赋值法解答抽象函数的赋值
“四招”突破抽象函数问题
“四招”突破抽象函数问题作者：唐浩德来源：《甘肃教育》2015年第16期【关键词】数学教学;函数问题;抽象;求解【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C【文章编号】 1004—0463（2015）16—0119—01抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出一些体现函数特征的式子的一类函数.抽象函数问题的解决往往要从函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数的图象入手.下面，从四个不同的方面来探寻一些解题规律.一、利用赋值法巧求抽象函数的函数值赋值法是求抽象函数值的重要方法.通过观察与分析抽象数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是利用函数的奇偶性与周期性来转化解答，有时还需多次赋值.例1 定义在R上的单调函数f（x）满足：存在实数x0使得对于任意实数x1、x2总有f （x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.1.求f（1）+f（0）的值;2.求x0的值.解：1. 因为对于任意实数x1、x2总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立，令x1=1、x2=0，有f（x0）= f（x0）+f（1）+f（0），∴f（1）+f（0）=0.解：2. 令x1=0、x2=0，有f（0）=f（x0）+f（0）+f（0），即f（0）=f（x0）+2f （0），∴f（0）=f（x0）.∴f（x0）=-f（0）.又∵f（1）+f（0）=0，∴f（0）=-f（1），∴f（1）=-f（0），∴f（x0）=f（1）.又∵f（x）为定义在R上的单调函数，∴x0=1.二、利用函数图像和奇偶性定义判断抽象函数的奇偶性抽象函数的奇偶性是要判断f（x）与f（-x）之间的关系，从而得出图象关于原点或y轴的对称，再结合函数的图象作进一步判断;在利用奇偶性的定义进行判断时，若等式中还有其他的量未解决，就需要特殊赋值加以解决.例2 已知函数f（x）对x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，求证：f（x）是偶函数.解：∵对任意x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）令x=0，y=0，有f（0）+f（0）=2f（0）f（0），∴2f（0）=2f（0）2，∴f（0）=f（0）2，∴f（0）=0或f（0）=1.又∵f（0）≠0，∴f（0）=1.令x=0，有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），∴f（y）=f（-y），又∵y∈R，∴f （x）为偶函数.三、利用函数单调性求解或证明抽象不等式抽象函数的单调性，需要对所含的参数进行分类讨论，或根据已知条件确定参数的范围，最后再根据单调性求解或证明抽象不等式，同时要注意定义域的限制.例3 设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）.若f （3）=1，且f（a）>f（a-1）+2，求实数a的范围.解：∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（3）= 1，∴2=2f（3）=f（3）+f（3）= f（3×3）=f （9），又∵f（a）>f（a-1）+2，∴f（a）>f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，从而得不等式组：a>0 ; ; ; ; ; ; ①9（a-1） >0 ; ; ; ②a>9（a-1） ; ; ; ;③四、利用函数模型巧解抽象函数问题抽象函数问题的设计一般都有一个基本函数作为模型，若能分析出这个函数模型，结合其性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单解决.例4 已知函数f（x）对于任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时，有f（x）>0，f（-1）=-2.求f（x）在[-2，1]上的值域.解：∵对于任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=0，y=0有f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.再令y=-x有f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数.设x10.又∵当x>0时有f（x）>0，f（0）=0，∴f（x）>f（0），∴f（x1-x2）>0，∴f （x）-f（x）>0，∴f（x）>f（x）.∴f（x）为R的增函数.又∵f（-2）=f（-1-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=-4，f（1）=-f（-1）=2，∴当x∈[-2，1]时，f（x）∈[-4，2].编辑：谢颖丽。
赋值法处理抽象函数问题
赋值法处理抽象函数问题李小蛟(四川省成都市树德中学㊀６１００９１)摘㊀要:本文举例说明可以用赋值法解决抽象函数的诸多问题.关键词:抽象函数ꎻ处理问题ꎻ赋值法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００３３－０３收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:李小蛟(１９８４.１０－)ꎬ男ꎬ四川人ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀不给出具体解析式ꎬ只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数.由于抽象函数可以全面考查学生对函数概念和性质的理解ꎬ同时抽象函数问题又将函数的定义域ꎬ值域ꎬ单调性ꎬ奇偶性ꎬ周期性和图象集于一身ꎬ所以在高考中出现频率较高.解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知识.抽象函数无具体表达式ꎬ要通过我们所学的一般初等函数的性质来解决比较困难(小题可借用一些类似函数解决)ꎬ但抽象函数问题的解决本质上是将抽象问题具体化ꎬ所以解决抽象函数问题可以将函数中变量具体赋值ꎬ即解决抽象函数有一个万能的方法ꎬ即赋值法.下面我们即分类例析用赋值法解决抽象函数问题.㊀㊀一㊁赋值法处理抽象函数函数值抽象函数求值问题是要解决具体函数值问题ꎬ因此抽象函数问题求值的关键在于赋值ꎬ即赋要求解自变量ꎬ代入求出相应函数值即可.例１㊀已知ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ对任意的ｘꎬｙɪＲꎬ有ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)ꎬ则ｆ(０)＝.分析㊀本题函数没有具体表达式ꎬ即抽象函数求值问题ꎬ要求解ｆ(０)的值ꎬ即在ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)这一式子中要出现ｆ(０)ꎬ所以我们令ｘ＝ｙ＝０ꎬ即出现ｆ(０＋０)＝ｆ(０)＋ｆ(０)ꎬ所以ｆ(０)＝０.例２㊀定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ)满足ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＋２ｘｙ(ｘꎬｙɪＲ)ꎬｆ(１)＝２ꎬ则ｆ(３)＝ꎬｆ(－３)＝.分析㊀根据题意ꎬ已知ｆ(１)＝２且ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＋２ｘｙꎬ要求解ｆ(３)ꎬｆ(－３)的值ꎬ即要利用赋值法构造出自变量为３ꎬ－３.ȵｆ(１)＝２ꎬ于是令ｘ＝ｙ＝１ʑｆ(２)＝ｆ(１＋１)＝ｆ(１)＋ｆ(１)＋２ˑ１ˑ１＝２＋２＋２＝６又令ｘ＝２ꎬｙ＝１ʑｆ(３)＝ｆ(２＋１)＝ｆ(２)＋ｆ(１)＋２ˑ２ˑ１＝６＋２＋４＝１２.现已求出ｆ(３)＝１２ꎬ要求ｆ(－３).注意３与－３互为相反数ꎬ所以如果令ｘ＝３ꎬｙ＝－３即有ｆ(０)＝ｆ(３－３)＝ｆ(３)＋ｆ(－３)＋２ˑ３ˑ(－３)ꎬ因此我们还应先求出ｆ(０).于是再令ｘ＝ｙ＝０ꎬ则有ｆ(０＋０)＝ｆ(０)＋ｆ(０)＋２ˑ０ˑ０ꎬʑｆ(０)＝０因此０＝ｆ(０)＝ｆ(３－３)＝ｆ(３)＋ｆ(－３)＋２ˑ３ˑ(－３)＝１２＋ｆ(－３)－１８ꎬʑｆ(－３)＝６.㊀㊀二㊁赋值法处理抽象函数解析式抽象函数求解析式是要求出ｆ(ｘ)ꎬ因此我们要采用赋值法得到ｆ(ｘ)ꎬ并利用赋值法将法则ｆ作用的其余形式消去即可.例３㊀已知ｆｘ()－２ｆ１ｘæèçöø÷＝３ｘ＋２ꎬ求ｆｘ().分析㊀观察题设函数方程ꎬ应设法消去ｆ(１ｘ)ꎬ才能求出ｆ(ｘ).在该式中可将ｘ换成１ｘꎬ然后两个方程联立ꎬｆ(ｘ)－２ｆ１ｘæèçöø÷＝３ｘ＋２①ｆ１ｘæèçöø÷－２ｆ(２)＝３ｘ②.ìîíïïïï３３①＋②ˑ２ꎬ可得ｆ(ｘ)＝－ｘ－２ｘ－２.例４㊀已知ｆｘ()＋２ｆ２－ｘ()＝３ｘ２－８ｘ＋８ꎬ求ｆｘ().分析㊀条件中给出有关法则ｆ作用于ｘ和２－ｘꎬ我们要求出ｆ(ｘ)ꎬ因些要想办法消去ｆ(２－ｘ).所以利用赋值法ꎬ我们只需要将上式中所有ｘ换为２－ｘꎬ即ｆ(２－ｘ)＋２ｆ(ｘ)＝３(２－ｘ)２－８(２－ｘ)＋８ꎬ然后与ｆｘ()＋２ｆ２－ｘ()＝３ｘ２－８ｘ＋８联立求解出ｆ(ｘ)＝ｘ２.㊀㊀三㊁赋值法处理抽象函数奇偶性奇偶性是考察ｆ(ｘ)和ｆ(－ｘ)之间的关系ꎬ所以抽象函数奇偶性问题关键在于采用赋值法让题目出现ｆ(ｘ)和ｆ(－ｘ)ꎬ并根据表达式探究ｆ(ｘ)和ｆ(－ｘ)两者关系.例５㊀设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ对任意ｘ１ꎬｘ２ɪＲꎬ恒有ｆ(ｘ１＋ｘ２)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)成立.则ｆ(ｘ)是(指明函数的奇偶性).分析㊀令ｘ１＝ｘꎬｘ２＝－ｘꎬ则出现ｆ(ｘ－ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝ｆ(０)ꎬ所以我们还要先求出ｆ(０)的值.于是我们又令ｘ１＝ｘ２＝０ꎬ所以ｆ(０)＋ｆ(０)＝ｆ(０)ꎬ于是ｆ(０)＝０ꎬ所以ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬ即ｆ(ｘ)为奇函数.例６㊀设函数ｙ＝ｆ(ｘ)(ｘɪＲ且ｘʂ０)对任意非零实数ｘ１ꎬｘ２满足ｆ(ｘ１ ｘ２)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)ꎬ则函数ｙ＝ｆ(ｘ)是(指明函数的奇偶性).分析㊀本题要出现ｆ(ｘ)和ｆ(－ｘ)ꎬ我们只需令ｘ１＝ｘꎬｘ２＝－１ꎬ则出现ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(－１).该式中将ｘ换成－ｘꎬ得ｆ(ｘ)＝ｆ(－ｘ)＋ｆ(－１).这两个方程联立ꎬ消去ｆ(－１)ꎬ可化得ｆ(－ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬ即ｆ(ｘ)为偶函数.例７㊀已知函数ｆ(ｘ)在(－１ꎬ１)上有定义ꎬ当且仅当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ且对任意ｘꎬｙɪ－１ꎬ１()都有ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＝ｆｘ＋ｙ１＋ｘｙæèçöø÷ꎬ证明ｆ(ｘ)为奇函数.分析㊀由于ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＝ｆｘ＋ｙ１＋ｘｙæèçöø÷ꎬ设ｘ＝ｙ＝０ꎬ则２ｆ(０)＝ｆ(０)ꎬ解得ｆ(０)＝０.设ｙ＝－ｘꎬ则ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝ｆ(０)ꎬʑｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)＝０ꎬʑｆ(ｘ)为奇函数.㊀㊀四㊁赋值法处理抽象函数单调性函数单调性在通过研究自变量大小与相应函数值大小的关系ꎬ即在一个单调区间内通过ｘ１<ｘ２ꎬ去推导ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)或ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)ꎬ所以解决抽象函数单调性的关键在于通过赋值找出相应的不等关系.例８㊀已知ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ对任意的ｘꎬｙɪＲꎬ有ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)ꎬ且当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ求证ｆ(ｘ)为－ɕꎬ＋ɕ()上的减函数.分析㊀由例５已经知道ｆ(ｘ)为奇函数ꎬ设ｘ１>ｘ２ꎬ则ｘ１－ｘ２>０ꎬʑｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(－ｘ２)＝ｆ(ｘ１－ｘ２)ȵ当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬʑ由ｘ１－ｘ２>０可知ꎬｆ(ｘ１－ｘ２)<０ꎬʑ当ｘ１>ｘ２时ꎬ有ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在－ɕꎬ＋ɕ()上为减函数.