最新武汉大学硕士研究生入学考试线性代数含解答
最新线性代数试题精选与精解(含完整试题与详细答案-考研数学基础训练)
精品文档线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020考研数学基础训练）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( )A.-12B.-6C.6D.12【答案】C【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。
有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。
本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。
【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。
热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。
【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6D ．15答案：C 。
2.计算行列式32 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( )A.-180B.-120精品文档C.120D.180 【答案】A【解析】本题考查了行列式的计算。
行列式可以根据任意一行（列）展开。
一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。
本题，按第三列展开，有：441424344433313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 00022 3 2 333(002)6(1) =630180.210A A A A A A A ++--=⋅+⋅+⋅+⋅=-----=⋅+⋅-=---⨯=-【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。
考研高数之线性代数自我检测试题(附详细答案解析)第一章行列式答案
第一章 行列式1.利用对角线计算下列行列式（1） 381 1 4 11 0 2- - - 4 -= （2） ba c a c bcb a 33 3 3 a b c abc - - - = 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列排列的逆序数 （1） 1 2 34 0 （2） 4 1 3 2 4 （3） 3 4 2 15（4） 2 4 1 33（5） 1 3 ┈（2n1） 2 4 ┈（2n ） 2) 1 ( nn - (6) 1 3 ┈(2n1)(2n)(2n2)┈2 )1 ( - n n 3.写出四阶行列式中含有因子 23 11 a a 的项 4432 23 11 a a a a - 3442 23 11 a a a a 4.用行列式的定义计算下列行列式（1） nn n n a a a a a D 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 1 2 2 1 L L L M M M L M M L L - - =( )nn n a a a L 2 1 2)1 )(2 ( 1 - - - （2） 443332 23 21 1211 4 00 0 0 0 0 0 a a a a a a a D =4432 23 11 44 33 21 12 a a a a a a a a - - 5.计算下列各行列式（1） 07 1 1 02 5 10 2 0 2 1 4 2 1 4= =D 【解析】71120 2 15 4 2 7 711202 15 0 2 0 2 1 4 2 7 0= - - - - - = - - - -（2） abcdef efcfbfde cd bdaeac abD 4 = - - - = （3） ( ) [ ]( )11 - - + - = = n na x x a n xa aa x a aa xD L L L L L L L （4） n D na a a a + + + + =1 1111 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 3 21 L LLL L L L L L na a a a a a a L L L L L L L L L 0 00 0 00 1 1 1 1 13 121 1 - - - + = nni ia a a a L 2 1 1 ) 1 1 ( å = + = （其中 0 2 1 ¹ n a a a L ）6.证明 322) ( 1 1 1 2 2 b a b b a a b aba - = + 利用对角线法则可得证7.计算下列各行列式：（1） ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 0 11 0 1 1 1 014+ + + + = - - - = d a cd ab d cb aD 【解析】 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 0 1 1 0 0 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 0 1 1 1 1 1 0 011 0 11 1 01 12 + + + + = - - - - + - - = - - -+ d a cd ab dc d c b a d cb a（2） aa aD nL M M M M L L0 1 0 0 10 = ，其中对角线上的元素都是a ，未写的元素都为零【解析】 )1 ( ) 1 ( 1 )1 ( ) 1 ( 0 0 0 0 1 0 0 1 ) 1 ( 0 00 0 0 0 0 10 01 0 - ´ - + - ´ - ´ ×× - + = n n n n n nn aa a a a aa a aLM LO M L L L MLM M L L L MMMM L L 2- - = n n a a（4） b a c a cb ac b c b a cb a D 2 2 2 + + + + + + =( )32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c b a ba c a cb a b ac b c b a b a c b a D + + = + + + + + + + + + + = （5）125 343 27 64 573425 49 9 16 1 1 1 1- - =D ( ) ( ) 1036812 12 8 9 573 4 573457 3 4 11 1 1 3 3 3 3 2222 - = ´ ´ ´ - = - - - =D 8.解下列方程（1）9 1 32 5 13 2 32 2 1 32 11 22= - - x x 【解析】( )( )( ) 0 31 4 4 0 00 5 1 3 2 0 0 1 0 32 1 1 9 1 32 5 13 2 3 2 2 1 3 2 1 1 2 2222 2= - - - = - - =- - x x x x x x 故可得 1 ± = x 或 2± = x （2）0 00 0 0 = a x a a a x x a a a x a 【解析】 ( )0 0 1 1 1 1 2 00 0 2 2 2 2 00 0 0 a x a aa x xa a x a axaa a x x a a x a x a x a x a a x a a a x x a a a x a + = + + + + =( )( ) ( ) 0 4 0 02 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 = - = - - - - - - - + = - - - - - - - + = a x xxx xa x x a x x x a a a x x a x x a ax a x a 故可得 0 = x ，或者 ax 2 ± =。
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_武汉大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设A，B为可逆矩阵，则下列矩阵不一定可逆的是( ).参考答案:A+B.2.已知三阶方阵A的特征值为【图片】，则【图片】参考答案:3.若【图片】阶行列式D的值为0，则D中必有一行元素全为0.参考答案:错误4.设【图片】, 则 A 的任意 m 个列向量必线性无关.参考答案:错误5.设 A 是【图片】矩阵，A 的秩为 m，m < n, 则 A 中任一 m 阶的子式不等于零。
参考答案:错误6.n 阶⽅阵 A 可对⽅化的充分必要条件是 A 有 n 个互不相同的特征值.参考答案:错误7.行列式为0的充分条件是( ).参考答案:行列式中各行元素之和为0.8.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3，其对应的余子式的值依次为3,2,1，则该行列式的值为参考答案:-2.9.已知 4 阶行列式中第一行元素依次为 1，0，-4，3，第三行对应元素的代数余子式的值依次为 1，5，-2，x. 则x的值为：参考答案:-3.10.在函数【图片】中，【图片】的系数为参考答案:.11.设A 是 3 阶正交矩阵，【图片】是A 的逆矩阵。
若向量【图片】, 则向量【图片】的长度为_____ .参考答案:312.设向量【图片】且向量【图片】在向量【图片】上的投影向量为【图片】则 x= ____ .参考答案:13.如果矩阵A能对角化，那么A的特征值一定互不相同.参考答案:错误14.实对称矩阵一定可以相似对角化，且相似矩阵是正交阵.参考答案:错误15.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，则【图片】.参考答案:错误16.已知三阶矩阵A的特征值为【图片】, 则下列命题不正确的是( ).参考答案:1和-1所对应的特征向量正交.17.n阶方阵A相似于对角阵的充分必要条件是( ).参考答案:对A的每个重特征值，有个线性无关的特征向量.18.行列式为0的充分条件是（）参考答案:行列式中各列元素的和为0.19.若行列式D中的每一个元素都不为零，则行列式D不等于零。
