衔接点02 公式法因式分解的拓展-2020年初高中衔接数学(新人教版)(wd无答案)
初高中数学衔接因式分解
第二讲 因式分解知识清单一、常用的运算公式1、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±2、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+3、立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4、立方和公式： 3322))((b a b ab a b a +=+-+5、完全平方公式：()2222222,2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+6、三个数的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++7完全立方公式：()322333223333.33)(b ab b a a b a b ab b a a b a -+-=-+++=+ 二、常用的因式分解1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法（乘法公式、求根公式）；十字相乘法；分组分解法。
自主练习：问题1：平方差公式下列各式：①)1)(1(+--a a ；②)1)(1(a a +-；③)1)(1(+--a a ；④)1)(1(+---a a能利用平方差公式计算的是问题2：完全平方公式 若31=+a a ，求2)1(aa -的值问题3：立方和（差）公式设0422=+-x x ，求93+x 的值问题4：提取公因式法分解因式：（1）2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+-问题5：公式法分解因式（1）412+-x x （2）162+-a （3）142+-x x 问题6：十字相乘法分解因式：（1）232+-x x （2）2762+-x x问题7：分组分解法分解因式：y x xy x 332+-- 例题讲解例1：化简：)1)(1)(1)(1(22+-++-+x x x x x x例2：已知4,4=++=++ca bc ab c b a ，求222c b a ++的值例3、把下列各式分解因式（1）22)()23(y x y x --- （2）22338b ab a -+例4：把下列各式分解因式：（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）22)24(4+--x x巩固拓展1、⋅+=-)3121(419122a b b a （___________） 2、若 k mx x ++212是一个完全平方式，则k= 3、已知2)(,8)(22=+=-n m n m ，则=+22n m 4、不论a ，b 为何实数，84222+--+b a b a 的值（ ）A 、总是正数B 、总是负数C 、可以是零D 、可以是正数也可以是负数5、若实数x ，y ，z 满足 (x-z)2-4(x-y)(y-z)=0 ，则下列式子一定成立的是（ ）A 、x+y+z=0B 、x+y-2z=0C 、y+z-2x=0D 、x+z-2y=06、化简：20172016)23()23(-⋅+7.在多项式中①x 2+7x+6；②x 2+4x+3；③x 2+6x+8；④x 2+7x+10；⑤x 2+15x+44，有相同因式的是（ ）A 、只有①②B 、只有③④C 、只有③⑤D 、①和②；③和④；③和⑤8、若多项式x 2-3x+a 可分解为(x-5)(x-b)，则a 、b 的值分别是（ ）A 、10,2B 、10,-2C 、-10,-2D 、-10,29、多项式2x 2-xy-15x 2 的一个因式是（ ）A 、2x-5yB 、x-3yC 、x+3yD 、x-5y10、把下列各式分解因式：（1）523623913x b a x ab -- （2）z y x z y x m ++---)(（3）3132-x （4）338b a -（5）3762+-x x （6）12--x x（7）913424+-x x （8）1222-+-b ab a10、已知：052422=+--+b a b a ，求ab a ab b a ++-4)(2的值 因式分解练习题一、填空题：2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c) 2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（）A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是（）A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．－a2＋b2 C．－a2－b2D．－(－a2)＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．－12 B．±24 C．12 D．±126．把多项式a n+4－a n+1分解得（）A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为（）A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为（）A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得（）A．(m＋1)4(m＋2)2B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得（）A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12)C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得（）A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得（）A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得（）A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1) C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1) 14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为（）A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是（）A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（）A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是（）A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1) 19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为（）A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数C．相等的数D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是（）A．不能分解因式B．有因式x2＋2x＋2C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为（）A．(a2＋b2＋ab)2B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab) C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果（）A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2y C．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy 23．64a8－b2因式分解为（）A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b) C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b) 24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为（）A．(5x－y)2B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)2 25．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为（）A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2 C．(3x－2y＋1)2D．(2y－3x－1)2 26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为（）A．(3a－b)2B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为（）A．c(a＋b)2B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2D．c2(a－b)28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是（）A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y) C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y) 30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是[ ]A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c) C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c) 三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；24．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．。
初高中数学衔接因式分解
第二讲 因式分解知识清单一、常用的运算公式1、完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±2、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+3、立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4、立方和公式： 3322))((b a b ab a b a +=+-+5、完全平方公式：()2222222,2)(b ab a b a b ab a b a +-=-++=+6、三个数的完全平方公式：ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 7完全立方公式：()322333223333.33)(b ab b a a b a b ab b a a b a -+-=-+++=+二、常用的因式分解1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法（乘法公式、求根公式）；十字相乘法；分组分解法。
自主练习：问题1：平方差公式下列各式：①)1)(1(+--a a ；②)1)(1(a a +-；③)1)(1(+--a a ；④)1)(1(+---a a能利用平方差公式计算的是问题2：完全平方公式 若31=+a a ，求2)1(aa -的值问题3：立方和（差）公式设0422=+-x x ，求93+x 的值问题4：提取公因式法分解因式：（1）2242ab b a - （2）)5()5(2b a b a -+-问题5：公式法分解因式（1）412+-x x （2）162+-a （3）142+-x x 问题6：十字相乘法分解因式：（1）232+-x x （2）2762+-x x问题7：分组分解法分解因式：y x xy x 332+-- 例题讲解例1：化简：)1)(1)(1)(1(22+-++-+x x x x x x例2：已知4,4=++=++ca bc ab c b a ，求222c b a ++的值例3、把下列各式分解因式（1）22)()23(y x y x --- （2）22338b ab a -+例4：把下列各式分解因式：（1）by ax b a y x 222222++-+- （2）22)24(4+--x x巩固拓展1、⋅+=-)3121(419122a b b a （___________） 2、若 k mx x ++212是一个完全平方式，则k= 3、已知2)(,8)(22=+=-n m n m ，则=+22n m 4、不论a ，b 为何实数，84222+--+b a b a 的值（ ） A 、总是正数 B 、总是负数C 、可以是零D 、可以是正数也可以是负数5、若实数x ，y ，z 满足 (x -z)2-4(x -y)(y -z)=0 ，则下列式子一定成立的是（ ）A 、x+y+z=0B 、x+y -2z=0C 、y+z -2x=0D 、x+z -2y=06、化简：20172016)23()23(-⋅+7.在多项式中①x 2+7x+6；②x 2+4x+3；③x 2+6x+8；④x 2+7x+10；⑤x 2+15x+44，有相同因式的是（ ）A 、只有①②B 、只有③④C 、只有③⑤D 、①和②；③和④；③和⑤8、若多项式x 2-3x+a 可分解为(x -5)(x -b)，则a 、b 的值分别是（ ）A 、10,2B 、10,-2C 、-10,-2D 、-10,29、多项式2x 2-xy -15x 2 的一个因式是（ ）A 、2x -5yB 、x -3yC 、x+3yD 、x -5y10、把下列各式分解因式：（1）523623913x b a x ab -- （2）z y x z y x m ++---)(（3）3132-x （4）338b a -（5）3762+-x x （6）12--x x（7）913424+-x x （8）1222-+-b ab a10、已知：052422=+--+b a b a ，求ab a ab b a ++-4)(2的值 因式分解练习题一、填空题：2．(a －3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；12．若m2－3m ＋2=(m ＋a)(m ＋b)，则a=______，b=______；15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．二、选择题：1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于（）A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是（）A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bnB．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)D．x2－7x－8=x(x－7)－84．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b25．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．－12 B．±24C．12 D．±126．把多项式a n+4－a n+1分解得（）A．a n(a4－a) B．a n-1(a3－1) C．a n+1(a－1)(a2－a＋1) D．a n+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为（）A．