例９㊀已知函数ｆ(ｘ)在(－１ꎬ１)上有定义ꎬ当且仅当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ且对任意ｘꎬｙɪ－１ꎬ１()都有ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＝ｆｘ＋ｙ１＋ｘｙæèçöø÷ꎬ判断ｆ(ｘ)在－１ꎬ１()上的增减性ꎬ并证明你的结论ꎻ分析㊀由例７已经求出ｆ(ｘ)为奇函数.设－１<ｘ１<ｘ２<１ꎬ则ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(－ｘ２)＝ｆｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２æèçöø÷ꎬ由ｘ１－ｘ２<０ꎬ且－１<ｘ１ ｘ２<１ꎬʑ１－ｘ１ ｘ２>０ꎬʑｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２<０ꎬ由ｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２<０ꎬ可继续验证ꎬ由ｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２－(－１)＝ｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２＋１＝ｘ１－ｘ２＋１－ｘ１ ｘ２１－ｘ１ ｘ２＝(１－ｘ２)(ｘ１＋１)１－ｘ１ ｘ２由１－ｘ１ ｘ２>０ꎬ且１－ｘ２>０ꎬｘ１＋１>０ꎬʑ(１－ｘ２)(ｘ１＋１)１－ｘ１ ｘ２>０ꎬ即ｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２>－１.ʑ－１<ｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２<０.ȵ当０<ｘ<１时ꎬｆｘ()<０ꎬ且ｆ(ｘ)为奇函数ꎬʑ当－１<ｘ<０时ꎬ有０<－ｘ<１ꎬ故ｆ(ｘ)＝－ｆ(－ｘ)>０.ʑｆｘ１－ｘ２１－ｘ１ ｘ２æèçöø÷>０ꎬ即ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)>０.ʑ当－１<ｘ１<ｘ２<１时ꎬｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)>０ꎬʑｆｘ()在－１ꎬ１()上为单调减函数.㊀㊀五㊁赋值法处理抽象函数最值抽象函数求最值问题可类比求值问题ꎬ但经常会综合考察抽象函数的单调性ꎬ奇偶性等问题ꎬ以及化归与转化㊁类比等数学思想方法.例１０㊀已知ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ对任意的ｘꎬｙɪＲꎬ有ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)ꎬ且当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ若ｆ(１)＝－２ꎬ求ｆ(ｘ)在[－２ꎬ４]上的最大值和最小值.分析㊀由例５已经知道ｆ(ｘ)为奇函数ꎬ由例８得出ｆ(ｘ)为－ɕꎬ＋ɕ()上的减函数.４３因此ｆ(ｘ)在[－２ꎬ４]上最大值应该为ｆ(－２)ꎬ最小值应该为ｆ(４)ꎬ下面用赋值法分别求出ｆ(－２)ꎬｆ(４).ȵｆ(１)＝－２ꎬʑｆ(２)＝ｆ(１＋１)＝ｆ(１)＋ｆ(１)＝－４ꎬʑｆ(－２)＝－ｆ(２)＝４.ʑｆ(４)＝ｆ(２＋２)＝ｆ(２)＋ｆ(２)＝－８.即ｆ(ｘ)在[－２ꎬ４]上最大值为４ꎬ最小值为－８.㊀㊀六㊁赋值法处理抽象函数不等式抽象函数不等式问题的解答需借助抽象函数的单调性ꎬ奇偶性ꎬ定义域等来综合求解ꎬ利用赋值法将看似无关联的不等式转化为常规不等式问题求解.例１１㊀已知函数ｆ(ｘ)在(－１ꎬ１)上有定义ꎬ当且仅当０<ｘ<１时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ且对任意ｘꎬｙɪ－１ꎬ１()都有ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)＝ｆｘ＋ｙ１＋ｘｙæèçöø÷.解不等式ｆ(５ｘ－４)>ｆ(ｘ２).分析㊀由例７已经知道ｆ(ｘ)为奇函数ꎬ由例９得出ｆ(ｘ)为(－１ꎬ１)上的减函数.所以－１<５ｘ－４<ｘ２<１ꎬ求解出ｘ３５<ｘ<１{}.由以上例析我们可以总结出ꎬ解决抽象函数问题的本质是将抽象问题具体化ꎬ而通过赋值法几乎可以解决抽象问题的所有题型ꎬ因此赋值法不失为处理抽象函数问题的一个最常用方法.㊀㊀参考文献:[１]张桂祥.例谈几类抽象函数的题型求解策略[Ｊ].高考ꎬ２０１８(３６):２０３.[责任编辑:李㊀璟]降低解析几何运算量的几种思维策略李怀忠(甘肃省景泰县第二中学㊀７３０４００)摘㊀要:本文给出了降低解析几何解题中运算量的几种思维策略.关键词:解析几何ꎻ运算ꎻ合理运用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００３５－０３收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:李怀忠(１９７５－)ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀解析几何是用代数的方法解决几何问题的一类题型ꎬ它集代数㊁几何㊁三角等知识于一体ꎬ运算量大㊁方法与技巧要求比较高.很多学生往往是按常规思路进行求解ꎬ常在繁杂的运算中越陷越深ꎬ不能自拔ꎬ很难将运算结果进行到底ꎬ出现半途而废的情况.如何减低运算量ꎬ提升学生的运算能力和学习效率ꎬ本文就降低解析几何运算量谈几点思维策略.㊀㊀一㊁合理运用圆锥曲线的定义例１㊀设Ｐ是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)上的一点ꎬ两焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ则ＰＦ１ ＰＦ２的最大值为.解析㊀由椭圆定义得ＰＦ１＋ＰＦ２＝２ａ利用基本不等式有ＰＦ１ ＰＦ２ɤ(ＰＦ１＋ＰＦ２２)２＝ａ２.所以ꎬ当ＰＦ１＝ＰＦ２时ꎬＰＦ１ ＰＦ２取得最大值ａ２.点评㊀圆锥曲线的定义运用广泛ꎬ对于圆锥曲线中与焦点有关的最值问题㊁轨迹问题㊁计算或证明问题ꎬ需要把定量的计算和定性的分析有机地结合起来ꎬ达到准确判断㊁合理运算㊁灵活解题的目的.㊀㊀二㊁合理运用曲线系方程例２㊀已知双曲线的一条渐近线方程为２ｘ－３ｙ＝０５３。
抽象函数中赋值法的妙用
抽象函数中赋值法的妙用【摘要】抽象函数中赋值法是程序开发中非常重要的一种技术，有着多重妙用。
通过引入抽象函数中赋值法，可以提高代码的可读性和可维护性，简化重复的代码，减少错误的可能性，增加代码的灵活性，以及提升代码的可扩展性。
这些优点不仅有助于提高开发效率，还能够减少程序在后期维护过程中的工作量，提高代码质量和稳定性。
抽象函数中赋值法在程序开发中扮演着至关重要的角色，对于提高程序的可靠性和可维护性是至关重要的。
通过合理地运用这一技术，程序开发者可以更好地提升自己的编码水平，写出更加优秀的程序。
【关键词】关键词：抽象函数，赋值法，代码可读性，代码可维护性，简化重复代码，减少错误可能性，增加代码灵活性，提升代码可扩展性，程序开发。
1. 引言1.1 介绍抽象函数中赋值法的作用及重要性抽象函数中赋值法是程序开发中一种常见的优化技巧，通过在函数中使用赋值操作，可以有效地提高代码的可读性和可维护性。
在编写代码时，我们经常会遇到需要重复使用相同或类似的代码片段的情况，通过将这些重复的代码抽象成一个函数，并在其中使用赋值操作，可以使代码更加简洁和易于理解。
抽象函数中赋值法还可以减少错误的可能性。
在程序开发过程中，人为的失误往往是不可避免的，通过使用赋值操作来简化代码逻辑，可以减少程序出错的概率，提高代码的质量和稳定性。
抽象函数中赋值法还能增加代码的灵活性。
通过将具体的数值或变量赋值操作移动到函数中，可以让代码更具有普遍性和通用性，方便在不同的场景中灵活应用。
最重要的是，抽象函数中赋值法可以提升代码的可扩展性。
在程序需要新增功能或修改逻辑时，通过修改抽象函数中的赋值操作，可以快速地实现功能的扩展或修改，而不必修改大量重复的代码，从而大大提高了开发效率。
抽象函数中赋值法是一种非常有用的优化技巧，能够带来诸多好处，提高代码的质量和开发效率。
在实际的程序开发中，合理地运用抽象函数中的赋值操作，可以让代码更加清晰、易读，并且更具有灵活性和可扩展性。
抽 象 函 数 的 解 题 方 法
解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。
此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。
然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考.一、 利用线性函数模型在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。
常见的抽象函数模型有：例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2，f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。
0a a ≠且解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。
例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。
分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则， 即，∴f （x ）为单调增函数。
∵，又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。
∴2(22)(1)f a a f --，∴2221a a --，解得不等式的解为－1 < a < 3。
抽象函数常见题型解法
抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现；如2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题,2009年四川卷12题等。
学生在解决这类问题时，往往会感到无从下手，正确率低，本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数()12-x f 的定义域是［0，1］，求()x f 的定义域。
解：()12-x f 的定义域是［0，1］，是指10≤≤x ，所以()12-x f 中的12-x 满足1121≤-≤-x 从而函数()x f 的定义域是：[]11,-.评析：一般地，已知函数()()x g f 的定义域是A ，求()x f 的定义域问题，相当于已知()()x g f 中x 的取值范围为A ，据此求()x g 的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是[]11,-，求函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域。
解：)(x f 的定义域是[]11,-，意思是凡被f 作用的对象都在[]11,-中，由此可得()251213211311121≤≤⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒≤-≤--x x x log 所以函数()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-x log f 321的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡251,. 评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数()()x g f 的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知()x g 的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知函数()x f 对于任意x,y 都有()()()y f x f xy f +=成立。
抽象函数中赋值法的妙用
抽象函数中赋值法的妙用在软件开发中，抽象函数是一种非常重要的概念。
它可以帮助开发人员编写更加灵活和可扩展的代码。
而抽象函数中的赋值法又是一种非常妙用的技巧，可以让代码更加简洁和易于维护。
本文将探讨抽象函数中赋值法的妙用，并通过实际示例来说明其在实际开发中的应用。
一、抽象函数的概念我们需要了解一下抽象函数的概念。
抽象函数是指在一个类中定义的没有具体实现的函数，它只有函数的声明，但没有函数的实现。
抽象函数通常用来定义一个接口，具体的实现则由该接口的派生类来完成。
在面向对象的编程中，抽象函数是非常重要的，它可以帮助我们实现多态性，以及实现接口和实现的分离。
抽象函数可以让程序更加灵活和可扩展，使得代码更容易维护。
二、抽象函数中的赋值法在抽象函数中，赋值法是一种非常妙用的技巧。
赋值法指的是在抽象函数中定义一个变量，并在派生类中对该变量进行赋值。
通过赋值法，我们可以在抽象函数中引入一些共同的逻辑，然后在派生类中对这些逻辑进行定制。
这样可以提高代码的复用性，避免重复编写相似的代码。
下面通过一个具体的例子来说明抽象函数中赋值法的妙用。
假设我们有一个抽象类Shape，其中定义了一个抽象函数calculateArea，用来计算图形的面积。
我们知道不同的图形有不同的计算面积的方法，比如圆形的面积计算方法是πr^2，而矩形的面积计算方法是长乘以宽。
下面我们就用抽象函数中的赋值法来实现这个例子。
定义抽象类Shape：```pythonclass Shape:def __init__(self):self.area = 0def calculateArea(self):pass```然后，定义Circle类和Rectangle类，并对calculateArea函数进行重写：```pythonimport mathclass Rectangle(Shape):def __init__(self, length, width):super().__init__()self.length = lengthself.width = widthdef calculateArea(self):self.area = self.length * self.widthprint(f"The area of the rectangle is {self.area}")```在这个例子中，我们首先定义了抽象类Shape，其中定义了一个抽象函数calculateArea。
