第3章- 第3讲方位投影及其应用
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第三章投影法的概念
图3-6 三视图的形成
第二节 三视图的形成及投影规律
二、三视图的关系及投影规律
1、位置关系 物体的三个视图按规定展开，摊平在同一平面上以后，具有明确的位置 关系，主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右 方。 2、投影关系 三视图之间的投影对应关系可以归纳为： 主视、俯视长对正(等长)。 主视、左视高平齐(等高)。 俯视、左视宽相等(等宽)。 这就是“三等”关系，简单地说就是“长对正，高平齐，宽相等”。对 于任何一个物体，不论是整体，还是局部，这个投影对应关系都保持不变 (图3-7)。 “三等”关系反映了三个视图之间的投影规律，是我们看图、画图和检 查图样的依据。
Y
ay
a●
Y ay
四、点的投影规律:
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a● H
ay Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y =Aa（A到V面的距离） aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay =z =Aa （A到H面的距离）
五、 点的坐标
如图3-11所示，点的坐标值的意义如下： A点到W面的距离Aa″=aaY=a′aZ=OaX，以坐标x标记。 A点到V面的距离Aa′=aaX=a″aZ=OaY，以坐标y标记。 A点到H面的距离Aa=a′aX=a″aY=OaZ，以坐标z标记。 由于x坐标确定空间点在投影面体系中的左右位置，y坐标确定空间点在投影面体系 中的前后位置。z坐标确定点在投影面体系中的高低位置，因此，点在空间的位置 可以用坐标x、y、z确定。
一、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
第二节 三视图的形成及投影规律
二、三视图的关系及投影规律
1、位置关系 物体的三个视图按规定展开，摊平在同一平面上以后，具有明确的位置 关系，主视图在上方，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右 方。 2、投影关系 三视图之间的投影对应关系可以归纳为： 主视、俯视长对正(等长)。 主视、左视高平齐(等高)。 俯视、左视宽相等(等宽)。 这就是“三等”关系，简单地说就是“长对正，高平齐，宽相等”。对 于任何一个物体，不论是整体，还是局部，这个投影对应关系都保持不变 (图3-7)。 “三等”关系反映了三个视图之间的投影规律，是我们看图、画图和检 查图样的依据。
Y
ay
a●
Y ay
四、点的投影规律:
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a● H
ay Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y =Aa（A到V面的距离） aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay =z =Aa （A到H面的距离）
五、 点的坐标
如图3-11所示，点的坐标值的意义如下： A点到W面的距离Aa″=aaY=a′aZ=OaX，以坐标x标记。 A点到V面的距离Aa′=aaX=a″aZ=OaY，以坐标y标记。 A点到H面的距离Aa=a′aX=a″aY=OaZ，以坐标z标记。 由于x坐标确定空间点在投影面体系中的左右位置，y坐标确定空间点在投影面体系 中的前后位置。z坐标确定点在投影面体系中的高低位置，因此，点在空间的位置 可以用坐标x、y、z确定。
一、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
垂直
地图投影第三章方位投影
角度、面积等变形线为以投影中心为圆线的同心圆。 球面上的微圆投影为椭圆，且误差椭圆的
长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线，其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采 用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴 方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。
横轴、斜轴方位投影变形分布规律
投影面在p点与地球面相切，过新极点p可做许多大圆， 命名为垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名为等高圈。 这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈，等高圈相当于纬 线圈，等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和正 轴方位投影时，情况完全一致。
3 21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
七. 球心投影（日晷投影）
4 3
21
八. 方位投影的分析和应用
方位投影的差别是取决于纬圈或等高圈投影半径p
的形式，而ρ的具体形式是取决于变形性质或透
视条件。
4
根据方位头因的长度比、面积比和角度最大变形的
公式来看，在正轴投影中，它们是纬度3 φ的函数， 在斜轴和横轴投影中，它们是天顶距Z的函数1
方位投影变形性质的图形判别
方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形 式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
正轴投影，纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为放 射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直 的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直 线外，其余的经纬线均为曲线。
长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线，其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采 用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴 方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。
横轴、斜轴方位投影变形分布规律
投影面在p点与地球面相切，过新极点p可做许多大圆， 命名为垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名为等高圈。 这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈，等高圈相当于纬 线圈，等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和正 轴方位投影时，情况完全一致。
3 21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
七. 球心投影（日晷投影）
4 3
21
八. 方位投影的分析和应用
方位投影的差别是取决于纬圈或等高圈投影半径p
的形式，而ρ的具体形式是取决于变形性质或透
视条件。
4
根据方位头因的长度比、面积比和角度最大变形的
公式来看，在正轴投影中，它们是纬度3 φ的函数， 在斜轴和横轴投影中，它们是天顶距Z的函数1
方位投影变形性质的图形判别
方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形 式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
正轴投影，纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为放 射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直 的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直 线外，其余的经纬线均为曲线。
第三章 方位投影ppt课件
.
3.等距正轴方位投影
①投影条件：投影面---平面 μ1= 1 Ψ0=90º ②投影公式：μ1=1 μ2= z/sinz
③经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心
圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外不变即相
等。
④变形分布规律：
ⅰ 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大。
（ a） 切 方 位
（ b） 割 方 位
.
图04-14 方 位 投 影 等 变 形 线
二、等角、等积和等距方位投影
（一）等角方位投影 2RC2oZsK tanZ
22
等角方位投影，就是使它符合等角条件，并由此决定 =f(z)的函数形式
的一种方位投影。该投影保持微分面积形状相似，即微分圆投影后仍为一
个圆，也就是一点上的长度比与方位无关，没有角度变形。
的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的曲线。
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。在中央纬线
上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。
④变形分布规律：
ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大。
ⅱ w=0
ⅲ μ1=μ2
μ1 1→2
μ2 1→2
ⅳ没有角度变形，但面积变形较大。
90
90
60
30
0
30
60
90
90
.
