考研真题【2003-2017考研数(三)真题及详解】2015考研数学三真题及答案解析

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及详解

D1 (r , ) 0 , 0 r 2sin 4 D2 (r , ) , 0 r 2cos 4 2
所以

D
f ( x, y)dxdy 4 d
0

2sin
0
f (r cos , r sin )rdr 2 d
(8) 设总体 X ~ B m, , X1 , X 2 , 值,则 E X i X (A)
, X n 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均
n i 1

2
(
) (B) m n 1 1 (D) mn 1
m 1 n 1
判别法可得
n
n 1

n!
n
收敛；
(1)n 1 (1)n 1 (1) n 对于选项 C，，根据莱布尼茨判别法知收敛， ln n n 1 n 1 ln n n 1 ln n n 1 ln n
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d (e x2 y 3 z xyz) e x2 y 3 z d ( x 2 y 3z ) d ( xyz ) e x2 y 3 z (dx 2dy 3dz ) yzdx xzdy xydz 0
把 x 0 ， y 0 ， z 0 代入上式，得 dx 2dy 3dz 0 所以 dz (0,0) dx
【解析】原极限 lim
x 0
(10)设函数 f ( x) 连续， ( x)

x2
0
xf (t )dt , 若 (1) 1, (1) 5, 则 f (1) ________ .