2024年高三培优讲义5-抽象函数赋值与构造
专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．12023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点2023·山东青岛·统考三模() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xy f x f y ()=af x x 重点题型·归类精讲1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f =B ．()12f −=C ．()()2f x f x −=D ．()()f x f x −=5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．42023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．48．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） A ． B ． C ．0 D ．10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点D ．若()11f =,则()20232023f =11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=−()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑11−12−212D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（ ）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（ ）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .16．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .17．已知函数()f x 定义域为R ，满足()()()()()11,f f x y f x y f x f y =++−=，则()8f = .18．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f = ．19．（2024届厦门一中校考）若定义域为R 的奇函数()f x 满足()(1)(1)f x f x f x =++−，且(1)2f =，则(2024)f = ．20．函数()f x 的定义域为R ，对任意,x y ∈R ，恒有()()222x y x y f x f y f f +−⎛⎫⎛⎫+=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()112f =，则()1f −= ，()20221n f n ==∑ ．深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题21．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()22f x y f x y f x f y +−=−，()13f =，322f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，则（ ） A ．()f x 为偶函数 B ．()23f = C ．()()33f x f x +=−−D ．()202313k f k ==∑专题1-5 抽象函数赋值与构造一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过的变换判定单调性；3、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性；4、换为确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试. ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：或;()()12−f x f x ()f x ()−f x x +x T () =+y x f ()()()()111212)(x f x x x f x f x f −+−=−()()()()221212)(x x x f x f x f x f +−−=−②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：或. 三、常见的抽象函数模型1、可看做的抽象表达式；2、可看做的抽象表达式（且）；3、可看做的抽象表达式（且）；4、可看做的抽象表达式.2022新高考2卷T8 1．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3−B ．2−C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，() =xy f ()()()112112x f x x x f x f x f −⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=−()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅−=−212212x x x f x f x f x f ()()()+=+f x y f x f y ()=f x kx ()()()+=f x y f x f y ()=xf x a 0>a 1≠a ()()()=+f xy f x f y ()log =a f x x 0>a 1≠a ()()()=f xyf x f y ()=af x x所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2023新高考1卷T112．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（ ）．A ．()00f =B ．()10f =C ．()f x 是偶函数D ．0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC ，举反例()0f x =即可排除选项D.方法二：选项ABC 的判断与方法一同，对于D ，可构造特殊函数2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩进行判断即可.【详解】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误. 方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确. 对于C ，令1x y ==−，(1)(1)(1)2(1)f f f f =−+−=−，则(1)0f −=， 令21,()()(1)()y f x f x x f f x =−−=+−=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+， 故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'， 令()0f x '<，得120e x −<<；令0fx，得12e x −>；故()f x 在120,e −⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,−⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e −⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e −⎛⎫ ⎪⎝∞⎭−上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .2023·山东青岛·统考三模1．设()f x 为定义在整数集上的函数，()11f =，()20f =，()10f −<，对任意的整数,x y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=−+−．则()55f =______．重点题型·归类精讲【答案】1−【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1f f −，令1y =和y x =−可证得()f x 的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()f x 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1x y ==，则()()()()()()21001200f f f f f f =+==，()00f ∴=；令2x =，1y =−，则()()()()22212111f f f f =+−=−=，又()10f −<，()11f ∴−=−；令1y =，则()()()()()()10111f x f x f f x f f x +=+−=−，f x 关于直线1x =对称；令y x =−，则()()()()()()()()01110f f x f x f x f x f x f x f x =++−−=+−+=⎡⎤⎣⎦， ()10f x +=不恒成立，()()0f x f x ∴+−=恒成立，f x 为奇函数，()()()2f x f x f x +=−=−，()()()42f x f x f x ∴+=−+=，f x 是周期为4的周期函数，()()()55414111f f f ∴=⨯−=−=−.故答案为：1−.2023·山东滨州·三模2．（多选）已知连续函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +＝＋，当0x ＞时，()0f x ＜，(1)2f ＝－，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x −<+的解集为213xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =−，可得(0)()()0f f x f x =+−=，所以()()f x f x =−−，所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x −=+−=−， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x −<，即()()0f y f x −<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞−∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f −=；令1y =，可得()()12f x f x +=− ()24f =−，()36f =−；()3(3)6f f =−−=，()f x ∴在[3−，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x −<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =−，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++−，则2(3)(52)f x f x <−，2352x x ∴>−，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ． 安徽省皖江名校联盟2024届高三上学期10月第二次联考3．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．【答案】D(),y f x x =∈R ()()()()f a b f a b f a f b ++−=,a b ∈R ()10f =()2026f −=2−【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.【详解】由题意令，得，又不是常数函数， 所以，再令，得， 即，则， 即，故， 所以函数的周期为，所以， 故选：D.4．（多选）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()()()()2,02,01f xy f x f y f x f y f f f =−−+<≠，且()0f x >，则（ ） A ．()01f = B ．()12f −= C ．()()2f x f x −= D ．()()f x f x −=【答案】ABD【分析】由已知，利用赋值法计算判断得解.【详解】定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()2f xy f x f y f x f y =−−+，令0x y ==，得()()()20[0]202f f f =−+，而()02f <，则()01f =，A 正确；令x y ==1，得()()()21[1]212f f f =−+，而()()01f f ≠，则()12f =， 令1x y ==−，得()()()21[1]212f f f =−−−+，即()()2[1]21f f −=−，而()0f x >，即()10f −>，则()12f −=，B 正确；令1y =−，得()()()()()112f x f f x f f x −=−−−−+，即有()()()222f x f x f x −=−−+，因此()()f x f x −=，C 错误，D 正确. 