广东省江门市新会华侨中学2019-2020学年高三下学期测试数学(理)试题(word无答案)
广东省江门市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题含解析
广东省江门市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A ．[2,2)-B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 【答案】C【解析】【分析】求出集合A ，然后与集合B 取交集即可．【详解】 由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．2．若不等式22ln x x x ax -+…对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】B【解析】【分析】转化22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…为2ln a x x +…，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解.【详解】由22ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞…，可知2ln a x x +…．设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2()10h x x'=+>， 所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)1h x h ==．所以min ()1a h x =…．故a 的取值范围是(,1]-∞．【点睛】本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 3．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种.A ．408B ．120C ．156D ．240【答案】A【解析】【分析】利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；【详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有66720A =（种）， 当“乐”排在第一节有55120A =（种），当“射”和“御”两门课程相邻时有2525240A A =（种），当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有242448A A =（种）， 则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408--+=（种）， 故选：A ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题． 4．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ）A B ．4 C ．154 D ．4【答案】B【解析】【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积.解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==，在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =， 113153sin 605322ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题. 5．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ）A ．156B ．124C ．136D ．180【答案】A【解析】【分析】因为711911212a a a a +==+，可得712a =，根据等差数列前n 项和，即可求得答案.【详解】 Q 711911212a a a a +==+，∴712a =，∴()113137131313121562a a S a +===⨯=. 故选：A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前n 项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前n 项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.6．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤【答案】D【解析】【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()x x f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x ≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20a f x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案.【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()x x f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①， 当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20a f x x x x '=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=， 若242a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②， 若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③联立①②③可得：25a ≤≤.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.7．设全集U =R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =I ð（ ）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，【答案】D【解析】【分析】 求解不等式，得到集合A ，B ，利用交集、补集运算即得解【详解】由于2log (4)124x x -≤∴≤<故集合[)24A =， ()()350x x -->3x ∴<或5x >故集合()()35B =-∞⋃+∞，， ∴ ()[)|34U B A ⋂=，ð 故选：D【点睛】本题考查了集合的交集和补集混合运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．9．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π【答案】C【解析】【分析】 令()262x k k Z πππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.【详解】 令()262x k k Z πππ-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123x k k Z π=π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323+⨯ππ=⨯= 故选:C.【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式.10．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r（ ） A ．2132AB AC +u u u r u u u r B ．1124AB AC +u u u r u u u r C ．1123AB AC +u u u r u u u r D ．2133AB AC +u u u r u u u r 【答案】B【解析】【分析】 设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312x y +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线，所以21x y +=，312x y +=，所以12x =，14y =. 故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.11．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ）A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 表达式，再根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调区间，由此确定正确选项.【详解】因为22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-1cos 21sin 2224x x x π⎛⎫=+++-=+ ⎪⎝⎭，由()f x 单调递增，则222242k x k πππππ-≤+≤+（k ∈Z ），解得388k x k ππππ-≤≤+（k ∈Z ），当1k =时，D 选项正确.C 选项是递减区间，A ，B 选项中有部分增区间部分减区间.故选：D【点睛】本小题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想，应用意识.12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒.故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省江门市新会大泽华侨中学2020-2021学年高三数学理联考试卷含解析
广东省江门市新会大泽华侨中学2020-2021学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式的解集为（A）[-5.5] （B）[-4,4] （C）（D）参考答案：A略2. 已知双曲线的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程可以是（）A． B． C． D．参考答案：焦点在轴时，渐近线方程，，焦点到渐近线的距离，，解得，即方程是，若焦点在轴方程就是，故选B.考点：双曲线标准方程3. 已知全集U = R，集合，，则A．B．C．D．R参考答案：A 4. 若集合，，则集合的真子集的个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16参考答案：A试题分析：若集合，，则集合，故其真子集的个数为个，故选A.考点：1、集合的基本运算；2、集合的基本关系.5. 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3 B．P2=P3＜P1 C．P1=P3＜P2 D．P1=P2=P3参考答案：D【考点】简单随机抽样；分层抽样方法；系统抽样方法．【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．6. 对实数，定义运算“”：设函数若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：A7. 已知点P在抛物线y2=4x上，点M在圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，点N坐标为（1，0），则|PM|+|PN|的最小值为( )A．5 B．4 C．3 D．+1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得N为抛物线y2=4x的焦点，则|PM|+|PN|的最小值等于M点到准x=﹣1的距离，进而根据M点在圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，可得答案【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点为N（1，0），∴当|PM|+|PN|的最小值等于M点到准x=﹣1的距离，∵M点在圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，∴M点到准x=﹣1的距离d等于圆心（3，1）到准线的距离4减半径1，即d=4﹣1=3，故选：C【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，点到直线的距离，其中将|PM|+|PN|的最小值转化为：M点到准x=﹣1的距离，是解答的关键．8. 若实数x，y满足不等式组且3（x﹣a）+2（y+1）的最大值为5，则a等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，在可行域中找出最优点，然后求解即可．【解答】解：实数x，y满足不等式组，不是的可行域如图：3（x﹣a）+2（y+1）=3x+2y+2﹣3a的最大值为：5，由可行域可知z=3x+2y+2﹣3a，经过A时，z取得最大值，由，可得A（1，3）可得3+6+2﹣3a=5，解得a=2．故选：C．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查目标函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．9. 一个多面体的直观图和三视图如下，则多面体A－CDEF外接球的表面积是A. B.C. D.参考答案：C10. 有七名同学站成一排找毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有240种. 192种. 96种. 48种参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.参考答案：-212. 二项式的展开式的第二项的系数为12，则参考答案：313. 已知“|x－a|<1”是“x 2－6x<0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为.参考答案：（1,5）14. △ABC中，AB=2，AC=5，cosA=，在△ABC内任意取一点P，则△PAB面积大于1且小于等于2的概率为．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】求出三角形的面积，利用面积比，即可求出概率．【解答】解：由题意，sinA=，S△ABC==3，∴△PAB面积大于1且小于等于2的概率为，故答案为：．【点评】本题考查几何概型，考查三角形面积的计算，属于中档题．15. 在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真命题是（写出所有真命题的序列）．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．16. 设集合，若且，记为中元素的最大值与最小值之和，则对所有的，的平均值= ▲．参考答案：略17. 若a，，，则的最小值为.参考答案：4，当且仅当时取等号.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019届广东省江门市高三调研测试数学(理)试题 word版
2019届广东省江门市高三调研测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-<，{|21}xB x =≥，则AB =（ ）A ．(,3]-∞-B ．(,1]-∞C ．(3,0]-D ．[0,1) 2. i 是虚数单位，R 是实数集，a R ∈，若12a iR i+∈-，则a =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 3.已知:0p a <；2:q a a >，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4. e 是自然对数的底数，若1(,1)x e -∈，ln a x =，1()2xb =，xc e =，则（ ）A ．b c a >>B ．a b c >> C. c b a >> D ．c a b >> 5.若||1a =，||2b =，()(2)1a b a b +-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．3π-B ．6π- C. 3π D ．6π 6.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线222813x y p-=的右焦点，则此双曲线的离心率为（ ）A B 7.已知点(,)a b 在直线230x y ++=上运动，则24ab+有（ ）A ．最大值16B 最小值16 D 8.已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//m n ，//m α ⇒ //n α ②//αβ，//m n ， m α⊥⇒ n β⊥ ③m n ⊥，m α⊥⇒ //n α，或n α⊂ ④αβ⊥，//m α ⇒ m β⊥ 其中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．49.正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =，2635128a a a a +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n N +∀∈，1n n S a +≤ B ．n N +∃∈，312n n n n a a a a ++++=+ C. n N +∀∈，12n n n a a a ++≤ D ．n N +∃∈，212n n n a a a +++= 10.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像（ ） A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称 C. 关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 11.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度为（ ）A ．4B ．3 C.．12.设m R ∈，函数22()()()xf x x m e m =-+-（e 是自然对数的底数），若存在0x 使得01()2f x ≤，则m =（ ） A ．14 B ．13 C. 12D ．1 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线20x y +=被曲线222610x y x y +--+=所截得的弦长等于 ．14.已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是 ．15.球O 是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，若正方体1111ABCD A B C D -的表面积为1S ，球O 的表面积为2S ，则12S S = ． 16.已知函数cos ,[,0]2()(0,1]x x f x x π⎧∈-⎪=∈，若12()f x dx π-=⎰ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求A ；（2）若7,8a b ==，求c .18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，n N +∀∈，11(21)44n n S n a =++. （1）求123,,a a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法给予证明.19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若AB BC =，13CBB π∠=，12CAB π∠=，求直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值.20. 在平面直角坐标系Oxy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，P 为不在x 轴上的动点，直线PA 、PB 的斜率满足14PA PB k k =-.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）若(3,0)T ，,M N 是轨迹Γ上两点，1MN k =，求TMN ∆面积的最大值. 21. 已知函数()ln f x x ax =-，a 是常数且a R ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(1,0)-，求a 的值；（2）若10a e<<（e 是自然对数的底数），试证明：①函数()f x 有两个零点，②函数()f x 的两个零点12,x x 满足122x x e +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）证明：直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，并求点(1,2)M 到,A B 两点的距离之积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()||2f x x a x =-+，a 是常数，且a R ∈. （1）求不等式()21f x x ≤+的解集；（2）若1x ≥-时恒有()0f x ≥，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DBACC 6-10:ADBAC 11、12：BC 二、填空题13. 