8 B．7 C．10 D．128．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为（）A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－39．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得（）A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)210．把x2－7x－60分解因式，得（）A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12)C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得（）A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2) C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y) 12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得（）A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b) C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b) 13．把x4－3x2＋2分解因式，得（）A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1) C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1) 14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为（）A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是（）A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12C．x2－4x－12或x2＋4x－12 D．以上都可以16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为（）A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)18．下列因式分解错误的是（）A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为（）A．互为倒数或互为负倒数B．互为相反数C．相等的数D．任意有理数20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是（）A．不能分解因式 B．有因式x2＋2x＋2C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为（）A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)222．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果（）A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2yC．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy23．64a8－b2因式分解为（）A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b) C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b) 24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为（）A．(5x－y)2B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)225．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为（）A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2 C．(3x－2y＋1)2 D．(2y－3x－1)2 26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为（）A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2 D．(3a＋b)227．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为（）A．c(a＋b)2 B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2 D．c2(a－b)28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．429．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是（）A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y) C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y) 30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是[]A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c)C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)三、因式分解：1．m2(p－q)－p＋q；2．a(ab＋bc＋ac)－abc；3．x4－2y4－2x3y＋xy3；4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；8．x2－4ax＋8ab－4b2；9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；11．(x＋1)2－9(x－1)2；12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；13．ab2－ac2＋4ac－4a；14．x3n＋y3n；15．(x＋y)3＋125；16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；18．8(x＋y)3＋1；19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；20．x2＋4xy＋3y2；21．x2＋18x－144；22．x4＋2x2－8；23．－m4＋18m2－17；百度文库-让每个人平等地提升自我1124．x5－2x3－8x；25．x8＋19x5－216x2；26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；31．x2－y2－x－y；32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；33．m4＋m2＋1；34．a2－b2＋2ac＋c2；35．a3－ab2＋a－b；36．625b4－(a－b)4；37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；39．m2－a2＋4ab－4b2；40．5m－5n－m2＋2mn－n2．。
第2讲 因式分解配套练习及答案(训练篇)-2020年数学初高中衔接讲与练
第 2 讲因式分解练习（A）一．选择题：1.下列各式从左到右的变形中，是正确的因式分解的是（）( A) (a -b)2 =a 2 - 2ab +b 2(B) m2 -m =m2 (1 -1 ) m(C) a 2 - 3a - 4 =a(a - 3) - 4 (D)3x3 - 9x 2 - 3x = 3x(x 2 - 3x - 1)2.- (2a -b)(2a +b) 是下列多项式（）的分解结果（A）4a 2 -b 2（B）4a 2 +b 2（C）- 4a 2 -b2（D）- 4a 2 +b23.下列分解不正确的是（）（A）x 2 + 8x +16 = (x + 4)2 （B）- 4a 2 +12ab - 9b 2 = (2a - 3b)2（C） x2 -1x +13 36= (x -1)26（D）4a 2 b 2 + 4ab + 1 = (2ab + 1)24.下列各式中，能用平方差公式分解因此的是（）（A）－a 2 ＋b 2 （B）－a 2 －b 2 （C）a 2 ＋b 2 （D）a 3 －b 25.已知m＋n=－4，mn=5，关于x 的二次三项式x 2 －mnx－m－n 分解因式的结果是（A）(x－1) (x－4) （B）(x＋1) (x＋4)（）（C）(x＋1) (x－4) （C）(x－1) (x＋4)6. 下列由左到右的变形是正确的因式分解的是（）A．a2－b 2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1；B．（m＋3）2＝m2＋6m＋9；C．x 5y－xy 5＝xy（x 2＋y 2）（x＋y）（x－y）；D．a 4 - 2a 2 b 2 -b 4 = (a +b)2 (a -b)2二．填空题：7. 分解因式：18m 2 (a -b) - 9m(a -b) = .8. 分解因式：(2m -n)2 - (3m + 2n)2 = . .9. 分解因式：x 2 - 2x -a 2 - 2a = .10. 分解因式：x2 + xy + 2y2 + 2x + ጤy = _ .11. 分解因式：4a 2 - 5a - 6 = .12.分解因式：6x 2n-1 y m - 4x 2n+1 y 3m= .13.已知∆ABC 的三边 a 、b 、c 满足 a 2 -ac =b2 -bc ，判断∆ABC 的形状. ..14.已知x 2 +x + 1 = 0 ，求x 2007 +x 2006 + ……+x3 +x 2 +x + 1 = ..三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x)2 — 1ጤ x2 + x + 2ጤ.16. 因式分解：x + 1 x + x + ′x + h + 1′.17. 因式分解：(x + ′)ጤ+ (x + )ጤ— 82.）18. 因式分解：(x2 + xy + y22—ጤxy(x2 + y2).19. 因式分解： x2 - 2xy - 8 y2 -x -14 y - 6 .20. 因式分解：x— 9x + 8.21.因式分解：x8 +x +1.22.如果多项式x2 —a + ′x + ′a—1 能分解成两个一次因式x + h x + h 的乘积，b，c 为整数，则a 的值为多少？23.已知多项式x3 -x 2 + 2x +k 能够进行因式分解，请求出k 的值，并将此多项式因式分解.24.如果kx 2 - 2xy + 3y 2 + 3x - 5 y+ 2 能分解成两个一次因式乘积，求k 2 + 5k + 0.25 的值.因式分解测试（B）一．选择题：1.把多项式4 x2y-4x y2- x3 分解因式得结果是（）A. 4xy(x-y)-x2B. –x(x-2y)2C. x(4xy-4y2- x2)D. –x(-4xy+4y2+ x2)2.下列分解因式错误的是（）A．a 2－5a＋6＝（a－2）（a-3）B．1－4m 2＋4m＝（1－2m）2C．－4x 2 ＋y 2 ＝-(2x＋y)（2x－y）D．3ab＋1a 2b 2 ＋9＝（3＋1ab）2 4 23. 在多项式－a 2 －b 2 －2ab，2ab―a 2 ―b 2 ，a 2 －b 2 ＋2ab，(a＋b) 2 －10(a＋b)＋25 中，能用完全平方公式分解因式的有（）（A）1 个（B）2 个(C）3 个（D）4 个4.已知a、b、c 是三角形ABC 的三边长，且满足a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，则此三角形是（）A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 不能确定5.已知x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（）A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 8 个6.实数m= 20203-2020，下列各数中不能整除m 的是（）A.2018B. 2019C. 2020D.2021二．填空题：7.因式分解：x2 -xy +xz -yz = .8. 因式分解：x 4 -y 4 + 4x 2 + 4 = .9. 因式分解：x2（x-2）-16（x-2）= .10. 因式分解：6 y2 -11y-10= .11. 因式分解：4x2-4x-y2+4y-3= .12. 如果正整数x、y 满足方程x2-y2=64，则这样的正整数对（x，y）的个数是.13. 若x2+x+m=（x-3）（x+n）对x 恒成立，则n= .14. 已知x-1 是多项式x3-3x+k 的一个因式，那么k= .三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x + ጤ)2 + 8x x2 + x + ጤ + 1′x216. 因式分解：x2 + x + 1 x2 + x ++ 2 — 1217. 因式分解： 6x2 - 5xy - 6 y 2 + 2x + 23 y- 20 .18. 因式分解： x4 +x3 - 3x2 - 4x - 4 .19.如果a, b 是整数，且x2 -x -1是ax3 +bx2 +1 的因式，求a、b 的值.20.已知：a, b, c 为三角形的三条边，且a2 + 4ac + 3c2 -3ab - 7bc + 2b2 = 0 . 求证： 2b =a +c .21.如果x2 + hxy + ay2 —′x+ ጤጤy — 2ጤ可分解为两个一次因式的积，求a 的值.22. 已知x+ x2 + x + 1 =，求x28 + 2x2+ ′x199⺁.23.正数a、b、c 满足ah + a + h = hh + h + h = ha + h + a = ，求：(a + 1)(b + 1)(c + 1)的值.24.若代数式x x + 1 x + 2 x + + p 恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1 且一次项系数相同），求p 的最大值.测试A一选择题：1. D 提示:因式分解的概念是把一个多项式写成整式的乘积的形式；2.D3. B 提示：完成平方公式的运用：a2+2ab+b2=（a+b）24.A提示：平方差公式的运用：a2-b2=（a+b）（a-b）5. A 提示：十字相乘法6.C二填空题：7.9m（a-b）（2m-1）提示：提取公因式9m（a-b）；8.-（5m+n）（m+3n）提示：利用平方差公式；9.（x+a）（x-a-2）提示：利用分组分解法（两两分组）；10.（x+2y）（x+y+2）提示：利用分组分解法（前三项与后两组）11.（a-2）（4a+3）提示：利用十字相乘法；12.2x2t—1y N（x2—2y2N）提示：提取公因式2x2t—1y N；13.等腰三角形提示：因式分解得：（a-b）（a+b-c）=0，因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c 为非零数，所以a=b；14.0 提示：三个一分组，每组都有因式x2+x+1三简答题：15.