棱柱、棱锥和棱台的概念及基本量的计算
《直棱柱、正棱锥、正棱台》 讲义
《直棱柱、正棱锥、正棱台》讲义一、直棱柱1、定义直棱柱是指侧棱与底面垂直的棱柱。
2、特点（1）侧棱垂直于底面，且侧棱互相平行且相等。
（2）两个底面是全等的多边形。
（3）侧面都是矩形。
3、表面积和体积（1）表面积直棱柱的表面积等于两个底面的面积加上侧面积。
侧面积等于底面周长乘以侧棱长。
例如，一个直三棱柱，底面是一个边长分别为 a、b、c 的三角形，侧棱长为 h，则表面积 S ＝ 2×（1/2×a×b×sinC）＋（a ＋ b ＋ c）×h （其中 C 为 a、b 两边的夹角）。
（2）体积直棱柱的体积等于底面积乘以高。
若直棱柱的底面积为 S，高为 h，则体积 V ＝ S×h 。
4、常见的直棱柱（1）直三棱柱有三条侧棱的直棱柱。
（2）直四棱柱有四条侧棱的直棱柱，常见的如长方体、正方体等。
二、正棱锥1、定义如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
2、特点（1）底面是正多边形。
（2）顶点在底面的射影是底面的中心。
（3）侧面都是全等的等腰三角形。
3、表面积和体积（1）表面积正棱锥的表面积等于底面积加上侧面积。
侧面积等于 1/2×底面周长×斜高。
例如，一个正三棱锥，底面边长为 a，侧面的斜高为 h'，则侧面积为 3×（1/2×a×h'），表面积为√3/4×a² ＋ 3×（1/2×a×h'）。
（2）体积正棱锥的体积等于 1/3×底面积×高。
设正棱锥的底面积为 S，高为 h，则体积 V ＝ 1/3×S×h 。
4、正棱锥的性质（1）正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形。
（3）正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形。
棱柱棱台棱锥知识点总结
棱柱棱台棱锥知识点总结一、棱柱的定义和性质1. 棱柱的定义：棱柱是一个多边形和一个平行于它的平面所围成的几何图形。
2. 棱柱的特征：（1）棱柱的底面是一个多边形，顶面与底面平行，并且顶面的每个点和底面的对应点之间的连线都垂直于底面。
（2）如果底面是正多边形，棱柱就称为正棱柱；如果底面是不规则多边形，棱柱就称为斜棱柱。
（3）棱柱的高等于顶面到底面的距离，底面的面积乘以高就是棱柱的体积。
二、棱台的定义和性质1. 棱台的定义：棱台是由平行多边形和连通它们的矩形棱所围成的空间图形。
2. 棱台的特征：（1）如果底面和顶面都是正多边形，且它们的对边平行，那么这个棱台称为正棱台；如果底面和顶面是正多边形，但它们不一定平行，那么这个棱台称为斜棱台。
（2）棱台的体积等于底面积与高的乘积，而斜棱台的体积还需要乘以一个高与底面中较大边的比值。
三、棱锥的定义和性质1. 棱锥的定义：棱锥是由一个多边形和以它为底的三棱锥棱所围成的几何图形。
2. 棱锥的特征：（1）如果底面是正多边形，棱锥称为正棱锥；如果底面不是正多边形，那么棱锥就称为斜棱锥。
（2）棱锥的体积等于底面积与高的乘积，并除以3。
（3）棱锥的侧棱的延长线与底面平面的交点称为顶点。
四、棱柱、棱台、棱锥的计算公式1. 棱柱的体积公式：V=Sh，其中V表示棱柱的体积，S表示底面的面积，h表示高。
2. 棱台的体积公式：V=(S1+S2+√S1S2)h/3，其中V表示棱台的体积，S1和S2表示底面和顶面的面积，h表示高。
3. 棱锥的体积公式：V=Sh/3，其中V表示棱锥的体积，S表示底面的面积，h表示高。
以上就是关于棱柱、棱台、棱锥的知识点总结，希望对你有所帮助。
如果还有其他问题，欢迎继续提问。
苏教版棱柱棱锥棱台
苏教版棱柱棱锥棱台在苏教版的数学教材中，棱柱、棱锥和棱台是立体几何中的重要概念。
它们不仅在数学理论中有着基础且关键的地位，在实际生活中的应用也十分广泛。
首先，咱们来聊聊棱柱。
棱柱是由两个互相平行且全等的多边形底面，以及若干个平行四边形侧面围成的多面体。
棱柱的特点十分明显，两个底面是全等且平行的多边形，侧面都是平行四边形。
根据底面多边形的边数，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。
比如说三棱柱，它的底面就是一个三角形；四棱柱呢，底面就是一个四边形，像咱们常见的长方体、正方体都属于四棱柱。
棱柱有着很多独特的性质。
棱柱的侧棱都相互平行且相等，这意味着如果我们沿着棱柱的侧棱方向进行测量，得到的长度都是一样的。
而且，棱柱的侧面展开图是一个矩形。
这一性质在解决很多与表面积相关的问题时非常有用。
在实际生活中，棱柱的例子比比皆是。
像建筑物中的柱子，很多就是棱柱的形状；还有一些包装盒，比如装牙膏的盒子，往往也设计成棱柱的形状，这样既美观又能充分利用空间。
接下来，咱们说说棱锥。
棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面围成的多面体。
与棱柱不同的是，棱锥只有一个底面，顶点与底面多边形的各个顶点相连，形成侧面三角形。
同样，根据底面多边形的边数，棱锥也有三棱锥、四棱锥等分类。
棱锥的性质也有其特点。
棱锥的顶点到底面多边形各个顶点的连线叫做棱锥的侧棱，这些侧棱相交于一点，也就是棱锥的顶点。
棱锥的侧面三角形的面积之和就是棱锥的侧面积。
棱锥在生活中的应用也不少。
比如金字塔，就是一种棱锥的形状，展现出了独特的建筑美学和稳定性。
最后，再讲讲棱台。
棱台可以看作是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体中，位于截面上方的部分就是棱台。