故选：ABD5．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）0b =()02f =1b =()()2f a f a +=−()y f x =40b =()()()20f a f a f =()y f x =()02f =1b =()()()()111f a f a f a f ++−=()()110f a f a ++−=()()2f a f a +=−()()2f a f a −=−()()4f a f a =+()y f x =4()()()()202624506202f f f f −=+⨯==−=−()f x ()f x 'R ,R x y ∈()()()()2f x y f x y f x f y ++−=①；②必为奇函数；③；④若，则.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令，得出，变量代换可判断③；利用赋值法求出部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算，判断④，即可得答案.【详解】令，则由可得，故或，故①错误；当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，则，即，则为奇函数，综合以上可知必为奇函数，②正确；令，则，故.由于，令，即，即有，故③正确； 对于D ，若，令 ，则，则， 令，则，即，令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，令，则，即， 令，则，即， 令，则，即，，()00f =()f x '()()00f x f +≥1(1)2f =202311()2n f n ==∑y x =()()200f x f +≥()f n 20231()n f n =∑0x y ==()()()()2f x y f x y f x f y ++−=()()22020f f =(0)0f =()01f =(0)0f =0y =()()2()(0)0f x f x f x f +==()0f x =()0f x '=()f x '(0)1f =0x =()()2(0)()f y f y f f y +−=()()−=f y f y ()()f y f y −''−=()()f y f y −='−'()f x '()f x 'y x =()()()2202f x f f x +=()()200f x f +≥x ∈R 2,R t x t =∈()()00f t f +≥()()00f x f +≥()112f =1,0x y ==()()()()11210+=f f f f (0)1f =1x y ==()()()22021f f f +=()()1121,222f f +=∴=−2,1x y ==()()()()31212f f f f =+()113,(3)122f f +=−∴=−3,1x y ==()()()()42231f f f f +=()1141,(4)22f f −=−∴=−4,1x y ==()()()()53241f f f f +=()1151,(5)22f f −=−∴=5,1x y ==()()()()64251f f f f +=()116,(6)122f f −=∴=6,1x y ==()()()()75261f f f f +=()1171,(7)22f f +=∴=7,1x y ==()()()()86271f f f f +=()1181,(8)22f f +=∴=−由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，故，故④正确， 即正确的是②③④， 故选：C.2023·浙江嘉兴·统考模拟6．已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】D【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解． 【详解】中令，则，中令，，则，又中令，则，所以，中，令，则，再令，，则． 故选：D2023届江苏连云港校考7．已知函数，任意，满足，且，则的值为（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】C【分析】抽象函数利用特殊值的思路可以得到函数在取奇数和偶数的时候的规律，然后可以得到函数值的和.【详解】令，，则，所以；令，，则，所以；令，则，所以，(),N f n n *∈(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑()f x R ()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈−∞+∞ ⎪⎝⎭()()()2f x f y xy f x y ++=+()3f ()00f =()1f ()1f −()()()2f x f y xy f x y ++=+0x y ==()00f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x =1y =−()()()11200f f f +−−==()31f x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1x −()10f −=()12f =()()()2f x f y xy f x y ++=+1x y ==()()22126f f =+=1x =2y =()()()312426412f f f =++=++=()f x x y R ∈，()()()()22f x y f x y f x f y +−=−()()1220f f ==，()()()1290f f f +++2−()f x 2x =1y =()()()()223121f f f f =−()32f =−3x =2y =()()()()2251324f f f f =−=()52f =2y =()()()222f x f x f x +−=()72f =−()92f =.令，，则①，令，，则②，令，，则③，假设，那么由③可知，将，代入②式发现与矛盾，所以不成立，.同理可得当x 为偶数时，. 所以原式=.故选：C.8．已知，都是定义在上的函数，对任意x ，y 满足，且，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．函数的图象关于点对称C ．D ．若，则【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【详解】解：对于A ，令，代入已知等式得，得，故A 错误；对于B ，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称， 所以函数的图象不关于点对称，故B 错误；对于C ，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，，()()()2112kf k k Z +=−⋅∈3x =1y =()()420f f =4x =2y =()()()2624f f f =5x =1y =()()640f f =()40f ≠()60f =()20f =()60f =()40f ≠()40f ≠()40f =()0f x =()()()()138925f f f f ++++=()f x ()g x R ()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()01f =()21g x +()1,0()()110g g +−=()11f =()202311n f n ==∑()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()f x ()()()(),f x g y g x f y 1y =−1y =()()()11f x f x f x ++−=−()f x ()20231n f n =∑0x y ==()()()()()000000f f g g f =−=()00f =()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==()()()()()f x y f x g y g x f y −=−()()210f f −=≠()3cos 2π10g ==≠()g x ()3,0()21g x +()1,00y =1x =()()()()()11010f f g g f =−()()()()110100f g g f ⎡⎤−=−=⎣⎦()10f ≠()100g −=()01g =再令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以，又因为，所以， 因为，所以，故C 错误；对于D ，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有， 即：，有：， 即：，所以为周期函数，且周期为3，因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D 正确.故选：D.【点评】：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.2023绍兴·高二期末9．已知函数的定义域为R ，且，为奇函数，，则（ ） 0x =()()()()()00f y f g y g f y −=−()00f =()01g =()()f y f y −=−()f x 1x =1y =−()()()()()21111f f g g f =−−−()()11f f −=−()()()()2111f f g g =−+⎡⎤⎣⎦()()()221f f f =−−=−()()()()1111f f g g −=−+⎡⎤⎣⎦()10f ≠()()111g g +−=−1y =−1y =()()()()()111f x f x g g x f +=−−−()()()()()111f x f x g g x f −=−()()()11f x f x f x ++−=−()()()21f x f x f x ++=−+()()()12f x f x f x =−+−+()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x −+=++−−+−+=()()12f x f x −=+()f x ()11f =()21f −=()()221f f =−−=−()()300f f ==()()()1230f f f ++=()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑,x y ,x y ()f x ()()()28f x f x f ++=()21f x +1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22112k kf k =⎛⎫−= ⎪⎝⎭∑A ．B ．C ．0D ．【答案】B【分析】根据即可得出周期为4，赋值可求出.进而由为奇函数，可推得函数关于点对称，由已知可求出，，，然后即可求得，.进而即可根据周期性得出函数值，求出，即可得出，代入数值，即可得出答案.【详解】由，则， 所以，，周期为4，所以.由，令，则有，所以，. 因为为奇函数，所以，所以，，所以函数关于点对称， 所以，. 令，则.令可得，，所以，所以， 所以，有，即有.令，则有；令，则.综上，，，，. 所以，，所以，. 11−12−212()()()28f x f x f ++=()f x ()20f =()21f x +()y f x =()1,03122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()00f =()80f =5122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭2721f ⎛⎫=⎪⎝⎭()()()()135741442443444402222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211132122222k kf k f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()28f x f x f ++=()()()428f x f x f +++=()()4f x f x +=()f x ()()()840f f f ==()()()28f x f x f ++=0x =()()()()2080f f f f +==()20f =()21f x +()()2121f x f x −+=−+()()11f x f x −+=−+()y f x =()1,0()()2f x f x −=−12x =311222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0x =()()200f f =−=()00f =()80f =()()()280f x f x f ++==()()2f x f x +=−12x =511222f f ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32x =731222f f ⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1114222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3314222fm f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5514222f m f ⎛⎫⎛⎫+==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7714222f m f ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()13574144244344442222m f m m f m m f m m f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()11114142434402222m m m m ⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯−++⨯−++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211111321212222212222222k kf k fff f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−+−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑1112122222⎛⎫=⨯+⨯−=− ⎪⎝⎭故选：B.10．