2019届合肥新高三7月调研性数学检测理科数学(解析版)

11
所以r 2 ．
6．执行右面的程序框图，若输出的结果为 15，则判断框中的条件是（ ）
A．i 4?
B．i 5?
C．i 6?
D．i 7 ?
6．答案：C
解析：由程序框图可知，该程序框图的功能是计算
i(i 1)
S 1 23i
的值，又S 15 ，
2
所以i 5 ，当i 1 6 时退出循环，结合选项
则该几何体的表面积等于（ ）
A．48 8
B．48 4
C．64 8
D．64 4
9．答案：D 解析：由三视图可知，该几何体是由一个半球和一个直四棱柱的组合体， 根据图中数据可知，表面积为
4 4 2 22 4 2 4 1 4 22 64 4 2
10．若将函数 f (x) cos2 x(1 cos x)(1 cos x) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函
，
2
12
1 1
∴
Sn
n(n 1)
2
n
n
1
，
1
1 1 1 1 1 2n
∴ Sn
的前n
项和Tn
2 1
2
2
3
n
n
1
n 1
.…………………10 分
18．(本小题满分 12 分)
a
b
已知：在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边长，
0.
cos( A C) cos A
2
2
连接BF ，则BF 平面 AED ，连接 AF ，则BAF 为 AB 与平面 ADE 所成的角，所以
1
BF sin BAF
2
3
AB 3 6
B P
F
D
A E
C
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上相应的位置.
13．若a 与b 的夹角为135 ， a 1， b 2 ，则 a b __________.
数 y g(x) 的图象，则函数 y g(x) 的单调递减区间为（ ）
A．
2
k，k
(k
Z)
B． k，2
k
(k
Z)
1 1
C．
8
4
k， 4
k
(k
Z)
1 1
D． 4
k， 8
4
k
(k
Z)
10．答案：A
解析：因为 f (x) cos2 x(1 cos x)(1 cos x) cos2 x sin2 x 1 sin2 2x 1 1 cos 4x ，
（）
A． f (a2 1) ≥ f (2a)
B． f (a2 1) ≤ f (2a)
C． f (a2 1) ≥ f (a 1)
D． f (a2 1) ≤ f (a)
11．答案：A
解析： f (x) 是偶函数， f (x) ex ex 2 sin x ，且 f (0) 0 ，令h(x) f (x) ，则 h(x) ex ex 2 cos x ，当 x [0, ) 时，h(x) ex ex 2 cos x ≥ 0 恒成立， 所以 f (x) ex ex 2 sin x 在[0, ) 上单调递增，所以 f (x) ≥ 0 在 x [0, ) 上恒成立，所以 f (x) 在
5．已知直线l : x y 5 0 与圆C : (x 2)2 ( y 1)2 r2 (r 0) 相交所得的弦长为2 2 ，则圆C 的半径r
（）
A． 2
B．2
C．2 2
D．4
5．答案：B
2 1 5
解析：圆C 的圆心为(2,1) ，圆心到直线的距离d
2 ，又弦长为2 2 ，所以2 r2 d 2 2 2 ，
所以2 ≤ a 0 ，所以 f (x) 的大致图象如图所示，又 f (x) 的零点为 x1 0, x2 2 ，所以 f (t) 0 必有两个 零点，t1 2 和t2 0 ，而 x ≤ a 时，f (x)min a2 4 ，所以要使 y f (t) 的两个零点都存在，则a2 4 ≤ 2 ， 否则t1 2 这个零点就不存在，故a2 ≤ 2 ，所以 2 ≤ a 0
a2 b2
是（ ）
A． x2 y2 1 3
x2
B．
y2
1或 x2
y2
1
3
3
x2 y2 C． 1
12 4
x2 y2
x2 y2
D． 1或 1
12 4
4 12
8．答案：B
解析：依题意，a2 b2 4 ，因为两条渐近线的夹角为60 ，所以渐近线的倾斜角为30 与150 或60 与120 ，
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10 分)
已知等比数列{an}各项都是正数，其中a3，a2 a3，a4 成等差数列，a5 32 .
(Ⅰ)求数列{an } 的通项公式；
1 (Ⅱ)记数列{log2 an} 的前n 项和为Sn ，求数列 的前n 项和Tn .
Sn
(17)(本小题满分 10 分)
(Ⅰ)设等比数列an
的公比为
q
2(a2 ，由已知得
a3) a5
a3 32，
a4，
，即
2a1q a1q2
a1q4
a1q 32.
3，
∵ an
0 ，∴q
q 2, 0 ，解得
a1 2.
∴ an
2n .
……………………5 分
n(n 1)
(Ⅱ)由已知得，Sn log2 a1 log2 a2 log2 an
2
∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
………………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)及C 知，△ABC 为等腰三角形，a b .
6
根据余弦定理a2 b2 2ab cos C c2 ，得(2 3)a2 8 4 3 ，
解得a2 4 ，∴a 2 ，
1
1
1
∴△ABC 的面积S ab sin C 2 2 1.
