2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学答案解析
2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 (含解析)
四边形 A1B1CD 都是正方形，则直线 BD1 与平面 A1B1CD 所成角的正切值是（
）
2
A.
B.
3
C.
2 D.
3
2
2
【答案】 C
【解析】连接 A1C ，交 BD1 于点 O ，由对称性可知， OC
1 2 A1C ，
∵ ABCD 是正方形， ∴ BC CD .
又∵平面 A1B1CD 平面 ABCD ，平面 A1B1CD 平面 ABCD CD ，
C. { x | 7 x 0} D. { x | x 7 或 x 0}
【答案】 A
【解析】解不等式可得 { x | 0 x 7} .
x2 y2
5. 双曲线
1 的渐近线方程是（
）
94
3
2
9
4
A. y
x B. y
x C. y
x D. y
x
2
3
4
9
【答案】 B
x2 y2
【解析】∵双曲线方程为
1， a 3 ， b 2 ，焦点在 x 轴上，∴渐近线方程为
C. 内存在唯一的直线与 l 平行 D.
内的直线与 l 都相交
【答案】 B
【解析】由已知得， l 与 相交，设 l
O ，则 内过点 O 的直线与 l 相交，故 A 不正
确；
不过 O 的直线与 l 异面，故 D 不正确；
内不存在与 l 平行的直线，所以 B 正确， C 不正确 .
10. 函数 f ( x)
一、选择题
1. 已知集合 A {1,3,5} ， B {3,5,7} ，则 A B （ ）
A. { 1,3,5} B. { 1,7} C. {3,5} D. {5}
2019 年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题含解析PDF
2019年浙江省1月学业水平统一考试数学解析一、选择题（每题3分，共18题，总计54分）1．已知集合{}5,3,1=A ，{}7,5,3=B ，则=B A A ．{}7,5,3,1B ．{}7,1C ．{}5,3D ．{}5【答案】C2．函数)1(log )(5-=x x f 的定义域是A ．),1()1,(+∞-∞ B ．)1,0[C ．),1[+∞D ．),1(+∞【答案】D3．圆9)2(22=-+y x 的半径是A ．3B ．2C ．9D ．6【答案】A4．一元二次不等式072<-x x 的解集是A ．{}70<<x x B ．{}70><x x x 或C ．{}07<<-x x D ．{}7>-<x x x 或【答案】A5．双曲线22194x y -=的渐近线方程是A ．32y x =±B ．23y x =±C ．94y x =±D ．49y x =±【答案】B6．已知空间向量(1,0,3),(3,2,)a b x =-=-，若a b ⊥ ，则实数x 的值是A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 7．cos15cos 75=A ．2B ．12C ．4D ．14【答案】D8．若实数,x y 满足不等式组10,0,3,x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y -的最大值是A ．9-B ．1-C ．3D ．7【答案】C9．若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则下列结论成立的是A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交【答案】B10．函数2()22x xx f x -=+的图象大致是【答案】A11.若两条直线1l ：260x y +-=与2l ：70x ay +-=平行，则1l 与2l 之间的距离是B.C.2D.5【答案】D12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.π B.2πC.3π D.4π【答案】B13.已知,a b 是实数，则“||a b >”是“22a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A(第12题图)14.已知数列{}n a是正项等比数列，且3723+a a =，则5a 的值不可能是A.2 B.4C.85D.83【答案】C15.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A B CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形11A B CD 都是正方形，则直线1BD 与平面11A B CD 所成角的正切值是A.2B.2【答案】C16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（）A ．2B ．3C ．2D ．3（编辑与解析提供：浙江绍兴徐浙虞）【答案】A【解析】如图建立直角坐标系，易求2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用相似可知AF bOF a=，即b c =，所以2e =，故选A.17.数列{}n a ，{}n b 用图像表示如下，记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，则（）(第15题图)浙江高中数学解题交流群出品：385405149A ．141011,S S S S ><B ．451013,S S S S ><C ．141011,S S S S <>D ．451013,S S S S <>【答案】B【解析】由图可知，当4n ≤时，0n a <，当5n ≥时，0n a >；当10n ≤时，0n b <，当11n ≥时，0n b >.令n n n c a b =，可得当4n ≤时，0n c >，当510n ≤≤时，0n c <，当11n ≥时，0n c >，故n S 在14n ≤≤上单调递增，510n ≤≤上单调递减，11n ≥上单调递增，所以选B.18.如图，线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦CD 与AB 交于点M ，且MB=2AM=2，现将半圆ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥C-ABD 体积的最大值是（）A ．23B ．13C ．3D ．1【答案】D【解析】记翻折后CM 与平面ABD 所成角为α，则三棱锥ABD C -的高为αsin CM 所以CM DM AB CM DMA DM AB V ABD C ⨯⨯≤⨯∠⨯⨯=-61sin )sin 21(31α,又2,3=⨯=⨯=BM AM CM DM AB ,所以体积的最大值为1二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.已知等差数列{}n a 中，131,5a a ==，则公差d =__________，5a =__________【答案】2，920.若平面向量,a b 满足||6,||4a b == ，a 与b 的夹角为060，则()a a b -= _________【答案】2421.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD 区域改造成公园，经过测量得到km AD km CD km BC km AB 4,3,2,1====，且120=∠ABC ,则这个区域的面积是_________2km .【答案】2733+【解析】7cos 2222=∠⋅-+=ABC BC AB BC AB AC ,所以有222AD CD AC =+,即090=∠ACD ,所以区域面积为2733+=+∆∆ACD ABC S S 22.已知函数2212)(a x a x x x f ---+=，当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是.【答案】]1,2[-【解析】方法一：设[1,)=+∞t ，则212+=t x ，则()0≥f x 等价于：222211022⎛⎫+++--≥ ⎪⎝⎭t t at a ，即42243440(1)++--≥≥t t at a t .一方面，由于当1=t 时，不等式28440--≥a a 成立，从而21-≤≤a .另一方面，设422()4344(1)=++--≥f t t t at a t ，则3'()48448440=+-≥+-≥>f t t t a a ，因此()f t 在[1,)+∞上单调递增，因此2()(1)8440≥=--≥f t f a a ，从而21-≤≤a .综合上述，所求的实数a 的范围为[2,1]-.方法二：必要性探路+主参换位首先进行必要性探路：0)1(≥f ，解得]1,2[-∈a ，再证明充分性，令12-=x t ，代入变形可知，只需证明04434224≥--++a at t t 在),1[+∞∈t 时恒成立即可，此时进行主参换位，把主元t 看成参数，a 看成变量，设3444)(242+++--=t t ta a a g ，即证明0)(≥a g ，]1,2[-∈a 恒成立，此时的),1[+∞∈t ；由二次函数可知=)1(g 0)135)(1(1442324≥+++-=--+t t t t t t t 1384)2(24-++=-t t t g 0)135)(1(23≥+++-=t t t t （此处关于四次式的因式分解，可通过试根再进行因式分解的方法进行操作；）所以对于任意的t ，]1,2[-∈a ，有0)(≥a g 成立综合上述，所求的实数a 的范围为[2,1]-.三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.（本题满分10分）已知函数R x x x x x f ∈+-++=.cos 6sin()6sin()(ππ（1）求)0(f 的值.（2）求函数)(x f 的最小正周期（3）求函数)(x f 的最大值.解：由于()2sin cos cos cos 2sin()66=+=+=+f x x x x x x ππ.（1）(0)2sin16==f π.（2）()f x 的最小正周期为221==T ππ.（3）()f x 的的最大值为2，且当2,3=+∈x k k Z ππ时取最大值.24.如图，已知抛物线21:4C x y =和抛物线22:C x y =-的焦点分别为F 和F '，N 是抛物线1C 上一点，过N 且与1C 相切的直线l 交2C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点（1）求FF '；（2）若点F 在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程【答案】（1）'5=4FF ；（2）233y x =±-解：（1）由题意的：()'10,10,4F F -⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以'5=4FF （2）设直线l 的方程：y kx m =+，联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，消去y ，得2440x kx m --=因为直线l 与:C 相切，所以216160k m ∆=+=，得2m k =-且的坐标为()22.k k 联立方程组22y kx kx y⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得220x kx k +-=设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则21212,x x k x x k +=-=- ，所以2120003,222x x k x y kx m k +-==-=+=因为点F 在线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN = ，即，解得223k =故直线l的方程：233y x =±-25.