专题临界和极值问题
2025高考物理总复习圆周运动中的临界极值问题
2
对 a 有 kmg-FT=ml2 ,对 b 有 FT+kmg=m·
2l2 ,解得 ω2=
2
。
3
拓展变式 2
把典题1中装置改为如图所示,木块a、b用轻绳连接(刚好拉直)。(1)当ω为
多大时轻绳开始有拉力?(2)当ω为多大时木块a所受的静摩擦力为零?
答案 (1)
2
(2)
解析 (1)在 b 的静摩擦力达到最大时,轻绳刚要产生拉力,对 b 有
的间隙可忽略不计。已知放置在圆盘边缘的小物体与圆盘的动摩擦因数
为μ1=0.6,与餐桌的动摩擦因数为μ2=0.225,餐桌离地高度为h=0.8 m。设小
物体与圆盘以及餐桌之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度g
取10 m/s2。
(1)为使小物体不滑到餐桌上,圆盘的角速度ω的最大值为多少?
(2)缓慢增大圆盘的角速度,小物体从圆盘上甩出,
滑动的末速度 vt',由题意可得 vt'2-0 2 =-2ax'
由于餐桌半径为 R'= 2r,所以 x'=r=1.5 m
解得 vt'=1.5 m/s
设小物体做平抛运动的时间为 t,则
1 2
h=2gt ,解得
t=
小物体做平抛运动的水平位移为 x1=vt't=0.6 m。
2ℎ
=0.4
s
审题指导
关键词句
在圆周运动最高点和最低点的临界条件分析。
题型一
水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动的临界、极值问题通常有两类,一类是与摩擦力有关
的临界问题,一类是与弹力有关的临界问题。
2.解决此类问题的一般思路
微专题2 平衡中的临界与极值问题
(1)物体与斜面间的动摩擦因数; (2)这一临界角θ0的大小。
考点二
栏目索引
答案 (1) (2)60° 解析 (1)物体沿斜面匀速下滑时,物体受力平衡。 对物体进行受力分析,由平衡条件得 mg sin 30°=μmg cos 30°
3 解得μ=tan 30°= 。 3
3 3
(2)设斜面倾角为α时,物体沿斜面匀速向上滑行,其受力情况如图所示, 由平衡条件得: F cos α=mg sin α+Ff FN=mg cos α+F sin α Ff=μFN
B.μ≥
1 tan θ
D.μ≥ cos θ
考点二
栏目索引
答案 B 滑块的受力如图所示,建立直角坐标系,将力F正交分解,由物 体的平衡条件可知,竖直方向有FN=mg+F sin θ,水平方向有F cos θ=Ff≤ μFN。由以上两式联立解得F cos θ≤μmg+μF sin θ。因为力F很大,所以 上式可以写成F cos θ≤μF sin θ,故应满足的条件为μ≥ ,B项正确。
界条件为绳中张力为0。 3.极值问题
平衡物体的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问 题。一般用图解法或解析法进行分析。
考点一
栏目索引
例1 物体A的质量为2 kg,两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上,另 一端系于物体A上,在物体A上另施加一个方向与水平面成θ角的拉力F, 相关几何关系如图所示,θ=60°。若要使两绳都能伸直,求拉力F的大小 范围。(g取10 m/s2)
1 tan θ
考点二
栏目索引
方法技巧 临界与极值问题的分析技巧 (1)求解平衡状态下的临界问题和极值问题时,首先要正确地进行受力 分析和变化过程分析,找出平衡中的临界点和极值点。 (2)临界条件必须在变化过程中寻找,不能停留在一个状态来研究临界 问题,而是要把某个物理量推向极端,即极大或极小,并依此做出科学的 推理分析,从而给出判断或结论。
临界极值问题(解析版)--动力学中九类常见问题
动力学中的九类常见问题临界极值问题【问题解读】1.题型概述在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态即临界问题。
问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。
2.临界问题的常见类型及临界条件(1)接触与分离的临界条件：两物体相接触(或分离)的临界条件是弹力为零且分离瞬间的加速度、速度分别相等。
临界状态是某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转折状态，有关的物理量将发生突变，相应的物理量的值为临界值。
(2)相对静止或相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大静摩擦力。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子断与不断的临界条件是实际张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是绳上的张力恰好为零。
(4)出现加速度最值与速度最值的临界条件：当物体在变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合力最大时，具有最大加速度；当所受合力最小时，具有最小加速度。
当出现加速度为零时，物体处于临界状态，对应的速度达到最大值或最小值。
【方法归纳】求解临界、极值问题的三种常用方法极限法把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的假设法临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题数学方法将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件解题此类题的关键是：正确分析物体的受力情况及运动情况，对临界状态进行判断与分析，挖掘出隐含的临界条件。
【典例精析】1(2024河北安平中学自我提升)如图所示，A、B两个木块静止叠放在竖直轻弹簧上，已知m A=m B =1kg，轻弹簧的劲度系数为100N/m。
若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使木块A由静止开始以2m/s2的加速度竖直向上做匀加速直线运动，从木块A向上做匀加速运动开始到A、B分离的过程中。
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，所以常常出现临界和极值问题。
1．临界问题的分析思路临界问题分析的是临界状态，临界状态存在不同于其他状态的特殊条件，此条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破口。
2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：(1)根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；(2)借助几何知识确定极值所对应的状态，然后进行直观分析3．四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
【典例】平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。
一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。
粒子沿纸面以大小为v的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。
已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。
不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）【应用练习】1、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。
则粒子在磁场中运动的最长时间为（）3．如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )4、如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。
物理临界和极值问题总结
物理临界和极值问题总结
物理临界和极值问题是物理学中常见的一类问题，涉及到系统在特定条件下达到某种临界状态或取得极值的情况。
下面是对这两类问题的总结：
1. 物理临界问题：
- 物理临界指系统在某些参数达到临界值时出现突变或重要性质发生显著改变的情况。
- 临界问题常见于相变、相平衡和相变点等领域。
- 典型的物理临界问题包括：磁场的临界温度、压力、电流等；化学反应速率的临界浓度；相变时的临界温度和压力等。
2. 极值问题：
- 极值问题涉及到通过调整系统的参数找到使目标函数取得最大值或最小值的条件。
- 极值问题在物理学中广泛应用于优化、动力学和力学等领域。
- 典型的极值问题包括：能量最小原理和哈密顿原理，用于求解经典力学问题；费马原理，用于求解光路最短问题；鞍点问题，用于求解多元函数的极值等。