棱台的上下底面是互相平行且相似的多边形，侧面都是梯形。
棱台也有自己的相关性质和计算公式。
通过了解这些性质和公式，我们可以更准确地计算棱台的体积、表面积等。
在实际应用中，比如一些花坛的造型、某些特殊的容器，可能会采用棱台的形状，既实用又具有一定的艺术感。
棱柱、棱锥和棱台的概念及基本量的计算【复习准备】
棱柱、棱锥和棱台的概念及基本量的计算【知识梳理】1．一般地，我们把叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，______________叫做多面体的顶点。
2．把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做___________。
3．有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做___________。
两个互相平行的面叫做___________，简称底；其余各面叫做棱柱的___________；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的___________；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的___________。
4．棱柱按照底面边数分类：底面是__________________的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。
5．棱柱的结构特征：①______________ ；②_______________；③________________。
6．一般地，一个面是多边形，其余各面都是____________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，多边形面叫做棱锥的______；有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的________，各侧面的公共顶点叫做棱锥的_________；相邻侧面的公共边叫做棱锥的________。
7．棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做________、_________、___________。
8.棱锥的结构特征：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形。
9.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，_____________叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_______；其余各面叫做棱台的____；底面与侧面的公共点叫做棱台的_______；相邻侧面的公共边叫做棱台的_______；棱台按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台……【典型例题】例1下列几何体是棱柱的有（）变式练习：下列几何体中是棱柱的有例2．判断下列说法是否正确（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形。
棱柱棱锥棱台的定义及特点
多面体概念
由若干个平面多边形围成的封闭体称为多面体。 围成多面体的各个多边形称为多面体的面， 两个面的公共边叫做多面体的棱， 棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
B1
A1
C1
E
A
D
B
A
E
B1 C
5 a 5
D
3a
a
5 DE 5 BB1
2a
B
知识探究（三）： 棱锥的结构特征
思考1：我们把下面的多面体取名为棱 锥，你能说一说棱锥的结构有那些特征 吗？据此你能给棱锥下一个定义吗？
棱锥的概念
定义：如果一个多面体有一个多边形的面，且不 在这个面上的棱都有一个公共顶点，那么这个多 面体叫做棱锥 S 这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面 叫做棱锥的侧面，侧面都是三角形 不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱 侧棱的公共点叫做棱锥的顶点，
(正多边形的外接圆(内切圆)圆心叫正多边形中心)
正三棱锥（正四面体）
正五棱锥
正棱锥的性质
（１）、各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 各等腰三角形底边上的高相等，叫做正棱锥的斜高
（２）、正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影 组成 一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、侧棱在 Ｓ 底面内的射影也组成一个直角三角形。
棱台的概念
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，D1
B1
C1
A1
D1 B1
C1
知识探究（四）：棱台的结构特征
特征：有两个面是互相平 行的相似多边形，其余各 面都是梯形，每相邻两个 梯形的公共腰的延长线共 点.