（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）提示：（x2+x-2）（x2+x-12）=（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）16. ( x2+8x+10)(x+2)(x+6)提示：（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=(x2+8x)2+22(x2+8x)+120=(x2+8x+10)(x2+8x+12) =( x2+8x+10)(x+2)(x+6)17.2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）提示：原式=(x + ጤ + 1)ጤ+ (x + ጤ— 1)ጤ— 82令t=x+4，所以t + 1 ጤ— 1 + t — 1 ጤ— 81= t + 1 2 — 1 t + 1 2 + 1 + t — 1 2 + 9 t — 1 2 — 9=2（t2+10）（t2-4）=2（x2+8x+26）（x2+8x+12）=2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）18. （x2-xy+y2）2提示：令x+y=u，xy=v所以原式=（u2-v）2-4v（u2-2v）=u4-6u2v+9v2=（u2-3v）2=（x2-xy+y2）219.（x-4y-3）（x+2y+2）提示：x2-2xy-8y2-x-14y-6=(x-4y)(x+2y)+(2x-8y)-3x-6y-6=(x-4y)(x+2y)+2(x-4y)-3(x+2y+2)=(x-4y)(x+2y+2)-3(x+2y+2)=(x-4y-3)(x+2y+2)20.（x-1）（x2+x-8）提示：令x3- 9x+ 8=0则当x=1 时，x3- 9x+ 8=1-9+8=0 则可将多项式分解为x3- 9x+ 8=(x-1)(x2 +bx+c)展开，得(x-1)( x2 +bx+c)X3 +bx2 +cx-x2- bx-c=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c= x3- 9x+ 8则可得，b-1=0, c-b=-9, -c=8解得b=1,C=-8则多项式为x3- 9x+ 8=(x- 1)(x2+x-8)21. (x2+x+1)(x2-x+1)(x4-x2+1)提示：原式=x8+2x4+1-x4,=(x4+1)2- (x2)2=(x4+x2+1)( x4-x2+1),=[( x4+2x2+1)-x2]( x4-x2+1),=(x2+x+1)(x2-x+1)( x4+x2+1).22. a=5提示：x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x2+(b+c)x=bc所以：-（a+5）=b+c，且5a-1=bc，即c=—′ —1′+h因为b、c 为整数，所以b=-4，代入得c=-6，则a=5。
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
【初高一衔接】专题02 乘法公式-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课(解析版)
乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式公式二、完全平方公式在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1.2.3.4.5.公式三、立方和公式公式四、立方差公式例1、计算例2、计算例3、已知a、b是方程（1）；（2）；（3）；（4）【解答】（1）77；（2（3）112；（4）24【解析】∵a、b是方程a+b=7，ab＝11.（1）；（2；（3）；乘法公式巩固练习一. 选择题1．下列式子计算正确的是（）A．m3•m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2【解答】C【解析】A、m3•m2＝m5，故A错误；B、（﹣m）﹣2＝，故B错误；C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误．2．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）【解答】D【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）【解答】A【解析】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2.4．如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a【解答】A【解析】设左上角阴影部分的面积为S1，右下角的阴影部分的面积为S2，S＝S1﹣S2＝AD•AB﹣5a•AD﹣3a•AB+15a2﹣[BC•AB﹣b（BC+AB）+b2]＝BC•AB﹣5a•BC﹣3a•AB+15a2﹣BC•AB+b（BC+AB）﹣b2＝（5a﹣b）BC+（b﹣3a）AB+15a2﹣b2．∵AB为定值，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，∴5a﹣b＝0，∴b＝5a．5．已知实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是（）A．12 B．20 C．28 D．36【解答】C【解析】∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]＝28﹣2（x+y+z）2≤28∴当x+y+z＝0时（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28．二．填空题6．已知（a+b）2＝7，a2+b2＝5，则ab的值为．【解答】﹣1【解析】∵（a+b）2＝7，∴a2+2ab+b2＝7，∵a2+b2＝5，∴7+2ab＝5，∴ab＝﹣1．7．，例如＝3×6﹣4×5＝﹣2．按照这种运算规定，当x＝时，＝0．【解答】8【解析】由题意得（x+2）（x﹣2）﹣（x+4）（x﹣3）＝0，x2﹣4﹣（x2+x﹣12）＝0，解得x＝8．8．如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，……，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解析】连接EC ，∵正方形ACDE 和正方形CBFG ， ∴∠ACE ＝∠ABG ＝45°， ∴EC ∥BG ，∴△BCG 和△BEG 是同底（BG ）等高的三角形， 即S △BCG ＝S △BEG ， ∴当BC ＝n 时，Sn ＝2，∴S2020﹣S 2019＝20202﹣20192＝2020+2019）（2020﹣2019）＝9． 如果，那么a+2b ﹣3c ＝ ．【解答】0【解析】原等式可变形为：a ﹣2+b+1+ ﹣5（a ﹣2）+（b+1）+ +5＝0（a ﹣2+4+（b+1+1+＝0（﹣2）2+（﹣1）2+ ＝0；即：﹣2＝0，﹣1＝0，﹣1＝0，∴＝2＝1，＝1，∴a ﹣2＝4，b+1＝1，c ﹣1＝1， 解得：a ＝6，b ＝0，c ＝2； ∴a+2b ﹣3c ＝6+0﹣3×2＝0．10．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了（a+b ）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）4展开式共有项，系数分别为；（2）（a+b）n展开式共有项，系数和为．【解答】（1）5；1，4，6，4，1；（2）n+1，2n【解析】（1）展开式共有5项，展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1，（2）展开式共有n+1项，系数和为2n．三．解答题11．已知x+y＝﹣6，xy＝5，求下列代数式的值：（1）x+y（1﹣x）；（2）x2+y2．【解答】（1）﹣11；（2）26【解析】（1）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴原式＝x+y﹣xy＝﹣6﹣5＝﹣11；（2）∵x+y＝﹣6，xy＝5，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣6）2﹣2×5＝26．12．已知A＝2x+3，B＝x﹣2．化简A2﹣AB﹣2B2，并求当x＝时该代数式的值．【解答】1【解析】∵A＝2x+3，B＝x﹣2，∴A2﹣AB﹣2B2＝（2x+3）2﹣（2x+3）（x﹣2）﹣2（x﹣2）2＝4x2+12x+9﹣（2x2﹣4x+3x﹣6）﹣2（x2﹣4x+4）＝4x2+12x+9﹣2x2+4x﹣3x+6﹣2x2+8x﹣8＝21x+7，当x＝时，原式＝21+7＝1．13．先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．【解答】﹣2【解析】原式＝（x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣2y2）÷y＝（﹣4xy+3y2）÷y＝﹣4x+3y，当x＝﹣1，y＝﹣2时，﹣4x+3y＝4﹣6＝﹣2．14. 已知，求的值.【解析】15. （1）若，，求的值；（2）若，求的值.【解答】（1）40；（2）27【解析】（1）将代入得.16. 已知三角形的三条边分别是a、b、c，且满足等式，试确定三角形的形状.【解答】等边三角形【解析】由已知得，∵a、b、c为三角形的三边长，∴，∴，即，，，，，，即三角形为等边三角形.17．前面学习中，一些乘法公式可以通过几何图形来验证，请结合下列两组图形回答问题：图①说明：左侧图形中阴影部分由右侧阴影部分分割后拼接而成；图②说明：边长为（a+b）的正方形的面积分割成如图所示的四部分．（1）请结合图①和图②分别写出学过的两个乘法公式：图①：；图②：．（2）请利用上面的乘法公式计算：①1002﹣99×101；②（60）2．【解答】（1）①（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，②（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1，②【解析】（1）由图①可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；由图②可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①1002﹣99×101＝1002﹣（100﹣1）×（100+1）＝1002﹣（1002﹣1）＝1002﹣1002+1＝1；②（60）2＝（60+2＝3600+2+＝3602．18．要说明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立，三位同学分别提供了一种思路，请根据他们的思路写出推理过程．（1）小刚说：可以根据乘方的意义来说明等式成立；（2）小王说：可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立；（3）小丽说：可以构造图形，通过计算面积来说明等式成立．【解答】见解析【解析】（1）小刚：（a+b+c）2＝（a+b+c）（a+b+c）＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）小王：（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2；（3）小丽：如图所示：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+ab+ac+bc+ab+ac+bc，19．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；②已知（2021﹣c）（c﹣2019）＝2020，求（2021﹣c）2+（c﹣2019）2的值．【解答】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy；（2）①13；（2）﹣4036【解析】（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy．（2）①由题意得：，把a2+b2＝10，a+b＝6代入上式得，．②由题意得：（2021﹣c）2+（c﹣2019）2＝（2021﹣c+c﹣2019）2﹣2（2021﹣c）（c﹣2019）＝22﹣2×2020＝﹣4036．20．如图1，是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S阴影＝．方法2：S阴影＝．（2）写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系为．（3）①若（2m+n）2＝14，（2m﹣n）＝6，则mn的值为．②已知x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．【解答】（1）4ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）①40，②x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6【解析】（1）方法1：图2的阴影部分面积等于图1的面积，即2a×2b＝4ab，方法2：大正方形与小正方形的面积差，即（a+b）2﹣（a﹣b）2，（2）由（1）可得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）①由（2）得，4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2＝142﹣62＝（14+6）（14﹣6）＝20×8＝160，∴mn＝160÷4＝40，②由（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，把x+y＝10，xy＝16代入得，（x﹣y）2＝102﹣4×16＝36，∴x﹣y＝6，或x﹣y＝﹣6．21．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，试用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和．方法1：；方法2：；（2）从中你能发现什么结论？请用等式表示出来：；（3）利用（2）中结论解决下面的问题：若ab＝2，a+b＝4，求a2+b2的值．【解答】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）12【解析】（1）方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即，a2+b2，方法2，阴影部分的面积等于总面积减去两个长方形的面积，即，（a+b）2﹣2ab，（2）两种方法求得的结果相等，因此有，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，（3）由（2）得，ab＝2，a+b＝4，求a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣4＝12．22．如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分面积为：（用a、b的代数式表示）；（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）利用（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求（x﹣y）2的值；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式；（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正方形CBFG，连接EG、BG、BE，当BC＝1时，△BEG的面积记为S1，当BC＝2时，△BEG的面积记为S2，…，以此类推，当BC＝n时，△BEG的面积记为S n，则S2020﹣S2019的值为．【解答】（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）16；（4）（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab；（5）2019.5【解析】（1）图2中，阴影部分的边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，也可以从边长为（a+b）的正方形面积减去图1的面积，即（a+b）2﹣4ab＝a2+b2﹣2ab，（2）通过（1）的计算可知，（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，（3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝26﹣9＝16，（4）整体长方形的面积为（3a+b）（a+b），图中八个四边形的面积和为3a2+b2+4ab，因此有：（3a+b）（a+b）＝3a2+b2+4ab，（5）如图，连接EC，则EC∥BG，如图所示：∴S△BEG＝S△CBG2，∴S2020﹣S2019＝20202﹣20192，＝2020+2019）（2020﹣2019），＝2019.5，。
