空间曲面曲线方程

f (x , y2 z2 ) 0
f ( x2 z2 , y ) 0
例4 写出在xoy平面上的椭圆
x2 a2

y2 b2
1
分别
绕 x 轴，y 轴旋转一周形成的旋转曲面方程。
解： 绕 x 轴旋转的曲面方程为：
x2 a2

y2 z2 b2
1
绕 y 旋转的旋转曲面方程为： 称这样的曲面为旋转椭球面
z
F(x,y,z)=0
y 0 x
例1） 求与点A(2, 1, 0)和点B(1, -3, 6)等距离的点的轨迹
uuuuur uuuuuur
解：设M(x, y, z)为轨迹上任一点，根据题意有 M1M M2M 将其写为坐标形式有
(x 2)2 ( y 1)2 z2 (x 1)2 ( y 3)2 (z 6)2
在旋转曲面上任取一点M(x, y, z)，点M是由母线上的
o 一点 M1 旋转得到 , M1的坐标为 (0, y1 , z1), 的坐标
为
(0, 0 , z ) ，
uuuur oM

uuuuur oM1
即
y1
x2 y2 , z=z1
而点 M1 在母线C上，即
f ( y1 , z1) 0 于是有 f( x2 y2 , z)=0
第七节 空间曲面与曲线
本节内容提要
一、空间曲面的概念 二、几种常见的二次曲面 三、空间曲线及其在坐标上的投影
本节重点： 二次曲面 柱面 旋转曲面
本节难点：旋转曲面
教学方法：启发式、直观式
教学手段：多媒体课件和面授讲解想结合
教学课时：4学时
（返回）
一．空间曲面的概念 在空间直角坐标系中，把曲面看成空间一动点M(x, y, z)
rrr rr i j k
a b 1 3 1 8, 1,5
2 1 3
例3 指出下列平面位置的特点，并作出图形
1） 3x-2y+z=0 解：由于方程中的常数项等于零，所以
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平面通过坐标原点。
2）x+y=4 解： 由于方程中不含z的项，因此平面
平行于z 轴。
3）2x+y=0 解 ：由于方程中不含常数项，也不含z 的
F1(x, y, z) 0 , F2 (x, y, z) 0
是两个曲面方程, 它们交线上的每一点的坐标都同时满足上 述两个曲面方程；反过来，同时满足上述两个方程 的点都 在这条交线上
因此 F1(x, y, z) 0 叫做空间曲线的一般方程。 F2 (x, y, z) 0
例6 下列方程表示什么曲线？
所以所求直线方程为
x2 y3 z4 3 1 2
ur
uur
解：（2）两平面的法向量分别为 n1 1,0, 2, n2 0,1, 3
所求直线与这两平面平行，则直线方向向量
rr r r ur uur i j k
s n1 n2 1 0 2 2,3,1
上的投影曲线（简称投影），记作 (x , y) 0
z0
（注：空间曲线L在XOY，YOZ平面上的投影如何确定？）
例7 求曲线L
x2 y2 z2 1
在XOY平面上的投影
1 z
2
解：消去z ，得到投影柱面为 x2 y2 3 4
于是L在XOY平面上的投影为
x2 y2 3 4
2
2
2
, = 2 , =
3
3
4
uuuuuur 0 M1M 2
cos, cos
, cos