设a R ∈，已知函数()2211f x x x ax x x=++-+（1）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()46f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（3）设b R ∈，若关于x 的方程()8f x b =-有实数解，求22a b +的最小值【答案】（1）偶函数；（2）44a -≤≤+；（3）48【解析】（1）当0a =时，2211()=+-f x x x x x+，定义域为()(),00,-∞+∞ 且()()f x f x -=所以()f x 为偶函数;（2）由已知得222,12,01()2,102,1x ax x ax x xf x ax x x x ax x ⎧+≥⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎪+≤-⎩222261,24624422601,46422610,461261,2462+444x x ax x a x a xx ax x a a x x x x ax x a a x x xx x ax x a x a x ≥+≥-⇒≥--⇒≥-<<+≥-⇒≥--⇒≥--<<-+≥-⇒≤-⇒≥≤-+≥-⇒≤--⇒≤+综上可得44a -≤≤+（3）设0x 的方程()=8f x b -的根，则0()=8f x b -1.当01x ≥，22000028280x ax b ax b x +=-⇒-++=22≥=≥202x =取等2.当001x <<，000022880ax b ax b x x +=-⇒-++=≥≥>≥ ，当且仅当202x =取等即()22min48a b+=。
2019浙江卷 数学(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =I ð（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==L 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ= 此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(含答案)
绝密★启用前2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数 学 试 题姓名 准考证号考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
)1．已知集合A={1，3，5}，B={3，5，7)，则A ∩B=A ．{1，3，5，7}B ．{1，7}C ．{3，5}D ．{5}2．函数f (x)=log 5(x －1)的定义域是A ．(－∞，1)U(1，+∞)B ．[0，1)C ．[1，+∞)D ．(1，+∞)3．圆x2+(y －2)2=9的半径是A ．3B ．2C ．9D ．64．一元二次不等式x 2－7x<0的解集是A ．{x|0<x<7}B ．{x|x<0或x>7}C ．{x|－7<x<0}D ．{x|x<－7或x>0}5．双曲线4922y x -=1的渐近线方程是 A ．x y 23±= B ．x y 32±= C ．x y 49±= D ．x y 94±= 6．已知空间向量a =(－1，0，3)，b =(3，－2，x)，若a ⊥b ，则实数x 的值是A ．－1B ．0C ．1D ．27．cos15°·cos75°=A ．23 B ． 21 C ．43 D ．41 8．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥+,3,0,01y x y x ，则x －2y 的最大值是A ．9B ．－1C ．3D ．79．若直线l 不平行于平面a ，且l ⊄a ，则下列结论成立的是A ．a 内的所有直线与l 异面B ．a 内不存在与l 平行的直线C ．a 内存在唯一的直线与l 平行D ．a 内的直线与l 都相交10．函数f (x)=xx x -+222=的图象大致是A B C D11．若两条直线11：x+2y －6=0与l 2：x+ay －7=0平行，则l 1与l 2间的距离是A ．5B ．25C ．25D ．55 12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A ．πB ．2π (第12题图)C ．3πD ．4π。
2019年浙江省普通高中1月学业水平考试数学试卷（含答案）
2019年浙江省普通高中1月学业水平考试数学试卷（含答案）高考数学精品复习资料2019.5015年浙江省普通高中学业水平考试考试数学试题一、选择题(共25小题，1～15每小题2分，16～25每小题3分，共60分．每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1. 设集合M ＝{0，1，2}，则( )A. 1∈MB. 2?MC. 3∈MD. {0}∈M 2. 函数y ＝x －1的定义域是( )A. [0，＋∞)B. [1，＋∞)C. (－∞，0]D. (－∞，1]3. 若关于x 的不等式mx －2>0的解集是{x |x >2}，则实数m 等于( ) A. －1 B. －2 C. 1 D. 24. 若对任意的实数k ，直线y －2＝k (x ＋1)恒经过定点M ，则M 的坐标是( ) A. (1，2) B. (1，－2) C. (－1，2) D. (－1，－2)5. 与－π6角终边相同的角是( )A. π6B. π3C. 11π6D. 4π36. 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是( ),(第6题))7. 以点(0，1)为圆心，2为半径的圆的方程是( ) A. x 2＋(y －1)2＝2 B. (x －1)2＋y 2＝2 C. x 2＋(y －1)2＝4 D. (x －1)2＋y 2＝48. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，则a 4等于( ) A. 9 B. 10 C. 27 D. 819. 函数y ＝x 的图象可能是( )10. 设a ，b 是两个平面向量，则“a ＝b ”是“|a|＝|b|”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件11. 设双曲线C ：x 2a 2－y 23＝1(a >0)的一个顶点坐标为(2，0)，则双曲线C 的方程是( )A. x 216－y 23＝1B. x 212－y 23＝1 C. x 28－y 23＝1 D. x 24－y 23＝112. 若函数f ()x ＝sin x cos x ，x ∈R ，则函数f ()x 的最小值为( )A. －14B. －12C. －32D. －113. 若函数f ()x ＝x ＋ax 2＋1()a ∈R 是奇函数，则a 的值为( )A. 1B. 0C. －1D. ±114. 在空间中，设α，β表示平面，m ，n 表示直线，则下列命题正确的是( ) A. 若m ∥n ，n ⊥α，则m ⊥α B. 若α⊥β，m ?α，则m ⊥βC. 若m 上有无数个点不在α内，则m ∥αD. 若m ∥α，那么m 与α内的任何直线平行15. 在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，则BC 的长为( ) A. 19 B. 13 C. 3 D. 7 16. 下列不等式成立的是( )A. 1.22>1.23B. 1.2－3<1.2－2C. log 1.22>log 1.23D. log 0.22<="" p="">17. 设x 0为方程2x ＋x ＝8的解，若x 0∈()n ，n ＋1()n ∈N *，则n 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 418. 下列命题中，正确的是( ) A. ?x 0∈R ，x 02<0 B. ?x ∈R ，x 2≤0 C. ?x 0∈Z ，x 02＝1 D. ?x ∈Z ，x 2≥119. 若实数x ，y 满足不等式组?x －y ≥0，x ＋y －2≤0，则2y －x 的最大值是( )A. －2B. －1C. 1D. 2(第20题)20. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段A 1C 1的中点，则异面直线DE与B 1C 所成角的大小为( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°21. 研究发现，某公司年初三个月的月产值y (万元)与月份n 近似地满足函数关系式y ＝an 2＋bn ＋c (如n ＝1表示1月份)．已知1月份的产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元，由此可预测4月份的产值为( )A. 35万元B. 37万元C. 56万元D. 79万元22. 设数列{a n }，{}a n 2()n ∈N *都是等差数列．若a 1＝2，则a 22＋a 33＋a 44＋a 55等于( )A. 60B. 62C. 63D. 6623. 设椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0的焦点为F 1，F 2.若椭圆Γ上存在点P ，使△PF1F 2是以F 1P 为底边的等腰三角形，则椭圆Γ的离心率的取值范围是( )A. 0，12B. 0，13C. 12，1D.13，1 24. 设函数f ()x ＝xx －1.给出下列两个命题：①存在x 0∈()1，＋∞，使得f ()x 0<2；②若f ()a ＝f ()b ()a ≠b ，则a ＋b >4.其中判断正确的是( )A. ①真，②真B. ①真，②假C. ①假，②真D. ①假，②假(第25题)25. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝1，BC ＝x ，D 为斜边AB 的中点．将△BCD 沿直线CD 翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，则x 的取值范围是( )A. (0，3]B. (22，2]C. (3，23]D. (2，4]二、填空题(共5小题，每小题2分，共10分)26. 设函数f (x )＝?x 2，x ≤2，3x －2，x >2，则f (3)的值为________．27. 若球O 的体积为36π cm 3，则它的半径等于________cm.28. 设圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：x ＋y ＝2，则圆心C 到直线l 的距离等于________．29. 设P 是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB ＝3，则AP →·AB →的取值范围是________．30. 