线性代数第五版第一章常见试题及解答
线性代数第五版第一章常见试题及解答第一篇：线性代数第五版第一章常见试题及解答一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．二阶行列式A．k≠-1 C．k≠-1且k≠3 答案：C 2．设行列式a2A．-3 C．1 答案：D k-122k-1≠0的充分必要条件是（）B．k≠3 D．k≠-1或≠3 a1b2=1，a2b1a1c2=2，则a2B．-1 D．3c1a1b2+c2=（）b1+c1⎧3x1+kx2-x3=0⎪4x2-x3=0有非零解,则 k=（）3.如果方程组⎨⎪4x2+kx3=0⎩A.-2 C.1 答案：B a11a12a22a32a13B.-1 D.2 a115a11+2a12a13a23，则D1的值为（）a334．设行列式D=a21a31A．-15 C．6 答案：Ca23=3，D1=a215a21+2a22a33a315a31+2a32B．-6 D．15 5.设3阶方阵A=[α1,α2,α3]，其中αi（i=1, 2, 3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[α1+3α2,α2,α3]|=（）A.-2 C.2 答案：CB.0 D.6 ⎧x+x2=06.若方程组⎨1有非零解，则k=（）kx-x=02⎩1A.-1 C.1B.0 D.2 答案：A 0-101-1中元素a21的代数余了式A21=（）7．3阶行列式aij=1-110A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：C a11a12a132a112a122a138.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23=（）a31a32a33-2a31-2a32-2a33A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案：B01-119．行列式-101-11-101第二行第一列元素的代数余子式A21=（-11-10A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：B xyz2x2y2z10.设行列式403=1,则行列式401=（）1113111A.23 B.1 C.2 D.83 答案：A 11.已知2阶行列式a1a2b2b,则b1b21b=m ,b12c1c=n 2a1+c=（1a2+c2A.m-n B.n-m C.m+nD.-（m+n）答案：B））3 0 -2 0 2.计算行列式 2 10 5 0 0 0 -2 0-2 3 -2 3=（）A.-180 B.-120 C.120 D.180二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(word完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案,推荐文档
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数重要知识点及典型例题答案
线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A TT =)( TTTB A B A +=+)( TTkA kA =)( TTTA B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数(同济第五版)习题答案
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第一章
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行列式
课后的习题值得我们仔细研读. 本章建议重点看以下习题: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (这几个题号建立有超级链接.) 若
1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式: 2 (1) −1 1 (3) a a
2
0 8 1 b b
2 (3) 逆序数为 5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4) 逆序数为 3: 2 1, 4 1, 4 3. (5) 逆序数为
n(n−1) : 2
第一章 行列式
3 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 .................................................................................. (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个 (6) 逆序数为 n(n − 1): 3 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个 5 2, 5 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 7 2, 7 4, 7 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 个 .................................................................................. (2n − 1) 2, (2n − 1) 4, (2n − 1) 6, . . . , (2n − 1) (2n − 2). . . . . . . . . . . . . .(n − 1) 个 4 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 个 6 2, 6 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 个 .................................................................................. (2n) 2, (2n) 4, (2n) 6, . . . , (2n) (2n − 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n − 1) 个 3 . 写出四阶行列式中含有因子 a11 a23 的项.
(研究生入学考试)线性代数习题册答案3
03 第三章：向量
习题答案3-
总结词
理解向量的加 法
总结词
掌握向量的数 乘
理解向量的模
总结词
总结词
掌握向量的点 乘
习题答案3-
01
总结词
理解向量的减法
总结词
理解向量的模
03
02
总结词
掌握向量的数乘
总结词
掌握向量的点乘
04
习题答案3-
总结词
理解向量的数乘
总结词
理解向量的点乘
总结词
掌握向量的模
总结词
01
$y+z=7$
02
$z+x=8$
03
解得：$x=3, y=2, z=5$
第四章：线性方程组 习题答案4-
第四章：Байду номын сангаас性方程组 习题答案4-
• $\Rightarrow x-y=0$
第四章：线性方程组 习题答案4-
01 02 03
$y-z=5$ $z-x=-5$ 解得：$x=-5, y=-5, z=0$
$Rightarrow begin{bmatrix} x y z end{bmatrix} = begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 0 & 1 & -2 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}^{-1} begin{bmatrix} -1 0 2 end{bmatrix}$
第四章：线性方程组 习题答案4-
begin{bmatrix} 1 -1 end{bmatrix}$
第四章：线性方程组 习题答案4-
$Rightarrow begin{bmatrix} x y end{bmatrix} = begin{bmatrix} 5 -3 end{bmatrix}$
线性代数期末试题(武汉大学)附答案
《线性代数》 （A 卷，工科54学时）学院 专业 学号 姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分) 已知1234567891011121010*******11000011001011A B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，，求行列式T AA 及秩()r B 。
二、(15分) 已知矩阵方程11)2(--=-CA B C E T，求矩阵A .其中1232120*********,.0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪== ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、（15分）已知向量组123412342345, , , 34564567αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求向量组A 的秩及一个最大无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出．四、(15分）设11010,1.111a A b λλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解，1）求a λ，；2）求方程组Ax b =的通解.五、(15分）设α是实数n 维非零列向量，E 为n 阶单位矩阵，[2/()]TTA E αααα=-，1）计算T A ，并回答()kE A -能否相似于一个对角阵？并说明理由，其中k 为常数；2）计算2A ，并回答()kE A -是否可逆？并说明理由，其中1k ≠±；3）给出2TE αα-（）为正交矩阵的充分必要条件。
