ yz = Gθ − y ∂x ν ∂ψ T y = σ zx = Gθ ∂y + x
利用 Green 公式将面积分变成沿截面边界的回路积分，可得
dy dx dψ − y − x ds = 0 R x = Gθ ∫ x dν ds ds c dy dx dψ R y = Gθ ∫ y − y − x ds = 0 dν dsΒιβλιοθήκη Baiduds c
这表明端面的合力为零。再求端面的合力矩, 参见图 7.4 有扭矩
§7.1 位移法
现在我们来讨如图 7.1 所示的柱体的自由扭转，根据观察，柱体扭转时从纵向看过去 截面形状不变，截面作刚体运动；截面产生翘曲且沿轴不变。如选定某一截面其转角为α的 话，参见图 7.2, 那末所选定截面中的任一点的位移分量
0
z
y
α x
y
x
图 7.1
x
可写成： u = −αy, v = αx 和w ，即