（多选）已知函数()f x 的定义域为R ,()()()f x y f x f y +=+,则（ ）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数 C ．0x =为()f x 的极小值点 D ．若()11f =,则()20232023f =【答案】ABD【分析】利用赋值法,令0x y ==判断A 得正误;令y x =−,结合奇函数的定义判断B 的正误;举例判断C 的正误;令1y =,则()()11f x f x +=+,再利用累加法即可判断D 的正误. 【详解】令0x y ==，则()()()000f f f =+，所以()00f =，故A 正确; 令y x =−，则()()()0f x x f x f x −=+−=，所以()f x 是奇函数，故B 正确;令()f x x =，其定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+满足题意，因为函数()f x x =为R 上的增函数,所以0x =不是()f x 的极小值点,故C 错误;令1y =,则()()11f x f x +=+,即()()11f x f x +−=,()()()()()()()2023202320222022202120212020f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=−+−+−⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()21111112023f f f ++−+=++++=⎡⎤⎣⎦,故D 正确.故选:ABD.11．（多选）设()f x 是定义在R 上的函数，对,x y ∀∈R ，有()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++，且()00f ≠，则（ ）A ．()()0f x f x −−=B ．()()40f x f x +−=C ．()()()()02420242f f f f ++++=− D ．()()()()222212320244048f f f f ++++=【答案】ACD【分析】利用赋值法判断函数的奇偶性和周期性，再结合假设法、函数的周期性逐一判断即可. 【详解】A ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x y ==，则有()()20220f f =⇒=，在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令0x =，则有()()()()()()2200f y f y f f y f x f x −−=+=⇒−−=， 因此本选项正确；B ：若()()40f x f x +−=成立，即有()()04f f =， 在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2x y ==，则有()()()()()24044000f f f f f −=⇒=⇒=，这与()00f ≠相矛盾，所以假设不成立，因此本选项不正确； C ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中， 以x −代y ，得()()()()0222f f x f x f x −=+−+，以x 代y ，得()()()2202f x f f x −=+，上面两个等式相加，得()()()()()()222202220f x f x f x f x f x f x ⎡⎤+++−+=⇒+++−+=⎣⎦()20f x ⇒+=，或()()220f x f x ++−+=，当()20f x +=时，则有()00f =，显然与()00f ≠矛盾，因此()()220f x f x ++−+=，于是有()()()()()()44()8f x f x f x f x f x f x f x =−−⇒+=−−=−⇒+=， 因此函数()f x 的周期为8，由()()()202060f f f =⇒−=⇒=， 由()()()()440f x f x f f =−−⇒=−， 在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令2,1x y ==，得()()()()()()()()31433103f f f f f f f f −=⇒−=−，令1x y ==，得()()()()()2220330f f f f f −=⇒=−，由()()()()22031f x f x f f ++−+=⇒=−，于是有()()()()()()()()()()2331033023331f f f f f f f f f f ⎧−=−⎪=−⇒=⎨⎪=−⎩， 因为()()2300f f =−≠，所以由()()()3223332f f f =⇒=，于是()02f =−，因此()()()()02460f f f f +++=，()()()()()()02420242530202402f f f f f f ++++=⨯+==−，因此本选项正确；D ：在()()()()22f x y f x y f x f y +−−=++中，令()2N x y n n *==−∈，所以有()()()2240f n f f n −−=，因此有：()()()()22221232024f f f f ++++()()()()()()()()()()2000204040440f f f f f f f f f f =−−+−+−+−++−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为()02f =−，()()220f f −==，()()()()02460f f f f +++=， 函数()f x 的周期为8，所以()()()()22221232024f f f f ++++()050620240f ⎡⎤=⨯+⋅−⎣⎦020*******=+⨯=，因此本选项正确， 故选：ACD.12．（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，对任意的,R x y ∈，恒有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，则下列说法正确的有（ ）A ．()00f =B ．()f x '必为奇函数C ．()()00f x f +≥D ．若1(1)2f =，则202311()2n f x ==∑【答案】BCD【分析】赋值法求()0f 的值，判断A ；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B ；赋值法结合换元法判断C ；利用赋值法求得(),N f n n *∈的值有周期性，即可求得()20231n f n =∑的值，判断D.【详解】对于A ，令0x y ==，则由()()()()2f x y f x y f x f y ++−=可得()()22020f f =，故(0)0f =或()01f =，故A 错误；对于B ，当(0)0f =时，令0y =，则()()2()(0)0f x f x f x f +==，则()0f x =， 故()0f x '=，函数()f x '既是奇函数又是偶函数；当(0)1f =时，令0x =，则()()2(0)()f y f y f f y +−=，所以()()−=f y f y ， 则()()f y f y −''−=，即()()f y f y −='−'，则()f x '为奇函数， 综合以上可知()f x '必为奇函数，B 正确；对于C ，令y x = ，则()()()2202f x f f x +=，故()()200f x f +≥.由于x ∈R ,令2,R t x t =∈,即()()00f t f +≥，即有()()00f x f +≥，故C 正确；对于D ，若()112f =，令1,0x y == ，则()()()()11210+=f f f f ，则(0)1f = ，令1x y ==，则()()()22021f f f +=，即()()1121,222f f +=∴=−，令2,1x y ==，则()()()()31212f f f f =+，即()113,(3)122f f +=−∴=−， 令3,1x y ==，则()()()()42231f f f f +=，即()1141,(4)22f f −=−∴=−， 令4,1x y ==，则()()()()53241f f f f +=，即()1151,(5)22f f −=−∴=，令5,1x y ==，则()()()()64251f f f f +=，即()116,(6)122f f −=∴=， 令6,1x y ==，则()()()()75261f f f f +=，即()1171,(7)22f f +=∴=，由此可得(),N f n n *∈的值有周期性，且6个为一周期，且(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++= ， 故()202311337[(1)(2)(3)(4)(5)(6)](1)2n f n f f f f f f f ==⨯++++++=∑，故D 正确， 故选：BCD.13．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，且12f ，则（ ）A ．()02f =B ．()f x 为奇函数C ．()()()()12320232f f f f +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=−D ．()22f x −≤≤【答案】ACD【分析】A.通过赋值，求()0f 的值；B.赋值0x =，即可判断函数的奇偶性；C.赋值1y =，利用函数()()()1f x f x g x −+=的周期性，即可求和；D.通过多次赋值，可证明()24f x ≤，即可判断.【详解】A.令1,0x y ==，有()()()()1110f f f f +=⋅，得()02f =，A 正确；B.令0x =，得()()()()0f y f y f f y +−=⋅，()02f =，则()()−=f y f y ，函数的定义域为R ，所以函数为偶函数，故B 错误；C.令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++−=⋅，即()()()()110f x f x f x f x +++−+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 设()()()1f x f x g x −+=，则()()10g x g x ++=，所以()()()21g x g x g x +=−+=，所以函数()g x 的周期为2，()()()101220g f f =+=−=，()()()3230g f f =+=，…，()()()2023202220230g f f =+=，所以()()()()()0123...20230f f f f f +++++=，()02f =， 所以()()()()123...20232f f f f ++++=−，故C 正确， D.由()()()()f x y f x y f x f y ++−=⋅，()02f =，12f ，令12x y ==，得()()211002f f f ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 将y 换成x ，得()()()220f x f f x +=，①，将,x y 换成12x +，得()()212102f x f f x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，②，将x 换成122x +，y 换成12，得()()112122022f x f x f x f ⎛⎫⎛⎫++=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,③, ①+②-③,得()()2212042f f x f x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则()24f x ≤，得()22f x −≤≤，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：本题关键的方法是赋值法，尤其是D 选项，通过三次赋值，找到等式间的关系，再可进行判断.14．（多选）已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++−=，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则以下结论一定正确的有（ ）A ．()01f =−B ．()f x 是偶函数C ．()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()()()1220230f f f +++=【答案】BC【分析】根据赋值法，可判断()01f =或()00f =，进而判断A ，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C ，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD. 