六、(15分)在四元实向量构成的线性空间4R 中,求k 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由基12341234,,,,,,ααααββββ到的过渡矩阵P ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α；1111k β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,21121k β-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β 七、(15分) 设A 为n 阶对称矩阵, C 为n 阶可逆矩阵,令=TB C AC ，证明以下命题:1）B 为n 阶对称矩阵, 且=()()r B r A ；2）如果B 是一对角阵，C 是正交阵，且()f λ是 A 的特征多项式，则 =()f A O 。
近年线性代数考研题目及答案
近年线性代数考研题目及答案线性代数是数学中一个重要的分支，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
考研中的线性代数题目通常包括矩阵运算、向量空间、线性变换、特征值问题等。
以下是一些近年线性代数考研题目及答案的示例：1. 题目：设矩阵A是一个3×3的实对称矩阵，且满足A^2 - 2A - 3I = 0，其中I是单位矩阵。
证明A的特征值都为3。
答案：首先，由于A是实对称矩阵，它必定存在一组正交的特征向量。
设λ为A的一个特征值，对应的特征向量为v。
根据特征值的定义，我们有Av = λv。
将题目中的等式A^2 - 2A - 3I = 0两边同时乘以v，得到A(Av) - 2Av - 3v = 0，即A(λv) - 2(λv) - 3v = 0，这可以化简为λ^2v - 2λv - 3v = 0。
由于v非零，我们可以除以v得到λ^2 - 2λ - 3 = 0。
解这个二次方程，我们得到λ = 3或λ= -1。
由于A^2 - 2A - 3I = 0，我们可以推断出A的特征值不可能为-1，因此A的特征值只能是3。
2. 题目：设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，证明向量组α1 + α2, α2 + α3, ..., αn-1 + αn, αn + α1也是线性无关的。
答案：假设存在一组标量k1, k2, ..., kn，使得k1(α1 + α2)+ k2(α2 + α3) + ... + kn(αn + α1) = 0。
我们可以将这个等式重新排列，得到(k1 + kn)α1 + (k2 - k1)α2 + ... + (k1 -kn)αn = 0。
由于α1, α2, ..., αn线性无关，我们可以得出k1 + kn = 0，k2 - k1 = 0，...，k1 - kn = 0。
这意味着k1 = k2 = ... = kn = 0，因此向量组α1 + α2, α2 + α3, ..., αn-1 + αn,αn + α1是线性无关的。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。
答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。
答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。
考研数学——线性代数——习题及解答
第一部分 矩阵本部分是全课程的基础,特别是计算的基础. 本部分概念多,因此考点也多.关键性概念:矩阵的初等变换,矩阵的乘法,可逆矩阵.一. n 阶行列式的计算计算n 阶行列式不一定用递推法或数学归纳法，一些简单的n 阶行列式可对某行(列)展开直接求得值;有些可化为三角行列式;还有的可用特征值计算.例1 1 0 0 … … tt 1 0 … … 0 0 t 1 … … 0 . … … … … 0 0 0 … t 1例2 证明 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑ .… … … …0 0 0 … b n-1 c n(就是要证明M 1i=b 1…b i-1 c i+1…c n .)例3 证明 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0b 2 0c 2 … 0 0 =011111n nii i i i n i i a c c ca b c c -+==-∑∏ .… … … … b n … 0 c n例4 ① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2这些行列式都可以先求出相应矩阵的特征值来求值.例5 计算444342414433332313423222212413121111x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a ++++ ，其中12340x x x x ≠.解444342414433332313423222212413121111x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a ++++13111214123423212224123412343132333412344341424412341111a b a b a b a b x x x x a b a b a b a b x x x x x x x x a b a b a b a b x x x x a b a b a b a b x x x x ++=++矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++1111444334224114443333223113442332222112441331221111x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a E x b x b x b x b a a a a +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),,,(443322114321 特征值为4443332221111,1,1,1x b a x b a x b a x b a ++++相应行列式为4443332221111x b a x b a x b a x b a ++++原行列式的值43122432114321x x x b a x x x b a x x x x ++=3214442133x x x b a x x x b a ++例6 证明2222121212a a a a a a a()1n n a =+证明 222222121321012221122aa a a aa a a a A aaa a==2130124034(1)2(1)3231(1)0n a a aa a n a a n a nn a n+ ==⋅⋅⋅=++二. 矩阵的初等变换和初等变换法问题：①什么时候可用列变换？②如果两类变换都可以用，能否交替使用？1.初等变换的作用除了计算行列式，矩阵的初等变换应用在两个方面: (1) 用在线性方程组类问题上对线性方程组的增广矩阵作初等行变换反映了方程组的同解变换. 这方面的应用只可用行变换,决不可用列变换. (2) 计算矩阵和向量组的秩初等行变换和初等列变换都保持矩阵的秩.因此两类变换都可以用,并且可交替使用. （但是如果要求极大无关组，则只可用行变换） 每一种应用都要用到下面的基本运算:用初等(行)变换把一个矩阵化为阶梯形矩阵或简单阶梯形矩阵. 用初等行变换把可逆矩阵化为单位矩阵.2. 初等变换法(1)求方程组的唯一解当A 是可逆矩阵时, AX =β唯一解,求解的初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |β)→(E |η), 则η 就是解.(2) 解矩阵方程有两种基本矩阵方程:(I) AX =B . (II) XA =B .在A 是可逆矩阵这两个方程都是且唯一解.(I) AX =B 是线性方程组的推广,求解方法:将A 和B 并列作矩阵(A |B ),对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X :(A |B )→(E |X )(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T =B T .再用解(I)的方法求出X T.. (A T |B T )→(E |X T )(3) 当A 可逆时, A -1是矩阵方程AX =E 的解,于是可用初等行变换求A -1:(A |E )→(E |A -1)近几年考题中常见的一类求矩阵的题, 可利用矩阵方程求解:给定了3阶矩阵A 的3个线性无关的特征向量α1,α2,α3,和它们的特征值，求A ,(给定6个3维列向量α1,α2,α3,β1,β2,β3,求一个3阶矩阵A ,使得A α1=β1, A α2=β2, A α3=β3.)例7 A 是3阶矩阵的向量α1=(-1,2,-1)T ,α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解, (1) A 的各行元素之和都为3, 求A .(06) (2) A 是3阶实对称矩阵,求A .解 根据题意有100020101010A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，.(1)A 的各行元素之和都为3，则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333111A .建立矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000333110121111A再用初等变换法求出111111111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(2)0=Ax 有两个线性无关的解,,21αα则 32r A -()≥. ()1r A ≤. 