4 14. (,2)-∞- 15. 2π16. 14π+三、解答题17.（1）由余弦定理222cos 2c a b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=，得2cos cos acosA b C c B a =+= ∴1cos 2A =∵0A π<<，∴3A π=.（方法二）由正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， 得4sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin()R A A R B C R C B R B C =+=+A B C π++=，所以1cos 2A =， ∵0A π<<，∴3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得222178282c c =+-⨯⨯⨯ 即28150c c -+= 解得：3c =或5c =. 18.（1）分别取1,2,3n =得1113144S a a ==+，21225144S a a a =+=+，312337144S a a a a =++=+， 解得11a =，23a =，35a =. （2）猜想21n a n =-1n =时，由（1）知，11211a ==⨯-，猜想成立，假设()n k k N +=∈时，21k a k =-则1111111[(23)][(21)]4444k k k k k a S S k a k a +++=-=++-++111(23)(21)44k k k a k a +=+-+ 所以111(21)(21)44k k k a k a +-=+因为21k a k =-，所以1212(1)1k a k k +=+=+- 所以，1n k =+时21n a n =-成立， 综上所述，任意n N +∈，21n a n =-. 19.（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接AO ，∵四边形11BB C C 是菱形，∴11BC B C ⊥且O 为1B C 中点， ∵1AB B C ⊥，1ABBC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥， O 为1B C 中点，AO 为1B C 的垂直平分线，∴1AC AB =.（2）不妨设2AB BC ==，则1BO C O =，11CO B O ==， ∵12CAB π∠=，∴1AO =，2224AB BO AO =+=，AO BO ⊥又1AO B C ⊥，1B C BO O =，∴AO ⊥平面11BB C C（方法一）以O 为原点，1,,OB OB OA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则(0,0,1)A，B ，1(0,1,0)B ，(0,1,0)C - 设平面ABC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则30n AB a c n ACb c ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩， b c -==，设(1,3,n =-，直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB 与平面ABC 所成角的正弦值为111|||cos ,|7||||2n AB n AB n AB <>=== （方法二）设点1B 到平面ABC 的距离为h ， 三棱锥1A BCB -的体积113BCB V S AO ∆=⨯⨯ 三棱锥1B ABC -的体积13ABCV S h ∆=⨯⨯ =，得h =直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB与平面ABC 所成角的正弦值为17h AB ==. 20.（1）设(,)P x y 为轨迹Γ上任意一点， 依题意，1224y y x x ⨯=-+-， 整理化简得：221(0)4x y y +=≠ （2）设:MN y x b =+由2214x y y x b⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2252(1)04x bx b ++-=，250b ∆=->设1122(,),(,)M x y N xy ，则1285x x b+=-，2124(1)5x x b =-，12|||MN x x=-=T 到直线MN 的距离d =TMN ∆的面积1||2S MN d =⨯⨯==设22()(3)(5)f x x x =+-，'()2(3)(1)(25)f x x x x =-+-+ 解'()0f x =，得1x =或52x =-或3x =-因为250b ∆=->，即'()0f x =有且仅有一个解1x =，TMN ∆165=. 21.（1）切线的斜率'(1)1k f a ==-(1)f a =-，(1)01(1)2f ak -==---解12aa -=-，得2a = （2）①解1'()0f x a x =-=，得1x a=当10x a <<时，'()0f x >；当1x a>时，'()0f x <，所以()f x 在1x a =处取得最大值1()ln 1f a a=--(1)0f a =-<，因为10a e <<，所以1()ln 10f a a =-->，()f x 在区间1(1,)a有零点，因为()f x 在区间1(0,)a 单调递增，所以()f x 在区间1(0,)a有唯一零点.由幂函数与对数函数单调性比较及()f x 的单调性知，()f x 在区间1(,)a+∞有唯一零点，从而函数()f x 有两个零点. ②不妨设1210x x a <<<，作函数2()()()F x f x f x a =--，20x a<<， 则1()0F a=，222(1)'()'()'()0(2)ax F x f x f x a x ax -=+-=≥- 所以11()()0F x F a <=，即112()()0f x f x a --<，112()()f x f x a->又12()()f x f x =，所以122()()f x f x a->因为1210x x a <<<，所以1221,(,)x x a a -∈+∞，因为()f x 在区间1(,)a+∞单调递减，所以122x x a -<，122x x a+>又10a e <<，1e a>，所以122x x e +>22.（1）由122x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数得直线l的普通方程为30x y +-=由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=（2）方法一：将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得22(1)(2)4(1)0+-=即210t -+=24140∆=-=>，方程有两个不同的根，即直线与曲线相交于两点由参数t 的几何意义得12||||||1MA MB t t ==（方法二）由224030x y x x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得：x =，17y =，||||[1MA MB =+⨯-= 23.（1）依题意，||1x a -≤11x a -≤-≤，11a x a -≤≤+不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+（2）()0f x ≥即||20x a x -+≥等价于30x a x a ≥⎧⎨-≥⎩或0x ax a <⎧⎨+≥⎩等价于3x aa x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或x a x a <⎧⎨≥-⎩ 当0a ≥时，原不等式的解集为{|}x x a ≥{|}x a x a -≤<{|}x x a =≥-当0a <时，原不等式的解集为{|}3ax x ≥因为1x ≥-时，()0f x ≥恒成立，所以01a a ≥⎧⎨-≤-⎩或013a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞（方法二）3,(),x a x af x x a x a-≥⎧=⎨+<⎩()f x 是单调递增函数，当1x ≥-时，()f x 的最小值为(1)|1|2f a -=+-()0f x ≥恒成立当且仅当|1|20a +-≥，即|1|2a +≥解得：1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞.。
广东省江门市2019-2020学年高三精编模拟数学理试题Word版含答案
-π2-3π23π2π2yxO广东省江门市2019-2020学年高三精编模拟数学理试题本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合(){}10A x x x =+≤，集合{}0B x x =>，则=A B U （A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x >- （C ）{}0x x ≥（D ） {}0x x >（2）已知复数(1)(2)i i z i-++=-，则z 在复平面内对应的点在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若实数,a b 满足0,0a b >>，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）函数()f x 的部分图象如图示，则()f x 的解析式可以是（A ）3()()()22f x x x x ππ=-- （B ）()cos f x x x =（C ）()sin f x x x =+ （D ）cos ()xf x x=（5）右图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（A ）S =S +n x （B ）S =S +n x n （C ）S =S + n （D ）S =S +10n x （6）若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于（A ）7 （B ）6 （C ）5 （D ）4 （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（A 5（B 6 （C ）22（D ）3主视图俯视图左视图211（8）已知10d a x x =⎰，120d b x x =⎰，c x =⎰，则a ,b ,c 的大小关系是（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）c a b << （9）已知函数)122sin()(π+=x x f ，()f x '是()f x 的导函数，则函数2()()y f x f x '=+的一个单调递减区间是（A ）]127,12[ππ （B ）5[,]1212ππ-（C ）]32,3[ππ- （D ）5[,]66ππ-（10）已知直线l ：0x y a -+=，点()1,0A -，()1,0B . 若直线l 上存在点P 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为 （A）[ （B ）[1,1]- （C）[ （D [2,2]-（11）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，则甲和乙都排在丙的同一侧的概率为 （A ）110 （B ）13 （C ）12 （D ）23（12）已知0a <，函数22,(0)2().(0)xx xx f x ax x e ⎧+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若对[1,3],x ∀∈恒有1[()]3f f x ≤≤，则实数a 的取值范围为（A ）23[,2]4e e -- （B ）3[,2]3e e -- （C ）233[,]49e e -- （D ）332[,]39e e --第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）若非零向量,a b 满足()0⋅+=a a b ，2||||=a b ，则向量,a b 夹角的大小为 . （14）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3221a S =+，4321a S =+，3m n -=，则nma a = . （15）过双曲线2221(0)4x y b b-=>的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且||6AB =，这样的直线可以作2条，则b 的取值范围是 .（16）已知点集{(,)||1||2|3}T x y x y =++-≤，数集{2|(,)}M x y x y T =+∈， 则集合M 中最大元素与最小元素之和为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知AB =90CAD ∠=︒，（Ⅰ）若5cos 6BAD ∠=，sin C =，求BC 的长；（Ⅱ）若2BD =，3CD =，求AD 的长.（17）备选1:已知△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a b ≠,22(cos cos )2()cos c a B b A a b C -=-.（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若=c 3CA CB ⋅=u u u r u u u r，求△ABC 的周长.备选2：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且350,5S S ==-，数列{}n b 满足，1=b 1，13(2)n n n b a nb +-=.（n N *∈）（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}3n a n b -的前n 项和n T .备选3：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14m S -=-，0m S =，214m S +=()2,m m *≥∈N 且，（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若数列{}n b 满足2log 2nn a b =()n *∈N ，求数列(){}6n n a b +⋅的前n 项和n T ．（18）（本小题满分12分）据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠8-10万吨邮轮的深水港.通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区.这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约0.4亿美元.有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.下表记录了2015（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从上表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；ABCD 第17题图MABCDEFG（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔港未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）. （18）备选：交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系.发生交通事故的次数越多，费率也就越高。
广东省江门市2019-2020学年高三第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
6 23 正视图俯视图左视图图1绝密★启用前广东省江门市2019-2020学年高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()1lg(63)f x x x =+-的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6 （D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89-（B ）23 （C ）89（D 17（5）已知01a b c <<<<，则（A ）baa a >（B ）abc c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升） （A ）14（B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+（7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21（9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23 （C ）2（D ）37（10）函数xx x f )21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（A ）64 （B ）128 （C ）192 （D ）384 （12）已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内有零点，则ω的取值范围是O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA（A ）155(,)(,)484+∞U （B ）)1,85[]41,0(Y （C ）1155(,)(,)8484U （D ）115(,)(,)848+∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题:第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题:第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-r r 满足||||a b a b ⋅=-⋅r r u u r r，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB u u u r 与BC uuur 的夹角为150°，||2AC =u u u r ，则||AB uuu r 的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b-=>1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF 的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=o，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智 力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n*)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率． （20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数； (Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，x 趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．广东省江门市2019-2020学年高三第二次模拟考试数学（理）试题参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （11）以投影面为底面，6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())22224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ==L ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ） 【法二：)4sin(22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当Λ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为150°知30B ∠=o,由正弦定理得： ||||4sin sin 30AB AC C ==ou u u r u u u r||4sin AB C ⇒=u u u r ,又0150C <<o得0||4AB <≤u u u r . