天线与电波传播第3,4,5章习题详解

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天线与电波传播 第三、四、五章 习题详解 李莉（编著）
l l sin(k sinθsinφ) ≈ k sinθsinφ 2 2
可得总电场
E = E1 + E 2 + E 3 + E 4
Il -jkr l e [2 jk sinθsinφ(cosθcosφeθ - sinφeφ) 2λr 2 l - 2jk sinθcosφ(cosθsinφeθ + cosφeφ)] 2 Il -jkr Il -jkr e (− jklsinθeφ) =η e klsinθeφ = jη 0 0 2λr 2λr Il 2π π 2 l2 -jkr lsinθe eφ = 120 I sin θ e − jkr eφ = 120π 2 2λr λ r λ = jη 0
j 0°
a2 的方 4
的有源半波振子和一个无源半波振子
0 = I m1Z 21 + I m 2 Z 22
由上式可解得：
Im2 = me j β I m1
其中： m =
2 2 + X 12 R12 2 2 + X 22 R22
β = π + arctg
，
j 217
X 12 X − arctg 22 R12 R22
l sin θ sin ϕ 2 R 3 = r - r3 ⋅e r ， r3 = l e y ， R 3 = r - l e y ⋅ er 2 2 l R = r sin θ sin ϕ e y ⋅ er = sin θ sin ϕ ，所以 3 2 R 2 = r - r2 ⋅e r ， r2 = l e x ， R 2 = r - l e x ⋅ er 2 2 l e x ⋅ er = sin θ cos ϕ ，所以 R 2 = r - sin θ cos ϕ 2
天线与电波传播 第三、四、五章 习题详解 李莉（编著）
第三章
3.1、两半波对称振子分别沿 x 轴和 y 轴放置，其中的电流振幅相同，相位差为 90 。试求该
°
组合天线在 z 轴的辐射场，并说明在 z 轴上属于何种极化。 解： E = Eθ + Eϕ = j
在 z 轴上属于圆极化。
60 I1 − jkr e {[ − cos ϕ − j sin ϕ ] eθ + [sin ϕ − j cos ϕ ] eϕ } r
Eϕ = 120π
可等效为四个电基本振子。 设环所在平面为 XOY 平面，建立直角坐标关系如下图：
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天线与电波传播 第三、四、五章 习题详解 李莉（编著）
应用电基本振子远区场电场表达式 E = jη 0
Il -jkR e eI × er × er 2λR
球坐标系与直角坐标系单位矢量的关系为：
⎧e x = e r sinθcosϕ + eθcosθcosϕ - e ϕ sinϕ ⎪ ⎨e y = e r sinθsinϕ + eθcosθsinϕ + e ϕ cosϕ ⎪ ⎩e z = e r cosθ- eθsinθ
e x ×e r ×e r = − cos θ cos ϕeθ + sin ϕeφ e y ×e r ×e r = − cos θ sin ϕeθ − cos ϕeφ
E 1 = jη 0
Il e-jkR1e x ×e r ×e r 2λR1
l -jk sinθsinφ Il -jkr 2 = jη e e (-cosθcosφeθ + sinφeφ) 0 2λR1
E 3 = −jη 0
Il e-jkR3e x ×e r ×e r 2λR 3
l jk sinθsinφ Il -jkr = jη e e 2 (cosθcosφeθ - sinφeφ) 0 2λR 3
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天线与电波传播 第三、四、五章 习题详解 李莉（编著）
E 2 = jη 0
Il e-jkR 2e y ×e r ×e r 2λR 2
3.2 、有一架设在地面上的水平振子天线，其工作频率为 7.5MHz 。若该天线架设高度为 20m ，则在垂直于此水平阵子天线的平面内获得最大辐射仰角的 Δ 为多少度？ 解：地面上水平对称阵子的阵因子是： Fa ( Δ ) = sin ( kh sin Δ ) 根据题意， Fa ( Δ ) = 1 ， kh sin Δ = 又 h = 20m ， λ =
e− jβ r 1 代入辐射功率计算公式 4π r sin θ E r 2 sin θ dθ dϕ
2
P=
计算得
1 240π
2π π −θ h
∫ θ∫
0
h
P=