图 0 4 -1 0 横 轴 等 角 方 位 投 影
180 150 120
150 120
90 60
60
90
30
0
60 30
30
30 0
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图 0 4 -1 1 斜 轴 等 角 方 位 投 影
3.等距正轴方位投影
①投影条件：投影面---平面 μ1= 1 Ψ0=90º ②投影公式：μ1=1 μ2= z/sinz
③经纬线形式：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是同心
圆的半径。在中央经线上纬线间隔自投影中心向外不变即相
等。
④变形分布规律：
ⅰ 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增大。
（ a） 切 方 位
（ b） 割 方 位
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图04-14 方 位 投 影 等 变 形 线
二、等角、等积和等距方位投影
（一）等角方位投影 2RC2oZsK tanZ
22
等角方位投影，就是使它符合等角条件，并由此决定 =f(z)的函数形式
的一种方位投影。该投影保持微分面积形状相似，即微分圆投影后仍为一
个圆，也就是一点上的长度比与方位无关，没有角度变形。
的曲线。中央纬线为直线，其它纬线是对称于中央纬线的曲线。
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。在中央纬线
上经线间隔自投影中心向东、向西方向逐渐增大。
④变形分布规律：
ⅰ投影中心无变形，离开投影中心愈远面积、长度变形增大。
ⅱ w=0
ⅲ μ1=μ2
μ1 1→2
μ2 1→2
ⅳ没有角度变形，但面积变形较大。
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0
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图 0 4 -1 0 横 轴 等 角 方 位 投 影
180 150 120
150 120
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30 0
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图 0 4 -1 1 斜 轴 等 角 方 位 投 影
方位投影
面积变形为零的投影。为满足这个条件，必须使变形椭圆的最大长度比a与最小长度比b互为倒数，即a=1/b 或b=1/a，这样才能使微分圆投影前后保持面积不变。因此，变形椭圆的长轴越长，其短轴就越小，与投影前的 圆形相比，其视觉变形就越大，即“非正形”。等积投影具有以下特点：①所有的面状要素投影前后面积保持不 变，因此可以直接在等积投影图上进行面积量算；②角度变形大，等积投影适用于对面积要求较高的自然地图和 社会经济地图，如行政区划图、土地利用类型图等。但不适用于制作航海、航空、军事等对方向精度要求较高的 地图。
用途
以平面作为投影面，使平面与地球相切(或相割)，将地球面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。由于投 影面与地球面的关系位置不同，又分为正轴方位投影、横轴方位投影和斜轴方位投影。正轴方位投影是投影平面 与地轴垂直(即投影平面切于极点，设以φ0表示切点的纬度，φ0=90°)；横轴方位投影是投影平面与地轴平行 (投影平面与地球面相切于赤道，φ0=0°)；斜轴方位投影是投影平面与地轴斜交(投影平面与地球面相切点的纬 度，小于90°，大于0°，0°<0<90°)。正轴投影的经纬线形状比较简单，称为标准。纬线为同心圆，经线为同 心圆的半径，经线间的夹角等于相应的经度差。纬线半径ρ随纬度φ的变化而变化，即ρ是纬度的函数，一般用 ρ=f(φ)式表达。故正轴方位投影的一般公式为：ρ=f(φ)，δ=λ，δ为投影平面上经线夹角，λ为地球面上 经线间的夹角。
方位投影
分为非透视方位投影和透视方位投影
01 概念
03 地图投影
目录
02 用途 04 分类
方位投影分为非透视方位投影和透视方位投影。前者按变形性质又分为等角、等积和任意（包括等距离）投 影；后者随视点位置不同又分为正射、外心、球面和球心投影。方位投影的特点是：在投影平面上由投影中心向 各方向的方位角与实地相等。这种投影适用于区域轮廓大致为圆形的地图。
第3章 投影基础
例2 已知A点在B点的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A点的 投影。 Z a 12 a
b X 10 b 6 a
b
O
YW
YH
§3.2.2
一、直线
b′
直线的投影
Z
b″
a′
X
a″
YW
b
a
YH
图2-18 直线的投影
二、直线的投影
1.三种位置直线 平行于某一个投影面而对另外两个 投影面平行线：
k1 k′ d1
l2
d′
X O X
d′
O
d
d k l2 l1
k
c
图2-26 求直线上点的投影
c
例2 已知线段AB的投影图，试将AB分成1：2两段，求分点C 的投影。 b c a X b
O
c
a
[例3] 已知直线AB和M点的正面投影和水平投影，问 M点是否在直线上？
Z
解：分析：AB为侧 平线，M在直线上 ，必在直线AB的同 面投影上，并满足 定比规律。 作图： 方法一 分割线段成定比 方法二 画第三投影
1.平面内取点
Z
b′ e′ a′ c′
X
b″
a″
e″
c″
YW
a c e b
YH
图2-39 平面内取点
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
