平面向量的数量积及运算律同步练习

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高考数学一轮复习专题5.3平面向量的数量积及运用练习(含解析)

5.3 平面向量数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积拓展：向量数量积不满足： ①消去律，即a ·b ＝a ·c ⇏b ＝c ； ②结合律，即(a ·b )·c ⇏a ·(b ·c )． 3．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )＝λa ·b . (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.5．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．考向一数量积基本运算【例1】（1）平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30 D.34（2）已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______．（3）已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】（1）D （2）2π3（3）B【解析】（1）依题意得|a |＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2， ∴|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，故选D.（2）∵(2a －b )·(a ＋b )＝6，∴2a 2＋a ·b －b 2＝6，又|a |＝2，|b |＝1，∴a ·b ＝－1，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为2π3.（3）解法一：由圆周角定理及AB ⊥BC ，知AC 为圆的直径．故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)(O 为坐标原点)．设B (cos α，sin α)，∴PB →＝(cos α－2，sin α)，∴PA →＋PB →＋PC →＝(cos α－6，sin α)，|PA →＋PB →＋PC →|＝(cos α－6)2＋sin 2α＝37－12cos α≤37＋12＝7，当且仅当cos α＝－1时取等号，此时B (－1,0)，故|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得PA →＋PC →＝2PO →(O 为坐标原点)，又PB →＝PO →＋OB →，∴|PA →＋PB →＋PC →|＝|3PO →＋OB →|≤3|PO →|＋|OB →|＝3×2＋1＝7，当且仅当PO →与OB →同向时取等号，此时B 点坐标为(－1,0)，故|PA →＋PB →＋PC →|max ＝7.故选B.【举一反三】1.设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a －b )＝3，则a 与b 的夹角为________．【答案】π3【解析】由题意得a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×1×cos α＝4－2cos α＝3， ∴cos α＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为______． [答案]712【解析】 ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0，∴(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AC →·AB →＝0. ∵向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴(λ－1)|AB →||AC →|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.3.设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值为________．【答案】 4【解析】因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，〈a ，b 〉＝120°.如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，∠AOB ＝120°. 所以∠ACB ＝60°，所以∠AOB ＋∠ACB ＝180°，所以A ，O ，B ，C 四点共圆．不妨设为圆M ，因为AB →＝b －a ，所以AB →2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12.所以|AB →|＝23，由正弦定理可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径为2R ＝|AB →|sin ∠AOB ＝4.所以当|OC →|为圆M 的直径时，|c |取得最大值4.4.已知向量a ，b ，c ，满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23b ＝0，则|b －c |的最小值是( ) A ．2－ 3 B ．2＋ 3 C ．1 D ．2 【答案】 A【解析根据条件，设a ＝(1, 3)，b ＝(3,0)，设c ＝(x ，y )，则(c －2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23b ＝(x －2，y －23)·(x －2，y )＝0；∴(x －2)2＋(y －3)2＝3；∴c 的终点在以(2，3)为圆心，3为半径的圆上，如图所示：∴|b －c |的最小值为(2－3)2＋(3－0)2－3＝2－ 3.故选A.5.在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________．【答案】－23或113或3±132【解析】 ①若∠A ＝90°，则有AB →·AC →＝0，即2＋3k ＝0，解得k ＝－23.②若∠B ＝90°，则有AB →·BC →＝0，因为BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)，所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝113.③若∠C ＝90°，则有AC →·BC →＝0，即－1＋k (k －3)＝0，解得k ＝3±132.综上所述，得k ＝－23或113或3±132.考向二平面向量与其他知识的综合【例2】如图，在△ABC 中，已知点D ，E 分别在边AB ，BC 上，且AB ＝3AD ，BC ＝2BE .(1)用向量AB →，AC →表示DE →；(2)设AB ＝9，AC ＝6，A ＝60°，求线段DE 的长．【答案】372【解析】(1)∵AB ＝3AD ，BC ＝2BE ，∴DB →＝23AB →，BE →＝12BC →＝12(AC →－AB →)，∴DE →＝DB →＋BE →＝23AB →＋12AC →－12AB →＝16AB →＋12AC →.(2)AB →2＝81，AC →2＝36，AB →·AC →＝9×6×cos60°＝27， ∴DE →2＝136AB →2＋16AB →·AC →＋14AC →2＝634，∴DE ＝|DE →|＝634＝372.【举一反三】1.已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )A.33 B.12 C.32 D.23【答案】 A【解析】 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0，∴OA →＋OB →＝－OC →，∴O 为三角形的重心，∴△OBC 的面积为△ABC 面积的13.∵AB →·AC →＝2，∴|AB →|·|AC →|cos ∠BAC ＝2.∵∠BAC ＝60°，∴|AB →|·|AC →|＝4， △ABC 面积为12|AB →|·|AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33.故选A.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝16x D ．y 2＝42x【答案】 B【解析】如图所示，AF →＝FB →⇒F 为线段AB 中点，∵AF ＝AC ，∴∠ABC ＝30°.由BA →·BC →＝48，得BC ＝43，得AC ＝4.∴由中位线的性质有p ＝12AC ＝2.故抛物线的方程为y 2＝4x .故选B.3.已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________．【答案】 [1,4]【解析】作出点M (x ，y )满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，设z ＝OA →·OM →，因为A (－1,2)，M (x ，y )，所以z ＝OA →·OM →＝－x ＋2y ，即y ＝12x ＋12z .平移直线y ＝12x ，由图象可知，当直线y ＝12x ＋12z 经过点C (0,2)时，截距最大，此时z 最大，最大值为4，当直线y ＝12x ＋12z 经过点B 时，截距最小，此时z 最小，最小值为1，故1≤z ≤4，即1≤OA →·OM →≤4.1．向量,a b 的夹角为120，1a b ==，2c =，则2a b c ++的最大值为（）A ．2B ．2C ．23+D ．4【答案】C【解析】22224414cos12043a ba ab b +=+⋅+=++=()()222222222222cos 2,a b c a ba b c c a b a b c a b c c++=+++⋅+=+++<+>+343cos 2,4743cos 2,a b c a b c =+<+>+=+<+>又[]cos 2,1,1a b c <+>∈-(2227432a b c ∴++≤+=+max223a b c⇒++=+本题正确选项：C2．设向量a ，b 满足()1,3,0a a b a a b =+=⋅+=，则2a b -（）A ．2B ．23C ．4D ．43【答案】B【解析】∵()0a a b ⋅+=，1a = ∴21a a b =-⋅=∵向量a ，b 满足3a b += ∴2223a a b b +⋅+= ∴24b =则()2222244444a b a ba ab b -=-=-⋅+=++=故选：B ．3．已知正三角形ABC 的边长为2，设2,AB a BC b ==，则（）A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．·1a b =【答案】C 【解析】如图，∵正三角形ABC 的边长为2，2,AB a BC b ==，取AB 中点D ，设BE AD a ==，∴1AD BD BE ===，0120EBC ∠=，∴22a b +=-=A 错误；,a b 的夹角为120°，故B 错误；()2044412cos12040a b b a b b +=+=⨯⨯⨯+=，∴()4a b b +⊥，故C 正确；012cos1201a b =⨯⨯=-，故D 错误．故选：C ．4．已知ABC ∆的边AB ，AC 的长分别为20,18，120BAC ∠=︒，则ABC ∆的角平分线AD 的长为（）A B ．9019C ．18019D 【答案】C【解析】如图，因为AD 是ABC ∆的角平分线，所以2010189BD AB DC AC ===，所以1019AD AB BD AB BC =+=+()10910191919AB AC AB AB AC =+-=+，即9101919AD AB AC =+. 两边平方得2AD =222211180 8120100182109182019219⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以18019AD AD ==，故选C. 5．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259D.269[答案] B[解析] 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109.6．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】 C【解析】因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C.7．平行四边形ABCD 中，,AC BD 在AB 上投影的数量分别为3，-1，则BD 在BC 上的投影的取值范围是（） A ．()1,-+∞ B ．()1,3-C ．()0,∞+D ．()0,3【答案】A 【解析】建立直角坐标系：设(,0)B a ，(3,)C b ，(1,)D a b -，则3(1)a a --=，解得：2a =，所以，(1,),(3,)D b C b ，()=1,BC b ，()1,BD b =-，则BD 在BC 上的投影2c os BC BD BM BD BCθ==⋅=⋅=()1t t =>，则22t B M t ==-，令()2f t t t =-，则有()22'1f t t =+，在()1,+∞上，()'0f t >，()f t 单调递增，故()()1f t f >-，故()1f t >-，则BD 在BC 上的投影的取值范围是()1,-+∞8．设向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b +=（）A B C ．D ．10【答案】B【解析】因为a b ⊥，所以x-2=0,所以x=2.所以+=3|10a b a b ∴+=（，-1),|.故选：B9．在ABC ∆中，若2AB AC ⋅=且30BAC ∠=︒，则ABC ∆的面积为（）A B ．C D 【答案】C【解析】由2AB AC ⋅=得cos302,bc bc ==111sin2223S bc A ===，故选C. 10．已知ABC ∆中，90ABC ∠=，2AB =，D 是边BC 上一动点，则AB AD ⋅=（） A ．2 B ．2-C ．4D ．无法确定【答案】C【解析】()2AB AD AB AB BD AB AB BD ⋅=⋅+=+⋅90ABC ∠=0AB BD ∴⋅=24AB AD AB ∴⋅==本题正确选项：C11．已知向量a 与b 方向相同，(2,a =，2b =b -=___________。