记ave {}a ，b ，c 表示实数a ，b ，c 的平均数，max {}a ，b ，c 表示实数a ，b ，c的最大值，设A ＝ave{－12x ＋2，x ，12x ＋1}，M ＝max{－12x ＋2，x ，12x ＋1}，若M ＝3||A －1，则x 的取值范围是________．三、解答题(共4小题，共30分)31. (本题7分)已知sin α＝35，0<α<π2，求cos α和sin(α＋错误!)的值．32. (本题7分，有A 、B 两题，任选其中一题完成，两题都做，以A 题计分)[第32题(A)](A)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为菱形，对角线AC 与BD 相交于点E ，平面P AC 垂直底面ABCD ，线段PD 的中点为F .(1)求证：EF ∥平面PBC ；(2)求证：BD ⊥PC . (B)如图，在三棱锥P －ABC 中，PB ⊥AC ，PC ⊥平面ABC ，点D ，E 分别为线段PB ，AB 的中点．(1)求证：AC ⊥平面PBC ；(2)设二面角D －CE －B 的平面角为θ，若PC ＝2，BC ＝2，AC ＝23，求cos θ的值．[第32题(B)]33. (本题8分)如图，设直线l ：y ＝kx ＋2(k ∈R )与抛物线C ：y ＝x 2相交于P ，Q 两点，其中Q 点在第一象限．(第33题)(1)若点M 是线段PQ 的中点，求点M 到x 轴距离的最小值；(2)当k >0时，过点Q 作y 轴的垂线交抛物线C 于点R ，若PQ →·PR →＝0，求直线l 的方程．34. (本题8分)设函数f ()x ＝x 2－ax ＋b ，a ，b ∈R .(1)已知f ()x 在区间()－∞，1上单调递减，求a 的取值范围；(2)存在实数a ，使得当x ∈[]0，b 时，2≤f ()x ≤6恒成立，求b 的最大值及此时a 的值．13 20xx 年浙江省普通高中学业水平考试《数学》试卷1. A2. B3. C4. C5. C6. A7. C8. C 9. A 10. A 11. D 12. B 13. B 14. A 15. D 16. B 17. B 18. C 19. C 20. B 21. B 22. A 23. D 24. C 25. A26. 7 27. 3 28. 2 29. 32－3，32＋3 30. x ≥2或x ＝－431. 解：由sin 2α＋cos 2α＝1，及0<α<π2，sin α＝35，得cos α＝1－sin 2α＝45.所以sin ?α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝35×22＋45×22＝7210.[第32题(A)]32. 证明：(A)(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴E 为线段BD 的中点．又∵点F 为线段PD 的中点，∴EF ∥PB .又∵PB ?平面PBC ，EF ?平面PBC ，∴EF ∥平面PBC . (2)∵平面P AC ⊥底面ABCD ，平面P AC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ?底面ABCD ，由四边形ABCD 菱形，可得BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面P AC .又∵PC ?平面P AC ，∴BD ⊥PC .[第32题(B)](B)(1)∵PC ⊥平面ABC ，AC ?平面ABC ，∴AC ⊥PC .又∵AC ⊥PB ，PC ∩BC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC . (2)如图，以C 为原点，CA ，CB ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A ()23，0，0，B (0，2，0)，P ()0，0，2.又∵点D ，E 分别为线段PB ，AB 的中点，∴D (0，1，1)，E ()3，1，0，则CD →＝()0，1，1，CE →＝()3，1，0.设平面CDE 的法向量为n 1＝()x ，y ，z ，由n 1·CD →＝0n 1·CE →＝0，得y ＋z ＝0，3x ＋y ＝0，取n 1＝()1，－3，3，又∵平面CBE 的法向量n 2＝()0，0，1，∴cos θ＝n 1·n 2||n 1||n 2＝217.33. 解：(1)设点P ()x 1，y 1，Q ()x 2，y 2，M ()x M ，y M ，由方程组y ＝x 2，y ＝kx ＋2，得x 2－kx －2＝0，则x 1x 2＝－2，∴y 1y 2＝x 12x 22＝2，∴y M ＝1 2()y 1＋y 2≥y 1y 2＝2，当且仅当y 1＝y 2，即k ＝0时等号成立，∴点M 到x 轴距离的最小值是 2.(注：由对称性直接得出结论也可)(2)P ()x 1，x 12，Q ()x 2，x 22，M (－x 2，x 22)，直线PR 的斜率为x 22－x 12－x 2－x 1＝x 1－x 2.又∵PQ →·PR →＝0，∴PQ ⊥PR ，即直线PR 的斜率为－1k ，∴x 2－x 1＝1k .由(1)得x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2，∴1k 2＝()x 1＋x 22－4x 1x 2，即k 4＋42k 2－1＝0，解得k ＝±()2－1，又∵k >0，∴k＝2－1，∴直线l 的方程为y ＝()2－1x ＋ 2.34. 解：(1)由题意，得a 2≥1，所以a ≥2. (2)显然b >0.f (x )＝x －a 22＋b －a 24.①当a 2<0时，只需满足f （0）＝b ≥2，f （b ）＝b 2－ab ＋b ≤6.由a <0及b ≥2，得f (b )>b 2＋b ≥6，与f (b )≤6矛盾．②当a2＞b 时，只需满足f （0）＝b ≤6，f （b ）＝b 2－ab ＋b ≥2.由a ＞2b ＞0，得－ab ＜－2b 2，∴f (b )＋14≤14，与f (b )≥2矛盾．③当0≤a2≤b 时，只需满足f （0）＝b ≤6，①f a 2＝b －a 24≥2，②f （b ）＝??b －a 22＋b －a 24≤6.③由①，②得2≤b ≤6.由②，③得b －a 22＋2≤6，又0≤a 2≤b ，∴0≤b －a 2≤2，即0≤b －2≤a 2，再结合②得(b －2)2 ≤a 24≤b －2，④∴2≤b ≤3.当b ＝3时，由④得a ＝2，此时满足①，②，③及0≤a2≤b .综上所述，b 的最大值为3，此时a ＝2.。
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知识点一 函数的零点 1．函数零点的概念 （1)定义对于函数y ＝f (x ），使f (x ）＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． （2）几何意义函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标，就是函数y ＝f (x )的零点． 2．函数的零点与方程的根的关系方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x ）有零点． 3．函数零点的判定（零点存在性定理)如果函数y ＝f （x ）在区间［a ，b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）·f (b )<0，那么y ＝f (x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ,b ),使得f （c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．知识点二 几类函数模型及其增长差异 1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f （x ）＝ax ＋b (a ，b 为常数,a ≠0） 反比例函数模型 f （x ）＝kx ＋b （k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ,c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x ）＝ba x ＋c (a ，b ,c 为常数，b ≠0，a 〉0且a ≠1） 对数函数模型 f （x ）＝b log a x ＋c （a ，b ，c 为常数，b ≠0,a 〉0且a ≠1)幂函数模型f （x ）＝ax n ＋b (a ,b ，n 为常数，a ≠0)2。
三种函数模型的性质函数性质y＝a x（a〉1)y＝log a x(a〉1)y＝x n（n〉0）在(0，＋∞）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y 轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时，有log a x〈x n〈a x知识点三应用函数模型解决问题的基本步骤用已知函数模型解决实际问题的基本步骤第一步：审题，设出变量．第二步：根据所给模型，列出函数关系式．第三步：解函数模型．第四步:将所得结论转译成具体问题的解答．题型一零点个数的判断例1(1）函数f(x)＝ln x－错误!的零点个数是（)A．0 B．1C．2 D．3（2)设函数f(x)＝x2＋错误!(x≠0)．当a＞1时，方程f(x）＝f（a）的实数根的个数为________．答案(1)C（2）3解析（1）如图画出y＝ln x与y＝错误!的图象，由图知y＝ln x与y＝1x－1（x>0，且x≠1）的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln x－错误!的零点有2个．（2)令g（x)＝f（x)－f(a），即g(x)＝x2＋错误!－a2－错误!，整理得g（x）＝错误!（x－a）(ax2＋a2x－2)．显然g(a)＝0，令h(x）＝ax2＋a2x－2。
2019学年浙江普通高校招生学业水平考试数学试卷【含答案及解析】