棱柱棱锥棱台的体积公式
棱柱棱锥棱台的体积公式棱柱、棱锥、棱台是几何学中常见的三维图形，它们的体积是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的知识点。
下面我们将分别介绍它们的体积公式。
一、棱柱的体积公式棱柱是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个矩形侧面组成的多面体。
它的体积公式为：V = S × h其中，V表示棱柱的体积，S表示底面积，h表示棱柱的高。
例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱柱，它的体积为：V = S × h = 10 × 10 × 10 = 1000cm³二、棱锥的体积公式棱锥是由一个多边形底面和若干个三角形侧面组成的多面体。
它的体积公式为：V = 1/3 × S × h其中，V表示棱锥的体积，S表示底面积，h表示棱锥的高。
例如，一个底面为正方形，高为10cm的棱锥，它的体积为：V = 1/3 × S × h = 1/3 × 10 × 10 × 10 = 333.33cm³三、棱台的体积公式棱台是由两个平行的多边形底面和它们之间的若干个梯形侧面组成的多面体。
它的体积公式为：V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))其中，V表示棱台的体积，h表示棱台的高，S₁和S₂分别表示上下底面的面积。
例如，一个上底面为正方形，下底面为长方形，高为10cm的棱台，它的体积为：V = 1/3 × h × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂)) = 1/3 × 10 × (10 + 20 + √(10 × 20)) = 266.67cm³掌握棱柱、棱锥、棱台的体积公式是我们在计算空间中物体的容积时必须掌握的基础知识。
棱柱、棱锥、棱台的概念和性质
1 1 3 1 ¢ \ MN = (0, , ); AB = ( , - ,1) 2 4 2 2
A N
AB ¢? MN = 0-
3 ?0 2
1 1 1 (- ) + ? 1 2 2 4
B
M
Y
C
X
1 1 + = 0 4 4
AB MN .
总结：
本节课主要学习了棱柱的定义及棱柱的有关性 质: 1.棱柱定义：棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点、 对角线、高。
分析： 右图：AA1⊥AB且A A1与底面不垂直时， 棱柱为斜棱柱。 左图：
A1 B1 C1
两个相邻侧面与底面 垂直时，它们的交线 也与底面垂直。
A B
C
2. 斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、 侧面各有什么特点？
1). 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。 正棱柱的底面为正多边形。
2). 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱 的侧面为矩 形。正棱柱的各个侧面为全 等的矩形。
答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是． 如右图所示，不是棱柱．
棱柱的表示法； 1 .用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如： 棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，如： 棱柱A C1
2
a 2a 2 + b 2
骣 2÷ ÷ ?ç 0, ç ÷ ç ÷ ç 2 桫
D
AC1 D1 C 形
骣 p p÷ ç , ÷ ç ç 桫 4 2÷
A
B
教 学 参 考 ——一题多解
M 是底 例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
高一数学棱柱、棱锥和棱台的结构特征2
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
思考交流
柱体、锥体、台h
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年，其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 和体积各是多少？
A
B ﹒C
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。
O
O′
课后作业 习题1—7 A组 第3、8题
知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh 3
1
V锥体
Sh 3
其中，S为锥体的底面积，h为锥体的高.
定理：等底等高锥体的体积相等
三、棱台和圆台
我们知道，用一个平行于底面的平面去 截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台， 所以，棱台的体积可用两个棱锥的体积的差 来计算。实际上，圆台的体积也可以这样计 算。计算公式如下：
V台体 13（S上+S下+ S上 S下）h.