平面向量的数量积练习题[

§5.3 平面向量的数量积一、选择题1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0解析：由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案：D2．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎪⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2解析 ∵a·c ＝a·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝⎛⎭⎪⎫a·a a·b b ＝a·a －⎝⎛⎭⎪⎫a 2a·b a·b ＝a 2－a 2＝0，又a ≠0，c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D.答案 D3. 设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（）A2 B 12C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=正确的是C. 答案C4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )． A ．－4B ．4C ．－2D ．2解析设a 与b 的夹角为θ，∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，而cos θ＝a ·b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4.答案 A5．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1B ．1C. 2D ．2解析由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |≤1. 答案 B6．已知非零向量a 、b 满足|a |＝3|b |，若函数f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，则〈a ，b 〉的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π 解析 ∵f (x )＝13x 3＋|a |x 2＋2a·b x ＋1在x ∈R 上有极值，∴f ′(x )＝0有两不相等的实根，∵f ′(x )＝x 2＋2|a |x ＋2a·b ，∴x 2＋2|a |x ＋2a·b ＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝4|a |2－8a·b ＞0，即a·b ＜12|a |2，∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |，|a |＝3|b |，∴cos 〈a ，b 〉＜12|a |2|a ||b |＝32，∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴π6＜〈a ，b 〉≤π. 答案 D7．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )．A.P 1P 2→·P 1P 3→B.P 1P 2→·P 1P 4→C.P 1P 2→·P 1P 5→D.P 1P 2→·P 1P 6→解析由于P 1P 2→⊥P 1P 5→，故其数量积是0，可排除C ；P 1P 2→与P 1P 6→的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除D ；设正六边形的边长是a ，则P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→||P 1P 3→|cos 30°＝32a 2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→||P 1P 4→|cos 60°＝a 2.答案 A 二、填空题8．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a －3b |等于________．解析 ∵|a －3b |2＝a 2－6a ·b ＋9b 2＝10－6×cos60°＝7，∴|a －3b |＝7. 答案 79.已知向量(3,2)a =-, (31,4)a m m =--，若a b ⊥，则m 的值为．解析 ,3(31)(2)(4)0,1a b a b m m m ⊥∴⋅=-+--=∴= 答案 110．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________. 解析设a 与b 夹角为θ，由题意知|a |＝1，|b |＝1，θ≠0且θ≠π.由a ＋b 与向量k a －b 垂直，得(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k |a |2＋(k －1)|a ||b |cos θ－|b |2＝0，(k －1)(1＋cos θ)＝0.又1＋cos θ≠0，∴k －1＝0，k ＝1. 答案 111．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．解析由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(k e1＋e2)＝0，即k e21＋e1e2－2k e1e2－2e22＝0，即k＋cos2π3－2k cos 2π3－2＝0, 化简可求得k＝54.答案5412．在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则(AB＋AC)·AD的值为________．解析：|BC|2＝|AB|2＋|AC|2＝8，|AD|＝12|BC|，AB＋AC＝2AD，(AB＋AC)·AD＝2AD·AD＝12|BC|2＝4.答案：4三、解答题13．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．解析：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c) a＝0a＝0.(2) a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋－22＋－2＝－222＝－22. 14．如图所示，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)． (1)若BC →∥DA →，求x 与y 之间的关系式；(2)在(1)条件下，若AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．解析 (1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，DA →＝－AD →＝(－x －4,2－y )．又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y )，∴x (2－y )－y (－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，又AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0. 即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0，② 联立①②化简，得y 2－2y －3＝0， ∴y ＝3或y ＝－1.故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)， ∴S ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16；当y ＝－1时，x ＝2，此时AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)， ∴S ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝16.15．已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，求AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值．解析由题意知△ABC 为直角三角形，AB →⊥BC →， ∴AB →·BC →＝0，cos ∠BAC ＝35，cos ∠BCA ＝45，∴BC →和CA →夹角的余弦值为－45，CA →和AB →夹角的余弦值为－35，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB → ＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－25.16．设两向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．思路分析转化为(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0 且2t e 1＋7e 2≠λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)．解析由已知得e 21＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.欲使夹角为钝角，需2t 2＋15t ＋7＜0. 得－7＜t ＜－12.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝t λ.∴2t 2＝7.∴t ＝－142，此时λ＝－14. 即t ＝－142时，向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴夹角为钝角时，t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12。

平面向量的数量积与向量积练习题

平面向量的数量积与向量积练习题在学习平面向量的数量积与向量积时，练习题是非常重要的。

通过解决练习题，我们可以更好地理解和掌握相关的概念与计算方法。

下面是一些平面向量数量积与向量积的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。

1. 给定平面向量a = (2, -3)和b = (5, 1)，计算a·b和|a × b|。

解法：首先，我们知道a·b的计算公式为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b的夹角。

|a × b|的计算公式为|a × b| = |a||b|sinθ。

根据向量a和b的坐标，我们可以计算得到：a·b = 2*5 + (-3)*1 = 10 - 3 = 7|a × b| = √[(2*1 - (-3)*5)^2 + ((-3)*5 - 2*1)^2] = √[11^2 + (-17)^2] = √(121 + 289) = √410 ≈ 20.25所以，a·b = 7，|a × b| ≈ 20.25。