无论是物理临界还是极值问题，通常需要使用数学工具进行分析和求解。
对于物理临界问题，常用的方法包括热力学、统计物理和相变理论等；而对于极值问题，则常用的方法包括微积分、变分法和最优化等。
总结起来，物理临界和极值问题是物理学中重要的一类问题，涉及到系统在特定条件下达到临界状态或取得最值的情况。
这些问题需要使用数学工具进行分析和求解，以揭示系统的性质和寻找最优解。
高中物理课件(人教版2019必修第一册)专题 临界(极值)问题(课件)
F2
F1
AB
解 ：由题意分析可得两物体分离的临界条件是：两物体之间刚好无相互作用的
弹力，且此时两物体仍具有相同的加速度。 分别以A、B为研究对象，水平方向受力分析如图
由牛顿第二定律得
a
F1 BBB
F1=ma
F2=2ma
则 F2=2 F1
a
F2 A
即(40-4t) =2(10+4t）
解得 t=5/3 (s)
向右运动时，绳对小球的拉力及斜面对小球的弹力各为多大？
a
解：小球即将脱离斜面支持力FN =0 对小球进行受力分析，得合力： F=mgcotθ =ma a=gcotθ= 4g/3
θG
FT F=ma
因为a1=g＜ 4g/3，所以斜面对小球有弹力
则沿x轴方向 沿y轴方向
FTcosθ-FNsinθ=ma FTsinθ+FNcosθ=mg
第四章 运动和力的关系
专题 临界(极值)问题
人教版（2019）
目录
contents
01 临界问题
02
实例分析
03 典例分析
01
临界问题
1、动力学中临界问题的特征 在动力学问题中出现某种物理现象(或物理状态)刚好要发生或刚好不发生的转
折状态即为临界问题。问题中出现“最大”“最小”“刚好”“恰能”等关键词语，一般都 会涉及临界问题，隐含相应的临界条件。（涉及临界状态的问题叫做临界问题）
假设法 中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解 决问题
数学方法 将物理过程转化为数学表达式:三角函数式、二次函数的判别 式,根据数学表达式解出临界条件
解决临界问题的基本思路
（1）认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程， 找出临界状态。 （2）寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。 （3）以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题。
3、临界、极值问题
d
c
◆带电粒子在三角形磁场区域中的运动
例6．如图所示，在边长为2a的等边三角形△ABC内存 在垂直纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，有一带电 量为q、质量为m的粒子从距A点 3a 的D点垂直于AB方 向进入磁场。若粒子能从AC间离开磁场，求粒子速率 应满足什么条件及粒子从AC间什么范围内射出？
d
缩放圆：变化1：在上题中若电子的电量e，质量 m，磁感应强度B及宽度d已知，若要求电子不从 右边界穿出，则初速度V0有什么要求？
e B v0
d
B
变化2：若初速度向下与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
变化3：若初速度向上与边界成 α = 60 0，则初速度有什么要求？
变式、在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为 ｍ，电量为e，速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直 射入磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从 磁场的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：B Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ） C E Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ） v Ｃ.v＞ eBd/msinθ θ O Ｄ.v＜ eBd/mcosθ
例题、如图所示．长为L的水平极板间，有垂直纸面向 内的匀强磁场，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带 电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)， 从左边极板间中点处垂直磁感线以速度 v水平射入磁场， 欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是： AB A．使粒子的速度v<BqL/4m； O2 B．使粒子的速度v>5BqL/4m； r2 C．使粒子的速度v>BqL/m； v D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。 r2
2R
M
2R
O
R
3-3-3-专题突破：三 动力学中的临界和极值问题的分析方法
素养提升
模型1 斜面中的“平衡类模型” 【典例1】 (多选)如图所示，质量为m的物体A放在质量为M 、倾角为θ的斜面B上，斜面B置于粗糙的水平地面上，用平行于 斜面的力F拉物体A，使其沿斜面向下匀速运动，斜面B始终静止 不动，重力加速度为g，则下列说法中正确的是( ) A．斜面B相对地面有向右运动的趋势 B．地面对斜面B的静摩擦力大小为Fcos θ C．地面对斜面B的支持力大小为(M＋m)g＋Fsin θ D．斜面B与物体A间的动摩擦因数为tan θ 思路点拨 由于A在斜面上匀速下滑，B静止不动，故A和B均处 于平衡状态。因此，在分析B与地面间的相互作用时，可将A、B 看成一个整体进行分析；由A在斜面上匀速下滑可知，A在斜面 方向上受力平衡，由此可计算出A、B之间的动摩擦因数。
突破三
动力学中的临界和极值问题 的分析方法
课堂互动
01 02
03
多维训练
素养提升
04
备选训练
课堂互动
1．临界或极值条件的标志 (1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，即表明题 述的过程存在着临界点。 (2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语， 表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往对应临界 状态。 (3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表 明题述的过程存在着极值，这个极值点往往定速度”等，即是求收尾加 速度或收尾速度。
转到解析
)
多维训练
3 2．如图所示，一足够长的木板，上表面与木块之间的动摩擦因数为 μ＝ ，重 3 力加速度为 g，木板与水平面成 θ 角，让小木块从木板的 底端以大小恒定的初速率 v0 沿木板向上运动。随着 θ 的改 变，小木块沿木板向上滑行的距离 x 将发生变化，当 θ 角 为何值时，小木块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此 最小值。
牛顿运动定律中的临界和极值问题
牛顿运动定律中的临界和极值问题1．动力学中的典型临界问题1接触与脱离的临界条件两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力F N＝0.2相对静止或相对滑动的临界条件两物体相接触且处于相对静止时,常存在着静摩擦力,则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．3绳子断裂与松弛的临界条件绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是F T＝0.4速度最大的临界条件在变加速运动中,当加速度减小为零时,速度达到最大值．2．解决临界极值问题常用方法1极限法：把物理问题或过程推向极端,从而使临界现象或状态暴露出来,以达到正确解决问题的目的．2假设法：临界问题存在多种可能,特别是非此即彼两种可能时,或变化过程中可能出现临界条件,也可能不出现临界条件时,往往用假设法解决问题．3数学法：将物理过程转化为数学公式,根据数学表达式解出临界条件．题型一：接触与脱离类的临界问题例1: 如图所示,在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体,物体下有一托盘,用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长,然后使托盘以加速度a竖直向下做匀速直线运动a<g,试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离例2: 如图,竖直固定的轻弹簧,其劲度系数为k=800N/m,上端与质量为 kg的物块B相连接;另一个质量为 kg的物块A放在B上;先用竖直向下的力F=120N压A,使弹簧被压缩一定量后系统静止,突然撤去力F,A、B共同向上运动一段距离后将分离,分离后A上升最大高度为 m,取g＝10 m/s2, 求刚撤去F时弹簧的弹性势能例3:如图所示,质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直轻质弹簧上并保持静止,用大小等于mg 21的恒力F 向上拉A,当运动距离为h 时A 与B 分离;则下列说法正确的是A ．