三角恒等变换-知识点+例题+练习

两角和与差的正弦、余弦和正切

基础梳理

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β；

(6)T (α－β)：tan(α－β)＝

tan α－tan β

1＋tan αtan β

.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝

2tan α

1－tan 2α

.

3．有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2

α＝1＋cos 2α2，sin 2

α＝1－cos 2α2

；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin

⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧

(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝

α＋β2

－

α－β2

；

α－β2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫

α2＋β.

(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为1

4的是( )．

A ．2cos 2

π

12

－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°

D ．sin 15°cos 15° 2．(2011·福建)若tan α＝3，则

sin 2α

cos 2α

的值等于( )．

3．已知sin α＝2

3，则cos(π－2α)等于( )．

4．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝1

3，则sin 2θ＝( )．

5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.

考向一 三角函数式的化简

【例1】►化简

2cos 4x －2cos 2x ＋

1

2

2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭

⎪

⎫π4＋x .

[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．

【训练1】化简：sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1

sin 2α

.

考向二三角函数式的求值

【例2】►已知0＜β＜π

2

＜α＜π，且cos

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

α－

β

2

＝－

1

9

，sin

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

α

2

－β＝

2

3

，

求cos(α＋β)的值．

三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：

(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．

【训练2】 已知α，β∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β

的值．

考向三 三角函数的求角问题

【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π

2，求β.

通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；

若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2

，π2，选正弦较好．

【训练3】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4

＝0的两个根，求α＋β的值．