1 2
,
1 , 2
2
2

例2 求垂直与向量 a 1, 3,1和b 2,1,3的
向量
rr
r ur
解： a b 就是垂直与 a 和 b 的向量
两边平方并整理得
x 4 y 6z 41 0 2
这就是所求轨迹方程，是关于X的一次方程，是一个一次曲面，
也就是平面
例2）求球心在 M 0 (x0, y0, z0 ) ，半径为R的球面方程
解：如图所示 ，在球面上任取一点M(x, y, z) ，M到 M0的距离
uuuuuur
为R，所以 M0M R ， 即
1． x2 y2 z2 25
x y0
2.
z4
x y 0
解：1. x2 y2 z2 25 表示以原点为球心，半
径为5 的球面 , Z=4 表示平形于XOY面的一个平面。
将Z=4 代入 x2 y2 z2 25 得 x2 y2 9
表示此交线在XOY 平面上，以（0， 0 ，4 ）为
uuuuuur
r uuuuuur
因 M1M2 在所求平面上，故 n M1M2 ，又所求平
面垂直于平面 X+Y+Z=0， 所以
rrr
r
i jk
n 1,1,11,0, 2 1 1 1 2,1,1
1 0 2
所求平面方程为
2(x 1) ( y 1) (z 1) 0, 即 2x y z 0
0 y
x
2. 旋转曲面 一条平面曲线C绕一定直线L旋转一周所形成的曲面叫
做旋转曲面，曲线C叫旋转曲面的母线，定直线L叫做旋 转曲面的轴（旋转轴），我们只讨论旋转轴为坐标轴的 旋转曲面。
设旋转曲面的母线是yoz平面上的平面曲线c f (y ,z )=0 x=0
旋转轴是Z轴, 求旋转曲面方程。（如图）
x2 z2 y2 1
a2
b2
例5．求由yoz平面上的直线z=ky绕z轴旋转而成的旋转曲面 方程
解：在z=ky中，把 y 换成 x2 y2 得到所求方程为
z k x2 y2 即 z2 k2(x2 y2)
此曲面为顶点在原点，对称轴为z轴的圆锥面.(如图)
下面我们介绍几种常见的二次曲面方程，并用平面截痕法讨
圆心，以3 为半径的圆。
解：（2） X+Y=0, X-Y=0 是两个平面。解方程组
x y0 得
x 0 表示z轴。
x y 0
y0
注：空间曲线方程 F1(x, y, z) 0 可以用与它等价的 F2 (x, y, z) 0
任何两个方程联立的方程组来代替，即空间曲线表示 的方法不唯一。
项，所以平面通过z 轴。
4）z=1
解： 由于方程中不含X和Y的项，所以平
面垂直于z 轴。
如图 1） 2） 3） 4）
例4 一平面过两点 M1(1,1,1)和M 2 (0,1, 1) ，且
垂直与平面X+Y+Z=0，求平面方程 uuuuuur
r
解：M1M2 1,0, 2，设所求平面的法向量为 n
整理得
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
这就是球心在 M 0 (x0, y0, z0 ) 半径为R的球面方程，是一个二 次曲面
（返回）
二．几种常见的二次曲面
1. 柱面：动直线L沿给定曲线C平行移动形成的曲面 叫做柱面（如图），动直线L叫做柱面的母线，定曲线C 叫做柱面的准线。我们只讨论母线平行与坐标轴的柱面。
例5 分别求出满足下列各组条件的直线方程。 （1）经过点（2，-3，4）而与平面 3X-Y+2Z=4 垂直。 （2）经过点（0，2，4）而与两平面 X+2Z=1 和 Y-3Z=2
平行。
r
解： （1）平面3X-Y+2Z=4的法向量为 n 3, r1, 2 ，所
求直线垂直与已知平面 ，故所求直线方向向量 s 3, 1, 2
例3．指出 x2 y2 a2 在空间直角坐标系下是什图形 ？
解：因为 x2 y2 a2 中不含变量Z， 所以 x2 y2 a2
表示一个xoy面上的圆为准线，母线平行与Z轴的柱面，称
这样的柱面为圆柱面（如图），
类似地
x2 a2

y2 b2
1 称为椭圆柱面,
z
y 2x2 为抛物柱面
我们可以用上述平面截痕法画出单叶双曲面：
双叶双曲面 椭圆抛物面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
z