A 和B 刚分离时,弹簧为原长B ．弹簧的劲度系数等于hmg 23 C ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中,两物体的动能先增大后减小D ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中,A 物体的机械能一直增大例4:如图甲所示,平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k,一端固定在倾角为θ的斜面底端,另一端与物块A 连接；两物块A 、B 质量均为m,初始时均静止;现用平行于斜面向上的力F 拉动物块B,使B 做加速度为a 的匀加速运动,A 、B 两物块在开始一段时间内的v-t 关系分别对应图乙中A 、B 图线t 1时刻A 、B 的图线相切,t 2时刻对应A 图线的最高点,重力加速度为g,则A ．t 1和t 2时刻弹簧形变量分别为kma mg +θsin 和0 B ．A 、B 分离时t 1()akma mg +=θsin 2 C ．拉力F 的最小值ma mg +θsinD ．从开始到t 2时刻,拉力F 逐渐增大题型二：相对静止或相对滑动的临界问题例1：如图所示,质量分别为15kg和5kg的长方形物体A和B静止叠放在水平桌面上;A与桌面以及A、B 间动摩擦因数分别为μ1=和μ2=,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力;问：1水平作用力F作用在B上至少多大时,A、B之间能发生相对滑动2当F=30N或40N时,A、B加速度分别各为多少跟踪训练：多选如图甲所示,一质量为M的长木板静置于光滑水平面上,其上放置一质量为m小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时,用传感器测出长木板的加速度a与水平拉力F的关系如图乙所示,取g=10m/s2,则A．小滑块的质量m=2kgB．当F=8N时,滑块的加速度为1m/s2C．滑块与木板之间的动摩擦因数为D．力与加速度的函数关系一定可以表示为F=6aN例2：如图所示,两个质量均为m的小木块A和B放在转盘上,且木块A、B与转盘中心在同一条直线上,两木块用长为L的细绳连接,木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍,A放在距离转轴L处,整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动;开始时,绳恰好伸直但无弹力,现让该装置从静止转动,使角速度ω缓慢增大;为使细绳有弹力,而木块A和B又能相对转盘保持静止,求角速度ω的取值范围和细绳张力的最大值;例3：如图所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转,盘上水平杆上穿着两个质量均为m=2kg的小球A和B;现将A和B分别置于距轴r A=和r B=1m处,并用不可伸长的轻绳相连;已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f m=1N;试分析转速ω从零缓慢逐渐增大短时间内可近似认为是匀速转动,两球对轴保持相对静止过程中,在满足下列条件下,ω的大小;1绳中刚要出现张力时的ω1；2A、B中某个球所受的摩擦力刚要改变方向时的ω2,并指明是哪个球的摩擦力方向改变；3两球对轴刚要滑动时的ω3;跟踪训练：多选圆形转盘上的A、B、C三个物块如图放置,A、O、B、C在一条直线上,A、B间用一轻质细线相连开始细线刚好伸直,三个物块与转盘间的动摩擦因数均为μ,A、B、C三个物块的质量分别为m、m、2m,到转盘中心O的距离分别为3r、r、2r,现让转盘以角速度ω可调匀速转动,重力加速度为g,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则A、当物块C相对转盘刚要滑动时,物块B所受摩擦力为μmgB、当物块C相对转盘刚要滑动时,细线张力为μmgC、当细线内刚出现张力时,物块C所受摩擦力为μmgD、当细线内刚出现张力时,A、B、C所受摩擦力大小之比为3:1:4题型三：绳子断裂与松弛的临界问题例5．如图所示,在竖直的转动轴上,a、b两点间距为40 cm,细线ac长50 cm,bc长30 cm,在c点系一质量为m的小球,在转动轴带着小球转动过程中,下列说法不正确的是A．转速小时,ac受拉力,bc松弛B．bc刚好拉直时,ac中拉力为C．bc拉直后转速增大,ac拉力不变D．bc拉直后转速增大,ac拉力增大例6．如图所示,将两物块A、B用一轻质细绳沿水平方向连接放在粗糙的水平面上,已知两物块A、B的质量分别为m1=8kg,m2=2kg,滑块与地面间的动摩擦因数均为μ=,g=10m/s2,细绳的最大拉力为T=8N.今在滑块A上施加一水平向右的力F,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力;为使两滑块共同向右运动,则拉力F多大题型四：速度最大的临界问题例7．如图所示,在磁感应强度为B的水平匀强磁场中,有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直面内垂直于磁场方向放置,细棒与水平面夹角为α.一质量为m、带电荷量为＋q的圆环A套在OO′棒上,圆环与棒间的动摩擦因数为μ,且μ＜tan α.现让圆环A由静止开始下滑．试问圆环在下滑过程中：1圆环A的最大加速度为多大获得最大加速度时的速度为多大2圆环A能够达到的最大速度为多大跟踪练习：1.如图所示,一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计,盘内放一个物体P处于静止,P的质量m=12kg,弹簧的劲度系数k=300N/m;现在给P施加一个竖直向上的力F,使P从静止开始向上做匀加速直线运动,已知在t=内F是变力,在以后F是恒力,g=10m/s2,则F的最小值是 ,F的最大值是 ;思维拓展：若上题中秤盘质量m1=1．5kg,盘内物体P质量为m2=10．5kg,弹簧的劲度系数 k=800N/m,其他条件不变,则F的最小值是 ,F的最大值是 ;2. 如图所示,细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A的顶端P处,细线的另一端拴一质量为m的小球;当滑块至少以多大的加速度a向左运动时,小球对滑块的压力等于零,当滑块以a=2g的加速度向左运动时,球此时线中拉力T大小3. 一个带负电荷q ,质量为m 的小球,从光滑绝缘的斜面轨道的A 点由静止下滑,小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动．现在竖直方向上加如图所示的匀强电场,若仍从A 点由静止释放该小球,则A ．小球不能过B 点 B ．小球仍恰好能过B 点C ．小球能过B 点,且在B 点与轨道之间压力不为0D ．以上说法都不对5.如图,在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体,Ｂ的质量是Ａ的2倍,Ｂ受到向右的恒力ＦB =2N,Ａ受到的水平力ＦA =9-2tN,t 的单位是s;从t ＝0开始计时,则：A ．Ａ物体在3s 末时刻的加速度是初始时刻的5／11倍；B ．t ＞４s 后,Ｂ物体做匀加速直线运动；C ．t ＝时,Ａ物体的速度为零；D ．t ＞后,ＡＢ的加速度方向相反;6.如图所示,在光滑水平面上有一辆小车A ,其质量为m A ＝ kg,小车上放一个物体B ,其质量为m B ＝ kg.如图甲所示,给B 一个水平推力F ,当F 增大到稍大于 N 时,A 、B 开始相对滑动．如果撤去F ,对A 施加一个水平推力F ′,如图乙所示．要使A 、B 不相对滑动,求F ′的最大值F m . a A P450。
第二章 专题四 动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题
另外两个力方向均发生变化，但两者的夹角不变.作出不同
状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列
式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦，根据不
同位置判断各力的大小变化，如图5所示.
图5
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专题四
动态平衡问题
平衡中的临界、极值问题
方法5：相似三角形法
特征：一个恒力，两个变力，找出几何三角形.