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题（本题共6小题，每题4分，满分24分．把答案填在题中横线上．）（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1cos )(x x xx x f λ其导函数在0=x 处连续，则λ的取值范围是_________．【答案】λ>2【考点】分段函数的导数、函数连续的概念、无穷小量的性质【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①分段函数求导时，函数连续部分可直接对函数求导，间断点处的导数需要用导数的定义来求； ②导函数也是函数，函数连续需要满足该处极限值与函数值相等； ③有界函数与无穷小的乘积是无穷小，与无穷大的乘积是无穷大；解析:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=--≠+=--+='-→→→---,01cos lim 001cos lim 0)0()(lim ,01sin 1cos )1)(1sin (1cos )(20002121x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x f x x x λλλλλλλλ)(x f ' 在0=x 处连续，∴)(lim 0x f x →与)0(f 都存在且相等，当0→x 时，x 1cos、x1sin 均为有界函数， ∴若要)1sin 1cos (lim )(lim 2100xx x x x f x x --→→+='λλλ存在，必有0lim ,0lim 2010==-→-→λλλx x x x ，01>-∴λ且02>-λ，即2>λ，同理，若要xxx 1coslim 2-→λ存在，必有0lim 20=-→λxx ，即2>λ，此时，0)0()(lim 0==→f x f x综上，λ的取值范围是2>λ．（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为2b ＝_________．【答案】4a^6【考点】平面曲线的切线【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①曲线在切点的斜率为0，即0='y ； ②切点还应满足曲线方程；解析:由题设，在切点处有0332200=-='=a x y x x ，所以.220a x =又在此点y 坐标为0，即b x a x +-=023030,故.44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=（3）设0>a ，⎩⎨⎧≤≤==,,0,10,)()(其他x a x g x f 而D 表示全平面，则⎰⎰=-=Dy x x y g x f I d d )()(_________．【答案】a^2【考点】二重积分的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可；②直接坐标系下，二重积分的运算，可根据被积区域属于X 型还是Y 型来选择适当的方法进行计算；解析: 只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，212101210,102])1[()()(a dx x x a dy dx a dxdy a dxdy x y g x f I x xx y x D=-+===-=∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+≤-≤≤≤.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T TaE B E A αααα1,+=-=, 其中A 的逆矩阵为B ，则=a _________．【答案】1-【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算【难易度】★★【详解】解析:)1)((T TaE E AB αααα+-= T T T Ta a E αααααααα⋅-+-=11 TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a aE αααααα21-+-=E aa E T=+--+=αα)121(,于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 已知0a < ,故1a =-.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为9.0，若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为_________．【答案】9.0【考点】协方差的性质、相关系数的性质【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点：①),cov()4.0,cov(),cov()4.0,cov(),cov(X Y Y X Y X Y Z Y =+=+=； ②相关系数是指随机变量间的线性相关程度；解析:方法1 9.0),(),(=====XY YX YZ DXDY X Y Cov DZ DY Z Y Cov ρρρ方法2 b aX Z +=，若1=a ，则Z 与X 正线性相关，所以Y 与Z 的相关系数与Y 与X 的相关系数相等.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，211i n i n X n Y ∑==依概率收敛于_________．【答案】1/2【考点】常用分布的数字特征、大数定律【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①X 服从参数为λ的指数分布，则21)(,1)(λλ==X D X E ；②一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值；解析:22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，则根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于21]41)21[(1])[(11)1()(12121212=+=+===∑∑∑∑====n i n i i i n i i n i i n n DX EX n EX n X n E Y E .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）（1）设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0('f 存在，则函数xx f x g )()(=（）（A ）在0=x 处左极限不存在．（B ）有跳跃间断点0=x ．（C ）在0=x 处右极限不存在．（D ）有可去间断点0=x ．【答案】D【考点】函数间断点的类型、导数的概念【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①导数的定义公式000)()(lim)(0x x x f x f x f x x --='→；②可去间断点的定义：左右极限存在且相等，但不等于函数值或函数在该点没有定义；解析:显然0x =为()g x 的间断点，且由()f x 为不恒等于零的奇函数知，(0)0f =.于是有)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故0x =为可去间断点. （2）设可微函数),(y x f 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是（）（A ）),(0y x f 在0y y =处的导数等于零．（B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零．（C ）),(0y x f 在0y y =处的导数小于零．（D ）),(0y x f 在0y y =处的导数不存在．【答案】A【考点】全微分存在的必要条件【难易度】★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①可微必有偏导数存在；②多元函数取极值的必要条件：0),(,0),(0000='='y x f y x f yx ；解析:可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零.（3）设2||n n n a a p +=，2||n n n a a q -=，n ＝2,1…，则下列命题正确的是（）（A ）若n n a∑∞=1条件收敛，则nn p∑∞=1与n n q∑∞=1都收敛．（B ）若n n a∑∞=1绝对收敛，则n n p ∑∞=1与n n q∑∞=1都收敛．（C ）若n n a∑∞=1条件收敛，则nn p∑∞=1与nn q∑∞=1的敛散性都不定．（D ）若n n a∑∞=1绝对收敛，则nn p∑∞=1与n n q∑∞=1的敛散性都不定．【答案】B【考点】绝对收敛与收敛的关系、收敛级数的基本性质【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： ①如果级数∑∞=1n nu各项的绝对值所构成的正项级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu绝对收敛；如果级数∑∞=1n nu收敛，而级数∑∞=1n nu发散，则称级数∑∞=1n nu条件收敛；②如果级数∑∞=1n nu绝对收敛，则级数∑∞=1n nu必定收敛；③如果级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv分别收敛于和s 、δ，则级数∑∞=±1)(n n nv u也收敛，且其和为δ±s ；解析:∑∞=1n n a 绝对收敛，即∑∞=1n n a 收敛，当然也有级数∑∞=1n n a 收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）（A ）b a =或02=+b a ．（B ）b a =或02≠+b a ．（C ）b a ≠且02=+b a ．（D ）b a ≠且02≠+b a ．【答案】C 【考点】矩阵的秩【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①(2)n n ≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A *的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r②若n 阶矩阵A 不满秩，则必有0=A ;解析:方法1 根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系知，秩(A )=2，故有2(2)()0a b bb a b a b a b b b a=+-=，即有02=+b a 或a b =. 但当a b =时，显然秩(A)2≠, 故必有 a b ≠且02=+b a . 方法2 根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系知，秩(A )=2 将A 作初等行变换00a b b ab b A b a b b a a b b b a b a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当a b =时，不合题意（排除(A)\(B)）故a b ≠201100100101001ab b a b b a b b b A b a a b b a a b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦故02=+b a ，且a b ≠时，秩(A )=2.（5）设n ααα 21,均为n 维向量，下列结论不正确．．．的是（）（A ）若对于任意一组不全为零的数s k k k 21,，都有0221≠+++s s k k k ααα ，则s ααα 21,线性无关．（B ）若s ααα 21,线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k 21,，有0221=+++s s k k k ααα ．（C ）s ααα 21,线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ．（D ）s ααα 21,线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．【答案】B【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】★★【详解】解析:(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα 不成立. (C)s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，成立. (D)s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，成立. （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1＝{掷第一次出现正面}，A 2＝{掷第二次出现正面}，A 3＝{正、反面各出现一次}，A 4＝{正面出现两次}，则事件（）（A ）A 1，A 2，A 3相互独立．（B ）A 2，A 3，A 4相互独立．（C ）A 1，A 2，A 3两两独立．（D ）A 2，A 3，A 4两两独立．