平面上取点
b
e
d
B E D C
c
a c
a
d
A
e b
2.平面内取线
Z
a′ c′ m′ 1′ b′ c n 2 a 1 b
YH
a″ n′ 2′
a′
(a′)b′
第3章-点线面投影
V面倾斜
a”b”与OYW夹角反映α实际大小，
编辑a版”pbp”t 与OZ夹角反映β实际大小。 22
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面，对V、W面 正平线(‖V面，对H、W面 侧平线(‖W面，对H、V
b=AB；
1.正面投影a’b’=AB；
1.侧面投影a”b”=AB；
– 点的三面投影及其规律，两点的相对位置；
– 各种位置直线的投影特点，直角三角形法求直 线的实长，两直线的相对位置；
– 各种平面的表示法，各种位置平面的投影特点， 直线与平面、平面与平面的相对位置。
编辑版ppt
3
3.1 三面投影体系与物体的三视图
一、三投影面体系与物体的三视图 1.单面投影
空间形体1
水平投影ab‖ OX，侧面投影 a”b” ‖OZ，都不反映实长；
a’b’与OX夹角反映α实际大小，
a’b’与OZ夹角反映γ实际大小。
编辑版ppt
21
2.投影面平行线——侧平线
直线AB与哪个投影面 平行？
实长
侧面投影a”b”=AB；
平行于W面，对H、
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长；
性 大小。
实际大小。
A、B为基于H面的重影点。
编辑版ppt
不可见点一般 加括号表示
思考：基于V面、W面的重 影点的投影图。
15
3.3 直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线 连接，就得到直线的同名投影。
编辑版ppt
16
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
垂直于投影面； 直线平行于投影面； 直线倾斜于投影面；
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
建筑工程技术《第3章 投影基本知识》
第三章投影的基本知识3．1 投影的形成与分类一、投影的概念产生投影必须具备：1、光线——投影线；2、形体——只表示物体的形状和大小，而不反映物体的物理性质；3、投影面——影子所在的平面。
投影三要素：投影线；物体；投影面。
二、投影的分类投影分为两种：中心投影和平行投影。
1、中心投影法——由点光源产生放射状的光线，使形体产生投影，叫做中心投影。
2、平行投影法——当点光源向无限远处移动时，光线与光线之间的夹角逐渐变小，直至为0，这时光线与光线互相平行，使形体产生的投影，叫做平行投影。
平行投影又分为正投影和斜投影。
正投影是投影线与投影面垂直的投影。
正投影具有作图简单，度量方便的特点，被工程制图广泛应用，其缺点是直观性较差，投影图的识读较难。
标高投影是带有数字的正投影图。
投影线与投影面倾斜的投影称为斜投影，这种投影直观性较好，但视觉效果没有中心投影图逼真。
三、平行投影的特性定比性；积聚性；类似性；平行性；度量性；3 2 三面投影图一、投影面的设置三面投影的必要性。
由于三面投影图能唯一的确定形体的形状，因此，作形体投影图时，应建立三面投影体系，即水平投影面（H）、正立投影面V、和侧立投影面W。
形体在三面投影体系中的投影，称作三面投影图。
二、三面投影图的形成及展开规则1、水平投影图水平投影面用字母H表示，形体的水平投影反映形体的长度和宽度。
2、正面投影图正立投影面用字母V表示，形体的正面投影反映了形体的长度和高度，如图所示。
3、侧面投影图侧立投影面用字母W表示，形体的侧立投影反映了形体的高度和宽度。
三、三面投影图的特性作形体投影图时，形体的位置不变，展开后，同时反映形体长度的水平投影和正面投影左右对齐——长对正，同时反映形体高度的正面图和侧面图上下对齐——高平齐，同时反映形体宽度的水平投影和侧面投影前后对齐——宽相等。
“长对正、高平齐、宽相等”是形体三面投影图的规律，无论是整个物体，还是物体的局部都符合这条规律。
第3章12第2节方位投影PPT课件
光源置于无穷远——正射方位投影 属于任意投影
光源置于另一极——平射方位投影 投影图上的角度可与实际球面上相应的角度相等
属于等角投影
（一）投影条件
原理：投影面与地球椭球面切于极点， 将光源置于另一极进行几何投影
条件：使投影图上的角度与实际球面 上相应的角度相等。
（一）投影条件
原理：投影面与地球椭球面切于极点， 将光源置于另一极进行几何投影
三、等积方位投影
(一) 投影条件 (二) 变形规律 (三) 用途
投影条件
原理：投影面与地 球椭球面切于极点， 数学解析法进行投 影
条件：使投影图上 的面积与实际球面 上相应的面积相等
正轴等积方位投影极坐标公式
球冠面积 PAB=2RH = 2*R*R(1-cosZ)
=4R2sin2 (Z/2)
极坐标 ρ=f(Z) δ=λ
平面直角坐标 x=ρcosδ y=ρsinδ
变形分布规律
投影中心是没有变形的点，以投影中心 向外变形逐渐增大，等变形线呈同心圆 状分布
变形分布规律
方位投影的特性：在方位投影，过投影 中心的球面上的大圆弧均投影为直线， 从中心到任何点的方位角没有变形
等变形线和方位角
第二节 方位投影
一、方位投影 二、平射方位投影(等角方位投影) 三、等积方位投影 四、等距投影
一、方位投影
构成原理 一般公式 变形分布规律 用途
构成原理
投影面为平面，投影面切或割地球表面。
正方位
φ=900
横方位 切点纬度φ φ= 00
斜方位
00<φ<900
方位投影
Байду номын сангаас轴
横轴
斜轴
一般公式
第三章 投影的基本知识