C．
13
3．答案：C 解析：因为四个直角三角形全等，两条直角边的长分别为 2 和 3，
所以斜边长为 13 ，所以围成的大正方形的面积为 13，而每个
1 直角三角形的面积为 2 3 3 ，所以阴影区域的面积为 12，
2
12
所以从图中随机取一点，该点取自阴影区域的概率为 ．
13
x y≤0
4．已知实数 x，y 满足条件x y ≥ 0 ，则 z 2x y 的取值范围是（
A． (1,3]
B．(1, 2]
C．[1, 2)
D． (2, 3]
1．答案：C
解析：M N [1, 2)
1 2i
2．已知复数 z
(i 为虚数单位)，则 z （ ）
2i
1
3
4
A．
B．
C．
D．1
5
5
5
2．答案：D
1 2i 1 2i
解析： z
5 1．公式： z1 z2 z1 z2 ,
z1 z1
2i 2i 5
z2 z2
3．右图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使
它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.已知图中直角三角形两条直角边的长分别为 2 和 3.若从右图内随机取一
点，则该点取自阴影区域的概率为（ ）
2
A．
3
8
B．
9
12
2
3
A．
8
3
B．
6
3
C．
4
3
D．
3
12．答案：B
解析：因为D, E 分别是BC 和PC 的中点，所以DE // PB ，又CPB CAB 90 ，所以DE PC ，
1
3
又 AC 1, CE , AE ，所以 AE PC ，所以PC 平面 ADE ，如图，延长ED 至F ，使得EF PB ，
15．将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3 3 方格图中的三个方格内，如图，要求任意两颗棋子不同行、不
同列，且不在3 3 方格图所在正方形的同一条对角线上，则不同放法共有___________种. 15．答案：24 解析：要想任意两颗棋子不在同一行、同一列，和同一条对角线上， 则三颗棋子必有一颗在正方形方格的顶点，另两颗在对角顶点的两侧，如图所示， 由于正方形有四个顶点，故有四个不同的相对位置，又三颗棋子颜色不同，故不同的
b 当倾斜角为30 与150 时，可知
3 ，所以a
3, b 1，双曲线方程为 x2 y2 1；
a3
3
b 当倾斜角为60 与120 时，可知
3 ，所以a 1, b
3 ，双曲线方程为 x2 y2 1．
a
3
9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由半圆及矩形组成，俯视图由正方形及其内切圆组成，
(Ⅰ)判断△ABC 的形状；
(Ⅱ)若C ，c 6 2 ，求△ABC 的面积．
6
a
b
a
b
18．解析：(Ⅰ)
0
0 a cos A b cos B ，∴sin 2 A sin 2B .
cos( A C) cos A
cos B cos A
∵ A，B 是△ABC 的内角，∴ A B ，或 A B ，
合肥市 2019 届高三调研性检测数学试题(理科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合M {x | 1 x 2} ， N {x |1≤ x ≤ 3}，则M N （ ）
[0, ) 上单调递增，因为 a2 1 ≥ 2a ，所以 f a2 1 ≥ f 2a ，又因为 f (x) 是偶函数，
所以 f (a2 1) ≥ f (2a)
12．在△ABC 中，CAB 90 ，AC 1 ，AB 3 ．将△ABC 绕BC 旋转至另一位置P (点 A 转到点P )，
3 如图，D 为BC 的中点，E 为PC 的中点． 若 AE ，则 AB 与平面 ADE 所成角的正弦值是（ ）
13．答案：1
2
解析： a b
ab
2
a
2
2 2a b b
3 21
2
2
2
3 2 1 ，所以 a b
1．
1，Sn1 2Sn (n N ) ，则a10
.
14．答案：256
解析：因为a1 S1 1，Sn1 2Sn (n N ) ，所以数列{Sn} 是公比为 2 的等比数列，所以Sn 2n1 ， 所以a10 S10 S9 29 28 28 256 ．
2
2
2
……………………12 分
19．(本小题满分 12 分)
统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较.环比是指本期统计数据与上期比较，如 2017 年 7 月与 2017 年 6 月相比.
同比是指本期数据与历史同时期比较，如 2017 年 7 月与 2016 年 7 月相比.
本期数－上期数
本期数－同期数
x
2
y
2
≤
0
2 A．6, 3
2 B．0, 3
C．[6, )
D．[0, )
B
24
D．
25
）
y
4．答案：A
A
2 2 解析：作可行域为如图所示的△OAB ，其中 A , ，
3 3
O
x
2 B(2, 2) ，则 zO 0, zA 3 , zC 6 ，
2 所以 z 2x y 的取值范围是6，3 ．
可知，应填i 6?
7．已知tan
3
，则sin
2
cos
2
的值为（
）
3
A．
10
3 B．
10
3
C．
5
3 D．
5
7．答案：B
cos sin tan 3
解析：sin
2
cos
2
cos sin
cos2
sin2
1 tan2
． 10
x2 y2 8．已知双曲线M : 1 (a 0，b 0) 的焦距为 4，两条渐近线的夹角为60 ，则双曲线M 的标准方程
环比增长率=
100% ，同比增长率=
100% .
上期数
同期数
下表是某地区近 17 个月来的消费者信心指数的统计数据：
序号 x
1
2
3
4
5
6
7
8
2017 年 时间
1月
消费者信
心指数 y 107.2
2017 年 2月
108.6
2017 年 3月
108.4
2017 年 4月
4
88
11
所以 g(x) cos 2x ，所以当2k ≤ 2x ≤ 2k , k Z ，即k ≤ 2x ≤ k , k Z 时，
88
2
g(x) 单调递减，即 g(x) 的单调递减区间是 2 k，k (k Z) ．
11．已知函数 f (x) ex ex 2 cos x ，其中e 为自然对数的底数，则对任意a R ，下列不等式一定成立的是
放法共有4 A33 24 （种）．
x2 4，x ≤ a
16．已知 f (x)
ex 1，x a
(其中a 0 ，e 为自然对数的底数)，若 g(x)
f
f (x) 在R 上有三个不同的
零点，则a 的取值范围是___________.
16．答案：[ 2, 0)
解析：令t f (x) ，所以 g(x) f (t) ， g(x) f f (x) 在R 上要有三个不同的零点，则 f (t) 0 必有两解，