2019学年浙江普通高校招生学业水平考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，若，则（）A.3______________B.4___________C.5______________D.62. 直线的倾斜角是（）A. ______________B. _________C.D.3. 函数的定义域为（）A. ______________B. ____________________C.______________ D.4. 若点在角的终边上，则（）A. B. ________ C. D.5. 在平面直角坐标系中，动点的坐标满足方程，则点的轨迹经过（）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限6. 不等式组表示的平面区域（阴影部分）是（）7. 在空间中，下列命题正确的是（）A.经过三个点有且只有一个平面B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面C.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个D.经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个8. 已知向量，，则“ ”是“ ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件______________________________________D.既不充分也不必要条件9. 函数是（）A.偶函数且最小正周期为B.奇函数且最小正周期为C.偶函数且最小正周期为___________________________________D.奇函数且最小正周期为10. 设等差数列的前项和为，若，，则（）A.12___________B.14______________C.16___________________D.1811. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A. ___________B. ________C. _________D.12. 设向量，，，，，若，则的最小值是（）A. B. C. D.13. 如图，设为圆锥的底面直径，为母线，点在底面圆周上，若，，则二面角大小的正切值是（）A. ______________B. ______________C.D.14. 设函数，，其中为自然对数的底数，则（）A. 对于任意实数恒有______________B.存在正实数使得C.对于任意实数恒有______________D.存在正实数使得15. 设双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于，两点，若，则该双曲线的离心率是（）A. ________B.C. _________D.216. 函数按照下述方法定义：当时，；当时，，方程的所有实数根之和是（）A.8_________B.13_________C.18______________D.2517. 设实数，，满足：，，则下列不等式中不成立的是（）A. ______________________________________B. ____________________C. ______________________________________D.18. 如图，在四面体中，，，，点，，，分别在棱，，，上，若直线，都平行于平面，则四边形面积的最大值是（）A. B. C. ________ D.二、填空题19. 已知抛物线过点，则 ______，准线方程是______.20. 设数列的前项和为，若，，则_______.21. 在中，，，，若点满足，则 ______.22. 函数设，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是_____.三、解答题23. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，其中为锐角.（1）求角的大小；（2），，求边的长.24. 设，为椭圆的左、右焦点，动点的坐标为，过点的直线与椭圆交于，两点.（3）求，的坐标；（4）若直线，，的斜率之和为0，求的所有整数值.25. 设函数的定义域为，其中 .（1）当时，写出函数的单调区间（不要求证明）；（2）若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。
2019年1月浙江省高中数学学考试题及解答(wold版)
2019年1月浙江省学考数学试卷及答案满分100分，考试卷时间80分钟 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
） 每小题列出的四个选项中只有一个 1.已知集合 A {1,3,5}，B {3,5,7} ，则AI A. {1,3,5} B. {1,7} 解析：答案为C ,由题意可得 AI B C. {3,5}. {3,5} D. 2.函数f （X ） lOg 5（X 1）的定义域是A. (,1)U(1, ) B. [0,1) C. [1,) D. (1,) 解析：答案为D,若使函数有意义，则 0，解得故函数的定义域为 (1,).3.圆 x 2 (y 2)2 A. 3 B，解析：答案为 A , 4. 一兀二次不等式 A. {x 10 x7} ，解析：答案为 A , 2 2 x 5.双曲线— y 9 4 3A. y x 2解析：答案为 B ,- B. x 2 9的半径是（ C. 故r 3. 旦 ( 2 ••• r 2 9 , 7x 0的解集疋， B. {x | x 0 或 x 解不等式可得{x|0 1的渐近线方程是（ •双曲线方程为 D.方程为y — x , a 6.已知空间向量a 1,0,3), (3, A. 1B. C.解析：答案为C ,Ta 7. cos15 cos75 B. C. 解析：答案为D ,cos15 cos75 7} x C. 2y_4)C. {x|7}.0} D. {x| x7 或 x 0}D.2，焦点在x 轴上, •••渐近线2,x ），若 b ，则实数x 的值是（D.2) 3 解得x 1 .D.sin 75 cos751sin150 2，则x 2y的最大值是(311.右两条直线l1 : x 2y 6 0与l2: x ay7 0平行，则h与J间的距离是(A. . 5B.2一5C.亠D.2525解析：答案为D，: l1 //l2,••• 1 a 120 ,解得a 2 , •l2： x 2y 7,•- I1 , I2之间的距离为| 6 7|逅..12 22512.已知某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的表面积是( )A. B.2 C.3 D.4A. 9B. 1解析：答案为C,画出可行域如图所示，1,0) , (3,0)和(1,4)所组成的三角2y过(3,0)点时取得最大值，最大值C. D.约束条件对应的平面区域是以点(形区域(含边界)，易知当z x 为3.9.若直线I不平行于平面A.C.解析：，则下列结论成立的是( )B. 内不存在与I平行的直线内的直线与I都相交由已知得，I与相交，设I IO的直线与I异面，故D不正确；，且I内的所有直线与I异面内存在唯一的直线与I平行 D.答案为B ,x=-lO的直线与I相交，故A不正确；不过确，C不正确.O，贝y 内过点内不存在与丨平行的直线，所以B正10.函数f(x) 的图象大致是(2D.解析：答案为A , •- f(又•••无论x取何值，f (x)始终大于等于f(x)，二函数f (x)为偶函数，故排除B, D.0，二排除C,故选A.x8.若实数x, y满足不等式组y2 14.已知数列｛a n ｝，是正项等比数列，且23a 3a 7，则a 5的值不可能是（）A. 2B.4C.8D .85323解析：答案为C ，由题意可知， -.62 232.6 - 2、6 G 0),a 3a 7■- a3 a 7■■■a 5即 a 52,8a 5不可能是-•515.如图，四棱锥 ABCD A I B 1C 1D 1中，平面A 1B 1CD平面ABCD ，且四边形 ABCD 和四边形ARCD 都是正方形，则直线BD 1与平面AB 1CD 所成角的正切值是（B.1解析：答案为C ,连接AC ,交BD 1于点0 ,由对称性可知，OC -AC ,2••• ABCD 是正方形，• BC CD .又•••平面ABQD 平面ABCD ，平面A^CD I 平面ABCD CD , • BC 平面AB 1CD ,BOC 即为直线B0与平面ABQD 所成夹角,不妨设AD a ，贝U tan BOCBC OC16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（）解析：答案为B ，由三视图可知，该几何体为球的四分之一 其表面积为：S解析：答案为A ，充分性：••• a |b| ,••• a b ，又y 2x 是单调递增函数，2a 2b , 故充分性成立；必要性：•••2a 2b , y 2x 是单调增函数，••• a b ，取a 2, b 3 ,13.已知a ，b 是实数，则“ a |b|”是“ 2a 2b ”的（A.充分不必要条件B.C.充要条件D.必要不充分条件 既不充分也不必要条件满足a b ，但a |b|，故必要性不成立; a |b|”是“ 2a 2b ”的充分不必要条件)dn J■ ■■J9*■«1.I-■ ■L丄()IT'n o■ V■■i*11« * *A.S 1&, S10S 11B. S 4 S 5 ,S 10 S l3C. S 1S4 , S 10S 11D.S4S5 ,S 10S3解析：答案为B ,由图易知，当 n 4 时，a n 0 ； 当 当n 5 时，a n 0 ； 当 f n 10 时，b n 0；当n 11时，b h 0.令(:n a n b n ，可得当n4 时，C n 0 ；当 5n 10 时，C n0,19.已知等差数列｛a n ｝中，a 1 1, a 3 5，则公差d ▲, su▲.B.解析：答案为 A ，如图建立直角坐标系,则点坐标为:A (C ，a，利用相似可知AF OFa 、、2c17.数列｛a n ｝，｛b n ｝用图象表示如下，记数列当n 11时，C n 0，故S n 在1 n 4时单调递增，4 n 10时单调递减，在n10时单调递增.18.如图，现将半圆 2 A.-3线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦 CD 与AB 交于点M ，且MB ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥 C ABD 体积的最大值是(1 32AM 2 ,B.C. D.解析：答案为D ，设翻折后CM 与平面C ABD 的高为CM1 1V C ABD - (-AB3 2AB 3, DM CM二、填空题(本大题共sin ，所以ABD 所成的角为，则三棱锥1 CM sin AB6AM BM 2，所以体积的最大值为 4小题，每空3分，共15分.)DM sin DMA)DM CM ,1.D.)答案：2 , 9 ； 解析：••• a i1, a 3 51 2d 5，解得 d2 ；又 a §a ? 2d a § 9.rr rr r rrrr20. 若平面向量a , b 满足| a | 6 , |b| 4 , a 与b 的夹角为60，则a (a b) ▲. 答案：24r r r 「2 r r r 2 r r o 2 1解析：a (a b) a a b |a|2 |a||b|cos60o 62 6 424.221. 如图，某市在进行城市环境建设中， 要把一个四边形 ABCD 区域改造成公园，经过测量得到AB 1km , BC 2km , CD 3km , AD4km ，且 ABC120 ，则这个区域的面积是▲ km2rr ---- 畀答案:3372\解析：••• AC2AB 2BC 2 2AB BCcos ABC7,二 AC 2 CD 2 AD 2!,••• ACD90， • S ACD-AC CD 口 ,2 2S 1ABCBC AB sin ABC 乜 ，•区域面积为:S ABCS ACD3 3护22222.已知函数f(x) x ：2x a 一 2x 21 a .当x [1,)时，f(x) 0恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲.答案：[2,1]设 t2x 1 [1,)，则 x —1t 2 1-，则f(x) 0等价于( )2 - t 2 1at a 2 0,222即 t 4 4t 2 3 4at4a 2 0(t 1).一方面，由于当 t 1时，不等式84a4a 2 0成立，从而 2 a 1.另一 方面，设f (t) t 4 4t 2324at 4a (t 1),则 f (t) 4t 3 8t 4a 4 8 4a 4 0,因此f (t)在[1,)上单调递增，因此f(t)f(1) 8 4a 4a 20, 从而 2 a1.综上所述，所求的实数a的取值范围为[2,1].22三、解答题(本大题共3小题，共31分.)23. 已知函数 f(x) sin(x —) sin(x -) cosx , x R .