第三章投影的基本知识§3-1投影及其特性§3-2正投影图及其特性§3-3基本形体的投影§3-4组合形体的投影投影法的基本概念一、投影的基本概念二、投影法分类把空间形体表示在平面上，是以投影法为基础的。
投影法源出于日常生活中光的投射成影这个物理现象。
例如，当电灯光照射室内的一张桌子时，必有影子落在地板上；如果把桌于搬到太阳光下，那么，必有影子落在地面上。
§3-1投影及其特性假设要画出一个房屋形体的图形（图a），可在形体前面设置一个光源S （例如电灯），在光线的照射下，形体将在它背后的平面P 上投落一个灰黑的多边形的影。
这个影能反映出形体的轮廓，但表达不出形体各部分的形状。
假设光源发出的光线，能够透过形体而将各个顶点和各根侧棱都在平面P上投落它们的影，这些点和线的影将组成一个能够反映形体各部分形状的图形（图b），这个图形称为形体的投影。
光源S称为投射中心。
投影所在的平面P称为投影面。
连接投射中心与形体上各点的直线称为投射线。
通过一点的投射线与投影面P相交，所得交点就是该点在平面P上的投影。
作出形体投影的方法，称为投影法。
S投影中心投射线A空间点投影ba投影面P B空间点投影的基本概念投影三条件：①投影中心及投射线②投影面（不通过投影中心）③表达对象（空间几何元素或几何形体）投影——通过表达对象的一系列投射线与投影面的交点的总和。
投影法——获得投影的方法。
投影法的分类：投影中心投影平行投影斜投影正投影斜投影正投影投影面P中心投影中心投影法S 投射中心cba投射线A CB表达对象投影中心S 距投影面P 有限远中心投影法当投影中心S距投影面P为有限远时，所有的投射线都从投影中心一点出发（如同人眼观看物体或电灯照射物体），这种投影方法称为中心投影法。
用中心投影法获得的投影通常能反应表达对象的三维空间形态，立体感强，但度量性差。
这种图习惯上称之为透视图。
分析上图，我们可以得到中心投影的两条基本特性：1）直线的投影，在一般情况下仍为直线；2）点在直线上，则该点的投影必位在该直线的投影上。
房屋建筑构造与识图课件第3章 三面正投影图的形成及特性
一般位置直线
3.1 点、直线、平面的投影
➢2．直线上点的投影 直线上点的投影，必在直线的同面投影上；直线段上的点分割直线段之比，在 投影后仍保持不变。如下图所示，C是直线AB上的点，C点投影在直线AB的同面 投影上，且有AC∶CB=ac∶cb= a'c'∶c'b'= a''c''∶c''b''。
直线上点的投影
两直线交叉
3.1 点、直线、平面的投影
3.1.3 平面的投影 三点确定一个三角形平面，将三点的同名投影用直线两两相连，就得到平面的同 名投影，如下图所示。平面的投影一般仍为平面，特殊情况下投影可为一直线。
平面的同名投影
3.1 点、直线、平面的投影
当平面垂直于投影面时，其投影重合成直线，具有积聚性，如图(a)所示； 当平面平行于投影面时，其投影反映平面实形，如图(b)所示； 当平面倾斜于投影面时，其投影类似原平面，如图(c)所示。
直线的同名投影
3.1 点、直线、平面的投影
当直线垂直于投影面时，其投影重合为一点，具有积聚性，如图 (a)所示； 当直线平行于投影面时，其投影反映线段实长，ab=AB，如图 (b)所示； 当直线倾斜于投影面时，其投影比空间线段短，ab=AB cos α，如图(c)所示。
(a)
(b)
(c)
直线对一个投影面的投影特性
侧垂线
3.1 点、直线、平面的投影
投影面垂直线特性：垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点， 而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长。
正垂线
铅垂线
侧垂线
3.1 点、直线、平面的投影
3）一般位置直线 直线与三个投影面都处于倾斜位置，称为一般位置直线。一般位置直线的三个 投影仍为直线；三个投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长；投影与 投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角，如下图所示。
3.1 点、直线、平面的投影
➢2．直线上点的投影 直线上点的投影，必在直线的同面投影上；直线段上的点分割直线段之比，在 投影后仍保持不变。如下图所示，C是直线AB上的点，C点投影在直线AB的同面 投影上，且有AC∶CB=ac∶cb= a'c'∶c'b'= a''c''∶c''b''。
直线上点的投影
两直线交叉
3.1 点、直线、平面的投影
3.1.3 平面的投影 三点确定一个三角形平面，将三点的同名投影用直线两两相连，就得到平面的同 名投影，如下图所示。平面的投影一般仍为平面，特殊情况下投影可为一直线。
平面的同名投影
3.1 点、直线、平面的投影
当平面垂直于投影面时，其投影重合成直线，具有积聚性，如图(a)所示； 当平面平行于投影面时，其投影反映平面实形，如图(b)所示； 当平面倾斜于投影面时，其投影类似原平面，如图(c)所示。
直线的同名投影
3.1 点、直线、平面的投影
当直线垂直于投影面时，其投影重合为一点，具有积聚性，如图 (a)所示； 当直线平行于投影面时，其投影反映线段实长，ab=AB，如图 (b)所示； 当直线倾斜于投影面时，其投影比空间线段短，ab=AB cos α，如图(c)所示。
(a)
(b)
(c)
直线对一个投影面的投影特性
侧垂线
3.1 点、直线、平面的投影
投影面垂直线特性：垂直于那个投影面，在那个投影面上的投影积聚成一个点， 而另外两个投影面上的投影平行于投影轴且反映实长。
正垂线
铅垂线
侧垂线
3.1 点、直线、平面的投影
3）一般位置直线 直线与三个投影面都处于倾斜位置，称为一般位置直线。一般位置直线的三个 投影仍为直线；三个投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的真长；投影与 投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角，如下图所示。
