赋值法解答抽象函数的赋值

赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略

函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1

x 1，且x 1

的奇偶性；④换x 为x+T ，确定抽象函数的周期；⑤用x=x 2+x 2或换x 为1

x 等来解答有关抽象函

数的其它一些问题.下面举例说明上述赋值策略.

例1定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x ,y ∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y

1+xy ).求证： f(x)是奇函数.

解析：在f(x)+f(y)=f(x+y

1+xy )中，令x=y=0有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0， 又令y=﹣x .有f(x)+f(﹣x)=f(0)=0，即f(x)+f(﹣x)=0，∴f(x)是奇函数.

例2已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(x+1)=1+ f(x)

1﹣f(x)

，( f(x)≠0，1)，若f(1)=2，求f(2002)

的值.

解析：在f(x+1)=1+ f(x)1﹣f(x)中，将x 换为x+1有，f(x+2)=1+ f(x+1)1﹣f(x+1)

=1+

1+ f(x)1﹣f(x)1﹣

1+ f(x)1﹣f(x)

=﹣

1

f(x)， 从而f(x+4)=﹣1f(x+2)=﹣

1

﹣1f(x)

=f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=1+ f(1)

1﹣f(1)

=﹣3.

例3已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)，对于任意的x>0、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y).

(1)求证：当x>0时，f(1

x )=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数；

解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=1x ，得f(x)+f(1x )=f(x ·1

x )= f(1)=0，

∴当x>0时，f(1

x )=﹣f(x)；

(2)设x 1>0、x 2>0且x 11，∴f(x 2x 1)<0，又在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x= x 2，y=1

x 1

，

∴f(x 2·1x 1)=f(x 2)+f(1x 1).由(1)得，f(1x 1)=﹣f(x 1)，∴f(x 2

x 1

)=f(x 2)﹣f(x 1) <0，∴f(x 2)

∴f(x)在(0，+∞)上单调递减，故f(x)必有反函数；

例4已知函数的定义域为R ，对任意x 、y 满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)>0.试判

断f(x)的奇偶性和单调性.

解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，∴f(0)=0，

又令y=﹣x ，f(x)+f(-x)=f(x -x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数， 再设x 1、x 2∈R ，且x 1

∵x 2-x 1>0，∴f(x 2-x 1)>0，从而f(x 2)>f(x 1)，∴f(x)在(-∞.+∞)上是增函数.

例5设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x,y ∈[0,1

2],都

有f(x+y)=f(x)·f(y)，且f(1)=a>0，(1)求f(12)、f(14)；(2)证明：f(x)是周期函数；(3)记a n = f(2n+1

2n )，

求lim

n →∞(lna n ).

解析：：(1)在f(x+y)=f(x)·f(y)中，将x 、y 均换为x 2，f(x 2+x 2)=f(x 2)·f(x 2)=f 2(x

2)≥0，

即f(x)=f 2(x 2)≥0，x ∈[0,1]，又x 、y 均换为12，∴f(12+12)=f(12)·f(12)=f 2(1

2)，

由已知f 2(12)=f(1)=a ，所以，f(12)=a 1

2 ，同理 f(1

4)=a 14

.

(2)由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(1－x)=f(x+1)，

∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(x －1)=f(x+1)，将x 换为x+1得，f(x)=f(x+2)， ∴f(x)是以2为周期的周期函数； (3)略.

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数)(2

x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2

x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2

x f 中的2x 满足412≤≤x

从而函数f （x ）的定义域是［1，4］

评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。