【详解】令0x y ==，则()()()()()0020000f f f f f +=⇒=或()01f =，故A 错误， 若()01f =时，令0x =，则=20=f y fy f y f fy f y ，此时()f x 是偶函数，若()00f =时，令0y =，则=20=0f x f x f x f f x ，此时()f x 既是偶函数又是奇函数；因此B 正确，令12x =，则()111112=0=022222f y f y f f y f y f y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=⇒++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故C 正确，由()f x 关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称可得=1f x f x，结合()f x 是偶函数，所以=1=1=2=2f x f x f x f x f x ，所以()f x 的周期为2，令12x y ==，则()()11102=022f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12=10=0f f f f ，进而()()()()()122022101112=0f f f f f ⎡⎤+++=⨯+⎣⎦，而()2023(1)(0)f f f ==−，由A 选项知()00f =或()01f =，所以()()()1220230f f f +++=或1−，故D 错误.故选：BC15．函数()f x 的定义域为R ，且()()()21f x f x f x +=−+−，()()2f x f x =−，()3651f =−，则()20231k f k ==∑ .【答案】2【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的周期，再结合()()2f x f x =−求出(1),(2),(3)f f f 即可求解作答. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，由()()()21f x f x f x +=−+−，得(3)(2)(1)(1)()(1)()f x f x f x f x f x f x f x +=−+−+=++−+=，因此函数()f x 是以3为周期的周期函数，且()(1)(2)0f x f x f x ++++=，即(1)(2)(3)0f f f ++=， 由()3651f =−，得(2)1f =−，又()()2f x f x =−，(3)(0)(2)1f f f ===−，从而(1)(2)(3)2f f f =−−=，所以20231()674(2(1)(2)3[((1]1)))k f f k f f f f =+=⨯=++=∑.故答案为：216．已知函数()f x 满足：1(1),4()()()()(,R)4f f x f y f x y f x y x y ==++−∈，则()2023f = .【答案】14【分析】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，构造函数()1cos 23xf x π=求解. 【详解】由已知等式联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=， 注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数()1cos 23x f x π=，则()111cos 234f π==， ()()()()11cos cos 23323311cos cos 4cos cos 4,332323x y x y f x y f x y x y x y f x f y ππππ⎛⎫⎛⎫++−=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ==⋅⋅=故函数()1cos 23xf x π=满足题意，而函数()f x 是周期2π6π3T ==的函数，()()()120233376114f f f ∴=⨯+==. 故答案为：14.【点睛】：抽象函数可以选择构造函数（特例构造法），此题主要是联想到三角公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，并且还要根据1(1)4f =构造出合适的函数()1cos 23x f x π=，再由周期性解决问题，达到富有创造力的解题效果。
赋值法的应用1
赋值法的应用摘要：赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，本文将通过几道数学题分别赋值法在解各类数学题中的应用。
关键词：赋值法 导学功能 抽象一 赋值法的概念。
在解数学题时，人们一般运用逻辑推理方法，一步一步的寻求必要条件，最后求得结论。
但对于有些问题如果我们能根据具体情况，巧妙的，合理的对某些元素进行赋值，这样往往能找到简捷的解决问题的方法，这就是赋值法。
这种方法贯穿于整个数学学习的历程中，对于解各个阶段的数学题都有巨大的作用。
二 赋值法在代数式中的应用。
2.1 如果题目中关于某个未知数的等式对于任意值或者很多值成立，则可以运用赋值法为解题创造条件。
例1 对于一切x ,分式ax b x ++117总为定值，则a b =？解析根据题意，分式ax b x ++117总为定值，不妨设x 为0，1分式的值都为定值，则有 a b a b +⨯+⨯=+⨯+⨯1111701107即ab a b ++=117。
ab a ab b +=+∴711ab 711=117=a b 例2 已知()71-x =a 0+a 1x +a 22x +a 33x + 7a 7x .则1a +3a +5a 7a +的值为多少。
解析：因为对于一切x ，题目中的等式都成立，所以可以在已知等式中令1=x 和1-=x ，分别得0a +1a +2a + 7a =0， ① 0a -1a +2a - -7a =()72-。
② 由①-②得2（7531a a a a +++）=-()72-，所以有647531=+++a a a a 三 赋值法在函数中的应用。
3.1 赋值法在解抽象函数问题中的应用.例6（2006重庆高考）已知定义域为R 的函数()x f 满足()()()x x x f x x x f f +-=+-22（1）若()32=f ，求()1f ；又若()a f =0，求()a f ；（2）设有且仅有一个实数0x ，使得()00x x f =，求函数()x f 的解析表达式.解：（1） 取2=x ，又()32=f 得()()()22222222+⨯-=+⨯-f f f ，即()11=f .又()a f =0，故()()()00000022+-=+-f f f ，即()a a f =（2）又满足()00x x f =的实数0x 唯一，由()()()x x x f x x x f f +-=+-22.可知，对任意R x ∈有()02x x x x f =+-.在上式中令0x x =有()00200x x x x f =+-.再代()00x x f =得00=x 或10=x .若00=x ，方程()x x f =有两个根，故0≠x .若x0=1则有1)(2+-=x x x f 易验证，该函数满足题设条件。
抽象函数中赋值法的妙用
抽象函数中赋值法的妙用【摘要】抽象函数中赋值法是一种在抽象函数中通过传入参数进行赋值的方法，具有很多妙处。
它能提高代码的可读性，让代码更加清晰易懂。
这种方法能简化代码逻辑，减少代码的复杂度。
通过抽象函数中赋值法，可以减少代码重复，避免重复书写相同的代码片段。
最重要的是，这种方法还可以增加代码的灵活性，使得代码更加易于维护和扩展。
抽象函数中赋值法是一种非常有效的编程技巧，能够提高代码质量，减少开发成本，是值得开发者们借鉴和使用的。
【关键词】抽象函数、赋值法、妙用、代码可读性、代码逻辑、代码重复、代码灵活性、结论1. 引言1.1 引言在软件开发中，抽象函数是一种常见的编程概念，它可以用来定义一个接口或规范，而不关注具体的实现细节。
在使用抽象函数时，我们经常会用到赋值法来实现具体的功能。
赋值法是指在抽象函数中为某个变量赋值，从而实现对应的功能。
这种方法在编程中有着非常广泛的应用，可以提高代码的可读性、简化代码逻辑、减少代码重复，并增加代码的灵活性。
在本文中，我们将深入探讨抽象函数中赋值法的妙用。
我们会解释什么是抽象函数中赋值法的概念，然后通过具体的案例分析来展示它的好处。
接着，我们会详细讨论如何通过赋值法提高代码的可读性，简化代码的逻辑结构，减少代码的冗余，并增加代码的灵活性。
通过本文的阐述，我们希望能够帮助读者更好地理解和应用抽象函数中赋值法的技巧，从而提升自己的编程水平和代码质量。
在日常的软件开发中，善于利用抽象函数中赋值法的妙用，会让我们的代码更加清晰、简洁且易于维护。
让我们一起探索抽象函数中赋值法的无限可能吧！2. 正文2.1 什么是抽象函数中赋值法的妙用抽象函数中的赋值法是一种在编程中常用的技巧，可以帮助程序员提高代码的可维护性和灵活性。
简单来说，抽象函数中的赋值法就是在抽象函数中预先定义一些变量，并在实现函数的过程中对这些变量进行赋值，从而实现各种操作。
这种方法可以减少代码的重复性，简化代码逻辑，提高代码的可读性。
抽象函数常见题型解法
且存在，使得，求函数的值域。 解：令，得，即有或。 若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必
有。 由于对任意均成立，因此，对任意，有 下面来证明，对任意 设存在，使得，则 这与上面已证的矛盾，因此，对任意。所以 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的
五、单调性问题 例6. 设f（x）定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y， 有，求证：在R上为增函数。 证明：在中取，得 若，令，则，与矛盾 所以，即有 当时，；当时， 而所以 又当时，。所以对任意，恒有
设，则 所以，所以在R上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法 则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给 关系式及所求的结果相关联。
， （ ），考察下列结论，① ；②
为偶函数；③数列
为等差数列；④数列
为等比数列，其中正确的是_______（填序号） 答案 ①③④ 3.（岳阳联考题）若
是定义在
上的函数，对任意的实数
，都有
和
且
，则
的值是（ ）答案 C
A．2008
B．2009
C．2010
4．(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在[0，1]上的函数
抽象函数专题训练
1 线性函数型抽象函数
【例题1】已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域。 【例题2】已知函数对任意实数，均有，且当时，求不等式的解。
2 指数函数型抽象函数
【例题3】已知函数定义域为R，满足条件：存在，使得对任何和，成 立。 求：（1） (2) 对任意值,判断值的正负。 【例题4】是否存在函数满足下列三个条件：
赋值法处理抽象函数问题
2021年第07期总第500期数理化解题研究式•除了分离构造，常见化隐为显的方法还有合并构造 (如2018年全国I 卷理)、放缩构造(如2018年全国I 卷 文)和双雄构造(指把一个函数拆成两个函数，如2014年全国I 卷理)等.三、变换主元有些数学问题中常含变量，在某些情况下为了解决问题的需要,可人为地突出该变量的主体地位作用，将之 当作主元构造新的函数,以达到化难为易的目的.这种思 路还适用于多元变量函数的问题.例3 (2015年全国I 卷文)设函数/(%) - e 2% - a ln %.2证明：当 a > 0 时，/(%)^2a + a ln —.a2证明当 a > 0 时,令 g ( a ) - / (% ) - 2 a - a ln — - e 2%2-a ln % - 2a - a ln ——，贝卩 g ‘ (a ) - ln a - ln(2e%).a当 a < 2e% 时,g ‘ (a ) < 0 ；当 a > 2e% 时,g ‘ (a ) > 0,所 以 a -2e% 时,g (a )取最小值为 g (2e%) - e 2% -2e%.令 h (t ) - e 2t - 2et ,则 h' (t ) - 2e 2t - 21,当 t < 1 时，L (t ) <0；当 t >1 时 ’ h' (t ) >0,所以 h (t ) M h (1) -0,即2g ( a ) M0,即 f ( % ) M2 a + a l n —.评注 本题如果直接对/ ( % )进行求导,会出现隐零点问题以致给解题带来不便，故这里采用了重新构造关于变量a 的对数超越函数的处理方式.除了重构对数超 越函数，变换主元往往还会重构指数超越函数(如2016 年全国H 卷文)、重构双勾型函数(如2017年全国H 卷 文)和重构二次函数(如2019年浙江卷)•通过上述几个高考真题我们知道，通过结合已知条件和结论虚设零点、化隐为显和变换主元是解决隐零点问题的主要处理策略•在导数压轴题的教学过程中,像这 样以专题的形式介绍隐零点问题的处理策略，尽量一次 性彻底地解决与其有关的问题,对学生解题水平的提升、逻辑思维的训练和核心素养的培养，想来都是极好的.参考文献：［1 ］王洪军.处理多元问题的几种方法［J ］.数理化学 习(高中版),2015(02) ：3 -4.［责任编辑:李 璟］赋值法处理抽象函数问题李小蛟(四川省成都市树德中学610091)摘 要：不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数.由于抽象函数可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图象 集于一身，所以在高考中出现频率较高.