【答案】C【考点】事件的独立性【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①B A ,两事件相互独立的充要条件为：)()()(B P A P AB P = ②,,A B C 三事件相互独立的充要条件为：1）,,A B C 两两相互独立；2）)()()()(C P B P A P ABC P =. 解析:方法1 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且41)(21=A A P ， 41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立.方法2 由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立. 可见（A ）（B ）必不正确，因为如果（A ）（B ）正确，则（C ）（D ）必也正确，但正确答案不能有两个因此只要检查（C ）和（D ）{}{}{}{}{}2342341110244P A A A P P A P A P A φ==≠=,432,,A A A 不两两独立.三、（本题满分8分）设)1(π1πsin 1π1)(x x x x f --+=，)1,21[∈x 试补充定义f （1）使得f （x ）在]1,21[上连续．【考点】函数连续的概念、函数左极限与右极限的概念【难易度】★★★【详解】解析:])1(π1πsin 1π1[lim )(lim 11x x x x f x x --+=--→→π1)π()π(61lim π1πtsin ππt sin πlim π1]π1πt sin 1[lim π1]π1πt)πsin(1[lim π11])1(π1πsin 1[lim π12300001=+=-+=-+=--+-=--+=++++-→→→→→t t t t t t x t x x t t t t x 由于()f x 在)1,21[上连续，因此定义 π1)1(=f ，使()f x 在]1,21[上连续.四、（本题满分8分）设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又2(21,[),(x xy f y x g =)]2y -，求 2222y gx g ∂∂+∂∂.【考点】多元复合函数的求导法【难易度】★★★ 【详解】解析:vfx u f y x v v f x u u f x g ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，vf y u f x y v v f y u u f yg ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂∴2222222222， vf v f y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2222222222， 12222=∂∂+∂∂vfu f ， 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂∴=.22y x + 五、（本题满分8分）计算二重积分y x y x I y x Dd d )sin(e22)π(22+=-+-⎰⎰，其中积分区域}π|),{(22≤+=y x y x D ．【考点】二重积分的计算【难易度】★★★ 【详解】解析:y x y x I y x Dd d )sin(e22)π(22+=-+-⎰⎰dxdy y x eeDy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 20022dr r red e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则dt t e d e I t ⎰⎰-=πππθ200sin 21.记tdt e A t sin 0⎰-=π，则0sin t t A e tde π--=-⎰=]cos sin [0⎰----ππtdt e te t t=⎰--πcos ttde =]sin cos [0tdt e te t t⎰--+-ππ=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ， ⎰+=+=+=--ππππππππθ20).1(2)1(2)1(2121e e e d e e I).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六、（本题满分9分）求幂级数)1|(|2)1(121<-+∑∞=x n x nnn 的和函数)(x f 及其极值．【考点】幂级数的和函数、函数的极值【难易度】★★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.解析: 等式21()1(1)(1)2nnn x f x x n ∞==+-<∑两边求导得212212211()(1)(1)(1).1nn nn n n n n n xf x xx xx x x∞∞∞--+==='=-=-=-=-+∑∑∑ 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰由(0)1f =, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f令0)(='x f ，求得唯一驻点0x =. 由于2221()10,(1)x f x x -''=-=-<+01)0(<-=''f ，所以()f x 在0x =处取得极大值，且极大值为(0)1f = 七、（本题满分9分）设)()()(x g x f x F =，其中函数)(),(x g x f 在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='且0)0(=f x e x g x f 2)()(=+．（1）求)(x F 所满足的一阶微分方程；（2）求出)(x F 的表达式．【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q Ce y dx x p dx x p )()()( 解析:（1）由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +2[()()]2()()f x g x f x g x =+-=2(2)2()x e F x -可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2xe x F x F =+' 相应的初始条件为(0)(0)(0)0Ffg ==.（2）]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰- =]4[42C dx e e x x +⎰- =.22x x Ce e -+将(0)0F =代入上式，得1C =- 所以.)(22x x e e x F --= 八、（本题满分8分）设函数)(x f 在]3,0[上连续，在)3,0(内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f ．试证必存在)3,0(∈ξ，使0)(='ξf ．【考点】罗尔定理、介值定理【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①介值定理推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值； ②罗尔定理如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续（2）在开区间),(b a 内可导（3）在区间端点处得函数值相等，即)()(b f a f = 那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得0)(='ξf .解析: ()f x 在]3,0[上连续，所以()f x 在]2,0[上连续，且在]2,0[上必有最大值M 和最小值m ，∴M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(. ∴.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为)3(1)(f c f ==, 且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中01=/∑=ini a试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．【考点】齐次线性方程组解的判定【难易度】★★★ 【详解】解析:方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a b a n n n n ++++=321321321321||A bbb bb ba a ab a n000000321---+= bb b a a a b an i00000032∑+=).(11b a b ni i n +=∑=-（1）当0≠b 且01=/+∑=b aini 时，0≠A ，方程组仅有零解．（2）当0=b 时，原方程组的同解方程组为02211=+++n n x a x a x a ．由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当i n i a b ∑=-=1时，由01=/∑=ini a知b ≠0，系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni in ni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由于秩1)(-=n A r ，则0=Ax 的基础解系是T)1,,1,1( =α．十、（本题满分13分）设二次型),0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为－12．（1）求b a ,的值；（2）利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．【考点】矩阵的特征值的性质、用正交变换化二次型为标准形【难易度】★★★★ 【详解】解析:（1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得1,2a b ==-. (2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]1232105501012055Q ηηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X QY =下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=;,0],8,1[,31)(32其他x x x f )(x F 是X 的分布函数，求随机变量)(x F Y =的分布函数．【考点】连续型随机变量分布函数的计算【难易度】★★★ 【详解】解析:当1x <时，()0F x =; 当8x > 时，()1F x =.对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数. 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1. 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为)(y f ，求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g ．【考点】多个相互独立随机变量简单分布函数的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：①求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率.②两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算解析:设()F Y 是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U X Y =+的分布函数为}{}{)(u Y X P u U P u G ≤+=≤==}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{G u P Y u P Y u =≤-+≤-=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F由此,得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g=).2(7.0)1(3.0-+-u f u f。

2015考研数学三真题

2015考研数学三真题（正文）2015考研数学三真题一、选择题1. 设函数f(x) = x^2 + bx + c，其中b，c为常数，且对任意实数x满足f(x)f(x + 1) ≤ 0，那么f(x) = 0的一个实根的取值范围是（）A. (0, ∞)B. (–∞, 0)C. (–∞, 1] ∪ (0, ∞)D. [0, 1]E. [–1, 0]分析：根据题意，只需找到一个实根即可。

对于f(x)从负数到正数的变化过程，如果存在f(x)≤0的区间，那么一定包含一个实根。

根据选项分析，只有选项C满足题意。

答案：C2. 若小于正整数n的正整数中，有k个的约数个数为偶数，n的约数个数是奇数，那么k的值为（）A. 0B. 1C. 2D. n - 1E. n分析：根据题目描述，小于n的正整数中k个的约数个数是偶数，即k个数都是完全平方数。

