水文频率曲线线型
水文频率曲线简捷计算和绘图技巧
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［6 ］ 吴明官等’ ./012 在水文频率计算中的应用 ［C］ （6） ’ 水文， @""!， ’
（责任编辑
冉崇辉）
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标与频率值 （下侧概率） 的标准正态分布分位数有关 ’ 由于标准 正 态 分 布 分 位 数 在 " 5 6"7 处 为 零 ， 而 海 森 概 率 格 纸 在 " 5 因此横坐标值计算公式表示为 "8"!7时的横坐标值为零，
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水文年型划分
通过水文年型的划分进行灌区水文年型的中长期预测，可以为节水灌溉提供基础信息(路振广2005)，从而明确研究所得结论适用于的降水年型，针对选定的典型年的气象、水文情况制定出当年的用水计划，在执行过程中再依据当时的气象、水文等情况进行调整(茆智, 李远华, and 李会昌2002)。
皮尔逊Ⅲ型曲线被规定为我国水文频率计算的首选线型，得到了广泛应用(水利电力部水利水电规划设计院1985)。
1. 水文频率曲线水文分析计算中使用的概率分布曲线俗称水文频率曲线，习惯上把由实测资料（样本）绘制的频率曲线称为经验频率曲线，而把由数学方程式所表示的频率曲线称为理论频率曲线。
所谓水文频率分布线型是指所采用的理论频率曲线(频率函数)的型式（水文中常用线型为正态分布型、极值分布型、皮尔逊Ⅲ型分布型等），它的选择主要取决于与大多数水文资料的经验频率点据的配合情况。
(宋孝玉2014)2. 皮尔逊Ⅲ型曲线(Pearson type Ⅲcurve)英国生物学家皮尔逊为随机现象提供了13种概率密度曲线（https:///），其中第Ⅲ型与水文现象较符合，在水文计算中用得较广(中国铁道百科全书总编辑委员会《工程与工务》编辑委员会2004)。
皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线，数学上常称伽玛分布，其概率密度函数为:式中：Γ（α）―α的伽玛函数；α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺度和位置未知参数，α﹥0，β﹥0 。
三个参数确定以后，该密度函数随之可以确定。
可以推论，这三个参数与总体三个参数、C v、C S具有如下关系：3.皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制水文计算中，一般需要求出指定频率P所相应的随机变量取值xp，也就是通过对密度曲线进行积分，即:求出等于及大于xp的累积频率P值。
直接由上式计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式:式中被积函数只含有一个待定参数C S，其它两个参数、Cv都包含在中。
案例一 水文统计频率曲线图
案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。
（1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。
②用公式100%1m Pn 计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24.③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n 平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式ilx K x 平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。
⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。
⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i vK C n⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i sv k C n C计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.50 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。
其下游有一参证站，有1939-1971年的年径流系列资料，如表1所示，其中1953-1954年、1957-1978年和1959-1960年，分别被选定为P=50%、P=75%和P=95%的代表年，其年内表1.设计站与参证站年径流系列要求：（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。
案例一-水文统计频率曲线图
案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。
（1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。
②用公式100%1m Pn 计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24.③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式ilx K x 平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。
⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。
⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i vK C n⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i sv k C n C计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.50 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。
其下游有一参证站，有1939-1971年的年径流系列资料，如表1所示，其中1953-1954年、1957-1978年和1959-1960年，分别被选定为P=50%、P=75%和P=95%的代表年，其年内表1.设计站与参证站年径流系列要求：（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。
《工程水文学》四五章复习
