流体平衡微分方程

§2.2流体的平衡微分方程及其积分
在理想运动流体中任取微元直角六面体abcdefgh，设 形心A（x、y、z）处的压强为p。这个六面体微团在质量 力和表面力的作用下，处于平衡状态。 1、质量力
Fx dxdydzX Fy dxdydzY Fz dxdydzZ
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
2、表面力
m、n点分别为a-b-c-d面及e-f-g-h面的重心点，其位置 坐标均与A点相差1/2dx，由于流体静压强是空间坐标的连 续函数（P=f(x，y，z)），沿x轴方向作用于边界面a-b-c-d 及e-f-g-h中心处的压强，根据泰勒级数展开，并取前两项 分别为：
p 1 p dx 2 x
第二章 流体静力学
流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学 规律：它以压强为中心，主要阐述流体静压强的 特性，静压强的分布规律，欧拉平衡微分方程， 等压面概念，作用在平面上或曲面上静水总压力 的计算方法，以及应用流体静力学原理来解决潜 体与浮体的稳定性问题等。
第二章 流体静力学
流体的“静止” 绝对静止：流体相对于地球无运动 相对静止：流体质点没有相对运动（容器作匀
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程
本节分析作用在流体微团的质量力和表面力的平衡关系， 这样就会得到流体静止的微分方程。
本节中微分方程，是流体静止时分析的，此时质量力仅 为重力，同样适用于流体的相对平衡，即质量力除重力外， 还有惯性力同时作用下的液体平衡规律，相对平衡运动。
加速直线运动或等加速回转运动） 由于静止流体的流体质点间没有相对运动， 因而流体的粘性显示不出来，可以看作理想流体。
§2.1静止流体上的作用力
研究流体运动规律，首先必须分析作用于流体上的力， 力是使流体运动状态发生变化的外因。 根据物理性质：重力、摩擦力、惯性力、表面张力 根据力作用的方式： 质量力、表面力
类似地有：
图中的斜面是任意选取的，即n是任意的，所以同一点静 压强大小相等，与作用面的方位无关。也就是说静止流体中 任意一点各个方向受到的压强值大小是相等的。
§2.1静止流体上的作用力
结论： 平衡流体中任意点的压强P只是位置坐标（x,y,z）的函
数，与其作用方向无关。 即P=f(x,y,z)
流体静压强只是空间的函数。
§2.1静止流体上的作用力

流体力学中研究流体的运动时，正确地分析作用在所考
虑的流体系统上的表面力是极其重要的。
2、表示：应力（单位面积上的表面力 ）
压强
切应力
3、常见表面力
大气压强、摩擦力
§2.1静止流体上的作用力
4、单位 ，量纲 表面力 N MLT 2
应力 Pa
ML1T 2
质量力与表面力均为分布力，质量力分布于体
p 1 p dx 2 x
所选取的是边长为dx，dy，dz的微元六面体，故各面上 重心处的压强可以看成是这些面的平均压强，则作用于各 个面上的总压力为:
§2.2流体的平衡微分方程及其积分
积上，am是质量力在空间中的分布密度；表面力分 布于面积上，应力为作用面上的分布密度。
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§2.1静止流体上的作用力
三、静止流体中任一点应力的特性
1、静止流体表面应力只能是压应力或压强（如图B点），且静 水压强方向与作用面的内法线方向重合。
流体不能承受拉力，且具有易流动性(如图A点,必须)。
2、作用于静止流体同一点压强的大小各向相等，与作用面的方 位无关。
质量力
N
MLT 2
单位质量力 N/kg LT 2
重力的大小与流体的质量成正比，所以流体所受的单
位质量力的大小等于重力加速度的量值，当采用惯用的直角
坐标系时，Z轴铅锤直向上为正，重力在各向的分力为（0，0， mg），单位质量力的轴向分力为（X,Y,Z）=（0，0，-g）
§2.1静止流体上的作用力
在静止流体中取体积 V的流体微团，其表面积A
一、质量力mass force
1、定义:是指作用于隔离体内某一流体质点上的力，它的大 小与质量成正比。对于均质流体（各点密度相同的流体）， 质量力与流体体积成正比，其质量力又称为体积力。
§2.1静止流体上的作用力
2、表示：单位质量力或单位质量力分量 Fm m am m(Xi Yj Zk)
加速运动（X=-a,Y=0,Z=-g）
§2.1静止流体上的作用力
二、表面力surface force 1、定义：又称面积力，是毗邻流体或其它物体作用在隔离体表
面上的直接施加的接触力。它的大小与作用面面积成 正比。 表面力是就所研究的流体系统而言的，它可能是周围同 种流体对分离体的作用，也可能是另一种相邻流体对其作用， 或是相邻固壁的作用。 例如，敞开容器内的液体，如把整个液体作为研究系统， 则它仅受自由面上的大气和相接触的容器壁面的作用；若把 和固壁接触的自由面附近的部分液体取作分离体，则上述三 种表面力都存在。
既有
§2.1静止流体上的作用力
证明:从平衡状态下的流体中取一微元四面体OABC，如图所示取
坐标轴。
由于液体处于平衡状态，则有 为零，则：
，即各向分力投影之和亦
x方向受力分析:
表面力：
§2.1静止流体上的作用力
n为斜面ABC的法线方向
质量力：
当四面体无限地趋于O点时，则dx趋于0，所以有：Px=Pn
如果微团极限缩为一点，即V 0，则 dFm dm am dm(Xi Yj Zk)
质量力: Fm
单位质量力: am
（单位质量的质量力，在数值和单位上均与对应的加速度相同。） 单位质量力分力:X、Y、Z
§2.1静止流体上的作用力
3、常见质量力
重力G=mg、直线运动惯性力、F=ma 、离心惯性力F mr2 4、单位，量纲
问题1：比较重力场（质量力只有重力）中，水和水银所
受的单位质量力am水和am水银的大小？
A. am水< am水银；
B. am水> am水银；
(C)
C. am水= am水银；
D.不一定。
问题2：试问自由落体和加速度a向x方向运动状态下的液
体所受的单位质量力大小（X,Y ,Z）分别为多少？
自由落体（X=Y=Z=0）