2024–2025学年初升高数学衔接及预备知识(全国)衔接点04 一元二次方程(解析版)
衔接点04一元二次方程1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根3、能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义。
1、一元二次方程根的判别式一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠（c b a 、、均为常数）的判别式ac b 42-=∆.（1）0>∆时，20ax bx c ++=（0≠a ）有两个不相等的实数根；（2）0=∆时，20ax bx c ++=（0≠a ）有两个相等的实数根；（3）0<∆时，20ax bx c ++=（0≠a ）没有实数根.注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数0≠a (3)证明ac b 42-=∆恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式.2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）对点特训一：利用根的判别式判断一元二次方程根的个数典型例题例题1．（2024·安徽·三模）关于x 的一元二次方程222420x mx m -+=的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，据此求解即可．【详解】解：由题意得，()2244220m m ∆=--⨯⋅=，∴原方程有两个相等的实数根，故选：B．例题2．（2024·四川泸州·一模）关于x 的一元二次方程240x mx --=的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：①当0∆>时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．判断出判别式的值，可得结论．【详解】解：对于一元二次方程240x mx --=，()2241(4)160m m ∆=--⨯⨯-=+>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．精练1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a ，b ，c 为常数，0ac <，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判定【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，24b ac ∆=-，∵0ac <，∴40ac ->，∴240b ac ∆=->，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：A．2．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程()()22226250x x x x ++++=不相等的实数根的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】本题考查解一元二次方程，将22x x +作为一个整体，解方程，再根据根的判别式，进行判断，即可得出结果．【详解】解：∵()()22226250x x x x ++++=，∴()()2221250x x x x ++++=，∴2210x x ++=或2250x x ++=，当2210x x ++=时，440∆=-=，方程由两个相等的实数根；当2250x x ++=时，445160∆=-⨯=-<，方程没有实数根；故选A．对点特训二：根据根的个数求参数典型例题例题1．（2024·北京大兴·一模）若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）对点特训三：解一元二次方程角度1：直接开平方法（2）根据立方根得定义求出2x+的值，然后再求x的值即可．【详解】（1）解：2x-=，1691000整理得：2169100x=角度2：配方法角度3：因式分解法典型例题角度4：利用求根公式求解角度5：换元法求解故原方程的解为：13x =-，22x =．精练1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程42280x x +-=时，可设2y x =，则原方程可化为2280y y +-=，先解出y ，将y 的值再代入2y x =中解x 的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将2x 看作一个整体，得()222280x x +-=，解出2x 的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题：(1)若()()22222232237x y x y +-++=，则22x y +的值为___________；(2)解方程：()22234120y y y y --+=．【答案】(1)2(2)1y =-或4y =或0y =或3y =【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整．（1）根据题意，设22+=x y k ，然后解关于k 的一元二次方程，再根据220≥+x y 取值即可；（2）设23y y t -=，然后解关于t 的一元二次方程，然后再来求关于y 的一元二次方程．【详解】（1）解：设22+=x y k ，原方程为：()()222223237x y x y ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦，即()()23237k k -+=，2497k -=，24k =，2k ∴=或2k =-，220≥+x y ，2k ∴=，∴222x y +=，故答案为：2；（2）解：设23y y t -=，原方程为：()()2223430y y y y ---=，即240t t -=，()40t t -=，0t ∴=或4t =，当0=t 时，230y y -=，()30y y -=，对点特训四：利用根与系数的关系（韦达定理）求参数对点特训五：利用根与系数的关系（韦达定理）求对称式的值26912m m m =++-269m m =-+()23m =-，∵()230m -≥，∴240b ac -≥，∴无论m 取任何实数，方程总有实数根；（2）解：∵123x x m +=+，123x x m ⋅=，12127x x x x +-=，∴337m m +-=，解得2m =-，故m 的值为2-．精练（1）由题意知()()26410k ∆=---≥，计算求解即可；（2）由题意知，126x x +=，121x x k ⋅=-，由221212324x x x x ++=，可得()2121224x x x x ++=，即26124k +-=，计算求解即可．【详解】（1）解：∵2610x x k -+-=，∴()()26410k ∆=---≥，解得，10k ≤；（2）解：由题意知，126x x +=，121x x k ⋅=-，∵221212324x x x x ++=，∴()2121224x x x x ++=，∴26124k +-=，解得，11k =-，∴k 的值为11-．对点特训六：根的判别式和韦达定理综合应用典型例题例题1．（2024·天津和平·一模）已知1x ，2x 是一元二次方程220x x c ++=（c 是常数）的两个不相等的实数根．(1)求c 的取值范围；(2)若8c =-，求一元二次方程的根；(3)若123x x =-，则c 的值为______．【答案】(1)1c <(2)12x =，24x =-(3)3-【分析】（1）根据题意，由一元二次方程根的判别式，解不等式即可得到答案；（2）将8c =-代入原方程得到2280x x +-=，因式分解法解一元二次方程即可得到答案；（3）根据题意，由一元二次方程根与系数的关系直接求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵220x x c ++=有两个不相等的实数根，∴224240b ac c ∆=-=->，∴1c <；（2）解：∵8c =-，∴2280x x +-=，因式分解得()()240x x -+=，∴20x -=或40x +=，解得12x =，24x =-；（3）解： 1x ，2x 是一元二次方程220x x c ++=（c 是常数）的两个不相等的实数根，∴123x x c ==-，故答案为：3-．【点睛】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的判别式、解不等式、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系等知识，熟练掌握一元二次方程性质与解法是解决问题的关键．例题2．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式2ax bx c ++，若存在实数n ，当x n =时，代数式的值也等于n ，则称n 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式2x ，当0x =时，代数式等于0；当1x =时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则0A =．(1)代数式22x x -的不变值是________，A =_______．(2)已知代数式2x bx b -+，①若0A =，求b 的值；②若12A ≤≤，b 为整数，求所有整数b 的和．【答案】(1)0，3；3(2)①1；②4（是常数）是“一、单选题1．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）C．()22001160x +=D．()22001160x -=【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该商品平均每次降价的百分率为x ，第一次降价后的价格是200(1)x -，第二次后的价格是2200(1)x -，据此即可列方程求解．【详解】解：根据题意得：()22001160x -=，故选：D．7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）若关于x 的一元二次方程()22410k x x --+=有实数根，则实数k 的值可能是（）A．10B．8C．5D．2【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于k 的不等式是解答此题的关键．若一元二次方程没有实数根，则根的判别式240b ac ∆=-≥，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22410k x x --+=有实数根，∴0∆≥且20k -≠，即()244(2)0k ∆=---≥且2k ≠，6k ∴≤，且2k ≠故选：D．8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式245x x -+的最小值为多少吗？解：因为()222224544142121x x x x x x x -+=-++=-++=-+，又因为()220x -≥，所以()2211x -+≥，所以245x x -+的最小值为1．请用上述方法，解决代数式266x x ++的最小值为（）A．3B．3-C．6D．6-【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，模仿题意的解题过程，进行变形作答即可．【详解】解：依题意，()222266663369333x x x x x x x ++=+++-=++-=+-，∵()230x +≥，∴()2333x +-≥-，∴所以266x x ++的最小值为3-，故选：B．二、填空题9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x 的方程()23120x k x --+=的一个根是1，则另。
2024--2025学年初升高数学衔接课+++第二讲-因式分解
的两个实数根是x1、x2 ，则二次三项式ax2 bx c(a 0)
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【典例例题】 题型一：十字相乘法
例1分解因式 x2 2x 8 x__4__x__2 ．
例2分解因式mx2 6mx 5m m__(x___1_)_(_x___5_)_．
练习1.分解因式 x2 xy 6 y2 _x__2_y___x___3_y__．
x 12 x2 2x 1
(2)原式
3a
b2
9
2
36b2
3ab2 9 6bb2 9 6b
3a b 32 b 32
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之积，即ax2 bx c a1x c1a2x c2 .
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
a （2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里
返
面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
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知识点3：提取公因式法与分组分解法
1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到 括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法 叫做提公因式法。
，则 p、q同号(若c 0 ，则 p、q异号)，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q
的符号；
（2）若x2 bx c 中的b,c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解
的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止.
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知识点2：首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax2 bx c ( a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax a2 2ab bx b2 因式分解；
初高中教材衔接之因式分解与二次函数
11.若
分别是一元二次方程
的两根，求值：
（1）
.