000 kV的高压线上带电作业的过程.如图所示，绝缘轻绳OD一端固定在高压线杆塔
上的O点，另一端固定在兜篮D上.另一绝缘轻绳跨过固定在杆塔上C点的定滑轮，一
端连接兜篮，另一端由工人控制.身穿屏蔽服的王进坐在兜篮里，缓慢地从C点运动
到处于O点正下方E点的电缆处.绳OD一直处于伸直状态，兜篮、王进及携带的设备
( √
)
[解析] 对系统整体受力分析可知，竖直方向受到的地面的支持力始终等于系统所
受的重力，故正确.
(2)斜面所受地面的摩擦力一定增加.
(
√ )
[解析] 对整体受力分析，可知斜面所受地面摩擦力一定增大，故正确.
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专题四
动态平衡问题
命题点3
平衡中的临界、极值问题
正弦定理法的应用
3. [2024河北邯郸开学联考]《大国工匠》节目中讲述了王进利用“秋千法”在1
运动到B点的过程中，夹角θ从0°增大到90°，所以推力F一直减小，滑块受到的支持
力一直增大，A、B错误.将滑块和工件看作一个整体，对整体受力分析，如图所
示，根据平衡条件可得N＝(m＋M)g－F cos θ＝(m＋M)g－mg cos 2 θ，f＝F sin θ＝
1
2
mg cos θ sin θ＝ mg sin 2θ，夹角θ从0°增大到90°，地面对工件的支持力 N一直增
动态平衡问题专题——平衡物体的临界、极值问题分析
动态平衡问题专题——临界、极值问题平衡物体的临界问题：某种物理现象变化为另一种物理现象的转折状态叫做临界状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰恰不出现”某种现象的状态。
平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未破坏的状态。
涉及临界状态的问题叫做临界问题，解答临界问题的基本思维方法是假设推理法。
平衡物体的极值问题：受几个力作用而处于平衡状态的物体，当其中某个力的大小或方向按某种形式发生改变时，为了维持物体的平衡，必引起其它某些力的变化，在变化过程中可能会出现极大值或极小值的问题。
研究平衡物体的极值问题常用解析法和图解法。
1跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图。
已知物体A的质量为m，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ(μ＜tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量取值范围。
解析：先选物体B为研究对象，它受到重力m B g和拉力F T的作用，根据平衡条件有：F T＝m B g ①再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力F N、轻绳拉力F T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图乙所示，根据平衡条件有：F N－mg cosθ＝0 ②F T－F fm－mg sinθ＝0 ③由摩擦力公式知：F fm＝μF N ④联立①②③④四式解得m B＝m(sinθ＋μcosθ)．再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：F N－mg cosθ＝0 ⑤F T＋F fm－mg sinθ＝0 ⑥第1页联立①⑤⑥④四式解得m B＝m(sinθ－μcosθ)．故，物体B的质量的取值范围是：m(sinθ－μcosθ)≤m B ≤m(sinθ＋μcosθ)．2如图，不计重力的细绳AB与竖直墙夹角为60º，轻杆BC与竖直墙夹角为30º，杆可绕C自由转动，若细绳承受的最大拉力为200N，轻杆能承受的最大压力为300N，则在B点最多能挂多重的物体？解析：将物体对B点的拉力F进行分解，显然F=G假设绳与轻杆均被不拉断．当细绳承受的拉力F1最大时，轻杆所受的压力当轻杆承受的压力F2最大时，细绳所受的拉力由此可以当物体的重力逐渐增加时，轻杆承受的压力先达到最大．此时物体的重力达到最大．3半圆形支架BAD上悬着两细绳OA和OB，结于圆心O，下悬重为G的物体，使OA绳固定不动，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，OA绳和OB绳所受的力大小如何变化？第2页第3页解析：OB绳的B 端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，物体始终处于平衡状态，找出不变的物理量，画出平行四边形进行分析．对结点O 受力分析如图：结点O 始终处于平衡状态，所以OB 绳和OA 绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的．所以OA 绳受力大小变化情况：逐渐变小；OB 绳受力大小变化情况是：先变小后变大4如图，一倾角为θ的固定斜面上有一块可绕其下端转动的挡板P ，今在挡板与斜面间夹一个重为G 的光滑球，试分析挡板P 由图示位置逆时针转到水平位置的过程中，球对挡板的压力如何变化？解析：受力分析如图，将F 1与F 2合成，其合力与重力等大反向如图：挡板转动时，挡板给球的弹力F 1与斜面给球的弹力F 2合力大小方向不变，其中F 2的方向不变，作辅助图如上，挡板转动过程中，F 1第4页的方向变化如图中a 、b 、c 的规律变化，为满足平行四边形定则，其大小变化规律为先变小后变大，其中挡板与斜面垂直时为最小．与此对应，F 2的大小为一直减小．根据牛顿第三定律，球对挡板的压力是先减小后增加，对斜面的压力是不断减小。
临界和极值问题
2.如图所示，细绳一端与光滑小球连接，另一端系在 竖直墙壁上的A点，当缩短细绳小球缓慢上移的过程中， 细绳对小球的拉力、墙壁对小球的弹力如何变化？
例、如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上， 球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球， 靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，
例1 如图2 所示, 倾角为30°的斜面上有物体A ,重
10 N ,它与斜面间最大静摩擦力为3 .46 N, 为了使A
能静止在斜面上, 物体B 的重力应在什么范围内? (不
考虑绳重与绳、滑轮间的摩擦力)
例2、如图所示，用绳AC和BC吊起一重物，绳与竖
直方向夹角分别为30°和60°，AC绳能承受的最大
mg F1＝ －F ③ sin mgcos F2＝2Fcos－ ④ sin 要使两绳都能绷直，则有：F1 0，F2 0⑤ 由③④⑤可解得F的取值范围为： 20 3 40 3 NF N 3 3
极值问题
例、如图所示，重量为G的光滑小球静止在固定斜面和 竖直挡板之间．若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在 该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2 各如何变化?
专题：平衡中的临界和极值问题
知识回顾：解决平衡问题的一般步骤：
1、选择研究对象： 2、对物体受力分析
3、化简力：合成或分解
4、列式求解
临界状态是指一种物理现象转变为另一种物理现象,
或者从一个物理过程转入到另一个物理过程的转折
状态. 我们也可以将其理解为“ 恰好出现”或者 “ 恰好不出现” 某种现象的状态.
