2017中考射影定理及其运用

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2017中考射影定理及其运用

相似三角形------射影定理的推行及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很普遍，若能专门好地把握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的成效。

一样地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可取得类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地把握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

二、变式推行１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，都可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

２．一样化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ知足必然条件时，类似地仍有部份结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可取得∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部份，求ＤＣ。

分析：易患到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，知足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

2017中考射影定理及其运用

相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

（证明略）例２如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。

分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８(解略)例3 已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。

相似射影定理私人整理

相似三角形（射影定理及角平分线的性质）射影定理：【知识要点】1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt △ABC 中，∠C=90º，则 2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC =22③射影定理：CD 2= · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。

求AD 、BD 的长.2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。

（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。

（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。

【典型例题】例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB ·AFBADFEGDCAB例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。

例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。

求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3例4．在ABC Rt ∆中，k AC BC DE CE AB CD C ==⊥︒=∠,,,90，求CFBF角平分线的性质：【知识要点】如图，在△ABC 中，∠A 平分线交BC 边于D 点，则有：CDBDAC AB =. 证明：例6、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线分别为BD 和CE ，且DE ∥BC 。

射影定理

射影定理所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)2=AD·DC，（2）(AB)2=AD·AC ，（3）(BC)2=CD·CA。

直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD2=AD·DC。

其余同理可得可证有射影定理如下：AB2=AD·AC，BC2=CD·CA两式相加得：AB2+BC2=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC2 。

二、用勾股证射影∵AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,∴2AD2=AB2+AC2-BD2-CD2=BC2-BD2-CD2=(BC+BD)(BC-BD)-CD2=(BC+BD)CD-CD2=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD2=BD×CD.运用此结论可得:AB2=BD2+AD2=BD2+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC2 =CD2+AD2=CD2+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。

同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

三、用三角函数证明由等积法可知：AB×BC=BD×AC在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD得：AB^2=AD×AC 同理可得BC2=CD·CA 在Rt△ABD和Rt△BCD中tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD又∵tan∠BAD=cot∠BCD故BD/AD=CD/BD得BD^2=AD×CD。

射影定理高中难题

射影定理高中难题射影定理是高中数学中的一个重要概念，它是几何与代数的结合，常常用于解决一些复杂的几何问题。

本文将通过举例和详细讲解，帮助读者更好地理解射影定理，并解决一道高中难题。

I. 什么是射影定理射影定理是几何学中的一条重要定理，它描述了平面上两条平行线与一条交于它们之间的第三条线的关系。

简而言之，射影定理表明，当一条直线与两条平行线相交时，这两条平行线上任意一点到交点的距离比例相等。

II. 射影定理的应用举例为了更好地理解射影定理，我们来看一个经典的应用案例：例题：在平面直角坐标系中，已知直线L1过点A（2，5）和B（8，1），直线L2过点C（5，7）和D（11，3）。

求证：L1与L2平行。

解析：首先，我们可以根据两点式求解直线L1和L2的方程。

直线L1的方程为：(x-2)/(8-2)=(y-5)/(1-5)整理得：4x-y+17=0直线L2的方程为：(x-5)/(11-5)=(y-7)/(3-7)整理得：4x-y+33=0我们可以观察到，L1和L2的方程中x的系数和y的系数相等，即两直线的斜率相等。

因此，根据斜率相等定理即可证明L1与L2平行。

III. 高中难题解析现在我们来解决一道实际的高中难题，利用射影定理来解决。

难题：在平面直角坐标系中，已知直线L1过点A（4，5），L2过点B（3，2）。

直线L与x轴和y轴的交点分别为C和D，且AC=BD。

求证：L1与L2平行。

解析：首先，我们可以根据已知条件得出点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（0，b）。

根据射影定理，我们知道AC/BC=AD/BD。

而AC=BD已知，因此可以得出BC=AD。

我们可以利用两点式得出直线L1和L2的方程：直线L1的方程为：(x-4)/(a-4)=(y-5)/(0-5)整理得：5x-ay+20=0直线L2的方程为：(x-3)/(0-3)=(y-2)/(b-2)整理得：2x-by+6=0观察L1和L2的方程，我们可以发现两个方程中x的系数和y的系数均不相等。

射影定理

如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。

(内项要相等时才称为比例中项)比例中项又称"等比中项"或"几何中项"。

所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)²=AD·DC，（2）(AB)²=AD·AC ，（3）(BC)²=CD·CA。

直角三角形射影定理的证明一、（主要是从三角形的相似比推算来的）在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。