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积
一、棱柱和圆柱
我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即
V柱体=Sh
其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高.
等底等高柱体的体积相等吗？
定理：等底等高柱体的体积相等
棱柱棱台棱锥的表面积和体积
棱柱棱台棱锥的表面积和体积一、棱柱的表面积和体积1.1 棱柱的定义棱柱是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点的侧面所组成的立体图形。
1.2 棱柱的表面积公式棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面积之和。
表面积公式：S = 2B + Ph （其中B为底面积，P为侧棱长，h为高）1.3 棱柱的体积公式棱柱的体积等于底面积乘以高。
体积公式：V = Bh （其中B为底面积，h为高）二、棱台的表面积和体积2.1 棱台的定义棱台是由两个平行且相等的多边形底面和若干个连接底面各对应顶点并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。
2.2 棱台的表面积公式棱台的表面积等于上下底面积之和加上所有侧棱形所组成部分之和。
表面积公式：S = B1 + B2 + L （其中B1、B2为上下底部分别对应的底面积，L为侧棱长）2.3 棱台的体积公式棱台的体积等于上下底面积之和乘以高再除以2。
体积公式：V = (B1 + B2)h / 2（其中B1、B2为上下底面积，h为高）三、棱锥的表面积和体积3.1 棱锥的定义棱锥是由一个多边形底面和若干个连接底面各对应顶点并且不在同一平面上的侧面所组成的立体图形。
3.2 棱锥的表面积公式棱锥的表面积等于底面积加上所有侧棱形所组成部分之和。
表面积公式：S = B + L （其中B为底面积，L为侧棱长）3.3 棱锥的体积公式棱锥的体积等于底面积乘以高再除以3。
体积公式：V = Bh / 3（其中B为底面积，h为高）四、总结通过以上介绍可以发现，无论是棱柱、棱台还是棱锥，它们计算表面积和体积都有自己独特的公式。
在实际运用中，我们需要根据所给出的具体数据，选择相应的公式进行计算。
同时，对于这些几何图形的认识和理解也是非常重要的，只有深入了解它们的定义和性质，才能更好地应用到实际问题中。
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体积
7、如图所示正四棱锥的侧面都是等边三角形，它的斜高为 ，
则这个正四棱锥的体积是_________________.
8、已知圆锥的母线长为 高为 ，则这个圆锥的体积是
______________________.
7.球的体积公式
三：讨论与交流
1已知正三棱锥的底面周长为9，侧棱长为2，则此棱锥的高是（）
2底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线的长为 ，体对角线长为 ，则这个棱柱的侧面积是（）
3若球的大圆周长为C，则这个球的表面积是（）
4设长方体的长、宽、高分别为 q其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
5、已知长方体形的铜块长、宽、高分别是2，4，8，将它熔化后铸成一个正方体形的铜块（不计损耗），则铸成的铜块的棱长是__________________;
9、一个球的大圆的面积增加为原来的100倍，则这个球的体积是原
来球体积的_______________倍.
10、正六棱柱的底面边长为10cm,高为15cm，则这个正六棱柱的体积是____________
11、正三棱台的上下底面边长分别为2、4，斜高为 ，则这个正三棱台的体积是_______
12、正方体的内切球与外接球的体积比是___________
名称
侧面积（Sห้องสมุดไป่ตู้）
表面积（S表）
圆柱
圆锥
球
3，体积公式：
1.柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的积.即
2.底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是
3.如果一个椎体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是
高一数学棱柱、棱锥和棱台的结构特征2
三棱锥 （四面体）
四棱锥
五棱锥
（2）正棱锥：如果棱锥的底面是正多边 形，并且水平放置， 它的顶点又在过正 多边形中心的铅垂线上，则这个棱锥叫做 S 正棱锥!
D
E
A
O
B
C
5．正棱锥的性质： （1）正棱锥的各侧面都是全等的等腰三 角形； （2）等腰三角形底边上的高都相等，叫 做棱锥的斜高! 6．棱锥的表示： （1）用顶点和底面各顶点的字母表示棱 锥：如三棱锥P－ABC，四棱锥S－ABCD. （2）用对角面表示：如四棱锥可以用P－ AC表示.
