第1章 多自由度系统的固有振动特性

第一章 多自由度系统的固有振动特性

§1.1概述

实际工程结构的振动往往用一个有限的多自由度振动系统来描述。多自由度系统在数学上用一组常微分方程来描述，又称为集中参数系统。因此研究多自由度系统振动特性是研究结构振动的基础和出发点。

§1.2 无阻尼系统的自由振动

1． 振动方程

}0{}]{[}]{[=+u K u

M （1－1） N N N

N R K R M ⨯⨯∈∈][][，T N u u u u ][}{21 =为广义位移矢量

2． 质量矩阵物理意义

动能

0}]{[}{21>=u M u T T ji j i ij m u u

T

m =∂∂∂= 2 （1－2）

（1） 质量矩阵反映了系统的动能 （2） 质量矩阵是正定的 （3） 质量矩阵是对称的 例外：纯静态位移}{∞u 使

0}]{[}{2

1

==∞∞u M u T T （1－3） 如在用有限元法建模时，采用非一致质量阵，则某些自由度上可能无质量项，此时质量阵不能保证正定。即可以找到这样的一个位移向量使上式成立。 3． 刚度矩阵的物理意义 势能

0}]{[}{21≥=u K u U T ji j

i ij k u u U k =∂∂∂=2 （1－4）

（1） 刚度矩阵反映了系统的势能

（2） 刚度矩阵是半正定的（刚体位移对应的势能为零） （3） 刚度矩阵是对称的

刚度矩阵的逆阵也有明确的物理意义——柔度矩阵

使用刚度矩阵或柔度矩阵建立振动方程，分别称为“力法”、“位移法”

4． 特征方程

各个自由度上的运动互不相同，但都是同频的简谐振动。

][][}0{}]){[]([)

cos(}{)}({22=-=--=M K U M K t U t u ωωαω （1－5） 求解上述方程是结构振动分析最基本的任务之一。 5． 几个基本概念

（1） 固有频率 特征方程的根为2

i ω，i ω即为固有频率，它反映了结构自由

振动随时间的变化特性。

（2） 固有模态或固有振型 对应于特征方程根的特征矢量

T iN i i i u u u u ][}{21

= （1－6）

它反映了结构自由振动在空间的变化特性。 （3） 标准模态 对固有模态归一化

}{}{i i i c u φ= （1－7）

则}{i φ称为标准模态或归一化模态，模态归一化的方法有： 1）置}{i φ中某一分量为1

2）置}{i φ中绝对值最大的分量为1 3）置模态质量为1，

i i T i i i

i M u M u u M ==

}]{[}{}{1

}{φ （1－8）

（4） 刚体模态：对应于

0}]{[}{0000==φφωK T （1－9）

纯刚体模态：仅含有一种刚体运动

（5） 纯静态模态：使}0{}]{[=∞u M 的模态，在非一致质量阵中，某些对角

元素可以为零，可以找到一组位移使

}0{}]{[=∞u M （1－10）

（6） 单频：j i j i ωω≠≠,称j i ωω,为单频。

（7） 重频：j i j i ωω=≠,称j i ωω,为重频，但相应有两个模态。

（8） 密频或近频：j i j i ωω≈≠,通常当410-<-j i ωω时，可以称为密频

§1.3 固有频率与固有模态的特性

1． 正交性

指模态对刚度矩阵[K]及质量阵[M]的加权正交性：

}]{[}{0}]{[}{==r T

s r T s K M φφφφ s r s r ωω≠≠ （1－11）

证明： 由

}]{[}]{[}]{[}]{[22s s s r r r M K M K φωφφωφ== （1－12）

分别前乘T r T s }{}{φφ，然后相减并利用质量阵和刚度阵的对称性。

【问题】 ：

（1） 重频或密频时，正交性是否成立。

一般不正交，但线性无关，可以用正交化方法找到两个对应的正交向量。

（2） 对于刚体模态是否有正交性？

对}{0φ由于有}0{}]{[0=φK 故有[K]正交性。

（3） 对于纯静态模态是否有正交性？

对}{∞φ由于有}0{}]{[=∞φM 故有[M]正交性。

但}{0φ不一定[M]正交，}{∞φ不一定[K]正交。同样需要做变换，找到一组

新的向量，以满足对质量阵和刚度阵的正交性。 （4）与正交性有关的一些概念

模态矩阵

}]{}}{[{][21N φφφ =Φ

广义质量阵（模态质量阵）

]][[][][ΦΦ=M M diag T r

广义刚度阵（模态刚度阵）

]][[][][ΦΦ=K K diag T r

2r r r M K ω= （1－13）

若模态已经按模态质量为1归一化，则

][][][][2i r r diag K diag I M diag ω== （1－14）

（4） 解耦：利用模态矩阵作变换阵，以模态坐标作为新坐标系，对方程作线

性变换

)}(]{[)}({t q t u Φ= （1－15）

则有

),2,1(0)()(N r t q K t q

M r r r r ==+ （1－16） 2． 展开定理 （1） 位移展开定理

N 维空间中任一位移向量{u(t)}可以按该空间中的模态坐标展开

)}

(]{[}{1)(}

){(}]{[)}({1t u M M t q t q q t u T r r

r i N

i φφ==Φ=∑ （1－17）

（2） 能量展开定理

系统总动（势）能为各阶主振型的动（势）能之和。

∑∑==N

r N

r

U U T T 1

1 （1－18）

∑∑∑∑======

r

r r r r T T T T j

i i j ij T M q q M q q M q u M u u u m T 221}]{[}{21}]{][[][}{2

1

}]{[}{2121 ΦΦ（1－19）

3． 特征值的有序性

系统的特征值按从小到大的顺序排列，即

2

232221N ωωωω≤≤≤≤ （1－20）

特征值有序性的物理意义

（1） 低阶模态对应低阶固有频率，虽然频率是时间上的概念，模态是空间

上的概念，但两者成对出现，共同描述同一现象。