其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD·AC，BC²=CD·CA两式相加得：AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。

二、用勾股证射影∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.故AD²=BD×CD.运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.综上所述得到射影定理。

射影定理

射影定理直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式表达为：如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：①CD²;=AD·DB，②BC²=BD·BA ，③AC²=AD·AB ；④AC·BC=AB·CD （等积式，可用面积来证明）1概述射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式Rt△ABC中，∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高，则有射影定理如下：(1)(CD)^ 2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。

等积式(4)ACXBC=ABXCD（可用面积来证明）2直角三角形所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

[1]公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA。

等积式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面积法”或相似来证明）(5)(AB)^2/(BC)^2=AD/CD [1]直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）一、在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD/BD=BD/CD即BD²=AD·DC。

射影定理——精选推荐

射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。

射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。

每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。

符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。

射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。

符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。

射影定理在中学数学中的应用

这样一来，我们就把直角三角形中的射影定理扩充到了相似三角形中的射影定理。
思考2、射影定理与勾股定理的等价性思考。
从证法①中可以看出，射影定理是在默认成立了勾股定理的基础上证明的，那么反过来我们也可以从射影定理来证明勾股定理，且成立。想要更好的掌握数学这一学科，就要学会融会贯通，作该思考有助于学生感受、体会数学证明的逻辑严密性、完整性。
思考1、能否把直角三角形中的射影定理一般化？
答：若△ABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，
类似地仍有部分结论成立。
如图2，在△ABC中，D为AB上一点，若∠CDB=∠ACB,
或∠DCB=∠A，则有△CDB∽△ABC，可得BC²=BD× AB；
反之，若△ABC中，D为AB上一点，且有BC²=BD× AB，则有△CDB∽△ABC，可得到∠DCB=∠A或∠CDB=∠ACB。
任意三角形射影定理
1、定理简介：定理由欧几里得提出，在解三角形，探究三角形边角关系作用很大，并且该定理可以与正弦定理、余弦定理相媲美。
2、定理内容：三角形的边长等于另外两边与所求边成夹角余弦值的乘积之和。
3、定理数学表达：△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
a＝b·cosC＋c·cosB，
思考3、射影定理与切割线定理的等价思考。
观察定理表达式，是否能发现直角三角形中的射影定理与圆的切割线定理有相似之处呢？。
切割线定理：是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
如图所示，以AB的中心为圆心，AB的一半为半径做圆，AC为圆的切线，A为切点，AB⊥AC，BC为圆的割线，此处有个著名的切割线定理：AC²=CD× BC。以此不难看出，直角三角形中的射影定理其实就是去掉圆以后的切割线定理。

任意三角形的射影定理(3篇)

第1篇在几何学中，射影定理是一个重要的定理，它描述了三角形在射影变换下的性质。

射影变换是指将一个几何图形通过一定的方式映射到另一个几何图形上，而保持其某些性质不变。

本文将详细介绍任意三角形的射影定理，包括其定义、证明方法以及在实际应用中的重要性。

一、射影定理的定义射影定理是指在任意三角形中，从一个顶点到对边上的任意点作垂线，那么这个垂线段的长度与这个顶点到对边中点的距离之比等于从该顶点到对边另一端点的距离与从该顶点到对边中点的距离之比。

设三角形ABC，其中点D是BC边上的任意一点，点E是AD的垂足，点F是AC的中点。

根据射影定理，我们有：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}$$二、射影定理的证明证明射影定理有多种方法，以下介绍两种常见的证明方法：1. 构造辅助线法（1）作辅助线：在三角形ABC中，作辅助线DE，使得DE垂直于BC，交BC于点D。

（2）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（3）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（4）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（5）根据射影定理的定义，得到：$$\frac{AE}{EF} = \frac{AB}{AF}2. 利用相似三角形法（1）证明：在直角三角形ADE和直角三角形AFC中，∠AED=∠AFC=90°，且∠ADE=∠AFC（都是直角）。

根据AAS（角-角-边）全等条件，得到三角形ADE≌三角形AFC。

（2）根据全等三角形的性质，我们有AE=AF。

（3）由于EF是AC的中线，所以EF=AF。

（4）根据相似三角形的性质，我们有：$$\frac{AE}{AF} = \frac{DE}{FC}$$（5）由于DE=BC，FC=AC/2，代入上式得到：$$\frac{AE}{AF} = \frac{BC}{AC/2} = \frac{AB}{AF}$$三、射影定理的应用射影定理在几何学、工程学、物理学等领域都有广泛的应用。