常见临界状态: 1、两个物体将要发生相对运动，些时两物体间的 摩擦力等于最大静摩擦力。 2、绳子恰好绷紧，些时T绳=0。 3、绳子恰好被拉断，此时T绳达到最大张力。 4、两个相互接触的物体恰好不脱离或恰好脱离， 此时物体间的弹力为零（压力和支持力为0）。
平衡中的临界、极值问题
平衡中的临界、极值问题1.临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述.常见的临界状态有:(1)两接触物体脱离与不脱离的临界条件是相互作用力为0(主要体现为两物体间的弹力为0)；(2)绳子断与不断的临界条件为作用力达到最大值；(3)存在摩擦力作用的两物体间发生相对滑动或相对静止的临界条件为静摩擦力达到最大。
2.极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.一般用图解法或解析法进行分析.3.解决临界问题和极值问题的方法(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小.(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值).(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.【例1】如图所示，轻绳OA、OB一端分别固定于天花板上的A、B两点，轻绳OC一端悬挂一重物。
已知OA、OB、OC能承受的最大拉力分别为150 N、100 N、200 N。
问悬挂的重物的重力不得超过多少?【例2】如图所示，质量为m 的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F 水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求： (1)物体与斜面间的动摩擦因数； (2)这一临界角θ0的大小.【例3】如图所示，一球A 夹在竖直墙与三角劈B 的斜面之间，三角劈的重力为G ，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力.问：欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多少？【例4】如图将质量为m 的小球a 用轻质细线悬挂于O 点，用力F 拉小球a ，使整个装置处于静止状态，且悬线与竖直方向的夹角θ=30°，重力加速度为g ，则F 的最小值为( ) A.√33mg B.12mgC.√32mgD.√2mg随堂练习1.倾角为θ＝37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G 的物体A ，物体A 与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5。
高中物理中的临界与极值问题
有关“物理”的临界与极值问题高中物理中的临界与极值问题涉及到多个知识点，包括牛顿第二定律、圆周运动、动量守恒等。
有关“物理”的临界与极值问题如下：1.牛顿第二定律与临界问题：●牛顿第二定律描述了物体的加速度与合外力之间的关系。
当物体受到的合外力为零时，物体处于平衡状态。
●在某些情况下，物体受到的合外力不为零，但物体仍然处于平衡状态，这是因为物体受到的合外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界平衡”。
●在解决与临界平衡相关的问题时，通常需要考虑物体的平衡条件和牛顿第二定律。
通过分析物体的受力情况，可以确定物体是否处于临界平衡状态，以及需要施加多大的力才能使物体离开临界平衡状态。
2.圆周运动中的极值问题：●圆周运动中的极值问题通常涉及向心加速度和线速度的最大值和最小值。
●当物体在圆周运动中达到最大速度时，其向心加速度最小。
此时，物体的线速度最大，而向心加速度为零。
●当物体在圆周运动中达到最小速度时，其向心加速度最大。
此时，物体的线速度最小，而向心加速度为最大值。
●在解决与圆周运动中的极值问题相关的问题时，通常需要考虑向心加速度和线速度之间的关系，以及如何通过分析物体的受力情况来确定其最大速度和最小速度。
3.动量守恒与极值问题：●动量守恒定律描述了系统在不受外力作用的情况下，系统内各物体的动量之和保持不变。
●在某些情况下，系统受到的外力不为零，但系统仍然保持动量守恒。
这是因为系统受到的外力恰好等于某个临界值。
这种状态被称为“临界动量守恒”。
在解决与临界动量守恒相关的问题时，通常需要考虑系统的动量守恒条件和外力的作用。
通过分析系统的受力情况，可以确定系统是否处于临界动量守恒状态，以及需要施加多大的外力才能使系统离开临界动量守恒状态。
超级经典实用的临界问题和极值问题(吐血整理)
如图3—51所示，把长方体切成质量分别为m和M的 两部分，切面与底面的夹角为θ长方体置于光滑的 水平地面，设切面亦光滑，问至少用多大的水平力 推m，m才相对M滑动?
如图1所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F 的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面 光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运 动时的水平力F的范围。
临界问题和极值问题
一、临界状态
在物体的运动状态发生变化的过程中，往往 达到某一特定的状态时，有关物理量将发生 变化，此状态即为临界状态，相应物理量的 值为临界值。【讨论相互作用的物体是否会 发生相对滑动，相互接触的物体是否会分离 等问题就是临界问题】 注意：题目中出现“最大、刚好、恰好、最 小”等词语时，常有临界问题。
F
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B 60°
图1
1、在水平向右运动的小车上，有一倾角θ=370的光 滑斜面，质量为 m 的小球被平行于斜面的细绳系住 而静止于斜面上，如图所示。当小车以（1）a1=g, (2) a2=2g 的加速度水平向右运动时，绳对小球的拉 力及斜面对小球的弹力各为多大？
a
θ
二、动力学中常见的临界问题
1、接触的两物体发生脱离（分离）临界条件： 弹力FN=0； 2、两相对静止的物体发生相对滑动的临界条 件：静摩擦力达到最大值，即f=fMax； 3、绳子断裂和松弛的临界条件：（1）断裂 的临界条件：绳子受的拉力达到它能承受拉 力的最大值；（2）松弛临界条件：绳子受的 拉力为零，即FT=0
4、加速度达到最大和最小的临界条件：物体 受到变化的合外力作用，加速度不断变化， 当所受合外力最大时，加速度最大；合外力 最小时，加速度最小； 5、速度最大或最小的临界条件：加速度为零， 即a=0
高中物理中的临界与极值问题
高中物理中的临界与极值问题之袁州冬雪创作宝鸡文理学院附中何治博一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变更过程中，随着条件的逐渐变更，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变更为另外一种状态发生质的变更（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态.与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与成果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的质变与质变规律在物理学中的详细反映.极值问题则是指物理变更过程中，随着条件数量持续渐变越过临界位置时或条件数量持续渐变取鸿沟值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题.临界与极值问题虽是两类分歧的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的鸿沟值.因此从某种意义上讲，这两类问题的界限又显得非常的恍惚，并不是泾渭分明.高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在讲授大纲或测验说明中明白提出，但近些年高测验题中却频频出现.