第3章地图投影的基本原理
α ds
m
ds
dsn
利用上式可以获得平面上经 纬线微分线段的表达式：
Ed dλ=0时， AD dsm
Gd dΦ=0时， AB dsn
q dsn'
B'
y
地图投影基本理论
将投影的一般表达式取x、y对Φ、λ的全微分：
x x d d y y dy= d d dx=
2 2 3 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
子午圈截面：包含子午圈的截面。 子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有法截 弧的曲率半径中的最小值
为纬度
地图投影基本理论
N
2
a (1 e sin B)
2 1 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。 卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值， 以字母N表示：
地图投影基本理论
沿经线微分线段
x
x'
dy dx
AD Md
C'
D'
沿纬线微分线段
AB ds' rd
α ds
m
ds
dsn
对角线
dsm'
ds AC M 2 d 2 r 2 d 2
Ψ
A' C点对A点方位角α为：
rd sin O ds
q dsn'
B'
Md cos ds
P=1
由面积变形公式得： H=M*r 或 ab=1
地图投影基本理论
（三）等距离投影条件 使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种 投影叫做等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距
常用地图投影及其应用
2.2 常用地图投影及其应用
主要特点：
● 没有角度变形，图上方位与实地保持一致； ● 标准纬线上没有变形； ● 标准纬线之间长度缩小，标准纬线之外长度放大； ● 随着纬度增高变形迅速增大； ● 面积变形是长度变形的平方倍； ● 两极变形趋向无穷大。
2.2 常用地图投影及其应用
等角航线：是指地球面上一条与所有经线相交成等 方位角的曲线；等角航线在航海中是决定航向的重 要依据之一。
2.2 常用地图投影及其应用
横方位投影
2.2 常用地图投影及其应用
在斜方位投影中，等高圈投 影为同心圆，垂直圈投影为 同心圆的半径，两条垂直圈 的夹角与实地相等。
斜方位投影
2.2 常用地图投影及其应用
方位投影的等变形线形状为圆形，适合 制作形状为圆形区域地图。
2.2 常用地图投影及其应用
正轴方位投影适合作两极地区地图
2.2 常用地图投影及其应用
几何上称等角横割椭圆柱投影，习惯又称通 用横墨卡托投影，Universal Transverse Mercator Projection，简称UTM投影。
2.2 常用地图投影及其应用
● 与高斯-克吕格投影相比，UTM投影的中央经线长 度比缩短为0.9996，其它条件都一样，两者具有相 似关系。
2.2 常用地图投影及其应用
3. 等面积方位投影
按数学方法探求，满足等面积投影条件
T
Q ρ A•′
•A(Z,a)
R
•
2.2 常用地图投影及其应用
等面积方位投影适合制作要求保持面积正确 的近似圆形地区的区域地图，如普通地图、行政 区划图、政治形势图等。
2.2 常用地图投影及其应用
4. 等距离方位投影
0°— 60° 60°— 68° 68°— 76° 76°— 88°
方位投影及其应用
3.3 透视方位投影
3.4 等角、等积、等距方位投影
3
3.1 球面坐标系
Q：极点 P
新轴：过Q的直径QQ1
垂直圈：过QQ1的平面与地球 所截大圆（QPQ1） 等高圈：垂直于QQ1的平面与 地球相交所截的圆 球面坐标系： Q为极点，垂直 圈与等高圈两组正交曲线构成。
Q
Q1 P1
4
（ 0） 2
11
方位投影一般公式：
δ
X
ρ
Y
A点地理坐标： （ , ）
Q´ A´ Q
A平面极坐标 : ( , )
A点球面坐标：
z aA
P
Z ,
f (Z ) a
12
O
Q'
一般公式：
：等高圈投影半径
：两垂直圈的夹角
Z : 极距
：方位角 1 , 2 ：沿垂直圈、等高圈
20
(2)
球面透视方位投影
Q
•
视点位于地球面上
R
R
Z 2 R tan 2
•
Z
Z
S2
21
Z x cos 2 R tan cos a 2 Z y sin 2 R tan sin a 2 2 Z 1 sec 2 2 Z 2 sec 2 4 Z p sec 2 0 Z 2 R tan 2 a
p cos Z Z sin tg 2 2
2等角、等积、等距方位投影
根据不同要求按数学方法探求
方位投影。
27
(1)等角方位投影
按等角投影条件（投影后角度不变形）确定
函数 f ( Z ) 形式。
地图投影第三章方位投影
横轴方位投影
平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通 过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都 是对称于中央经线和赤道的曲线。
横轴方位投影
横轴等距方位投影：中央经线上 从中心向南北，纬线间隔相等； 赤道上，自投影中心向东西， 经线间隔逐渐扩大。
横轴等积方位投影：中央经线上 从中心向南北，纬线间隔逐渐 缩小；赤道上，自投影中心向 东西，经线间隔也是逐渐缩小 的。
角度、面积等变形线为以投影中心为圆线的同心圆。 球面上的微圆投影为椭圆，且误差椭圆的