若n的约数个数是奇数，根据数论中完全平方数的特性可知，n本身也是一个完全平方数。

因此，k的值为n - 1。

答案：D二、填空题3. 设数列an满足an = 2an-1 - 1，其中a1 = 4，则a5 = ______。

分析：根据数列的递推关系可得，a2 = 7，a3 = 13，a4 = 25，a5 = 49。

答案：494. 设A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则A的不同划分数为______。

分析：根据集合的划分原理可得，A的不同划分数为Bell数B(7) = 877。

答案：877三、解答题5. 已知复数z满足|z + 1| = |z - 1|，求z的所有可能值。

解析：根据复数的绝对值定义，|z + 1| = |z - 1|等价于对应实部和虚部的平方和相等。

设z = x + yi，其中x，y为实数，则可得到方程组：(x + 1)^2 + y^2 = (x - 1)^2 + y^2解得x = 0，即z为纯虚数。

因此，z的所有可能值为z = yi，其中y 为实数。

答案：z = yi，其中y为实数。

考研真题及详解-考研数三(2003-2017年)历年真题

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 设其导函数在处连续，则的取值范围是_________.(2) 已知曲线与轴相切，则可以通过表示为_________.(3) 设，而表示全平面，则=_________.(4) 设维向量，为阶单位矩阵，矩阵，，其中的逆矩阵为，则_________.(5) 设随机变量和的相关系数为，若，则与的相关系数为_________.(6) 设总体服从参数为的指数分布，为来自总体的简单随机样本，则当时，依概率收敛于_________.二、选择题：7~12小题，每小题4分，共24分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7) 设为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数：(A) 在处左极限不存在(B) 有跳跃间断点(C) 在处右极限不存在(D) 有可去间断点(8) 设可微函数在点取得极小值，则下列结论正确的是：(A) 在处的导数等于零(B) 在处的导数大于零(C) 在处的导数小于零(D) 在处的导数不存在.(9) 设，，，则下列命题正确的是：(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不确定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不确定.(10) 设三阶矩阵，若的伴随矩阵的秩等于，则必有：(A) 或(B) 或(C) 且(D)且.(11) 设均为维向量，下列结论不正确的是：(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(12) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件:={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，= {正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件：(A) 相互独立(B) 相互独立(C)两两独立(D) 两两独立.三、解答题：13~22小题，共102分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(13) (本题满分8分)设，试补充定义使得在上连续.(14) (本题满分8分)设具有二阶连续偏导数，且满足，又，求(15) (本题满分8分)计算二重积分，其中积分区域(16) (本题满分9分)求幂级数的和函数及其极值.(17) (本题满分9分)设，其中函数在内满足以下条件：，且，(I) 求所满足的一阶微分方程；(II) 求出的表达式.(18) (本题满分8分)设函数在上连续，在内可导，且.试证必存在，使(19) (本题满分13分)已知齐次线性方程组其中试讨论和满足何种关系时，(I) 方程组仅有零解；(II) 方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.(20) (本题满分13分)设二次型，其中二次型的矩阵的特征值之和为，特征值之积为.(I) 求的值；(II) 利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.(21) (本题满分13分)设随机变量的概率密度为是的分布函数.求随机变量的分布函数.(22) (本题满分13分)设随机变量与独立，其中的概率分布为而的概率密度为，求随机变量的概率密度.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上．(1) 若，则_________，_________.(2) 函数由关系式确定，其中函数可微，且，则_________.(3) 设则_________.(4) 二次型的秩为_________.(5) 设随机变量服从参数为的指数分布，则=_________.(6) 设总体服从正态分布，总体服从正态分布，和分别是来自总体和的简单随机样本，则_________.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(7) 函数在下列哪个区间内有界：(A)(B)(C).(D) .(8) 设在内有定义，且，则：(A) 必是的第一类间断点.(B) 必是的第二类间断点.(C) 必是的连续点.(D) 在点处的连续性与a的取值有关.(9) 设，则：(A) 是的极值点，但不是曲线的拐点.(B) 不是的极值点，但是曲线的拐点.(C)是的极值点，且是曲线的拐点.(D) 不是的极值点，也不是曲线的拐点.(10) 设有以下命题：①若收敛，则收敛.②若收敛，则收敛.③若，则发散.④若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是：(A) ①②.(B) ②③.(C) ③④.(D) ①④.(11) 设在上连续，且，则下列结论中错误的是：(A) 至少存在一点，使得>.(B) 至少存在一点，使得>.(C) 至少存在一点，使得.(D) 至少存在一点，使得=.(12) 设阶矩阵与等价，则必有：(A) 当时，(B) 当时，.(C) 当时，.(D) 当时，.(13) 设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系：(A) 不存在(B) 仅含一个非零解向量(C) 含有两个线性无关的解向量(D) 含有三个线性无关的解向量.(14) 设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则=(A)(B)(C)(D) .三、解答题：15~23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15) (本题满分8分)求.(16) (本题满分8分)求，其中是由圆和所围成的平面区域(如图).(17) (本题满分8分)设在上连续，且满足，.证明：.(18) (本题满分9分)设某商品的需求函数为，其中价格，为需求量.(I) 求需求量对价格的弹性(>)；(II) 推导(其中为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.(19) (本题满分9分)设级数的和函数为.求:(I) 所满足的一阶微分方程；(II)的表达式.(20) (本题满分13分)设，，，，试讨论当为何值时，(I) 不能由线性表示；(II) 可由唯一地线性表示，并求出表示式；(III) 可由线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.(21) (本题满分13分)设阶矩阵.(I) 求的特征值和特征向量；(II) 求可逆矩阵，使得为对角矩阵.(22) (本题满分13分)设为两个随机事件，且，，，令求(I) 二维随机变量的概率分布；(II) 与的相关系数；(III) 的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量的分布函数为其中参数.设为来自总体的简单随机样本，(I) 当时，求未知参数的矩估计量；(II) 当时，求未知参数的最大似然估计量；(III) 当时，求未知参数的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 极限=_________.(2) 微分方程满足初始条件的特解为_________.(3) 设二元函数，则_________.(4) 设行向量组，，，线性相关，且，则_________.(5) 从数中任取一个数，记为，再从中任取一个数，记为，则=_______ __.(6) 设二维随机变量的概率分布为若随机事件与相互独立，则=_________，=_________.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 当取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点：(A) .(B)(C)(D) .(8) 设，，，其中，则：(A)(B) .(C)(D) .(9) 设若发散，收敛，则下列结论正确的是：(A) 收敛，发散(B)收敛，发散(C) 收敛(D) 收敛(10)设，下列命题中正确的是：(A) 是极大值，是极小值(B) 是极小值，是极大值(C) 是极大值，也是极大值(D) 是极小值，也是极小值.(11)以下四个命题中，正确的是：(A)若在内连续，则在内有界(B) 若在内连续，则在内有界(C) 若在内有界，则在内有界(D) 若在内有界，则在内有界(12) 设矩阵=满足，其中是的伴随矩阵，为的转置矩阵.若为三个相等的正数，则为：(A)(B)(C)(D)(13) 设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是：(A)(B)(C)(D)(14) 设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知.现从中随机抽取个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为的置信区间是：(A)(B)(C)(D)（注：大纲已不要求）三、解答题：本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分8分)求.(16) (本题满分8分)设具有二阶连续导数，且，求.(17) (本题满分9分)计算二重积分，其中.(18) (本题满分9分)求幂级数在区间内的和函数.(19) (本题满分8分)设在上的导数连续，且，，.证明：对任何，有.(20) (本题满分13分)已知齐次线性方程组(I) 和 (II)同解，求的值.(21) (本题满分13分)设为正定矩阵，其中分别为阶，阶对称矩阵，为矩阵.(I) 计算，其中；(II) 利用(I)的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论.(22) (本题满分13分)设二维随机变量的概率密度为求：(I) 的边缘概率密度;(II) 的概率密度;(Ⅲ) .(23) (本题满分13分)设为来自总体的简单随机样本，其样本均值为，记.求：(I) 的方差；(II)与的协方差；(III) 若是的无偏估计量，求常数.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.(1) _________.(2) 设函数在的某邻域内可导，且，则_________.(3) 设函数可微，且，则在点处的全微分_________.(4) 设矩阵，为阶单位矩阵，矩阵满足，则_________.(5) 设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则_______ __.(6) 设总体的概率密度为为总体的简单随机样本，其样本方差，则=_________.二、选择题：7~14小题，每小题4分，共32分. 下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则：(A)(B)(C)(D)(8)设函数在处连续，且，则：(A) 存在(B) 存在(C) 存在(D) 存在(9)若级数收敛，则级数：(A) 收敛(B) 收敛(C) 收敛(D) 收敛(10) 设非齐次线性微分方程有两个的解为任意常数，则该方程的通解是：(A)(B)(C)(D)(11) 设均为可微函数，且已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是：(A) 若(B) 若(C) 若(D) 若(12) 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是：(A) 若线性相关，则线性相关(B) 若线性相关，则线性无关(C) 若线性无关，则线性相关(D) 若线性无关，则线性无关(13) 设为阶矩阵，将的第行加到第行得，再将的第列的倍加到第列得，记，则：(A)(B)(C)(D) .(14) 设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且，则必有：(A)(B)(C)(D)三、解答题：15~23小题，共94分. 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分7分)设，求(I) ；(II) .(16) (本题满分7分)计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.(17) (本题满分10分)证明：当时，.(18) (本题满分8分)在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于.(I) 求的方程；(II) 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.(19) (本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.(20) (本题满分13分)设维向量组，，，，问为何值时线性相关?当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.(21) (本题满分13分)设阶实对称矩阵的各行元素之和均为，向量是线性方程组的两个解.(I) 求的特征值与特征向量；(II) 求正交矩阵和对角矩阵，使得；(III) 求及，其中为阶单位矩阵.(22) (本题满分13分)设随机变量的概率密度为令，为二维随机变量的分布函数.求：(I) 的概率密度；(II) ；(III) .(23) (本题满分13分)设总体的概率密度为其中是未知参数（），为来自总体的简单随机样本.记为样本值中小于的个数，求：(I) 的矩估计；(II) 的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1) 当时，与等价的无穷小量是：(A)(B)(C)(D) .(2) 设函数在处连续，则下列命题错误的是：(A) 若存在，则(B) 若存在，则.(C) 若存在，则存在.(D) 若存在，则存在.(3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：(A)(B)(C)(D)(4) 设函数连续，则二次积分等于：(A)(B)(C)(5) 设某商品的需求函数为，其中分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于，则商品的价格是：(A)(B)(C)(D)(6) 曲线渐近线的条数为：(A)(B)(C)(D)(7) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是：(A)(B)(C)(D)(8) 设矩阵，，则与：(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似(D) 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第次命中目标的概率为：(A)(B)(C)(D)(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为：(A)(B)(C)(D) .