静电场的环路定理与电势
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8-6 静电场的环路定理与电势能
我们知道，电荷之间有力的作用，所谓同电荷相斥，异电荷相吸。 这是因为静止的电荷能够产生静电场，对场中的电荷有力的作用。
（静电场属于电磁场，具有能量，相互作用在真空中以光速传播）
电量为 q 的点电荷产生的电场强度为：
E 1 4 0 q er 2 r
物体在保守力场中势能的改变等于保守力作的功。 如：在重力场中，质点由A点移到B点，势能的减少等于重力对它 作的功。
A B
G dl
AB
在静点场中，设点电荷 q0 在点A和点B的位置的电势能分别是EPA 和EPB ，则有
E PA E PB q0
E dl
AB
即电荷的电势能的改变量就等于静电力对电荷所作的功。 电势能是一个相对的量，需要选取一个势能为零的参考点。 比如，取B点处的电势能为零，EPB=0 ，则
E PA q0
E dl
AB
E PA q0
E dl
AB
( E PB 0 )
试验电荷在一点的电势能，等于把它移到电势能为0处静电力所作的功。
8-7 电 势
一、电势
静电场中，点电荷在某一位置的电势能除以它的电量，就是这一位置 的电势。电势能与试验电荷 q0 有关，而电势是描述静电场本身性质 的重要物理，与试验电荷 q0 无关:
VA VB
E PA q0
E PB q0
E dl
AB
A与B点的电势差等于将单位正电荷从A点移到B点电场力所作的功， 或者说，等于电场强度从A点到B点的线积分。
二、静电场的环路定理
静电场重要性质：试验电荷 q0 在静电场中由一点运动到另一点，静电 场力对它作的功与具体路径无关，仅与电荷 q0 的始、末位置有关。 静电场中，电荷q0 沿任意回路ABCD回到起始位置A，静电力作功为：
W
ABCD
q0 E d l q0
q0
ABC
q
1
4 0 rA
因此，点电荷电场的电势是球对称的： V ( r )
q
1
4 0 r
三、电势的叠加原理
由电场强度的叠加原理:
VA
A
E dl E1 d l
E E1 E 2 E i E n
VA
n
1
qi
i 1
4 0 ri
对于带电体上电荷是连续分布的情况，
dV
1
dq
4 0 r
V
1 4 0
dq r
计算电势的两种方法：
（1）
VA
V
AB
E d l VB
（2）
1 4 0
dq r
总
结
质点在力场中运动，如果力场对质点作的功只与其始、末的位置有关， 而与运动的路径无关，则称该力场为保守力场。 试验电荷 q0 在静电场中从一点运动到另一点，静电场力对它作 的功与路径无关，仅与电荷的始、末位置有关。静电场是保守立场。 静电场的环路定理
E dl 0
l
电势能——电荷的电势能的改变量就等于静电力对电荷所作的功。 电势是描述静电场性质的重要物理量 点电荷电场的电势 电势叠加原理 计算电势的两种方 法
VA VB
q 1
E dl
AB
V (r)
4 0 r
V
1 4 0
dq r
电势也是一个相对的量，需要选取一个电势为零的参考点。如取： VB=0 （参考电势），则 VA E d l (V B 0 )
AB
当电荷分布在有限空间时，为了方便，通常取无穷远处的电势为零 电势为标量，它的单位是伏特，简称伏，国际符号为V. 生物电 ~ 10-3 V 5号电池 1.5 V 家用电源 220 V 高压电线 ~ 105 V 闪 电 ~ 108 -109 V
下面我们来证明：静电力对电荷作的功只与电荷的始、末位置有关， 与具体运动路径无关。静电场也是保守力场。
一、静电场力作功
1. 点电荷电场力作功
电量为 q 的点电荷产生的电场强度为： E
1 4 0
q er 2 r
对试验电荷 q0的微小位移 d l ，电场力所作的功为：
dW F d l q0 E d l
对试验电荷 q0 的静电力为：
F E q0 1 4 0 q q 0 er 2 r
那么，静电场是否与万有引力场（重力场）同样，为保守力场呢？ 是否可以引入势能的概念呢？
什么是保守力场？(conservative force field)
质点在力场中运动，如果力场对质点作的功只与其始、末的位置有关， 而与运动的路径无关，则称该力场为保守力场。 保守力场的重要物理性质： 保守力场中的质点可以引入（存在）势能，在没有外力作功的情况下， 质点的势能与动能之和守恒。 重力场是保守力场。重力对物体作的功只与物体的始、末位置有关。 引入重力势能； 机械能守恒。
常见的电势差：
关于单位
在国际制单位(SI)中，能量和功的单位为焦耳，符号J；1J=1kg m2/s2 电荷的单位是库仑，符号C; 1C=1A s e=1.602×10-19C 电压的单位是伏特，符号V; 1V=1J/1C 或 1V C=1J 描述微观粒子常用的能量单位是电子伏，符号eV； 1eV≈1.602×10-19J