2. 已知平面向量a和b的模长分别为3和6，且a·b = -12，求向量a 与向量-b的夹角。

解法：根据a·b = |a||b|c osθ的计算公式，我们可以得到cosθ = a·b / (|a||b|)。

代入已知条件，可以计算得到cosθ = -12 / (3*6) = -12 / 18 = -2 / 3。

由于向量a和向量-b具有相同的模长，且夹角为θ和π-θ，则向量a 和向量-b的夹角为θ = arccos(-2 / 3) ≈ 2.3 radians。

3. 平面向量a = (1, 2, 3)和b = (-4, 5, 6)，求向量a × b。

解法：向量a × b的计算公式为：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3,a1b2 - a2b1)。

平面向量的数量积与面积计算练习题

平面向量的数量积与面积计算练习题题1：计算向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积。

解：向量a=(2,3)，向量b=(-1,4)。

根据数量积的定义，向量a和向量b的数量积等于它们对应分量的乘积之和。

所以，向量a和向量b的数量积为：2 × (-1) +3 ×4 = -2 + 12 = 10。

所以，向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)的数量积为10。

题2：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6，求向量b。

解：已知向量a=(3,5)，向量b的模长为4，且向量a和向量b的数量积为-6。

设向量b=(x,y)，则根据数量积的定义，有：3x + 5y = -6 （1）又因为向量b的模长为4，所以有：x^2 + y^2 = 4^2 （2）解方程组（1）和（2），可以求得向量b的坐标。

将方程（1）中的3x替换为(-6 - 5y)，得到：(-6 - 5y) + 5y = -6化简得：-6 = -6由此可知方程（1）是一个恒等式，即无论向量b的坐标如何，方程（1）永远成立。

所以，向量b的坐标可以是任意值。

因此，向量b有无数个解。

题3：计算以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积。

解：以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积可以通过计算向量a和向量b的数量积的绝对值来求得。

向量a和向量b的数量积已在题1中计算过，结果为10。

平行四边形的面积等于两个邻边的数量积的绝对值。

所以，以向量a=(2,3)和向量b=(-1,4)为邻边所构成的平行四边形的面积为|10| = 10。

题4：已知向量a=(-3,4)，向量b=(1,2)，求以向量a和向量b为邻边所构成的平行四边形的面积。

解：已知向量a=(-3,4)和向量b=(1,2)。

先计算向量a和向量b的数量积。

向量a和向量b的数量积为：(-3) × 1 + 4 × 2 = -3 + 8 = 5。

平面向量的加减与数量积练习题

平面向量的加减与数量积练习题一、向量的加减平面向量的加减是指根据向量的性质进行运算，可以将向量看作有方向和大小的箭头，通过对箭头进行平移和反转等操作进行运算。

1. 已知向量a = 2i + 3j，b = 4i - 5j，求a + b的结果。

解：将a和b的对应分量进行相加，得到：a +b = (2 + 4)i + (3 - 5)j = 6i - 2j2. 已知向量c = 6i - 7j，d = -3i + 2j，求c - d的结果。

解：将c和d的对应分量进行相减，得到：c -d = (6 - (-3))i + (-7 - 2)j = 9i - 9j二、数量积数量积也称为点积或内积，是将两个向量进行运算得到的结果，具体计算方式为将两个向量的对应分量相乘后相加。

3. 已知向量e = 3i + 4j，f = 2i - 5j，求e · f的结果。

解：将e和f的对应分量相乘后相加，得到：e ·f = (3 * 2) + (4 * (-5)) = 6 - 20 = -144. 已知向量g = 5i + 3j，h = -2i + 6j，求g · h的结果。

解：将g和h的对应分量相乘后相加，得到：g · h = (5 * (-2)) + (3 * 6) = -10 + 18 = 8三、练习题1. 已知向量m = 2i + j，n = 3i - 4j，求m + n的结果。

解：将m和n的对应分量进行相加，得到：m + n = (2 + 3)i + (1 - 4)j = 5i - 3j2. 已知向量p = 4i + 3j，q = -2i + 5j，求p - q的结果。

解：将p和q的对应分量进行相减，得到：p - q = (4 - (-2))i + (3 - 5)j = 6i - 2j3. 已知向量r = i - 2j，s = 3i + 4j，求r · s的结果。

解：将r和s的对应分量相乘后相加，得到：r · s = (1 * 3) + (-2 * 4) = 3 - 8 = -54. 已知向量t = 5i + 2j，u = -3i + 6j，求t · u的结果。

