指数、对数方程练习与解析

指数、对数方程练习与解析

【知识要点】

1．指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

2．解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。 3.指数方程的基本类型：

（1）(0,0,0),x

a c a a c =>≠>其解为log a x c =； （2）()()(0,1)f x g x a a a a =>≠，转化为代数方程()()f x g x =求解；

（3）()

()(0,1,0,1)f x g x a

b a a b b =>≠>≠，转化为代数方程()lg ()lg f x a g x b =求解；

（4）()0(0,0)x

F a a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解指数方程x

a y =。

4. 对数方程的基本类型：

（1）log (0,1)a x b a a =>≠,其解为b

x a =；

（2）log ()log ()(0,1)a a f x g x a a =>≠，转化为()()()0()0f x g x f x g x =⎧⎪

>⎨⎪>⎩

求解；

（3）(log )0(0,0)a F x a a =>≠，用换元法先求方程()0F y =的解，再解对数方程

log a x y =。

典型例题

【例1】 解下列方程： (1)9x +6x =22x +1；

(2)log 4(3-x )+log 4

1(3+x )=log 4(1-x )+log 4

1(2x +1)；

(3)log 2(9x -1-5)-log 2(3x -1-2)=2. 【解前点津】 (1)可化为关于（

3

2）x

的一元二次方程；(2)直接化为一元二次方程求解；(3)转化为关于3x -1的一元二次方程.

【规范解答】 (1)由原方程得：32x +3x ·2x =2·22x ，两边同除以22x 得：(23)2x +（2

3）x

-2=0. 因式分解得：

[（

23）x -1]·[(23

)x +2]=0. ∵(23)x +2>0，∴ (2

3

)x -1=0，x =0.

(2)由原方程得：log 4(3-x )-log 4(3+x )=log 4(1-x )-log 4(2x +1)⇒(3-x )·(2x +1)=(1-x )·(3+x )解之:x =0或7，经检验知：x =0为原方程解.

(3)log 2(9x -1-5)=log 24·(3x -1-2) ⇒9x -1-5=4·(3x -1)-8因式分解得：(3x -1-1)(3x -1-3)=0⇒3x -1=1或3x -1=3⇒x =1或2.经检验x =2是原方程解.

【解后归纳】 指数方程与对数方程的求解思路是转化.将超越方程转化为代数方程，因转化过程中有时“不等价”，故须验根，“增根须舍去，失根要找回”是解方程的基本原则.

【例2】 解关于x 的方程：lg(x 2-2ax )-lg(6a -3)=0.

【解前点津】 利用对数函数的单调性，去掉对数符号，并保留“等价性”.

【规范解答】 化原方程为： ⎪⎩⎪⎨⎧

-+=->⇒⎪⎩

⎪⎨⎧-=->->-3

6)(2

1362036022222a a a x a a ax x a ax x ∵a >

21，∴a 2+6a -3>41+6×2

1

-3>0，故由(x -a 2)=a 2+6a -3得：x -a =±362-+a a 即x =a ±362-+a a (a >2

1

).

【解后归纳】 含参方程的求解，常依具体条件，确定参数的取值范围. 【例3】 解关于x 的方程：a 2·4x +(2a -1)·2x +1=0.

【解前点津】 令t =2x ，则关于t 的一元方程至少有一个正根，a 是否为0，决定了方程的“次数”.【规范解答】 ①当a =0时，2x =1，x =0； ②当a ≠0时，Δ=(2a -1)2-4a 2=1-4a ；若Δ≥0则a ≤

4

1

(a ≠0). 且关于t 的一元二次方程a 2·t 2+(2a -1)t +1=0至少有一个正根，而两根之积为

2

1

a >0，故两根之和为正数，即

2

21a a ->0⇒

a <21，故a ≤41 (a ≠0)时，2x

=[]

2241)21(a a a -±-，故a ≤

4

1

(a ≠0)时，x =log 22

24121a a a -±-为原方程之根. 【解后归纳】 方程经“换元”之后，如何保持“等价性”是关键所在，应确定“新元”

和“旧元”的对应关系以及“新元”的取值范围.

【例4】 当a 为何值时，关于x 的方程4x -(2a +1)·2x +a 2+2=0的根一个比另一个大1. 【解前点津】 令y =2x ，则问题转化为：关于y 的方程y 2-(2a +1)y +(a 2+2)=0中的根一个是另一个的两倍.

【规范解答】 令y =2x ，∵x 1=x 2+1，故2

1

2+x =2·2

2

x ，即y 2=2y 1，故关于y 的方程

y 2-(2a +1)y +(a 2+2)=0中的根一个是另一个的两倍，不妨设为m ，2m .

由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+>+⇒⎪⎩⎪

⎨⎧+=•+=+>∆22123)2(4)12(22122022222a m a m a a a m m a m m ⇒4231224722

=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+>a a a a . 【解后归纳】 在不等式与方程式的混合不等式组中，常从解方程入手，将方程之根代入

不等式检验便知真伪.