(i)求f(0)的值；(n)求函数f(x)的最小正周期；(川)求函数f(x)的最大值• 解析：(i) f (0) sin sin( ) cos0 1.6 6(n)因为 f(x) 2sin xcos cosx 2sin(x),6 6所以，函数f(x)的最小正周期为2.(川)由(n)得，当且仅当 x 2k — (k Z)时，函数f (x)的最大值是2 . 3 24. 如图，已知抛物线 C i ：x 2 4y 和抛物线C 2： x 2y 的焦点分别为F 和F , N 是抛物线G 上一点，过N 且与G 相切的直线l 交C 2于A , B 两点,(i)求 |FF |;(n)若点F 在以线段MN 为直线的圆上，求直线l 的方程.15解析：(i)由题意得，F(1,0), F (0,-)，所以|FF |.44(n)设直线l 的方程为：y kx m ，联立方程组x 4y，消去 y ，得 x 2 4kx 4m y kx m16k 2 16m 0,22得m k ,且N 的坐标为(2 k, k ).2x y2 2联立方程组y 2，消去y ，得x 2 kx k 2 0,y kx k 22设 A(X 1, yj , B(X 2, y 2), M (心 y °)，则为 x ?k , x x k ,kx^ m因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以 FM 1 FN0,因为直线丨与G 相切，所以0 ,即 3k 4 k 22 0 ,222'6 2 解得k 2 —，经检验满足题意，故直线 l 的方程是y -x -.3332 1 2 1 25.设 a R ，已知函数 f(x) |x 2| |x 2| ax . xx(I)当a 0时，判断函数f(x)的奇偶性； (n)若f (x) 4x 6恒成立，求a 的取值范围;b 8有实数解，求a 2 b 2的最小值.)，且f( x) f (x)，所以f(x)是偶函数.当 x 1 时，2x 2 ax 4x 6 恒成立，即 a ( 2x- 4)max ，所以 a 4 4,3 ； xQ O Q当0 x 1时，一 ax 4x 6恒成立，即a 4 -二恒成立，x x x因为4 一 一24，所以a 4 ;x xQ O Q 当1 x 0时，一 ax 4x 6恒成立，即a 4 一二, xx x因为4— —2 12，所以a 12 ；x x6恒成立，即a ( 2x - 4)min ，所以ax2所以(a,b)是直线x °x y 2x 。
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知识点一函数的零点1．函数零点的概念(1)定义对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，就是函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．知识点二几类函数模型及其增长差异1．几类函数模型2.三种函数模型的性质知识点三 应用函数模型解决问题的基本步骤 用已知函数模型解决实际问题的基本步骤 第一步：审题，设出变量．第二步：根据所给模型，列出函数关系式． 第三步：解函数模型．第四步：将所得结论转译成具体问题的解答．题型一 零点个数的判断 例1 (1)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)设函数f (x )＝x 2＋2x(x ≠0)．当a ＞1时，方程f (x )＝f (a )的实数根的个数为________．答案 (1)C (2)3解析 (1)如图画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，由图知y ＝ln x 与y ＝1x －1(x >0，且x ≠1)的图象有两个交点．故函数f (x )＝ln x －1x －1的零点有2个．(2)令g (x )＝f (x )－f (a )， 即g (x )＝x 2＋2x －a 2－2a，整理得g (x )＝1ax(x －a )(ax 2＋a 2x －2)．显然g (a )＝0， 令h (x )＝ax 2＋a 2x －2. ∵h (0)＝－2＜0，h (a )＝2(a 3－1)＞0，∴h (x )在区间(－∞，0)和(0，a )上各有一个零点． ∴g (x )有3个零点，即方程f (x )＝f (a )有3个实数解．感悟与点拨 函数零点个数的确定，常从函数单调性分析，结合零点存在性定理或数形结合来判断．跟踪训练1 若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12答案 C解析 因为2a ＋b ＝0，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， 所以零点为0，－12.题型二 根据函数零点存在情况求参数例2 已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．则y ＝a 的图象只能夹在y ＝0与y ＝12的图象之间，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 感悟与点拨 根据函数的零点存在情况求参数．常用如下方法处理：(1)y ＝g (x )－m 有零点即y ＝g (x )与y ＝m 的图象有交点，所以可以结合图象求解． (2)g (x )－f (x )＝0有两个相异实数根⇔y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．跟踪训练2 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈(π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[1,2] C ．(0,1] D ．(1,2)答案 A解析 画出函数f (x )在[0,2π]的图象，如图所示：若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点， 即y ＝f (x )和y ＝m 在[0,2π]内恰有4个不同的交点， 结合图象知0＜m ＜1.题型三 函数与方程思想的应用例3 已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实数根． 解 (1)方法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)， 因而只需m ≥2e ， 则y ＝g (x )－m 就有零点．方法二 作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)的大致图象(如图所示)．可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e. (2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实数根， 即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)的大致图象(如图所示)．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为直线x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个不同的交点， 即g (x )－f (x )＝0有两个相异的实数根． ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．感悟与点拨 求函数零点的值、判断函数零点的范围及零点的个数以及已知函数零点求参数范围等问题，都可利用方程来求解，但当方程不易甚至不可能解出时，可构造两个函数，利用数形结合的方法进行求解．跟踪训练3 已知a ，b ∈R ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1，函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－1)，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0只有两个不同实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，－1]∪(1,2) B ．(－2，－1]∪(1,2] C ．[－2，－1]∪[1,2] D ．(－2，－1]∪(1,2)答案 B解析 由x 2－2－(x －1)≤1， 解得x ∈[－1,2]，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ∈[－1，2]，x －1，x ∉[－1，2]，画出函数图象如图所示，由图可知当f (x )＝a 有两个不同实数根时，a 的取值范围为(－2，－1]∪(1,2]． 题型四 函数应用问题例4 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 答案 A解析 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)，所以100k ＋20＝100m ，即k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元，故选A.感悟与点拨 函数应用问题、文字量往往比较大，所以解决此类问题，一般要审读、提炼、建模．就本题而言：(1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析题目提供的信息，从题目内容可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法．跟踪训练4 某种型号的电脑自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的5 000元降到2 560元，则平均每次降价的百分率是( ) A ．10% B ．15% C ．16%D ．20%答案 D解析 设平均每次降价的百分率为x ， 则由题意得5 000(1－x )3＝2 560，解得x ＝0.2，即平均每次降价的百分率为20%，故选D.一、选择题1．函数f (x )＝x 2－|x |－6，则f (x )的零点个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 C解析 当x >0时，令x 2－x －6＝0， 解得x ＝－2或3，∴x ＝3； 当x <0时，x 2＋x －6＝0， 解得x ＝2或－3，∴x ＝－3. ∴f (x )的零点个数为2.2．若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝12x 有解x 0，则x 0所在区间是( )A ．(2,3)B ．(1,2)C ．(0,1)D ．(－1,0)答案 C解析 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－12x ，∵f (0)＝1>0，f (1)＝－23<0，∴f (0)f (1)<0，∴方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝x 12的解所在区间为(0,1)．3．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 3答案 B解析 当x ＝0时，y ＝log 2x 无意义，故A 错误；y ＝x 2－1在(－1,0)上单调递减，故C 错误； y ＝－x 3在(－1,1)上单调递减，故D 错误．