高中数学 4.3平面向量的数量积同步训练理新人教A版

【全程复习方略】（湖北专用）2013版高中数学 4.3平面向量的数量积同步训练理新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.若向量a =(1,1),b =(-1,2),则a ·b 等于( )(A)1 (B)-1 (C)3 (D)-32.(2012·天门模拟)已知非零向量a ,b ,c 满足a +b +c =0.向量a ,b 的夹角为60°，且|b |=|a |,则向量a 与c 的夹角为( )(A)60° (B)30° (C)120° (D)150°3.(易错题)已知a =(x,x), b =(x,t+2),若函数f(x)= a ·b 在区间［-1,1］上不是单调函数，则实数t 的取值范围是( )(A)(-∞,-4］ (B)(-4,0］(C)(-4,0) (D)(0,+∞)4.已知锐角三角形ABC 中，|AB u u u r |=4，|AC uuu r |=1，△ABC 的面积为3，则AB u u u r ·AC uuu r 的值为( )(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-45.(2012·荆州模拟)已知|p |=22,|q |=3,p 与q 的夹角为4π,如图所示，若AB u u u r =5p +2q ,AC uuu r =p -3q ,且D 为BC 的中点，则|AD u u u r |=( )(A)152(B)152 (C)7 (D)8 6.(2011·新课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P 1:｜a +b ｜＞1⇔θ∈［0,23π)， P 2:｜a +b ｜＞1⇔θ∈(23π,π］， P 3:｜a -b ｜＞1⇔θ∈［0,3π)， P 4:｜a -b ｜＞1⇔θ∈(3π,π］，其中的真命题是( )(A)P 1,P 4 (B)P 1,P 3 (C)P 2,P 3 (D)P 2,P 4二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k=_________.8.(2012·武汉模拟)△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,且a=c=2,ABBC u u u r u u u r · =-2，则b=_________. 9.已知A(0，3)，B(-1，0)，C(3，0)，若四边形ABCD 为直角梯形，则点D 的坐标为_________.三、解答题(每小题15分，共30分)10.设两个向量121112,,2,1,3π==满足与的夹角为，e e e e e e 若向量12122t 7t ++与e e e e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.11.(2012·襄阳模拟)已知点A(1，0)，B(0，1)，C(2sin θ,cos θ).(1)若sin 2cos AC BC sin cos θ+θ=θ-θu u u r u u u r ，求的值; (2)若()OA 2OB OC 1+=u u u r u u u r u u u r ，·其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值.【探究创新】(16分)已知向量a =(1,2), b =(cos α,sin α),设t =+m a b (t 为实数).(1)若α=4π,求当|m |取最小值时实数t 的值； (2)若a ⊥b ,问：是否存在实数t ，使得向量a -b 和向量m 的夹角为4π，若存在，请求出t;若不存在，请说明理由.答案解析 1.【解析】选A.∵a =(1,1), b =(-1,2),∴a ·b =(1,1)·(-1,2)=-1+2=1.2.【解析】选D.由a +b +c =0得c =-a -b ,∴| c |2=|a +b |2=|a |2+|b |2+2|a ||b |cos60°=3|a |2,∴|c |=3|a |,又a ·c =a ·(-a -b )=-|a |2-a ·b=-|a |2-|a ||b |cos60°=-32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ, 则23·32cos 23-θ===-a a c a c a a · ∵0≤θ≤π,∴θ=150°.3.【解析】选C.∵f(x)=2x =ab · +(t+2)x, ∴f ′(x)=2x+(t+2),令f ′(x)=0得t 2x ,2+=-又f(x)在［-1，1］上不单调，∴-1<t 22+-<1,即-4<t<0. 4.【解析】选A.由题意得1AB AC sinA 32⨯⨯⨯=u u u r u u u r ，所以141sinA 32⨯⨯⨯=，故3,又A 为锐角，所以A=60°，AB AC AB AC =⨯u u u r u u u r u u u r u u u r ·×cosA=4×1×cos60°=2.5.【解析】选A.∵D 为BC 的中点，∴()1AD AB AC 2=+u u u r u u u r u u u r =3p -12q ,∴|AD u u u r |2=9p 2+14q 2-3p ·q =1225159893223cos ,AD .4442π⨯+⨯-⨯⨯⨯==u u u r 即 6.【解题指南】｜a +b ｜＞1⇔(a +b )2＞1,｜a -b ｜＞1⇔(a -b )2＞1，将(a +b )2,( a -b )2展开并化成与θ有关的式子，解不等式，得θ的取值范围.【解析】选A.｜a +b ｜＞1⇔(a +b )2＞1，而(a +b )2= a 2+2 a ·b +b 2=2+2cos θ＞1，∴cos θ＞12-，解得θ∈［0,23π)，同理，由｜a -b ｜＞1⇔(a -b )2＞1，可得θ∈(3π,π］. 7.【解题指南】向量a +b 与向量k a -b 垂直⇔(a +b )·(k a -b )=0，展开用数量积公式求得k 的值.【解析】∵(a +b )⊥(k a -b ),∴(a +b )·(k a -b )=0,即k a 2+(k-1) a ·b -b 2=0，(*)又∵a ，b 为两不共线的单位向量，∴(*)式可化为k-1=-(k-1) a ·b ,若k-1≠0,则a ·b =-1,这与a , b 不共线矛盾；若k-1=0,则k-1=-(k-1) a ·b 恒成立. 综上可知,k=1时符合题意.答案：18.【解析】∵AB BC u u u r u u u r ·=-2,∴2×2×cos(π-∠ABC)=-2,cos ∠ABC=12，即∠ABC=3π, 又∵a=c,∴△ABC 为等边三角形，故b=2.答案：29.【解析】D 的位置如图所示，由图(1)可知D(3，3)，由图(2)可得AD AB AB DC⎧⊥⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r P设D(x,y),则AD u u u r =(x ，y-3)，AB u u u r =(-1，-3)，DC uuu r =(3-x ，-y)，∴()()()()()()()18x x 1y 330591y 33x 0y 5⎧=⎪-+--=⎧⎪⎪⎨⎨-----=⎪⎪⎩=⎪⎩，解之得，··∴D(18955，). 综上，D(3，3)或(18955，). 答案：(3，3)或(18955，) 10.【解题指南】a 、b 夹角为钝角⇔a ·b <0且a 与b 不共线.【解析】由12122,1,,==e e e e 的夹角为3π，得1212cos 1,3π==e e e e ·· ∴()()12122t 7t ++e e e e ·()222211222t 2t 77t 2t 15t 7,=+++=++e e e e ·∵向量122t 7+e e 与向量12t +e e 的夹角为钝角，∴2t 2+15t+7<0,解得-7<t<12-. 当122t 7+e e 与12t +e e 共线时，存在实数m 使()12122t 7m t +=+e e e e即(2t-m)e 1+(7-mt) e 2 =0,∵12,e e 不共线，∴2t m 0t t 227mt 0m m ⎧⎧-===⎧⎪⎪⎨⎨⎨-=⎩⎪⎪==⎩⎩，解之得或∴当t 2t 7t 2=±++与1212e e e e 共线，综上，所求实数t 的取值范围为：-7<t<12-且t≠2- 11.【解析】∵A(1,0),B(0,1),C(2sin θ,cos θ),∴AC uuu r =(2sin θ-1,cos θ),BC uuu r =(2sin θ,cos θ-1).(1)|AC uuu r |=|BC uuu r |,=化简得2sin θ=cos θ,所以121sin 2cos tan 22tan , 5.12sin cos tan 112+θ+θθ+θ=∴===-θ-θθ-- (2)()()OA 1,0,OB 0,1,OC ==u u u r u u u r u u u r =(2sin θ,cos θ),∴OA 2OB +u u u r u u u r =(1,2),∵()OA 2OB OC +u u u r u u u r u u u r ·=1，∴2sin θ+2cos θ=1. ∴(sin θ+cos θ)2=14,∴sin θ·cos θ=38-. 【方法技巧】平面向量的数量积运算问题的解题技巧 (1)平面向量的数量积运算有时类似于多项式的乘法；(2)熟记公式22==a a a a ·,易将向量问题转化为实数问题.【变式备选】△ABC 中，满足：AB AC ⊥u u u r u u u r ，M 是BC 的中点.(1)若|AB u u u r |=|AC uuu r |，求向量AB u u u r +2AC uuu r 与向量2AB u u u r +AC uuu r 的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB u u u r |=|AC uuu r，求OAOB OC OA +u u u r u u u r u u u r u u u r ··的最小值. 【解析】(1)设向量AB u u u r +2AC uuu r 与向量2AB u u u r +AC uuu r 的夹角为θ,|AB u u u r |=|AC uuu r |=a,∵AB u u u r ⊥AC uuu r ,()222(AB 2AC)2AB AC 2AB 5AB AC 2AC 4a |AB 2AC |2AB AC ∴++=++=+===+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，同理可得·· ∴cos θ=()22(AB 2AC)2AB AC 4a 4.5a 5AB 2AC 2AB AC++==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r · (2)∵AB AC AM 1.==∴=u u u r u u u r u u u u r 设OA x,OM 1x,OB OC 2OM,==-+=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r 则而∴()()2211OA OB OC 2OA OM 2OA OM cos 2x 1x 2x 2x 2(x )22+==π=--=-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r ·· 当且仅当x=12时，()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r ·值最小，为-12.【探究创新】【解题指南】(1)把| m |整理成关于t 的函数即可. (2)由()()t cos ,4t -+π=-+a a a a b b b b ·列出关于t 的方程,若方程有实数解,则t 存在,否则t 不存在.【解析】(1)因为()222232,(t 5t 2t 4222πα====+=++=，则b a b a b m b a ··22321t 32t 5(t ),22++=++所以当t=322-时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)假设存在实数t 满足条件，由条件得()()t cos ,4t -+π=-+a b a b a b a b ·()()()()22226t t 5t t 5t 2t 565t -=-=+=+=+-+=-=<+又因为，，，，a b a b a b a b a b a b ··整理得t 2+5t-5=0,所以存在535t 2-±=满足条件.。