二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．(11) _________.(12) 设函数，则_________.(13) 设是二元可微函数，则_________.(14) 微分方程满足的特解为=_________.(15) 设矩阵则的秩为_________.(16) 在区间中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于的概率为_________.三、解答题：17～24小题，共86分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17) (本题满分10分)设函数由方程确定，试判断曲线在点附近的凹凸性. (18) (本题满分11分)设二元函数计算二重积分，其中.设函数在上连续，在内二阶可导且存在相等的最大值，又，＝，证明：(I) 存在使得；(II) 存在使得(20) (本题满分10分)将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.(21) (本题满分11分)设线性方程组①与方程②有公共解，求的值及所有公共解.(22) (本题满分11分)设阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量.记，其中为阶单位矩阵.(I) 验证是矩阵的特征向量，并求的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵.(23) (本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为(I) 求；(II)求的概率密度.设总体的概率密度为，其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值.(I) 求参数的矩估计量；(II) 判断是否为的无偏估计量，并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设函数在区间上连续，则是函数的：(A) 跳跃间断点(B) 可去间断点(C) 无穷间断点(D) 振荡间断点.(2) 如图，曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于：(A) 曲边梯形面积(B) 梯形面积(C) 曲边三角形面积(D) 三角形面积.(3) 设则：(A) 存在，存在(B) 不存在，存在(C) 存在，不存在(D) ，都不存在.(4) 设函数连续.若，其中区域为图中阴影部分，则(A)(B)(C)(D)(5) 设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若，则：(A) 不可逆，不可逆(B) 不可逆，可逆(C) 可逆，可逆(D) 可逆，不可逆.(6) 设，则在实数域上与合同的矩阵为：(A)(B)(C)(D)(7) 随机变量独立同分布，且的分布函数为，则分布函数为：(A)(B)(C)(D)(8) 设随机变量，且相关系数，则：(A)(B)(C)(D)二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设函数在内连续，则_________.(10) 设函数，则_________.(11) 设，则_________.(12) 微分方程满足条件的解是_________.(13) 阶矩阵的特征值为，为三阶单位矩阵，则_________.(14) 设随机变量服从参数为的泊松分布，则_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分9分)求极限.(16) (本题满分10分)设是由方程所确定的函数，其中具有阶导数且.(I) 求；(II) 记，求.计算其中.(18) (本题满分10分)设是周期为的连续函数，(I) 证明对任意的实数，都有；(II) 证明是周期为的周期函数．(19) (本题满分10分)设银行存款的年利率为，并依年复利计算.某基金会希望通过存款万元实现第一年提取万元，第二年提取万元，，第年取出万元，并能按此规律一直提取下去，问至少应为多少万元？(20) (本题满分12分)设元线性方程组，其中，，，(I) 证明行列式；(II) 当为何值时，该方程组有唯一解，并求；(III) 当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21) (本题满分10分)设为阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足.(I) 证明线性无关；(II) 令，求.设随机变量与相互独立，概率分布为，的概率密度为记.求：(I) ；(II) 求的概率密度．(23) (本题满分11分)设是总体的简单随机样本.记，，(I) 证明是的无偏估计量；(II) 当时，求.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数的可去间断点的个数为：(A) .(B) .(C) .(D) 无穷多个.(2)当时，与是等价无穷小：(A) .(B).(C) .(D) .(3)使不等式成立的的范围是：(A) .(B) .(C) .(D) .(4)设函数在区间上的图形为：则函数的图形为：(A)(B)(C)(D)(5)设均为阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为：(A) .(B) .(C) .(D).(6)设均为阶矩阵，为的转置矩阵，且.若，则为：(A) .(B) .(C).(D) .(7)设事件与事件互不相容，则：(A) .(B) .(C) .(D) .(8)设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为.记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为：(A).(B) .(C) .(D) .二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)_________.(10)设，则_________.(11)幂级数的收敛半径为_________.(12)设某产品的需求函数为，其对价格的弹性，则当需求量为件时，价格增加元会使产品收益增加_________元.(13)设，.若矩阵相似于，则_________.(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数的极值.(16) (本题满分10分)计算不定积分.(17) (本题满分10分)计算二重积分，其中.(18)(本题满分11分)(I) 证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得.(II) 证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.(19)(本题满分10分)设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程.(20)(本题满分11分)设，(I) 求满足的所有向量；(II) 对(I)中的任意向量，证明：线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型.(I) 求二次型的矩阵的所有特征值；(II) 若二次型的规范形为，求的值.(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为(I) 求条件概率密度；(II) 求条件概率.(23)(本题满分11分)袋中有个红球，个黑球与个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(I) 求；(II) 求二维随机变量的概率分布.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题(1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)(1)若，则等于(A) .(B) .(C) .(D) .(2)设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则：(A) .(B) .(C) .(D) .(3)设函数具有二阶导数，且，若是的极值，则在取极大值的一个充分条件是：(A) .(B) .(C) .(D) .(4)设，则当充分大时有：(A) .(B) .(C) .(D) .(5)设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是：(A) 若向量组线性无关，则.(B) 若向量组线性相关，则.(C) 若向量组线性无关，则.(D) 若向量组线性相关，则.(6)设为阶实对称矩阵，且，若的秩为，则相似于：(A).(B) .(C) .(D) .(7)设随机变量的分布函数则=(A) 0.(B) .(C) .(D) .(8)设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足：(A).(B) .(C) .(D) .二、填空题(9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设可导函数由方程确定，则_________.(10)设位于曲线下方，轴上方的无界区域为，则绕轴旋转一周所得空间区域的体积为_________.(11)设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且，则=________ _.(12)若曲线有拐点，则_________.(13)设为阶矩阵，且，则=_________.(14)设是来自总体的简单随机样本，记统计量，则_________.或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限.(16)(本题满分10分)计算二重积分，其中由曲线与直线及围成. (17)(本题满分10分)求函数在约束条件下的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)(I) 比较与的大小，说明理由；(II) 记，求极限.(19)(本题满分10分)设函数在上连续，在内存在二阶导数，且.(I) 证明存在，使；(II) 证明存在，使．(20)(本题满分11分)设，已知线性方程组存在个不同的解.(I) 求，；(II) 求方程组的通解.(21)(本题满分11分)设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第列为，求.(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为，，，求常数及条件概率密度．(23)(本题满分11分)箱中装有个球，其中红、白、黑球的个数分别为个，现从箱中随机地取出个球，记为取出的红球个数，为取出的白球个数.(I) 求随机变量的概率分布；(II) 求.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1)已知当时，函数与是等价无穷小，则：(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(2)设函数在处可导，且，则=(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(3)设是数列，则下列命题正确的是：(A) 若收敛，则收敛.(B) 若收敛，则收敛.(C) 若收敛，则收敛.(D) 若收敛，则收敛.(4)设，，，则的大小关系是：(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(5)设为阶矩阵，将的第列加到第列得矩阵，再交换的第行与第行得单位矩阵，记，，则(A) ．(B)．(C) ．(D) ．(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为：(A) ．(B) ．(C) ．(D) ．(7)设与为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，则必为概率密度的是：(A)．(B) ．(C) ．(D) ．(8)设总体服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量和，有：(A) ，．(B) ，．(C) ，．(D) ，．(9)设，则_________.(10)设函数，则_________.(11)曲线在点处的切线方程为_________.(12)曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为______ ___.(13)设二次型的秩为，的各行元素之和为，则在正交变换下的标准形为_________.(14)设二维随机变量服从正态分布，则=_________.明、证明过程或演算步骤．(15) (本题满分10分)求极限．(16) (本题满分10分)已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值，，求.(17) (本题满分10分)求.(18) (本题满分10分)证明方程恰有两个实根.(19) (本题满分10分)设函数在上具有连续导数，，且满足，，求的表达式.(20) (本题满分11分)设向量组不能由向量组线性表示．(I) 求的值；(II) 将用线性表示.(21) (本题满分11分)设为阶实对称矩阵，的秩为，且．(I) 求的所有特征值与特征向量；(II) 求矩阵．(22) (本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且．(I) 求二维随机变量的概率分布；(II) 求的概率分布；(III) 求与的相关系数．(23) (本题满分11分)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域．(I) 求边缘概率密度；(II) 求条件概率密度．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1)曲线渐近线的条数为：(A) .(B) .(C) .(D) .(2)设函数，其中为正整数，则：(A) .(B) .(C).(D) .(3)设函数连续，则二次积分：(A) .(B) .(C) .(D) .(4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则：(A).(B) .(C) .(D) .(5)设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为：(A) .(B) .(C) .(D) .(6)设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且.若，，则：(A) .(B) .(C) .(D).(7)设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则：(A) .(B) .(C) .(D) .(8)设为来自总体（）的简单随机样本，则统计量的分布为：(A).(B) .(C) .(D) .(9)_________.(10)设函数，，则_________.(11)设连续函数满足，则_________.(12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为_________.(13)设为阶矩阵，，为的伴随矩阵.若交换的第行与第行得矩阵，则_________.(14)设是随机事件，与互不相容，则_________.证明过程或演算步骤．(15) (本题满分10分)求极限.(16) (本题满分10分)计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域.。