∵y ＝2x－1在(－1,1)上单调递增，f (－1)＜0，f (1)＞0，∴y ＝2x－1在(－1,1)内存在零点．4．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋m 2－1在区间[0,1]上恰有一个零点，则m 的取值范围为( ) A ．[－1,0]∪[1,2] B ．[－2，－1]∪[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,2]答案 A解析 令f (x )＝x 2－2mx ＋m 2－1＝0， 可得x 1＝m －1，x 2＝m ＋1，∵函数f (x )＝x 2－2mx ＋m 2－1在区间[0,1]上恰有一个零点， ∴0≤m －1≤1或0≤m ＋1≤1， ∴－1≤m ≤0或1≤m ≤2.故选A.5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 令f (x )＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝cos x ，分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x和y ＝cos x 的图象，由图象可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x和y ＝cos x 在[0,2π]上有3个交点，∴f (x )在[0,2π]上有3个零点，故选C.6．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 因为函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,1)上是单调递增函数，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1>0，所以根据零点存在性定理可知， 在区间(0,1)上函数的零点个数为1， 故选B.7．(2017年4月学考)若实数a ，b ，c 满足1<b <a <2，0<c <18，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A ．在区间(－1,0)内没有实数根B ．在区间(－1,0)内有一个实数根，在(－1,0)外有一个实数根C ．在区间(－1,0)内有两个相等的实数根D ．在区间(－1,0)内有两个不相等的实数根 答案 D解析 由题意，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f (0)＝c >0，f (－1)＝a －b ＋c >0， ∵1<b <a <2,0<c <18，∴0<4ac <1， ∴Δ＝b 2－4ac >0.又对称轴为x ＝－b2a∈(－1,0)，∴关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0在区间(－1,0)内有两个不相等的实数根，故选D.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案 B解析 当x ≤0时，只有一个零点－3， 当x ＞0时，也只有一个零点e 2.9．(2017年11月学考)已知1是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >b >c )的一个零点．若存在实数x 0，使得f (x 0)<0，则f (x )的另一个零点可能是( ) A ．x 0－3 B ．x 0－12C ．x 0＋32D ．x 0＋2答案 B解析 由题意可知a ＋b ＋c ＝0， 又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，∴1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的较大的根． ∵f (x 0)<0，∴x 0<1，由另一个零点小于x 0知C ，D 不正确．∵a >b ，∴b a <1，∴－b 2a >－12.设另一个零点为x 2，则x 2＋12>－12， ∴x 2>－2.对于A ，∵x 0<1，∴x 0－3<－2，排除A. 当a >0>b >c 时，－1<b a<0，对称轴－b 2a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴x 2＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴x 2∈(－1,0)．又x 0<1，B 中x 0－12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，∴f (x )的另一个零点可能是x 0－12.故选B.10．(2018年4月学考)设a 为实数，若函数f (x )＝2x 2－x ＋a 有零点，则函数y ＝f (f (x ))的零点个数是( ) A ．1或3 B ．2或3 C ．2或4 D ．3或4答案 C 二、填空题11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m ，若函数g (x )＝f (x )－x 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 答案 [－1,2)解析 由题意可得函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m ，若它的图象和直线y ＝x 有3个不同的交点， 即直线y ＝x 和直线y ＝2有交点，且y ＝x 2＋4x ＋2的图象和直线y ＝x 有两个交点， 即必须使函数y ＝2－x 有零点，并且函数y ＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)有两个零点， 从而得到m <2并且m ≥－1. 故答案为[－1,2)．12．(2016年10月学考改编)函数f (x )按照下列方式定义：当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ；当x >2时，f (x )＝12f (x －2)．则方程f (x )＝15的所有实数根之和是________．答案 18解析 作函数y ＝f (x )的草图如下，知f (1)＝1，f (3)＝12，f (5)＝14，f (7)＝18，所以f (x )＝15有6个根，它们的和是2×1＋2×3＋2×5＝18.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0，得f (x )＝12或f (x )＝1. 作出y ＝f (x )的大致图象，由图象知零点的个数为5.14．已知f (x )为R 上的增函数，且对任意x ∈R ，都有f (f (x )－3x )＝4，则f (2)＝________. 答案 10解析 根据题意得，f (x )－3x 为常数，设f (x )－3x ＝m ，则f (m )＝4，f (x )＝3x ＋m ，∴3m ＋m ＝4，易知该方程有唯一解m ＝1，∴f (x )＝3x＋1，∴f (2)＝10.15．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x (x ∈N *)台的收入函数为R (x )＝3 000x －20x 2(单位：元)，其成本函数为C (x )＝500x ＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)边际利润函数MP (x )＝________________；(2)利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )的最大值分别为________________．答案 (1)2 480－40x (2)74 120,2 440解析 由题意知，x ∈[1,100]，且x ∈N *.(1)P (x )＝R (x )－C (x )＝3 000x －20x 2－(500x ＋4 000)＝－20x 2＋2 500x －4 000， MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－20(x ＋1)2＋2 500(x ＋1)－4 000－(－20x 2＋2 500x －4 000)＝2 480－40x .(2)P (x )＝－20x 2＋2 500x －4 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －12522＋74 125. 当x ＝62或x ＝63时，P (x )的最大值为74 120元．∵MP (x )＝2 480－40x 是减函数，∴当x ＝1时，MP (x )的最大值为2 440元．∴利润函数P (x )与边际利润函数MP (x )的最大值分别为74 120和2 440.三、解答题16．已知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的零点是1和2，求函数y ＝log n (mx ＋1)的零点． 解 由题意可知函数f (x )＝x 2＋3(m ＋1)x ＋n 的两个零点为1和2，则1和2是方程x 2＋3(m ＋1)x ＋n ＝0的两个根，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝－3(m ＋1)，1×2＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－2，n ＝2，所以函数y ＝log n (mx ＋1)的解析式为y ＝log 2(－2x ＋1)．令log 2(－2x ＋1)＝0，解得x ＝0.所以函数y ＝log 2(－2x ＋1)的零点为0.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 (含解析)
2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 (含解析)1.已知集合 $A=\{1,3,5\}$，$B=\{3,5,7\}$，则$AB$ $=$ （）。
A。
$\{1,3,5\}$ B。
$\{1,7\}$ C。
$\{3,5\}$ D。
$\{5\}$答案】C解析】由题意可得 $AB=\{3,5\}$。
2.函数 $f(x)=\log_5(x-1)$ 的定义域是（）。
A。
$(-\infty,1)$ B。
$[1,+\infty)$ C。
$(1,+\infty)$ D。
$(0,+\infty)$答案】C解析】若使函数有意义，则 $x-1>0$，解得 $x>1$，故函数的定义域为 $(1,+\infty)$。
3.圆 $x+(y-2)^2=9$ 的半径是（）。
A。
$3$ B。
$2$ C。
$9$ D。
$6$答案】A解析】因为 $r^2=9$，所以 $r=3$。
4.一元二次不等式 $x^2-7x<0$ 的解集是（）。
A。
$\{x|07\}$C。
$\{x|-77\}$答案】A解析】解不等式可得 $\{x|0<x<7\}$。
5.双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$a=3$，$b=2$，焦点在 $x$ 轴上，所以渐近线方程为（）。
A。
$y=\pm\frac{94}{3294}x$ B。
$y=\pm x$ C。
$y=\pm\frac{2349}{94}x$ D。