长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线，其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
4
3 21
最大角度变形公式为:
五. 正射投影
对于正射投影而言,D=∞，因此
直角坐标公式为 投影变形公式为:
3 21
六. 球面投影（等角方位投影）
对于等角方位投影而言,D=R,L=2R,因此有:
4
3 21
七. 球心投影（日晷投影）
对于等角方位投影而言,D=0,L=R,因此有:
投影变形公式为:
4
斜轴方位投影
投影面切于两极和赤道间的任意一点上。中央经线投影为 直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影 为曲线。
斜轴方位投影
斜轴等距方位投影：中央经线上 的纬线间隔相等。
斜轴等积方位投影：中央经线上 自投影中心向上、向下纬线间隔 是逐渐缩小的。
3.机械制图第三章三投影面及三视图
俯视图
下
后 左 右
前
关于方位的进一步说明（图574）
关于方位的进一步说明
从前向后看
主视图
从左向右看
左视图
从上向下看
俯视图
§3-2-3 正投影的三个特性
1.实形性（真实性）： 直线或平面平行于投影面，直线的投影反映实长； 平面的投影反映其真实形状。
2.积聚性： 直线或平面垂直于投影面，直线在投影面上的投影 积聚为一个点；平面的投影积聚为一条直线。
上 左
Z
右
W 左视图
上 后 下 前
X
下
YW
H 俯视图
后
左 前
右
YH
物体左右间的距离称为“长”，上下间的距离称为 “高”，前后间 的距离称为“宽”。二维的平面图形只反映两个方向的尺寸，从图中可 以看出，主视图反映物体的长度和高度；俯视图反映物体的长度和宽度； 左视图反映物体的高度和宽度。 物体不仅有长、宽、高三个方向的尺寸，还有上、下、左、右、前、 后六个方位。主视图反映上、下、左、右四个方位；俯视图反映左、右、 前、后四个方位；左视图反映上、下、前、后四个方位。
左 下 H 俯视图 后 左 前
右
后 下
前
右
零件的三视图画法（图354）
V 主视图 上 左 右 后 W 左视图
上
前
下 H 俯视图
后
下
左
右
前
注意
作图时，从反应实形和形状特征明显的视图画起！
零件的三视图画法（图353）
V 主视图 上 W 左视图 上
左 下 H 俯视图 后
右
后 下
前
左 前
右
零件的三视图画法（图352）
§3-2 三投影面体系及三视图
下
后 左 右
前
关于方位的进一步说明（图574）
关于方位的进一步说明
从前向后看
主视图
从左向右看
左视图
从上向下看
俯视图
§3-2-3 正投影的三个特性
1.实形性（真实性）： 直线或平面平行于投影面，直线的投影反映实长； 平面的投影反映其真实形状。
2.积聚性： 直线或平面垂直于投影面，直线在投影面上的投影 积聚为一个点；平面的投影积聚为一条直线。
上 左
Z
右
W 左视图
上 后 下 前
X
下
YW
H 俯视图
后
左 前
右
YH
物体左右间的距离称为“长”，上下间的距离称为 “高”，前后间 的距离称为“宽”。二维的平面图形只反映两个方向的尺寸，从图中可 以看出，主视图反映物体的长度和高度；俯视图反映物体的长度和宽度； 左视图反映物体的高度和宽度。 物体不仅有长、宽、高三个方向的尺寸，还有上、下、左、右、前、 后六个方位。主视图反映上、下、左、右四个方位；俯视图反映左、右、 前、后四个方位；左视图反映上、下、前、后四个方位。
左 下 H 俯视图 后 左 前
右
后 下
前
右
零件的三视图画法（图354）
V 主视图 上 左 右 后 W 左视图
上
前
下 H 俯视图
后
下
左
右
前
注意
作图时，从反应实形和形状特征明显的视图画起！
零件的三视图画法（图353）
V 主视图 上 W 左视图 上
左 下 H 俯视图 后
右
后 下
前
左 前
右
零件的三视图画法（图352）
§3-2 三投影面体系及三视图
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33
等面积斜方位投影
34
等 面 积 斜 方 位 投 影
35
(3)等距离方位投影
满足等距离投影条件：
1 1
d 1 RdZ
RZ
36
RZ a x cos RZ cos a y sin RZ sin a 1 1
22
23
球面方位投影即是等角方位投影。
球面上任何大小的圆在平面上仍为圆。
24
(3)
正射透视方位投影
Q
Z R
视点位于无穷远
S1
•
•
R sin Z
25
R sin Z a x cos R sin Z cos a y sin R sin Z sin a 1 cos Z 2 1
斜方位投影：
切（割）于极点与赤道之间任一点。
11
方位投影一般公式：
δ
X
ρ
Y
A点地理坐标： （ , ）
Q´ A´ Q
A平面极坐标 : ( , )
A点球面坐标：
z aA
P
Z ,
f (Z ) a
12
O
Q'
一般公式：
：等高圈投影半径
：两垂直圈的夹角
Z : 极距
3
3.1 球面坐标系
Q：极点 P
新轴：过Q的直径QQ1
垂直圈：过QQ1的平面与地球 所截大圆（QPQ1） 等高圈：垂直于QQ1的平面与 地球相交所截的圆 球面坐标系： Q为极点，垂直 圈与等高圈两组正交曲线构成。
Q
Q1 P1
4
（ 0） 2
Q
（ 0）
P
（ ） A点地理坐标： , 2
13
• 方位投影的方位角与实地相等。
a
• 方位投影的差别在于：
f (Z )
• 方位投影的计算，通过计算球面坐标得到。
• 方位投影的等变形线形状为圆形，适合制作 形线形状
15
3.3 透视方位投影
Q 平面切（割）于球面， 按透视原理，球面坐标 投影到平面坐标，构成 透视方位投影。
6
3.2 方位投影的概念及一般公式
地球：球体， 半径R
