第一章函数第5课时分段函数及映射
高中数学 1.2.2分段函数及映射课件 新人教版必修1
在它的定义域中， 对于自变量的不同 取值范围，对应关
系不同。
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
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探究点1 分段函数
所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分， 有不同的对应关系的函数.
注意 （1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B 为从集合A到集合B的一个映射。
注意 若对应是映射，必须满足两个条件：
①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应。
②A在B中所对应的元素是唯一的 。
x2 4x4, x 2
例2
画出函数
y
x 1, 2
x 2 图像.
y
yx24x4
x O2
y x 1 2
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3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内(含5公里)，票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里 的按5公里计算）. 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意， 写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.
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1.判断下列对应是否为映射？
a
e
b
f
c
g
是பைடு நூலகம்
a
e
b
f
c
g
d
不是
a
e
b
f
c
g
分段函数及映射 课件
问题 3 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的 条件“非空数集”扩展为“任意两个非空集合”，按照某种 法则可以建立起更为普遍的两集合的元素之间的对应关系， 即映射．那么，你能给映射下个定义吗？ 答 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定 的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中 都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个映射．
中 都有唯一 确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射 .
问题情境：某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步 前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人 距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎 样的解析式表示这一函数关系呢？为解决这一问题，本节我 们学习分段函数．
探究点二 分段函数 例 2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 公里以内(含 5 公里)，票价 2 元； (2)5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元(不足 5 公里按照 5 公里计算)． 如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程 之间的函数解析式，并画出函数的图象． 分析 1 函数的自变量是什么？如何设置变量？定义域的范围如何？ 答 自变量为里程，设票价为 y 元，里程为 x 公里，定义域为(0,20]．
跟踪训练 2 已知一个函数 y＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当 x∈[0,1] 时，对应关系为 y＝x，当 x∈(1,2]时，对应关系 y＝2－x，试用解 析法与图象法分别表示这个函数． 解 已知的函数用解析法可表示为 y＝x2，－xx∈，[x0∈，11，] 2] 用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图．
第5讲 函数的表示法及映射(基础)
函数的表示法及映射【学习目标】(1)掌握函数的表示法，能根据对应关系满足的条件，求函数的解析式；(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；(4)了解映射的概念，象与原象的概念，和一一映射的概念．【要点梳理】要点一、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点二、映射1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.要点三、关于分段函数应注意的几点（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数．（2）处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值应属于哪一个区间，以免因误用法则造成错误结果．（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域也是各段值域的并集．要点四、函数解析式的求法（1）若已知函数的结构形式，可用待定系数法求解．（3）已知(())f g x 得解析式，求()f x 的解析式用换元法．可令()g x t =，反解出x ，即用t 表示x ，然后代入(())f g x 中即求得()f t ，从而求得()f x ． 要点诠释：利用配凑法、换元法求解析式时一定要注意自变量的取值范围为所求函数的定义域．（4）已知()f x ，()g x 的解析式，求(())f g x 的解析式，用代入法，只需将()g x 替换()f x 中的x ． （5）方程组法（消去法），适用于自变量有对称规律，如：互为倒数（如()f x ，1()f x）；互为相反数（如()f x ，()f x -）的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．【典型例题】类型一、映射与函数例1．（1）试用列举法表示[]3,3-内的整数的绝对值；则零售量是否为月份的函数？为什么？例2. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→（5）A={0，1，2}，B={0，1，12}，对应法则是f ：x 1y x =→举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x； (2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|； (3)A=R ，B=R ，;x1x1y x :f -+=→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|； (5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|； (6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.