$y=\pm\frac{3294}{94}x$答案】B解析】因为双曲线方程为 $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$，即 $y=\pm\frac{b}{a}x$，所以 $y=\pm x$。
6.已知空间向量 $\boldsymbol{a}=(-1,0,3)$，$\boldsymbol{b}=(3,-2,x)$，若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则实数 $x$ 的值是（）。
2019年1月浙江省高中数学学考试题及解答(wold版)(汇编)
2019年1月浙江省学考数学试卷及答案满分100分，考试卷时间80分钟一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
） 1.已知集合{1,3,5}A =，{3,5,7}B =，则AB =（ ）A.{1,3,5}B.{1,7}C.{3,5}D.{5} 解析：答案为C ，由题意可得{3,5}A B =. 2.函数5()log (1)f x x =-的定义域是（ ） A.(,1)(1,)-∞+∞ B.[0,1) C.[1,)+∞ D.(1,)+∞解析：答案为D ，若使函数有意义，则10x ->，解得1x >，故函数的定义域为(1,)+∞. 3.圆22(2)9x y +-=的半径是（ ）A.3B.2C.9D.6，解析：答案为A ， ∵29r =，故3r =. 4.一元二次不等式270x x -<的解集是（ ）A.{|07}x x <<B.{|0x x <或7}x >C.{|70}x x -<<D.{|7x x <-或0}x > ，解析：答案为A ，解不等式可得{|07}x x <<.5.双曲线22194x y -=的渐近线方程是（ ） A.32y x =±B.23y x =±C.94y x =±D.49y x =± 解析：答案为B ，∵双曲线方程为22194x y -=，3a =，2b =，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为b y x a =±，即23y x =±. 6.已知空间向量(1,0,3)a =-，(3,2,)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是（ ） A.1- B.0 C.1 D.2 解析：答案为C ，∵a b ⊥，∴130(2)30x -⨯+⨯-+⨯=，解得1x =. 7.cos15cos75︒⋅︒=（ ）A.2 B.12 C.4 D.14解析：答案为D ，11cos15cos75sin 75cos75sin15024︒⋅︒=︒︒=︒=.8.若实数x，y满足不等式组103xyx y+≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y-的最大值是（）A.9-B.1- C.3 D.7解析：答案为C，画出可行域如图所示，约束条件对应的平面区域是以点(1,0)-，(3,0)和(1,4)-所组成的三角形区域（含边界），易知当2z x y=-过(3,0)点时取得最大值，最大值为3.9.若直线l不平行于平面α，且lα⊄，则下列结论成立的是（）A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交解析：答案为B ，由已知得，l与α相交，设l Oα=，则α内过点O的直线与l相交，故A不正确；不过O的直线与l异面，故D不正确；α内不存在与l平行的直线，所以B正确，C不正确.10.函数2()22x xxf x-=+的图象大致是（）A. B. C. D.解析：答案为A ，∵2()()()22x xxf x f x---==+，∴函数()f x为偶函数，故排除B，D. 又∵无论x取何值，()f x始终大于等于0，∴排除C，故选A.11.若两条直线1:260l x y+-=与2:70l x ay+-=平行，则1l与2l间的距离是（）解析：答案为D ，∵12//l l，∴1120a⨯-⨯=，解得2a=，∴2:270l x y+-=，∴1l，2l=12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A.πB.2πC.3πD.4π解析：答案为B ，由三视图可知，该几何体为球的四分之一. 其表面积为：22124224r S r πππ=⨯+⨯=. 13.已知a ，b 是实数，则“||a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：答案为A ，充分性：∵||a b >，∴a b >，又2xy =是单调递增函数，∴22a b >，故充分性成立；必要性：∵22a b >，2xy =是单调增函数，∴a b >，取2a =，3b =-，满足a b >，但||a b <，故必要性不成立；∴“||a b >”是“22ab>”的充分不必要条件. 14.已知数列{}n a，是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值不可能是（ ） A.2 B.4 C.85 D.83解析：答案为C，由题意可知，37523(0)n a a a a +=≥==>， 即52a ≥，∴5a 不可能是85. 15.如图，四棱锥1111ABCD A B C D -中，平面11A B CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形11A B CD 都是正方形，则直线1BD 与平面11A B CD 所成角的正切值是（ ）解析: 答案为C ，连接1A C ，交1BD 于点O ，由对称性可知，112OC AC =， ∵ABCD 是正方形，∴BC CD ⊥.又∵平面11A B CD ⊥平面ABCD ，平面11A B CD平面ABCD CD =，∴BC ⊥平面11A B CD ，∴B O C ∠即为直线1BD 与平面11A B CD 所成夹角， 不妨设AD a =，则tan BCBOC OC∠===.16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（ ）A.2 B.2 C.3 D.3解析：答案为A ，如图建立直角坐标系，则点坐标为：2(,)b A c a ，利用相似可知AF b OF a=，即b c =，a = ∴e =17.数列{}n a ，{}n b 用图象表示如下，记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，则（ ）A.14S S >，1011S S <B.45S S >，1013S S <C.14S S <，1011S S >D.45S S <，1013S S >解析：答案为B ，由图易知，当4n ≤时，0n a <；当5n ≥时，0n a >；当10n ≤时，0n b <；当11n ≥时，0n b >.令n n n c a b =，可得当4n ≤时，0n c >；当510n ≤≤时，0n c <， 当11n ≥时，0n c >，故n S 在14n ≤≤时单调递增，410n ≤≤时单调递减，在10n ≥时单调递增.18.如图，线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦CD 与AB 交于点M ，且22MB AM ==，现将半圆ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥C ABD -体积的最大值是（ ）A.23 B.13C.3D.1 解析：答案为D ，设翻折后CM 与平面ABD 所成的角为α，则三棱锥C ABD -的高为sin CM α，所以111(sin )sin 326C ABD V AB DM DMA CM AB DM CM α-=⨯⨯∠⨯≤⨯⨯，又3AB =，2DM CM AM BM ⨯=⨯=，所以体积的最大值为1.二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19.已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d = ▲ ，5a = ▲ .答案：2，9；解析：∵11a =，35a =，∴125d +=，解得2d =；又532a a d =+，∴59a =. 20.若平面向量a ，b 满足||6a =，||4b =，a 与b 的夹角为60︒，则()a a b ⋅-= ▲ . 答案：24解析：2221()||||||cos 60664242a ab a a b a a b ⋅-=-⋅=-=-⨯⨯=. 21.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD 区域改造成公园，经过测量得到1AB km =，2BC km =，3CD km =，4AD km =，且120ABC ∠=︒，则这个区域的面积是 ▲ 2km .解析：∵2222cos 7AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠=，∴222AC CD AD +=，∴90ACD ∠=︒，∴12ACD S AC CD ∆=⋅=，1sin 22ABC S BC AB ABC ∆=⋅⋅∠=，∴区域面积为：2ABC ACD S S ∆∆+=.22.已知函数22()f x x x a =+-.当[1,)x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ . 答案：[2,1]-设[1,)t =+∞，则212t x +=，则()0f x ≥等价于222211()022t t at a +++--≥，即42243440(1)t t at a t ++--≥≥.一方面，由于当1t =时，不等式28440a a --≥成立，从而 21a -≤≤.另一方面，设422()4344(1)f t t t at a t =++--≥，则 3()48448440f t t t a a '=+-≥+-≥>，因此()f t 在[1,)+∞上单调递增，因此2()(1)8440f t f a a ≥=--≥，从而21a -≤≤. 综上所述，所求的实数a 的取值范围为[2,1]-.三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23.已知函数()sin()sin()cos 66f x x x x ππ=++-+，x R ∈. （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求函数()f x 的最大值. 解析：（Ⅰ）(0)sinsin()cos066f ππ=+-+1=. （Ⅱ）因为()2sin coscos 6f x x x π=+2sin()6x π=+，所以，函数()f x 的最小正周期为2π.（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当2()3x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 的最大值是2.24. 如图，已知抛物线21:4C x y =和抛物线22:C x y =-的焦点分别为F 和F '，N 是抛物线1C 上一点，过N 且与1C 相切的直线l 交2C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点. （Ⅰ）求||FF '；（Ⅱ）若点F 在以线段MN 为直线的圆上，求直线l 的方程. 解析：（Ⅰ）由题意得，(1,0)F ，1(0,)4F '-，所以5||4FF '=. （Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程组24x y y kx m⎧=⎨=+⎩，消去y ，得2440x kx m --=，因为直线l 与1C 相切，所以216160k m ∆=+=，得2m k =-，且N 的坐标为2(2,)k k .