2 2
即正四棱锥的高为6，斜高为 2 10
练习题：
1．能保证棱锥是正棱锥的一个条件是
( C ) （A）底面为正多边形 （B）各侧棱都相等 （C）各侧面与底面都是全等的正三角形 （D）各侧面都是等腰三角形
2．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等， 则该棱锥一定不是（ D ） （A）三棱锥 （B）四棱锥
（C）五棱锥 （D）六棱锥
因为底面正方形ABCD的面积是16，所以 BC=4，MB=OM=2，
OB BM OM 2 2
2 2
又因为VB= 2 11 ,在Rt△VOB 中,由勾股定理得
VO VB OB
2 2
2 2
(2 11) (2 2) 6
在Rt△VOM中，由勾股定理得
VM 6 2 2 10
四．棱台及相关概念
1．定义：棱锥被平行于底面的平面所截, 截面和底面间的部分叫做棱台.
上底面 侧棱 侧面 高 顶点 下底面
2．相关概念： （1）棱台的下底面、上底面：原棱锥的底 面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面； （2）棱台的侧面：棱台中除上、下底面以 外的面叫做棱台的侧面； （3）棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫 做棱台的侧棱； （4）棱台的高：当棱台的底面水平放置时， 铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱 台的高。
棱柱棱锥棱台的表面积和体积教案
棱柱棱锥棱台的表面积和体积教案一、引言在几何学中，棱柱、棱锥和棱台是常见的三维几何体。
它们有着不同的特点和性质，但是计算其表面积和体积的方法却有一定的相似之处。
本教案将针对棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积进行详细讲解，并提供相应的计算公式和实例。
二、棱柱1. 定义和性质棱柱是一个底面是一个多边形的立体，且顶部和底部平行，并由与底面对应的一组边相连接而成。
棱柱的侧面全部是矩形，而顶部和底部是多边形。
2. 表面积的计算棱柱的表面积由底面积和侧面积两部分组成。
计算公式如下：表面积 = 底面积 + 侧面积底面积的计算取决于底面的形状，可以是正多边形或其他形状。
假设底面的周长为P，高度为h，则底面积可以表示为：底面积 = P * h/2侧面积的计算有两种情况： - 若底面是正多边形，侧面积可以通过计算正多边形周长P和高度h的乘积得到：侧面积 = P * h - 若底面是其他形状，侧面积需要通过分解为多个矩形，计算每个矩形的面积，然后求和得到。
3. 体积的计算棱柱的体积可以通过计算底面积和高度的乘积得到，即：体积 = 底面积 * 高度三、棱锥1. 定义和性质棱锥是一个底面是一个多边形的立体，且顶部是一个顶点。
棱锥的侧面全部是三角形，而底面是多边形。
2. 表面积的计算棱锥的表面积由底面积和侧面积两部分组成。
计算公式如下：表面积 = 底面积 + 侧面积底面积的计算方法与棱柱相同。
侧面积的计算可以通过计算棱锥的侧面积和底面积之和得到，即：侧面积 = 底面积 + 棱锥侧面积棱锥侧面积的计算可以通过计算底面的周长和斜高的乘积得到，斜高可以通过勾股定理求得。
3. 体积的计算棱锥的体积可以通过计算底面积和高度的乘积再除以3得到，即：体积 = 底面积* 高度 / 3四、棱台1. 定义和性质棱台是一个上底面和下底面是两个平行的多边形的立体。
棱台的侧面全部是梯形，而上底面和下底面是多边形。
2. 表面积的计算棱台的表面积由上底面积、下底面积和侧面积三部分组成。
棱柱、棱锥和棱台
一、棱柱、棱锥和棱台温故1.棱柱、棱锥、棱台的概念，它们的形成特点2.棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称典例精析例1判断下列说法是否正确：（1）有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；(2)有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；(3)用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台.（4）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥.（5）四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面.（6）棱锥的各侧棱长相等.例2(1)把正方形的一个角截去后,○1若剩下的几何体共有12条棱,画出该几何体图形;②若剩下的几何体共有14条棱,画出该几何体图形.(2)把两个棱长都相等的正三棱锥和正四棱锥的一个侧面重合在一起组成的几何体有个面.例3(1)如下图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体由哪些简单几何体组成？CC 1A 1B 1A(2)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm 、4cm 、3cm ，一只蚂蚁从A 到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少？(3)四面体P-ABC 中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A 点出发沿四面体的表面绕一周，再回到A 点，蚂蚁经过的最短路程是多少？例4`(1)平行于棱柱侧棱的截面是什么图形？过棱锥顶点的截面是什么图形？(2) 用任意一个平面去截正方体，得到的截面可能是几边形？演练提升1. 四棱柱共有_______条棱;四棱锥共有_______条棱;四棱台共有共有_______条棱;四面体共有_______条棱.2. 