射影定律

谢谢观看
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.同理可证其余。证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA， c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA.同理可证其它的。
面积射影定理
证明思路
定理内容
定理提出者简介
面积射影定理：“平面图形射影面积等于被射影图形的面积S乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。” COSθ=S射影/S原 (平面多边形及其射影的面积分别是S原，S射影，它们所在平面所成锐二面角的为θ)
因为射影就是将原图形的长度（三角形中称高）缩放，所以宽度是不变的，又因为平面多边形的面积比=边长的平方比。所以就是图形的长度（三角形中称高）的比。那么这个比值应该是平面所成角的余弦值。在两平面中作一直角三角形，并使斜边和一直角边垂直于棱（即原多边形图的平面和射影平面的交线），那么三角形的斜边和另一直角边的比值就是其多边形的长度比，即为平面多边形的面积比，而将这个比值放到该平面三角形中去运算即可。
射影定律数学术语目录01 Nhomakorabea定理介绍
03 任意三角形射影定理
02 直角三角形射影定理 04 面积射影定理
直角三角形射影定理，又称“欧几里德定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式表达为：如左图，在 R t △ A B C 中， ∠ A C B = 9 0 ° ， c d 是斜边 a b 上的高，则有射影定理如下： ① C D ²= A D · D B ； ② B C ²= B D · B A ； ③ A C ²= A D · A B ； ④ A C · B C = A B · C D （等积式，可用面积来证明）

射影定理课件

C
2
AC ＝AD·AB
2
BC ＝BD·AB
A
D
射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两条
直角边在斜边上射影的比例中项；
每一条直角边是这条直角边在斜边
上的射影和斜边的比例中项。
B
例1. 如图，已知△ABC中,∠ACB＝
90°，CD⊥AB，AD＝2cm，BD＝
6cm，求CD、AC、BC的长.
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
OA 3 5 即⊙o半径为3 5
练习：如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC
延长线上任取一点P，连AP，作BG⊥AP于P点，交CE
于D，求证：CE2＝EP·ED
分析：∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴由射影定理得 CE2＝AE·EB
若要CE2＝PE·DE
AE DE
＝
则AE·EB＝PE·DE
PE EB
P
G
C
D
要证明△AEP ∽△DEB
A
E
B
证明：∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴由射影定理得 CE2＝AE·EB
又∵BG⊥AP，CE⊥AB，
∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°
∵∠PDG=∠BDE，∴∠P=∠DBE
∴△AEP∽△DBE ∴PE：BE=AE：DE
∴ PE·DE=AE·BE ∴CE2＝PE·DE
AE⊥BD于E，求证：∠CBD＝∠ECD
证明：∵∠CAB=90°，AE⊥BD
∴由射影定理得
DA2＝DE·DB
又∵D为AC的中点
∴DC＝DA
∴DC2＝DE·DB
DC DB

＝
DE DC
∵∠CDB=∠CDE

射影定理课件

射影定理的应用
应用一：计算线性空间的维数
射影定理可以用于计算线性空间的维数，帮助我们理解和描述向量空间的结构。
应用二：求出规范正交基
通过射影定理，我们可以求出规范正交基，用于描述向量空间的基本特征。
应用三：计算线性变换的熵
射影定理在计算线性变换的熵方面也有广泛应用，帮助我们理解变换对信息的保留和损失。
射影定理ppt课件
本节目的是分享关于射影定理的知识，通过本课件，您能轻松理解射影定理的概念和应用，希望您享受本次课程。
引言
射影定理是线性代数中的重要定理之一。它的引入是为了解决从一个向量空间到其子空间的映射问题。
射影定理的定义
定义
射影定理是指在线性空间中，对于任意向量，总存在唯一的投影向量使得其投影与向量间的距离最小。
例子
举个例子，考虑一个三维空间中的平面，射影定理可以帮助我们找到平面上离某点最近的点。
射影定理的证明
1
证明思路
射影定理的证明思路是通过构造投影矩明过程
证明过程中，我们会详细展示如何利用特定的矩阵形式来表示投影矩阵，并证明其唯一性。
3
讨论
我们还将讨论射影定理在不同情境下的应用，以加深对射影定理的理解。
总结
1 射影定理的作用和意义
射影定理在线性代数中有着重要的作用，它帮助我们理解向量空间的映射和投影的关系。
2 总结本次课程内容
通过本次课程，我们了解了射影定理的定义、证明和应用，希望您对射影定理有更深入的认识。
参考文献
• 文献1 • 文献2 • 文献3