2015数三真题与解析

2
1 0 0 1 0 0 1 0 0 T T 【详解】 Q e1 , e3 , e2 e1 , e2 , e3 0 0 1 P 0 0 1 ， Q 0 0 1 P 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 T T T T f x Ax y PAPy y 1 y 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0 2 T 1 1 所以 Q AQ 0 0 1 P AP 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
1 n 设S Xi X n 1 i 1
2

2
，则 S 一定是总体方差的无偏估计，所以 E ( S ) m (1 ) ，从而
2
2
n E X i X i 1

( n 1) D( X ) m( n 1) (1 )
2

故应该选择（B）．二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9． lim
ln(cos x ) x 0 x2 ln(cos x ) tan x 1 lim ． 2 x 0 x 2x 2
【详解】 lim
x 0
10．设函数 f ( x ) 连续， ( x ) 【详解】 ( x ) 所以 (1)
2 2 2 2

f ( x, y )dxdy
D
（A）

考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题

考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。

考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。

第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。

A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。

第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。

考研真题【2003-2017考研数(三)真题及详解】2003考研数学三真题及答案解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____. （2）已知曲线与x 轴相切，则可以通过a 表示为________. （3）设a>0，而D 表示全平面，则=_______.（4）设n 维向量；E 为n 阶单位矩阵，矩阵，，其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，为来自总体X 的简单随机样本，则当时，依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是(A) 在处的导数等于零. （B ）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ ]λb x a x y +-=2332b =2b ，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=4.0-=X Z n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 121)0(f 'xx f x g )()(=),(00y x ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =（3）设，，，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ ] （5）设均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立.(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分）2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A设试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求五、（本题满分8分）计算二重积分其中积分区域D=六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：，，且f(0)=0,(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组其中试讨论和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ]1,21[12222=∂∂+∂∂v f u f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222y gx g ∂∂+∂∂.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x ∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+)3,0(∈ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a .01≠∑=ni ian a a a ,,,21(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则的取值范围是. 【分析】当0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】当时，有显然当时，有，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线与x 轴相切，则可以通过a 表示为 . 【分析】曲线在切点的斜率为0，即，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到与a 的关系.【详解】由题设，在切点处有，有)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X λ2>λ≠x 1>λ,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ2>λ)0(0)(lim 0f x f x '=='→b x a x y +-=2332b =2b 64a 0='y 2b 03322=-='a x y .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有,故【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，而D 表示全平面，则= .【分析】本题积分区域为全平面，但只有当时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ==【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n 维向量；E 为n 阶单位矩阵，矩阵，，其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】这里为n 阶矩阵，而为数，直接通过进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有====,于是有，即，解得由于A<0 ,故a=-1. （5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若，则Y 与Z 的相关系数为0.9 .【分析】利用相关系数的计算公式即可. 【详解】因为0300230=+-=b x a x .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(2a 10,10≤-≤≤≤x y x ⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102.])1[(2121012adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+0,),0,,0,(<=a a a T αT E A αα-=T aE B αα1+=T αα22a T =ααE AB =)1)((T T a E E AB αααα+-=T T T T a a E αααααααα⋅-+-11T T T T a a E αααααααα)(11-+-T T T a a E αααααα21-+-E aa E T =+--+αα)121(0121=+--a a 0122=-+a a .1,21-==a a 4.0-=X Z )4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y= =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且于是有 cov(Y ,Z)==【评注】注意以下运算公式：，（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，为来自总体X 的简单随机样本，则当时，依概率收敛于 .【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【详解】这里满足大数定律的条件，且=，因此根据大数定律有依概率收敛于二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注2】若f(x)在处连续，则.（2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +--.DX DZ =DZDY Z Y ),cov(.9.0),cov(==XY DYDXY X ρDX a X D =+)().,cov(),cov(Y X a Y X =+n X X X ,,,21 ∞→n ∑==ni i n X n Y 12121n X X X ,,,21 ).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i 22221,,,nX X X 22)(i i i EX DX EX +=21)21(412=+∑==n i i n X n Y 121.21112=∑=n i i EX n )0(f 'xx f x g )()(=)0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 0x x =.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→),(00y x(A) 在处的导数等于零. （B ）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ A ] 【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点取得极小值，根据取极值的必要条件知，即在处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】本题考查了偏导数的定义，在处的导数即；而在处的导数即【评注2】本题也可用排除法分析，取，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3）设，，，则下列命题正确的是(A) 若条件收敛，则与都收敛.(B) 若绝对收敛，则与都收敛.(C) 若条件收敛，则与敛散性都不定.(D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ B ]【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】若绝对收敛，即收敛，当然也有级数收敛，再根据，及收敛级数的运算性质知，与都收敛，故应选(B).),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(00y x 0),(00='y x f y ),(0y x f 0y y =),(0y x f 0y y =),(00y x f y '),(0y x f 0x x =).,(00y x f x '22),(y x y x f +=2),0(y y f =2nn n a a p +=2nn n a a q -=,2,1=n ∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n np∑∞=1n nq∑∞=1n na∑∞=1n na∑∞=1n na2nn n a a p +=2nn n a a q -=∑∞=1n np∑∞=1n nq（4）设三阶矩阵，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b 0.(C) a b 且a+2b=0. (D) a b 且a+2b 0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有，即有或a=b.但当a=b 时，显然秩(A), 故必有 a b 且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n （n 阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：（5）设均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关.(B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数,都有，则必线性无关，因为若线性相关，则存在一组不全为零的数,使得，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数，都有 (B)不成立.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ≠≠≠≠0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a 02=+b a 2≠≠)2≥.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s k k k ,,,21 .02211=+++s s k k k ααα(C) 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组的秩为s ，则线性无关，因此(C)成立.(D) 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数，使得成立，则线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件(A) 相互独立. (B) 相互独立.(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ] 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】因为，，，，且，，，，可见有，，，，.故两两独立但不相互独立；不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三、（本题满分8分）设s ααα,,,21 s ααα,,,21 s ααα,,,21 s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211=+++s s k k k ααα s ααα,,,21 s k k k ,,,21 02211≠+++s s k k k ααα s ααα,,,21 1A 2A 3A 4A 321,,A A A 432,,A A A 321,,A A A 432,,A A A 21)(1=A P 21)(2=A P 21)(3=A P 41)(4=A P 41)(21=A A P 41)(31=A A P 41)(32=A A P 41)(42=A A P 0)(321=A A A P )()()(2121A P A P A A P =)()()(3131A P A P A A P =)()()(3232A P A P A A P =)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠)()()(4242A P A P A A P ≠321,,A A A 432,,A A A ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ试补充定义f(1)使得f(x)在上连续.【分析】只需求出极限，然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】因为= === =由于f(x)在上连续，因此定义，使f(x)在上连续.【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求的极限，可以适当简化.四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：，，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用【详解】， ]1,21[)(lim 1x f x -→)(lim 1x f x -→])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππxx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→.1π)1,21[π1)1(=f ]1,21[+→0y 12222=∂∂+∂∂v f u f )](21,[),(22y x xy f y x g -=.2222ygx g ∂∂+∂∂),(v u f g =)(21,22y x v xy u -==.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂vfxu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂.vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂故，所以 =【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五、（本题满分8分）计算二重积分其中积分区域D=【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】作极坐标变换：，有=令，则.记，则==== 因此，【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222.2222222222vf v f y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂.22y x +.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π}.),{(22π≤+y x y x θθsin ,cos r y r x ==dxdy y x e e I Dy x)sin(22)(22+=⎰⎰+-π.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ2r t =tdt e e I t sin 0⎰-=πππtdt e A t sin 0⎰-=πt t de e A --⎰-=int 0π]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t ⎰--πcos t tde ]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ.1A e -+-π)1(21π-+=e A ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数的和函数f(x)及其极值.【分析】先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】上式两边从0到x 积分，得由f(0)=1, 得令，求得唯一驻点x=0. 由于，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件：，，且f(0)=0,(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由== =(2-2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x .1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n x xx x f ).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 0)(='x f ,)1(1)(222x x x f +--=''01)0(<-=''f ),(+∞-∞)()(x g x f =')()(x f x g ='.2)()(x e x g x f =+)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=')()(22x f x g +)()(2)]()([2x g x f x g x f -+2)x e(2)==将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是【评注】本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使【分析】根据罗尔定理，只需再证明存在一点c ，使得，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是，， . 故由介值定理知，至少存在一点，使因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在，使【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组.4)(2)(2x e x F x F =+']4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-]4[42C dx e e x x +⎰-.22x x Ce e -+.)(22x x e e x F --=)3,0(∈ξ.0)(='ξf )3,0[∈)3(1)(f c f ==13)2()1()0(=++f f f M f m ≤≤)0(M f m ≤≤)1(M f m ≤≤)2(.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤]2,0[∈c .13)2()1()0()(=++=f f f c f )3,0()3,(⊂∈c ξ.0)(='ξf ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a其中试讨论和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式=(1) 当时且时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为由可知，不全为零. 不妨设，得原方程组的一个基础解系为，，当时，有，原方程组的系数矩阵可化为.01≠∑=ni ian a a a ,,,21 ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321).(11∑=-+ni i n a b b0≠b 01≠+∑=ni iab .02211=+++n n x a x a x a 01≠∑=ni ia),,2,1(n i a i =01≠a T a a )0,,0,1,(121 -=αT a a )0,,1,0,(132 -=α.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α∑=-=ni iab 10≠b ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以倍）（将第n 行倍到第2行的倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）由此得原方程组的同解方程组为，， . 原方程组的一个基础解系为【评注】本题的难点在时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分）设二次型，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (3) 求a,b 的值；(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】（1）二次型f 的矩阵为∑=-ni ia11→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a n a -2a -→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--- 12x x =13x x =1,x x n = .)1,,1,1(T =α∑=-=ni iab 1T )1,,1,1( =α)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T设A 的特征值为由题设，有，解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式，得A 的特征值对于解齐次线性方程组，得其基础解系，对于，解齐次线性方程组，得基础解系由于已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将单位化，由此得，，令矩阵，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有.20020⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=b A ).3,2,1(=i i λ1)2(2321=-++=++a λλλ.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ)3()2(220202012+-=+----=-λλλλλλA E .3,2321-===λλλ,221==λλ0)2(=-x A E T )1,0,2(1=ξ.)0,1,0(2T =ξ33-=λ0)3(=--x A E .)2,0,1(3T -=ξ321,,ξξξ321,,ξξξT )51,0,52(1=ηT )0,1,0(2=η.)52,0,51(3T -=η[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ，且二次型的标准形为【评注】本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为设A 的特征值为，则由题设得，解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分）设随机变量X 的概率密度为F(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围，再对y 分段讨论.【详解】易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于，有设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当时，G(y)=0；当时，G(y)=1. 对于，有= =⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=300020AQ Q T .322232221y y y f -+=)].2()2()[2(2020022b a a bbaA E +----=+----=-λλλλλλλ321,,λλλ).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ1)2(2321=-+=++a λλλ.12)2(22321-=+-=b a λλλ;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f )1)(0(≤≤X F ]8,1[∈x .131)(3132-==⎰x dt t x F x0<y 1≥y )1,0[∈y })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P .])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为【评注】事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当时，G(y)=1;当 0时， = = 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为= =. 由于X 和Y 独立，可见G(u)== 由此,得U 的概率密度=【评注】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性..1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若1≥y 1<≤y })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=)}({1y F X P -≤.))((1y y F F =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X }{)(u Y X P u G ≤+=}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P }22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P ).2(7.0)1(3.0-+-u F u F )2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g ).2(7.0)1(3.0-+-u f u f。