再由()3()1tr A r A =⇒=. 所以A 的特征值为0，0，3.由于A 是实对称矩阵，属于3的特征向量与21,αα都相交，即满足⎩⎨⎧=+-=-+-00232321x x x x x 求得一个非零解,1113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α即333αα=A建立矩阵方程 )0,0,3(),,(3213αααα=A .例8二次型f(x 1,x 2,x 3)= X T AX 在正交变换X =QY 下化为y 12+y 22, Q 的第3列为(22,0,22)T.求A . 解 有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001AQ Q T . 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000100011AQ Q .则A 的特征值为0,1,1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22022是A 的特征向量，特征值为0，从而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101也是A 的特征向量，特征值为0.求A 的属于1的两个无关特征向量，即()0A E x -=的非零解它们都与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101相交，即满足方程组 031=+x x .(实际上它和()0A E x -=同解)，求出两个无关解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101,010.建立矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000101010101101010A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010001010110001110A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010100201010001010001010110001110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→2102101021021100010001 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10102010121A*设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,1,-1,(0,1,1)T是属于-1的特征向量,求A .(1995).*设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3,(1,1,-1)T 和(-1,2,1)T分别是属于1和2的特征向量,求A .(1997)*设3阶实对称矩阵A 的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T 和(2,1,1)T和(-1,2,-3)T都是属于6的特征向量.求A .(2004).*3阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,-2, (1,-1,1)T是A 的属于1的特征向量.记 B =A 5-4A 3+E .(1) 求B 的特征值和特征向量. (2) 求B .(07)三．矩阵乘法的两个规律,矩阵分解① A (α1, α2,…, αs )= (Aα1,Aα2,…,Aαs ).② 若A =(α1, α2,…, αn ), B =(β1, β2,…, βn )T ,则A B =α1β1 +α2β2 +…+αn βn .乘积矩阵AB 的第i 个列向量是A 的列向量组的线性组合,组合系数就是B 的第i 个列向量的各分量.(从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示.)乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量. (AB 的行向量组可以用B 的行向量组线性表示.)近几年考题中常见的又一类求矩阵的题是利用矩阵分解求解.设A 为3阶矩阵, α1, α2, α3是3维列向量组,知道了A α1,A α2,A α3对α1, α2, α3的分解,求矩阵B ,使得A P =P B . P =(α1, α2, α3).例9（2005） 设A 为3阶矩阵, α1, α2, α3是线性无关的3维列向量组,满足A α1=α1+ α2+ α3, A α2=2α2+α3, A α3=2α2+3α3.求作矩阵B ,使得A (α1, α2, α3)=( α1, α2, α3)B .解：三种方法对照方法一：设,332313322212312111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b b b b b b bb b B 则 B A ),,(),,(321321αααααα=可化为)32,2,(3232321ααααααα++++),,,(333223113332222112331221111αααααααααb b b b b b b b b +++++=得,331221111321ααααααb b b ++=++ 由于321,,ααα无关，得1,1,1312111===b b b .用同样方法求得1222320,2,1b b b ===, 3,2,0332313===b b b .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320120111B方法二：AP P B 1-=.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==----100010001),,(,3121111αααP P P E P P 有得1111231000,1,0001P P P ααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是，)32,2,(32323211ααααααα++++=-P B)32,2,31213121312111ααααααα-------++++=P P P P P P P ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320120111.方法三(矩阵分解法)B A ),,(),,(321321αααααα=.)32,2,(3232321ααααααα++++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320120111),,(321ααα.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320120111B .方法三是直接求出了B ，并且不必要求321ααα线性无关！例10(2008)已知α1,α2,都是3阶矩阵A 的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量 α3满足A α3=α2+α3.(1) 证明α1, α2, α3线性无关.(2) 记P =(α1, α2, α3),求P -1A P . (3) 证明A 不相似于对角矩阵. (4) 求A 的所有特征向量.例11（2001）设A 是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P =(α,A α,A 2α)可逆,并且A 3α=3A α-2A 2α. (1)求3阶矩阵B 使得A =P B P -1.(2)计算|A +E |.(3)求A 的特征值.用矩阵分解求行列式用矩阵分解估计秩和判断向量组的相关性(C 矩阵法)四. 可逆矩阵的充分必要条件n 阶矩阵A 可逆⇔ A 的行列式|A |≠0⇔ r(A )=n⇔ A 的列(行)向量组线性无关. ⇔ AX =0只有零解(AX =β有唯一解) ⇔ 0不是A 的特征值.(A -c E 可逆⇔c 不是A 的特征值.)例12 设n 阶矩阵A 满足A 2+3A -2E =0.对任何有理数c, 证明A -c E 可逆. 解：方法一：令cE A B -=,即cE B A +=，则02)(3)(2=-+++E cE B cE B 0)23()32(22=-++++E c c B c B . E c c E c B B )23(])32([2-+-=++.0232=-+x x 的两根为21732893±-=+±-， 因此当c 是有理数时，0232≠-+c c . 则E c c )23(2-+-可逆，从而B 可逆. 方法二：只用说明有理数c 不是A 的特征值.由0232=-+E A A ，A 的特征值满足 0232=-+λλ.而有理数c 不满足此式，因此不是A 的特征值.例13 设n 阶矩阵A ,B 满足AB =a A +b B +c E ,其中0ab c +≠,证明A -b E 和B -a E 都可逆.解 方法一：只用证))((aE B bE A --可逆.abE bB aA AB aE B bE A +--=--))((＝E c ab )(+∵0ab c +≠，E c ab )(+∴可逆，得)(),(aE B bE A --都可逆. 方法二：先证a 不是B 的特征值，从而aE B -可逆. 用反证法，若有向量0≠η，值得,ηηa B =则ηηηηc bB aA AB ++=， ηηηηc ab aA aA ++=得0)(=+ηc ab ，与条件0≠+c ab 矛盾要证b 不是A 的特征值，只用证b 不是TA 的特征值. 对cE bB aA AB ++=两侧转置，得cE bB aA A B T T T T ++=，用上法可证b 不是TA 的特征值，从而不是A 的特征值.例14 设α是n 维非零列向量,记A =E -Tαα.证明1Tαα=⇔ A 不可逆. (96) 证明 Tαα的特征值为0,,0,T αα .A 不可逆⇔1是T αα的特征值⇔1T αα=.