证明射影定理的三个结论

证明射影定理的三个结论证明射影定理的三个结论，这个话题一听就感觉有点学术，但其实说白了，咱们就是想搞清楚一些基本的数学原理。

大家都知道，射影定理在几何学里就像是个老朋友，听起来复杂，其实就藏着许多小秘密。

咱们得先捋清楚，射影定理主要是关于三角形和直线的关系。

想象一下，咱们有一个三角形，里面的每一条边都好像是在讲故事，特别是它们和直线的互动，真是妙趣横生。

好比你走在街上，碰到朋友，顺势就聊起来了。

第一个结论是，任意一点到一条边的距离，其实就是那点投影到边上的垂直距离。

这么说吧，就像你在阳光下站着，影子总是朝着特定的方向伸展，对吧？这就是投影的魅力，谁都能明白，简单又直观。

你只要想象一下，一个小球在地上滚动，它落到地面上时，距离可不就成了一个影子嘛。

让人会心一笑，简单的道理却有着不简单的深意。

第二个结论就更加引人入胜了。

你知道，三角形的重心就在于三个边的中点连成的线，这就像是一群小伙伴围成圈，互相拉扯，保持平衡。

重心的存在就意味着，不论你如何摆动这三角形，它总会回到这个中心点。

真是一个天生的平衡大师。

想想吧，生活中也有很多这样的平衡，比如工作和休闲的时间安排，要学会找个中点，不然就容易翻车。

这个结论让我们明白，数学不仅仅是公式，它还能教我们生活的智慧。

再说说第三个结论，咱们称之为相似三角形的属性。

这部分就像是一场视觉盛宴。

你把一个三角形放大或者缩小，咱们仍然可以看到它的形状依然保持着，这种奇妙的相似关系就像是一对好姐妹，穿着不同的衣服，打扮各异，形态却依旧一脉相承。

举个例子，就像你和你的好朋友一起拍照，虽然身高不同，姿势各异，但你们的笑容却是那么和谐。

这种相似性就让我们的生活充满了乐趣。

数学中的这种美感，有时候就是在这些小细节里展现出来的，令人忍不住想要去探索更深的世界。

综合这三条结论，咱们可以看到射影定理不仅仅是在玩数字游戏，它还蕴藏着许多有趣的生活哲学。

每一个结论都像是打开了一扇窗，窗外的风景各有千秋。

中考数学专题训练：射影定理

中考数学专题训练（十）：射影定理射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

射影定理是数学图形计算的重要定理，在初三各学校的数学和各地中考试题中都多次考查了这一模型的应用。

图形推导过程结论因为⎩⎨⎧∠=∠∠=∠ACD ABC A A∴ABC ∆∽ACD ∆ ∴ACAB AD AC =①AB AD AC ⋅=2; ②BA BD BC ⋅=2; ③BD AD CD ⋅=2例1、已知：在△ACB 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，CD ⊥AB 于D ．（1）求AB 的长；（2）求CD 的长；（3）求BD 的长．(知二求四）解：（1）∵∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4， ∴AB ＝＝5；（2）∵CD ⊥AB ，∴CD •AB ＝AC •BC ，∴CD ＝＝；（3）∵BC 2＝BD •BA ，∴BD ＝＝．练习1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ．BD ＝2，AD ＝4，则CD 的长为．练习2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，若AD ＝6，BD ＝18，则AC 的长等于．练习3、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．练习4、如图，AB是半圆O的直径，过C是半圆上的一点，过点C作CD⊥AB 于D，AC＝2cm，AD：DB＝4：1，求CD的长．练习5、如图，已知AB是半圆O直径，点C为半圆上一动点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，将△ACD沿AC翻折，得到△ACE，AE交半⊙O于点F．若∠OCA＝∠ECF，AD＝8，EC＝6，求CF的长．练习6、如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O 交AB于点E．若AE：EB＝1：2，BC＝6，求AE的长．练习7、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．练习8、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠C，点D在BC边上，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F．已知：AB＝6，AC＝8，求AF的长．练习9、如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接P A交⊙O于点C，连接BC．（1）求证：∠BAC＝∠CBP；（2）求证：PB2＝PC•P A；（3）当AC＝6，CP＝3时，求sin∠P AB的值．例2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC 的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．AC ＝2DE，求tan∠ABD的值．解：设DE＝1，则AC＝2，由射影定理得：AC2＝AD×AE,∴20＝AD（AD+1），∴AD＝4或﹣5（舍去），∵DC2＝AC2﹣AD2，∴DC＝2，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；练习10、如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）+＝．（2）若PN2＝PM•MN，则＝．练习11、如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，BC＝a，AC＝b（b＞a），若tan∠DCE＝，求的值．练习12、如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．例3、如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA 的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求证：GD2＝GF•GH．练习12、已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，M是BC的中点，DM⊥BC交AC 于点E，交BA的延长线于点D，求证：（1）MA2＝MD•ME；（2）＝．练习13、如图，△ABC中，∠BAC＝90°．M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E．求证：AM2＝MD•ME．练习14、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E，求证：DE2＝BE•CE．练习15、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C 作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2＝PE•PF．练习16、在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，DE交BA的延长线于F，求证：AB：AC＝BF：DF．练习17、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，过C点作对角线BD的垂线，分别交BD，AD于点E，F，连接AC，DF＝4，AD＝9，求CD的长度．。