此计算用到了积分（ 将
η H 0 2 ln[cot(θ h / 2)] 8π
∫θ
π −θ h
h
θ dθ θ π −θh = [ln tan ]θ = 2 ln(cot h ) ） h sin θ 2 2
E 1 = jη 0
E 3 = jη 0
l sin θ cos ϕ 2
Il Il e-jkR1e1 ×e r ×e r = jη e-jkR1e x ×e r ×e r 0 2λR1 2λR1
Il Il e-jkR3e 3×e r ×e r = −jη e-jkR3e x ×e r ×e r 0 2λR 3 2λR 3
S =l
2
π2 S I sin θ e − jkr eφ ，方环等效磁基本振子电场强度为 E = 120 2 r λ
，
所以四个电基本振子电场场强之和与环天线等效磁基本振子场强相同，即面积为 环辐射电阻与相同面积圆环天线辐射电阻相等，本题得证。 3.7、设某平行二元引向天线由一个电流为 I m1 = 1e 组成，间距为 λ / 2 。求： （1） 求无源半波振子的电流 I m 2 ； （2） 判断无源振子是引向器还是反射器； （3） 求该二元引向器的总辐射阻抗。 解： （1）平行二元引向天线： U1 = I m1Z11 + I m 2 Z12
因为
l << λ ，所以分母上 R ≈ r
l -jk sinθsinφ Il -jkr 2 e e (-cosθcosφeθ + sinφeφ)+ E 1 + E 3 == jη 0 2λR1 l jk sinθsinφ Il -jkr 2 jη e e (cosθcosφeθ - sinφeφ) 0 2λR 3
λ
轴比： AR =
λ
2N +1 = 1.1 2N P=
4.8、证明无限长双锥天线的辐射功率为
η H 0 2 ln[cot(θ h / 2)] 8π
方向性系数为

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D=
1 sin θ h ln[cot(θ h / 2)]
2
证明：将无限长双锥天线电场公式 Eθ = H 0η
2
第四章
4.1、计算长度为 6λ 的行波单导线的最大辐射方向。
解：行波单导线的归一化方向函数为：
F (θ ) = K sin θ
sin[
kl (1 − cos θ )] 2 (1 − cos θ )
kl sin θ θ (1 − cos θ )] 项随 θ 的变化比 = cot 项快得多，因此行波单导线 1 − cos θ 2 2 kl 的最大辐射方向可由 sin[ (1 − cos θ )]θ =θm = 1 求得。 2
= jη 0
Il -jkr l ) e (−2 j ) sin(k sinθcosφ(cosθsinφe θ + cosφeφ) 2 2λr
l l k sinθcosφ ∼ 0 ， k sinθsinφ ∼ 0 又 l << λ ，所以 ， 2 2 l l sin( k sinθcosφ) ≈ k sinθcosφ 即 2 2
F (θ , ϕ ) =
sin θ h ,θ h < θ < π − θ h sin θ
4π
代入方向性系数计算公式
D=
2π π −θ h
∫ θ∫
0
F (θ , ϕ ) sin θ dθ dϕ
2
h
可得
D=
1 sin θ h ln[cot(θ h / 2)]
2
第五章
5.2、矩形口面 d1 = 4λ , d 2 = 3λ ，口面场振幅及相位分布为均匀分布， E y = E0 为一常数，
= jη 0
Il -jkr l e 2 j sin(k sinθsinφ(cosθcosφe ) θ - sinφeφ) 2λr 2
l jk sinθcosφ Il -jkr 2 E 2 + E 4 == jη e e (-cosθsinφeθ - cosφeφ)+ 0 2λR 2 l -jk sinθcosφ Il -jkr 2 jη e e (cosθsinφeθ + cosφeφ) 0 2λR 4
方向函数中 sin[ 即： θ m = arccos(1 −
λ
2l
) = 23.6
4.5 、一个可展开式螺旋线天线，其中心工作频率为 1.7GHz ，总长为 78.7cm ，直径为
4.84cm ，螺距角为 11.7° 。计算此螺旋天线的圈数、增益、半功率波瓣宽度以及轴比。
解：螺距角： α = tan (
e y ⋅ er = sin θ sin ϕ ，所以得 R 1 = r +
2
天线与电波传播 第三、四、五章 习题详解 李莉（编著）
R 4 = r - r4 ⋅e r ， r4 = -
l
2
ex ， R 4 = r +
l e x ⋅ er 2
e x ⋅ er = sin θ cos ϕ ，所以 R 4 = r +