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专题四 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程
由配方法可化为
，
因为
，所以
，所以方程是否有解就取决于
与 0的大小关系了。因此
我们把
叫做一元二次方程
的根的判别式，通常用“△ 来表
示。当△＞０时，方程有两个不等的实数根；当△＝０时，方程有两个相等的实数根；当△ ＜０时，方程没有实数根。而且无论是判别式还是方程的根的值都是由一元二次方程
12
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1．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） 2．解下列关于 的方程 （1）
（6） （2）
1．方程
的根是（ ）
A．5
B．-5
C．5或-5
D．5或 0
2．多项式 A．3或 7
的值等于 11，则 的值为（ ）
B．-3或 7
C．3或-7
（2） 由思考我们可以得到下列公式 立方差公式
立方和公式 逆过来我们又得到了一组公式
例1． 化简：
1
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分析：根据和的立方公式把
展开，化简即可
解：
例 2．当
时，求
的值。
解：
=
例 3．化简
解：法一：
法二：
利用完全平方公式展开得到
例 4．已知 解：∵ ∴
二、配方法：用配方法解方程 ；然后将二次项系数化为 1：
项系数的一半的平方：
2020年初升高数学衔接专题02 分解因式(原卷版)
初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题02分解因式本专题在初中、高中扮演的角色因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，通过本专题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备.因此，它起到了初、高中承上启下的作用.分组分解法在初中数学中的应用：分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程；在高中数学中的应用更加广泛：如无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形，不等式证明，因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、证明题中的应用较多，在几何学中同样有应用.用十字相乘法分解因式，首先分解二次项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是否为一次项系数，还要注意避免出现以下两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘法写出的因式漏写字母.因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++.要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号； （2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数， 所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x 2+（m+n ）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x 2+（m+n ）x+mn ＝（x+m ）（x+n ）． 例如：x 2+5x+6＝x 2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 运用上述方法分解因式： （1）x 2+6x+8； （2）x 2﹣x ﹣6； （3）x 2﹣5xy+6y 2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0. 高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
初高中数学衔接：第2讲+因式分解
第2讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)；2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x +(2)30.12527b -解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+2.2提取公因式法与分组分解法【例3】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例4】分解因式：（1）()()255ab a b -+-； （2）32933x x x +++．解：（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．【例5】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++． （2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-练习：1．多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是__________． 2．()()()∙-=-+-y x x y n y x m _____． 3．()()()∙-=-+-222y x x y n y x m ____．4．()()()∙--=-++--z y x x z y n z y x m _________． 5．()()∙--=++---z y x z y x z y x m ______． 6．2105ax ay by bx -+-=_________________ 7．2222()()ab c d a b cd ---【答案】1．2xy ；2．()m n -；3．()m n +；4．()m n -；5．(1)m -．6．21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=-- 7．22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+2.3 十字相乘法2.3.1 形如2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法． 【例7】把下列各式因式分解：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1.1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－p qx x1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1来表示（如图2所示）．（2）由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图5）． 练习：把下列各式因式分解(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +- (4) 2215x x -- 解：(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-，∴276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+=，∴21336(4)(9)x x x x ++=++．(3)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=，∴2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x +-=+-+=-+．(4)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-，∴2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x --=+-+=-+． 【例8】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数；(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．－1 －2x x图1－1 －21 1图2－2 61 1图3－ay －byx x图4－1 1x y图5(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-．2.3.2 形如一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解我们知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bxc ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法．【例9】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 2.4 配方法【例10】把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =--，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．【练习】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 2.5 拆、添项法【例11】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．1．把下列各式分解因式： (1) 327a +(2) 38m -(3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6)3331121627x y c + 2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-(7) 27()5()2a b a b +-+-(8) 22(67)25x x --5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+-(2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +-- (7) 66321x y x --+(8) 2(1)()x x y xy x +-+参考答案1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)nax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．。
初高中数学衔接预习教材(共19讲)：第2讲因式分解
第 2讲因式分解2.1 公式法【例 1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1)8 x3(2)0.125 27b3【例 2】分解因式：(1)3a3b81b4(2)a7ab62.2 提取公因式法与分组分解法【例 3】把x2y2ax ay 分解因式．【例 4】分解因式：（1）a2 b 5 a 5 b ；（2）x39 3x23x ．【例 5】分解因式：（1）x39 3x23x ；（）2x 2xy y24x 5 y 6．2【例 6】把2x2 4 xy 2 y 28z2分解因式．2.3十字相乘法形如 x2( p q) x pq 型的因式分解【例7】把以下各式因式分解：（ 1） x2－ 3x＋2；（ 2） x2＋ 4x－ 12；（ 3）x2(a b)xy aby2；（ 4）xy 1 x y．【例 8】把以下各式因式分解：(1) x2xy 6 y2(2) (x2x)28( x2x) 122.3.2 形如一般二次三项式ax2bx c 型的因式分解【例 9】把以下各式因式分解：(1) 12x25x 2(2)5x26xy8y 22.4配方法【例 10】把以下对于x 的二次多项式分解因式：（1）2；（） x222x 12x4xy 4 y2.5 拆、添项法【例 11】分解因式x33x241．把以下各式分解因式：(1)a327(2)8 m3(3)27x38(4) 1 p3 1 q3(5) 8x3y31(6) 1 x3y3 1 c3864125216272．把以下各式分解因式：(1)xy3x4(2)x n 3x n y3(3)a2 (m n)3a2b3(4)y2 (x22x) 3y23．把以下各式分解因式：(1)x23x 2(2)x237 x 36(3) x211x 26(4)x2 6 x 27(5)m24mn 5n2(6)(a b)211(a b) 284．把以下各式分解因式：(1)ax510ax416ax3(2)a n 2a n 1b 6a n b2(3)(x2 2 x) 29(4)x47x218(5)6x27 x 3(6) 8x226xy15 y25．把以下各式分解因式：(1)3ax 3ay xy y2(2) 8x34x22x 1(3) 5x215x 2xy 6 y(4)4a220ab 25b236(5)4xy 1 4x2y2(6)a4 b a3 b2a2b2ab4参照答案1．(a3)( a23a 9),(2m)(42m m 2 ),(23x)(46x9x2 ),1(2 p q)(4 p2 2 pq q2 ),(2 xy 1)(4 x2 y22xy1),1( xy 2c)( x2 y22xyc 4c2 )6455252162．x(x y)( y2xy x2 ), x n ( x y)( x2xy y 2 ),a2 (m n b)[( m n) 2b( m n)b2 ], y2 (x1)2 (x44x33x2 2 x1) 3．( x2)( x1),( x 36)( x1),( x 13)( x2),( x9)( x3)( x9)( x3),( m5n)(m n),( a b4)( a b 7)4．ax3(x2)( x8), a n ( a3b)(a2b),( x3)(x1)(x22x3),( x3)( x3)( x22)(2 x3)(3x1),(2 x y)(4 x15 y)5．( x y)(3a y),(2 x1)2 (2 x1),( x3)(5 x2y),(2 a5b6)(2 a5b6) (12x y)(1 2 x y), ab(a b) 2 (a b) ．。