高中第一册(下)数学平面向量的数量积及运算律同步练习1

平面向量的数量积及运算律同步练习1一、选择题1.下面给出的几个有关向量的关系式：①O ·O ＝O ②(a ·b )·c ＝a ·(b ·c ) ③｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜ ④0·O ＝0其中正确的关系式有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知e 1、e 2是两个单位向量，则下面结果正确的是( )A.｜e 1·e 2｜＝1B.e 1·e 2＝1C.e 1·e 2＝-1D.e 1·e 2≤13.△ABC 中，a ＝10,b ＝16,c ＝30，则BC ·CA 等于( ) A.80B.803C.-80D.-8034.设e 1、e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e 1-e 2)·(3e 1+2e 2)等于( ) A.-8B.-29C.29D.8 5.若｜a ｜＝4,｜b ｜＝6,a 与b 的夹角为135°，则a ·(-b )等于( ) A.12B.-12C.122D.-1226.已知｜a ｜＝2,｜b ｜＝3，且a ⊥b ，又(2a +3b )⊥(λa -b )，则λ的值为( ) A.49B.-49C.827 D.-827 7.△ABC 中，AB ＝c ,BC ＝a ，且c ·a ＜0，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定8.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝3,a ·b ＝6，则｜a +b ｜＝( ) A.7B.37C.13D.139.已知｜a -b ｜＝32041 ,｜a ｜＝4,｜b ｜＝5，则a ·b 等于( ) A.103B.-103C.102D.1010.已知e 1、e 2是两个单位的向量，则( )A.e 1·e 2＝1B.｜e 1·e 2｜＝1C.e 1＝e 2D.e 12＝e 22二、填空题11.a ·〔b ·(a ·c )-c ·(a ·b )〕＝.12.｜a ｜＝4,a 与b 的夹角为45°，则a 在b 的投影为.13.已知｜a ｜＝2cos22.5°，｜b ｜＝4sin22.5°，a 与b 的夹角为60°，则a ·b ＝.14.在△ABC 中，｜AB ｜＝｜AC ｜＝2，且AB ·CA ＝-2，则△ABC 的形状为.15.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝8，a 与b 的夹角为120°，则｜4a -2b ｜＝.三、解答题16.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5,｜a +b ｜＝21.求：(1)a ·b ;(2)(2a -b )(a +3b ).17.已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5,a 与b 的夹角为60°，且(k a +b )⊥(a -2b ),求k.18.a 、b 是非零向量，且(a -b )⊥(a +b ),(a +2b )⊥(2a -b ).求：(3a +4b )与(2a +b )的夹角.参考答案1.A2.D3.D4.C5.C6.C7.D8.B9.A 10.D11.0 12.22 13.2 14.等边三角形 15.16316.(1)-10 (2)-9317.(k a +b )⊥(a -2b )⇒ (k a +b )·(a +2b )＝0⇒k a 2-(2k-1)a ·b -2b 2＝0⇒k ×42-(2k-1)×4×5×cos60°-2×52＝0⇒k ＝-10⇒cos θ＝b a b a b a b a ++++2·43)2)(43(＝aa a 55102＝552∴θ＝arccos 552。

高三数学一轮总复习 53平面向量的数量积同步练习北师大版

5-3平面向量的数量积基础巩固一、选择题1．(文)(2012·辽宁文，1)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12C.12 D ．1[答案] D[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算．由a ·b ＝1得，1×2－1×x ＝1，得x ＝1.(理)(2012·辽宁理，3)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b[答案] B[解析] 本题考查向量的运算由题意知|a ＋b |＝|a －b |，∵|a ＋b |2＝|a －b |2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2， ∴a ·b ＝0，∴a ⊥b .2．(文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3[答案] C[解析] (8a －b )·c ＝(6·3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.(理)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16[答案] D[解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝(AC →)2＋AC →·CB →＝16.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12[答案] D[解析] 本题考查了有坐标的向量的运算．包括数乘向量，向量的加减法及数量积，同时还考查了考生细心运算的能力．∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， ∴a ·(2a －b )＝(2,1)·(5,2－k )＝10＋2－k ＝0， ∴k ＝12.4．(2012·浙江理，5)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b | [答案] C[解析] 本题考查向量共线的条件．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a 与b 方向相反．则存在b ＝λa .反之则不然．5．(文)(2011·大纲全国卷文，3)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )A. 2B. 3C. 5D.7[答案] B[解析] 本题主要考查了向量的基本运算，向量的数量积、向量的模与向量的平方的转化|a ＋2b |＝a ＋2b2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝1＋－12＋4×1＝ 3. (理)(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a 、b ，其中|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π[答案] A[解析] 由题意知(a －b )·a ＝a 2－a ·b ＝2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝22，∴θ＝π4，故选A.6．已知a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2[答案] D[解析] 本题考查数量积的运算． (a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2＝0－(a ＋b )·c ＋1＝1－(a ＋b )·c ＝1－|a ＋b |·|c |cos 〈a ＋b ，c 〉＝1－2·1·cos〈a ＋b ，c 〉∴最小值为1－2，即a ＋b 与c 同向共线时取得最小值．二、填空题7．(2012·安徽文，11)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.[答案]2[解析] 本题考查平面向量的垂直充要条件、数量积、模等．a ＋c ＝(3,3m )，∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝0，即(3,3m )·(m ＋1,1)＝0， ∴3(m ＋1)＋3m ＝0,6m ＋3＝0，∴m ＝－12，∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.8．(文)已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝________. [答案]3[解析] 本题主要考查向量的模及数量积等基础知识． ∵|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos60°＝12.∴|2e 1－e 2|＝e 1－e 2e 1－e 2＝4|e 1|2＋|e 2|2－4e 1·e 2＝4＋1－2＝ 3.(理)已知向量a 、b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．[答案] 60°[解析] 本题主要考查平面向量的数量积及其运算．(a ＋2b )·(a －b )＝－6，则|a |2＋a ·b －2|b |2＝－6，即12＋a ·b －2×22＝－6，a ·b ＝1，即cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12，所以〈a ，b 〉＝60°. 三、解答题9．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32x ，sin 32x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值．[分析] 利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a ＋b |时注意x 的取值范围． [解析] (1)a ·b ＝cos 32x cos x 2－sin 32x sin x2＝cos2x ，|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32x ＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32x －sin x 22 ＝2＋2cos2x ＝2|cos x |，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－32. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.[点评] 与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变形的相关知识.能力提升一、选择题1．(2012·安阳模拟)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形[答案] C[解析] 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2得 (BC →＋BA →)·AC →－|AC →|2＝0，即AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(2BA →)＝0，故有AC →⊥BA →.2．(文)已知两单位向量a ，b 的夹角为60°，则两向量p ＝2a ＋b 与q ＝－3a ＋2b 的夹角为( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．150° [答案] B[分析] 本题求解中，要注意充分利用两向量的数量积及求向量模的运算公式及方法． [解析] p ·q ＝(2a ＋b )·(－3a ＋2b )＝－6a 2＋a·b ＋2b 2＝－6a 2＋|a |·|b |·cos60°＋2b 2＝－72，|p |＝|2a ＋b |＝a ＋b2＝4a 2＋4a·b ＋b 2＝4a 2＋4|a ||b |·cos60°＋b 2＝7， |q |＝|－3a ＋2b |＝－3a ＋2b2＝9a 2－12a·b ＋4b 2＝9a 2－12|a ||b |·cos60°＋4b 2＝7，而cos 〈p ，q 〉＝p ·q |p |·|q |＝－12.即p 与q 的夹角为120°.(理)(2013·辽宁省沈阳四校期中联考)已知两点A (1,0)为，B (1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝120°，设OC →＝－2OA →＋λOB →，(λ∈R )，则λ等于( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2[答案] C[解析] 由条件知，OA →＝(1,0)，OB →＝(1，3)，OC →＝(λ－2，3λ)， ∵∠AOC ＝120°， cos ∠AOC ＝OA →·OC→|OA →|·|OC →|＝λ－2λ－2＋3λ2，∴λ－2λ－2＋3λ2＝－12，解之得λ＝1，故选C. 二、填空题3．(2012·浙江理，15)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.[答案] －16[解析] 本题考查向量的数量积运算．如图．AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →) ＝|AM →|2－|MB →|2＝32－52＝－16.4．(文)(2012·上海文，12)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．[答案] [1,4][解析] 本题考查了数量积的坐标运算，由题意以矩形的顶点A 建立坐标系如图所示，则B (2,0)，D (1,0)，C (2,1)．设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝a ，则0≤a ≤1，|CN →|＝2a ，|BM →|＝a ，M (2，a ) ，N (2－2a,1)． AM →＝(2，a )，AN →＝(2－2a,1)∴AM →·AN →＝4－3a ，又0≤a ≤1，∴1≤4－3a ≤4， ∴AM →·AN →∈[1,4]．(理)(2012·上海理，12)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________．[答案] [2,5][解析] 本题考查向量的线性运算与数量积的求法．如图：令|BM →||BC →|＝t ，则0≤t ≤1， AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tAD → AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋(1－t )AB →∴AM →·AN →＝AB →·AD →＋t |AD →|2＋(1－t )|AB →|2＋(t －t 2)AB →·AD →＝1＋t ＋(1－t )·4＋(t －t 2)＝5－2t －t 2＝6－(t ＋1)2，∵0≤t ≤1，∴2≤AM →·AN →≤5. 三、解答题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．[解析] 本题主要考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积等知识点，考查考生的运算求解能力．(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 6．(2012·盐城一模)已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，θ∈(－π2，π2)．(1)若a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．[解析] (1)因为a ⊥b ，所以sin θ＋3cos θ＝0. 得tan θ＝－ 3.又θ∈(－π2，π2)，所以θ＝－π3.(2)因为|a ＋b |2＝(sin θ＋1)2＋(cos θ＋3)2＝5＋4sin(θ＋π3)．所以当θ＝π6时，|a ＋b |2的最大值为5＋4＝9.故|a ＋b |的最大值为3.7．(文)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. [解析] (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4.∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)． (2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )， ∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0. ∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0， ∴2×5＋3a ·b －2×54＝0.∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－525·52＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.(理)在平行四边形ABCD 中，A (1,1)，AB →＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3,5)，求点C 的坐标． (2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹． [解析] (1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)． ∵AC →＝AD →＋AB →＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C 的坐标为(10,6)． (2)设P (x ，y )，则 BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →)＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)．∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 为菱形， ∴AC →⊥BP →，∴(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0 (y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．。