长方体1111ABCD A B C D -中,作出截面11BCD A ,其截面把长方体分成两部分,则这两部分几何体分别是_________3. 如图,三棱台111ABC A B C -中,沿1A BC 截去三棱锥1A ABC -,则剩余部分是________4. 下列说法:① 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥; ② 当棱台的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥;③ 棱柱被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做棱台; ④ 棱锥被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做棱台. 正确的有______.(填上所有正确说法的序号) 5. 给出下列几个命题: ① 棱柱的侧面都是平行四边形;② 棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都是一个共同的公共点; ③ 多面体至少有四个面;④ 棱台的侧棱所在直线均相交于用一点. 其中正确的命题是________.6. 在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是_________.(写出所有正确结论的编号)○1矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三面为等腰直角三角形,有一面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体.7. 已知一长方体，根据图中三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是．8. 有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是．①棱柱 ②棱锥 ③棱台 ④可能是棱台, 一定不是棱柱或棱锥9. 如图，多面体的名称是_______________________； 该多面体的各面中，三角形有_______________个， 四边形有_________________________________个．10.如图，用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．11. 观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？（1） （2）12. 根据下列对几何体结构的描述，说出几何体的名称，并试画出其立体图． （1）由1个梯形沿某一方向平移形成；（2）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他面都是全等矩形； （3）由4个面围成，且每个面都是三角形．AA 'DD 'BB 'C 'CCA 'B AB 'C 'AA 'BCDB 'C 'D 'AA 'BCDEF B 'C 'D 'F 'E '（3）二、圆柱、圆锥、圆台和球温故1.圆柱、圆锥、圆台和球的概念2.圆柱、圆锥、圆台和球的截面及它们之间的关系典例精析例1（1）给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行.其中说法正确的是.（2）已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径.例2（1）直角三角形ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，以AB所在直线为轴旋转一周，分析所形成的几何体的结构特征.（2）给出下列命题：①以直角三角形的一条边为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；②以等腰三角形底边上的中线为轴，将三角形旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥；③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；④圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径.其中正确命题的序号是例3（1）判断图所表示的几何体是不是圆台？为什么？（2）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为cm.36cm2，则球心与截面圆例4（1）已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积是π圆心的距离是.（2）已知球的两个平行截面分别为π5和π8，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.例5`（1）如下图绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体构成的？（2）下图（1）是由图（2）中的哪个平面图旋转得到的（3）如图是一枚公章，这个几何体是由简单的几何体、、组合而成的.演练提升1．将等边三角形绕着它的一边上的中线所在的直线旋转0180,形成的几何体是______. 2．将一个直角三角形绕着它的斜边所在直线旋转一周,形成的几何体是_________.3．下列关于球的叙述:①将圆绕着它的任意一条直径所在的直线旋转0180,形成的几何体是球;②将半圆绕着它的任意一条半径所在的直线旋转一周,形成的几何体是球;③空间中到l l 的点的集合是球.正确的是__________.(填上所有正确的一个定点的距离小于等于(0)说法的序号)4．如果一个球恰好内切于一个棱长为10cm的正方体盒子(球与正方体的六个面都能接触),那么这个球的半径为_______cm.5．