面积射影定理

面积射影定理射影定理是我们初中时就接触了的几何定理，它是由古希腊数学家欧几里得提出的一个重要定理，在它的帮助下我们不仅可以证明勾股定理，还可以快捷地解决许多几何问题。

在这里我想介绍一下同样由他提出的一个重要定理——面积射影定理。

定理的叙述如下：平面图形射影面积等于被射影图形的面积乘以该图形所在平面与射影面所夹角的余弦。

（即原射S S =θcos ）。

相信大家对这个定理一定不会感到陌生，因为在学习立体几何时我们就曾用它来求二面角的余弦值。

但是定理的相关证明并没给出，所以在这里提供一种方法（可能不是很靠谱-_-）。

本着由特殊到一般的理念，我们就先从三角形开始吧。

个三角形所在平面成θ角，而为了方便，不妨将它们平移至特殊位置。

（如图）于是易知θcos ==∆∆DE CE ABD S ABC S 。

而对于无法平移至一边重合的三角形，我们可以采用延长一边的办法补全两个三角形，再结合相似知识，同样可以得证，接下来我们开始讨论一般图形了，一般图形所具有的特点是没有明显的高和宽，这就迫使我们不得不转变思路。

所以，我们可以尝试将图形分割，并且可以想象，当图形被等分成无限多块时，如果每一小块都符合定理，那么整个图形也就同样符合了。

因此，我们以一个不规则图形为例进行说BA E明。

在图示的心形图形中，我们将图形用正方形网格进行分割，当网格数趋于无穷大时，图形将被分割为无限多块面积相等的小正方形（就如同构成影像的像素），所以证明一般图形就转为证明正方形了。

在证明正方形时我们则可以将正方形分成两个三角形，再结合上开头的结论，这样，证明就完成了。

关于面积射影定理的应用，当属大家所熟知的求二面角余弦值了。

但是在其他地方它也可以大显身手，比如求椭圆的面积。

我们知道椭圆是圆柱体被一斜平面所截时产生的图形，（如图）圆面与圆柱底面成θ角，由面积射影定理得θcos 圆椭圆S S =，即θπcos 2r S =椭圆。

又因为r b r a 22,cos 22==θ,所以ab a b r S πθθπθπ=⋅⋅==cos cos cos 2椭圆影子不仅为人们提供了阴凉，还将完整的物体展现给了我们。

射影定理的推广及应用

射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。

射影定理

1.射影
点在直线上的正射影从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影。
A A B
M
A´
A
N
M
Байду номын сангаас
A´
B´
N
一条线段在直线上的正射影线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段。
点和线段的正射影简称射影
如图,CD是 RtABC 的斜边AB的高线这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
C
A
D
B
如图， ABC中，C 90, CDAB. C
A
D
B
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
CD是BD,AD的比例中项。
A D B
直角三角形中的成比例线段
直角三角形中,斜边上的高线是两条
2、已知：如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90º ，DF⊥AC于E，且与AB的延长线相交于F，与BC相交于G。求证：AD2=AB· AF
F B G A E
D
C
1、已知：如图，在四边形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=90º ，DF⊥AC于E，且与AB的延长线相交于F，与BC相交于G。求证：AD2=AB· AF 2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AH⊥BC 于H，以AC和AB为边在Rt△ABC形外作等边三角形△ABD和△ACE，求证：△BDH∽△AEH.
直角边在斜边上的射影的比例中项,
每一条直角边是这条直角边在斜边
上的射影和斜边的比例中项.