第四章水文统计基本知识一、概述1.随机现象：是在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象。
水文现象2.随机现象所遵循的规律称为统计规律，研究统计规律的学科称为概率论而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为数理统计学。
3.水文统计：将概率论和数理统计引入水文学，研究水文现象的统计变化规律的学科，被称为水文统计。
二、概率的基本概念1.事件2.概率：随机事件A在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现可能性的大小的数量标准就是概率。
m出现随机事件的结果数n试验中所有可能出现结果数古典概型P(A)=m/n3.频率：水文事件不属古典概型事件。
设事件A在ｎ次试验中出现了ｍ次，则称为事件A的频率 P(A)=m/n，当n趋于无穷大时，P(A)稳定并趋于概率。
4.概率定理加法定理：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ，当A、B互斥时P(AB)=0乘法定理：P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) ，当A、B独立时，P(AB)=P(A)P(B)三、随机变量及其概率分布1.随机变量：表示随机试验结果的一个变量，一般用大写变量表示，如 X，Y，Z等。
水文统计研究的是水文随机变量。
离散型随机变量、连续型随机变量总体与样本总体：随机变量所有取值的全体，样本：从总体中随机抽取的一部分，样本容量：样本包括的项数，样本大小。
2.随机变量的概率分布随机变量的取值与其概率之间的对应关系，记为F(X)。
连续型随机变量的概率分布(区间概率)对于水文变量，研究大于等于某一取值x 的概率，即分布函数F(x)—概率分布曲线 即: F(X)=P(X>Xp)=p水文上通常称概率分布曲线为频率曲线 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数3. 随机变量的统计参数：说明随机变量统计规律某些特征的数字，称为随机变量的统计参数。
例如平均降雨量、年平均流量等， （1）均值(数学期望值)均值为分布的中心，表示对象的平均情况，即总体水平的高低（2）均方差表示分布函数的绝对离散程度。
案例一水文统计频率曲线图
案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个（1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。
②用公式100%1mP n =?+计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24.③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n ===å平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式i l x K x =平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。
⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。
⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,0.26v C ==⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i s v k C n C =-==-å（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =,Cs的经验取值为，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线C v =，C s ==，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二 设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。
其下游有一参证站，有1939-1971年的年径流系列资料，如表1所示，其中1953-1954年、1957-1978年和分配如表2所示。
表1.设计站与参证站年径流系列要求：（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。
（2）根据延长前后的设计站年径流系列，分别绘制年径流频率曲线，并比较有和差异， （3）根据设计代表年的逐月径流分配，计算P=50%、P=75%和P=95%的年径流量逐（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。
案例一水文统计频率曲线图
案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。
年份 年径流深 年份 年径流深 1952 538.3 1964 769.2 1953 624.9 1965 615.5 1954 663.2 1966 417.1 1955 591.7 1967 789.3 1956 557.2 1968 732.9 1957 998 1969 1064.5 1958 641.5 1970 606.7 1959 341.1 1971 586.7 1960 964.2 1972 567.4 1961 687.3 1973 587.7 1962 546.7 1974 709 1963 509.9 1975 883.5 表1 （1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。
②用公式100%1mP n =?+计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24. ③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n ===å平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式i l x K x =平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。
⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。
⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i v K C n =--==-å⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i s v k C n C =-==-å计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.年份Q (m3/s) 大小排序序号P ( %) Ki Ki-1 (Ki-1)^2(Ki-1)^31952 538.3 1969 1064.5 1 4.00 1.60 0.60 0.36 0.21 1953 624.9 1957 998 2 8.00 1.50 0.50 0.25 0.12 1954 663.2 1960 964.2 3 12.00 1.45 0.45 0.20 0.09 1955 591.7 1975 883.5 4 16.00 1.33 0.33 0.11 0.03 1956 557.2 1967 789.3 5 20.00 1.18 0.18 0.03 0.01 1957 998 1964 769.2 6 24.00 1.15 0.15 0.02 0.00 1958 641.5 1968 732.9 7 28.00 1.10 0.10 0.01 0.00 1959 341.1 1974 709 8 32.00 1.06 0.06 0.00 0.00 1960 964.2 1961 687.3 9 36.00 1.03 0.03 0.00 0.00 1961 687.3 1954 663.2 10 40.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1962 546.7 1958 641.5 11 44.00 0.96 -0.04 0.00 0.00 1963 509.9 1953 624.9 12 48.00 0.94 -0.06 0.00 0.00 1964 769.2 1965 615.5 13 52.00 0.92 -0.08 0.01 0.00 1965 615.5 1970 606.7 14 56.00 0.91 -0.09 0.01 0.00 1966 417.1 1955 591.7 15 60.00 0.89 -0.11 0.01 0.00 1967 789.3 1973 587.7 16 64.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1968 732.9 1971 586.7 17 68.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1969 1064.5 1972 567.4 18 72.00 0.85 -0.15 0.02 0.00 1970 606.7 1956 557.2 19 76.00 0.84 -0.16 0.03 0.00 1971 586.7 1962 546.7 20 80.00 0.82 -0.18 0.03 -0.01 1972 567.4 1952 538.3 21 84.00 0.81 -0.19 0.04 -0.01 1973 587.7 1963 509.9 22 88.00 0.77 -0.23 0.06 -0.01 1974 709 1966 417.1 23 92.00 0.63 -0.37 0.14 -0.05 1975 883.5 1959 341.1 24 96.00 0.51 -0.49 0.24 -0.12 合计15993.5 合计15993.5 24 0 1.595 0.263 均值666.395C V0.28C S0.05 n 24表2（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.频率p% 第一次配线 C v=0.28，C s=2.5C v=0.7 第二次配线C v=0.31，C s=2.5C v=0.8 X轴值Q（m3/s）X轴值Q（m3/s）1 1.393 1230 1.393 1244 5 2.074 1030 2.074 1034 10 2.437 932 2.437 93420 2.877 824 2.877 82250 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二 设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。
案例一-水文统计频率曲线图
案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。
年份 年径流深 年份 年径流深 1952 538.3 1964 769.2 1953 624.9 1965 615.5 1954 663.2 1966 417.1 1955 591.7 1967 789.3 1956 557.2 1968 732.9 1957 998 1969 1064.5 1958 641.5 1970 606.7 1959 341.1 1971 586.7 1960 964.2 1972 567.4 1961 687.3 1973 587.7 1962 546.7 1974 709 1963 509.9 1975 883.5 表1 （1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。
②用公式100%1mP n =?+计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24. ③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n ===å平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式i l x K x =平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。
⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。
⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i v K C n =--==-å⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i s v k C n C =-==-å计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.