空间几何体的外接球问题

球面上，SC是球O的直径。若平面SCA ⏊ 面SCB，SA=AC，
SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为
。
考点一 空间几何体的外接球
堂小练
B
考点一 空间几何体的外接球
练习三棱锥P-ABC中，ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，
PA⏊PB，三棱锥P-ABC的外接球体积为（ B）
识梳理 相关知识：
1、相关公式：
2、用一个平面去截球，截面是__圆_面____ ； 3、球心和截面圆心的连线_垂__直_于截面；
4、球心到截面的距离d与球 的半径R及 截面的半径r 有下面的关系:
这个直角三角形我们称之为 “特征三角形”．
球与空间几何体的接、切问题（一）
以正方体的外接球为例：
D A
D
C
A
B
O
O
D1 A1
C1 B1
O
Βιβλιοθήκη Baidu点一 空间几何体的外接球
2、构造法 思考：哪些几何体能构造为能用“直接法”的柱体？
解析：以底面外接圆为底面，构造圆柱
设外接球半径为R，体积为V，底面外
接圆半径为r。
A
A1
C
B C1
B1
考点一 空间几何体的外接球
2、构造法 思考：哪些柱体和锥体能构造为圆柱？
方法点津2 ：1.可以构造圆柱的几何体： 1） 底面存在外接圆的直棱柱； 2） 顶点在底面的投影在底面多边形外接圆的圆周上的棱锥.
考点一 空间几何体的外接球
2、构造法
A D
B
解析： 正四面体对棱相等，可构造为正 方体。
C
考点一 空间几何体的外接球
3、找特征三角形
A
DR
R
O
r
E
B
过A作AE ⏊面BCD于点E，则O在AE上，
连接DE，DO，
C
关键：顶点、底面外接圆圆心、球 心三点共线。
考点一 空间几何体的外接球
3、找特征三角形
球与空间几何体的接、切问题（一）
考纲要求
近年高考统计
了解球的表面积和体积 计算公式
2018全国Ⅲ，文12 2017全国Ⅲ，文8 2017全国Ⅰ，文16 2017全国Ⅱ，文15 2016全国Ⅱ，文4 2016全国Ⅲ，文11
命题规律及趋势
热点：以球与几何体内切 或外接为题的背景，求球 的表面积或体积。 难度：中等及偏下
在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120° C
解得
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2
AB
O
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中 C1
易得球半径 故此球的表面积为4πR2=20π
A1
B1
训练：已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球 与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为( D )
如图，过点 P 作 PD⊥平面 ABC 于点 D，连接 AD 并延长交 BC 于点 E， 连接 PE，
∵△ABC 是正三角形，∴AE 是 BC 边上的高和中线，D 为△ABC 的中心．
∵AB＝2 3，∴S△ABC＝3 3，DE＝1，PE＝ 2. ∴S 表＝3×12×2 3× 2＋3 3＝3 6＋3 3.
注意：需要高h和底面外接圆半径r
考点一 空间几何体的外接球
2、构造法
解析：顶点P在底面的投影为B，B显然在 底面外接圆上，可构造圆柱
考点一 空间几何体的外接球
2、构造法
D A
C B
D1
C1
A1
B1
方法点津2 ：2.可以构造长方体的几何体：
对棱分别相等的三棱锥；
其中最特殊的就是正四面体
课后思考：还有什么几何体能构造长方体？
∵PD＝1，∴三棱锥的体积 V＝13×3 3×1＝ 3. 设球的半径为 r，以球心 O 为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱
锥，则 r＝3
33 6＋3
＝ 3
2－1.
思考题：正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为__________。 解析：用构造法将四面体ABCD放置 于如图所示的正方体中，则正方体的 外接球就是四面体ABCD的外接球，
显然球心到截面距离为d越大，r越小， 易知OE为d的最大值，
A
解析：ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，
所以ΔPAB≅ ΔPBC≅ ΔPAC。
C
P
以PA，B PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体，
则正方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球。
A
C
P
B
考点二 空间几何体的内切球
2、等体积法
训练：直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上， 若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等 于 20π．
纳总结
“接”的问题与方法：
1、直接法—— 适用于长方体和圆柱； 2、构造法—— 能构造为圆柱的几何体；
能构造为长方体的几何体； 3、找特征三角形—— 适用于顶点、底面外接圆的圆心与
外接球球心三点共线的锥体。 “两心一点”共线的锥体
考点一 空间几何体的外接球
堂小练
练习（2017全国Ⅰ16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O的
D1 A1
C B
C1 B1
多面体的外接球：多面体的顶点都在球面上；
考点一 空间几何体的外接球
1、直接法
考方点法自点测津（12：01长7全方国体Ⅱ和1圆5）柱长，方可体以的不长找、球宽心、，高直分接别求为外3接,2球,1,
其半顶径点R都。在球O的球面上，则球O的表面积为
。
A A1
D
C
B
O D1
C1
B1
P
P
P
O
O
O
C
C
C
A
O1
D
A
O1
B
A
O1
B
B
图6
图7-1
图8
P
P
P
A
O2 B
CB
D
O
A O2 O
A C
O2 D
B O
图8-1
图8-2
图8-3
方法点津3：顶点、底面外接圆的圆心与外接球球心三点共线
的锥体可以找“特征三角形”解决外接球问题。
考点一 空间几何体的外接球
堂小练
P C
O D A
B
考点一 空间几何体的外接球