例3．已知映射:f A B →中，{}(,)|,A B x y x R y R ==∈∈，:(,)(321,431).f x y x y x y →-++- （1）求A 中元素（1,2）的像； （2）求B 中元素（1,2）的原像．【变式1】如果(,)x y 在映射f 的作用下的像为(,)x y xy +，其中,x y R ∈，则(1,2)的像是 ，（2，－3）的原像是 ．类型二、函数解析式的求法 例4. 求函数的解析式(1)若2()2f x x x =+，求(21)f x +； (2)若2(1)21f x x +=+，求()f x ； (3)已知1()2()32f x f x x-=+，求()f x ．举一反三：【变式1】已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．【变式2】求下列函数的解析式（1）已知()f x 为二次函数，(0)2,f =且当1x =时()f x 取最小值1-，求()f x ； （2）函数()y f x =满足1()3(),f x f x x-=求()f x ．类型三、函数的图象例5.作出下列函数的图象.（1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211x y x +=-；（3）2|2|1y x x =-+．类型四、分段函数例6.函数22,1,(),12,2, 2.x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x =，则x 的值为（ ）．A ．1B ．1或32C．举一反三：【变式1】 已知2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()4f α=，则实数α=A ．-4或-2B ．-4或2C ．-2或4D ．-2或2【巩固练习】1．对于集合A 到集合B 的映射，有下述四个结论 ( )①B 中的任何一个元素在A 中必有原象； ②A 中的不同元素在B 中的象也不同；③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的； ④A 中任何一个元素在B 中可以有不同的象． 其中正确结论的个数是（ ）2．设,f g都是由A到A的映射，其对应法则如表1和表2所示：表1 映射f的对应法则表2 映射g的对应法则原像 1 2 3 4像 3 4 2 1则与((1))f g相同的是（）A．((1))g f B．((2))g f C．((3))g f D．((4))g f3．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(25，1) B．(1，3) C．(2，6) D．(-1，-3)4．函数222(03)()6(20)x x xf xx x x⎧-≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩的值域是（）A．R B．[)9,-+∞C．[]8,1-D．[]9,1-5．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )6．已知函数2,0(),()(1)0,1,0x xf x f a fx x>⎧=+=⎨+≤⎩若则实数a的值等于（）A．－3 B．－1 C．1 D．37．已知函数)(xfy=的图象关于直线1-=x对称，且当),0(+∞∈x时，有,1)(xxf=则当)2,(--∞∈x时，)(xf的解析式为（）A．x1-B．21--xC．21+xD．21+-x8．如图所表示的函数解析式是( )A.3|1|(02)2y x x=-≤≤ B.33|1|(02)22y x x=--≤≤C.3|1|(02)2y x x=--≤≤ D. 1|1|(02)y x x=--≤≤13(,),(1,3),(2,3)A B C-原像 1 2 3 4像 4 3 1 2为 。
分段函数的实际应用说课稿（共5则范文）
分段函数的实际应用说课稿（共5则范文）第一篇：分段函数的实际应用说课稿（共）“分段函数”说课稿映射一、说教材《分段函数》人教版《数学》必修1，第一章，第2节的内容--分段函数。
是一节应用性、实践性极强的课，既是初中“函数”知识的直接延伸，也是函数一般知识在生活中的具体运用，是解决生活中可转化为分段函数的数学问题，并将问题解决方式用来处理生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。
知识与技能目标：通过丰富的生活实例，体会函数的变量关系，理解分段函数的概念；会建立分段函数的解析式。
会求定义域和函数值；二、说学生学情三、说教学目标根据新课标的理念和学生已有的认知结构确定本课确定本节课的教学目标为：（1）知识与技能：让学生理解分段函数的含义，掌握用分段函数描述实际问题的方法。
（2）过程与方法：在教学过程中，将实际问题抽象为数学问题，通过探索、分析、解决，让学生学习到解决问题的一般方法。
（3）情感、态度与价值观：通过学习，让学生体验任务活动的探索过程，锻炼合理分析问题的意识，激发学习数学的兴趣，形成良好的合作学习态度。
本节课的教学重点是：分段函数概念理解；教学难点是：建立实际问题的分段函数关系四、说教法学法五、说教学过程（1）创设情境，导入新知本节课我先从复习函数的概念和函数的表示法的形式激发学生的学习兴趣和求职欲望，从而引出今天的新课。
（2）发现问题，探索新知通过多媒体展示例题，引导学生观察分析，逐步引出分段函数，归纳出分段函数的定义。
在此过程中让学生理解什么是分段函数，如何求分段函数的定义域和值域，如何画分段函数的图像。
通过课本上其它例题的学习让学生了解分段函数在现实生活中的应用，认识到我们所学的数学知识是与生活紧密相联系的。
再进一步通过多媒体展示更深层次的练习题让学生思考，巩固加深了对分段函数的理解。
认识到处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段从而选取相应的对应法则。
五、教学反思：本节课的教学，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。
分段函数及映射 课件
3.若函数f(x)=
x, x 0, x2, x 0,
则f(-2)=______.
【解析】∵-2＜0，∴f(-2)=(-2)2=4.
答案：4
1.对分段函数的三点认识 (1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对 应关系不一样. (2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由 函数定义中的唯一性决定的. (3)分段函数的图象应分段来作，它可以是一条平滑的曲线， 也可以是一些点、一段曲线、一些线段或曲线段等.作图时， 要特别注意各段两端点是用实点还是用空心圈表示.