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-u u u r u u u u r225x y =+-， 显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅u u u r u u u u r 的最小值为421555-=-.三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+n a n ，∴21111=++++na n a nn ，---------------------------------------5分 ∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分 【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分∴数列}1{+n an 是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】（II ）由（I ）得n n n na 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分Q D E F COBAP23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ])1(321[n n +-++++-Λ，设23122232(1)22n nn T n n -=+⨯+⨯++-+⋅L ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅L ，---------②①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅L12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分又(1)123(1)2n n n n +++++-+=L ， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //， ∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分由①及P PQ OP =I ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P =I ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=o，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、C得)0,1,1(--=BF，(0,BC =-u u u r-------8分 设(,,)m x y z =r是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BC m BF m ρρ，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r r u u u r r ， 取z =3，得(m =u r ---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =r-------------------------------------10分 设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m ρρρρρρ⋅⋅=><=θ35= 所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ，则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分)16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分 （20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分（21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ；设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分 (Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分 设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xax 恰有一根2x ， 由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分 ②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=xax x r 在),0(∞+至少有两不同根， 由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a上单调递增，可知)(x r 在)2,0(a-上单调递减，因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ，由题意知，需0)(min<x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-aa r ，解得232-->e a ，------11分∴0223<<--a e．综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞U U ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】 （23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分 故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。
2019-2020年高三下学期质量检测数学(理)试题含答案
2019-2020年高三下学期质量检测数学（理）试题含答案数学（理）试题头说明本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，共150分。
其中第II 卷第22—24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题前，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第Ⅰ卷 (选择题,共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。
1．已知集合{}3,2,1,0A =, 集合{}A a ,a 2x xB ∈==, 则A ．AB A =⋂ B ．A B A ⊇⋂C ．B B A =⋃D ．A B A ⊆⋂ 2．设z = 1 – i （i 是虚数单位），则复数z2＋i 2的虚部是 A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i3. “3π=α”是“23sin =α”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．c ,b ,a 表示不同直线，M 表示平面，给出四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b 或b ,a 相交或b ,a 异面；②若⊂b M ，a ∥b ，则a ∥M ；③a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④ a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b 。
广东省江门市新会华侨中学2020-2021学年高三下学期测试数学(理)试题
广东省江门市新会华侨中学2020-2021学年高三下学期测试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设集合(){}2|{()|},1,A x y xy B x y yx ====，，则A B =（ ）A ．{}0,1B ．(){}1,1C ．()(){}0,0,1,1D ．∅2．实数1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．设等比数列{}n a 满足131533a a a a +=-=-,，则7a =（ ） A ．8B ．8-C ．6D ．6-4．古希腊帕特农神庙在建筑设计中多次运用宽与长的比为110.61822⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金矩形.如图，矩形AEFD 与矩形BEFC 都是黄金矩形.现随机从矩形AEFD 中取一点，则取自矩形ABCD 的概率为（ ）A ．12B ．3-C ．352D 25．设向量()()()1,00,12,1a b c ===,,，则()λ-⊥a b c 的充要条件是实数λ=（ ） A ．3-B ．2C ．2-D ．36．在下列四个图象中，函数()f x xsin x π=与()g x xcos x π=的大致图像依次对应为（ ）A ．①②B ．①④C ．③②D ．③④7．若,x y 满足约束条件2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩，则（ ）A ．z x y =+有最小值B ．z x y =+无最大值C ．2z x y =+有最小值D ．2z x y =+无最大值8．执行如图所示的程序框图，如果输入的10241n S ==，，则输出的n 的结果是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，左右焦点分别为12F F 、，直线2F A 与C 的一条渐近线垂直，垂足为,A 若三角形12AF F 的面积为2.则12AF AF ⋅=（ ）A ．B ．C ．D ．10．我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行”，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论.依此理论，每次随机任取两行，重复取10次，若取出的两行为“生"的次数记为X ，则()E X 与()D X 的值分别为（ ）A ．91,10B ．213,10C ．55,2D ．217,1011．如图，正方形网格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有的表面中面积最大的值为（ ）A ．8B ．12C ．18D ．2212．函数()()()f x g x h x 、、中，()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =；函数(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩；函数()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-.现给出()f x ①是偶函数；()g x ②在R 上单调递增；()h x ③无最大值；()h x ④有5个零点这四个结论，则正确结论的编号是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题13．随机变量X 满足2~202()0,X N σ，()20050.2P X <=，则()20202035P X <<=_________.14．若()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中x 的系数为8，则展开式中的常数项是__________(用数字作答)15．已知正项数列{}n a 满足()21n n n S a a =+，则100S =__________.16．如图，半径为5的圆与边长为2x 的正方形中心重合，点E F G H 、、、都在圆周上，图中以虚线为腰、正方形的边为底的四个全等的等腰三角形分别沿各自的底折起后得到一个EFGH 重合的正四棱锥.若当x 变化时得到一个体积最大的正四棱锥，则此时的四棱锥的外接球半径为________.三、解答题17．锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知464,b asinB co A s π⎛+==⎫ ⎪⎝⎭.（1）求A ；（2）若3,a AD DC AE EB ===,求DE 的长. 18．如图，矩形ABCD 所在的平面与正三角形CDE 所在的平面互相垂直，F 为CE 的中点，连接AE BE 、.（1）证明:平面AFD ⊥平面CBE ；（2）若直线AF 与平面CDE 所成的角为045，求二面角E AC D --的余弦值. 19．京广高速铁路(又称京广高铁)是中国运营中的高速客运专线之一，被誉为世界上运营里程最长的高速铁路，在出行人群中越来越受欢迎.现交通部门利用大数据工具随机抽取了沿线城市出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在这100名旅客中40岁(含)以下采用乘坐京广高铁出行的占34.（1）请完成的22⨯列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐京广高铁出行与年龄有关”?（2）为优化服务质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法随机抽取5人免费到广州参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份.由于年龄差异，规定40岁(含)以下的旅客若中奖每人得800元，40岁以上的旅客若中奖每人得1000元，这两个年龄段的得奖人数分别记为M 与N .设旅客抽奖所得的总金额为X 元，求X 的分布列与数学期望()E X .参考公式: ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.n a b c d =+++参考数据如表20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F 、右顶点为,A 过右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆相交于B C 、两点，所得四边形1ABF C 为菱形，且其面积为323. （1）求椭圆的方程；（2）过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于D E 、两点，试求三角形2DEF 面积的最大值. 21．()sin 1( ()xf x sinx ex e ππ=+--<<已知函数为自然对数的底数).（1）求()f x 的单调递增区间与最小值； （2）设()12g x sinx x =-，证明:在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤. 22．已知*,n N ∈在直角坐标系xOy 中，曲线n C 的参数方程为2x nt y nt⎧=⎨=⎩( t 为参数)，直线n l 的普通方程为40309x y n+-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）当1n =时，求曲线1C 的极坐标方程；（2）设射线000(,)':0903l tan θθθθ=<<=与,n n C l 分别交于n n A B 、两点，设(),n n n ON f OB =+求()f n 的最小值.参考答案1．B 【分析】先分析出集合分别表示曲线1xy =、2y x =上的点组成的集合，直接求曲线1xy =和2y x =的交点即可.【详解】 集合(){}|,1A x y xy ==表示曲线1xy =上的点组成的集合.集合2{()|}B x y y x ==，表示曲线2y x =上的点组成的集合.由21xy y x=⎧⎨=⎩解得：1,1x y ==. 所以A B =(){}1,1.故选：B 【点睛】本题考查集合的描述法，集合的交集运算，属于基础题. 2．A 【分析】 先将复数()11ai i+化简，得到a i -，再判断. 【详解】()11,ai ia i +=-在复平面内表示的点的坐标为(),1a -. 当1a >时，点(),1a -在第四象限，反之当点(),1a -在第四象限时，0a > 所以实数1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限充分非必要条件. 故选：A 【点睛】本题考复数的几何性质和充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 3．A 【分析】由条件131533a a a a +=-=-,，结合等比数列的通项公式可得212,1,q a ==由通项公式可求答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,133a a +=，即()2113a q +=①153a a -=-，即()4113a q -=-②由÷②①得: 211q -=-,即212,1q a ==. 则1n nn a a q q ==所以()36278a q q ===故选：A 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式和求数列中的项，属于基础题. 4．A 【分析】设1EF =,根据题意可求出,CF AE 的长，再矩形AEFD ,ABCD 的面积即可得到答案. 【详解】设1EF =，则由条件有12CF EF =.则CF =，所以AE = 故1AB =.所以矩形AEFD的面积为1S AE EF =⨯==矩形ABCD 的面积为11=1S AB BC =⨯=⨯取自矩形ABCD的概率为122P ==故选:A 【点睛】本题考查几何概率问题，属于基础题. 5．B 【分析】先求出()1,a b λλ-=-，由()λ-⊥a b c 有()0a b c λ-⋅=，根据向量的数量积的坐标公式可求得结果. 【详解】由向量()()()1,00,12,1a b c ===,, 则()1,a b λλ-=-，由()λ-⊥a b c . 则()0a b c λ-⋅=，即()()1,2,10λ-⋅=. 所以()1210λ⨯+-⨯=，故2λ=， 故选：B 【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求参数，属于基础题. 6．D 【分析】由()f x 和()g x 的解析式得出奇偶性，再根据特殊点处的函数值，可得出答案. 【详解】函数()f x xsin x π=为偶函数，所以()f x 的图像只能在①、③中选择. 又3322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，排除①，应选③； 函数()g x xcos x π=为奇函数，所以()g x 的图像只能再,②、④中选择. 又()11,g =-排除,②应选④， 故选:D 【点睛】本题考查函数的奇偶性，以及函数在特殊点处的函数值分析函数的图像，属于基础题. 7．D 【分析】先根据条件作出可行域，在对选项进行验证，可得答案. 【详解】 由2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩知，可行域在两相交直线的下方.z x y =+与边界线20x y +-=平行，显然有最大值，无最小值，A 、B 不正确.由于可行域不封闭，如图，2z x y =+向左、右平移始终与可行域有交点. 所以2z x y =+无最大值，也无最小值. 故选:D 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题. 8．B 【分析】由框图可知程序是求数列(){}log 1n n -求积的运算，根据运算可求出输出的n 值. 【详解】设输出的n 值为m .由框图可知程序是对数列(){}log 1n n -求积.所以()()10241023111023102210.11024m lg m S log log log m lg -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-=≤化简得()1024log 10.1m -≤，即()21log 10.110m -≤，所以()2log 11m -≤ 得3m ≤.所以当3n =时，程序退出循环，结束，输出3n = 故选:B 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，属于中档题.9．C【分析】由双曲线的离心率为2可得a b =，从而有2AF =，渐近线为y x =± ，即245F OA ∠=︒，在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=︒,，2F A OA ==利用等面积的方法求出2c =，进一步求出1AF 与2AF 的长，得到答案.【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>由2222212c b e a a ==-=，可得a b =. 所以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线为y x =± ，即245F OA ∠=︒. 由条件设2AF 垂直于渐近线y x =，如图.则2AF =. 过点A 作AH x ⊥轴，交x 轴于点H . 又在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=︒,，2F A OA == 所以221122OA AF OF AH ⨯⨯=⨯⨯,222OA AF c AH OF ⋅== 故12AF F △面积为112222c c ⋅⋅=，所以2c =，则2AF ==1AH OH ==,1AF ==12AF AF =⋅故选:C【点睛】本题考查双曲线的离心率和渐近线的性质，以及三角形的面积的应用，属于中档题. 