高中第一册(下)数学平面向量的数量积及运算律同步练习

平面向量的数量积及运算律同步练习1．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为（）（1）（a·b）·c－(c·a)·b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b|（3）(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直（4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2A.（2）（4）B.（2）（3）C.（1）（2）D.（3）（4）2．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）·（a＋3b）＝33，则a与b的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°3．△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，且a·b＞0，则△ABC为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4．已知等边△ABC的边长为1，且BC→＝a，CA→＝b，AB→＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于（）A.－32B.32C.0D.945．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，则a与b的夹角为（）A.60°B.90°C.45°D.30°6．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ . 7．已知| i |＝| j|＝1，i·j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a·b＝ . 8．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝ .9．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝k a＋b与n＝a＋k b的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.11．非零向量（a＋3b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求向量a与b夹角的余弦值.答案1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．927．－63 8．±159．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.解：|r|＝|a＋b＋c|＝（a＋b＋c）2＝1＋4＋9＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝14设a＋b＋c与a、b、c的夹角分别为θ1，θ2，θ3则cosθ1＝a·（a＋b＋c）|a|·|a＋b＋c|＝114同理cosθ2＝214＝147，cosθ3＝31414.10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝k a＋b与n＝a＋k b的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.解：∵|a|＝|b|＝1，又a·b＝0m·n＝(k a＋b)·(a＋k b)＝2k，又|m|＝k2＋1 ，|n|＝k2＋1若cos60°＝m·n|m|·|n |＝2kk2＋1＝12∴k2＋4k＋1＝0∵k＝2±3 Z，∴不存在.11．19 38。

平面向量的数量积与平行垂直练习题

平面向量的数量积与平行垂直练习题1. 已知向量a = 3i - 2j，b = i + j，计算向量a与向量b的数量积。

解析：向量a与向量b的数量积（内积）等于它们对应坐标的乘积之和。

即：a·b = 3*i*i + 3*(-2)*j*i + 3*i*j + 3*(-2)*j*j= 3*1 + (-6)*0 + 3*0 + (-6)*1= 3 - 6 + 0 - 6= -9所以向量a与向量b的数量积为-9。

2. 已知向量c = 2i - 3j，d = -4i + j，计算向量c与向量d的数量积。

解析：同样根据数量积的定义进行计算：c·d = 2*i*(-4) + 2*(-3)*j*i + 2*i*j + 2*(-3)*j*j= -8 + 0 + 0 - 6= -14所以向量c与向量d的数量积为-14。

3. 在直角坐标系中，已知向量e = 4i + j，f = -2i + 3j，计算向量e与向量f的数量积。

解析：根据数量积的定义进行计算：e·f = 4*i*(-2) + 4*j*3*i + 4*i*3j + 4*j*3j= -8 + 0 + 12 + 0= 4所以向量e与向量f的数量积为4。

4. 已知向量a = i - 2j，b = 3i + 4j，求证向量a与向量b垂直。

证明：若向量a与向量b垂直，则它们的数量积为0。

根据数量积的定义进行计算：a·b = i*3i + i*4j + (-2)j*3i + (-2)j*4j= 3i*i + 4i*j + (-6)j*i + (-8)j*j= 3 + 4 + 0 - 8= -1由于a·b不等于0，所以向量a与向量b不垂直。

5. 已知向量c = 2i + 3j，d = 6i - 4j，求证向量c与向量d平行。

证明：若向量c与向量d平行，则它们的坐标比值相等。

根据坐标比值的定义进行计算：c/d = (2/6)i/(6/6)i + (3/-4)j/(6/-4)j= (2/6) + (3/-4)= (1/3) + (-3/4)= 1/3 - 3/4= (4 - 9)/12= -5/12由于c/d的比值为-5/12，符合平行的条件，所以向量c与向量d平行。

高一数学下学期平面向量的数量积及运算律习题精选试题

高一数学下学期平面向量的数量积及运算律习题精选一、选择题1．以下各题①假设，那么对任何一个向量，有.②假设，那么对任何一个非零向量，有.③假设，，那么.④假设，那么、中至少有一个为.⑤假设，，那么.⑥假设，那么，当且仅当时成立.其中真命题的个数为〔〕A．1 B．2 C．3 D．42．设、、是任意的非零平面向量，且互相不一共线，那么①；②；③不与垂直；④中，是真命题的有〔〕A．①② B．②③ C．③④ D．②④3．，，与的夹角为，那么等于〔〕A．12 B．3 C．6 D．4．和是两个单位向量，夹角为，那么下面向量中与垂直的是〔〕A． B． C． D．5．设、是夹角为的单位向量，那么和的夹角为〔〕A． B． C． D．6．中、、的对边分别为、、，，，，那么等于〔〕A． B． C． D．7．有四个式子，①；②；③；④，其中正确的个数为〔〕A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．在中，设，，那么等于〔〕A．0 B． C． D．9、设、是两非零向量，是在的方向上的投影，而是在的方向上的投影．假设与的夹角为钝角，那么〔〕A．B．C．D．10．在中，假设，，，且，那么的形状是〔〕A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．ABC均不正确11．假设为所在平面内一点，且满足，那么的形状为〔〕A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形D．A、B、C均不是二、填空题12．，，那么=__________〔设、是两个互相垂直的单位向量〕.13．假如向量、满足、，且和的夹角为，那么=________.14．假设向量、、满足，且，，. 那么_______.15．设，，且垂直，那么的值是__________.三、解答题16．设向量和的长度分别为和3，夹角是，求.17．，，且、、方向一样，求证.18．求证：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和。