从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常常使用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明白的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件.也有一些临界问题中其实不显含上述罕见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题矫捷性较大，审题时应力求还原习题的物理情景，周密讨论状态的变更.可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况停止处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向.从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分.二、罕见临界状态及极值条件解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以懂得并记住一些罕见的重要临界状态及极值条件：1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角为0452.从长斜面上某点平抛出的物体间隔斜面最远——速度与斜面平行时刻3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰好不再滑下）—μ=tgθ.4.物体刚好滑动——静磨擦力达到最大值.5.两个物体同向运动其间间隔最大（最小）——两物体速度相等.6.两个物体同向运动相对速度最大（最小）——两物体加速度相等.7.位移一定的先启动后制动分段运动，在初、末速及两段加速度一定时欲使全程用时最短——中间无匀速段（位移一定的先启动后制动分段匀变速运动，在初速及两段加速度一定时欲使动力作用时间最短——到终点时末速恰好为零）8.两车恰不相撞——后车追上前车时两车恰好等速.9.加速运动的物体速度达到最大——恰好不再加速时的速度.10.两接触的物体刚好分离——两物体接触但弹力恰好为零.11.物体所能到达的最远点——直线运动的物体到达该点时速度减小为零（曲线运动的物体轨迹恰与某鸿沟线相切）3米线上方水平击球欲成功的最低位置——既触网又压界13.木板或传送带上物体恰不滑落——物体到达结尾时二者等速.14.线（杆）端物在竖直面内做圆周运动恰能到圆周最高点—）最高点绳拉力为零（=0v杆端15.竖直面上运动的非约束物体达最高点——竖直分速度为零.16.细线恰好拉直——细线绷直且拉力为零.17.已知一分力方向及另外一分力大小的分解问题中若第二分力恰为极小——两分力垂直.18.动态力分析的“两变一恒”三力模子中“双变力”极小——两个变力垂直.1F 2F 两个力的作用下，沿与1F 成锐角θ的直线运动，已知1F 为定值，则2F 最小时即恰好抵消1F 在垂直速度方向的分力.20.渡河中时间最短——船速垂直于河岸，即船速与河岸垂直（相当于静水中渡河）.21.船速大于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速逆向上行分速度与水速抵消.22.船速小于水速的渡河中航程最短——“斜逆航行”且船速与合速度垂直.23.“圆柱体”滚上台阶最省力——使动力臂达最大值2R.24.机车从运动匀加速启动过程持续的最长时间——t e P P =25.损失动能最小（大）的碰撞——完全弹性（完全非弹性）碰撞.26.简谐运动速度最大——位移（恢复力、加速度）为零.27.受迫振动振幅恰好达最大——驱动力的频率与振动系统的固有频率相等.28.两个同相相干波源连线上振幅最大的点——双方距连线中点24x n λ=⋅；反相波源时/4x λ=⋅（2n+1）n=0,1,2,3… 29.只有机械能与电势能相互转化时，重力势能与电势能之和最小时，动能最大.30.粒子恰不飞出匀强磁场——圆形轨迹与磁场鸿沟相切.31.纯电阻负载时电源输出功率最大——表里电阻阻值相等.32.滑动变阻器对称式接法中阻值达最大——滑至中点.33.倾斜安顿的光滑导轨上的通电导体棒运动时，所加匀强磁场方向若垂直于斜面的情况下磁感强度最小.34.光从介质射向空气时恰不射出——入射角等于临界角.35.刚好发生光电效应——入射光频率等于极限频率.36.带电粒子恰好被速度选择器选中（霍尔效应、等离子发电）——电场力与洛力平衡.37.“地面卫星”（氢原子处于基态）时，势能最小、总能量最小、运动周期、角速度均最小；速度、向心力、加速度均最大.38.等量同性质点电荷连线的中垂线上场强最大的位置求解.三、临界与极值问题一般解法临界问题通常以定理、定律等物理规律为依据，分析所研究问题的一般规律和一般解的形式及其变更情况，然后找出临界状态，临界条件，从而通过临界条件求出临界值，再根据变更情况，直接写出条件.求解极值问题的方法从大的方面可分为物理方法和数学方法.物理方法即用临界条件求极值.数学方法包含（1）操纵矢量图求极值（2）用正（余）弦函数求极值；（3）抛物线顶点法求极值；（4）用基本不等式求极值.（5）单调函数端点值法求极值（6）导数法求解.一般而言，用物理方法求极值简单、直观、形象，对构建物理模子及动态分析等方面的才能要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学建模才能要求较高，若能将二者予以融合，则将相得亦彰，对增强解题才能大有裨益.四、典型问题剖析例题1．某屋顶横断面是一等腰三角形ABC ，横梁AC=2L （定值），欲使雨水从屋顶面上流下来时间最短，求屋面的倾斜角（磨擦忽略不计，雨水初速为0）解析：设倾斜角α，AB=s∵F=mgsinα=ma，∴a=gsinα ∵s== ∴当α=45°时，等号成立所以α=45°，雨水从屋顶（光滑）上流下所用的时间最短解法2.21sin cos 2L g t αα=⋅∴解得当0=45α时 t 有最小值.例题2．从倾角为θ的固定长斜面顶点以初速度0v 水平抛出一小球，不计空气阻力求自抛出经多长时间小球离斜面最远?解法一：设经t 秒小球间隔斜面最远，此时速度必与斜面平行，则0yx v gt tg v v θ== 所以 0v t tg g θ=时小球间隔斜面最远.解法二：小球远离斜面方向的初速度0=sin v v θ0离 远离斜面方向的加速度=-gcos a θ离 所以远离斜面的速度减小至零时相距最远.令+0v a t =0离离 则000sin =cos v v v t tg a g gθθθ==离离 时相距最远. 解法三：球与斜面间隔22001cos +sin 022g S v t a t t v t θθ==-⋅+⋅+离离 显然当00cos 2()2v sin v t tg g gθθθ=-=-时 间隔最大 解法四：解析法.选初速度方向为x 轴正向，重力方向为y 轴正向，则代表该斜面的直线方程为y tg x θ=⋅ 平抛物体轨迹方程为2202g y x v =，设抛物线上任意一点000(,)P x y到该直线间隔S == 注意到00tg x y θ⋅≥ 故S 20020cossin 02g x x v θθ=-⋅+⋅+ 显然二次函数有极大致的条件为20020sin cos 2()2v x tg g g v θθθ=-=- 即000x v t tg v gθ== 例题3．一个质量为3kg 的物体放在长木板上，当木板一端抬起使它与水平方向成30°的固定斜面时，物体正好可以沿斜面匀速下滑.当木板水平固定时，用多大的水平拉力能将该物体拉动？解析：在斜面上物体所受磨擦力与重力沿斜面向下的分力平衡即F=mgsin30° 而滑动磨擦力f=μmgcos30°所以μ=tan30°在水平面上拉的时候压力大小等于重力大小.则水平面上的磨擦力f=μmg=mgtan30°所以拉力至少要达到这个值才干拉动物体，例题4-1．某物体所受重力为200 N，放在水平地面上，它与地面间的动磨擦因数是0.38，它与地面间的最大静磨擦力是80 N，至少要用_________N的水平推力，才干将此物体推动，若推动之后坚持物体做匀速直线运动，水平推力应为_________N；物体在地面上滑动过程中，若将水平推力减小为50 N，直到物体再次运动前，它所受到的磨擦力为_________N；物体运动后，此50 N的水平推力并未撤去，物体所受的磨擦力大小为_________N.解析：从运动推物体时推力至少达到最大静磨擦力80N才可以推动物体；推动后当推力大小与滑动磨擦力等值（200×0.38=76N）时物体将做匀速直线运动；在物体滑动过程中水平推力若减小至50N，物体受到的滑动磨擦力仍跟原来一样为76N；物体运动后此50N的水平推力并未撤去时物体受静磨擦力大小等于此时的水平推力大小50N.