1
q q0
2
4 0 r
dr
qq0
4 0 rA
(
1
1 rB
)
以上结果可以看出，点电荷电场中，电场力对试验电荷 q0 作的功， 只与其始、末位置有关，而与具体路径无关。 2. 任意静电场的电场力作功 任意带电体都可以看成有许多点电荷组成，由电场强度的叠加原理， 总的电场强度为各个点电荷电场强度的叠加（矢量和），每个点电荷 电场力作功与路径无关，因此它们的代数和也一定与路径无关。 结论：试验电荷 q0 在静电场中从一点运动到另一点，静电场力对它作 的功与路径无关，仅与电荷 q0 以及路径的始、末位置有关。 因此，静电场是保守立场，与重力场一样。
由于 e r d l cos d l d r ，得到
1 4 0
q q 0 er d l 2 r
dW
1
q q0
2
4 0 r
dr
因此，点电荷 q 产生的静电场中，试验电荷 q0 由A点运动到B点， 电场力对它作的功为
W
dW
AB
rB rA
二、点电荷电场的电势
点电荷q 产生的电场强度为： E
取无穷远处的电势为零，则根据
1 4 0
q er 2 r
VA VB
rA
E dl
AB
距离电荷 q 的距离为 rA 处的一点A的电势为:
VA
A
E dl
Leabharlann Baidu
1
q
2
4 0 r
dr
E d l q0
E dl
CDA
由于作功与路径无关，有
ABC
E d l q0
E dl
ADC
又根据积分性质
q0
CDA
E d l q0
E dl
ADC
得到
W
ABCD
q0 E d l 0
A
A
E2 d l
A
En d l
V1 V 2 V n
当其中的电场都分别来自点电荷的激发 可以得到
Vi
1
qi
VA
n
1
qi
4 0 ri
i 1
4 0 ri
点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时 在该点建立的电势的代数和。 ——电势叠加原理
E dl 0
l
在静电场中，电场强度E 沿任意闭合路径的线积分为零，也就是，
电场强度E 的环流为零。 ——静电场的环路定理
三、电势能
前面已经证明，由于静电场中，静电力对实验电荷作的功与路径无 关，而仅与电荷始、末位置有关，因此，静电力场是保守力场。 保守力场可以引入势能的概念，势能是与位置有关的标量，比如， 重力势能，它是与质点的位置及质量有关的量。 而电荷的电势能则与电荷在静电场中的位置及电荷大小有关。
我们知道，电荷之间有力的作用，所谓同电荷相斥，异电荷相吸。 这是因为静止的电荷能够产生静电场，对场中的电荷有力的作用。
（静电场属于电磁场，具有能量，相互作用在真空中以光速传播）
电量为 q 的点电荷产生的电场强度为：
E 1 4 0 q er 2 r
物体在保守力场中势能的改变等于保守力作的功。 如：在重力场中，质点由A点移到B点，势能的减少等于重力对它 作的功。
A B
G dl
AB
在静点场中，设点电荷 q0 在点A和点B的位置的电势能分别是EPA 和EPB ，则有
E PA E PB q0
E dl
AB
即电荷的电势能的改变量就等于静电力对电荷所作的功。 电势能是一个相对的量，需要选取一个势能为零的参考点。 比如，取B点处的电势能为零，EPB=0 ，则
E PA q0
E dl
AB
E PA q0
E dl
AB
( E PB 0 )
试验电荷在一点的电势能，等于把它移到电势能为0处静电力所作的功。
8-7 电 势
一、电势
静电场中，点电荷在某一位置的电势能除以它的电量，就是这一位置 的电势。电势能与试验电荷 q0 有关，而电势是描述静电场本身性质 的重要物理，与试验电荷 q0 无关:
VA VB
E PA q0
E PB q0
E dl
AB
A与B点的电势差等于将单位正电荷从A点移到B点电场力所作的功， 或者说，等于电场强度从A点到B点的线积分。
二、静电场的环路定理
静电场重要性质：试验电荷 q0 在静电场中由一点运动到另一点，静电 场力对它作的功与具体路径无关，仅与电荷 q0 的始、末位置有关。 静电场中，电荷q0 沿任意回路ABCD回到起始位置A，静电力作功为：
W
ABCD
q0 E d l q0
q0
ABC
q
1
4 0 rA
因此，点电荷电场的电势是球对称的： V ( r )
q
1
4 0 r
三、电势的叠加原理
由电场强度的叠加原理:
VA
A
E dl E1 d l
E E1 E 2 E i E n
VA
n
1
qi
i 1
4 0 ri
对于带电体上电荷是连续分布的情况，
dV
1
dq
4 0 r
V
1 4 0
dq r
计算电势的两种方法：
（1）
VA
V
AB
E d l VB
（2）
1 4 0
dq r
总
结