19．：，，且与的夹角为，问当且仅当为何值时，向量与垂直？20．：为⊙的一条直径，为圆周角，求证：直径所对的圆周角是直角，即.21．向量、、是模相等的非零向量，且，求证是正三角形.参考答案1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．C12．13．3 14． 15．16．17．证明：∵，，∴，又、、同方向，∴，而，故结论得证.〔同学们考虑：假设、、方向不同，结果又如何？〕18．证明：设在中，，对角线，，那么，，∴，即.∴原题得证。

平面向量数量积运算专题(附答案)

平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2D.－3＋2 2变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B.－126C.112D.－112变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.题型三利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值.平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2答案 (1)2 (2)D 解析 (1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →)＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1， ∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一设|P A →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x，从而cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝x 2－1x 2＋1.P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos θ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号，故P A →·PB →的最小值为22－3. 方法二设∠APB ＝θ，0<θ<π，则|P A →|＝|PB →|＝1tanθ2.P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos θ ＝(1tanθ2)2cos θ＝cos 2θ2sin 2θ2·(1－2sin 2θ2)＝(1－sin 2θ2)(1－2sin 2θ2)sin 2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1，则P A →·PB →＝(1－x )(1－2x )x＝2x ＋1x－3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号.故P A →·PB →的最小值为22－3.方法三以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，则P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥P A ⇒OA →·P A →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0，又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而P A →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故P A →·PB →的最小值为22－3.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126C.112D.－112答案 (1)A (2)B解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ，又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________. 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质得AB →与AC →的夹角为90°. 题型三利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，所以|2a ＋b |＝(2a )2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120°＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)方法一以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案233解析因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2).所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1. 所以|b |＝233. 高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( )A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 答案 D解析如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0.设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 答案 D解析由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA →|取得最大值2，当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72，故选D.6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.6答案 C解析在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB →＝16＋34×42×4cos 135°＝4.7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案 B解析设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.答案 22解析由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB→－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB→2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 答案 π2解析由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，所以sin A ＝a sin Bb＝3×632＝22. 所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12].所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值. 解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。

高中数学2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律同步训练新人教B版必修94

A→C · AD→ 等于
A． 2 3
3 B. 2
3 C. 3
D. 3
22．在边长为 2的等边三角形 ABC 中，设 A→B＝ c，B→C＝a，C→A＝b，则 a·b＋ b·c＋ c·a ＝________.
23．在△ ABC 中，设 A→B ＝c， B→C＝ a， C→A＝ b，且 a·b＝ b· c＝ c·a，试判断△ ABC 的形状．
7． C
8． B (D→B ＋ D→C － 2D→A )· (A→B － A→C )＝ [(D→B － D→A )＋ (D→C － D→A )] · (A→B － A→C )＝ (A→B ＋
A→C)· (A→B －A→C )＝|A→B | 2－ |A→C | 2＝ 0，∴ |A→B | ＝|A→C |. 9． C 0＝ (2a＋b)· b＝ 2a· b＋ b2＝2| a|| b|cos 〈 a， b〉＋ | b| 2， ∵ | a| ＝ | b| ≠0，
④若 a· b＝ 0，则 a、b 至少有一个为 0；
⑤若 a≠ 0， a· b＝ a· c，则 b＝ c；
⑥若 a· b＝a· c，且 b≠c，当且仅当 a＝ 0 时成立．
其中真命题为 ________．
5． (2010 江西高考，文 13)已知向量 a，b 满足 | b| ＝ 2， a 与 b 的夹角为 60°，则 b 在 a
4 12 ∴ | a| · cos〈 a， b〉＝ 3× 5＝ 5 . 14． C 15． D ∵a· (b－ a)＝ a·b－ |a| 2＝a·b－4，∴a·b＝ 6.
1 | a－λb| 2＝ | a| 2＋λ2| b| 2－ 2λa· b＝ 4＋ 36λ2－ 12λ＝36(λ－6)2＋ 3，

高一下数学同步训练：平面向量的数量积及运算律、坐标表示与平移(附答案) (1)

高一数学同步检测十六平面向量的数量积及运算律、坐标表示与平移说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项)1．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是 A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案：C解析：由条件得a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝a 2＋2＝|a ||b |cosα＝6cosα.又∵|a |＝1，∴cosα＝12. ∴α＝π3. 2．下面几个有关向量数量积的关系式：①0·0＝0；②|a ·b |≤a ·b ；③a 2＝|a |2；④(a ·b )|a |2＝b a；⑤(a ·b )2＝a 2·b 2；⑥(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.其中正确的个数是A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B解析：|a ·b |＝|a ||b ||cosθ|≥|a ||b |cosθ＝a ·b ；(a ·b )2＝|a |2|b |2cos 2θ≤|a |2|b |2＝a 2·b 2，故②④⑤错，①③⑥正确．3．将函数y ＝log 2(2x)的图象F 按a ＝(2，－1)平移到F ′，则F ′的解析式为A ．y ＝log 2[2(x －2)]－1B ．y ＝log 2[2(x ＋2)]－1C ．y ＝log 2[2(x ＋2)]＋1D ．y ＝log 2[2(x －2)]＋1答案：A得y ′＝log 2[2(x ′－2)]－1.∴F ′的解析式为y ＝log 2[2(x －2)]－1.4．已知单位向量i 与j 的夹角为60°，则2j －i 与i 的关系为A ．相等B ．垂直C ．平行D ．共线答案：B解析：∵(2j －i )·i ＝2j ·i －i 2＝2|j ||i |cos60°－|i |2＝2×1×1×12－1＝0，∴2j －i 与i 垂直． 5．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为A ．－17 B.17 C ．－16 D.16答案：A解析：向量λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又∵λa ＋b 与a －2b 垂直，∴(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0.解得λ＝－17，选A. 6．在△ABC 中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC 为直角三角形，则k 的值为A ．－23 B.43C ．－23或113D ．－23、113或3±132答案：D解析：分三种情况：7．已知A(2,1)、B(6,7)，把向量按向量(3,2)平移后得到一个新向量，那么下面各向量中能与垂直的是 A ．(－3，－2) B ．(12，－13) C ．(－4,6) D ．(0，－2)答案：B8．平面向量a 、b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．12答案：B解析：由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12， ∴|a ＋2b |＝2 3.9．设A 、B 、C 、D 是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线．若(＋－2)·(－)＝0，则△ABC 是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案：A解析：可先把条件拼凑成能使用三角形法则的形式再求解．又∵A 、B 、C 三点不共线，∴△ABC 是等腰三角形．10．设a ，b ，c 是单位向量且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2答案：D解析：∵a ，b ，c 是单位向量且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝ 2.∴(a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －c ·b ＋c 2＝1－(a ＋b )·c＝1－|a ＋b ||c |cos 〈a ＋b ，c 〉＝1－2cos 〈a ＋b ，c 〉≥1－ 2.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，答案需填在题中横线上)11．若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________.答案：12解析：a ·a ＋a ·b ＝|a |2＋|a ||b |cos120°＝1＋(－12)＝12. 12．将一次函数y ＝mx ＋n 的图象C 按向量a ＝(2,3)平移后，得到的图象仍然为C ，则m 的值为______．答案：32解析：函数y ＝mx ＋n 的图象C 按a ＝(2,3)平移后所得图象的解析式为y －3＝m(x －2)＋n ，即y ＝mx －2m ＋n ＋3.由题设条件两图象重合，故y ＝mx －2m ＋n ＋3与y ＝mx ＋n 是同一函数． ∴－2m ＋n ＋3＝n.∴m ＝32. 13．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cosθ＝________. 答案：解析：令b ＝(x ，y)，由2b －a ＝(－1,1)，∴(2x,2y)－(3,3)＝(2x －3,2y －3)＝(－1,1)．∴x ＝1，y ＝2，即b ＝(1,2)．∴a ·b ＝9.由a ·b ＝|a ||b |cosθ，14．平面向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点，当·取到最小值时，的坐标为__________．答案：(4,2)三、解答题(本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求点D的坐标和向量.答案：解：设D(x0，y0)，16．设a＝(cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋t b(t∈R)，求：(1)a·b；(2)u的模的最小值．答案：解：(1)a·b＝cos23°cos68°＋cos67°cos22°＝cos23°cos68°＋sin23°sin68°＝cos(23°－68°)＝cos45°＝2 2.(2)∵|u|2＝(a＋t b)2＝|a|2＋t2|b|2＋2t a·b，|a|2＝cos223°＋cos267°＝cos223°＋sin223°＝1，|b|2＝cos268°＋sin268°＝1，∴|u|2＝1＋t2＋2t·22＝(t＋22)2＋12.当t＝－22时，|u|min＝22.17．已知a、b均为非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．答案：解：设a与b的夹角为θ.18．已知向量＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，定义f(x)＝·.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈(0,2π)，当·<－1时，求x的取值范围．答案：19．已知函数y＝－2x2＋8x－9，其图象按a平移后，得到的抛物线的顶点在y轴上，且在x轴上截得的弦长为4，求平移后的函数解析式及向量a的坐标．答案：解法一：设a＝(h，k)，平移后的函数解析式为y＝－2x2＋b，由题意可知其过点(2,0)，∴－2×4＋b＝0.∴b＝8.∴平移后的函数解析式为y＝－2x2＋8.设P(x，y)为平移前函数图象上的任意一点，其平移后的对应点为P′(x′，y′)，∴4h＋8＝0.∴h＝－2.又y′＝－2x′2＋k－1过点(2,0)．∴－8＋k－1＝0.∴k＝9.∴a＝(－2,9)，y′＝－2x′2＋8，即平移后的函数解析式为y＝－2x2＋8.。