10．C【分析】从五行中随机任取两行为“生”的概率为12，则重复取10次，所以随机变量X 服从二项分布，然后用二项分布的期望和方差公式求解.【详解】设从五行中随机任取两行为“生”的事件为,A则()25512P A C == 依题意，随机变量X 服从二项分布，有()~10,0.5X B ，故()()5 2.5,E X D X ==,故选:C【点睛】本题考查古典概率和二项分布的期望和方差的计算，属于中档题.11．C【分析】由三视图，在正方体中将该几何体还原，然后再计算出面积最大的面.【详解】由三视图可知该几何体为图中的三棱台111B FE A AD -，根据三视图可知，正方体的棱长为4，,E F 分别为111,BB B C 的中点.侧面11111,AA B E A D FB 为全等的两个直角梯形,即面积为：424122S +=⨯=. 设11,AD A D 相交于H ,1,EF B C 相交于G ，则,H G 分别为1,A D FE 的中点.侧面1EFD A 是等腰梯形，如图在矩形11A B CD 中，11AD A D ⊥,1AD CD ⊥所以1AD ⊥平面11A B CD ，则1AD HG ⊥,所以梯形1EFD A 的高为HG取1A H 的中点P ,则1//PB HG ,所以1GH B P ===其面积为1(18.2⨯⨯= 该几何体所有的表面中最大的值为18.故选:C【点睛】本题考查三视图以及几何体中面积最大的面，属于中档题.12．D【分析】由条件()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =, 可得函数()f x 的图像特点,再结合()g x 的表达式,对4个命题进行逐一判断,即可找出正确的命题,得到答案.【详解】()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像. 将()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像. 将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向左平移个π单位,再将纵坐标变为为原来的12 ，得到3,22ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的图像， 依此类推可得()f x 的图像，如图.所以()f x 不是周期函数，所以①错误.由(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩，作出其函数图像，如图.由图显然()g x 在R 上不是单调递增函数，所以②错误.当x 大于0，且0x →时，log x π→-∞.所以当x 大于0，且0x →时()()() h x f x g x =-→+∞.所以()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-无最大值,故③正确.函数()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-的零点个数,即函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上交点的个数.作出函数()y f x =与()y g x =的图像,如同由图像可知, 函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上有5个交点,故④正确. 故选: D【点睛】本题考查函数的图像变换,函数零点以及利用函数图像分析函数性质,属于难题.13．0.3【分析】随机变量X 满足2~202()0,X N σ，则可知对于的正态分布曲线的对称轴为2020，()20050.2P X <=，则()200520200.3P X <<=，根据正态曲线的对称性可得答案.【详解】随机变量X 满足2~202()0,X N σ，则可知对于的正态分布曲线的对称轴为2020， 又()20050.2P X <=，则()200520200.3P X <<=. 20052020X <<,与20202035X <<，在正态曲线中是关于对称轴对称的.所以由正态曲线的对称性可得()()20052020202020350.3P X P X <<=<<= 所以()202020350.3P X <<=.故答案为：0.3【点睛】本题考查由正态分布曲线的对称性求概率问题，属于基础题.14．13【分析】 由411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的通项公式为141rr r T C x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()244421111111+ax ax x x x ⎛⎫⎛++++⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可得()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项的系数，从而得到答案.【详解】 由()244421111111+ax ax x x x ⎛⎫⎛++++⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的通项公式为141r r r T C x +⎛⎫= ⎪⎝⎭ 由于411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的展开式中不含x 的项，∴()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项为1421ax C x ⋅ 所以()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项的系数为14a C ⋅ 由x 的系数为148a C ⋅=，可得2a =.故展开式中的常数项是241213C +=.故答案为：13【点睛】本题考查二项式展开式中根据特定项的系数求参数，属于中档题.15．5050【分析】根据n a 与n S 的递推关系1111n nn a n a S S n -=⎧=⎨->⎩ ，消去n S 得到n a 的递推关系，从而求出n a ，再求答案.【详解】由己知得: 1a =，又()21n n n S a a =+①得()()111212n n n S a a n ---=+≥② -①②得:()()11211n n n n n a a a a a --=+-+，整理得:()()1110n n n n a a a a --+--=因为{}n a 是正项数列，所以-11n n a a -=，故()11n a n n =+-= 所以100110010050502S +=⨯=. 故答案为：5050【点睛】本题考查由含n a 与n S 的递推关系求通项公式，属于中档题.16．10【分析】连接OF 交AB 于I ，则OI x =，5FI x =-，则正四棱锥的高为h =，表示出其体积，求出体积最大时正四棱锥的各个棱长，然后再求外接球的半径.【详解】连接OF 交AB 于I ，如图，则OI x =，5FI x =-.则正四棱锥的高为h =依题意，此时的四棱锥体积为:()2143E FGH ABCD V x -=⨯=令()()4552,0,2g x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 则()()343'2010102,g x x x x x =-=-可知当2x =时，此时()()E FGH ABCDmax V -这时，棱锥的高为OE ==又OB =BE ==设此时的四棱锥的外接球半径为R ，球心为O '.则由Rt BOO '△中,OO R '=, OB =BO R '=.则222O B OB OO ''=+,即)(222R R =+,解得R =所以此时的四棱锥的外接球半径为10故答案为：10【点睛】 本题考查空间线线、线面以及面面的位置关系，考查锥体的体积和锥体的外接球问题，属于中档题.17．（1）3π；（2）2 【分析】(1)由464,b asinB co A s π⎛+==⎫ ⎪⎝⎭结合正弦定理可得6sinAsinB sinBcos A π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭，进一步得到sin cos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理可得3tanA =，从而求出答案.(2) 由正弦定理得: 2b sinB sinA a ==,由条件可得3B π=,结合条件由余弦定理可得答案. 【详解】 （1）依题意，6A asinB bcos π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭由正弦定理得6sinAsinB sinBcos A π⎛=⎫+ ⎪⎝⎭0B π<<. 0sinB ∴≠故sin cos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即122sinA cosA sinA =-即3,23sinA cosA =即3tanA = 0A π<<,6A π∴=（2）由正弦定理a b sinA sinB =得: b sinB sinA a ==ABC 是锐角三角形，故3B π=，所以90C AB ==,3AE EB =， 故AE =AD DC =,故2AD =.在ADE 中，由余弦定理可得:2412224DE =+-⨯⨯=， 故2DE =【点睛】 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.18．（1）见解析；（2）4 【分析】（1）连接，可得EC DF ⊥，由条件可证AD EC ⊥，可得EC ⊥平面ADF ，从而可证. （2）取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系, 直线AF 与平面CDE 所成的角即为45AFD ∠=︒，故AD DF =，运用向量的方法求解.【详解】（1）证明:连接.DF三角形CDE 为正三角形，F 为CE 的中点，EC DF ∴⊥平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD 平面,CDE CD =,AD CD AD ⊥⊂平面CDEAD ∴⊥平面CDEEC ⊂平面CDE .AD EC ∴⊥AD DF D ⋂=，AD ⊂平面,ADF FD ⊂平面ADF ，EC ∴⊥平面ADFEC ∴⊂平面CBE∴平面AFD ⊥平面CBE（2）取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系，如图.直线AF 与平面CDE 所成的角即为45AFD ∠=︒， 故AD DF =. 设2CD =， 则5AD DF ==，)E ，()0,1,0C，(()0,0,1,0A D --，故()3,1,0CE =-，(0,CA =-设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，则00m CE m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()()()(,,3,1,00,,0,0x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩即2y y ==⎪⎩令1x =，则2y z ==， 故1,3.()2m =.平面ABCD 的法向量为()1,0,0n =，设所求二面角E AC D --的大小为θ， 则,m n θ=由()1,0,024m n cos m nθ⋅⋅===⋅故二面角E AC D --的余弦值为: 4【点睛】本题考查面面垂直的证明和求二面角的大小，属于中档题.19．（1）表格见解析，有99.9%的把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年龄有关”；（2）分布列见解析，()2640E X = 【分析】（1）根据条件及22⨯列联表中数据，完善22⨯列联表，再计算出()21004530151024.2460405545k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，得到结论. （2）采用分层抽样的方法，从“40岁(含)以下”的人中抽取3人，从“40岁以上”的人中抽取2人，X 的可能取值为: 240026002800，，,求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望. 【详解】（1）由已知可得，40岁（含）以下采用乘坐京广高铁出行的有360454⨯=人 22⨯列联表如表:由列联表中的数据计算可得2K 的观测值()21004530151024.2460405545k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于24.2410.828>，故有99.9%的把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年龄有关”. （2）采用分层抽样的方法，从“40岁(含)以下”的人中抽取3人， 从“40岁以上”的人中抽取2人，8001000.X M N =+由30M N =⎧⎨=⎩或21M N =⎧⎨=⎩或12M N =⎧⎨=⎩X 的可能取值为: 240026002800，， ()3032351240010C C P X C === ()2132356260010C C P X C ===()1232353280010C C P X C ===故分布列如表:数学期望()1632400260028002640101010E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验和离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.20．（1）22198x y ；（2）163【分析】(1)由椭圆的对称性及四边形为1ABF C 菱形知122F F F A =，可得B 的纵坐标为2B b y a=，四边形1ABF C 的面积为()2132223b ac a +⨯⋅=，结合,,a b c 的关系求解出,a b ，即可得到得答案.(2) 设()()1122,,,D x y E x y ，设直线l 的方程为:1,x ky =-由直线方程与椭圆方程联立，得到12,y y +12y y 的表达式，求出三角形2DEF 面积的表达式，再求其最大值. 【详解】（1）如图，因椭圆的对称性及四边形为1ABF C 菱形知122F F F A =，即2c a c =-，即3a c =①令x c =，得点B 的纵坐标为2B by a=由四边形1ABF C 的面积为323故()2132223b ac a +⨯⋅= 即28b =② 又222c a b =-③联立①②③得:2298a b ⎧=⎨=⎩故椭圆方程为22198x y（2）由()1知:()1121,02,F F F -=， 设直线l 的方程为:1,x ky =- 假设()()1122,,,D x y E x y .由221981,x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得: ()229118ky y -+=即()228916640k y ky +--=由()()()2216489640k k =--+->得:210k +>，故k ∈R . 12216,89k y y k +=+1226489y y k -=+2121212DEF SF F y y =⋅⋅-==(1,)t t =≥则()2224848481818198DEF t t St t t t===+-++设()()181f t t t t =+≥由()21'80f t t =->可知: ()()181f t t t t =+≥单调递增，()1891min f t =+=故()2max 163DEF S = 【点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积的最值，属于中档题. 21．（1）,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭与,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，()2f x e =-最小值；（2）见解析【分析】(1)由()()sin sin 'cos cos 1xx f x cosx ex x e =-⋅=-，令()0,f x '=得出解，再用表格得出()f x '与()f x 变化关系,得到单调性，从而得到最小值.(2) 要证()()f x g x ≤即证sin 112xsinx e sinx x +-≤-，设()sinx 112g x x e =+-，求出()g x ' ，得到()g x 的单调性，从而证明结论.【详解】（1）()()sin sin 'cos cos 1xx f x cosx ex x e =-⋅=-令()0,f x '=则()sin 10xcosx e-=即0,cosx =或sin 10x e -= 当(),x ππ∈-时，2x π=-或0x =，或2x π=()()f x f x '、随(),x ππ∈-变化如下:所以，()f x 的单调递增区间为,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭与,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭()12f x e f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，或()22f x e f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值因为12e e->- 故()2,f x e =-最小值（2）要证()()f x g x ≤即证sin 112xsinx esinx x +-≤-，即证sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. [方法一]令()sinx 112g x x e =+-，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()()()sinx sinx sinx sin 011111cos cos 11110223222g x x e e e e π'=-⋅≤-⋅=-≤-=-= 故()sinx 112g x x e =+-在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()00100g x g e ==+-=最大值即sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤ [方法二]只需证sinx112e x ≥+在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立 因1t e t ≥+为恒成立， 即sin 1 x e sin x ≥+恒成立， 故需证1112sinx x +≥+上成立， 即证 20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立.令()2,h x sinx x =-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()'210,h x cosx =-≥故()h x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()() 00h x h ==最小值即20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立，故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和最小值以及利用导数证明不等式，属于中档题.22．（1）2sin cos ρθθ=；（2）9【分析】(1) 先求出曲线n C 的普通方程为2y nx =，再化为极坐标方程 2sin cos n ρθθ=，将1n =代入即可.(2)将射线'l 与,n n C l 的极坐标方程分别联立，得到9n OB n =，9n OA =，则()4f n n n ⎫=+⎪⎝⎭，再求其最值. 【详解】（1）曲线n C 的普通方程为2y nx =由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()2sin sin n ρθρθ=，即2sin cos n ρθθ=1n =时，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=（2）由题意可得：000tan 3sin θθθ=⇒==直线n l 的极坐标方程为40sin 3sin 9nρθρθ+=， 可得()409cos 3sin n ρθθ=+故4099310n OB n n ==⎪⎭同理，2cos sin n n OA θθ===故()4f n n n ⎫=+≥⎪⎝⎭当且仅当2n =时，()f n的最小值为9【点睛】本题考查参数方程、普通方程与极坐标方程的互化，极坐标下极径的几何意义的运用，属于中档题.。
广东省江门市海侨中学2020年高三数学理联考试卷含解析