质点在力场中运动，如果力场对质点作的功只与其始、末的位置有关， 而与运动的路径无关，则称该力场为保守力场。 试验电荷 q0 在静电场中从一点运动到另一点，静电场力对它作 的功与路径无关，仅与电荷的始、末位置有关。静电场是保守立场。 静电场的环路定理
E dl 0
l
电势能——电荷的电势能的改变量就等于静电力对电荷所作的功。 电势是描述静电场性质的重要物理量 点电荷电场的电势 电势叠加原理 计算电势的两种方 法
VA VB
q 1
E dl
AB
V (r)
4 0 r
V
1 4 0
dq r
电势也是一个相对的量，需要选取一个电势为零的参考点。如取： VB=0 （参考电势），则 VA E d l (V B 0 )
AB
当电荷分布在有限空间时，为了方便，通常取无穷远处的电势为零 电势为标量，它的单位是伏特，简称伏，国际符号为V. 生物电 ~ 10-3 V 5号电池 1.5 V 家用电源 220 V 高压电线 ~ 105 V 闪 电 ~ 108 -109 V
下面我们来证明：静电力对电荷作的功只与电荷的始、末位置有关， 与具体运动路径无关。静电场也是保守力场。
一、静电场力作功
1. 点电荷电场力作功
电量为 q 的点电荷产生的电场强度为： E
1 4 0
q er 2 r
对试验电荷 q0的微小位移 d l ，电场力所作的功为：
dW F d l q0 E d l
对试验电荷 q0 的静电力为：
F E q0 1 4 0 q q 0 er 2 r
那么，静电场是否与万有引力场（重力场）同样，为保守力场呢？ 是否可以引入势能的概念呢？
什么是保守力场？(conservative force field)
质点在力场中运动，如果力场对质点作的功只与其始、末的位置有关， 而与运动的路径无关，则称该力场为保守力场。 保守力场的重要物理性质： 保守力场中的质点可以引入（存在）势能，在没有外力作功的情况下， 质点的势能与动能之和守恒。 重力场是保守力场。重力对物体作的功只与物体的始、末位置有关。 引入重力势能； 机械能守恒。
常见的电势差：
关于单位
在国际制单位(SI)中，能量和功的单位为焦耳，符号J；1J=1kg m2/s2 电荷的单位是库仑，符号C; 1C=1A s e=1.602×10-19C 电压的单位是伏特，符号V; 1V=1J/1C 或 1V C=1J 描述微观粒子常用的能量单位是电子伏，符号eV； 1eV≈1.602×10-19J
1
q q0
2
4 0 r
dr
qq0
4 0 rA
(
1
1 rB
)
以上结果可以看出，点电荷电场中，电场力对试验电荷 q0 作的功， 只与其始、末位置有关，而与具体路径无关。 2. 任意静电场的电场力作功 任意带电体都可以看成有许多点电荷组成，由电场强度的叠加原理， 总的电场强度为各个点电荷电场强度的叠加（矢量和），每个点电荷 电场力作功与路径无关，因此它们的代数和也一定与路径无关。 结论：试验电荷 q0 在静电场中从一点运动到另一点，静电场力对它作 的功与路径无关，仅与电荷 q0 以及路径的始、末位置有关。 因此，静电场是保守立场，与重力场一样。
由于 e r d l cos d l d r ，得到
1 4 0
q q 0 er d l 2 r
dW
1
q q0
2
4 0 r
dr
因此，点电荷 q 产生的静电场中，试验电荷 q0 由A点运动到B点， 电场力对它作的功为
W
dW
AB
rB rA
二、点电荷电场的电势
点电荷q 产生的电场强度为： E
取无穷远处的电势为零，则根据
1 4 0
q er 2 r
VA VB
rA
E dl
AB
距离电荷 q 的距离为 rA 处的一点A的电势为:
VA
A
E dl
Leabharlann Baidu
1
q
2
4 0 r
dr
E d l q0
E dl
CDA
由于作功与路径无关，有
ABC
E d l q0
E dl
ADC
又根据积分性质
q0
CDA
E d l q0
E dl
ADC
得到
W
ABCD
q0 E d l 0
A
A
E2 d l
A
En d l
V1 V 2 V n
当其中的电场都分别来自点电荷的激发 可以得到
Vi
1
qi
VA
n
1
qi
4 0 ri
i 1
4 0 ri
点电荷系所激发的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时 在该点建立的电势的代数和。 ——电势叠加原理
E dl 0
l
在静电场中，电场强度E 沿任意闭合路径的线积分为零，也就是，
电场强度E 的环流为零。 ——静电场的环路定理
三、电势能
前面已经证明，由于静电场中，静电力对实验电荷作的功与路径无 关，而仅与电荷始、末位置有关，因此，静电力场是保守力场。 保守力场可以引入势能的概念，势能是与位置有关的标量，比如， 重力势能，它是与质点的位置及质量有关的量。 而电荷的电势能则与电荷在静电场中的位置及电荷大小有关。