方位投影：将一个平面切于或割于地球某一点或一 部分，再将球面投影到此平面上。
7
纬线为圆 经线为直线
切点为极点
切方位投影：平面与球相切。 割方位投影：平面与球相割。
9
正方位投影：平面切于极点或垂直于地轴
割于某一纬线的；
横方位投影：切于赤道
10
Z cos a 2 Z sin a 2
32
等面积方位投影面积没有变形，适合制作要 求保持面积正确的近似圆形地区的区域地图，如 普通地图、行政区划图、政治形势图等。 等面积正方位投影用于制作极区地图和南北 半球图； 等面积横方位投影用于制作赤道附近圆形区 域地图，如非洲图、东西半球图。 等面积斜方位投影用于制作中纬度近似圆形 区域的地图，如亚洲图、欧亚大陆图、美洲图、 中国全图、水陆半球图等。
38
中华人民共和国斜轴等距离方位投影
39
课堂小结
地图方位投影：将一个平面切于或割于地球 某一点或一部分，再将球面投影到此平面上。 根据不同的投影条件具有不同的方位投影。 方位投影具有广泛的应用。
40
课后思考
什么是地图方位投影? 简述各种方位投影适合哪类地图？ 透视投影有何特点？
41
Z 2 sin Z Z P sin Z Z sin Z sin 2 Z sin Z
37
等距离方位投影的应用比较广泛，适合制作 圆形区域地图。
由于各种变形适中，常用于制作普通地图、 政区图、自然地理图等，大多数世界地图集中的 南北极地区图也采用正轴等距离方位投影。 横轴等距离方位投影用来编制东西半球图； 斜轴等距离方位投影可用于东南亚地区图及中华 人民共和国全图。
南京师范大学地理科学学院GIS系
地 图 学
Cartography
第三章 地图投影原理及方位投影
第3讲 方位投影及其应用
回顾
地图投影：将地球椭球面投影到平面上。 各种各样的地图投影，满足不同的需求！
地球椭球面
B,L x， y
地图平面
地图投影
2
内
容
3 地图方位投影
3.1 球面坐标系 3.2 方位投影的概念及一般公式 3.3 透视方位投影 3.4 等角、等积、等距方位投影
等角方位投影也就是球面投影
29
等角方位投影常用于制作较大区域的地图，
如中华人民共和国全图。 有的国家用该投影作地形图，例如美国规定
在纬度+84°、 -84°以外地区用该投影作地形
图，取名通用极球面投影（简称U.P.S投影）。
30
(2)等面积方位投影
满足等面积投影条件：
1 2 1
31
Z 2 R sin 2 a x cos 2 R sin y sin 2 R sin Z 1 cos 2 Z 2 sec 2 p 1 Z tg ( ) sec 4 4 2
20
(2)
球面透视方位投影
Q
•
视点位于地球面上
R
R
Z 2 R tan 2
•
Z
Z
S2
21
Z x cos 2 R tan cos a 2 Z y sin 2 R tan sin a 2 2 Z 1 sec 2 2 Z 2 sec 2 4 Z p sec 2 0 Z 2 R tan 2 a
A点球面坐标：Z ,
确定了A点在球面坐 标系中的位置(与Q有 关）
新极点：Q 0 , 0
a
Z
A
QA : 极距
:方位角，子午线起，
顺时针为正。
5
P1
地理坐标（ , ）与球面坐标
Z , 关系式：
cos Z sin sin 0 cos cos 0 cos 0 cos sin 0 tga sin cos 0 cos sin 0 cos 0 C D
R S1 Z
•
•
16
（1） 球心透视方位投影
T
Q R Z
A1
视点S1位于地球中心
• A(Z, a)
S1 •
QA1 R tan Z
S
17
一般公式：
R tan Z a x cos RtgZ cos a y sin RtgZ sin a 1 sec Z 2 sec Z
2
p sec Z
3
Z sin tg 2 2
2
18
19
球心方位投影特性：大圆线投影成直线。
球心投影又称日晷投影。该投影不可能作半球图， 也不适合作一般用途的地图。古代常用来作天体图， 现在主要用来作航海图。
在球心投影地图上，连接航线始、终点的直线即 为航行的最短距离。但领航极为不便，所以该投影 图常与等角投影图配合使用。 在军事上，球心投影常用来制作无线电定位图。
p cos Z Z sin tg 2 2
2
26
3.4 等角、等积、等距方位投影
根据不同要求按数学方法探求
方位投影。
27
(1)等角方位投影
按等角投影条件（投影后角度不变形）确定
函数 f ( Z ) 形式。
1 2
d RdZ R sin Z
垂直圈、等高圈长度比
：方位角 1 , 2 ：沿垂直圈、等高圈
方向的长度比 p ：面积比
f (Z ) a x cos y sin d 1
：角度最大变形
RdZ 2 R sin Z d p 2 R sin ZdZ 2 1 sin 2 2 1
28
Z x cos 2 Rtg cos a 2 Z y sin 2 Rtg sin a 2 Z 1 sec 2 2 2 Z 2 sec 2 4 Z p sec 2 0 Z 2 Rtg 2 a
等面积斜方位投影
34
等 面 积 斜 方 位 投 影
35
(3)等距离方位投影
满足等距离投影条件：
1 1
d 1 RdZ
RZ
36
RZ a x cos RZ cos a y sin RZ sin a 1 1
22
23
球面方位投影即是等角方位投影。
球面上任何大小的圆在平面上仍为圆。
24
(3)
正射透视方位投影
Q
Z R
视点位于无穷远
S1
•
•
R sin Z
25
R sin Z a x cos R sin Z cos a y sin R sin Z sin a 1 cos Z 2 1
斜方位投影：
切（割）于极点与赤道之间任一点。
11
方位投影一般公式：
δ
X
ρ
Y
A点地理坐标： （ , ）
Q´ A´ Q
A平面极坐标 : ( , )
A点球面坐标：
z aA
P
Z ,
f (Z ) a
12
O