联立方程组22x y y kx k⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得220x kx k +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12x x k +=-，22x x k ⋅=-，所以12022x x k x +==-，20032y kx m k =+=-. 因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN ⋅=，即42320k k +-=，解得223k =，经检验满足题意，故直线l的方程是23y x =-. 25.设a R ∈，已知函数2211()||||f x x x ax x x=++-+. （Ⅰ）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅱ）若()46f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）设b R ∈，若关于x 的方程()8f x b =-有实数解，求22a b +的最小值. 解析：（Ⅰ）当0a =时，2211()||||f x x x x x=++-. ()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.（Ⅱ）由已知得222,12,01()2,102,1x ax x ax x xf x ax x x x ax x ⎧+≥⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎪+≤-⎩，当1x ≥时，2246x ax x +≥-恒成立，即max 6(24)a x x≥--+，所以4a ≥- 当01x <<时，246ax x x +≥-恒成立，即2624a x x≥--恒成立，因为26244x x--<-，所以4a ≥-；当10x -<<时，246ax x x -+≥-恒成立，即2624a x x≤-+，因为262412x x-+>，所以12a ≤；当1x ≤-时，2246x ax x +≥-恒成立，即min 6(24)a x x≤--+，所以4a ≤+综上所述，a的取值范围是44a -≤≤+（Ⅲ）设0x 是方程()8f x b =-的解，则0()8f x b =-.当0||1x ≥时，20028x ax b +=-，即200280ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线200280x x y x -++=上的点，22≥=≥=，当且仅当22x =时，等号成立.当00||1x <<时，0028||ax b x +=-，即00280||ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线00280x x y x -++=上的点，22|8|8++≥>>=因为>≥当且仅当||a =，4b =时，22a b +的最小值是48.2019年1月浙江省学考数学参考答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.） 19．2，9 20. 24 21.[]2,1- 三、解答题（本大题共3小题，共31分.） 23．解： （Ⅰ）(0)sinsin()cos066f ππ=+-+1=. （Ⅱ）因为()2sin coscos 6f x x x π=+2sin()6x π=+，所以，函数()f x 的最小正周期为2π.（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当且仅当2()3x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 的最大值是2. 24. 解：（Ⅰ）由题意得，(1,0)F ，1(0,)4F '-，所以5||4FF '=. （Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx m =+，联立方程组24x yy kx m⎧=⎨=+⎩，消去y ，得2440x kx m --=，因为直线l 与1C 相切，所以216160k m ∆=+=，得2m k =-，且N 的坐标为2(2,)k k .联立方程组22x y y kx k⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得220x kx k +-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，则12x x k +=-，22x x k ⋅=-，所以12022x x k x +==-，20032y kx m k =+=-. 因为点F 在以线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN ⋅=，即42320k k +-=，解得223k =，经检验满足题意，故直线l的方程是23y x =-.25.解： （Ⅰ）当0a =时，2211()||||f x x x x x=++-. ()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.（Ⅱ）由已知得222,12,01()2,102,1x ax x ax x xf x ax x x x ax x ⎧+≥⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎪+≤-⎩，当1x ≥时，2246x ax x +≥-恒成立，即max 6(24)a x x≥--+，所以4a ≥- 当01x <<时，246ax x x +≥-恒成立，即2624a x x≥--恒成立，因为26244x x--<-，所以4a ≥-；当10x -<<时，246ax x x -+≥-恒成立，即2624a x x ≤-+，因为262412x x-+>，所以12a ≤；当1x ≤-时，2246x ax x +≥-恒成立，即min 6(24)a x x≤--+，所以4a ≤+综上所述，a的取值范围是44a -≤≤+（Ⅲ）设0x 是方程()8f x b =-的解，则0()8f x b =-.当0||1x ≥时，20028x ax b +=-，即200280ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线200280x x y x -++=上的点，22≥=≥=，当且仅当22x =时，等号成立. 当00||1x <<时，0028||ax b x +=-，即00280||ax b x -++=， 所以(,)a b 是直线00280x x y x -++=上的点，精品文档精品文档22|8|8++≥>>=因为>≥当且仅当||a =，4b =时，22a b +的最小值是48.。
2019年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题 Word版含解析
解析：当 时， ，
当 时， ，检验 时不符合，
所以 ，逐项判断只有D选项正确.
15.如图，正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱） 的底面边长
为 ，侧棱长为 ，则 与侧面 所成的角是（）
A. B. C. D.
答案：A
解析：过 作 ，易证 平面 ，所以 就是 与侧面 所成角的平面角，由于 ， ，所以 ，故所求的线面角为 .
答案：
解析：在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，或 （舍），
因此 的面积 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
因此 的面积 ，
故四边形 的面积 .
22.已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增．若对任意 ，不等式 恒成立，则 的最小值是．
答案：
解析：如图，作出 的图象，
因为 ，
所以 的图象始终在 的上方，
由基本不等式知 ，即 ，
所以 ，
另一方面，设斜线 与平面 所成角为 ，
则由最小角定理知 ，从而 ，
所以 到平面 的距离 ，
所以 ，故选D.
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分。）
19.设等比数列 的前 项和为 ，首项 ，公比 ，则 ； ．
答案：
解析： .
20.已知平面向量 满足 ， ，且 与 不共线．若 与 互相垂直，则实数 .
若 ，
当 时， ，
即 ， ，得 ，
所以 .
当 时， .
当 时， ，
即 ， ，
得 ，所以
综上所述， .
24.（本题满分10分）如图，已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，直线 与抛物线 相交于 ， 两点．
（1）当 ， 时，求证： ；
（2）若 ，点 关于直线 的对称点为 ，求 的取值范围．
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2019年1月浙江省普通高中学业水平考试
数 学 试 题
姓名 准考证号
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
)
1．已知集合A={1，3，5}，B={3，5，7)，则A ∩B=
A ．{1，3，5，7}
B ．{1，7}
C ．{3，5}
D ．{5}
2．函数f (x)=log 5(x －1)的定义域是
A ．(－∞，1)U(1，+∞)
B ．[0，1)
C ．[1，+∞)
D ．(1，+∞)
3．圆x2+(y －2)2=9的半径是
A ．3
B ．2
C ．9
D ．6
4．一元二次不等式x 2－7x<0的解集是
A ．{x|0<x<7}
B ．{x|x<0或x>7}
C ．{x|－7<x<0}
D ．{x|x<－7或x>0}
5．双曲线4
92
2y x −=1的渐近线方程是 A ．x y 23±
= B ．x y 3
2±= C ．x y 49±= D ．x y 94±= 6．已知空间向量a =(－1，0，3)，b =(3，－2，x)，若a ⊥b ，则实数x 的值是
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
7．cos15°·cos75°=
A ．23
B ． 2
1 C ．43 D ．4
1 8．若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥+,3,0,01y x y x ，则x －2y 的最大值是
A ．9
B ．－1
C ．3
D ．7
9．若直线l 不平行于平面a ，且l ⊄a ，则下列结论成立的是
A ．a 内的所有直线与l 异面
B ．a 内不存在与l 平行的直线
C ．a 内存在唯一的直线与l 平行
D ．a 内的直线与l 都相交
10．函数f (x)=x
x x −+222
=的图象大致是
A B C D
11．若两条直线11：x+2y －6=0与l 2：x+ay －7=0平行，则l 1与l 2间的距离是
A ．5
B ．25
C ．25
D ．5
5 12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A ．π
B ．2π (第12题图)
C ．3π
D ．4π。