例15 已知n 阶矩阵A ,B 满足E -AB 可逆,证明E -BA 也可逆,并且(E -BA )-1=E +B (E -AB )-1A . 证明 1()[()]E BA E B E AB A --+-1()()E BA E BA B E AB A -=-+--1()()E BA B BAB E AB A -=-+-- 1()()E BA B E AB E AB A -=-+--.E BA BA E =-+=例16 设A ,B 都是n 阶矩阵,证明c E -AB 可逆⇔ c E -BA 可逆. 证明 当0=c 时，即AB -可逆BA -⇔可逆. 而||||||)1(||BA B A AB n-=-=-.结论显然下设0≠c .方法一：左⇒右，即设AB cE -可逆，证BA cE -可逆.构选BA cE -的逆矩阵11[()]E B cE AB A c-+-11[][()]cE BA E B cE AB A c--+-])()([11A AB cE B BA cE BA cE c ---+-= 11[()()]cE BA B cE AB cE AB A c-=-+--E =. 方法二：用特征值，要证的是c 不是AB 的特征值⇔c 不是BA 的特征值逆否为c 是AB 的特征值c ⇔是BA 的特征值. “⇒”设ηηηc AB =≠,0. 则ηηcB BAB =.0,0,0≠⇒≠≠ηηB c .于是ηB 是BA 的特征向量，特征值为c .第二部分 向量组和线性方程组本部分全课程的理论基础,理论制高点, 特点是概念性强,抽象,因此是最难的部分,也是考试的重点和难点.关键性概念:线性表示,线性相关性,向量组和矩阵的的秩.齐次线性方程组的基础解系. 对这些概念要准确理解,并熟悉有关的性质,并且注意它们的联系,以及和其他章节的概念的联系.应该特别充分注意秩的作用.一．线性表示1. 线性表示的意义(1)一个向量β可用α1,α2,…,αs 线性表示,即n 维向量β是α1,α2,…,αs 的一个线性组合. 也就是：线性方程组AX =β有解，其中A =(α1, α2,…,αs ).一个向量是齐次方程组AX =0的解⇔它可以用AX =0的基础解系线性表示.(2) β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,即每个βi 都可以用α1,α2,…,αs 线性表示. 这个概念和矩阵乘积有联系: 当AB =C 时 , C 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示, C 的行向量组可以用B 的行向量组线性表示.反之,当 β1,β2,…,βt 可用α1,α2,…,αs 线性表示时,存在矩阵C （称为表示矩阵）使得：( β1,β2,…,βt )=(α1,α2,…,αs )C .(3) 向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 等价,即它们互相都可以表示,记作{α1,α2,…,αs }≅{β1,β2,…,βt }.如果A 用初等行变换化为B ,则A 和B 的行向量组等价; 如果A 用初等列变换化为B ,则A 和B 的列向量组等价.向量组和它的每个极大无关组都等价;因此它的任何两个极大无关组等价. 一个齐次方程组AX =0的任何两个基础解系等价.2.用秩判断线性表示(1) β可用α1,α2,…,αs 线性表示⇔r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs ).(2) β可用α1,α2,…,αs 唯一线性表示⇔r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs )= s. (3) β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示⇔r(α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt )=r(α1,α2,…,αs ). (4) α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 等价⇔r(α1,α2,…,αs )= r(α1,α2,…,αs , β1,β2,…,βt )= r(β1,β2,…,βt ).例1设α1=(1,2,0,1) , α2 =(1,1,-1,0), α3=(0,1,a,1),γ1=(1,0,1,0),γ2=(0,1,0,2).a 和k 取什么值时, γ1+k γ2可用α1,α2,α3线性表示?解),,(),,,(32121321αααγγγαααγ=+k)|,,(21321γγαααk +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k a 21111001111021行⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1212111011110001k k a 行⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1321011000110001k kk a 1,1≠-=a k例2 已知r(α1,…,αs )=r(α1,…,αs , β)=k,r(α1,…,αs , β,γ)=k+1，求r(α1,…,αs , β-γ )． 解 看γβ-是否可用s αα,,1 线性表示.β可以用s αα,,1 线性表示，γ不可用βαα,,,1s 表示，因此也不可用s αα,,1 表示.于是γβ-不可用s αα,,1 线性表示.11(,,,)(,,)11s s k γααβγγαα-=+=+例3设(1,2,3)T ,(2,3,5)T 和(1,a,b-1)T ,(2,a 2,b)T都是AX =0的基础解系,求a,b.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a 22,11532,321与等价，即221121153232122=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a b a b a γγ. 222121212122301243510022a a a a b b b a b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭ 得⎩⎨⎧=--=--02022a b a b 即⎩⎨⎧+==22a b a a ⎩⎨⎧==3210或或b a .当2,0==b a 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2022,101112b a b a 秩为1，不合要求当3,1==b a 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3122,211112b a b a ，秩为2，此时这两个向量组等价，符合题目要求.例4设AX=β的通解为 (1,-1,1,-1)T +c 1(1,-3,1,,0)T +c 2(-2,1,-1,2)T, c 1,c 2任意.(a,1,b,3)T是AX=β的解, 求a,b.解 的解是的解是011113131=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ax b a Ax b a β线性表示可用⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⇔2112,01314121b a 221120131412121120131=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⇔γγb a . ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2932100120001213111520001412121120131a b a a a b a a b a 则1,302093-=-=⎩⎨⎧=--=+b a a b a .例5 α1=(1,1,0,-1)T , α2=(0,2,1,1)T . 求β=(c 1, c 2, c 3, c 4)T可用α1,α2线性表示的条件. 解 2),(,,2121==)(ααγβααγ.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3143123143212120010000111201011),,(c c c c c c c c c c c c βαα得：β可用⎩⎨⎧=-+=--⇔02,31431221c c c c c c 线性表示αα⎩⎨⎧=-+=--⇔002314312x x x x x x 是β的解. (即⎩⎨⎧=+-=+-002431321x x x x x x 是β的解).说明⎩⎨⎧=+-=+-002431321x x x x x x 以21,αα为基础解系.例6设α1,α2 ,…,αs 是n 维向量组.证明r(α1,α2 ,…,αs )= n 的充分必要条件为:任何n 维向量都可用α1,α2,…,αs 线性表示.解 必要性：对任何n 维向量β，,),,,()(11n n s s ≤≤=βααγααγ得),,,(),,,(11s s ααγβααγ =从而β可用s αα 1表示充分性：当任何n 维向量都可用s αα 1表示时，任何n 维向量组都可用s ααα,,,21 表示.取n ηηη,,,21 是一个线性无关的n 维向量组(如一个n 阶可逆矩阵的列向量组)，则n n s n ≤≤=)()(11ααγηηγ .得n s =)(1ααγ .例7 设A 是m ⨯n 矩阵, C 是m ⨯s 矩阵.证明矩阵方程AX =C 有解⇔r(A |C )=r(A ). 证明 记),(),,,(11s n C A γγαα ==则AX C =有解⇔存在s n ⨯矩阵H 使得 C AH =⇔n s ααγγ 11可用线性表示⇔)(),(111n s n ααγγγααγ =即)()|(A C A γγ=.例8 设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组,(Ⅰ)有通解ξ1+c 1η1+c 2η2,其中ξ1= (1,0,1)T ,η1=(1,1,0)T ,η2=(1,2,1)T ；(Ⅱ)有通解ξ2+c η, ξ2=(0,1,2)T ,η=(1,1,2)T.