流体流动02-(静力学方程式及应用+连续性方程)

3. 容器里的液面高度可根据压差计的读数 R求得。液面越高，
2. 平衡器里的液面高度维持在容器液面容许到达的最大高度处。
读数越小。当液面达到最大高度时，压差计的读数为零。
例 2 为了确定容器中石油产品的液面，采用如附图所示的装置。 压缩空气用调节阀1调节流量，使其流量控制得很小，只要在鼓
泡观察器 2内有气泡缓慢逸出即可。因此，气体通过吹气管 4的 流动阻力可忽略不计。吹气管内压力用U管压差计3来测量。压 差计读数 R的大小，反映贮罐 5 内液面高度。指示液为汞。 1、 分别由a管或由b管输送空气时，压差计读数分别为 R1或R2，试 推导R1、R2分别同Z1、Z2的关系。 2、当（ Z1 － Z2）＝ 1.5m， R1＝ 0.15m， R2＝0.06m时，试求石 油产品的密度ρP及Z1。已知Hg密度为13600kg/m3。
该液柱在垂直方向上受到的作用力有: （1）作用在液柱上端面上的总压力P1 P1= p1 A （N） （2）作用 在液柱下端面上的总压力 P2 P2= p2 A （N） （3）作用于整个液柱的重力G G =gA（Z1-Z2） （N）
由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三 个作用力的合力为零， 即 ： p1 A+ gA（Z1 - Z2）–p2 A = 0 令： h= （Z1 -Z2） 整理得： p2 = p1 + gh 若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压 强为 p0 ； 则： p0 = p1 + gh 以上二式均称为流体静力学基本方程式，它 阐明了静止流体内部任一点流体静压力的大小与 其位置的关系。
扩张室：扩张室的截面积远大于U型管截面积（直径比1：10以
上），当读数R变化时，两扩张室中液面不致有明显的 变化。
按静力学基本方程式可推出:
P1－P2＝Δ P＝Rg（ρ a－ρ b）
2、液位测定
1—容器；2—平衡器的Fra bibliotek室；3—U形管压差计
说明：
1. 图中平衡器的小室2中所装的液体与容器里的液体相同。
即：
dp gdz
当流体不可压缩，积分上式，得到：
p gz 常数
或： p

gz 常数
上式表明:不可压缩流体处于静止状态时，其内部任 何一处的静压能与势能之和为常数。
流体静力学基本方程式 方程推导-2
设：敞口容器内盛有密 度为的静止流体， 取任意一个垂直流体 液柱，上下底面积均 为Am2。 作用在上、下端面上并 指向此两端面的压力
注意事项：
1.只能应用于静止的、连通的、同一种连续流体。 2.当气体密度随温度、压强变化可忽略时，方程适 用。
三、流体静力学基本方程式的应用 1、压力测量 （1） U型管液柱压差计 （U-tube manometer）
指示液密度ρ0，被测流体密度 为ρ，图中a、b两点的压力是相 等的，因为这两点都在同一种静 止液体（指示液）的同一水平面 上。通过这个关系，便可求出p1 －p2的值。
（4）
p2 p1 hρρ 或
p 2 p1 h g
说明压强差的大小也可利用一定高度的液体柱来 表示。（需说明是何种液体） （5）整理得：
z1 g
p1

z2 g
p2

也是静力学基本方程的表达式
（6）方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可 压缩性的气体，只适用于压强变化不大的情况。
1、定态流动和非定态流动
定态流动：流体在管道中流动时，在任一点上的流速、压
力等有关物理参数都不随时间而改变。
k f (x, y, z)
非定态流动：若流动的流体中，任一点上的物理参数，有
部分或全部随时间而改变。
k f (x, y, z, )
2、流线与流管
流线属性：
描述同一瞬间流场中不同质点流速变化的曲线（不同于轨迹线） 流线上任一点的切线方向代表流经该处流体质点速度方向； 流线互不相交； 流体质点流动时不能穿越流线。
操作的安全。 （2）防止气柜内气体泄漏。 若设备要求压力不超过 P1（表 压），按静力学基本方程式，则
水封管插入液面下的深度h为
h
H O g
2
p1
第三节 流体在管内的流动 ——柏努利方程及其应用
反映管内流体流动规律的基本方程式有：
连续性方程
柏努利方程
本节主要围绕这两个方程式进行讨论。
一、流动过程与基本概念
ρ(
28.9 22.4
)(
273 273 120
)( ) 1.79kg/m
2 1
3
依式（1-17），得质量流速
G ρu 1.79 14.54 26.03kg/m
3
例 某厂要求安装一根输水量为30m3/h的管道，试选 择合适的管径。
解：管内径为
d
体1.5-3.0 )
VS 0.785u
根据流体静力学基本方程式则有： U型管右侧
U型管左侧
pa＝p1+(m+R)ρg pb＝p2+mρg+Rρ0g
pa＝pb
p1－p2＝R（ρ0－ρ）g
测量气体时，由于气体的 ρ 密度比指示液的密度 ρ0 小得多， 故ρ0－ρ≈ρ0，上式可简化为
p1－p2＝Rρ0g
下图倒U型管压差计。该压差计利用被测量液体本身作为指示液
当流体不可压缩，在静止流体中任取2点, 则有：
p1