广东省江门市海侨中学2020年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知非零向量,满足,且与的夹角为,的取值范围是A. B. C.D.参考答案：D知识点：数量积的应用解析：设||=t（t>0）,由余弦定理知：所以故答案为：D2. 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x+1)=-f(x)，若f(x)在-1，0上是增函数，那么f(x)在1，3上是（）A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数参考答案：C3. 在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，E为侧棱BB1上的动点（包括端点），则( )A．对任意的a，b，存在点E，使得B1D⊥EC1B．当且仅当a=b时，存在点E，使得B1D⊥EC1C．当且仅当a≥b时，存在点E，使得B1D⊥EC1D．当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1参考答案：A考点：棱柱的结构特征．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题意，B1C为B1D在平面BCC1B1中的射影，存在点E，使得B1D⊥EC1，则B1C⊥EC1，即可得出结论．解答：解：由题意，B1C为B1D在平面BCC1B1中的射影，存在点E，使得B1D⊥EC1，则B1C⊥EC1，所以对任意的a，b，存在点E，使得B1D⊥EC1，故选：A．点评：本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，确定B1C为B1D在平面BCC1B1中的射影是关键．4. 在内，使成立的的取值范围为A． B． C． D．参考答案：答案：A5. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C略6. 函数的大致图像是参考答案：A7. 下列命题是假命题的是（）A．命题“若,则”的逆否命题为:“若,则”;B．若且,则;C．互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线;D．“”是“”的充分不必要条件;参考答案：C8. 已知变量x，y满足，则目标函数的最值是( ）A. B.C.，z无最小值D.z既无最大值，也无最小值参考答案：C9. 已知，满足那么的最小值是A. －1B. 0C. 1D. 2参考答案：A10. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A． B. C．D．且参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为．参考答案：π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即可得出结论．【解答】解：直观图是高为2的圆柱沿着右上到左下切开所剩下的一半图形，体积为对应的圆柱的体积的一半，即=π．故答案为π．12. 的展开式中的常数项为．参考答案：2略13. 在△ABC中, D 是边BC 上的一点, ,,则AB= ．参考答案：在中,由,，得,,过点作,交的延长线于点,如下图,则，，，，在中,用正弦定理得，则. 14. 在各项均为正项的等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，=，则a3= ．参考答案：4考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由题意列式，整体运算得到，则a3可求．解答：解：设等比数列a n的公比为q，则{}也是等比数列，且公比为，依题意得：，两式作比得：，即，∵a n＞0，∴a3=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．15. A为非空集合，B={1，2}，f为A到B的映射，f：x→x2,集合A有多少种不同情况______________.参考答案：15略16. 若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是_________.参考答案：【分析】根据抛物线的定义，可得结果.【详解】根据抛物线定义，，解得，故抛物线C的方程是.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题.17. 执行右边的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江门市2019届普通高中高三调研测试及答案(理数)
江门市2019 届普通高中高三调研测试数学（理科）本试卷共4页，21题，满分150 分，测试用时120分钟．1参考公式：锥体的体积公式V Sh，其中S 是锥体的底面积，h是锥体的高．3⒉设集合M x|x 2 ，N x|x2 2 ，下列关系正确的是⒊以下命题正确的是b 互相垂直，则实数的值为这个几何体的体积为离心率是B．10 C．103D．10 或103一、选择题：本大题共 8 小题，每小题项中，只有一项是符合题目要求的．⒈复数2i（ i 是虚数单位）的虚部是1iA． 1 B． 1 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选C．i D． iB． M N C． M N D． M NA． a b 0， c d 0 ac bd C． a b ， c d a c b d 11 ab22 ac bc⒋已知 e1、 e2互相垂直， |e1 | 2|e2 | 2 ， a e1 e2 ， b e12e2，且a 、11A ．B．24C．1 D．的正三角形，左视图是直角三角形，俯视图是左视图3 A．3 C．2 33B．6D ．3图1⒍两个正数a 、b 的等差中项是 2 ，一个等比中项是 3 ，则双曲线2by2 1的⒎如图 2， PAB 所在的平面 和四边形 ABCD 所在的平面 互相垂直，且④函数 y x 2ax 1在[2,）上恒为正，则实数 a 的取值范围是 （其中真命题的序号是 （请填上所有真命题的序号） ． （二）选做题（ 14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 （ , ） 中，过点 （2 2, ） 作圆 44sin 的切线，则切线的极坐标方程为 ．AD ， BC ， AD 4 ， BC 8， AB 6 ． 若 tan ADP 2tan BCP 1，则动点 P 在平面 内 的轨迹是 A ．椭圆的一部分 B ． 线段 C ．双曲线的一部分D ． 以上都不是 x0⒏设 x 、 y 满足 y 0x y 1B ． [ 1, 0]A ．[0, 1]，则xx 2y 的取值范围是C ． ( , )D ．[ 2, 2]、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（ 9～13题）⒐曲线 y 1 x 2与 x 轴围成图形的面积是 开始 11⒑在程序框图 3 中输入 a、b，则输出 c63⒒ x 2（x 2）6展开式中， x 3的系数是 ． ⒓已知 a 、b 、c 分别是 ABC 的三个内角 A 、 B 、 对的边，若 cosB b ，则 B cosC⒔给出下列四个命题：①命题“ x R ， x 20”的否定是“ x R ， ②若 a 、b [0, 1] ，则不等式 a b 1成立的概率是 ； 4 16③线性相关系数 r 的值越大，表明两个变量的线性相关程度越强；2a c C 所 x 2 0 ”； 结束 c |tanb|图352)PC图2输入 a 、 bc | tana|输出 c tana tanb⒖（几何证明选讲选做题）如图 4，点 A 、 B 、C 是 圆O 上的点，且AB 2，BC 6， CAB 23 ， 则 AOB 对应的劣弧长为．⒗（本小题满分 14分）已知函数 f （x ） a sin x cos x 4cos 2 x ，x R ，f(6) 6．⑴求常数 a 的值；⑵求函数 f （x ） 的最小正周期和最大值．⒘（本小题满分 12 分）某旅游景点 2019年利润为 100 万元，因市场竞争，若不 开发新项目，预测从 2019年起每年利润比上一年减少 4万元。
2020年广东省江门市新会创新初级中学高三数学理下学期期末试卷含解析
2020年广东省江门市新会创新初级中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等比数列中，如果，那么（）A． B． C ． D．参考答案：C2. 已知一个半径为1的小球在一个内壁棱长为5的正方体密闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是A．100 B．96 C．54 D．92参考答案：B3. 设向量a,b满足：则，|b|=A．1 B． C．2 D．8参考答案：C4. 若变量满足约束条件的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．3参考答案：D略5. 已知函数，若是从1，2，3三个数中任取的一个数，是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A. B.C. D.参考答案：D略6. 如图，在棱长为1的正方体的对角线上任取一点P，以为球心，为半径作一个球设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图象最有可能的是（）A、 B、C、D、参考答案：B7. 函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】对数函数的图象与性质．【专题】数形结合．【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选D【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．8. (2012·广州模拟)设命题p和q，在下列结论中，正确的是()①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．A．①② B．①③C．②④ D．③④参考答案：B9. 定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（）A．(0,+∞)B．(－∞,0)∪(3,+ ∞)C．(－∞,0)∪(0,+∞)D．(3,+ ∞)参考答案：B令而等价于,选A.10. 已知函数的反函数，则等于A． B． C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若函数f（x）满足，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x，若在区间[﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx+m有两个零点，则实数m的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据，当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x，求出x∈（0，1）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx+m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．【解答】解：∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=x，∴当x∈（0，1]时，x﹣1∈（﹣1，0），，可得x﹣1=，所以f（x）=，作出f（x）在[﹣1，1）上的图象，如图：因为g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，所以y=f（x）的图象与直线y=mx﹣m有两个交点，由图象可知m∈（0，]．故答案为：（0，]．【点评】此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．12. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，,，则此球的表面积等于参考答案：13. 在平面直角坐标系中，若点到直线的距离为，且点在不等式表示的平面区域内，则.参考答案：略14. 已知定义在R上的偶函数，且当时，单调递减，给出以下四个命题：①②直线为函数的一条对称轴；③函数在上单调递增；④若方程在上两根，则。
广东省江门市新会实验中学2020年高三数学理期末试卷含解析
广东省江门市新会实验中学2020年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设当时，函数取得最大值，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】由辅助角公式可确定，从而得到；利用同角三角函数平方关系可构造出方程组求得结果.【详解】，其中，即又【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.2. 设，，则A．B．C．D．参考答案：B3. “1gx,1gy,1gz成等差数列”是“y2=x·z”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．1 B．2C．3 D．4参考答案：A5. 已知函数是偶函数，上是单调减函数，则A. B.C. D.参考答案：A略6. 若函数的值域为R，则实数m的取值范围为(A) (B)(—∞,0) (C) (D)参考答案：C7. 下列命题中，是假命题的为…………………………………………………………………………（）平行于同一直线的两个平面平行. 平行于同一平面的两个平面平行.垂直于同一平面的两条直线平行. 垂直于同一直线的两个平面平行.参考答案：A8. 函数f（x）=的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）∵y=在定义域上为增函数，y=﹣在定义域上为增函数∴函数f（x）=在定义域上为增函数而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0故函数f（x）=的零点个数为1个故选B【点评】本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题9. 已知集合，则M的非空子集的个数是（）A．15 B．16 C．7 D．8参考答案：C10. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为．参考答案：【知识点】定积分B13【答案解析】解析：解：如图所示：联立解得，∴M（4，2）．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积S===．故答案为．【思路点拨】利用微积分基本定理即可求出12. 已知数列的前项和满足，则数列的通项公式________．参考答案：13. 设{a n }是首项为，公差为1的等差数列，S n 为其前n 项和．若成等比数列，则的值为______．参考答案：14. 各项都为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则= ▲ ．参考答案：略15. 已知函数，，给出下列结论：①函数f(x)的值域为；②函数g(x)在[0，1]上是增函数；③对任意a 〉0，方程f(x)=g(x)在[0，1]内恒有解；④若存在，使得成立，则实数a 的取值范围是.其中所有正确结论的番号是__________.参考答案：略16. 若S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则S 6：S 3= ．参考答案：﹣7考点：等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式进行求解即可．解答： 解：由8a 2+a 5=0得a 5=﹣8a 2，即，∴q=﹣2，则===1+q3=1﹣8=﹣7，故答案为：﹣7．点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，根据条件求出公比是解决本题的关键．17. 直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则实数m的取值范围是．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020-2021学年广东省江门市新会大泽华侨中学高三数学理测试题含解析
2020-2021学年广东省江门市新会大泽华侨中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如果执行右边框图，，则输出的数S与输入的N的关系是（）A. B.C. D.参考答案：A2. 运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a参考答案：A【考点】程序框图．【分析】分析程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，写出运行结果即可．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，程序运行后输出的是c≤b≤a．故选：A．3. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为2，8，则输出的a等于（）A．4 B．0 C．14 D．2参考答案：D【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算2，8的最大公约数，由2，8的最大公约数为2，故选：D【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多或有规律时，可采用模拟运行的办法解答．4. 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数的图象上；②P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)。
已知函数，有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是（）A． B．（0，1） C．（0，） D．参考答案：B根据题意可知，“伙伴点组”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称．可作出函数y= （x＜0）关于原点对称的函数y= （）的图象，使它与函数y= （）交点个数为2个即可．利用导数可求得函数y= （）过点的切线斜率为1，结合图象可知时有两个交点．【考点】函数的性质、数形结合、切线斜率．5. 设若在方向上的投影为2，且在方向上的投影为1，则与的夹角等于（A）（B）（C）（D）或参考答案：B略6. 对任意实数a,b定义运算如下，则函数的值域为 ( )A. B. C. D.参考答案：B略7. 设函数，若则（）A. B. C. D.参考答案：D8. 设集合，则 ( )A. B. C. D.参考答案：B略9. 已知函数（a，c为实数）为偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则的解集为（）A．(0,2) B．(－2,0) C．(－∞,－2)∪(0,+∞) D．(－∞,0)∪(2,+∞)参考答案：D10. 已知集合，,则A． B．C． D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为 .参考答案：11略12. 已知点，，，其中为正整数，设表示△的面积，则___________．参考答案：过A,B 的直线方程为，即，点到直线的距离，，所以，所以。
2019届广东省江门市高三调研测试数学(理)试题 word版
