一元二次方程及解法

课题：复习一元二次方程及其解法

【课前热身】

1．方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .

2.一元二次方程 x 2=3x 的根是 .

3．一元二次方程2230x x --=的根是 .

4． 关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实 数 p =（ ）

5．关于x 的方程1

(3)(1)30n n x n x n +++-+=是一元二次方程，则一次项系数是 .

【课标解读】

1了解一元二次方程的有关概念，知道一元二次方程的一般形式；

2会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单系数的一元二次方程，并根据方程的特点，灵活选择方程的解法（重点）

【命题趋向】一元二次方程是中考的重点，一元二次方程的解法以选择题和解答题为主。

【考点精要】

1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。（警告：判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .）

2. 一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：形如 )0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （警告：用直接开平方的方法时要记得取正、负.）

（2）配方法：用配方法解一元二次方程

()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（警告： 用配方法时二次项系数要化1.）

（3）公式法：一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是

21,2(40)2b x b ac a -±=-≥.（警告：方程要先化成一般形式.）

（4）因式分解法：1提取公因式2运用公式法（平方差公式和完全平方公式）3十字相乘法：

因式分解法的步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.（警告：方程要先化成一般形式.）

3、一元二次方程的根的判断式

若

()02≠=++a o c bx ax , 则

不解方程、判别下列方程的根的情况：(1) 3x 2＋4x －2=0 (2) 2x 2

＋4x ＋35=0 【典例精析】

例1 请用两种不同方法解下列方程: 3x 2-5x-2=0

例2用恰当的方法解方程：（1）3x(2x+1)=4x+2； （2）31022=-x x （3）(2x-1)2-25=0

（4）22)21()3(x x -=+ （5） 4x2+7x-2=0 （6） x2+2 x-4=0

例3 已知一元二次方程

0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.

【中考演练】

1．方程 (5x －2) (x －7)＝9 (x －7)的解是_________.

2．已知2是关于x 的方程23

x 2－2 a ＝0的一个解，则2a －1的值是_________.

3、如果一元二方程

043)222=-++-m x x m （有一个根为0，则m = _______. 4.已知关于x 的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程_________.

5．下列方程中是一元二次方程的有（ ）①9x 2=7 x ② 32

y =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)

④ x 2-2y+6=0 ⑤ 2( x 2+1)=10 ⑥ 24

x -x-1=0 A.①②③ B.①③⑤ C.①②⑤ D. ⑥①⑤

6. 一元二次方程(4x ＋1)(2x －3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后a,b,c 的值为

A ．3，－10，－4 B. 3，－12，－2 C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4

7．方程5)3)(1(=-+x x 的解是 （ ）；

A. 3,121-==x x

B. 2,421-==x x

C. 3,121=-=x x

D. 2,421=-=x x

8．用配方法解一元二次方程1442=-x x ，变形正确的是（ ）

A.0)21(2=-x

B.

21)21(2=-x C.21)1(2=-x D.0)1(2=-x 9．解方程：(1) x 2－5x －6＝0 （用因式分解法）； (2) 3x 2－4x －1＝0（用公式法）；

(3) 4x 2－8x ＋1＝0（用配方法）； （4）x 222-x+1=0．

10、已知以下是关于x 的一元二次方程，求证：(1) 方程x 2－(m ＋1)x-1=0有两个不等实根；(2)方程3mx 2－(2m ＋3n)x ＋2n=0有实根；

11、k 取什么值时，方程4x 2－(k+2)x+k －1=0有两个相等的实数根？求出这时方程的根。

12．阅读材料，解答问题

为解方程（y²-1）² -3（y²-1）+2=0，我们将y²-1视为一个整体，

解：设 y²-1=a ，则（y²-1）²=a²，

所以 a² - 3a+2=0， （1）

所以 a 1=1，a 2=2。

当a=1时，y² -1=1，y =±___ ，当a=2时，y²-1=2，y=±___

所以y1= ，y2 =－ y 3= ， y4= － 解答问题：

1在由原方程得到方程（1）的过程中利用了 ____，达到了降次的目的，体现了____的数学思想。

2、用上述方法解下列方程：

13．用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？ 22

3308)2(7)2(0

1222224=-+-+=--x x x x x x