年份Q (m3/s) 大小排序序号P ( %) Ki Ki-1 (Ki-1)^2(Ki-1)^31952 538.3 1969 1064.5 1 4.00 1.60 0.60 0.36 0.21 1953 624.9 1957 998 2 8.00 1.50 0.50 0.25 0.12 1954 663.2 1960 964.2 3 12.00 1.45 0.45 0.20 0.09 1955 591.7 1975 883.5 4 16.00 1.33 0.33 0.11 0.03 1956 557.2 1967 789.3 5 20.00 1.18 0.18 0.03 0.01 1957 998 1964 769.2 6 24.00 1.15 0.15 0.02 0.00 1958 641.5 1968 732.9 7 28.00 1.10 0.10 0.01 0.00 1959 341.1 1974 709 8 32.00 1.06 0.06 0.00 0.00 1960 964.2 1961 687.3 9 36.00 1.03 0.03 0.00 0.00 1961 687.3 1954 663.2 10 40.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1962 546.7 1958 641.5 11 44.00 0.96 -0.04 0.00 0.00 1963 509.9 1953 624.9 12 48.00 0.94 -0.06 0.00 0.00 1964 769.2 1965 615.5 13 52.00 0.92 -0.08 0.01 0.00 1965 615.5 1970 606.7 14 56.00 0.91 -0.09 0.01 0.00 1966 417.1 1955 591.7 15 60.00 0.89 -0.11 0.01 0.00 1967 789.3 1973 587.7 16 64.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1968 732.9 1971 586.7 17 68.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1969 1064.5 1972 567.4 18 72.00 0.85 -0.15 0.02 0.00 1970 606.7 1956 557.2 19 76.00 0.84 -0.16 0.03 0.00 1971 586.7 1962 546.7 20 80.00 0.82 -0.18 0.03 -0.01 1972 567.4 1952 538.3 21 84.00 0.81 -0.19 0.04 -0.01 1973 587.7 1963 509.9 22 88.00 0.77 -0.23 0.06 -0.01 1974 709 1966 417.1 23 92.00 0.63 -0.37 0.14 -0.05 1975 883.5 1959 341.1 24 96.00 0.51 -0.49 0.24 -0.12 合计15993.5 合计15993.5 24 0 1.595 0.263 均值666.395C V0.28C S0.05 n 24表2（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.频率p% 第一次配线 C v=0.28，C s=2.5C v=0.7 第二次配线C v=0.31，C s=2.5C v=0.8 X轴值Q（m3/s）X轴值Q（m3/s）1 1.393 1230 1.393 1244 5 2.074 1030 2.074 1034 10 2.437 932 2.437 93420 2.877 824 2.877 82250 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二 设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。
案例一-水文统计频率曲线图
案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。
（1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。
②用公式100%1m Pn 计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24.③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式ilx K x 平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。
⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。
⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i vK C n⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i sv k C n C计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.50 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。
其下游有一参证站，有1939-1971年的年径流系列资料，如表1所示，其中1953-1954年、1957-1978年和1959-1960年，分别被选定为P=50%、P=75%和P=95%的代表年，其年的表1.设计站与参证站年径流系列要求：（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。
水文频率曲线线型
第四节 水文频率曲线线型
内容提要：
正态分布，对数正态分布，皮尔逊Ⅲ型分布， 经验频率曲线
1.38 -1.35 -1.32
-2.33 -2.25 -2.18 -2.10 -2.03 -1.96 -1.88 -1.81 -1.74 -1.66 -1.59
99.9 -3.09 -2.95 -2.81 -2.67 -2.54 -2.40 -2.27 -2.14 -2.02 -1.90 -1.79
3、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用
★ 在频率计算时，由已知的Cs值，查 值表得出不 同的P的 值，然后利用已知的 、Cv，通过式 即可求出与各种P相应的xp 值，从 而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。
★ 当Cs等于Cv的一定倍数时,P-Ⅲ型频率曲线的模比 系数KP = , 也已制成表格,见附表2"皮尔逊Ⅲ
型频率曲线的模比系数KP值表“。频率计算时，由 已知的Cs和Cv可以从附表2中查出与各种频率P相对 应的KP值，然后即可算出与各种频率对应的 =KP 。有了P和 的一些对应值，即可绘制出皮尔 逊Ⅲ型频率曲线。
20 50
80 95 99
2.33 1.67 2.47 2.54 2.62 2.68 2.75 2.82 2.89 2.96 3.02
1.64 2.0 1.70 1.73 1.75 1.77 1.80 1.82 1.84 1.86 1.88