(1)解题过程中，当字母参数的取值有多种可能时，
题
启
要分类讨论，求出参数的值后要注意验证.
示
(2)审题要细，考虑问题要全面，避免不必要的失误.
【规范训练】(12分)已知函数
f
x
4x
x
2
x x
0，若f(m)=16， 0，
求m的值.
【解题设问】(1)此题需要分类讨论吗？_需__要__
(2)m与0的大小关系是m__<__0_或__m__≥_0
分段函数的图象和综合应用 【技法点拨】
1.作分段函数图象的注意点 求作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定 着图象在分界点(关键点)处的断开或连接，断开时要分清断开 处是实点还是空心圈. 2.利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言； (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型； (3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.
【解题指导】
【规范解答】∵A中的元素x与B中的元素y=3x+1对应，……1分
∴A中的元素1，2，3，k对应B中的元素4,7,10,3k+1. ……3分
分段函数与映射 课件
又π>0,∴f(f(f(-3)))=f(π)=π+1,
即f(f(f(-3)))=π+1.
反思1.求分段函数的函数值,一定要注意所给自变量的值所在的
范围,再代入相应的解析式求得.
2.像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的顺序,层层处
(1)A,B为非空集合;
(2)有对应关系f;
(3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一确定的元素与之对
应.
(2)映射与函数的联系
名称
区别
与联系
区别
函数
函数中的两个集合 映射中的两个集合 A 和 B 可以是数
A 和 B 必须是非空 集,也可以是其他集合,只要非空即
数集
联系
映射
可
函数是一种特殊的映射;映射是函数概念的推广,但不一
理.
题型三
分段函数的图象及应用
【例 3】
如图所示,已知底角为 45°的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm,腰长
为 2 2 cm, 当垂直于底边BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯
形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x cm,试写出
左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式,并画出大致图象.
删去不要;③这两部分图象合起来就是所要画的分段函数的图象(如
图所示).
由此可得,画分段函数
1 (),∈1 ,
y= (),∈ , (D1,D2,…,两两的交集是空集) 的图象的步骤
2
2
……
为:
①画整个函数 y=f1(x)的图象,取其在区间 D1 上的图象,其他部
分段函数与映射 课件
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(2)当 a≤－2 时，a＋1＝3，即 a＝2>－2，不合题意，舍去．当 －2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0.
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(2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合 A，B均为__非_空__数__集___时，从A到B的映射就是函数，所以函数 一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
[归纳总结] 函数新概念，记准三要素；定义域值域，关 系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常 见；函数变映射，只是数集变；不再是数集，任何集不限．
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[解析] (1)集合A中的3，在f作用下得0，但0∉B，即3在集 合B中没有相对应的元素，所以f不是从集合A到集合B的映射．
(2)对于集合A中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于 集合A中任意一个负数都唯一对应元素0，所以f是从集合A到集 合B的映射．
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2．映射 (1)定义：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某 一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_任__意_一__个____元素x， 在集合B中都有唯__一_确__定_____的元素y与之对应，那么就称对应f： A→B为从集合_A__到集合_B__的一个映射． [归纳总结] 满足下列条件的对应f：A→B为映射： (1)A，B为非空集合； (2)有对应法则f； (3)集合A中的每一个元素在集合B中均有唯一元素与之对 应．
(人教a版)必修一同步课件：分段函数及映射
二、映射
非空
唯一确定 从集合A到集合B
思考：映射与函数有什么区别与联系?
提示：区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其他集
合，函数中集合A，B必须是数集.
联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广 .
【知识点拨】
1.对分段函数的认识
1 , x∈A,y∈B. x x
上述三个对应关系中，是映射的是______，是函数的是______.
【解析】1.选D.由函数的定义可知，对于A，0∈R,且|0|=0∉B,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故A不是A到B的函数；对于B，0∈Z,且02=0∉N*,故B不是A到B的函数
对于C，当x＜0时，如-2∈Z,但
无意义，故 C不是A到B的 2
类型 一
分段函数求值问题
【典型例题】
x 2 1 ，x 1, 1.(2012·江西高考)设函数 f x 2 则f(f(3))=( ) ，x＞1, x A.1 B.3 C. 2 D. 13 5 3 9 x, x 0, 2.(2013·温州高一检测)设函数 f x 若f(a)=4,则 2 x , x＞0,
b b 可能对应集合N中的2或0，当 对 a a
b a
b =1,则b=2,此时M中有两个相同元素，不合适，故 a b b b=2应舍去，当 对应0时，则 =0,则b=0，此时M={0,1}，符 a a
合题意，综上可知a=2,b=0,即a+b=2.
