《均值不等式》复习课的教学设计

课题：《均值不等式》复习课的教学设计

一、教学背景分析

1.教学内容解析

《均值不等式》是必修5人教版第三章《不等式》的第2节的内容.本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．几乎所有地区的高考题都能看到它的踪影.

2.学生学情分析

（1）由于这是一节复习课，学生以前对不等式有一定的基础，在探索学习和应用的过程中，会解决简单的关于不等式问题。

（2）现在所教的班级是一个普通班，学生们的逻辑思维一般。部分学生对学习还有愿望，希望自己有探索、发现问题和解决问题的能力，增强数学应用意识。但还有一部分学生接受新知识能力较差，因此，在学习的过程应有一定的难度，教学中必须注意这一点。【学法指导】

在探究活动中，课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的认知基本上，学生亲历均值定理解决简单的最大(小)问题的发展及再创造的过程，培养学生积极参与的主体的意识，体验探索的乐趣，培养学习数学的兴趣。通过独立思考和合作交流，发展

思维，养成良好思维习惯，提升自主学习能力．培养学生运用数学结合的思想直观地解决数学问题。

Ⅲ．教学目标设置

【教学目标】

1.知识与技能

通过本节探究，使学生学会熟练运用均值不等式，会用均值不等式求某些函数的最值问题．

2.过程与方法

通过对均值不等式的应用的研究，创设应用均值不等式的条件，合理的“拆、拼、凑”“巧用1”是解题的常用技巧，提高学生运算能力和逻辑推理能力．

3.情感、态度与价值观

通过本节学习，感受数学的整体性、使用性，进一步理解数学的本质，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．

【教学重点】：熟练运用均值不等式，会用均值不等式求某些函数的最值问题．

【教学难点】：灵活应用均值不等式。

Ⅳ、教学方法

本节课采用“问题探究式”教学法，通过观察、启发、探究，引导学生解决问题、总结问题、延拓问题环节，领悟科学的探究方法,增强学生的探究能力。在教学中以训练和培养学生的思

维为主线，讲练结合，运用现代化多媒体教学手段进行教学活动。同时设置适当的练习，加以巩固，深化对知识的理解。

Ⅴ、教学过程设计

一、知 识 梳 理

探究一：均值不等式

１什么是均值不等式？怎样进行证明？

需要注意哪些条件？

2 你能证明 吗？ ３均值不等式有哪些变形？

探究二：几个重要的不等式

【设计意图】让学生灵活的应用公式，另外这样设计也吸引了学生的注意力，激发了学生的好奇心，使其主动参与到本节课的学习中来． 探究三：利用基本不等式求最值

已知x ＞0，y ＞0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当____ ____时，x ＋y 有最___值是_____

(简记：积定和最小)．

222a b ab +≥(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a b ≥___ (a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．

2

ab ).b (2)1(222

2b a R a ab b a +≤∈≥+变式、

(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当______时，xy 有最___值是____

(简记：和定积最大)．

【设计意图】利用均值定理，给出具体求最值的思路。

【设计意图】 应用均值不等式“一正、二定、三相等”缺一不可，掌握均值定理的正用及拓展的应用，通过变式使学生对试题进行深层的探索，激发学生的兴趣，培养学生能力。

考点２ 利用基本不等式求最值

考点1：均值不等式的适用条件

例1：若x>0，求函数1y x x

=+的最小值。 变式1：已知x<0, 求函数1y x x =+的最大值。 变式2：已知x>3,求函数1

3y x x =+-的最小值， 并求此时x 的值。 变式3：已知3x ≥，求函数1y x x

=+的最小值，并求此时x 的值 例2:已知 x>0,y>0,x+2y=1,求 1

1x y

+的最小值。 变式1：已知 x>0,y>0,x+2y=2,求 21x y +的最小值。 变式2：已知0

-的最小值。

变式3：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ， 求3x ＋4y 的最小值；

【设计意图】反思归纳 ：

(1)在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常是变量替换或常数1的转化,即由已知条件得到某个式子的值是常数,然后将所求式子乘以值为1的式子或用值为1的式子替换1,使所求式子出现和或积为定值的形式,从而利用基本不等式求解.

(2)合理拆分项或配凑因式或“1”代换是常用技巧,目的是构造出基本不等式的框架形式. 灵活的配凑是解题的关键。

(3)当多次使用基本不等式时,要保证等号能同时取得.

三 、课堂检测

【设计意图】巩固本节课所学习内容。通过检测，进一步体会均值不等式应用的“定”的条件学会均值定理的逆用和变用。

四、课堂小结

本节课学了哪些重要内容？

你收获了什么？

1、均值不等式具有将“和式”转化为“积式”，

()()

的最小值为上恒成立，则在的不等式若关于设a ,0x 4x ,0a .1+∞∈≥+

>x a x ______)

1()2)(5(y ,1x .3______

)25(4y ,250.2的最小值为则函数设的最大值为则函数设+++=->-=<