下列说法:①当圆柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做圆锥;②当圆台的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做圆锥;③圆柱被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做圆台;④圆锥被平行于底面的一个平面所截后,得到的截面和底面之间的几何体叫做圆台.其中,不正确的是______.6．下列说法:①用一个平面去截一个球所得的截面是一个圆面;②用一个平面去截一个圆柱所得的截面是一个圆面或矩形;③用一个平面去截一个圆锥所得的截面是一个圆面或等腰三角形;7．如图,将直角梯形ABCD绕腰CD边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？CDCBA8．用一个平面截一个几何体，不管怎样截，得到的都是圆面，则这个几何体是__________ 9．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，面积是3，则这个圆锥的母线长为______________ 10．圆台的上、下底面半径分别为2和4，则它的中截面半径为____________11．矩形ABCD 中，AB=5，AD=2，以AB 为轴旋转一周，所得圆柱的截面面积为_________ 12.圆台的上、下底面半径分别为2和4，则它的中截面半径为____________13.矩形ABCD 中，AB=5，AD=2，以AB 为轴旋转一周，所得圆柱的截面面积为_________ 14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是__________(5)(4)(3)(2)(1)15.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是 ．A ．B ．C ．D ．16.圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为5cm 的正方形ABCD ，则圆柱侧面上从点A 到点C 的最短距离为___________17.在有太阳的某个时刻，一个大球放在水平地面上，球的影子伸到距离球与地面接触点10m处，同一时刻一根长3m的木棒垂直于地面，且影子长1m，求此球的半径.2，∠C=90°，以直线AC为轴将△ABC旋18.在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=3转一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值. 19.一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱.（1）用x表示圆柱的轴截面面积S （2）当x为何值时，S最大？。
棱柱棱锥棱台的表面积和体积公式
棱柱棱锥棱台的表面积和体积公式棱柱、棱锥和棱台是几何学中常见的三种立体图形，它们都具有特定的表面积和体积公式。
本文将分别介绍棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积公式，并对其应用进行讨论。
一、棱柱的表面积和体积公式棱柱是一种具有两个平行且相等的底面，底面之间的连接线段都垂直于底面的立体图形。
棱柱的表面积公式为：S = 2B + L，体积公式为：V = Bh。
其中，B表示底面积，L表示侧面积，h表示高度。
由于棱柱的底面是一个多边形，所以底面积的计算方法取决于底面的形状。
常见的底面形状有正多边形、矩形和圆形。
以正多边形为例，当底面是正n边形时，底面积的计算公式为：B = n * a * a / (4 * tan(π / n))，其中a表示边长，n表示边的个数。
侧面积的计算公式为：L = p * h，其中p表示正多边形的周长。
以矩形为例，当底面是矩形时，底面积的计算公式为：B = l * w，其中l表示矩形的长，w表示矩形的宽。
侧面积的计算公式同样为：L = p * h，其中p表示矩形的周长。
以圆形为例，当底面是圆形时，底面积的计算公式为：B = π * r * r，其中r表示圆的半径。
侧面积的计算公式为：L = 2 * π * r * h，其中h表示高度。
二、棱锥的表面积和体积公式棱锥是一种具有一个底面和侧面的立体图形，底面是一个多边形，侧面连接底面和顶点。
棱锥的表面积公式为：S = B + L，体积公式为：V = (1/3) * B * h。
与棱柱类似，棱锥的底面积的计算方法取决于底面的形状。
侧面积的计算公式为：L = (1/2) * p * l，其中p表示底面的周长，l表示侧面的斜高。
三、棱台的表面积和体积公式棱台是一种具有两个底面和侧面的立体图形，底面形状相等且平行，侧面连接两个底面。
棱台的表面积公式为：S = B1 + B2 + L，体积公式为：V = (1/3) * (B1 + B2 + √(B1 * B2)) * h。
棱柱棱锥棱台面积体积公式
棱柱棱锥棱台面积体积公式在咱们的数学世界里，棱柱、棱锥、棱台这几个家伙的面积和体积公式，那可真是藏着不少有趣的秘密！先来说说棱柱吧。
棱柱这玩意儿，就像一个长长的盒子，它的体积公式是底面积乘以高。
这底面积呢，得根据不同的底面形状来算。
比如说，如果底面是个长方形，那就是长乘宽；要是底面是个三角形，那就得用相应的三角形面积公式啦。
记得我有一次去一个工厂参观，看到工人师傅正在制作一个棱柱形状的大储物箱。
我好奇地凑过去问师傅：“师傅，您这做这么大的棱柱箱子，怎么算能装多少东西呀？”师傅笑着说：“这简单啊，先算出底面的面积，再乘以这个箱子的高度，就知道体积啦，体积越大装的东西就越多。
”我一听，恍然大悟，原来数学知识在实际生活中这么有用！再讲讲棱锥。
棱锥的体积公式是三分之一乘以底面积乘以高。
这就好比是把一个棱柱从上面削尖了一样。