映射与函数的关系 【典型例题】 1.下列对应为A到B的函数的是( )
探究提示：
1.已知函数图象,一般用待定系数法求其函数解析式.
2.本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段
分段函数及映射课件新人教A版必修
1.通过具体实例，了解简 1.分段函数求值．(重
单的分段函数，并能简单 点)
应用.
2.对映射概念的理解
2.了解映射的概念.
．(难点)
•1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.
•解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．
•(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以 其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－ x上．(这样的点叫做整点)
多的情况．只能是“多对一”或“一对一”形 式．
•【错解】 (1)、(2)、(3)、(4)
•(2)如图所示．
•在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分， •在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分， •在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分 ． •图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象． •(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值 为6.
•[题后感悟] (1)分段函数求值，一定要注意 所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析 式求得． •(2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由 里到外”的顺序，层层处理．
•①令每个绝对值符号内的式子等于0，求出 对应的x值，设为x1，x2； •②把求出的x值标在x轴上，如图． •③根据x值把实轴所分的部分进行讨论，分 x≤x1，x1＜x≤x2，x≥x2.
•(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首 先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函 数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不 一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应 点的实虚之分．
•4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个 图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关 系的有( )
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数与映射课件
A.0
B.π
C.π2 D.9
解析:f(f(-3))=f(0)=π.
答案:B
||
2.函数 f(x)=x+ 的图象是(
||
解析:f(x)=x+
答案:C
)
)
+ 1, > 0,
=
是分段函数.
-1, < 0
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
3.已知A=R,B={x|x≥1},映射f:A→B,且A中元素x与B中元素y=x2+1
解:(1)函数 y=
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
反思感悟 1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,
所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也
可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对
应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,第一根据绝对值的意义去
通过图象得出实数根的个数.但要注意这种方法一般只求根的个数,
不需知道实数根的具体数值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
当堂检测
变式训练 讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(a∈R)的实数解的个数.
解:作函数y=|x2-4x+3|及y=a的图象如图所示,
方程|x2-4x+3|=a的实数解就是两个函数图象的交点(纵坐标相等)
自己的身高;
③A={非负实数},B=R,f:x→y= 3 .
A.0个 B.1个 C.2个D.3个
分段函数及映射 课件
(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所 以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射．
(4)跃华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即 与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应 f：A→B 不是从集合 A 到集合 B 的一个映射．
归纳升华 1．映射是一种特殊的对应，具有方向性：映射是有次 序的，一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的． 2．唯一性：集合 A 中的任意一个元素在集合 B 中都有 唯一元素对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根 据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函 数，然后分段作出函数图象．
类型 3 映射的概念
[典例 3] 以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射？
(1)集合 A＝{P|P 是数轴上的点}，集合 B＝R，对应 关系 f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
答案：(1)C (2)－5 3
归纳升华 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在
的范围，代入相应的解析式求解． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，
可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分 段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范 围，确定解析式后再求解．
类型 2 分段函数的图象及应用 [典例 2] 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．
x－x 解：(1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋ 2 ＝1，
－x－x 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋ 2 ＝1－x.
1，
分段函数与映射 课件
知识点二 映射 映射的定义：设A、B是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的对应关 系f，使对于集合A中的 任意一个 元素x，在集合B中都有 唯一确定 的元 素y与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射. 思考 函数与映射有何区别与联系？ 答 函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射， 但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数.
题型一 分段函数求值 x＋1，x≤－2，
例 1 已知函数 f(x)＝x2＋2x，－2＜x＜2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，f[f(－52)]的值； 解 由－5∈(－∞,－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞,－2]，知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
题型四 求某一映射中的像或原像
例4 设f：A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，
y)→(x－y，x＋y).
(1)求A中元素(－1,2)的像；
解 A中元素(－1,2)在B中对应的元素为(－1－2，－1＋2)，即A中元素(－1,2)
的像为(－3,1).
(2)求B中元素(－1,2)的原像.
从B到A可以建立9个映射，如图所示.
(2)若f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则从A到B的映射中满足条件的映射有几个？ 解 欲使f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，需a，b，c中有两个元素对应－1，一个元 素对应2，共可建立3个映射. 反思与感悟 1.如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集 合A到集合B的映射共有nm个，从B到A的映射共有mn个. 2.映射带有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的.
