2017中考射影定理及其运用

相似三角形----射影定理的推广及应用

射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

一、射影定理

射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（1） : R t^ABC中，若CD为高，

贝U有C D 2=BD? AD、

BC 2=BD ?AB或

AC 2 =AD ?AB。

二、变式推广

1 •逆用如图（1）:若AABC中，CD为高，且有DC

2 =BD?

AD或AC 2 =AD ?AB或BC 2 = BD ?AB，则有ZDCB = ZA或/ACD = /B，均可等到AABC为

直角三角形。

2 •—般化，若AABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））

如图（2） : △ABC中，D 为AB上一点，若ZCDB = ZACB，或/DC

B = ZA，则有△CDBs^ACB，可得B

C 2 =BD?AB ;反之，若AABC 中，

D为AB上一点，且有BC 2 =BD ?AB，则有△CDBs^ACB，可得到/CD

B=/ACB，或/DCB=/Ao

三、应用

例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC中，AB = AC,高AD、BE交于点H,

求证：4DH ?DA=BC 2

分析：易证/BAD = /CAD =90°-/C = /HBD，联想到射影定理变式（2）,可得BD 2

=DH ?DA，又BC=2BD，故有结论成立。

（证明略）

例2 如图（4）:已知OO中，D为弧AC中点，过点D的弦BD被弦AC分为4和12

两部分，求DC。

分析：易得到/DBC = /ABD = /DCE, 满足射影定理变式（2）的条件，故有CD 2 =DE ?DB,

易求得DC=8

（解略）

例3 已知：如图（5）, △ABC中，AD平分ZBAC,AD的垂直平分线交A

E于点E,交AD于点H,交AC于点G,交EC的延长线于点F,

求证：DF 2 = CF ?BF。

证明：连AF, TFH垂直平分AD,

•••FA=FD, ZFAD = ZFDA, VAD 平分

/BAC,「./CAD = /BAD, .•ZFAD-ZCAD =

ZFDA-ZBAD, •/ZB = ZFDA-ZBAD,

•••/FAC = /B，又/AF C 公共，

AF C F

•••△AFCs^BFA,.—= -,

BF AF

• ••AF2=CF ?BF,「.DF 2 =CF ?BF。

射影定理练习

【选择题】

1、已知直角三角形|_ABC中，斜边AB=5cm,BC=2cm , D为AC上的一点，DE _ AB交AB于E，且

AD=3.2cm，贝U DE=（）

A、1.24cm

B、1.26cm

C、1.28cm

D、1.3cm

2、如图1-1，在RtL ABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线

段的长，就可以求其他线段的长

C、3

3、在RtL ABC 中，.BAC 二90 , AD _ BC 于点D, 卄AC 3

右

AB 4

则BD =(

CD

34169

A、一

B、

C、

D、

43916

【填空题】

5、L ABC 中，A=90[ AD _ BC 于点D , AD=6 , BD=12，则CD= ____________ , AC= ___________

2 2

AB : AC =

6、如图2-1，在RtL ABC 中，N ACB =90’, CD 丄AB , AC=6 , AD=3.6，则BC= ____________

A

2-1

【解答题】

7、已知CD是L ABC的高，DE _ C代DF _ CB，如图

& 已知CAB =90, AD _CB , L ACE , L ABF

角形，求证：DE _ DF

10、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，

3-1，求证：L CEFs_ CBA

3 / 4

点M在CD上，DH JBM且与AC的延长线交于点E.求证:

(1)MED S^BM；

(2) AE?CM=AC ?CD

11、已知：如图，等腰△ ABC中，AB=AC , AD _LBC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点, 与过点C平行于AB的直线交于点G。

求证：（1）BE2=EF?EG

（2）若过点B的射线交AD\AC的射线AD、AC的延长线分别于E、F两点，与过C平行于

AE的直线交于点G,则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。