上，右端放有质量为m的金属棒ab，ab与导轨间的动磨擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为1L 、2L ，回路的总电阻为R.从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间平均变更的匀强磁场B=kt ，（k>0）那末在t 为多大时，金属棒开端移动.解析：当磁场发生变更的时候，有感应电动势发生，在回路中就会发生感应电流，ab 棒会受到安培力的作用，则ab 有向左运动的趋势，则ab 就会受到向右的静磨擦力的作用.当ab 棒受到安培力和静磨擦力的作用平衡时，由12E kL L t ∆Φ==∆可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL∝B=kt∝t，所以安培力将随时间而增大，所以ab 受到的静磨擦力也增大，二者始终是等值反向的，只要安培力的大小没有超出最大静磨擦力，ab 就始终处于运动状态.当安培力大于最大静磨擦力之后，ab 就会运动起来.在运动到运动之间就存在着一个从运动到运动的临界状态，此状态的临界条件就是安培力增大到等于最大静磨擦力.此时有：1212212,kL L mgR kt L mg t R k L L μμ⋅⋅==所以例题4-3．如图3所示两根平行的金属导轨固定在同一水平面上，磁感应强度的匀强磁场与导轨平面垂直，导轨电阻不计，导轨间距；两根质量均为电阻均为的平行金属杆甲、乙可在导轨上垂直于导轨滑动，与导轨间的动磨擦因数均为；现有一与导轨平行大小为的水平恒力作用于甲杆使金属杆在导轨上滑动，已知210m g s = 求（1）分析甲、乙二杆的运动的情况？（2）杆运动很长时间后开端，则再颠末5秒钟二杆间的间隔变更了多少？解析：（1）金属杆甲在水平恒力（这里0.5f mg μ==甲牛为甲杆所受的最大静磨擦力）作用下将向右加速运动并切割磁感线发生逆时针方向的感应电流，因而使甲杆同时受到水平向左的安培阻力；乙杆中也因为有了电流而受到水平向右的安培动力，两个安培力等值反向；开端时甲杆的切割速度较小故安培力=均较小，随的增大则回路中的感应电流增大，所以两杆所受的安培力=均增大，故甲杆将向右作加速度减小的变加速运动；当时乙杆也将开端向右作加速度逐渐增大的变加速运动；直到甲、乙二杆的加速度相等时（此时甲乙两杆速度差v ∆最大，回路中动生电流最大即0.50.2=0.44m BL v v v I R ⋅∆⨯⨯∆∆==总， 每杆受安培力最大即0.50.2440Bm m v v F BI L ∆∆==⨯⨯=乙杆的加速度最大即max 54Bm F mg v a m μ-∆==-乙 甲杆的加速度最小即min 154Bm F F mg v a m μ--∆==-甲 且两杆的加速度相等，即15544v v ∆∆-=- 所以 40m v s ∆=2max min ==5m a a s 乙甲）甲乙两杆以共同的加速度52m s ，恒定的速度差40m s 向右做匀加速直线运动.即甲相对乙将向右做匀速直线运动而远离.图5 （2）依据上述分析知运动很长时间后甲乙两杆将以共同的加速度52m s 及恒定的速度差40m s 向右做匀加速直线运动，亦即甲乙二杆间的相对运动速度为=40m v s 相，因而此后颠末5秒两杆间的间隔将增加=405=200L v t m =⋅⨯相例题4-4．如图5所示，质量为kg M 2=的木块与水平地面的动磨擦因数4.0=μ一端施一大小为20N 的恒力F ，线运动，定滑轮离地面的高度cm h 10=，木块M 可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？解析： 设当轻绳与水平方向成角θ时，对M 有整理得Ma Mg F =-+μθμθ)sin (cos令A =+θμθsin cos ，可知，当A 取最大值时a 最大.操纵三角函数知识有：)sin(12ϕθμ++=A ，其中211arcsinμϕ+=，而2max 1μ+=A ，与此相对应的角为 8.2111arcsin 902≈+-=μθ 所以加速度的最大值为：22max /8.61s m g M F a ≈-+=μμ此时木块离定滑轮的水平间隔为：cm h S 25cot ≈=θ说明：此题并不是在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到一定值时，有可以使物体脱离地面，此后物体将不在沿着水平面运动.因此，F 、M 、μ必须知足θsin F ≤Mg.此题所给数据知足上述条件，可以达到最大加速度.例题4-5．如图3所示，质量为m=1kg 的物块放在倾角为的斜面体上，斜面质量为，斜面与物块间的动磨擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m 相对斜面运动，试确定推力F的取值范围.（）图3解析：此题有两个临界条件，当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可以性，此时物体受到的磨擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可以性，此时物体受到的磨擦力沿斜面向下.找准临界状态，是求解此题的关键.（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如图4所示，取加速度的方向为x轴正方向.图4对物块分析，在水平方向有竖直方向有对整体有代入数值得（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2对物块分析，在水平方向有竖直方向有，对整体有代入数值得.综上所述可知推力F 的取值范围为：例题4-6.如图4-6所示，跨过定滑轮的轻绳两头，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动磨擦因数为μ（μ<tanθ），滑轮的图4-6磨擦不计，要使物体运动在斜面上，求物体B 质量的取值范围． 解析：物体在斜面上可以恰好不上滑，也可以恰好不下滑，所以磨擦力可以有两个方向.以B 为研究对象，由平衡条件得：B T m g =再以A 为研究对象，它受重力、斜面临A 的支持力、绳的拉力和斜面临A 的磨擦作用．假设A 处于临界状态，即A 受最大静磨擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：cos N mg θ= 0,m m T f mg f N μ--==或：0,m m T f mg f N μ+-==综上所得，B 的质量取值范围是：(sin cos )(sin cos )B m m m θμθθμθ-≤≤+例题5-1．甲物体以=4m v s 甲做匀速直线运动，乙物体在其后面5m 处沿同一直线同一方向做初速为零加速度22m a s =的匀加速直线运动，问乙物体是否可以追上甲物体？并求出其间间隔的最大值.解法一：（1）乙物体一定可以追上甲物体.（2）用临界法分析求极值：乙物体加速至=4m v s 甲前，速度小于其前方的甲物体运动速度，此阶段其间间隔不竭增大，当乙物体加速至=4m v s 甲后，速度大于其前方的甲物体运动速度，所以在尚未追上甲物体前，其间间隔不竭减小，故等速时其间间隔最大.令a t v ⋅=甲 解得4==22v t s a =甲 此时相距最远 解法二：（2）用抛物线顶点坐标法求极值：依据甲乙两物体各自运动规律可得出其间的间隔函数222011+5424522S S v t at t t t t =⋅-=+-⨯=-++甲 显然当422(1)t =-=-s 时例题5-2．（宝鸡2012年二模）如图所示，质量为6kg 的小球A与质量为3kg 的小球B ，用轻弹簧相连后在光滑水平面上共同以速度0v 向左匀速运动，在A 球与左侧竖直墙壁碰后两球继续运动的过程中，弹簧的最大弹性势能为4J ，若A 球与左侧墙壁碰撞前后无机械能损失，试求0v 的大小.解析：这里弹性势能最大时即簧压缩量最大，亦即A 与左侧墙壁碰后以0v 为初速（碰墙壁无机械能损失）向右减速运动，B仍以0v 为初速向左减速，但B 球质量小先减至零又反向向右加速运动，二者均向右运动等速时其间间隔最小，此时簧的弹性势能最大.因为碰墙壁后向右运动过程A+B 系统总动量守恒，如果选向右为正方向则又因为碰墙壁后向右运动过程A+B （含簧）系统总机械能守恒则联立求解并代入数值得01m v s = （13AB m v s =） 例题5-3．