2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解【圣才出品】

3．设 D＝{（x，y）|x2＋y2≤2x，x2＋y2≤2y}，函数 f（x，y）在 D 上连续，则
f (x, y)dxdy （）。
D 2 / 22
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π
2 cos
π
2sin
A． 4 d
0
0
f (r cos , r sin )rdr
2 π
d
0
f (r cos, r sin )rdr
4
π
2sin
π
2 cos
B． 4 d
0
0
f (r cos , r sin )rdr
2 π
d
0
f (r cos, r sin )rdr
4
1
x
C． 2
dx
0
1
1 x2
f (x, y)dy
1
2 x x2
D． 2 dx
0
x
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2 0 0
PT
AP
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1
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1 0 0
Q
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1
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0 1 0
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2015 年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．设{xn}是数列，下列命题中不正确的是（）。
A．若
【答案】B
【考点】二重积分的转化与几何意义

2015年考研数学三真题

2015年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．设{}n x 是数列，则下列命题中不正确的是（）（A ）若lim n n x a →∞=，则221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==（B ）若221lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=（C ）若lim n n x a →∞=，则331lim lim n n n n x x a -→∞→∞== (D) 若331lim lim n n n n x x a -→∞→∞==，则lim n n x a →∞=2．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）33．设{}222222(,)|,D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（A ）224204cos sin (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（B ）224204sin cos (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ+⎰⎰⎰⎰（C）112(,)xdxf x y dy ⎰⎰（D）12(,)xdx f x y dy ⎰4．下列级数发散的是（）（A ）13n n n ∞=∑ （B）111)n n ∞=+ （C ）211()ln n n n ∞=-+∑（D ）1!n n n n ∞=∑５．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 7．若,A B 为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥（C ）2()()()P A P B P AB +≤（D ）2()()()P A P B P AB +≥8．设总体12~(.),,,,n X B m X X X θ为来自总休的简单随机样本，X 为样本均值，则()21ni i E X X =⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （A ）11()()m n θθ-- （B ）11()()m n θθ-- （C ）111()()()m n θθ--- （D ）1()mn θθ-二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．20ln(cos )limx x x →=10．设函数()f x 连续，2()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ．11．若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则00(,)|dz = ．12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ．13．设三阶矩阵A 的特征值为221,,-，2B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ．三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值． 16．（本题满分10分）计算二重积分()dxdy Dx x y -⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y xy y x =+≤≥为了实现利润最大休，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q 为该商品的需求量，P 为价格，MC 为边际成本，η为需求随意性0()η>．（1）证明定价模型为11MCp η=-；（2）若该商品的成本函数为21600()C Q Q =-，需求函数40Q p =-，试由（1）中的定价模型确定此的价格． 18．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．20．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ---=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ．21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1）求Y 的概率分布；（2）求数学期望.EY23．（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量．。

2015【考研数学三】真题及答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：(A) 若,则(B) 若, 则(C) 若,则(D) 若,则(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A) (B) (C) (D)(3)设,函数在上连续,则(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：(A) (B) (C) (D)(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A) (B) (C) (D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：(A) (B) (C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:(A)(B)(C) (D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则(A) (B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.(16) (本题满分10 分)计算二重积分，其中(17) (本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，M C 为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18) (本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(19) (本题满分 10分)(I) 设函数可导，利用导数定义证明(II) 设函数可导，，写出的求导公式.(20) (本题满分11分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21) (本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22) (本题满分11分)设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I) 求的概率分布；(II) 求(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量.(II) 求的最大似然估计量.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）答案(1)【答案】(D)【考查分析】本题考查数列极限与子列极限的关系.【详解】数列收敛，那么它的任何无穷子数列均收敛，所以(A)与(C)正确；一个数列存在多个无穷子列并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的.(B)正确，(D)错,故选(D).(2)【答案】(C)【考查分析】本题考查曲线的拐点.【详解】拐点出现在二阶导数等于零，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选(C).(3)【答案】(B)【考查分析】本题考查直角坐标和极坐标的转换.【详解】在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以，选(B).(4)【答案】(C)【考查分析】本题考查数项级数的敛散性.【详解】选项(A)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛；选项(B)，为正项级数，因为，根据级数收敛准则，知收敛；选项(C)，，根据莱布尼茨判别法知收敛，发散，所以根据级数收敛定义知，发散；选项(D)，为正项级数，因为，所以根据正项级数的比值判别法收敛，所以选(C).(5)【答案】(D)【考查分析】本题考查非齐次线性方程组解的判定【详解】对增广矩阵进行初等行变换，得到由，故或，同时或.故选(D).(6)【答案】(A)【考查分析】本题考查二次型的正交变换.【详解】由，故.且.所以.选(A).(7)【答案】(C)【考查分析】本题考查概率的性质.【详解】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C).(8)【答案】(B)【考查分析】本题考查统计量的数字特征.【详解】根据样本方差的性质，而，从而，选(B).(9)【答案】【考查分析】本题考查型未定式极限.【详解】方法一：方法二：(10)【答案】【考查分析】本题考查变上限积分函数求导.【详解】因为连续，所以可导，所以；因为，所以又因为，所以故(11)【答案】【考查分析】本题考查隐函数的全微分.【详解】当，时代入，得.对两边求微分，得把，，代入上式，得所以(12)【答案】【考查分析】本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的解的结构和性质.【详解】的特征方程为，特征根为，，所以该齐次微分方程的通解为，因为可导，所以为驻点，即，，所以，，故(13)【答案】【考查分析】本题考查抽象型行列式的计算.【详解】的所有特征值为的所有特征值为所以.(14)【答案】【考查分析】本题考查二维正态分布的性质.【详解】由题设知，，且相互独立，从而. (15)【答案】【考查分析】本题考查利用等价无穷小的定义求参数.【详解】方法一：利用泰勒公式.即方法二：利用洛必达法则.因为分母的极限为，则分子的极限为，即，分母的极限为，则分子的极限为，即，则.(16)【答案】【考查分析】本题考查利用简化性质计算二重积分.【详解】(17)【答案】(I)略(II) .【考查分析】本题考查导数的经济应用.【详解】(I)由于利润函数,两边对求导，得.当且仅当时，利润最大，又由于,所以, 故当时，利润最大.23(II)由于,则代入(I)中的定价模型，得,从而解得.(18)【答案】.【考查分析】本题考查导数的几何应用和一阶微分方程求解.【详解】设在点处的切线方程为：令，得到.由题意，，即，转化为一阶微分方程，分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(19)【考查分析】本题考查导数的定义和导数的四则运算法则.【详解】(I)(II) 由题意得(20)【答案】【考查分析】本题结合矩阵方程考查矩阵的运算.【详解】(I)(II)由题意知，(21)【答案】(I) .(II)，则.【考查分析】本题考查相似矩阵和矩阵的相似对角化.【详解】(I) 则即.即整理得到(II)的特征值.当时，的基础解系为当时，的基础解系为，则的特征值为.令，则.(22)【答案】(I) ，. (II) .【考查分析】本题考查离散型随机变量的概率分布和数学期望.【详解】(I) 记为观测值大于的概率，则.的概率分布为，(II)记，则，从而.(23)【答案】(I).(II) .【考查分析】本题考查矩估计和最大似然估计.【详解】(I) .令，即，解得.为的矩估计量，其中；(II) 似然函数当时，，取对数，得到.求导，得到，则越大，似然函数越大，但是，所以当时，似然函数最大.为的最大似然估计量.。

考研数学三历年真题及解析

3n1 n
lim n 1 1 1 ，所以根据正项级数的比值 n 3n 3
3n
n
判别法 n1 3n 收敛；B 为正项级数，因为
1 n
ln(1
1) n
1
3
n2
，根据 P 级数收敛准则，知
1 ln(1 1 ) 收敛；C， (1)n 1 (1)n
1
，根据莱布尼茨判别法知
n1 n
n
n
1 1 e
，所以根据正项级数
nn
n!
的比值判别法 n1 nn 收敛，所以选 C.
1
(5)设矩阵
A
1
1
1 2 4
1
a a2
,
b
1
d
d
2
.若集合
1, 2 ，则线性方程组 Ax b 有无穷
多解的充分必要条件为 ( )
(A) a , d
(B) a , d
(C) a , d
x0
x
b(1
x) sin x bx(1 3kx（2 1 x）
x)
cos
x
lim
x0
x
b(1
x)
sin x bx(1 3kx 2
x)
cos
x
lim 1 b sin x b(1 x) cos x b(1 x) cos x bx cos x bx(1 x) sin x
x0
6kx
由分母 lim 6kx 0 ，得分子 x0
行列式 B ________ . 【答案】 21 【解析】 A 的所有特征值为 2, 2,1. B 的所有特征值为 3, 7,1.
所以 | B | 3 7 1 21.
(14)设二维随机变量 ( X ,Y ) 服从正态分布 N (1, 0;1,1; 0) ，则