因式分解的拓展(精讲)(解析版)--2023届初升高数学衔接专题讲义
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第一讲因式分解的拓展（精讲）（解析版）【知识点透析】因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【方法精讲】一．提公因式法提取公因式法：把一个多项式各项都有的公因式提到括号外边来．符号语言：)(c b a m mc mb ma ++=++【例1】因式分解3(2)(2)x x x ---．【解析】提取公因式，原式=)13)(2(+-x x ．【变式】因式分解324(1)2(1)q p p -+-．【解析】提取公因式，原式=)424()1(]2)1(4[)1(22pq q p p q p -+-=+--．【例2】计算9879879879871232684565211368136813681368⨯+⨯+⨯+⨯．【解析】原式=987)521456268123(1368987=+++⨯．【变式1】（2022·广东汕头·一模）已知4m n +=，5mn =-，则22m n mn +=________．【答案】20-【解析】∵m +n =4，mn =-5，∴m 2n +mn 2=mn （m +n ）=-5×4=-20．故答案为：-20．【变式2】（2022·湖南娄底·七年级期中）因式分解：2229612abc a b abc -+；【答案】()23324ab c ab c -+【解析】：()222296123324abc a b abc ab c ab c -+=-+；二．公式法公式法：利用乘法公式的逆变换对多项式进行因式分解．常见的公式如下：（1）a 2－b 2=_))((b a b a -+_；（平方差公式）（2）a 2±2ab +b 2=_2)(b a ±_；（完全平方公式（两个数））（3）a 3±b 3=_))((22b ab a b a +± _；（立方和差公式）（4）a 3±3a 2b +3ab 2±b 3=_3)(b a ±_；（完全立方公式）（5）a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac =_2)(c b a ++_；（完全平方公式（三个数））【例3】因式分解22(2)(31)a a +--．【解析】法一：原式=)14)(23()132)(132(+-=+-+-++a a a a a a 法二：原式=)14)(23(310816944222+-=++-=-+-++a a a a a a a a ．【变式】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：(1)42−16+16；(2)2−+16−．【答案】(1)4−22；(2)−+4−4【解析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解；（2）先进行公式变形为2−−16−，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可（1）解：42−16+16=42−4+4=4−22；（2）解：2−+16−=2−−16−=−2−16=−+4−4；【例4】．（2022·上海外国语大学尚阳外国语学校七年级阶段检测）多项式的乘法公式中，除了平方差公式，完全平方公式之外，还有立方和公式与立方差公式如下：立方和公式：()()2233a b a ab b a b+++=+立方差公式：()()2233a b a ab b a b -++=-如果把公式逆运用，则成为因式分解中的立方和与立方差公式.根据以上材料，请完成下列问题：（1）因式分解：99a b +（2）因式分解：66a b -（3）已知：6631a b ab a b +==+，，的值【答案】（1）（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）．（3）322【详解】（1）因式分解：a 9＋b 9＝（a 3）3＋（b 3）3＝（a 3＋b 3）（a 6−a 3b 3＋b 6）＝（a＋b）（a 2−ab＋b 2）（a 6−a 3b 3＋b 6）；（2）因式分解：a 6−b6＝（a 2）3−（b 2）3＝（a 2−b 2）（a 4＋a 2b 2＋b 4）＝（a −b）（a＋b）（a 4＋a 2b 2＋b 4）；（3）∵a＋b＝3，ab＝1，∴a 2＋b 2＝（a＋b）2−2ab＝7，∴a 6＋b 6=（a 2＋b 2）（a 4−a 2b 2＋b 4）＝[（a＋b）2−2ab][（a 2＋b 2）2−2a 2b 2−a 2b 2]＝7×（49−3×1）＝322．【变式1】因式分解52(2)(2)x x y x y x -+-．【答案】原式=)1)(1)(2(22++--x x x y x x ．【解析】原式=)1)(1)(2()1)(2())(2(223225++--=--=--x x x y x x x y x x x x y x 【变式2】分解下列因式(1)38x +(2)34381a b b -【解析】：(1)333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(1)3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++【变式3】分解因式：(1)30.12527b -(2)76a ab -【解析】：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．(1)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++(2)76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+三．十字相乘法十字相乘法：对于二次三项式或可看作二次三项式的多项式分解因式．【例5】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式2+++B 可用十字相乘法方法得出2+++B =++，用上述方法将下列各式因式分解：(1)2+5B −62=__________．(2)2−4+2+32+6=__________．(3)2−5−−6−2=__________．(4)20182−2017×2019−1=__________．【答案】(1)(x -y )(x +6y )(2)(x -3a )(x -a -2)(3)(x +a -3b )(x -a -2b )(4)(20182x 2+1)(x -1)【分析】（1）将-6y 2改写成-y ·6，然后根据例题分解即可；（2）将3a 2+6a 改写成−3−+2，然后根据例题分解即可；（3）先化简，将B +62−2改写−3+−2−，然后根据例题分解即可；（4）将2017×2019改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；(1)解：原式=2+(−+6p +−⋅6=(x -y )(x +6y )；(2)解：原式=2+−3−+2+−3−+2=(x -3a )(x -a -2)；(3)解：原式=2−5B +B +62−2=2−5B +3−2+=2+−3++−2−+−3+−2−=(x +a -3b )(x -a -2b )；(4)解：原式=20182−2018-12018+1−1=201822−20182-1−1=201822+1−20182−1=(20182x +1)(x -1)．【例6】．（2023·山东济宁·八年级期末）【知识背景】八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：()()()2x p q x pq x p x q +++=++．【方法探究】对于多项式()2x p q x pq +++我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq 分解成p 与q 的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数()p q ++．所以()()()2x p q x pq x p x q +++=++例如，分解因式：256x x ++它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．所以()2562(3x x x x ++=++）．类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．例如，分解因式：226x x --．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以()22623(2)x x x x --=+-．【方法归纳】一般地，在分解形如关于x 的二次三项式2ax bx c ++时，二次项系数a 分解成1a 与2a 的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成1c 与2c 的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把1a ，2a ，1c ，2c 按如图4所示方式排列，当且仅当1221a c a c b +=（一次项系数）时，2ax bx c ++可分解因式．即21122()()ax bx c a x c a x c ++=++．我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．【方法应用】利用上面的方法将下列各式分解因式：(1)256x x -+；(2)21021x x +-；(3)()()22247412x x x x -+-+【答案】(1)（x －2）（x －3）(2)（2x ＋3）（5x －7）(3)2(2)x -（x －1）（x －3）【解析】(1)256x x -+=（x －2）（x －3）．(2)21021x x +-=（2x ＋3）（5x －7）．(3)()()22247412x x x x -+-+=22(44)(43)x x x x -+-+=2(2)x -（x －1）（x －3）．【变式1】将下列各式分解因式（1）2615x x --；（2）231310x x -+．【解析】（1）原式=)53)(32(-+x x ；（2）原式=)5)(23(---x x ．【变式2】（1）42222459x y x y y --；（2）223129x xy y ++．【答案】（1）原式=)94)(1(222-+x x y ；（2）原式=)33)(3(y x y x ++．【变式3】把下列各式因式分解：(1)226x xy y+-(2)222()8()12x x x x +-++【解析】：(1)222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-【例7】（提高型）：分解因式613622-++-+y x y xy x .【解析】设613622-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++，∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x--+++-+)23()(622，∴613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622，对比左右两边相同项的系数可得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231mn m n n m ，解得⎩⎨⎧=-=32n m .∴原式=)32)(23(+--+y x y x .【变式】（1）2910322-++--y x y xy x ；（2）6752322+++++y x y xy x .解：原式=)12)(25(-++-y x y x 原式=)2)(32(++++y x y x 四．分组分解法根据多项式各项的特点，适当分组，分别变形，再对各组之间进行整体分解（先部分后整体的分解方法）【例8】．（2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中）【阅读学习】课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如：（1）()()()()()()am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n +++=+++=+++=++；（2）()2222222121(1)(1)(1)x y y x y y x y x y x y ---=-++=-+=++--．【学以致用】请仿照上面的做法，将下列各式分解因式：（1）1ab a b --+；（2）22444x xy y -+-．【拓展应用】已知：7x y +=，5x y -=．求：2222x y y x --+的值．【答案】（1）(1)(1)a b --；（2）(22)(22)x y x y -++-；【拓展应用】45．【详解】（1）1ab a b --+()()()()111ab a b a b =---=--（2）()()()()22222444444422222x xy y x xy y x y x y x y -+-=--+=--=-++-【拓展应用】()()()()222222222x y y x x y x y x y x y --+=-+-=-++∵7x y +=，5x y -=，代入得：原式=()(2)5(72)45x y x y -++=⨯+=．将下列各式分解因式（1）3232()()x x y y +-+；（2）32x x +-．【答案】（1）原式=))((22y x y xy x y x ++++-（2）原式=)2)(1(2++-x x x 【解析】（1）原式=))(())(()()(222233y x y x y xy x y x y x y x -++++-=-+-))((22y x y xy x y x ++++-=；（2）原式=)2)(1()1()1)(1(11223++-=-+++-=-+-x x x x x x x x x ．【例9】分解因式：（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【变式】（1）323x x +-；（2）222(1)41m n mn n -+-+．