高二数学平面向量的数量积及运算律练习

高二数学平面向量的数量积及运算律练习1．（1）已知2||=a ，1||=b ，a 与b 的夹角为 120，则=⋅b a __________．（2）已知4||=a ，1||=b ，4-=⋅b a ，则向量a 与b 的夹角为___________．2．（1）已知4||=a ，a 与b 的夹角为 30，则a 在b 方向上的投影为___________．（2）已知3||=a ，5||=b ，13=⋅b a ，则a 在b 上方向上的投影为___________．3．在平行四边形ABCD 中，已知4||=，3||=， 60=∠DAB ，则=⋅_______．4．（1）在ABC ∆中，已知4||=AB ，1||=AC ，ABC ∆的面积为3，则锐角=∠BAC ______， AC AB ⋅的值为________．（2）在△ABC 中，AB =a ，BC =b ，CA =c ，且|a |=3，|b |=2，|c |=4，则·+·+·的值为___________．5．在∆ABC 中，已知2||||==，且2=⋅AC AB ，则那个三角形的形状是 ___ ．6．下列四个命题：①若0 =-b a ，则b a =；②若0=⋅b a ，则0 =a 或0 =b ；③若R ∈λ，且0 =a λ，则0=λ或0 =a ；④对任意两个单位向量a ，b 都有1=⋅b a ．其中正确命题的序号是_______________．7．若 15sin 2||=a ， 15cos 4||=b ，a 与b 的夹角为 30，则b a ⋅的值为（）A ．23B ．3C ．32D ．21 8．假如c a b a ⋅=⋅，且0 ≠a ，那么（）A ．c b =B ．c b λ=C ．c b ⊥D ．c b ,在a 方向上的投影相等9．若a 、b 为非零向量，则“||||b a b a ⋅=⋅”是“a 、b 共线“的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．四边形ABCD 中，0=⋅，=，则四边形ABCD 是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形11．（选作）已知ABC ∆满足⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆的形状一定是________.12．（04上海春季高考）在ABC ∆中，有命题 ①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④参数答案：1、－12、 1803、324、513 5、－6 6、①③ 7、B 8、D 9、A 10、C 11、直角三角形 12、C。

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平面向量的数量积及运算律同步练习
一、选择题：
1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( )
A.－６
B.６
C.３
D.－３
2．若AP 31=PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( )
A ．41
B ．43
C ．34
D ．34
-
3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120︒，则-|a b|等于（）
A ．36
B ．12
C ．6
D ．36
4．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（）
A ．23
B ．3
C ．32
D ．21
5．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为（）
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（）
A ．0,24
B ．24,4
C ．16，0
D ．4，0
7．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （）
A ．7
B ．10
C ．13
D ．4
8．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅ （）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件
9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（）
A ．6π
B ．3
π C ．3
2π D ．65π
10．若向量 a 与b 的夹角为60 ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=- ,则向量a 的模为（）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12
11．设)41,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθ，且,20,||π
θ<<则θ为（）
A ．4π
B ．6π
C ．3π
D ．3π或6π
12．在ABC ∆中，5||,3||,415
,0,,===<∙==∆S ABC ，则,夹角为（
） A. 6π B. 3π C. 65π
D. 32π
二、填空题
13.命题①若b ≠0 ，且a ·b =c ·b ，则a =c ；②若a =b ，则3a ＜4b ;③(a ·b ) ·c =a ·(b ·c ),
对任意向量a ，b ，c 都成立；④a 2·b 2=(a ·b )2 ；正确命题的个数为____
14.向量a 、b 满足（a －b ）·（2a+b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b 夹角的余弦值等于
15.向量,,满足=++，且4||,1||,3||===，则∙+∙+∙＝
16．设))3
4sin(),34(cos()),32sin(),32(cos(
),sin ,(cos απαπαπαπαα++++C B A ，则OC OB OA ++＝
三、计算题 17. 已知向量a 与b 的夹角为θ，|a |=2，|b |=3，分别在下列条件下求a •b ，(1) θ=135o ;(2) a ∥
b ;(3)a ⊥b .
18.已知()2,1-=OA ，()m OB ,3=，若OA ⊥OB ，若OA ∥OB ，分别求出m 值。

19.已知向量|a |=3，|b |=4，且4)2()2(≥-∙+b a b a ，求a 与b 夹角θ的取值范围。

20.已知=++且7||,5||,3||===。

（1）求与夹角θ；（2）是否存在实数k ，使b 2－与a b a k +垂直？
21.向量b a b a -+2与互相垂直，向量b a b a +-22与互相垂直，求a 与b 夹角θ。

22.已知|a |=23，|b |=3，与夹角为︒45，求使向量++λλ与的夹角θ为锐角时，λ的取值范围。