求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.解 公共解都可写成ηξc +2，我们来求当c 取什么值时它又是(I )的解？ηξc +2是(I )的解⇔是12ξηξ-+c (I )的导出组的解 ⇔12ξηξ-+c ，可用21,ηη线性表示.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+1211121011),,(1221c c c c ξηξηη⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→1221011001c c得21=c ，公共解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+32321212ηξ二. 向量组的线性相关性1．定义和意义意义 线性无关就是每个 αI 都不能用其它向量线性表示; 线性相关就是有向量(不必每个)可以用其它向量线性表示.定义 设α1,α2,…,αs 是n 维向量组,如果存在不全为0的一组数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,则说α1,α2,…,αs 线性相关,否则(即要使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,必须c 1,c 2,…,c s 全为0)就说它们线性无关.和齐次线性方程组的关系 记A =(α1,α2,…,αs ),则:α1,α2,…,αs 线性相关(无关) ⇔齐次线性方程组AX =0有(没有)非零解.2．线性相关性的判别在考试真题中,相关性的判别是常见的，许多情形可用一些简单性质完成,甚至直接可用定义判别.因此熟记有关的性质是重要的.例如α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关,(2,1,a+4),(2,1,a+6)无关. 对考场上也出现过一些证明题,常用的思路有3个:① 定义法:用定义证明一个向量组α1,α2,…,αs 线性无关,就是由c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0推出c i 都为0.② 扩大法:利用性质:如果α1,α2,…,αs 线性无关, 则α1,α2,…,αs ,β线性无关⇔β不能用α1,α2,…,αs 线性表示.推论 如果αi ≠0，并且每个αi 都不能用前面的i-1个向量线性表示，则α1,α2,…,αs 线性无关.③ 秩法:α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s.例9 设A 为n 阶矩阵, α为n 维列向量，正整数k 使得A k α=0,但是A k-1α≠0,证明α, A α,…, A k-1α线性无关.证明 方法一：用定义证设0121=+++-αααk k A c A c c (1) 用1-k A乘(1)式得00111=⇒=-c A c k α 再用2-k A乘(1)式，得0,0212=⇒=-c A c k α这样逐个得出i c 都为0.方法二：用扩大法的推论，这个向量组是： 最后一个01≠-αk A .每一个都不能用后边的线性表示，如α1-i A 不可用αα1,,-k i A A 表示，因为αα1,,-k i A A 用i k A -乘都为0，即它们都是0=-αi k A 的解，而αi k A -不是：0)(1≠=---ααk i i i k A A A .由推论，得ααα1,,,-k A A 无关.例10设α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt 线性无关,其中α1,α2,…,αs 是齐次方程组AX =0的基础解系.证明A β1,A β2,…,A βt 线性无关.证明 用定义法设,02211=+++t t A c A c A c βββ 而,0)(2211=+++t t c c c A βββ于是t t c c ββ++ 11是0=Ax 的解，从而可用0=Ax 的基础解系s αα,,1 线性表示，即有 s s t t k k c c c ααβββ++=+++ 112211但是11,,,,,s t ααββ 线性无关，得)(11s t k k c c 和都为0.例11 设α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 是两个线性无关的n 维实向量组,并且每个αi 和βj 都正交,证明α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt 线性无关.证明 用定义法，设,01111=+++++t t s s k k c c ββαα记)(1111t t s s k k c c ββααγ++-=++= 则0))(,(),(1111=++-++=t t s s k k c c ββααγγ 即0=γ，于是s s k k c c 11和全都为0.例12 设α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 都是线性无关的n 维向量组,证明α1,α2,…,αs ,β1, β2,…,βt 线性相关⇔存在非零向量η,它既可用α1,α2,…,αs 线性表示,又可用β1,β2,…,βt 线性表示.证明 “⇒”存在t s k k c c 11,不全为0使得01111=+++++t t s s k k c c ββαα .令t t s s k k c c ββααη---=++= 1111， 则0≠η(∵t s k k c c 11和不能全为0！) 且η既可用s αα 1表示，又可用t ββ 1表示.“⇐”设0≠η，既可用s αα 1表示，又可用t ββ 1表示， 证s s s c c c c 111,ααη++=不全为0，t t t p p p p ,,,111 ββη++=-也不全为0，则,01111=++++t t s s p p c c ββαα ∴t s ββαα 11,相关.例13 已知n 元非齐次方程组AX =β有解, n-r(A )=3. (1)证明AX =β有4个线性无关的解. (2)证明AX =β的任何5个解都线性相关.(n 元非齐次方程组AX =β有解时,解集合的秩= n-r(A )+1.) 证明 (1)设0ξ是β=Ax 的一个解321,,ηηη是0=Ax 的基础的解系，321,,ηηη线性无关，而0ξ不可用321,,ηηη线性表示，从而这个向量线性无关.易见,,,,,,32103020100ηηηξηξηξηξξ≅+++，它们的秩相等，为4，从而3020100,,ηξηξηξξ+++，也无关，它们都是β=Ax 的解.(2)设54321,,,,ξξξξξ都是β=Ax 的解，则它们都可用(1)中的4210,,,ηηηξ这4个向量表示，所以必相关.三. 秩的有关等式与不等式秩是讨论向量组线性相关性的深入,它把抽象的概念数量化了, 从而可用数量的形式来处理线性表示和线性相关性问题,显得简单化了.譬如, 有一个性质:如果β1,β2,…,βt 可用α1,α2,…,αs 线性表示，并且t>s,则β1,β2,…,βt线性相关.从秩看,r(β1,β2,…,βt )≤ r(α1,α2,…,αs )≤s<t,从而β1,β2,…,βt 线性相关.例14 n 维向量组(I) α1,α2,…,αr 可以用n 维向量组(II) β1, β2,⋯, βs 线性表示. (A) 如果(I)线性无关,则r ≤s. (B) 如果(I)线性相关,则r>s. (C) 如果(II)线性无关,则r ≤s. (D) 如果(II)线性相关,则r>s. 这题可以用上面那个性质解决: (A)是它的逆否命题, (B)是否命题. 如果用秩做: r=r(α1,α2,…,αr )≤r(β1, β2,⋯, βs )≤s.例15 已知β可用α1,α2,…,αs 线性表示，但不可用α1,α2,…,αs-1线性表示．证明 ⑪ αs 不可用α1,α2,…,αs-1线性表示； ⑫ αs 可用α1,α2,…,αs-1, β线性表示．这题可以用定义做,叙述起来有点罗嗦. 下面用秩做:r(α1,α2,…,αr-1)+1=r(α1,α2,…,αr-1,β)≤r(α1,α2,…,αr ,β)=r(α1,α2,…,αr ) ≤ r(α1,α2,…,αr-1)+1于是r(α1,α2,…,αr-1,β)=r(α1,α2,…,αr ,β), r(α1,α2,…,αr )=r(α1,α2,…,αr-1)+1.例16 已知α1,α2,α3线性相关,而α2,α3,α4线性无关,则α1,α2,α3,α4中, 能用另外3个向量线性表示,而 不能用另外3个向量线性表示.r(α1,α2,α3)<3, r(α2,α3,α4)=3, r(α1,α2,α3,α4)=3.① 如果α1,α2,…,αs 是n 维向量组, 0≤r(α1,α2,…,αs )≤ Min{s,n}. 如果A 是m ⨯n 矩阵,则0≤r(A )≤Min{m,n}.② r(α1,α2,…,αs )+1.若β不可用α1,α2,…,αs 线性表示. r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs ).若β可用α1,α2,…,αs 线性表示. ③ 如果 β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,则 r(β1,β2,…,βt )≤r(α1, α2,⋯ ,αs ). ④ r(A ±B )≤r(A )+r(B ).⑤ r(AB )≤Min{r(A ),r(B )}.⑥ 当A (或B )可逆时,r(AB )=r(B )(或r(A )).⑦ 如果A 列满秩(r(A )等于列数),则r(AB )=r(B ).⑧ 如果AB =0,n 为A 的列数(B 的行数),则r(A )+r(B )≤n. ⑨ 设A *为n 阶矩阵A 的伴随矩阵,则 n, 若r(A )=n,r(A *)= 1, 若r(A )=n-1,0, 若r(A )<n-1.⑩ r(A |B )≤r(A )+r(B ).