（90年全国卷）在光滑的水平轨道上有两个半径都是r 的小球A 和B ，质量分别为m 和2m ，当两球心间间隔大于L （L 比2r 大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间间隔等于或小于L 时，两球间存在相互作用的恒定斥力F.设A 球从远离B 球处以速度0v 沿两球连心线向原来运动的B 球运动，如图12-2所示，欲使两球不发生接触，0v 必须知足什么条件解析 ： 据题意，当A 、B 两球球心间间隔小于L 时，两球间存在相互作用的恒定斥力F.故A减速而B 加速.当B A v v >时，A 、B间间隔减小；当B A v v <时，A 、B间间隔增大.可见，当B A v v =时，A 、B 相距最近.若此时A 、B 间间隔r x 2>，则A 、B 不发生接触（图12-3）.上述状态即为所寻找的临界状态，B A v v =时r x 2>则为临界条件. 两球不接触的条件是：B A v v =（1）2B A L S S r +- （2） 其中A v 、B v 为两球间间隔最小时，A 、B 球的速度；A S 、B S为两球间间隔从L 变至最小的过程中，A 、B 球通过的旅程.设0v 为A 球的初速度，对于A+B 系统由动量守恒定律得 B A mv mv mv 20+= （3） 对于A 球由动能定律得022011cos18022A A F S mv mv ⋅=- （4） 对于B球由动能定律得 021cos0(2)2B B F S m v ⋅= （5） 联立解得：m r L F v )2(30-<评析 本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态，为B A v v =且此时r x 2>例题6．（09年江苏卷）如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧毗连，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑.弹簧开端时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内.在物块A上施加一个水平恒力，A、B从运动开端运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有（）A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大解析：分析本题的关键是对物体停止受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可使问题更加简单.A、B物块在水平方向受力如右图上下，F1为弹簧的拉力.A从运动开端向右做加速度减小的变加速直线运动，B从运动开端向右做加速度增大的变加速直线运动，当两物块加速度相等时它们的速度差最大（因为该阶段A速度的增加值总是大于B速度的增加值），————选B.该过程可视为B板后沿(质点)追击A物块，因为前面A物体的速度总是大于后面B物体的速度，所以其间间隔不竭增大（同一时间内A物的位移总是大于B物的位移），当两物体等速时其间间隔最大即弹簧伸长量最大，所以弹簧的弹性势能最大.————选D据前分析该过程A 物体始终做加速度减小的加速运动（B 物也始终加速但加速度增大），这种运动一直持续到A 物体加速度减为零（此时B 物体加速度增至F/m ），即A 物体速度单调增加，故末时刻速度最大.————选C.又因外力F 不竭做正功，所以系统机械能不竭增大，末时刻机械能最大.————解除A.两物体的速度时间图像如下：1t 时刻2A B F a a m ==2t 时刻A B v v =且A 物加速度=0例题7-1．消防队员为了缩短下楼时间，往往抱着直立于地面的竖直滑杆直接滑下（设滑杆在水平方向不克不及移动），假设一名质量为60kg 的消防队员从离地面18m 的七楼抱着竖直的滑杆以最短的时间滑下.已知消防队员的手和脚对杆之间的压力最大为1800N ，手和脚与滑杆之间动磨擦因数为0.5，消防队员着地的速度不克不及大于6m/s ，当地的重力加速度210m g s =求：（1）消防队员下滑的最短时间？（2）消防队员下滑过程中最大速度？解法一（基本不等式极值法）：设消防队员先做自由落体运动1t ，其次匀速运动2t （计算知人与滑杆之间最大静磨擦力为900N 大于重力600N ），最后匀减速运动3t ，到达地面时恰好减速至3v =6m/s ，则下滑时间123T=t t t ++……………………………………………①且18=21112316+22gt gt gt t t +⋅+⋅…………………………………..② 又依牛顿第二定律知消防队员减速下滑的加速度最大值为 而依运动学公式知13g 6t a t -=所以13g 65t t -=即13g 65t t -=…..③ 将②③式代入①式并整理有2111231111108751063546T==5052255t t t t t t t t t --++++=+- 显然因为1302t ，154025t 且11354225t t ⨯为定值，所以当11354=225t t 即1 1.2t s =时 即消防队员下滑的最短时间为2.4 s ，即加速1.2s 、匀速0s 、减速1.2s.（2）消防队员下滑的最大速度即自由落体段下滑的末速度max 110 1.212m m v gt s s ==⨯=解法二（图像法）如果消防队员首先自由落体至某速度max v ，然后当即以最大加速度220.518006010560m N mgm m a s s m μ-⨯-⨯===匀减速至3=6m v s 时位移恰好为18m ，这种临界状态的v-t 图像如下图中实线OAB 所示，其与横轴所围成的图形“面积”恰好为18m ，显然其他任意一个含有匀速运动段的图形若面积与其相等(例如OPQM)，则底边长度必大于24s.所以先加速后减速中间无匀速运动段，用时最短.例题7-2．（06年上海卷） (辨析题):要求摩托车由运动开端在尽可以短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不克不及太快，以免因离心作用而偏出车道，求摩托车在直道上行驶所用的最短时间.有关数据见表1.某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度1v =40m/s ，然后再减速到2v =20m/s ，111=...v t a =1222...v v t a -==；12t t t =+ 你认为这位同学的解法是否合理?若合理，请完成计算；若分歧理，请说明来由，并用你自己的方法算出正确成果. 解析：上述解法分歧理，因为加速时间11140==104v t s a =， 减速时间122240-20s=2.58v v t s a -== 所以加速间隔221111*********s a t m m ==⨯⨯=， 减速间隔12224020 2.57522v v s t m m ++=⋅=⨯= 因为12275218s s m m +=，故分歧理. 应先以214m a s =加速到最大速度m v （并不是40），又以加速度228m a s =减速到220m v s =恰完成218m 的直道间隔行驶，即为最短时间.所以加速间隔211'2m v s a =，减速间隔22222'2m v v s a -=令''12218s s +=，解得 36m m v s = 所以加速时间'113694m v t s s a ===， 减速时间'222362028m v v t s s a --=== 故最短时间''129211t t t s s s =+=+= 例题7-3．（2013年宝鸡市一检试题）如图所示，水平地面上有A 、B 两点，且两点间间隔LAB=15m ，质量m=2kg 的物体（可视为质点）运动在A 点，为使物体运动到B 点，现给物体施加一水平F =10N 的拉力，求拉力F 作用的最短时间.（已知地面与物块的滑动磨擦因数μ=0.2，g 取10m/s2）解析：可证要使F 作用时间最短，则F 作用一段最短时间1t 后撤去该力，使物体匀减速运动2t 时间在B 点恰好停止（证明见后）.设匀加速直线运动的加速度为a1，运动的位移为1s ，由题意可得：1ma mg F =-μ（1）211121t a s =（2）设撤去F 后物体做匀减速直线运动的加速度大小为2a ，时间为2t ，位移为2s ，由题意可得：2ma mg =μ（3）222221t a s =。