0.84 0.84 0.83 0.82 0.82 0.81 0.80 0.79 0.78 0.77 0.76
案例解析一-水文统计频率曲线图
案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。
（1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。
②用公式100%1m Pn 计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24.③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式ilx K x 平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。
⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。
⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i vK C n⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i sv k C n C计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.50 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。
其下游有一参证站，有1939-1971年的年径流系列资料，如表1所示，其中1953-1954年、1957-1978年和1959-1960年，分别被选定为P=50%、P=75%和P=95%的代表年，其年内表1.设计站与参证站年径流系列要求：（1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至1939-1971年。
案例一水文统计频率曲线图
0.10
0.０1
０．０0
１９５９
3４1.１
1974
709
8
３2．00
1.０6
0.06
0.０0
0.0０
１960
９6４.2
1961
687．3
9
3６.0０
１.03
0．03
０.00
0.０0
１9６1
68７．3
1954
6６3．2
1０
40.00
１.00
0.00
0．00
0.00
1962
5４6.7
１９58
６41.5
表1.设计站与参证站年径流系列
要求:(1）根据参证站系列，将设计站的年径流系列延长至１939-1971年。
（2）根据延长前后的设计站年径流系列,分别绘制年径流频率曲线,并比较有和差异，
（3）根据设计代表年的逐月径流分配,计算P＝５０%、Ｐ＝7５%和Ｐ=95％的年径流量逐月径流分配过程。
年份
月份 流量(m3/s)
０.85
-0.1５
0.02
0.00
1970
６06.7
1956
55７.2
１9
76．00
0.8４
-０.16
0.０３
0.00
1971
5８６．7
19６2
5４6.７
20
80.００
0.82
-0.１８
0.03
-0.01
1９72
567.4
1９５2
53８.3
2１
84．00
０．８1
－0.1９
0．04
-0．01
1９73
587.7
382
水文频率曲线线型
2020/11/12
21
其他的经验频率计算公式：
切哥达也夫公式：
P m 0.3 100% n 0.4
海森公式：
P m 0.5 100% n
通用形式：
P m a 100% , (a 0, b 0, a b) nb
2010-11-1
22
2、经验频率曲线优缺点 (1) 经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用方便 (2) 受实测资料所限, 内插可以 (3) 外延不确定性很大，往往难以满足设计上的需要
联系方程是通过对密度曲线进行积分
P
P( X
xP )
Γ ( )
xP
(x
a0
) 1e
dx ( xa0 )
给定x, 直接由上式计算对应的超过概率P值; 或者给定P 直接上式计算xP值, 都非常麻烦
实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式 :
P(
2020/11/12
P
)
P
f (、Cs )d
12
f (x)
1
2
exp
(x x)
2 2
2
( x )
式中 x - 均值； σ - 标准差； e - 自然对数的底。
x
正态分布密度曲线
3
2、频率格纸 正态频率曲线在普通格纸上是一条规则的S形曲线，它在P=50%前后的曲
线方向虽然相反，但形状完全一样，如图中的①线。 水文计算中常用的一种“频率格纸”，其横坐标的分划就是按把标准正态
2 y
1
Cv exp y2 1 2
1
Cs exp y2 1 2 exp y2 2 0
两参数对数正态分布是正偏的：
Cs 3Cv Cv3
案例一-水文统计频率曲线图
案例一 水文统计频率曲线图某站有24年的实测年径流量资料，见表1，使用目估线推求年径流量平率曲线的三个参数，并会出曲线图。
年份 年径流深 年份 年径流深1952 538.3 1964 769.2 1953 624.9 1965 615.5 1954 663.2 1966 417.11955 591.7 1967 789.3 1956 557.2 1968 732.9 1957 998 1969 1064.5 1958 641.5 1970 606.7 1959 341.1 1971 586.7 1960 964.2 1972 567.4 1961 687.3 1973 587.7 1962 546.7 1974 709 1963 509.9 1975 883.5 表1 （1）经验频率计算①将原始资料填入表2，并且将原始资料按从小到大的排序也填入表2中。
②用公式100%1mP n =?+计算经验频率，并将其列入表2中，并将x 和p 对应的点绘制在频率格纸上（图1），本案例分析中n=24. ③计算序列的多年平均流量ni 1()/366.395i X x n ===å平 (m 3/s)④计算各项的模比系数按供公式i l x K x =平计算，并计入表2中，其总和应等于n 。
⑤计算各项（K i -1）,列入表2中，其总和应为零。