Q'
一般公式：
：等高圈投影半径
：两垂直圈的夹角
Z : 极距
3
3.1 球面坐标系
Q：极点 P
新轴：过Q的直径QQ1
垂直圈：过QQ1的平面与地球 所截大圆（QPQ1） 等高圈：垂直于QQ1的平面与 地球相交所截的圆 球面坐标系： Q为极点，垂直 圈与等高圈两组正交曲线构成。
Q
Q1 P1
4
（ 0） 2
Q
（ 0）
P
（ ） A点地理坐标： , 2
13
• 方位投影的方位角与实地相等。
a
• 方位投影的差别在于：
f (Z )
• 方位投影的计算，通过计算球面坐标得到。
• 方位投影的等变形线形状为圆形，适合制作 形线形状
15
3.3 透视方位投影
Q 平面切（割）于球面， 按透视原理，球面坐标 投影到平面坐标，构成 透视方位投影。
6
3.2 方位投影的概念及一般公式
地球：球体， 半径R
方位投影：将一个平面切于或割于地球某一点或一 部分，再将球面投影到此平面上。
7
纬线为圆 经线为直线
切点为极点
切方位投影：平面与球相切。 割方位投影：平面与球相割。
9
正方位投影：平面切于极点或垂直于地轴
割于某一纬线的；
横方位投影：切于赤道
10
Z cos a 2 Z sin a 2
32
等面积方位投影面积没有变形，适合制作要 求保持面积正确的近似圆形地区的区域地图，如 普通地图、行政区划图、政治形势图等。 等面积正方位投影用于制作极区地图和南北 半球图； 等面积横方位投影用于制作赤道附近圆形区 域地图，如非洲图、东西半球图。 等面积斜方位投影用于制作中纬度近似圆形 区域的地图，如亚洲图、欧亚大陆图、美洲图、 中国全图、水陆半球图等。
38
中华人民共和国斜轴等距离方位投影
39
课堂小结
地图方位投影：将一个平面切于或割于地球 某一点或一部分，再将球面投影到此平面上。 根据不同的投影条件具有不同的方位投影。 方位投影具有广泛的应用。
40
课后思考
什么是地图方位投影? 简述各种方位投影适合哪类地图？ 透视投影有何特点？
41
Z 2 sin Z Z P sin Z Z sin Z sin 2 Z sin Z
37
等距离方位投影的应用比较广泛，适合制作 圆形区域地图。
由于各种变形适中，常用于制作普通地图、 政区图、自然地理图等，大多数世界地图集中的 南北极地区图也采用正轴等距离方位投影。 横轴等距离方位投影用来编制东西半球图； 斜轴等距离方位投影可用于东南亚地区图及中华 人民共和国全图。
南京师范大学地理科学学院GIS系
地 图 学
Cartography
第三章 地图投影原理及方位投影
第3讲 方位投影及其应用
回顾
地图投影：将地球椭球面投影到平面上。 各种各样的地图投影，满足不同的需求！
地球椭球面
B,L x， y
地图平面
地图投影
2
内
容
3 地图方位投影
3.1 球面坐标系 3.2 方位投影的概念及一般公式 3.3 透视方位投影 3.4 等角、等积、等距方位投影
等角方位投影也就是球面投影
29
等角方位投影常用于制作较大区域的地图，
如中华人民共和国全图。 有的国家用该投影作地形图，例如美国规定
在纬度+84°、 -84°以外地区用该投影作地形
图，取名通用极球面投影（简称U.P.S投影）。
30
(2)等面积方位投影
满足等面积投影条件：
1 2 1
31
Z 2 R sin 2 a x cos 2 R sin y sin 2 R sin Z 1 cos 2 Z 2 sec 2 p 1 Z tg ( ) sec 4 4 2
20
(2)
球面透视方位投影
Q
•
视点位于地球面上
R
R
Z 2 R tan 2
•
Z
Z
S2
21
Z x cos 2 R tan cos a 2 Z y sin 2 R tan sin a 2 2 Z 1 sec 2 2 Z 2 sec 2 4 Z p sec 2 0 Z 2 R tan 2 a
A点球面坐标：Z ,
确定了A点在球面坐 标系中的位置(与Q有 关）
新极点：Q 0 , 0
a
Z
A
QA : 极距
:方位角，子午线起，
顺时针为正。
5
P1
地理坐标（ , ）与球面坐标
Z , 关系式：
cos Z sin sin 0 cos cos 0 cos 0 cos sin 0 tga sin cos 0 cos sin 0 cos 0 C D
R S1 Z
•
•
16
（1） 球心透视方位投影
T
Q R Z
A1
视点S1位于地球中心
• A(Z, a)
S1 •
QA1 R tan Z
S
17
一般公式：
R tan Z a x cos RtgZ cos a y sin RtgZ sin a 1 sec Z 2 sec Z
2
p sec Z
3
Z sin tg 2 2
2
18
19
球心方位投影特性：大圆线投影成直线。
球心投影又称日晷投影。该投影不可能作半球图， 也不适合作一般用途的地图。古代常用来作天体图， 现在主要用来作航海图。
在球心投影地图上，连接航线始、终点的直线即 为航行的最短距离。但领航极为不便，所以该投影 图常与等角投影图配合使用。 在军事上，球心投影常用来制作无线电定位图。
p cos Z Z sin tg 2 2
2
26
3.4 等角、等积、等距方位投影
根据不同要求按数学方法探求
方位投影。
27
(1)等角方位投影
按等角投影条件（投影后角度不变形）确定
函数 f ( Z ) 形式。
1 2
d RdZ R sin Z
垂直圈、等高圈长度比
：方位角 1 , 2 ：沿垂直圈、等高圈
方向的长度比 p ：面积比
f (Z ) a x cos y sin d 1
：角度最大变形
RdZ 2 R sin Z d p 2 R sin ZdZ 2 1 sin 2 2 1
28
Z x cos 2 Rtg cos a 2 Z y sin 2 Rtg sin a 2 Z 1 sec 2 2 2 Z 2 sec 2 4 Z p sec 2 0 Z 2 Rtg 2 a