例17设A 是n 阶矩阵, α1,α2,⋯,αs 是一组n 维向量,βi =A αi , i=1,2，⋯,s.证明: (1) r(β1, β2,⋯, βs )≤r(α1,α2,⋯,αs ).(2) 如果A 可逆,则r(α1,α2,⋯,αs )=r(β1, β2,⋯, βs ).证明 (1)矩阵),,(),,(11s s A ααββ =∴11(,,)min{(),()}s s r r A r ββαα≤ (2)若A 可逆，则11()()s s r r ββαα=例18设α1,α2,α3,α4都是n 维向量.判断下列命题成立的为① 如果α1,α2,α3线性无关,α4不能用α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关. ② 如果α1,α2线性无关,α3,α4都不能用α1,α2线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关. ③ 如果存在n 阶矩阵A ,使得A α1,A α2,A α3,A α4线性无关,则α1,α2,α3,α4线性无关. ④ 如果α1=A β1,α2=A β2,α3=A β3,α4=A β4,其中A 可逆,β1,β2,β3,β4线性无关,则α1,α2,α3,α4线性无关.解 ①√.② 不对，例如43αα=.③ 123412344(,,,)(,,,)4r A A A A r αααααααα=≤≤. ④ √. 4),,,(),,,(43214321==ββββααααA .例19，例20 都可用C 矩阵法解.C 矩阵法：若s αα 1无关，t ββ 1可用s αα 1线性表示，表示矩阵为C ，则1()()t r r C ββ= .如果s t =，则t ββ 1无关0||≠⇔C .例19 设 α1,α2,…,αs 是齐次方程组AX =0的基础解系, β1=α1+t α2,β2=α2+t α3,…, βs-1=αs-1+t αs ,βs =αs +t α1.t 取什么值时β1,β2,…,βs 也是AX =0的基础解系?解s ββ,,1 确定都是0=Ax 的解，个数也合要求，看1s ββ 是否无关，由于s αα 1无关，可用C 矩阵法，s βββ 21,对s αα 1的表示矩阵C 为100100000000001t t C t ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭s s t C 1)1(1||+-+= s s t C )1(0||-≠⇔≠当sst )1(-≠时s ββ,,1 线性无关，从而构成基础解系.例20 设α1,α2,α3是齐次方程组AX =0的基础解系,则( )也是AX =0的基础解系. (A) α1,α2-α3 . (B) α1+α2, α2+α3,α3-α1.(C) α1+α2+α3,α1-α2-2α3,α1+3α2+4α3. (D) α1+2α2-α3,2α1+α2+α3, α2+α3. 解 (A )个数2个，不对.×(B )0)()()(133221=-++-+αααααα相关.×(C )表示矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=431211111C111111||1130220124033C =-=-=--，32132132143,2,ααααααααα++--++相关.×(D )√ 此时⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110112121C ,120120||2113006111111C ===---.四. 线性方程组线性方程组是课程的最主要部分,是考试的最大重点,但是考点很集中(解的情况的判别和通解的计算),有关的结论又十分明确，因此从方法上看不困难，大家也比较熟悉.但是近年来考题的发展趋势应该重视:考试重点转向概念化,考题渐渐脱离传统题型,出现许多有新意的题.1. 线性方程组解的情况的判别(1)对于方程组AX =β,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A ),r(A |β).① 无解⇔r(A)<r(A |β).② 有唯一解⇔r(A)=r(A |β)=n.(当A 是方阵时,就推出克莱姆法则.)③ 有无穷多解⇔r(A)=r(A |β)<n.方程的个数m 虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A )和r(A |β)的上界,因此当r(A )=m 时, AX =β一定有解. 当m<n 时,一定不是唯一解.(2)对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ).有非零解⇔ r(A )<n(即:只有零解⇔r(A)=n). 2. 基础解系和通解(1) 齐次方程组的基础解系如果齐次方程组AX =0有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX =0的基础解系.η1, η2,…,ηs 是AX =0的基础解系的条件为：① η1, η2,…,ηs 是AX =0的一组解. ② η1, η2,…,ηs 线性无关.③ s=n-r(A). (2) 通解当η1, η2,…,ηl 是AX =0的基础解系时, AX =0的通解为: c 1η1+c 2η2+…+c s ηs , c 1,c 2,…,c s 任意.如果ξ0是非齐次方程组AX =β的一个解, η1, η2,…,η s 是AX =0的基础解系时, AX =β的通解为:ξ0+c 1η1+c 2η2+…+c l ηs , c 1,c 2,…,c s 任意.例21 已知 ξ1=(1,-1,0,1)T ,ξ2=(2,0,1,1)T ,ξ3=(3,0,1,2)T都是线性方程组AX=β (β≠0)的解,并且r(A)=2,求通解.解 4,()2,()2n r A n r A ==-=.0=Ax 的基础解系由2个解构成0111201111312=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Ax 是和ξξξξ两个无关的解，构成基础解系.通解：2121,,111201111011c c c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-任意.例22 已知 ξ1,ξ2,ξ3都是线性方程组AX=β (β≠0)的解, ξ1=(1,2,3,4)T , ξ2+ξ3=(0,1,2,3)T,并且r(A)=3,求通解.解 4,()3,()1n r A n r A ==-=.123232()45ξξξ⎛⎫⎪⎪-+= ⎪ ⎪⎝⎭是0=Ax 的一个非零解，通解为c c ,54324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛任意例23 已知ξ=(0,1,0)T是方程组123123123322213x x x x bx x ax x cx d+-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的解,求通解.解 以ξ代入第2，3两个方程，得⎩⎨⎧==,31d b 不能确定c a 与.系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=c a A 2131213 ()2r A ≥若()3r A =，此时方程组有唯一解，它就是ξ.若()2r A =，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−011010001052051001021012013行A0=Ax 的同解方程组为⎩⎨⎧-==3231x x x x ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111，通解为c c ,111010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛任意例24有两个3元方程组x 1+x 2+x 3=1, 2x 1+3x 2+ax 3=4,(I) 3x 1+5x 2+x 3=7, (II) 2x 1+4x 2+(a-1)x 3=b+4 (1) 已知它们同解，求a,b.(2) 已知它们有公共解，求a,b ，并求所有公共解. 解 (1)思路：解出(I )的通解，代入(II )求出b a ,.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211210014121210171115131 ⎩⎨⎧+=--=2123231x x x x ，通解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112021c . 用⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021代入(II )的第2个方程得2,482=⇒+=+-b b . 取,1=c 得(I )的另一个解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133，代入(II )的第1个方程1496=⇒=++-a a .(2)即联立方程组有解：1111111111113517022401122340122001024140110002a a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得a b ,2=任意.i )当2,1==b a 时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00210012001000010021001100110001公共解为c c ,112021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-任意.ii )当2,1=≠b a 时 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0021010000100010021011100110001，得唯一解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-021.