【答案】（1）原式=)3)(1(2++-x x x （2）原式=)1)(1(+-+++-n m mn n m mn ．【解析】（1）原式=)3)(1(22123++-=-+-x x x x x （2）原式=2222222221214n mn m mn n m n mn m n m -+-++=+-+-)1)(1()()1(22+-+++-=--+=n m mn n m mn n m mn ．五．换元法换元法分解因式：是将多项式中的某一部分用新的变量替换，从而使较复杂的数学问题得到简化【例10】．（2022·福建漳州·八年级期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法．对于()()22525312x x x x ++++-．解法一：设25x x y +=，则原式()()2231256y y y y =++-=+-()()()()()()()2226156512351y y x x x x x x x x =+-=+++-=+++-；解法二：设22x m +=，5x n =，则原式()()()()211212m n m n m n m n =+++-=+++-()()()()()()()2224356512351m n m n x x x x x x x x =+++-=+++-=+++-．请按照上面介绍的方法解决下列问题：(1)因式分解：()()2241479x x x x -+-++；(2)因式分解：()()()2221x y xy x y xy +-+-+-；(3)求证：多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【答案】(1)（1）()42x -(2)()()2211x y --(3)见解析【解析】(1)解：解法一：设2x x y -=，则原式()()179y y =+++2816y y =++()24y =+()2244x x =-+()42x =-；方法二：设214x m x n +=-=，，则原式()()=69m n m n ++++()()269m n m n =++++()23m n =++()22143x x =+-+()2244x x =-+()42x =-；(2)解：设x y m xy n +==，，则原式()()()2221m n m n =--+-2222421m mn m n n n =--++-+()22221m mn m n =--+-()()22211m m n n =-+++()21m n =--()21x y xy =+--()()2211x y =--；(3)解：()()()()21236x x x x x +++++()()2227656x x x x x =+++++，设26x m x n +==，，则原式()()2=75m n m n n +++221236m mn n =++()26m n =+()2266x x =++，∵()22660x x ++≥，∴()()()()212360x x x x x ++++≥+，∴多项式()()()()21236x x x x x +++++的值一定是非负数．【变式1】将下列各式分解因式（1）221639a b ab ++；【答案】原式=)13)(3(++ab ab （2）22(1)(2)12x x x x ++++-【解析】原式=)5)(2(12)1()1(22222++-+=-+++++x x x x x x x x ．)5)(1)(2(2++-+=x x x x ．【变式2】（1）x 6－7x 3－8（2）（x +1）（x +2）（x +3）（x +4）+1【解析】（1）原式=)1)(42)(1)(2()1)(8(2233+-+++-=+-x x x x x x x x ；（2）原式=1)65)(45(1)3)(2)(4)(1(22+++++=+++++x x x x x x x x 2222)55(11)55(++=+-++=x x x x ．六．配方法【例题11】．（2022·上海·七年级期末）阅读理解：对于形如222x ax a ++这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式．但对于二次三项式2223x ax a +-，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式2223x ax a +-中先加上一项2a ，使它与22x ax +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2223x ax a +-＝222223x ax a a a ++--＝22()4x a a +-＝22()(2)x a a +-＝(3)()x a x a +-，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：(1)2815x x -+；(2)4224a a b b ++．【答案】(1)(3)(5)x x --(2)2222()()a b ab a b ab +++-【解析】(1)原式＝28161615x x a -+-+＝2(4)1x --＝(41)(41)x x -+--＝(3)(5)x x --；(2)42244224222a a b b a a b b a b ++=++-＝22222()a b a b +-＝2222()()a b ab a b ab +++-．七．因式分解的应用【例题12】．（2022·江苏扬州·七年级期中）阅读下列材料：若一个正整数x 能表示成22a b -（a ，b 是正整数，a b >）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解，例如22532=-，所以5是“明礼崇德数”3与2是5的平方差分解；再如：()22222222M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 为正整数），所以M 也是“明礼崇德数”，（x y +）与y 是M 的一个平方差分解．(1)判断9“明礼崇德数”（填“是”或“不是”）；(2)已知()2x y +与2x 是P 的一个平方差分解，求代数式P ；(3)已知2223818N x y x y k =-+-+（,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+），要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由．【答案】(1)是(2)222x y y +(3)k =-19【解析】(1)解∶∵22954=-，∴9是“明礼崇德数”；故答案为：是(2)解：()()2222P x y x =+-42242x x y y x =++-222x y y =+；(3)解：2223818N x y x y k =-+-+()()2224436919x x y y k=++-++++()()22223319x y k=+-+++2219k=+-+++∵N 是“明礼崇德数”，∴19+k =0，∴k =-19．【例题13】．已知a b =22a b ab -的值．【答案】【解析】【分析】先利用提公因式法把22a b ab -进行因式分解，再代入计算即可．【详解】解：∵()22a b ab ab a b -=-，又a =b∴a b =-=1ab +=-=，∴()221a b ab ab a b -=-=⨯=【变式1】．（1）因式分解：()()211x x x +-+．（2）先化简，再求值：22169124x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】（1）1x +；（2）23x x -+，16【解析】【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先算括号内的部分，将除法变乘法，最后约分化简后代入求值即可．【详解】（1）原式=()()11x x x ++-=x +1；（2）原式=212(3)22(2)(2)x x x x x x ++⎛⎫+÷ +++-⎝⎭23(2)(2)2(3)x x x x x ++-=⋅++23x x -=+，当3x =时，原式=3233-+16=．【变式2】．（2022·湖北十堰·八年级期末）阅读理解题：已知二次三项式x 2﹣4x ＋m 有一个因式是x ＋3，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x ＋n ，依题意得x 2﹣4x ＋m ＝（x ＋3）（x ＋n ）．即x 2﹣4x ＋m ＝x 2＋（n ＋3）x ＋3n ，比较系数得：343n m n +=-⎧⎨=⎩，解得217m n =-⎧⎨=-⎩．∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21仿照上述方法解答下列问题：(1)已知二次三项式2x2＋3x﹣k有一个因式是2x﹣1，求另一个因式及k的值；(2)已知2x2﹣13x＋p有一个因式x﹣4，则p＝．【答案】(1)另一个因式为x+2，k的值为2(2)20(1)解：（1）设另一个因式为x+m，则2x2+3x—k＝（2x—1）（x+m），即2x2+3x—k＝2x2+（2m—1）x—m，比较系数得：213 mk m-=⎧⎨-=-⎩，解得22 mk=⎧⎨=⎩，∴另一个因式为x+2，k的值为2；(2)解：设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2﹣13x+p＝（x﹣4）（2x+m），则2x2﹣13x+p＝2x2+（m﹣8）x﹣4m，∴8134mp m-=-⎧⎨=-⎩，解得520 mp=-⎧⎨=⎩，故答案为：20．。
第02讲 因式分解-【初升高暑假衔接】2022年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列(人教A版20
第02讲：因式分解【考点梳理】考点一、公式法(立方和、立方差公式)3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 考点二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 考点三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++.因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++.2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【专题突破】一、单选题1．把多项式2221a a b --+分解因式，结果是（ ）A ．(1)(1)a b a b +-++B ．(1)(1)a b a b --+-C ．(1)(1)a b a b --++D ．(1)(1)a b a b ---+2．因式分解22a a b b --+=（ ） A ．()()1a b a b -+- B ．()()1a b a b -++ C ．()()1a b a b ++-D ．()()1a b a b +--3．把多项式22344x y xy x --分解因式得结果是（ ） A ．24()xy x y x -- B ．()2244x xy y x --C ．2(2)x x y --D ．()2244x xy y x --++4．下列因式分解完全正确的是 A ．2242(2)a a a a -+=-+ B ．2224(2)x y x y --=-+ C ．222816(4)a ab b a b -+=+ D ．222(2)()x xy y x y x y +-=-+5．下列各式运算正确的是 A ．245(1)(5)a a a a ++=++ B ．222249(23)a ab b a b ++=+C ．()3322()a b a b a ab b +=+-+ D ．()3322()a b a b a ab b -=--+6．阅读材料：对于多项式222x ax a ++可以直接用公式法分解为()2x a +的形式.但对于多项式2223x ax a +-就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在2223x ax a +-中先加上一项2a ，再减去2a 这项，使整个式子的值不变. 解题过程如下： 2223x ax a +-222223x ax a a a =+-+-（第一步） 222223x ax a a a =++--（第二步）()()222x a a =+-（第三步）()()3x a x a =+-（第四步）根据上述材料，回答问题.上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（ ） A ．提公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法D ．十字相乘法7．把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ） A ．()()x x y x y +- B ．()222x x xy y -+C ．()2x x y +D ．()2x x y -8．下列分解不正确的是（ ） A ．22816(4)x x x ++=+ B ．2222()a ab b a b ++=- C ．22111()3366x x x -+=- D ．222441(21)a b ab ab ++=+9．二次三项式22x bx c ++分解因式为()()231x x -+，则b ，c 的值分别为（ ） A ．3，1B ．6-，2-C ．6-，4-D ．4-，6-10．多项式22221x y y x --+因式分解的结果是（ ）. A ．22(1)(1)x y ++ B ．2(1)(1)(1)x x y -++ C ．2(1)(1)(1)x y y ++-D ．(1)(1)(1)(1)x x y y +-+-11．若多项式2317x x b +-分解因式的结果中有一个因式为4x +，则b 的值为（ ） A ．20B ．-20C ．13D ．-1312．下列分解因式错误的是（ ） A ．a 2-5a +6=(a -2)(a -3) B ．1-4m 2+4m =(1-2m )2C ．-4x 2+y 2=-(2x +y )(2x -y )D ．3ab +14a 2b 2+9=(3+12ab )213．