⑥计算（K i -1）2，并列入表2中，可以求C v,,i 1(1)(K 1)0.261ni i v K C n =--==-å⑦计算（K i -1）3，并列入表2中，可求C s ,1(1)^30.05(3)^3ni i s v k C n C =-==-å计算经验参数平均值X 、变差系数C u 、偏态系数C s 如下表2.年份Q (m3/s) 大小排序序号P ( %) Ki Ki-1 (Ki-1)^2 (Ki-1)^3 1952 538.3 1969 1064.5 1 4.00 1.60 0.60 0.36 0.21 1953 624.9 1957 998 2 8.00 1.50 0.50 0.25 0.12 1954 663.2 1960 964.2 3 12.00 1.45 0.45 0.20 0.09 1955 591.7 1975 883.5 4 16.00 1.33 0.33 0.11 0.03 1956 557.2 1967 789.3 5 20.00 1.18 0.18 0.03 0.01 1957 998 1964 769.2 6 24.00 1.15 0.15 0.02 0.00 1958 641.5 1968 732.9 7 28.00 1.10 0.10 0.01 0.00 1959 341.1 1974 709 8 32.00 1.06 0.06 0.00 0.00 1960 964.2 1961 687.3 9 36.00 1.03 0.03 0.00 0.00 1961 687.3 1954 663.2 10 40.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1962 546.7 1958 641.5 11 44.00 0.96 -0.04 0.00 0.00 1963 509.9 1953 624.912 48.00 0.94 -0.06 0.00 0.00 1964 769.2 1965 615.5 13 52.00 0.92 -0.08 0.01 0.00 1965 615.5 1970 606.7 14 56.00 0.91 -0.09 0.01 0.00 1966 417.1 1955 591.7 15 60.00 0.89 -0.11 0.01 0.00 1967 789.3 1973 587.7 16 64.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1968 732.9 1971 586.7 17 68.00 0.88 -0.12 0.01 0.00 1969 1064.5 1972 567.4 18 72.00 0.85 -0.15 0.02 0.00 1970 606.7 1956 557.2 19 76.00 0.84 -0.16 0.03 0.00 1971 586.7 1962 546.7 20 80.00 0.82 -0.18 0.03 -0.01 1972 567.4 1952 538.3 21 84.00 0.81 -0.19 0.04 -0.01 1973 587.7 1963 509.9 22 88.00 0.77 -0.23 0.06 -0.01 1974 709 1966 417.1 23 92.00 0.63 -0.37 0.14 -0.05 1975 883.5 1959 341.1 24 96.00 0.51 -0.49 0.24 -0.12 合计15993.5 合计15993.5 24 0 1.595 0.263 均值666.395C V0.28C S0.05 n 24表2（2）频率格纸绘制及适线根据表2计算出来的 Cv =0.28,Cs的经验取值为2.5Cv，查《工程水文》教材的附录1，进行配线，计算结果如表3.频率p% 第一次配线 C v=0.28，C s=2.5C v=0.7 第二次配线C v=0.31，C s=2.5C v=0.8 X轴值Q（m3/s）X轴值Q（m3/s）1 1.393 1230 1.393 1244 5 2.074 1030 2.074 1034 10 2.437 932 2.437 934 20 2.877 824 2.877 82250 3.719 642 3.719 64075 4.394 522 4.394 52090 5.001 430 5.001 43295 5.364 382 5.364 39099 6.045 304 6.045 318表3根据两次配线结果，选取拟合较好的配线数组：第一次的配线，所画出的曲线偏离经验频率点较大，则重新配线；最后选取第二次配线Cv =0.31，Cs=2.5Cv=0.8，配线的频率图如下图1.图1.年流量频率曲线案例二 设计年径流分析资料：某水利工程的设计站，有1954-1971年的实测径流资料。
水文学与水文地质学3经验曲线-理论曲线
曲线绘制步骤
曲线绘制步骤：
① 据实测水文系列资料，不论年序，数值从大到小 排列，统计m，确定n；
② 计算（查表） P = m/(n+1)（%）； ③ 以实测值x为纵坐标，P(%)为横坐标，点绘
(P1, x1 ), (P2 , x2 ), (Pn , xn )，连线；
④ 若资料充分，可据设计频率标准[P]，在该
2
2390
9.0909091 13
1050 59.0909091
3
1860
13.6363636 14
1050 63.6363636
4
1740
18.1818182 15
980
68.1818182
5
1540
22.7272727 16
980
72.7272727
6
1520
27.2727273 17
883
77.2727273
1952
2750
1963
1953
762
1964
1954
2390
1965
1955
1210
洪峰流量Q（m3/s）
1270 1200 1740 883 1260 408 1050 1520 483 794
表整理
m
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
洪峰流量
2750 2390 1860 1740 1540 1520 1270 1260 1210 1200 1140
理论频率曲线
纵坐标：
xp x(1 Cv p )
横坐标为理论点P(%)或
P( X
xp)
( )
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直接由公式计算P值非常麻烦, 直接由公式计算 值非常麻烦,实际做法是 值非常麻烦 通过变量转换, 通过变量转换,变换成下面的积分形式 :
附表1 附表 P(%) Cs 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1 3.09 3.23 3.38 3.52 3.67 3.81 3.96 4.10 4.24 4.39 4.53
理论频率曲线计算表
p%
Φ p CV
0
75
90
95
99
Φp
Kp = Φ p CV + 1
x p = xk p
复习思考题
1,在水文频率计算中,我国一般选配皮尔逊III ,在水文频率计算中,我国一般选配皮尔逊 d 型曲线,这是因为[________]. 型曲线,这是因为 . a,已从理论上证明它符合水文统计规律; ,已从理论上证明它符合水文统计规律; b,已制成该线型的 值表供查用,使用方便; 值表供查用, ,已制成该线型的Φ值表供查用 使用方便; c,已制成该线型的 值表供查用,使用方便; 值表供查用, ,已制成该线型的kp值表供查用 使用方便; d,经验表明该线型能与我国大多数地区水文 , 变量的频率分布配合良好. 变量的频率分布配合良好.
