多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.

公式法

例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积为

8

T 6x=3,T 1

I ' I x =—

解设正六棱柱的底面边长为x，咼为h，则有丿9 V3 2 2’

_=6汉——xh, 石

8 4 小一x/3

•••正六棱柱的底面圆的半径r =-，球心到底面的距离d二上3.二外接球的半径

2 2

R=、r2d2「=1. . V球二—.

3

小结本题是运用公式R2-r2 d2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

多面体几何性质法

例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表

面积是

A. 16二

B. 20 二

C. 24 二

D. 32 二

解设正四棱柱的底面边长为x ,外接球的半径为R，则有4x2 = 16，解得x = 2.

二2R = J22+22+42=2屈,二R = T6. •••这个球的表面积是4兀R2=24兀.选C.

小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

补形法

例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为.3，则其外接球的表面积是.

解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，I把这个三棱锥可以补成一个棱长

为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球

设其外接球的半径为R，则有（2R f =（応行（亦丫+（73$ =9.二R2=9.

4

故其外接球的表面积S =4二R2=9二.

小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a b、c，则就

可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的

直径.设其外接球的半径为R ，则有2R= a 2

b 2

c 2

.

寻求轴截面圆半径法

例4正四棱锥S - ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 V 2，点S 、A 、B 、C 、都在同 一球面上，则此球的体积为

.

解设正四棱锥的底面中心为O i ，外接球的球心为0, 所示.二由球的截面的性质，可得 00i _平面ABCD .

又SO i _平面ABCD ，二球心0必在SO 所在的直线上.

ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的 是外接球的

半径.

在 ASC 中，由 SA = SC = .2, AC =2，得 SA 2

SC 2

二 AC 2

.

••• AASC 是以AC 为斜边的Rt ：.

••• AC =1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V 球二—.

2

3

小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴 截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外 接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几 何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.

确定球心位置法

例5 在矩形ABCD 中，AB = 4,BC = 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角

半径就

如图3

B - A

C -

D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为

A. 125 -- n 12

B.

空二

C.

D.

125 3

解 设矩形对角线的交点为0 ,则由矩形对角线互相平分,

0A =0B =0C =0D . •••点0到四面体的四个顶点

A 、

B 、

C 、

D 的距离相等，即点0为四面体的外接球的球心，

可知 如图2

所示.二外接球的半径R = 0A =总.故2球='二R 3

= 125二.选C.

2

3

6

出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解

【例题】：已知在三棱锥 A - BCD 中，AD _面ABC ，. BAC =120，AB 二AD 二AC = 2， 求该棱锥的外接球半径 解：由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 5-1, 3,0)

设球心坐标为

x, y, z) 贝U A0 二 B0 二 CO 广 Dq 由.空间两.点 1间C 距离公式知

解得 x = 1 y 3

z = 1

3

所以半径为R-12

（ 3

）2

1

2

=-21

\ 3

3

【结论】：空间两点间距离公式：P^ （x 1 -x 2）

2

（y 〔 - y 2）2 （乙-z 2）2

四面体是正四面体

外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点,

根据勾股定理知，假设正四面体的边长为 a 时，它的外接球半径为

a 。 4

内切球的半径

正方体的内切球：

设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半 径。 （1） 截面图为正方形EFGH 的内切圆，得R=E ；

2

（2） 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图

4作

截面图，圆0为正方形EFGH 的外接圆，易得 ^ — a o

2

（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图

5，以对角面AA 作截面

a 正三棱柱ABC -A i B i C i 的六个顶点在球O i 上,又知球。2与此正 棱柱的5个面都相切，求球O 1与球O 2的体积之比与表面积之比。

图得，圆0为矩形A^CQ 的外接圆，易得

构造 解正 合问 接球， 下底 中 占

I

八、、 底面 顶

占 八、、 角形

直三角形，巧 棱柱与球的组 题正棱柱的外 其球心定在上 面中心连线的 处，由球心、 中心及底面一 构成的直角三

便可得球半

例题：已知底面边长为 D1

心

2

图5