2019届广东省江门市高三调研测试数学（理科） 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-<，{|21}x B x =≥，则AB =（ ）A ．(,3]-∞-B ．(,1]-∞C ．(3,0]-D ．[0,1) 2. i 是虚数单位，R 是实数集，a R ∈，若12a iR i+∈-，则a =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 3.已知:0p a <；2:q a a >，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4. e 是自然对数的底数，若1(,1)x e -∈，ln a x =，1()2xb =，xc e =，则（ ）A ．b c a >>B ．a b c >> C. c b a >> D ．c a b >> 5.若||1a =，||2b =，()(2)1a b a b +-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．3π-B ．6π-C.3π D ．6π 6.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线222813x y p-=的右焦点，则此双曲线的离心率为（ ）A 7.已知点(,)a b 在直线230x y ++=上运动，则24ab+有（ ）A ．最大值16B 最小值16 D 8.已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//m n ，//m α ⇒ //n α ②//αβ，//m n ， m α⊥⇒ n β⊥ ③m n ⊥，m α⊥⇒ //n α，或n α⊂ ④αβ⊥，//m α ⇒ m β⊥ 其中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．49.正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =，2635128a a a a +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n N +∀∈，1n n S a +≤ B ．n N +∃∈，312n n n n a a a a ++++=+ C. n N +∀∈，12n n n a a a ++≤ D ．n N +∃∈，212n n n a a a +++= 10.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像（ ） A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称 C. 关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 11.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度为（ ）A ．4B ．3 C.．12.设m R ∈，函数22()()()x f x x m e m =-+-（e 是自然对数的底数），若存在0x 使得01()2f x ≤，则m =（ ） A ．14 B ．13 C. 12D ．1 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线20x y +=被曲线222610x y x y +--+=所截得的弦长等于 ．14.已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是 ．15.球O 是正方体1111ABCD A BC D -的外接球，若正方体1111ABCD A BC D -的表面积为1S ，球O 的表面积为2S ，则12S S = ． 16.已知函数cos ,[,0]2()(0,1]x x f x x π⎧∈-⎪=∈，若12()f x dx π-=⎰ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求A ；（2）若7,8a b ==，求c .18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，n N +∀∈，11(21)44n n S n a =++. （1）求123,,a a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法给予证明.19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若AB BC =，13CBB π∠=，12CAB π∠=，求直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值.20. 在平面直角坐标系Oxy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，P 为不在x 轴上的动点，直线PA 、PB 的斜率满足14PA PB k k =-.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）若(3,0)T ，,M N 是轨迹Γ上两点，1MN k =，求TMN ∆面积的最大值. 21. 已知函数()ln f x x ax =-，a 是常数且a R ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(1,0)-，求a 的值；（2）若10a e<<（e 是自然对数的底数），试证明：①函数()f x 有两个零点，②函数()f x 的两个零点12,x x 满足122x x e +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）证明：直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，并求点(1,2)M 到,A B 两点的距离之积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()||2f x x a x =-+，a 是常数，且a R ∈. （1）求不等式()21f x x ≤+的解集；（2）若1x ≥-时恒有()0f x ≥，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DBACC 6-10:ADBAC 11、12：BC 二、填空题13. 4 14. (,2)-∞- 15. 2π16. 14π+三、解答题17.（1）由余弦定理222cos 2c a b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=，得2cos cos acosA b C c B a =+= ∴1cos 2A =∵0A π<<，∴3A π=.（方法二）由正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， 得4sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin()R A A R B C R C B R B C =+=+A B C π++=，所以1cos 2A =， ∵0A π<<，∴3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得222178282c c =+-⨯⨯⨯ 即28150c c -+= 解得：3c =或5c =. 18.（1）分别取1,2,3n =得1113144S a a ==+，21225144S a a a =+=+，312337144S a a a a =++=+， 解得11a =，23a =，35a =. （2）猜想21n a n =-1n =时，由（1）知，11211a ==⨯-，猜想成立，假设()n k k N +=∈时，21k a k =-则1111111[(23)][(21)]4444k k k k k a S S k a k a +++=-=++-++111(23)(21)44k k k a k a +=+-+ 所以111(21)(21)44k k k a k a +-=+因为21k a k =-，所以1212(1)1k a k k +=+=+- 所以，1n k =+时21n a n =-成立， 综上所述，任意n N +∈，21n a n =-. 19.（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接AO ，∵四边形11BB C C 是菱形，∴11BC B C ⊥且O 为1B C 中点， ∵1AB B C ⊥，1ABBC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥， O 为1B C 中点，AO 为1B C 的垂直平分线，∴1AC AB =.（2）不妨设2AB BC ==，则1BO C O ==11CO B O ==， ∵12CAB π∠=，∴1AO =，2224AB BO AO =+=，AO BO ⊥又1AO B C ⊥，1B C BO O =，∴AO ⊥平面11BB C C（方法一）以O 为原点，1,,OB OB OA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则(0,0,1)A，B ，1(0,1,0)B ，(0,1,0)C - 设平面ABC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则30n AB a c n AC bc ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩， b c -==，设(1,3,n =-，直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB 与平面ABC 所成角的正弦值为111|||cos ,|7||||2n AB n AB n AB <>===（方法二）设点1B 到平面ABC 的距离为h ， 三棱锥1A BCB -的体积113BCB V S AO ∆=⨯⨯三棱锥1B ABC -的体积1=36ABC V S h h ∆=⨯⨯=，得h =直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB 与平面ABC 所成角的正弦值为17h AB ==. 20.（1）设(,)P x y 为轨迹Γ上任意一点， 依题意，1224y y x x ⨯=-+-， 整理化简得：221(0)4x y y +=≠ （2）设:MN y x b =+由2214x y y x b⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2252(1)04x bx b ++-=，250b ∆=->设1122(,),(,)M x y N x y ，则1285x x b +=-，2124(1)5x x b =-，12|||MN x x =-=T 到直线MN的距离d =TMN ∆的面积1||2S MN d =⨯⨯==设22()(3)(5)f x x x =+-，'()2(3)(1)(25)f x x x x =-+-+解'()0f x =，得1x =或52x =-或3x =- 因为250b ∆=->，即'()0f x =有且仅有一个解1x =，TMN ∆165=. 21.（1）切线的斜率'(1)1k f a ==-(1)f a =-，(1)01(1)2f ak -==---解12aa -=-，得2a = （2）①解1'()0f x a x =-=，得1x a=当10x a <<时，'()0f x >；当1x a>时，'()0f x <，所以()f x 在1x a =处取得最大值1()ln 1f a a=--(1)0f a =-<，因为10a e <<，所以1()ln 10f a a =-->，()f x 在区间1(1,)a有零点，因为()f x 在区间1(0,)a 单调递增，所以()f x 在区间1(0,)a有唯一零点.由幂函数与对数函数单调性比较及()f x 的单调性知，()f x 在区间1(,)a+∞有唯一零点，从而函数()f x 有两个零点. ②不妨设1210x x a <<<，作函数2()()()F x f x f x a =--，20x a<<， 则1()0F a =，222(1)'()'()'()0(2)ax F x f x f x a x ax -=+-=≥-所以11()()0F x F a <=，即112()()0f x f x a --<，112()()f x f x a->又12()()f x f x =，所以122()()f x f x a->因为1210x x a <<<，所以1221,(,)x x a a -∈+∞，因为()f x 在区间1(,)a+∞单调递减，所以122x x a -<，122x x a+>又10a e <<，1e a>，所以122x x e +>22.（1）由1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去参数得直线l 的普通方程为30x y +-= 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=（2）方法一：将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得22(1)(2)4(1)0222++--+=即210t -+=24140∆=-=>，方程有两个不同的根，即直线与曲线相交于两点由参数t 的几何意义得12||||||1MA MB t t ==（方法二）由224030x y x x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得：x =17y =，||||[[122MA MB =⨯-= 23.（1）依题意，||1x a -≤11x a -≤-≤，11a x a -≤≤+不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+（2）()0f x ≥即||20x a x -+≥等价于30x a x a ≥⎧⎨-≥⎩或0x ax a <⎧⎨+≥⎩等价于3x aa x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或x a x a <⎧⎨≥-⎩ 当0a ≥时，原不等式的解集为{|}x x a ≥{|}x a x a -≤<{|}x x a =≥-当0a <时，原不等式的解集为{|}3ax x ≥因为1x ≥-时，()0f x ≥恒成立，所以01a a ≥⎧⎨-≤-⎩或013a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞（方法二）3,(),x a x af x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩()f x 是单调递增函数，当1x ≥-时，()f x 的最小值为(1)|1|2f a -=+-()0f x ≥恒成立当且仅当|1|20a +-≥，即|1|2a +≥解得：1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞.。
2019年广东省江门市普通高中高三调研测试数学(理)试题及答案
图1高考数学精品复习资料2019.5江门市普通高中高三调研测试数 学（理科）本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．3223333)(b ab b a a b a +++=+一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知R 为实数集，{}x x x A 332|<-=，{}2|≥=x x B ，则=B AA ．{}2|≥x xB ．{}3|->x xC ．{}32|<≤x xD ．R ⒉ i 是虚数单位，则=+--)2321)(2123(i i A ．1 B ．i 2321+- C ．i 2321- D ．i 2321--⒊已知三个实数：213=a 、321(=b 、21log 3=c ，它们之间的大小关系是 A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．c a b >> ⒋已知 a 是非零向量， c b ≠，则“ c a b a ⋅=⋅”是“) ( c b a -⊥”成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件⒌如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为 A ．4 B ．8秘密★启用前 试卷类型：B图2C ．π2D ．π4⒍在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若075=∠A 、060=∠B 、10=c ，则=b A ．35 B ．65 C ．310 D ．610 ⒎在同一直角坐标系中，直线143=+yx 与圆044222=--++y x y x 的位置关系是 A ．直线经过圆心 B ．相交但不经过圆心 C ．相切 D ．相离⒏已知函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则常数a 的取值范围是 A ．)2 , (--∞ B ．)1 , (--∞ C ．) , 1(∞+ D ．) , 2(∞+二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐双曲线14416922=-y x 的离心率=e ．⒑△ABC 是等腰直角三角形，已知A(1，1)，B(1，3)，AB ⊥BC ，点C 在第一象限，点) , (y x 在△ABC 内部，则点C 的坐标为 ，y x z -=2的最大值是 ．⒒如图2，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是 ．⒓若⎩⎨⎧>-≤-=0 , 20, )(2x x x x x x f ，则)(x f 的最小值是 ．⒔已知数列{}n a 满足411-=a ，111--=n n a a （1>n ），计算并观察数列{}n a 的前若干项，根据前若干项的变化规律推测，=2015a ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） ⒕计算定积分：⎰=411dx x．⒖已知定义在区间) , (ππ-上的函数x x x x f cos sin )(+=，则)(x f 的单调递增区间是 ．PABCDFE图3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈． ⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ； ⑵若3182(-=+παf ，求αcos 的值．⒘（本小题满分14分）已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵对一切正整数n ，设1)1(+⋅-=n n n n a a nb ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．⒙（本小题满分14分）如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ．E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．⑴求证：PA//平面EDB ；⑵求证：PF=31PB ；⑶求二面角C -PB -D 的大小．⒚（本小题满分12分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方．．成正比，如果此船速度是10km/h ，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为500元/时，在100 km 航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？⒛（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别是) 3 , 0 (-、) 3 , 0 (，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是21-． ⑴求点M 的轨迹L 方程；⑵若直线 l 经过点) 1 , 4 (P ，与轨迹L 有且仅有一个公共点，求直线 l 的方程．21（本小题满分14分）已知函数1)(23-+=ax x x f （R a ∈是常数）．⑴设3-=a ，1x x =、2x x =是函数)(x f y =的极值点，试证明曲线)(x f y =关于点) )2( , 2(2121x x f x x M ++对称； ⑵是否存在常数a ，使得] 5 , 1 [-∈∀x ，33|)(|≤x f 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：曲线)(x f y =关于点M 对称是指，对于曲线)(x f y =上任意一点P ，若点P 关于M 的对称点为Q ，则Q 在曲线)(x f y =上．）