gz1
p2

gz2
表明:不可压缩流体处于静止状态时，其内部任意一 处的静压能与势能之和等于任意另一处的静压能与势能 之和。
或有：
g ( z1 z2 )
p2 p1

上式表明:不可压缩流体处于静止状态时，其势能的减 少必导致其静压能的等额增加。
选取水在管内的流速u＝1.8m/s (自来水1-1.5, 水及低粘度液
工程上常用的无缝钢管规格





DN15（φ20×2.5），俗称6分管（英制） DN20（ φ25×2.5 ），俗称8分管（英制） DN25（ φ32×3 ），俗称1寸管（英制） DN32（ φ45×3.5 ） DN50（ φ57×3.5 ） DN65（ φ76×4 ） DN100（ φ108×4 ） DN125（ φ133×5 ） DN150（ φ159×5 ） DN200（ φ219×6 ） DN250（ φ273×7 ）
上式称为连续性方程式。 若流体不可压缩，ρ＝常数，则上式可简化为
Au＝常数 通常情况下，液体均可按不可压缩液体进行处理。 流体流速与管道的截面积成反比。
对于圆形管道，有
4
或
d u d u
2 1 1
4
2 2 2
u1 u2
(
d2 d1
)
2
式中d1及d2分别为管道上截面1和截面2处的管内 径。不可压缩流体在管道中的流速与管道内径的平方 成反比。
VS V ( )( ) 630
T S 0 T0 p0 p
273 120 273
453m /h
1 2 3
平均流速
u
2 0.785d
VS
435/3600 2 105 ) 0.785 ( 1000
14.54m/s
取空气的平均分子量为Mm=28.9，则实际操作状 态下空气的密度为
（2） 斜管压差计（inclined manometer ）
当被测量的流体压力或压差不大时，读数R必然很小，为得 到精确的读数，可采用如图所示的斜管压差计。
R＇＝R/sinα
式中α为倾斜角，其值愈小，R‘的读数愈大。
（3） 微差压差计（two-liguid manometer ）
构造如图所示： 指示液：两种指示液密度不同、互不相容；
p dz gdz z
同理：
x方向：
y方向：
p dx 0 x
或： p dx 0 x
p dy 0 y
p dy 0 y
将流体在三方向的平衡 微分方程合并 ： p p p dz dy dx gdz z y x
p p p dz dy dx gdz z y x
流管：由流线组成的管状表面。
3、流量与流速
（1）体积流量 （volumetric flow rate）
单位时间内流体流经管道任一截面的体积，以VS表示，其
单位为m3/s。
（2）质量流量 (mass flow rate)
单位时间内流体流经管道任一截面的质量，以wS表示，其
单位为kg/s。
ws =ρVS
若取液面及液下任一点，则有：
p p0 g ( z0 z)
方程意义： 表明了重力场中静止流体内部压强的变化规律。
1.压强与深度有关
2.压强可传递
静力学基本方程的讨论
（1）在静止的液体中，液体任一点的压力与 液体密度和其深度有关。 ρ ; h ; p （2）在静止的、连续的同一液体内，处于同 一水平面上各点的压力均相等。此压力相 当的面，称为等压面。 （3）当液体上方的压力有变化时，液体内部 各点的压力也发生同样大小的变化。
解 （1）在本例附图所示的流程中，由于空气通往石油产品时， 鼓泡速度很慢，可以当作静止流体处理。因此可以从压差计读
数R1，求出液面高度Z1，
管道中充满空气，其 密度较小，近似认为
B
而
A
所以
所以，有如右 式的关系
Hg z1 R1 p
Hg z 2 R2 p
（a）
（b）
（2）将式（a）减去式（b）并经整理得
（3）平均流速 (average velocity) u, m/s
单位时间单位截面积流过的流体体积，以u表示，其单位为m/s。
VS ws u A A