想象一下，一个金字塔形状的棱锥，多神秘呀！有一回我带着学生们去户外搞活动，看到一个小沙丘，形状特别像一个棱锥。
我就问同学们：“你们谁能算算这个沙丘大概有多少沙子？”同学们一开始都有点懵，后来大家一起回忆棱锥的体积公式，还真算出了个大概。
那时候，我看着他们认真思考的样子，心里特别欣慰。
最后说说棱台。
棱台的体积公式稍微复杂一点，是三分之一乘以高乘以（上底面积加下底面积加上底面积乘以下底面积的平方根）。
我之前在装修房子的时候，碰到一个棱台形状的装饰台。
我就想着自己算算它的体积，看看能放多少东西。
结果我算来算去，还真给算明白了。
这让我在装修的时候心里更有底，知道怎么合理利用空间。
总之，棱柱、棱锥、棱台的面积和体积公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多联系实际，多思考，就能发现它们在生活中无处不在，而且能帮咱们解决好多实际问题呢！咱们可别小瞧这些公式，它们就像是打开数学宝藏的钥匙，能让咱们在数学的世界里畅游，发现更多的奇妙和乐趣！所以呀，同学们一定要好好掌握，说不定哪天就能派上大用场啦！。
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棱柱、棱锥和棱台的概念及基本量的计算
【知识梳理】
1．一般地，我们把叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，______________叫做多面体的顶点。
2．把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧，这样的多面体叫做___________。
3．有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做___________。
两个互相平行的面叫做___________，简称底；其余各面叫做棱柱的___________；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的___________；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的___________。
4．棱柱按照底面边数分类：底面是__________________的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……。
5．棱柱的结构特征：①______________ ；②_______________；③________________。
6．一般地，一个面是多边形，其余各面都是____________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，多边形面叫做棱锥的______；有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的________，各侧面的公共顶点叫做棱锥的_________；相邻侧面的公共边叫做棱锥的________。
7．棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做________、_________、___________。
8.棱锥的结构特征：①底面是多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形。
9.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，_____________叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_______；其余各面叫做棱台的____；底面与侧面的公共点叫做棱台的_______；相邻侧面的公共边叫做棱台的_______；棱台按底面边数分为三棱台、四棱台、五棱台……
【典型例题】
例1下列几何体是棱柱的有（）
变式练习：下列几何体中是棱柱的有
例2．判断下列说法是否正确
（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形。
（2）一个)3( n n 棱柱共有2n 个顶点。
（3）棱柱的两个底面是全等的多边形。
（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形。
变式练习：观察长方体，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？观察六棱柱，有多少对平行平面？能作为棱柱底面的有多少对？
例3．判断下列说法是否正确：
（1）棱锥的各侧面都是三角形。
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥。
（3）四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面。
（4）棱锥的各侧棱长相等。
例4．判断如下图所示物体是不是棱台，为什么？
变式练习：“有两个面是平行的相似多边形，其余各面都是梯形”的几何体一定是棱台吗？
例5. 长方体AC 1的长、宽、高分别为3、2、1，从A 到C 1沿长方体的表面的最短距离为
变式练习：在直棱柱111ABC A B C -中12,2,90AB BC BB ABC ︒===∠=，E ，F 分别
是111,AA B C 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 的最短路径的长度为？
例6.正四棱台AC 1的高是17cm ，两底面的边长分别是4cm 和16cm ，求这个棱台的侧棱长和
斜高.
例7.如图正四棱锥P －ABCD 的底面边长为a ，高为h ，求它的侧棱PA 的长和斜高PE
例8．正三棱柱的每条棱都是 a ，过底面一边和上、下底面中心连线的中
点作截面，求此截面的面积.。