x2 a2

y2 b2
的图形（如图） 的图形（如图） 的图形（如图）
（返回）
三、空间曲线及其在坐标上的投影 1. 空间曲线其方程： 任何一条空间曲线都可以 成是两个曲面的交线 。 设
的运动轨迹。根据运动规律可以得到一个含x, y, z的三元方程， 如果方程F(x, y, z)=0与曲面有如下关系
（1） 曲面上的点的坐标满足方程 F(x, y, z)=0 （ 2） 不在曲面上的点的坐标不满足方程F(x, y, z)=0 则称方程F(x, y, z)=0为曲面方程，而曲面称为方程F(x, y, z)=0的图形（或轨迹）如图 这样曲面与 三元方程就一 一对应起来.
设柱面的准线是xoy平面上的曲线C
z
F(x , y )=0
Z=0
柱面的母线平行与Z轴，(如图)
L
下面建立柱面方程
y
x
C
在柱面上任取一点M(x, y, z) ，过M作直线平行与Z轴，
该直线与曲线C交与 M1点。显然，M与 M1 有相同的横
坐标和纵坐标。点 M1(x, y, 0在) 曲线C上，所以 M1(x, y, 0) 点满足曲线C的方程, 即F(x, y )=0 又因为F(x, y )=0与z无关，所以点M (x, y, z ) 的坐标也满足 F(x, y)=0，而不在柱面上的点的垂足不在曲线C上，故其坐 标不满足方程F(x, y )=0 因此，F(x , y )=0为母线平行与轴、 准线为曲线C的柱面方程 同理，F(y, z )=0为母线平行与X轴的柱面方程；F(x, z)=0为 母线平行与Y轴的柱面方程。总之，在空间直角坐标系中， 如果一个方程缺一个变量，那么该方程就是柱面方程。
用xoy平面z=0截曲面，结果一个椭圆：
x2 a2

y2 b2
1
用平面 z h (h c) 截曲面，结果也是一个椭圆
x2
y2
a2
(1
h2 c2
)

b2
(1
h2 c2
)

1
zh
该椭圆随着 h 越大而变的越小，直到时 h c 该椭圆收
缩成一个点
同理，用yoz平面及x=h平面分别截曲面，以及用zox 平面和y=h平面分别截曲面得到一样的结果，根据上述结 果，可以画出椭球面（如图）
旋转曲面上的点都满足方程 f( x2 y2 , z)=0 ，而 不在旋转曲面上的点都不满足此方程，此方程即为曲线C 绕z轴旋转而成的旋转曲面。
同理，曲线 C 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面方程为
f (y , x2 z2 ) 0
类似地可以得到其他坐标面上的曲线绕坐标轴旋转而形 成的曲面方程。
0 1 3
所以所求直线方程为 x y 2 z 4 2 3 1
例6 指出下列平面与平面，平面与直线，直线
例1 已知两点 M1(1,3,0) 和 M2(2, 2, 2) ， 试求向量
uuuuuur M1M2
的模、方向角、方向余弦和的单位向量
uuuuuur 0 M1M 2
uuuuuur
解：M1M 2 1, 1, 2
uuuuuur M1M 2 2
cos 1 , cos 1 , cos = 2
x x(t) 空间曲线还有参数方程的形式 y y(t) （t 为参数)）
z z(t)
2 空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线方程为 L F1(x, y, z) 0 由方程组中消去z F2 (x, y, z) 0
后得到方程 (x , y) 0
它表示母线平行于z 轴的柱面。空间曲线L上的点一定在柱 面上，（柱面包含曲线L）称柱面为曲线L关于XOY面的投影 柱面投影柱面与XOY平面的交线叫做空间曲线L在XOY平面
z0
第七章小结 （习题课） 本章重点 : 1 向量的代数运算：加法、减法、数乘、数量积、向量积 2 向量的模、方向角、方向余弦的概念 3 在一定条件下，求平面或空间直线方程 4 研究平面与平面、直线与直线、平面与直线的相互关系 5 二次曲面的概念，柱面、旋转面等
本章难点 :向量积 方向余弦 平面或空间直线方程
论他们的图形
1.
椭球面：方程 x2 a2

y2 b2
z2 c2
1
(a b 0, c
所表示的曲面称为椭球面，由方程知：
x2 a2
1
,
y2 b2
1 ,
z2 c2
1
即
x a,
y b,
z c
可见曲面包含在这六个平面所围成的长方体内，现在用平面 截痕法来讨论这个曲面的形状