关键词：赋值法;抽象函数；函数性质中图分类号：G632 文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0057 -03解答抽象函数题目的基础是熟悉函数的基本知 识•抽象函数无具体表达式,要通过我们所学的一般初 等函数的性质来解决比较困难(小题可借用一些类似函数解决),但抽象函数问题的解决本质上是将抽象 问题具体化，所以解决抽象函数问题可以将函数中变量具体赋值,即解决抽象函数有一个万能的方法—— 赋值法•下面我们分类例析用赋值法解决抽象函数问题•一、赋值法处理抽象函数的函数值抽象函数求值问题是要解决具体函数值问题,因此 抽象函数求值问题的关键在于赋值,即赋要求解自变量, 代入求出相应函数值即可.例1已知f(%)的定义域为R ,对任意的%,y e R ,有/(% + y )二/(%) +/(y )，则/(0)二____•分析本题函数没有具体表达式，即抽象函数求值收稿日期：2020 -12 -05作者简介：李小蛟(1984. 10 -)，男，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.— 57—数理化解题研究2021年第07期总第500期问题,要求解/(0)的值，即在/(%+y)—/(%)+/(y)这一式子中要出现/(0),所以我们令%—y—0,即出现/(0+0) -/(0)+/(0),所以/(0)-0•例2定义在R上的函数f(%)满足代%+y)—代%)+ /(y)+2%y(%,y e R),/(1)—2,则/(3)—,/(-3)—分析根据题意，已知/(1)—2且/(%+y)—/(%)+代y)+2%y，要求解/(3),/(-3)的值，即要利用赋值法构造出自变量为3,-3•因为/(1)-2,令%二y-1,所以/(2)—f(1+1)—f(1) +/(1)+2x1x1—2+2+2—6.又令%—2,y—1,所以/(3)—/(2+1)—/(2)+/(1) +2x2x1—6+2+4—12.现已求出/(3)—12,要求/(-3).注意3与-3互为相反数，所以如果令%—3,y—-3,即有/(0)-/(3-3)—/(3)+/(-3)+2x3x(-3),因此我们还应先求出/(0).于是再令%—y—0,则有/(0+0)—/(0)+/(0)+2 x0x0,所以/(0)—0.因此0-/(0)—/(3-3)—/(3)+/(-3)+2x3x (-3)—12+/(-3)-18.所以/(-3)—6•二、赋值法处理抽象函数解析式抽象函数求解析式是要求出/(%)，因此我们要采用赋值法得到/(%)，并利用赋值法将对应法则/作用的其余形式消去即可.例3已知/(%)-2/]+j—3%+2,求/(%).分析因为%和丄互为倒数，%所以当%—2时，丄-£,当%—-1时，丄—2.%22%令%-2,则/(2)-2A2)-8•①所以令%-1，则彳2j-2/(2)-2•②/(2)-2/(20-8,由①②，得\,、〉仕)-2/(2)—T亿(2)—-5,解得・(+)-*于是得到一般情况，令%—t与%—1得到t—58—/(t)-2/]+j—31+2,/[+)-2/(t)—f+2,解得/(t)-1-2-2.2即f(%)—-%-—-2.%例4已知/(%)+2/(2-%)—3%2-8%+8,求/(%).分析条件中给出有关对应法则/作用于%和2-%,要求出f(%)，就要想办法消去/(2-%)，所以利用赋值法,我们只需要将上式中所有%换为2-%,即/(2-%)+ 2A%)—3(2-%)2-8(2-%)+8,然后与/(%)+2/(2-%)—3%2-8%+8联立求解出/(%)—%2.三、赋值法处理抽象函数奇偶性奇偶性是考查f(%)和/(-%)之间的关系,所以抽象函数奇偶性问题关键在于采用赋值法让题目出现/(%)和/(-%),并根据表达式探究f(%)和/(-%)两者的关系•例5设函数f(%)的定义域为R,对任意%1,%2e R,恒有代%1+%2)—代%1)+/(%2)成立,则1/(%)是(指明函数的奇偶性)•分析令%1—%,%2—-%,则出现/(%-%)—/(%)+代-%),所以f(%)+代-%)—/(0),所以我们还要先求出/(0)的值•于是我们又令%1—%2—0,所以/(0)+/(0)—/(0),于是/(0)-0,所以/(%)+/(-%)-0,即/(%)为奇函数.例6设函数y—/(%)(%e R且%H0)对任意非零实数%1,%2满足/(%1-%2)—/(%1)+/(%2),则函数y—/(%)是(指明函数的奇偶性)•分析本题要出现/(%)和/(-%),我们只需令%1—%,%2——1,则出现f(—%)—f(%)+f(—1),所以我们要先求出/(-1)的值，于是我们将所求/(-%)-/(%)+ /(-1)中%的值赋为1,所以就有/(-1)—/(1)+ /(-1),因此我们还得求出/(1)的值•我们再在题设中令%1-%2-1，所以ZU)-/⑴+/U),求解出/⑴-0,再依次代入可得/(-1)—0,进而/(-%)—f(%),即f(%)为偶函数.例7已知函数几%)在(-1,1)上有定义，当且仅当0<%<1时,/(%)<0,且对任意%,y e(-1,1)都有/(%)+代y)-/([证明/(%)为奇函数.分析由于/(%)+/(y)-/f:[y j,设%-y-0,则11+%y丿2A0)—/(0),解得/(0)—0•设y—-%,则/(%)+/(-%)2021年第07期总第500期数理化解题研究-/(0)，所以/(%) +代-%) -0,所以f(%)为奇函数.四、赋值法处理抽象函数单调性函数单调性研究自变量大小与相应函数值大小的关 系，即在一个单调区间内%; <%2,去推导/(%;) </(%2)或/( %；)〉/( %2),所以解决抽象函数单调性的关键在于通过 赋值找出相应的不等关系.例8已知f(%)的定义域为R ,对任意的%,y E R ,有/(% + y ) -/(%) + /(y ),且当 % >0 时,/(%) <0,求证:f (%)为(一 ¥, + ¥)上的减函数.分析 由例5已经知道〕/( %)为奇函数，任取%；, %2ER ,且 %； > %2,则 %； - %2 > 0.所以 /( %； ) 一/( %2 )二/( %； ) + /( -％2)二/( %； - %2) •因为当% >0时，代%) <0,所以由 %； -%2 >0,可知/(%； -%2) <0.所以当%； > %2时，有/( %；) </(%2),所以函数£( %)在(-¥ , + ¥)上为减函数.例9已知函数(%)在(-1,1)上有定义，当且仅当0 <% < 1 时，/(%) <0,且对任意 %,y e ( - 1,1)都有f (%) +代y ) -/1)判断f (%)在(-1,1)上的增减性,并证明你的结论.分析 由例7已经求出/(%)为奇函数.设 一 ；< %； < %2 < 1 ,则 /( %; ) 一 /( %2 ) - /( %； ) +由 %； - %2 < 0,且-1 < %； • %2 < 1, 所以 1-%；・ %2>0,即 1 %； 一%2 <0•1 - %;・ ％2%; 一1 - %;・- ( - 1)%1 - %21 - %;・ ％2+1%; - %2 + 1 - %;・ ％21 - %;・ ％2-(；- ％2)( %； +1)1 - %; • %2 ,又 1 -%； • %2〉0,且 1 -%2 >0,%； +1 >0,所以(;一 %2)( %;+1)1 - %;・ ％2>0.所以(%； 一%2 ］ >0•即/(%；) -/(%2)>0•V 1 -% ；・ %2 丿所以当-1 < %； < %2 < 1 时,/(%；) -/(%2) >0.所以/(%)在(-1,1)上为单调减函数.五、 赋值法处理抽象函数最值抽象函数求最值问题可类比求值问题，但经常会综 合考查抽象函数的单调性、奇偶性等问题,以及化归与转 化、类比等数学思想方法.例10已知/■(%)的定义域为R ,对任意的%,y E R ,有/(% + y ) -/(%) + /(y ),且当 % >0 时,/(%) <0,若/(；)二-2,求f (%)在［-2,4］上的最大值和最小值.分析 由例5已经知道/(%)为奇函数，由例8得出/(%)为(- ¥ , + ¥)上的减函数.因此f (%)在［-2,4］上最大值应该为/( -2),最小值应该为/(4)，下面用赋值法分别求出代-2) ,/(4).因为/(1) - -2,所以/(2) -/(1+1) -/(1) +/(1) - -4.所以代-2) - -/(2) -4.所以/(4)二/(2+2)二/(2) +/(2) - -8.即(%)在［-2,4］上最大值应该为4,最小值为-8.六、 赋值法处理抽象函数不等式抽象函数不等式问题需借助抽象函数的单调性、奇偶性、定义域等来综合求解,利用赋值法将看似无关联的 不等式转化为常规不等式问题求解.例11已知函数f (%)在(-1,1)上有定义，当且仅当0 <% < 1 时,/(%) <0,且对任意 %,y e ( -1,1)都有/(%) +代y ) -/［比y )解不等式/(5%-4)〉/(%2)•分析 由例7已经知道(%)为奇函数，由例9得出/(%)为(-1,1)上的减函数.所以-1 <5%-4<%2 <1,解出{% 3 <%<； }•由以上例析我们可以发现,解决抽象函数问题的本 质是将抽象问题具体化，而通过赋值法几乎可以解决抽象问题的所有题型，因此赋值法不失为处理抽象函数问 题的一个最常用方法.参考文献：［1 ］徐春生.构造新函数 妙解导数题［J ］.中学生数 理化(高二使用),2019(12) ：28 -30.［责任编辑:李璟］-即1 1 2 >-1 •1 - %;・ ％2所以-1<「一%2 <0 •1 - %;・ ％2因为当0<%<1时,/(%) <0,且f (%)为奇函数,所以当-1 <%<0 时,/(%) - -/( -%) >0.—59—。
抽象函数中赋值法的妙用
抽象函数中赋值法的妙用抽象函数是面向对象程序设计中的重要概念，它是一种特殊的函数，没有具体的实现，需要在子类中进行实现。
抽象函数的存在，可以使程序更加灵活，能够更好地实现面向对象的多态特性。
在实际的软件开发中，抽象函数中赋值法的妙用经常被用来简化代码、提高效率、实现模块化，本文将为大家详细介绍这一内容。
一、抽象函数的基本概念抽象函数是面向对象编程中的一种非常重要的概念，它指的是没有具体实现的函数，只有函数的声明，但是没有函数体。
在面向对象的语言中，可以通过关键字abstract来声明一个抽象函数，例如在C++中使用 virtual关键字声明一个抽象函数，同时让这个函数被继承。
在Java中使用abstract关键字来声明一个抽象函数，同时让这个函数被继承。
抽象函数的存在，可以使得程序更加灵活，能够更好地实现面向对象的多态特性。
抽象函数中赋值法是指在抽象函数中将成员变量进行赋值并返回的一种方法。
这种方法有助于简化代码，提高代码的可读性和维护性，同时实现代码的高效重用。
抽象函数中赋值法通常用于初始化成员变量、获取对象值等操作，以及实现模块化的编程。
1. 简化代码在抽象函数中赋值法的妙用中，一个明显的优点就是能够简化代码，减少重复编写类似的代码的时间和精力。
举个例子，在抽象函数中赋值法中，可以将一些常用的操作和赋值封装在抽象类中，然后让子类继承这个抽象类，并重写其中的抽象函数方法，以实现相同的功能。
在一个图形类中，可以定义一个抽象函数中赋值法，用来获取图形的面积和周长，然后让特定的图形类（如圆形、矩形等）继承这个抽象类，并重写其中的抽象函数方法，分别计算每个图形的面积和周长。
这样可以很好地实现代码的高效重用，并且简化了每个图形类的代码。
2. 提高代码的可读性和维护性抽象函数中赋值法还能够提高代码的可读性和维护性。
通过将一些常用的操作和赋值封装在抽象类中，会使得代码更加清晰，也更容易维护。
这有利于避免代码重复以及降低代码的维护成本。
抽象函数中赋值法的妙用
抽象函数中赋值法的妙用抽象函数是面向对象编程中非常重要的概念，它可以帮助我们实现具有通用性的代码框架，同时又能够实现细节的定制化。
在抽象函数中，一个非常重要的技巧就是赋值法，它可以让我们更好地利用抽象函数来实现各种功能，并且大大提高代码的灵活性和可扩展性。
本文将为大家详细介绍抽象函数中赋值法的妙用，并且给出一些具体的实例来帮助大家更好地理解。
在面向对象编程中，抽象函数是指一种只有声明而没有实现的函数，它通常被用来定义一个接口或者基类，然后由派生类来实现具体的功能。
抽象函数本身并没有具体的功能，但是它定义了一个通用的接口，让派生类可以根据自己的需求来实现具体的功能。
抽象函数可以在语言层面上限定了一个类的功能，同时也可以让类的设计更加灵活和可扩展。
在抽象函数中，赋值法是指在抽象函数中对某个变量进行赋值操作，这样可以让派生类在实现具体功能的时候更加灵活。
赋值法可以将一些通用的逻辑放在抽象函数中，然后把一些具体的细节交给派生类来实现，这样可以让代码更加清晰，同时也可以提高代码的重用性和可维护性。
下面我们将通过一个实际的例子来详细介绍抽象函数中赋值法的妙用。
假设我们现在需要实现一个简单的图形类，它可以表示不同的图形，并且可以计算图形的面积和周长。
我们首先定义一个抽象的图形类Shape，它包含了两个抽象函数get_area和get_perimeter，分别用来计算图形的面积和周长。
然后我们再定义两个具体的图形类，分别是矩形类Rectangle和圆形类Circle，它们都继承自Shape类，并且实现了get_area和get_perimeter函数。
在这个例子中，我们可以使用赋值法来提高代码的灵活性。
我们可以在抽象类Shape中定义一个变量pi，然后在构造函数中对其进行赋值，这样可以让派生类更加方便地使用这个变量来计算圆形的面积和周长。
具体的代码如下所示：```pythonclass Shape:def __init__(self):self.pi = 3.14def get_area(self):passclass Rectangle(Shape):def __init__(self, width, height): super().__init__()self.width = widthself.height = height。
抽象函数解题方法与技巧第五计
三、待定系数法
如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例 3．已知 f(x)是多项式函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).