2正态频率曲线绘在频率格纸上为一条 正态频率曲线绘在频率格纸上为一条 a [________] a,直线; b,S型曲线; 型曲线; ,直线; , 型曲线 c,对称的铃型曲线; d,不对称的铃型曲线. ,对称的铃型曲线; ,不对称的铃型曲线.
3,下图为不同的三条概率密度曲线,由图 ,下图为不同的三条概率密度曲线, 可知 [______] d a,Cs1 >0,Cs2 <0,Cs3=0; , , , ; b,Cs1 <0,Cs2 >0,Cs3=0; , , , ; c,Cs1 =0,Cs2 >0, , , , Cs3<0 < d,Cs1 >0,Cs2 =0, , , , Cs3<0; < ;
皮尔逊Ⅲ 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数 1 2.33 1.67 2.47 2.54 2.62 2.68 2.75 2.82 2.89 2.96 3.02 5 1.64 2.0 1.70 1.73 1.75 1.77 1.80 1.82 1.84 1.86 1.88 20 0.84 0.84 0.83 0.82 0.82 0.81 0.80 0.79 0.78 0.77 0.76 50 0.00 -0.02 -0.03 0.05 -0.07 -0.08 -0.10 -0.12 -0.13 -0.15 -0.16 80 -0.84 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85 0.85 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85 -0.85
附表2 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数KP值表 摘录, 附表 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数 值表 (摘录,CS = 2CV)
P(%) Cs 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00
0.1 1.16 1.34 1.73 2.19 2.70 3.27 3.89 4.56 5.30 6.08 6.91
95 0.92 0.84 0.70 0.56 0.45 0.34 0.26 0.18 0.12 0.08 0.05
99 0.89 0.78 0.59 0.44 0.30 0.21 0.13 0.08 0.04 0.02 0.01
作业3: 作业 :
已知 =1000m3/s,Cs=1.0及Cv=0.5,试求相 及 试求相 应的理论频率曲线及P=1%的设计流量 p. 的设计流量x 应的理论频率曲线及 的设计流量 .
50 1.00 1.00 0.99 0.97 0.95 0.92 0.89 0.85 0.80 0.75 0.69
75 0.97 0.93 0.86 0.78 0.71 0.64 0.56 0.49 0.42 0.35 0.29
90 0.94 0.87 0.75 0.64 0.53 0.44 0.35 0.27 0.21 0.15 0.11
1 1.12 1.25 1.52 1.83 2.15 2.51 2.89 3.29 3.71 4.15 4.61
5 1.08 1.17 1.35 1.54 1.74 1.94 2.15 2.36 2.57 2.78 3.00
20 1.04 1.08 1.16 1.24 1.31 1.38 1.44 1.50 1.54 1.58 1.61
值表(摘录) 值表(摘录) 95 -1.64 1.62 -1.59 -1.55 -1.52 -1.40 -1.45 -1.42 1.38 -1.35 -1.32 99 -2.33 -2.25 -2.18 -2.10 -2.03 -1.96 -1.88 -1.81 -1.74 -1.66 -1.59 99.9 -3.09 -2.95 -2.81 -2.67 -2.54 -2.40 -2.27 -2.14 -2.02 -1.90 -1.79
★水文频率曲线:水文分析计算中使用的概率分 水文频率曲线: 布曲线俗称水文频率曲线. 布曲线俗称水文频率曲线. 经验频率曲线: 经验频率曲线: 理论频率曲线: 理论频率曲线: 水文频率分布线型: ★水文频率分布线型:水文中常用线型为正态分 布型,极值分布型,皮尔逊Ⅲ型分布型等. 布型,极值分布型,皮尔逊Ⅲ型分布型等. 如何选取? 如何选取? 频率计算的两大内容: ★频率计算的两大内容: 分布线型的选择与统计参数的估算