例25 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个齐次线性方程组,(Ⅰ)的一个基础解系(1,-1,0,2)T,(0,1,1,a)T ,(Ⅱ)的一个基础解系为(-2,0,a,-2)T ,(1,1,1,0)T.已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求a,并求出它们的全部公共解.解 (用例12结果)(1)(I )与(II )有公共非零解⇔这4个向量线性相关.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a a a a a a 2222001200221012012201102210120102211010111201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--→2)1(000100221012012200120022101201a a a a 得：1-=a 时，有非零解.(2)此时(I )的基础解系为,1110201121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ηη(II )的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0111,210221γγ. (II )的解为21121221212211,,2201112102c c c c c c c c c c c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+γγ任意 它要成为公共解⇔它可用21,ηη表示.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+---212121211212212001012211102011c c c c c c c c c c c c c c 当21c c =时2211γγc c +是公共解，得公共解为1211()02c c γγ-⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭，c 任意例26 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个齐次线性方程组,(Ⅰ)的一个基础解系为(2,-1,-1,0)T,(t,1-t,0,1)T,(Ⅱ)为123412341242023300x x x x x x x x x px x -++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求p 和t,并求出它们的全部公共解.解 (1)记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132********,101,011221p A t t ηη (I )和(II )有公共非零解⇔存在21,c c 不全为0，使得2211ηηc c +也是(II )的解 ⇔存在21,c c 不全为0，使得0)(2211=+ηηc c A ⇔存在21,c c 不全为0，使得02211=+ηηA c A c ⇔21,ηηA A 相关122216,521t A A t p t p pt ηη+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭21ηηA A 与相关，得3,36)12(35-=+=+=t t t t⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=241552p A η， 22542p p -=-- 84510,36,2p p p p -=-=-=-(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10155,46221ηηA A . 2211ηηc c +也是(II )的解⇔0)(2211=+ηηc c A,520101554622121c c c c =⇔=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即当25∶21∶=c c 时，2211ηηc c +是公共解. 整理后：公共解为c c ),25(321ηη+任意.注:关于两个齐次方程组有公共非零解的判断.(1)如果都给出了方程组的具体形式, 有公共非零解就是联立方程组有非零解.(2)如果一个给了系数矩阵A ,另一个给出了基础解系η1, η2,…,ηs ,则有公共非零解⇔ A η1,A η2,…,A ηs 线性相关.(3)两个都给出了基础解系η1, η2,…,ηs 和γ1, γ2,…,γt , 则有公共非零解⇔η1, η2,…, ηs ,γ1, γ2,…,γt 线性相关.第三部分 特征向量与特征值 相似和对角化 二次型本部分包含了线性代数的应用方面的两部分. 特点是：概念多,考点多,但是题型确定,变化小.特征值是本部分的关键, 本部分的各类问题几乎都和特征值有关. 因此特征值的计算是应该关注的重点，还应该总结这部分的各个题型和解法的思路.一. 特征值的计算特征值不仅在这两章中被广泛应用,还可以用来计算行列式和判断n阶矩阵的可逆性: λ1λ2…λn=|A|;λ不是A的特征值⇔|A-λE|≠0⇔A-λE可逆.0不是A的特征值⇔A可逆.因此应该关注特征值的计算方法.除了用定义,一般都会想到用特征多项式|λE-A|来计算特征值,但是这样做不仅计算量大,并且因为一般的多项式求根并不总是可行的,所以不是任何矩阵都可求特征值的.事实上,考试题里都是给出都是特殊的矩阵,或者给了特殊的条件让求特征值.因此应该总结这些特殊方法.1.两类特殊矩阵的特征值①对角矩阵和上下三角矩阵的特征值就是对角线上的元素.②当r(A)=1时,特征值为 0,0,…,0,tr(A).(例如:αβT的特征值为0,0,…,0,βTα.)2.利用相关矩阵的特征值的关系:如果A的特征值为λ1,λ2,…,λn,则①A的多项式f(A)的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn).特别地, A+c E的特征值是λ1+c,λ2+c,…,λn+c.②如果A可逆，则A-1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn;A*的特征值是|A|/λ1,|A|/λ2,…,|A|/λn.③A T的特征值也是λ1,λ2,…,λn.④相似于A的特征值也是λ1,λ2,…,λn.3.利用特征值的性质:①λ1+λ2+…+λ n=tr(A).②A的特征值λ的重数≥n-r(A-λE).A是实对称矩阵时, A的特征值λ的重数=n-r(A-λE).③如果f(A)=0,则A的每个特征值λ满足f(λ)=0.例 1 设A=(α1,α2,α3)是3阶矩阵,满足|A|=0,它的各列元素之和都为3, α1-α2=(2,-2,0)T.求A的特征值.解A有3个特征值，||A=0，则0是特征值各列元素之和为3，则1311331131TA⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而3是T A的特征值，也是A的一个特征值又122 2 0αα⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭，而1211Aαα⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11是A的特征向量，特征值为2.因此A的特征值为0，3，2。
线性代数考试题及答案考研
线性代数考试题及答案考研一、选择题1. 设矩阵A的秩为1，矩阵B与矩阵A相抵消，那么矩阵B的秩为：- A. 0- B. 1- C. 2- D. 不确定2. 若矩阵A可逆，且AB=0，则：- A. A可逆，B不可逆- B. B可逆，A不可逆- C. A和B都可逆- D. A和B都不可逆二、填空题1. 若向量组\[a_1, a_2, a_3\]线性相关，则至少存在不全为零的实数\[c_1, c_2, c_3\]，使得\[c_1a_1 + c_2a_2 + c_3a_3 =\_\_\_\_\_\_。
2. 设矩阵\[A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，矩阵\[A\]的特征值是\_\_\_\_\_\_。
三、解答题1. 已知矩阵\[B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求矩阵\[B\]的逆矩阵。
2. 设\[x\]是\[3 \times 1\]的列向量，\[A\]是\[3 \times 3\]的矩阵，若\[Ax = 0\]，证明\[x\]是矩阵\[A\]的零空间的基。
答案一、选择题1. 正确答案：A. 0解析：若矩阵B与矩阵A相抵消，则B的列向量是A的行向量的线性组合，因此B的秩小于等于A的秩。
由于A的秩为1，所以B的秩为0。
2. 正确答案：D. A和B都不可逆解析：若AB=0，则A和B至少有一个是不可逆的。
因为如果A可逆，则AB=I，这与AB=0矛盾。
同理，如果B可逆，则AB=I，也与AB=0矛盾。
二、填空题1. 正确答案：0解析：线性相关意味着存在不全为零的系数使得向量和为零向量。
2. 正确答案：2, -1解析：通过计算特征多项式\[|A - λI| = 0\]，解得特征值为2和-1。
三、解答题1. 解：矩阵B的逆矩阵计算如下：\[B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \text{adj}(B)\]其中，\[\det(B) = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 0\]，因此矩阵B 不可逆，没有逆矩阵。
考研线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-0100002000010 n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 210001200000210001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。