解：由已知得 f(x)是二次多项式，设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0)
代入 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c
余切函数 f(x)=cotx
f (x y) 1 f (x) f (y) f (x) f (y)
例 10．已知实数集上的函数 f(x)恒满足 f(2+x)= =_____________
f(2-x),方程 f(x)=0 有 5 个实根,则这 5 个根之和
2
分析：因为函数 f(x)恒满足 f(2+x)= f(2-x),方程 f(x)=0 有 5 个实根，可以将该函数看成是类似于二次 函数 y=k(x-2)2 为模型引出解题思路，即函数的对称轴是 x=2，并且函数在 f(2)=0，其余的四个实数根关 于 x=2 对称
由（1）得
求解抽象函数问题的思路
探索探索与与研研究究抽象函数是函数中的重要知识.这类函数通常没有具体的解析式，因而抽象函数问题具有较强的抽象性.那么如何求解抽象函数问题呢？下面重点谈一谈三类抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值由于抽象函数没有具体的解析式，所以在求抽象函数的值时，通常需根据函数的关系式、某个点的坐标，以及抽象函数的性质：单调性、周期性、奇偶性来求函数的值.同时要关注一些特殊点，如零点、原点、对称点等的值，以找到更多的条件，顺利获得相应的函数值.例1.已知f(x)的定义域为R，f(x+2)=1-f(x)1+f(x)，f(-2)=1-3，则f(2006)=().A.2-3B.1-3C.2+3D.1+3解：∵f(x+4)=f()()x+2+2=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f（x），且f(x+8)=f()()x+4+4=1-11f(x)=f(x)，∴函数f(x)为周期函数，且周期为8，∴f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=f(-2+8)=f(-2)=1-3.∴本题的答案为B项.解答此题，需从已知的函数关系式入手，通过恒等变换，求得函数的周期.然后根据已知点的坐标和函数的周期性求函数的值.二、求抽象函数的定义域函数的定义域往往受函数的对应法则、自变量影响，要求抽象函数的定义域，需先明确函数的对应法则以及自变量.通常可通过变换函数的自变量，利用函数的单调性、周期性、奇偶性来进行等量代换，从而求得抽象函数的定义域.例2.已知函数f(x)的定义域为[0，3]，求函数f(3x+2)的定义域.解：因为函数f(x)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，则0≤3x+2≤3，解得-23≤x≤13，故函数f(3x+2)的定义域为[-23,13].解答本题，关键要明确f(x)中的x与f(3x+2)的3x+2的意义相同，那么二者的取值范围一致，据此建立不等式，解该不等式即可求出函数的定义域.三、抽象函数的奇偶性问题对抽象函数的奇偶性问题，通常要先根据已知的函数关系式，函数的单调性、周期性来选择合适的值进行赋值、代换；再根据奇函数、偶函数的定义判断出函数的奇偶性.一般地，若f(-x)=-f(x)成立，则该函数为奇函数；若f(-x)=f(x)成立，则该函数为偶函数.赋值法是解答抽象函数问题的基本方法之一.例3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上是单调递增的.如果实数t满足f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，那么t的取值范围是______.解：由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(ln t)=fæèöøln1t，由f(ln t)+fæèöøln1t≤2f(1)，得f(ln t)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，+∞)上是单调递增的，所以|ln t|≤1，即-1≤ln t≤1，故1e≤t≤e.由于已知函数为偶函数，所以可以先根据偶函数的定义判断出f(ln t)与fæèöøln1t的关系；然后根据已知关系式判断出f(ln t)与f(1)的大小关系，进而根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，建立关于t的不等式，求得问题的答案.例4.若定义域为R的函数f(x)在(4，+∞)上为减函数，且函数y=f(x+4)为偶函数，则().A.f(2)>f(3)B.f(2)=f(6)C.f(3)=f(5)D.f(3)>f(6)解：∵y=f(x+4)为偶函数，∴f(-x+4)=f(x+4)，∴y=f(x)的图象关于直线x=4对称，∴f(2)=f(6)，f(3)=f(5).又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数，∴f(5)>f(6)，所以f(3)>f(6).故本题的答案为BCD.解答本题，需灵活运用抽象函数的单调性、奇偶性、对称性，并根据选项中的数值对函数进行赋值，才能顺利得到正确的答案.由此可见，解答抽象函数问题，关键在于研究已知关系式和函数的性质，必要时需对函数进行赋值，以得到更多的条件，为解题提供更多的依据.(作者单位：江苏省滨海中学)王颖53Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
求抽象函数表达式常见五种方法
求抽象函数表达式常见五种方法1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知()211x f x x =++,求()f x .2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x .5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x参考答案：例1：解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1x f x x -=- 例2：解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)例3．解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 例4.解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
抽象函数中赋值法的妙用
抽象函数中赋值法的妙用抽象函数是面向对象编程中非常重要的概念，它可以帮助我们更加灵活地设计和组织代码，提高代码的可维护性和可重用性。
在抽象函数中，赋值法是一种非常妙用的技巧，可以让我们更加方便地实现抽象函数的功能。
本文将深入探讨抽象函数中赋值法的妙用，帮助读者更好地理解和应用这一技巧。
让我们来了解一下抽象函数的基本概念。
抽象函数是指在子类中实现的函数，它在父类中定义了函数的签名和部分功能，但没有具体的实现。
子类需要根据父类中定义的抽象函数签名来实现具体的功能。
这样的设计可以使得我们在父类中定义一些通用的结构和接口，而具体的实现细节则由子类来完成。
这种设计方式使得代码结构更加清晰，同时也提高了代码的可维护性和可扩展性。
赋值法可以帮助我们在子类中直接调用父类的抽象函数。
在子类中，我们可以使用super关键字来调用父类中的抽象函数，然后在子类中根据需要进行适当的修改和扩展。
这样的设计可以使得子类的功能更加灵活，同时也可以避免重复编写相似的代码。
在实际开发中，我们经常会遇到需要在子类中调用父类的抽象函数的情况，这时候赋值法就可以帮助我们简化代码的结构，提高代码的可读性和可维护性。
在实际开发中，我们可以将赋值法应用到许多不同的场景中。
在设计和实现抽象函数时，我们可以根据具体的需求来选择适当的赋值法技巧，从而使得我们的代码更加简洁和清晰。
我们也需要注意一些赋值法的技巧和注意事项，以便更好地应用这一技巧。
我们还需要注意在实现抽象函数的多态性时的方法选择。
在子类中，我们可以根据需要修改和扩展父类中定义的抽象函数，从而实现不同子类的不同行为。
这种设计方式可以使得我们的代码更加灵活和可扩展，同时也更加易于理解和维护。
抽象函数中赋值法的妙用
抽象函数中赋值法的妙用抽象函数是一种在程序中经常使用的重要概念，它是一种没有具体实现的函数，而是只有函数原型。
在Java中，抽象函数用abstract关键字表示，被声明为抽象的函数必须在子类中实现，否则子类也必须被声明为抽象类。
在实际的程序设计中，抽象函数有许多妙用，其一就是可以在抽象函数中使用赋值法，来方便地实现一些常用函数。
具体来说，赋值法可以形成一个基础模板，方便子类在使用抽象函数的同时将其按照自己的需求实现。
例如，在抽象函数中编写求平方根的函数，可以使用赋值法将其转化为求幂函数的方式来进行实现。
以下是一个使用赋值法的具体例子：```public abstract class Root {public abstract double getValue();public double sqrt() {double res = getValue();double sqrt = Math.sqrt(res);return sqrt;}}```在上述代码中，抽象函数getValue()获取一个数值，并使用赋值法将其赋值给res，接着使用Math.sqrt()方法求出res的平方根并返回。
这样，当子类需要实现该函数时，只需要将getValue()方法的实现与具体数值相对应，就可以得到该数的平方根了。
当然，这只是一个简单的例子，实际上，赋值法还有很多其他的妙用。
例如在求导数的时候，可以使用赋值法实现求导数的模板，让子类只需要给定具体函数，就可以方便地得到其导数的值。
在实现归一化等函数时，也可以使用赋值法来规范化数据。
此外，赋值法还可以用于模型的初始化和参数的设置等方面。
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赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1x 1，且x 1<x 2，判定抽象函数的单调性；③令y=﹣x ，判定抽象函数的奇偶性；④换x 为x+T ，确定抽象函数的周期；⑤用x=x 2+x 2或换x 为1x 等来解答有关抽象函数的其它一些问题.下面举例说明上述赋值策略.例1定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x ,y ∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy ).求证： f(x)是奇函数.解析：在f(x)+f(y)=f(x+y1+xy )中，令x=y=0有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0， 又令y=﹣x .有f(x)+f(﹣x)=f(0)=0，即f(x)+f(﹣x)=0，∴f(x)是奇函数.例2已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(x+1)=1+ f(x)1﹣f(x)，( f(x)≠0，1)，若f(1)=2，求f(2002)的值.解析：在f(x+1)=1+ f(x)1﹣f(x)中，将x 换为x+1有，f(x+2)=1+ f(x+1)1﹣f(x+1)=1+1+ f(x)1﹣f(x)1﹣1+ f(x)1﹣f(x)=﹣1f(x)， 从而f(x+4)=﹣1f(x+2)=﹣1﹣1f(x)=f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=1+ f(1)1﹣f(1)=﹣3.例3已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)，对于任意的x>0、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y).(1)求证：当x>0时，f(1x )=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数；解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=1x ，得f(x)+f(1x )=f(x ·1x )= f(1)=0，∴当x>0时，f(1x )=﹣f(x)；(2)设x 1>0、x 2>0且x 1<x 2，则x 2x 1>1，∴f(x 2x 1)<0，又在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x= x 2，y=1x 1，∴f(x 2·1x 1)=f(x 2)+f(1x 1).由(1)得，f(1x 1)=﹣f(x 1)，∴f(x 2x 1)=f(x 2)﹣f(x 1) <0，∴f(x 2)<f(x 1)，∴f(x)在(0，+∞)上单调递减，故f(x)必有反函数；例4已知函数的定义域为R ，对任意x 、y 满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)>0.试判断f(x)的奇偶性和单调性.解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，∴f(0)=0，又令y=﹣x ，f(x)+f(-x)=f(x -x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数， 再设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2，且在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=x 2，y=-x 1，则f(x 2-x 1)=f(x 2)+f(-x 1) 由f(x)是奇函数得，f(x 2)-f(x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2-x 1)，∵x 2-x 1>0，∴f(x 2-x 1)>0，从而f(x 2)>f(x 1)，∴f(x)在(-∞.+∞)上是增函数.例5设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x,y ∈[0,12],都有f(x+y)=f(x)·f(y)，且f(1)=a>0，(1)求f(12)、f(14)；(2)证明：f(x)是周期函数；(3)记a n = f(2n+12n )，求limn →∞(lna n ).解析：：(1)在f(x+y)=f(x)·f(y)中，将x 、y 均换为x 2，f(x 2+x 2)=f(x 2)·f(x 2)=f 2(x2)≥0，即f(x)=f 2(x 2)≥0，x ∈[0,1]，又x 、y 均换为12，∴f(12+12)=f(12)·f(12)=f 2(12)，由已知f 2(12)=f(1)=a ，所以，f(12)=a 12 ，同理 f(14)=a 14.(2)由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(1－x)=f(x+1)，∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(x －1)=f(x+1)，将x 换为x+1得，f(x)=f(x+2)， ∴f(x)是以2为周期的周期函数； (3)略.抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。
解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例 3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。
解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。
解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。
若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。
由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有0)]2([)2()2()22()(2≥==+=xf x f x f x x f x f下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。
解：在)1(1)1()(x xx f x f +=-+中以xx 1-代换其中x ，得： )2(12)11()1(xx x f x x f -=--+-再在（1）中以11--x 代换x ，得 )3(12)()11(--=+--x x x f x f)3()2()1(+-化简得：)1(21)(23---=x x x x x f 评析：如果把x 和xx 1-分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。
通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题例6. 设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。
证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f = 若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾所以0)0(≠f ，即有1)0(=f当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f所以0)(1)(>-=x f x f又当0=x 时，01)0(>=f所以对任意R x ∈，恒有0)(>x f设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ， 所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+= 所以)(x f y =在R 上为增函数。
评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题例7. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，试判断函数f （x ）的奇偶性。