1,皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数 ,皮尔逊Ⅲ 皮尔逊Ⅲ 皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不 对称单峰,正偏曲线,数学上常称伽玛分布, 对称单峰,正偏曲线,数学上常称伽玛分布,其 概率密度函数为: 概率密度函数为
式中: ( ) 的伽玛函数; 式中:Γ(α)―α的伽玛函数; 的伽玛函数 α,β,a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的形状尺 分别为皮尔逊Ⅲ , , 分别为皮尔逊 度和位置未知参数, 度和位置未知参数, α＞0, β＞0 . ＞ , ＞
3,皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用 ,皮尔逊Ⅲ
在频率计算时,由已知的Cs值 ★ 在频率计算时,由已知的 值,查 值表得出不 同的P的 同的 的 值,然后利用已知的 ,Cv,通过式 , 即可求出与各种P相应的 相应的xp 值,从 即可求出与各种 相应的 而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线. 而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线. ★ 当Cs等于 的一定倍数时 Ⅲ型频率曲线的模比 等于Cv的一定倍数时 等于 的一定倍数时,P-Ⅲ 系数KP = , 也已制成表格 见附表 皮尔逊Ⅲ 也已制成表格,见附表 皮尔逊Ⅲ 见附表2"皮尔逊 系数 型频率曲线的模比系数KP值表" 频率计算时, 型频率曲线的模比系数 值表".频率计算时,由 值表 已知的Cs和 可以从附表 中查出与各种频率P相对 可以从附表2中查出与各种频率 已知的 和Cv可以从附表 中查出与各种频率 相对 应的KP值 应的 值,然后即可算出与各种频率对应的 =KP .有了 和 的一些对应值,即可绘制出皮尔 有了P和 的一些对应值, 型频率曲线. 逊Ⅲ型频率曲线.
第四节 水文频率曲线线型
内容提要: 内容提要: 正态分布,对数正态分布,皮尔逊Ⅲ型分布, 正态分布,对数正态分布,皮尔逊Ⅲ型分布, 经验频率曲线 学习要求: 学习要求: 1.了解正态分布,对数正态分布的形式和特点; 了解正态分布, 了解正态分布 对数正态分布的形式和特点; 2.掌握皮尔逊Ⅲ型分布的形式,特点及其频率曲 掌握皮尔逊Ⅲ 掌握皮尔逊 型分布的形式, 线的绘制方法; 线的绘制方法; 3.掌握经验频率曲线的特点及其绘制方法. 掌握经验频率曲线的特点及其绘制方法. 掌握经验频率曲线的特点及其绘制方法
曲线方程中的参数与统计参数的关系
显然,三个参数确定以后, 显然,三个参数确定以后,该密度函数随之 可以确定.可以推论, 可以确定.可以推论,这三个参数与总体三 具有如下关系: 个参数 ,Cv,Cs具有如下关系: , 具有如下关系
2,皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制 ,皮尔逊Ⅲ
水文计算中, 水文计算中,一般需要求出随机变量取值 大于等于xp的频率 的频率P 大于等于 的频率 (x>xp),也就是通过 , 对密度曲线进行积分, 对密度曲线进行积分,即:
2,正态分布曲线在水文中的应用 ,
正态频率曲线在普通格纸上是一条规则的S形曲线, 正态频率曲线在普通格纸上是一条规则的 形曲线,水文计 形曲线 算中常用的一种"频率格纸" 算中常用的一种"频率格纸",其横坐标的分划就是按把标 准正态频率曲线拉成一条直线的原理计算出来的 .
二,皮尔逊Ⅲ(P-Ⅲ)型曲线 皮尔逊Ⅲ -
4,是非题 ,
(1)我国在水文频率分析中选用皮尔逊III型曲线, 是因为已经从理论上证明皮尔逊III型曲线符合 水文系列的概率分布规律.( ) × (2)正态频率曲线在普通格纸上是一条直线.(×) (3)皮尔逊III型频率曲线在频率格纸上是一条规 则的S型曲线. ( × ) (4)在频率曲线上,频率P愈大,相应的设计值 xp就愈小. ( √ )
一, 正态分布
1,正态分布的密度函数及其参数 , 正态分布具有如下形式的概率密度函数: 正态分布具有如下形式的概率密度函数: (-∞＜x＜+∞) (- ＜ ＜ ) 式中 - 平均数; 平均数; σ - 标准差; 标准差; e - 自然对数的底. 自然对数的底.
正态分布的密度曲 线的特点: 线的特点: (1)单峰 ) (2)对于均值两边 ) 对称( 对称(Cs=0) (3)曲线两端趋于 ) ±∞,并以 轴为 ,并以x轴为 渐近线