多项式23x x a ++可分解为()()5x x b +-，则,a b 的值分别为（ ） A ．10和2-B ．10-和2C ．10-和2-D ．10和214．已知正数m ，满足m 4﹣7m 2+1＝0，则m +1m的值为（ ） A ．2B ．C ．D ．315．33333333(21)(31)(41)(20201)(21)(31)(41)(20201)---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+的值最接近（ ）A ．12 B ．23C ．34D ．45二、填空题16．因式分解：22944x y y ---=_______.17．因式分解()()2222728x x x x +-+-=________18．因式分解3223x x y xy y --+=______. 19．已知x 为实数，且2213x x +=，则331x x +的值是________. 20．分解因式： 223224x xy y x y ++++=_________. 21．因式分解()()2222223x x x x +-+-=________.三、解答题 22．分解因式（1）21424x x ++ （2）21536a a -+ （3）245x x +- （4）22x x +- （5）2524x x +- （6）2215y y -- （7）21024x x -- （8）2224x x +- 23．因式分解： （1）22672-+x xy y ；（2）()()22228215x x x x -+-+.24．分解因式（1）2576x x +- （2）2372x x -+ （3）210173x x -+ （4）261110y y -++ （5）2251712x xy y -- （6）221574x xy y +- （7）22135442x xy y --（8）22(21)x a x a -++（9）2222(6)11(6)5x x x x +-++ 25．选用适当的方法分解因式 （1）432673676x x x x +--+（2）4322212()x x x x x +++++ （3）432441x x x x -+++ 26．分解因式：(1)(y ﹣1)2﹣10(y ﹣1)+25； (2)(x +2)(x +4)+1；(3)x 4﹣18x 2y 2+81y 4； (4)(y 2﹣1)2﹣6(y 2﹣1)+9；(5)2a 3b ﹣4a 2b 2+2ab 3； (6)(m 2﹣4m )2+8(m 2﹣4m )+16． 27．把下列各式分解因式： (1)233ax ay xy y -+-； (2)251526x x xy y -+-； (3)224202536a ab b -+-； (4)2(1)()x x y xy x +-+． 28．选用适当的方法分解因式（1）2231092x xy y x y --++-； （2）2232576x xy y x y +++++.参考答案：1．B 【解析】先利用分组分解法得()22222221211a a b a a b a b =--+=-+---，再利用平方差公式分解因式即可 【详解】解：()2222221(111)(122)a b a a a b b a a b a b =--=+---+=+----， 故选：B 2．A 【解析】 【分析】利用平方差公式以及提公因式法化简可得结果. 【详解】()()()()()()()22221a a b b a b a b a b a b a b a b a b --+=---=-+--=-+-.故选：A. 【点睛】本题考查多项式的因式分解，考查平方差公式以及提公因式法的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【解析】提取公因式x -，再由完全平方可得解. 【详解】()()22232244442x y xy x x x xy y x x y --=--+=--. 故选：C. 4．D 【解析】 【分析】将选项右边表达式展开，由此判断选项是否正确. 【详解】对于A 选项，右边224a a =--≠左边，所以A 不正确.对于B 选项，右边2244x xy y =---≠左边，所以B 选项不正确. 对于C 选项，右边22816a ab b =++≠左边，所以C 选项不正确. 对于D 选项，右边222x xy y =+-=左边，所以D 选项正确.【点睛】本小题主要考查判断因式分解的结果是否正确，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】利用乘法分配律和立方和、立方差公式，判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，右边265a a =++≠左边，故A 选项错误. 对于B 选项，右边224129a ab b =++≠左边，故B 选项错误. 对于C 选项，根据立方和公式可知，C 选项正确.对于D 选项，根据立方差公式可知，正确的运算是()3322()a b a b a ab b -=-++，故D 选项错误.故选C. 【点睛】本小题主要考查乘法分配律，立方和、立方差公式，考查因式分解，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】根据第二步到第三步，前面三项合成完全平方公式，后面两项为指数运算，由此确定正确选项. 【详解】由题知从第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法. 故选C. 【点睛】本小题主要考查因式分解方法的识别，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】提公因式x ，再利用完全平方公式，即得解 【详解】由题意，3222222(2)()x x y xy x x xy y x x y -+=-+=- 故选：D 8．B利用完全平方公式，对选项进行验证，即可得答案； 【详解】完成平方公式的运用：2()aab b a b ++=+，22816(4)x x x ++=+，22222()(),a ab b a b a b ++=+-≠22111()3366x x x -+=-，222441(21)a b ab ab ++=+故选：B. 【点睛】本题考查完全平方公式的运用，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】利用多项式乘法运算法则去括号合并同类项得出即可. 【详解】 解:()()2231246x x x x -+=--,4b ∴=-,6c =-. 故选:D 【点睛】此题主要考查了多项式乘法以及合并同类项,正确运用多项式乘法法则是解,也可用一元二次方程的根的关系来解. 10．D 【解析】 【分析】提公因式再利用平方差公式即可得到答案. 【详解】 22221x y y x --+ 222(1)(1)y x x =--- 2(1)(1)(1)y x x =--+ (1)(1)(1)(1)x x y y =+-+-故选：D. 11．B 【解析】依题意设()()23174x x b x mx n +-=++，再根据多项式相等得到方程组，解得即可；【详解】解：设()()23174x x b x mx n +-=++所以()2231744x x b mx n m x n +-=+++所以34174m n m n b =⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得3520m n b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故选：B 12．B 【解析】根据等式左右两边是否相等及右边是否为因式相乘即可判断选项的正误. 【详解】A 选项根据十字相乘分解因式可知正确；B 选项中的1+4m 2-4m =(1-2m )2，左右两边不相等，所以B 是错的；C 选项根据平方差公式可知正确；D 选项根据完全平方公式可知正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了因式分解及因式分解的常用方法，属于容易题. 13．B 【解析】 【分析】首先根据题意得到()()()225553+-=+--=++x x b x b x b x x a ，即可得到答案.【详解】由题知：()()()225553+-=+--=++x x b x b x b x x a ，所以535b b a -=⎧⎨-=⎩，解得102a b =-⎧⎨=⎩. 故选：B 【点睛】本题主要考查整式的运算，属于简单题. 14．D【解析】 【分析】已知等式整理后，求出m 2+21m 的值，利用完全平方公式及平方根定义求出所求即可． 【详解】解：已知等式整理得：m 2+21m ＝7， ∴m 2+21m +2＝9，即（m +1m）2＝9， ∵m ＞0， ∴m +1m＝3， 故选：D ． 【点睛】此题考查了分式的化简求值，灵活意义完全平方公式是解本题的关键． 15．B 【解析】 【分析】首先根据立方和、立方差公式得到3311(1)12n n n n --=+++，再将分式化简即可得到答案.【详解】由立方和、立方差公式得： 321(1)(1)n n n n -=-++，322(1)1(11)[(1)(1)1](2)(1)n n n n n n n ++=+++-++=+++.所以32321(1)(1)1(1)1(2)(1)2n n n n n n n n n n --++-==++++++. 33333333(21)(31)(41)(20201)(21)(31)(41)(20201)---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+333333331213120191(20201)21314120201---=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯-++++ 31122018(20201)9452021=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯- 31123(20201)9201920202021⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯ 222019(202020201)3201920202021⨯++=⨯⨯⨯ 22202020201320202021++=⨯⨯ 2220202020132020(20201)++=⨯⨯+222202020201320202020++=⨯+ 221(1)32020202230=⨯++≈ 故选：B.【点睛】本题主要考查立方和、立方差公式，熟记公式为解题的关键，同时考查了学生的计算能力，属于中档题. 16．()()3232x y x y ++--【解析】先由完全平方公式得229(2)x y -+，再由平方差公式化简可得.【详解】22229449(2)(32)(32)x y y x y x y x y ---=-+=++--.故答案为：()()3232x y x y ++--17．()()()2142x x x ++-【解析】【分析】将22x x +看做一个整体，利用十字相乘法化为乘积的形式；再次利用十字相乘法可得到结果.【详解】 ()()()()()()()22222227282128142x x x x x x x x x x x +-+-=+++-=++- 本题正确结果：()()()2142x x x ++-【点睛】本题考查利用十字相乘法进行因式分解的问题，属于基础题.18．()()2x y x y +-【解析】【分析】解：()()322322x x y xy y x x y y x y --+=--- ()()22x y x y =--()()()x y x y x y =--+()()2x y x y =-+ 故答案为：()()2x y x y -+【详解】本题考查分组分解法因式分解，属于基础题.19．±【解析】【分析】计算1x x+=32321111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，带入数据计算得到答案. 【详解】222112325x x x x ⎛⎫+=++=+= ⎪⎝⎭，故1x x +=323211112x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+==± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：±【点睛】本题考查了代数式的运算，属于简单题.20．()()22x y x y +++【解析】【分析】前三项用十字相乘法分解因式()()22322x xy y x y x y =++++，后两项提公因数()2422x y x y +=+，在对其提公因式()2x y +得答案.【详解】利用分组分解法（前三项与后两组）()()()()()22322422222x xy y x y x y x y x y x y x y ++++=++++=+++故答案为：()()22x y x y +++【点睛】本题主要考查十字相乘法的应用，属于中档题.21．()()()2131x x x -++【解析】【分析】先设22x x t +=,则原式可变形为223t t --,将其分解后，再代入22x x t +=后再将每一个因式分解，可得答案..【详解】设22x x t +=,则原式可化为:223t t --，而223(1)(3)t t t t --=+-，所以()()()()2222222232123x x x x x x x x +-+-=+++-， 而()22211x x x ++=+，()()22331x x x x +-=+-， 所以()()()()()22222223131x x x x x x x +-+-=-++， 故答案为：()()()2131x x x -++.【点睛】本题主要考查运用换元法,即把某个式子看作一个整体,用一个字母去代替它,实行等量替换进行因式分解，注意在分解后一定要再每一个因式能否再分解，分解到不能再分解为止，属于中档题.22．（1）(12)(2)x x ++；（2）(12)(3)a a --；（3）(5)(1)x x +-；（4）(2)(1)x x +-；（5）(8)(3)x x +-；（6）(5)(3)y x -+；（7）(12)(2)x x -+；（8）(6)(4)x x +-.【解析】【分析】十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。