评分参考一、选择题 BDAD CBBA二、填空题 ⒐45⒑(3，3)，3……第1空3分（横坐标、纵坐标、格式各1分），第2空2分 ⒒2π⒓1- ⒔5 ⒕2 ⒖] 2 , (ππ--和]2, 0[π……端点对给分；对1个给3分，全对5分三、解答题⒗解：⑴x x x f 2cos 12sin )(-+=……2分，1)42sin(2+-=πx ……4分最小正周期ππ==22T ……5分，最大值12+=M ……6分 ⑵依题意，311]4)82(2sin[2-=+-+ππα……7分 即311sin 2-=+α……8分，322sin -=α……10分31sin 1cos 2±=-±=αα……12分⒘解：⑴依题意，数列{}n a 的公差223=-=a a d ……2分∵d a a +=12……3分，∴121=-=d a a ……4分（或：设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+52311d a d a ……2分，解得⎩⎨⎧==211d a ……4分）数列{}n a 的通项公式12)1(1-=-+=n d n a a n ……6分 ⑵由⑴得121+=+n a n ，)12)(12()1()1(1+--=⋅-=+n n n a a n b n n n n n ……7分 ]12)1(12)1([41+-+--=n n n n ……9分 1>n 时，]}12)1(12)1([)5131()311{(4121+-+--++++--=+++=n n b b b S n n n n ……11分，)12(412)1(]12)1(1[41+---=+-+-=n n n n n ……13分1=n 时，3111-==b S 也符合上式，∴*N n ∈∀，)12(412)1(+---=n n S n n ……14分 ⒙证明与求解：（方法一）⑴连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点……1分OE 是△PAC 的中位线，OE//PA ……2分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB ……4分 ⑵∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ……5分∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PD CD=D ，∴BC ⊥平面PCD ……6分 BC ⊥PC ，EF ⊥PB ，∠BPC 是公共角，∴△PEF ～△PBC ……7分设PD=DC a =，则PC a 2=，PB a 3=，a PC PB PE PF 33=⨯==31PB ……8分⑶由⑵知BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE ……9分∵PD=DC ，E 是PC 的中点，∴PC ⊥DE ，∵PC BC=C ，∴DE ⊥平面PBC ……10分 DE ⊥PB ，EF ⊥PB ，DE EF=E ，∴PB ⊥平面DEF ……11分 ∴PB ⊥DF ，∠DFE 是二面角C -PB -D 的平面角……12分在△DFE 中，∵DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥EF ，DE a 22=……13分a BC PB PE EF 66=⨯=，tan ∠DFE 3==EF DE ，∠DFE 3π=……14分（方法二）⑴以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系……1分，设PD=DC=1，则)0 , 0 , 0(D ，)0 , 0 , 1(A ，)0 , 1 , 1(B ，)0 , 1 , 0(C ，)1 , 0 , 0(P ……2分，连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点，)0 , 21, 21(O ……3分E 是PC 的中点，∴)21 , 21 , 0(E ，)21, 0 , 21(-=……4分)1 , 0 , 1(-=，2-=，PA//OE ……5分 OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，，∴PA//平面EDB ……6分 ⑵设)1 , 1 , 1(-==λλ……7分，则)21, 21 , (+--=+=λλλ……8分∵EF ⊥PB ，∴0)1 , 1 , 1()21, 21 , (=-⋅+--=⋅λλλPB EF ……9分即013=-λ，解得31=λ，PF=31PB ……10分⑶由⑵知)61, 61 , 31(-=EF ，)32 , 31 , 31()1 , , (=-=+=λλλ……11分0)1 , 1 , 1()32, 31 , 31(=-⋅=⋅，∴DF ⊥PB ，∠DFE 是二面角C -PB -D 的平面角 (12)分，21cos =∠DFE ……13分，∠DFE 3π=……14分⑶（方法三）平面PBD 的一个法向量是)0 , 1 , 1(-=AC ……11分平面PBC 的一个法向量是)21, 21 , 0(=……12分21,cos =<DE AC ……13分所以，3,π>=<，二面角C -PB -D 的大小为3π……14分 （各评卷点、评卷教师请注意：本题方法一⑴⑵⑶问的给分依次是4分、4分、6分，而方法二三⑴⑵⑶问的给分依次是6分、4分、4分，因此，本题的给分板⑴⑵⑶问分别设计为6分、4分、6分，评卷时要么按方法一给分，要么按方法二三给分）⒚解：设每小时燃料费与航速平方的比例系数为k ，则21080⨯=k ……1分解得54=k ……2分 设航速为x km/h 时，总费用为y 元，则 500100100542⨯+⨯=x x x y ……5分，xx 5000080+=……6分 （方法一）令050000802/=-=x y ……8分，解得25=x （负值舍去）……9分250<<x 时，0/<y ，25>x 时，0/>y ，∴25=x 是极小值点，也是最小值点 ……10分，此时400025500002580=+⨯=y （元）……11分 （方法二）∵0>x ，∴xx y 50000802⨯≥……8分，4000=（元）……9分 等号成立当且仅当xx 5000080=……10分，解得25=x （负值舍去）……11分 答：航速为25km/h 时，总费用最少，此时总费用为4000元……12分⒛解：⑴设M （x ，y ）是轨迹上任意一点，x y k AM 3+=，xy k BM 3-=……2分 依题意，2133-=-⋅+=⋅x y x y k k BM AM ……4分 整理化简得轨迹方程为191822=+y x ，其中0≠x ……6分⑵显然所求直线 l 存在斜率，设l ：)4(1-=-x k y ……7分①当直线 l 经过A 点时，14013=---=k ……8分，代入)4(1-=-x k y 得3-=x y……9分；②当直线 l 经过B 点时，214013-=--=k ……10分，代入)4(1-=-x k y 得321+-=x y ……11分③当点P 为切点时，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+)4(1191822x k y y x 得 0)161632()14(4)12(222=--+--+k k x k k x k ……12分解044)161632)(12(4)]14(4[2222=++=--+---=∆k k k k k k k 得2-=k ……13分代入)4(1-=-x k y 得92+-=x y ，综上所述，直线 l 的方程为321+-=x y 或3-=x y 或92+-=x y ……14分（注：①②③三种情况独立给分）21．证明与求解：⑴13)(23--=x x x f ，x x x f 63)(2/-=……1分解0)(/=x f 得01=x ，22=x ……2分，) )2( , 2 (2121x x f x x M ++即) 3 , 1(-M ……3分曲线)(x f y =上任意一点)13 , (20300--x x x P 关于M 对称的点为) 53 , 2(20300-+--x x x Q ……4分直接计算知，531)2(3)2()2(203020300-+-=----=-x x x x x f ，点Q 在曲线)(x f y =上，所以，曲线)(x f y =关于点M 对称……5分⑵（方法一）33|)(|≤x f 即33|1|23≤-+ax x ，3313323≤-+≤-ax x ……6分 0=x 时，不等式恒成立……7分；0≠x 时，不等式等价于23233432x x a x x -≤≤+-……8分 作22313232)(x x x x x g --=+-=，22323434)(x x x x x g +-=-=，3/1641)(x x g +-=，3/2681)(x g --=……9分，解0)(/1=x g 、0)(/2=x g 得41=x 、3268-=x ……10分31)1(1-=-g ，6)4(1-=g ，23132)(xx x g +-=在]5 , 0()0 , 1[ -的最大值为6-；35)(2=-g ，2591)5(2-=g ，23234)(x x x g -=在]5 , 0()0 , 1[ -的最小值为2591-……13分 综上所述，a 的取值范围为]2591, 6[--……14分 （方法二）ax x x f 23)(2/+=，0=a 时，1)(3-=x x f 不符合题意，∴0≠a ，解0)(/=x f 得01=x ，322ax -=……6分 当]5 , 1[322-∉-=ax 时，)(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x ……7分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-<->-33|)5(|33|)1(|33|)0(|132532f f f a a 或……8分，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤->-<33|12425|33|2|23215a a a a 或……9分，解集为空集φ……10分 当]5 , 1[322-∈-=ax )(x f 在]5 , 1[-内的极值点为1x 、2x ……11分，33|)(|≤x f 当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-≤-≤≤-≤-33|)5(|33|)1(|33|)32(|33|)0(|5321f f a f f a ……12分，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+≤-≤-≤≤-33|12425|33|2|33|1274|232153a a a a ……13分，解集为]2591 , 6[--，∵]2591 , 6[]2591 , 6[--=--φ ，∴a 的取值范围为]2591, 6[--……14分。
广东省江门市新会华侨中学2020届高三下学期测试数学试题(理)(解析版)(1)
广东省江门市新会华侨中学2020届高三下学期测试数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合(){}2|{()|},1,A x y xy B x y yx ====，，则A B =（ ）A. {}0,1B.(){}1,1 C.()(){}0,0,1,1D. ∅『答案』B 『解析』集合(){}|,1A x y xy ==表示曲线1xy =上的点组成的集合.集合2{()|}B x y y x ==，表示曲线2y x =上的点组成的集合.由21xy y x =⎧⎨=⎩解得：1,1x y ==. 所以AB =(){}1,1.故选：B. 2.实数1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件『答案』A 『解析』()11,ai ia i +=-在复平面内表示的点的坐标为(),1a -. 当1a >时，点(),1a -在第四象限，反之当点(),1a -在第四象限时，0a > 所以实数1a >是复数()1(1ai i i+为虚数单位)在复平面内位于第四象限充分非必要条件. 故选：A.3.设等比数列{}n a 满足131533a a a a +=-=-,，则7a =（ ） A. 8 B. 8- C. 6 D. 6-『答案』A『解析』设等比数列{}n a 的公比为q ,133a a +=，即()2113a q +=①153a a -=-，即()4113a q -=-②由÷②①得: 211q -=-,即212,1q a ==.则1n nn a a q q == 所以()36278a q q ===故选：A.4.古希腊帕特农神庙在建筑设计中多次运用宽与长的比为110.61822⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金矩形.如图，矩形AEFD 与矩形BEFC 都是黄金矩形.现随机从矩形AEFD 中取一点，则取自矩形ABCD 的概率为（ ）A.12B. 3C.352D.2『答案』A『解析』设1EF =，则由条件有CF EF =.则CF =，所以AE =故1AB =.所以矩形AEFD的面积为11122S AE EF =⨯=⨯=矩形ABCD 的面积为11=1S AB BC =⨯=⨯取自矩形ABCD的概率为P==故选:A.5.设向量()()()1,00,12,1a b c ===,,，则()λ-⊥a b c 的充要条件是实数λ=（ ） A. 3- B.2C. 2-D. 3『答案』B『解析』由向量()()()1,00,12,1a b c ===,, 则()1,a b λλ-=-，由()λ-⊥a b c . 则()0a b c λ-⋅=，即()()1,2,10λ-⋅=. 所以()1210λ⨯+-⨯=，故2λ=， 故选：B.6.在下列四个图象中，函数()f x xsin x π=与()g x xcos x π=的大致图像依次对应为（ ）A. ①②B. ①④C. ③②D. ③④『答案』D『解析』函数()f x xsin x π=为偶函数，所以()f x 的图像只能在①、③中选择. 又3322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，排除①，应选③； 函数()g x xcos x π=为奇函数，所以()g x 的图像只能再,②、④中选择. 又()11,g =-排除,②应选④， 故选:D.7.若,x y 满足约束条件2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩，则（ ）A. z x y =+有最小值B. z x y =+无最大值C. 2z x y =+有最小值D. 2z x y =+无最大值『答案』D 『解析』由2020x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩知，可行域在两相交直线的下方.z x y =+与边界线20x y +-=平行，显然有最大值，无最小值，A 、B 不正确.由于可行域不封闭，如图，2z x y =+向左、右平移始终与可行域有交点. 所以2z x y =+无最大值，也无最小值. 故选:D.8.执行如图所示的程序框图，如果输入的10241n S ==，，则输出的n 的结果是（ ）A.2 B. 3C.4 D. 5『答案』B『解析』设输出的n 值为m .由框图可知程序是对数列(){}log 1n n -求积.所以()()10241023111023102210.11024m lg m S log log log m lg -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-=≤化简得()1024log 10.1m -≤，即()21log 10.110m -≤，所以()2log 11m -≤ 得3m ≤.所以当3n =时，程序退出循环，结束，输出3n = 故选:B.9.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，左右焦点分别为12F F 、，直线2F A 与C 的一条渐近线垂直，垂足为,A 若三角形12AF F 的面积为2.则12AF AF ⋅=（ ）A. B. C. D.『答案』C『解析』由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>由2222212c b e a a==-=，可得a b =.所以双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线为y x =± ，即245F OA ∠=︒.由条件设2AF 垂直于渐近线y x =，如图.则2AF =. 过点A 作AH x ⊥轴，交x 轴于点H .又在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=︒,，2F A OA ==所以221122OA AF OF AH ⨯⨯=⨯⨯,222OA AF c AH OF ⋅== 故12AF F △面积为112222c c ⋅⋅=， 所以2c =，则2AF ==1AH OH ==,1AF ==12AF AF ==⋅故选:C.10.我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行”，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论.依此理论，每次随机任取两行，重复取10次，若取出的两行为“生"的次数记为X ，则()E X 与()D X 的值分别为（ ）A. 91,10B. 213,10C. 55,2D. 217,10『答案』C『解析』设从五行中随机任取两行为“生”的事件为,A 则()25512P A C == 依题意，随机变量X 服从二项分布，有()~10,0.5X B ， 故()()5 2.5,E X D X ==, 故选:C.11.如图，正方形网格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有的表面中面积最大的值为（ ）A. 8B. 12C. 18D.22『答案』C『解析』由三视图可知该几何体为图中的三棱台111B FE A AD -，根据三视图可知，正方体的棱长为4，,E F 分别为111,BB B C 的中点. 侧面11111,AA B E A D FB 为全等的两个直角梯形,即面积为：424122S +=⨯=. 设11,AD A D 相交于H ,1,EF B C 相交于G ，则,H G 分别为1,A D FE 的中点. 侧面1EFD A 是等腰梯形，如图在矩形11A B CD 中，11AD A D ⊥,1AD CD ⊥ 所以1AD ⊥平面11A B CD ，则1AD HG ⊥,所以梯形1EFD A 的高为HG取1A H 的中点P ,则1//PB HG ,所以1GH B P ===其面积为1(18.2⨯⨯= 该几何体所有的表面中最大的值为18.故选:C.12.函数()()()f x g x h x 、、中，()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx =；函数(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩；函数()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-.现给出()f x ①是偶函数；()g x ②在R 上单调递增；()h x ③无最大值；()h x ④有5个零点这四个结论，则正确结论编号是（ ）A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④『答案』D『解析』()f x 满足对,x R ∀∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x cosx = 将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像. 将()f x 在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图像. 将()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像向左平移个π单位,再将纵坐标变为为原来的12 ，得到3,22ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的图像， 依此类推可得()f x 的图像，如图.的所以()f x 不周期函数，所以①错误.由(),0,0x x g x log x x ππ⎧≤=⎨>⎩，作出其函数图像，如图.由图显然()g x 在R 上不是单调递增函数，所以②错误. 当x 大于0，且0x →时，log x π→-∞.所以当x 大于0，且0x →时()()() h x f x g x =-→+∞.所以()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-无最大值,故③正确.函数()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-的零点个数,即函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上交点的个数.作出函数()y f x =与()y g x =的图像,如同由图像可知, 函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上有5个交点,故④正确. 故选: D.二、填空题（每题5分，满分20分）13.随机变量X 满足2~202()0,X N σ，()20050.2P X <=，则()20202035P X <<=_________.是『答案』0.3『解析』随机变量X 满足2~202()0,X N σ，则可知对于的正态分布曲线的对称轴为2020， 又()20050.2P X <=，则()200520200.3P X <<=.20052020X <<,与20202035X <<，在正态曲线中是关于对称轴对称的.所以由正态曲线的对称性可得()()20052020202020350.3P X P X <<=<<= 所以()202020350.3P X <<=. 故答案为：0.314.若()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中x 的系数为8，则展开式中的常数项是__________(用数字作答) 『答案』13『解析』由()244421111111+ax ax x x x ⎛⎫⎛++++⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式的通项公式为141rr r T C x +⎛⎫= ⎪⎝⎭由于411x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的展开式中不含x 的项，∴()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项为1421ax C x ⋅所以()24111ax x +⎛⎫ ⎪⎝⎭+展开式中含x 的项的系数为14a C ⋅由x 的系数为148a C ⋅=，可得2a =.故展开式中的常数项是241213C +=.故答案为：13.15.已知正项数列{}n a 满足()21n n n S a a =+，则100S =__________. 『答案』5050『解析』由己知得: 1a =， 又()21n n n S a a =+①得()()111212n n n S a a n ---=+≥②-①②得:()()11211n n n n n a a a a a --=+-+，整理得:()()1110n n n n a a a a --+--= 因为{}n a 是正项数列， 所以-11n n a a -=， 故()11n a n n =+-= 所以100110010050502S +=⨯=. 故答案为：505016.如图，半径为5的圆与边长为2x 的正方形中心重合，点E F G H 、、、都在圆周上，图中以虚线为腰、正方形的边为底的四个全等的等腰三角形分别沿各自的底折起后得到一个EFGH 重合的正四棱锥.若当x 变化时得到一个体积最大的正四棱锥，则此时的四棱锥的外接球半径为________.