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3 3 3 【自主解答】 (1)∵－1< <2，∴f( )＝2× ＝3. 2 2 2 3 9 又 3>2，∴f(f( ))＝f(3)＝ . 2 2 (2)当 a≤－1 时，由 f(a)＝2，得 a＋2＝2，a＝0，舍去； 当－1<a<2 时，由 f(a)＝2，得 2a＝2，a＝1； a2 当 a≥2 时，由 f(a)＝2，得 ＝2，a＝2 或 a＝－2(舍去)． 2 综上所述，a 的值为 1 或 2.
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一、复习：
2、判断正误：
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× (2)、已知 f ( x) x 1， 则f ( f (1)) 2 × (3)、若f ( x) 3x 2 x 1，g ( x 1) f ( x), 则g (2) 0 √
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A
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例 如图所示的对应中，哪些是A到B的映射？ （2） 一 箭 多 雕 型
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判断 B
A
单
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练习2 下列对应关系中，哪些是A到B的映射？ 下列对应关系中，哪些是A到B的函数？ 1．A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3}, f:x→x的平方根； 2．A=R，B=R，f:x→x的倒数； 3．A=R，B=R，f:x→x2-2； × × √
4．A={平面内周长为5的所有三角形}， √ × B={平面内所有点}， f:三角形→三角形的外心．
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(2)难点的解决：在映射概念引入时，可先从学生熟悉的 对应入手，选择一些具体的生活例子，然后列举一些数学例 子，分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学 生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的 对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认 识从感性认识到理性认识，体会出映射是函数的推广，函数 是一种特殊的映射．
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1. 若题目是含有多层“f”的问题， 要按照“由里到外”的 顺序，层层处理． 2. 分段函数的求值策略．
f:三角形→三角形的外心． 答：一般地，设A，B是两个非空的数集 答：函数概念中对集合A，B要求是非
，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每 空数集，而上述问题中A为平面内周长为5 一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和 的所有三角形，B为平面内所有点，A和B都
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练习1 如图所示的对应是否为A到B的映射？
a
c
A
1 2
B
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判断
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“一箭多雕”型＋“众矢之的” 型
单
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函数是特殊的映射！
函数：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 函数 A，B是两个非空的数集 数集之间的映射就是函数！
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f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对
应，这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y=f(x)．
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3 3 【思路探究】 (1) 求f（ ） → 求f（f（ ）） 2 2 (2)就(a)的取值范围分三种情形分别求解．
【问题导思】 在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应 关系．比如：国内跨省市之间的邮寄信函，每封信函的重量 和对应邮资如下表：
信函重量 m/g 0<m ≤20 20<m 40<m 60<m 80<m ≤40 1.60 ≤60 ≤80 ≤100 2.40 3.20 4.00
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邮资 M/元 0.80
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●重点难点 重点：分段函数的概念． 难点：分段函数的表示及映射的概念 (1)重点的突破：首先以两个例题为依据，通过学生的研 习，组内讨论等活动，让学生先从感性上认识分段函数， 再 结合生活中的其他实例充分理解分段函数是一个函数，而不 是几个函数．最后通过习题，利用师生合作探究的方式，让 学生掌握分段函数问题的解法，在此过程中培养学生分析问 题和归纳总结的能力，强化训练学生数形结合、分类讨论的 思想意识，突出重点的同时化解分段函数的表示这一难点．
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分段函数求值
x＋2，x≤－1， 2x，－1<x<2， 已知函数 f(x)＝ 2 x 2 ，x≥2. 3 (1)求 f(f( ))的值； 2 (2)若 f(a)＝2，求 a 的值．
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映射 设 A、B 是两个 非空 的集合，如果按某一个确定的对应 关系 f，使对于集合 A 中的 任意一个 元素 x，在集合 B 中都 有 唯一确定 的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个映射．
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第 3 课时
分段函数及映射
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例 如图所示的对应中，哪些是A到B的映射？ （1） 一 箭 一 雕 型
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√
判断 B
2
(1)、y x 1 x 1 与 y x 2 1 是同一函数；
2
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分段函数
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例 如图所示的对应中，哪些是A到B的映射？ （4） 引 而 不 发 型
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判断 B
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如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同 的 取值范围 为分段函数． ，有着不同的 对应关系 ，则称这样的函数
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函数 A．1
f（x－1），x>0， f(x)＝ 则 x，x≤0，
f(1)的值为(
)
B．2
C．3
D．0
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邮资 M 是信函重量 m 的函数吗？若是，其解析式是什 么？
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