『解析』连接OF 交AB 于I ，如图，则OI x =，5FI x =-.则正四棱锥的高为h =依题意，此时的四棱锥体积为:()2143E FGH ABCD V x -=⨯=令()()4552,0,2g x xx x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 则()()343'2010102,g x x x x x =-=-可知当2x =时，此时()()E FGH ABCD maxV -这时，棱锥的高为OE ==，又OB =BE == 设此时的四棱锥的外接球半径为R ，球心为O '.则由Rt BOO '△中OO R '=, OB =BO R '=.则222O B OB OO ''=+,即)(222R R=+,解得10R =所以此时的四棱锥的外接球半径为10故答案为：10. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知464,b asinB co A s π⎛+==⎫⎪⎝⎭. （1）求A ； （2）若3,a AD DC AE EB ===,求DE 的长. ,解：（1）依题意，6A asinB bcos π⎛⎫+⎝=⎪⎭由正弦定理得6sinAsinB sinBcos A π⎛=⎫+⎪⎝⎭0B π<<. 0sinB ∴≠故sin cos 6A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即122sinA sinA =-即3,2sinA =即tanA =0A π<<6A π∴=（2）由正弦定理a b sinA sinB =得: b sinB sinA a ==ABC 是锐角三角形，故3B π=，所以90C AB ==, 3AE EB =，故AE = AD DC =,故2AD =.在ADE 中，由余弦定理可得:2412224DE =+-⨯⨯=， 故2DE =18.如图，矩形ABCD 所在的平面与正三角形CDE 所在的平面互相垂直，F 为CE 的中点，连接AE BE 、.,（1）证明:平面AFD ⊥平面CBE ；（2）若直线AF 与平面CDE 所成的角为045，求二面角E AC D --的余弦值. （1）证明:连接.DF三角形CDE 为正三角形，F 为CE 的中点，EC DF ∴⊥平面ABCD ⊥平面CDE ， 平面ABCD平面,CDE CD =,AD CD AD ⊥⊂平面CDEAD ∴⊥平面CDEEC ⊂平面CDE . AD EC ∴⊥AD DF D ⋂=，AD ⊂平面,ADF FD ⊂平面ADF ， EC ∴⊥平面ADFEC ∴⊂平面CBE∴平面AFD ⊥平面CBE（2）解：取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系，如图.直线AF 与平面CDE 所成的角即为45AFD ∠=︒， 故AD DF =. 设2CD =， 则5AD DF ==，)E ，()0,1,0C，(()0,0,1,0A D --，故()3,1,0CE =-，(0,CA =-设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，则00m CE m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即()()()(,,3,1,00,,0,0x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩即2yy ==⎪⎩ 令1x =，则2y z ==， 故1,3.()2m =.平面ABCD 的法向量为()1,0,0n =， 设所求二面角E AC D --的大小为θ，则,m n θ=由()1,0,024m n cos m nθ⋅⋅===⋅故二面角E AC D --的余弦值为:419.京广高速铁路(又称京广高铁)是中国运营中的高速客运专线之一，被誉为世界上运营里程最长的高速铁路，在出行人群中越来越受欢迎.现交通部门利用大数据工具随机抽取了沿线城市出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在这100名旅客中40岁(含)以下采用乘坐京广高铁出行的占34.（1）请完成的22⨯列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐京广高铁出行与年龄有关”?（2）为优化服务质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法随机抽取5人免费到广州参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份.由于年龄差异，规定40岁(含)以下的旅客若中奖每人得800元，40岁以上的旅客若中奖每人得1000元，这两个年龄段的得奖人数分别记为M 与N .设旅客抽奖所得的总金额为X 元，求X 的分布列与数学期望()E X .参考公式: ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.n a b c d =+++参考数据如表解：（1）由已知可得，40岁（含）以下采用乘坐京广高铁出行的有60454⨯=人22⨯列联表如表:由列联表中的数据计算可得2K 的观测值()21004530151024.2460405545k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于24.2410.828>，故有99.9%的把握认为“采用乘坐京广高铁出行与年龄有关”. （2）采用分层抽样的方法，从“40岁(含)以下”的人中抽取3人， 从“40岁以上”的人中抽取2人，8001000.X M N =+由30M N =⎧⎨=⎩或21M N =⎧⎨=⎩或12M N =⎧⎨=⎩ X 的可能取值为: 240026002800，， ()3032351240010C C P X C === ()2132356260010C C P X C ===()1232353280010C C P X C ===故分布列如表:数学期望()2400260028002640101010E X =⨯+⨯+⨯=.20.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F 、右顶点为,A 过右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆相交于B C 、两点，所得四边形1ABF C 为菱形，且其面积为323. （1）求椭圆的方程；（2）过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于D E 、两点，试求三角形2DEF 面积的最大值. 解：（1）如图，因椭圆的对称性及四边形为1ABF C 菱形知122F F F A =，即2c a c =-，即3a c =①令x c =，得点B 的纵坐标为2B b y a= 由四边形1ABF C 的面积为323故()2132223b ac a +⨯⋅=即28b =② 又222c a b =-③联立①②③得:2298a b ⎧=⎨=⎩故椭圆方程为22198x y（2）由()1知:()1121,02,F F F -=， 设直线l 的方程为:1,x ky =- 假设()()1122,,,D x y E x y .由221981,x y x ky ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得: ()229118ky y -+=即()228916640k y ky +--=由()()()2216489640k k =--+->得:210k +>，故k ∈R .12216,89k y y k +=+1226489y y k -=+2121212DEF SF F y y =⋅⋅-==(1,)t t =≥则()2224848481818198DEF t t St t t t===+-++设()()181f t t t t =+≥由()21'80f t t =->可知: ()()181f t t t t =+≥单调递增，()1891min f t =+=故()2max 163DEF S = 21.()sin 1( ()xf x sinx ex e ππ=+--<<已知函数为自然对数的底数).（1）求()f x 的单调递增区间与最小值； （2）设()12g x sinx x =-，证明:在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤.解：（1）()()sin sin 'cos cos 1xx f x cosx ex x e =-⋅=-令()0,f x '=则()sin 10xcosx e-=即0,cosx =或sin 10x e -= 当(),x ππ∈-时，2x π=-或0x =，或2x π=()()f x f x '、随(),x ππ∈-变化如下:所以，()f x 的单调递增区间为,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭与,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭()12f x e f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，或()22f x e f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭极小值因为12e e->- 故()2,f x e =-最小值（2）要证()()f x g x ≤即证sin 112xsinx esinx x +-≤-， 即证sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 『方法一』令()sinx 112g x x e =+-，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()()()sinx sinx sinx sin 011111cos cos 11110223222g x x e e e e π'=-⋅≤-⋅=-≤-=-= 故()sinx 112g x x e =+-在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()00100g x g e ==+-=最大值即sinx 1102x e +-≤在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤ 『方法二』只需证sinx 112e x ≥+在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立 因1t e t ≥+为恒成立，即sin 1 x e sin x ≥+恒成立， 故需证1112sinx x +≥+上成立， 即证 20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立. 令()2,h x sinx x =-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ()'210,h x cosx =-≥故()h x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()() 00h x h ==最小值即20sinx x -≥在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上成立， 故在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()f x g x ≤. 22.已知*,n N ∈在直角坐标系xOy 中，曲线n C 的参数方程为2x nt y nt⎧=⎨=⎩( t 为参数)，直线n l 的普通方程为40309x y n+-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）当1n =时，求曲线1C 的极坐标方程；（2）设射线000(,)':0903l tan θθθθ=<<=与,n n C l 分别交于n n A B 、两点，设(),n n n ON f OB =+求()f n 的最小值.解：（1）曲线n C 的普通方程为2y nx = 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()2sin sin n ρθρθ=，即2sin cos n ρθθ= 1n =时，曲线1C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ= （2）由题意可得：000tan 3sin θθθ=⇒== 直线n l 的极坐标方程为40sin 3sin 9n ρθρθ+=，可得()409cos 3sin n ρθθ=+故4099310n OB n n ==+⎪⎭同理，2cos sin n n OAθθ===故()4f n n n ⎫=+≥⎪⎝⎭当且仅当2n =时，()f n 的最小值为9。
广东省江门市下坪华侨中学2019年高三数学理下学期期末试题含解析
广东省江门市下坪华侨中学2019年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数f（x）＝Acos（ωx＋）的图象如图所示，f（）＝－,则f（0）＝（A）－（B）－（C）（D）参考答案：C略2. 函数的大致图像是（）A B C Ｄ参考答案：该函数为偶函数，答案为B3. 已知是定义域为(－∞,+∞)的奇函数，满足．若，则（）A. －50B. 0C. 2D. 50参考答案：C4. 如果复数是纯虚数，则实数的值为（）A．0 B．2 C．0或3 D．2或3参考答案：A5. 已知向量，则（）A. (7,1)B. (－7,－1)C. (－7,1)D. (7,－1)参考答案：B【分析】根据向量线性运算坐标运算法则计算可得．【详解】解：，，．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．6. 设是定义在R上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A. (-2,0) ∪(2,+∞)B. (-2,0) ∪(0,2)C. (-∞,-2)∪(2,+∞)D. (-∞,-2)∪(0,2)参考答案：D略7. 已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A． B．1 C． D．2参考答案：B8. 已知1+i是关于x的方程（）的一个根，则a+b=A、－1B、1C、－3D、3参考答案：A实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数）.易得：9. 若实数满足方程，实数满足方程，则函数的极值之和为( )A. B. C.2D.4参考答案：D10. 函数f（x）=，则y=f（1﹣x）的图象是（）参考答案：C【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据解析式化简y=f（1﹣x），由指数、对数函数的单调性判断出此函数的单调区间，结合选项即可选出答案．【解答】解：由题意得，f（x）=，则y=f（1﹣x）==，所以当x=0时，y=3，且在[0，+∞）是减函数，在（﹣∞，0）上是增函数，根据A、B、C、D选项中的图象，只有C的图象符合条件，故选：C．【点评】本题考查分段函数的图象，以及指数、对数函数的单调性的应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个类似杨辉三角形的数阵：则第九行的第二个数为__________．见解析解：观察首尾两数都是，，，，可以知道第行的首尾两数均为，设第行的第个数构成数列，则有，，，，，相加得．因此，本题正确答案是：．12. 设a，b R，a＋bi＝（i为虚数单位），则a＋b＝＿＿＿＿＿参考答案：13. 已知数列满足：，数列的前项和为，则___________.参考答案：由①，得②，①②得，即，所以数列的通项，所以．14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为．±215. 不等式的解集是.参考答案：16. 总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．01【考点】系统抽样方法．【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．可知对应的数值为08，02，14，07，01，则第5个个体的编号为01．故答案为：01．17. 已知集合，．设集合同时满足下列三个条件：①；②若，则；③若，则．当时，满足条件的集合的个数为参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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广东省江门市新会华侨中学2019-2020学年高三下学期测试数学
（理）试题
一、单选题
(★) 1 . 设集合，则（）
A．B．C．D．
(★) 2 . 实数是复数为虚数单位)在复平面内位于第四象限的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
(★) 3 . 设等比数列满足，则（）
A．B．C．D．
(★) 4 . 古希腊帕特农神庙在建筑设计中多次运用宽与长的比为的黄金矩
形.如图，矩形与矩形都是黄金矩形.现随机从矩形中取一点，则取自矩形的概率为（）
A．B．C．D．
(★) 5 . 设向量，则的充要条件是实数（）
A．B．C．D．
(★★) 6 . 在下列四个图象中，函数与的大致图像依次对应为（）
A．B．C．D．
(★★) 7 . 若满足约束条件，则（）
A．有最小值B．无最大值
C．有最小值D．无最大值
(★★) 8 . 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的的结果是（）
A．B．C．D．
(★★) 9 . 已知双曲线的离心率为，左右焦点分别为，直线与的一条渐近线垂直，垂足为若三角形的面积为.则（）
A．B．C．D．
(★★) 10 . 我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行”，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相
生相克理论.依此理论，每次随机任取两行，重复取次，若取出的两行为“生"的次数记为，则与的值分别为（）
A．B．C．D．
(★★) 11 . 如图，正方形网格的边长为图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所
有的表面中面积最大的值为（）
A．B．C．D．
(★★★★) 12 . 函数中，满足对有，当时，；函数；函数.现
给出是偶函数；在上单调递增；无最大值；有个零点这四
个结论，则正确结论的编号是（）
A．B．C．D．
二、填空题
(★) 13 . 随机变量满足，，则
_________.
(★) 14 . 若展开式中的系数为，则展开式中的常数项是__________(用数字作答)
(★★) 15 . 已知正项数列满足，则__________.
(★★)16 . 如图，半径为的圆与边长为的正方形中心重合，点都在圆周上，图中以虚线为腰、正方形的边为底的四个全等的等腰三角形分别沿各自的底折起后得到一个重合的正四棱锥.若当变化时得到一个体积最大的正四棱锥，则此时的四棱锥的外接球
半径为________.
三、解答题
(★★) 17 . 锐角的内角的对边分别为已知.
（1）求；
（2）若求的长.
(★★) 18 . 如图，矩形所在的平面与正三角形所在的平面互相垂直，为的
中点，连接.
（1）证明:平面平面；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
(★★) 19 . 京广高速铁路(又称京广高铁)是中国运营中的高速客运专线之一，被誉为世界上运
营里程最长的高速铁路，在出行人群中越来越受欢迎.现交通部门利用大数据工具随机抽取了沿线城市出行人群中的 名旅客进行调查统计，得知在这
名旅客中
岁(含)以下采用乘坐
京广高铁出行的占 .
岁(含)以下
岁上
合计
乘京广高跌
不乘京广高跌
合计
（1）请完成的 列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐京广高铁出行与年
龄
有
关
”?
（2）为优化服务质量，铁路部门从这 名旅客按年龄采用分层抽样的方法随机抽取 人免费
到广州参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份.由于年龄差异，规定
岁(含)以下的旅
客若中奖每人得 元，
岁以上的旅客若中奖每人得
元，这两个年龄段的得奖人数分别记为
与
.设旅客抽奖所得的总金额为
元，求
的分布列与数学期望
.
参考公式: ， 参考数据如表
(★★) 20 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为 右顶点为 过右焦点且
垂直于 轴的直线与椭圆相交于 两点，所得四边形
为菱形，且其面积为
.
（1）求椭圆的方程； （2）过左焦点
的直线 与椭圆交于
两点，试求三角形 面积的最大值.
(★★) 21 . 已知函数为自然对数的底数).
（1）求的单调递增区间与最小值；
（2）设，证明:在上，.
(★★) 22 . 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为( 为参数)，直线的普通方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）当时，求曲线的极坐标方程；
（2）设射线与分别交于两点，设
求的最小值.。