2015年考研数学三真题与答案详细讲解

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞=n n x a ,则 221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(B) 若221lim lim +→∞→∞==n n n n x x a , 则lim →∞=n n x a(C) 若lim →∞=n n x a ,则 331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a(D) 若331lim lim +→∞→∞==n n n n x x a ,则lim →∞=n n x a【答案】(D)【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系.数列()n x a n →→∞⇔对任意的子列{}k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D(2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C.(3) 设 (){}2222,2,2=+≤+≤D x y xy x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则( )【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域所以故选B.(4) 下列级数中发散的是( )(A)(B)(D) 【答案】(C)【解析】ABCD为正项C.(5)穷多解的充分必要条件为( )【答案】(D)故选（D）(6) 设二次型( )【答案】(A)选（A ） (7) ,则: ( )【答案】(C)(C) .(8)值,( )【答案】(B)(B) .二、填空题：小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(10)(11)(12)3，则(13)设3E为3阶单位矩阵，则【答案】(14)【答案】指定位置上.解答应写出文字三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10 分).【答案】【解析】法一：则有，法二：由已知可得得c；求进一步，b值代入原式(16)(本题满分10 分)【答案】(17)(本题满分10分)MC(I)(II)试由（I ）中的定价模型确定此商品的价格.【答案】(I)略【解析】(I). (II)(I)中的定价模(18)(本题满分10 分)4，表达式.此为可分离变量的微分方程,(19)(本题满分10分)（I（II求导公式.【解析】（I（II）由题意得(20) (本题满分11分)(I)(II)3【解析】(II)由题意知(21) (本题满分11 分)(I)（II.【解析】A(22) (本题满分11 分),直到第2个大于3(I)(II)【答案】；【解析】(I)3(II) 法一:分解法:,.注：Ge表示几何分布)法二:直接计算(23) (本题满分11 分).(I) (II).【答案】；【解析】(I)；(II).文档容由金程考研网整理发布。

2015年考研数学三真题及答案

2015年考研数学三真题及答案2015年考研数学三真题及答案2015年考研数学三真题是考研数学科目中的一部分，对于考生来说是非常重要的。

通过解析和分析这些真题，可以帮助考生更好地了解考试的形式和内容，提高备考效果。

下面将对2015年考研数学三真题进行解析和答案分析。

第一道题目是关于集合的问题。

题目要求给出一个集合的定义，并根据定义判断给定的集合是否满足条件。

这道题目考查的是考生对于集合的定义和判断的理解能力。

通过对定义的分析和对给定集合的判断，考生可以得出正确的答案。

第二道题目是关于矩阵的问题。

题目给出一个矩阵的定义，并要求求出给定矩阵的特征值和特征向量。

这道题目考查的是考生对于矩阵的特征值和特征向量的计算能力。

通过对矩阵的分析和求解，考生可以得出正确的答案。

第三道题目是关于概率的问题。

题目给出一个概率分布的定义，并要求求出给定概率分布的期望和方差。

这道题目考查的是考生对于概率分布的期望和方差的计算能力。

通过对概率分布的分析和计算，考生可以得出正确的答案。

第四道题目是关于函数的问题。

题目给出一个函数的定义，并要求求出给定函数的导数和极值点。

这道题目考查的是考生对于函数的导数和极值点的计算能力。

通过对函数的分析和求解，考生可以得出正确的答案。

第五道题目是关于微分方程的问题。

题目给出一个微分方程的定义，并要求求出给定微分方程的通解。

这道题目考查的是考生对于微分方程的通解的求解能力。

通过对微分方程的分析和求解，考生可以得出正确的答案。

通过对这五道题目的解析和答案分析，考生可以更好地了解2015年考研数学三真题的形式和内容。

同时，通过对这些题目的练习和思考，考生可以提高自己的数学能力和解题能力。

希望考生能够认真对待这些真题，并在备考中取得好成绩。

2015真题数三答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞=，则221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==.(B)若221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=(C) 若lim k k x a →∞=，则321lim lim k k k k x x a +→∞→∞==(D)若331lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=【答案】(D)【考点】数列极限【难易度】★★ 【详解】举反例： a n=3t a n=3t+10 n=3t+2nx ⎧⎪=⎨⎪⎩2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】()0f x ''=左边的零点为x a =，右边的零点为x b =，又0x =处()f x ''不存在.因为x a =的左右两侧()f x ''都大于零，所以(,())a f a 不是拐点；因为x b =左右两侧()f x ''异号，所以(,())b f b 为拐点，故()f x 有两个拐点.3、设{}2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）2cos 2sin 4200042sin 2cos 42000410110()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)xXA d f r r rdr d f r r rdrB d f r r rdr d f r r rdrC dx f x y dyD dx f x y dyππθθπππθθπθθθθθθθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】(B)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★ 【详解】12(x,y)dxdy (x,y)dxdy (x,y)dxdy DD Df f f =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin 2cos 424(rcos ,sin )rdr (rcos ,sin )rdrd f r d f r ππθθπθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰4、下列级数中发散的是（）（A ）13n n n ∞=∑(B)1)n n ∞=+ (C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑(D)1!n n n n ∞=∑ 【答案】C【考点】级数的敛散性【难易度】★★★【详解】21(1)112ln ln 2n n n n n∞∞==-+=∑∑，→∞→∞+=+=∞(-1)1lim lim [(-1)1]0或ln n n n n n n n5、设矩阵22111112,,14A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（）(),A a d ∉Ω∉Ω (),B a d ∉Ω∈Ω (),C a d ∈Ω∉Ω (),D a d ∈Ω∈Ω【答案】(D)【考点】线性方程组【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +- (C)2221232y y y -- (D)2221232y y y ++ 【答案】(A)【考点】二次型【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2TTTf x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A) 7、设A,B 为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤(D)()()()2P A P B P AB +≥【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥)(2)()(AB P B P A P ≥+∴()()()2P A P B P AB +∴≤8、设总体(,)X B m θ ，12,,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E x X =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑（）（A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ-- (C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ- 【答案】(B) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】）（）（，），θθθθθθ--=-=-=---=--==∴∑∑==1m )1()1()()1())(11()1())((1m m m (~21212n DX n s E n X X n E n X X E DX EX B X n i i ni i 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2ln(cos )limx x x →∞=【答案】12-【考点】极限的计算【难易度】★★【详解】()22220001ln cos cos 112lim lim lim2x x x x x x x x x →→→--===-10、设函数()f x 连续，2()()x x xf t ϕ=⎰，若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【考点】变限积分求导【难易度】★★ 【详解】22200()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰110(1)()2(1)5,(1)()1(1)2f t dt f f t dt f ϕϕ'=+===⇒=⎰⎰11、若函数z = (,)z x y 由方程2+3z1x y e xyz ++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导【难易度】★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导得：23(31)0x y zz ze yz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导：23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=--12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在x =0处()y x 取得极值3，则()y x = 【答案】22xx y ee -=+【考点】微分方程【难易度】★★【详解】通解是212x x y c e c e -=+则：12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+13、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 【答案】21【考点】矩阵的特征值【难易度】★★★【详解】22-2,1,A B A A E =-+的特征值为，，又由于3,7,121B B =所以的特征值为，故。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.设{k x }是数列，下列命题中不正确的是（） (A)若lim k k x a →∞=，则221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==.(B)若221lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=(C) 若lim k k x a →∞=，则321lim lim k k k k x x a +→∞→∞==(D)若331lim lim k k k k x x a +→∞→∞==，则lim k k x a →∞=【答案】(D)【考点】数列极限【难易度】★★ 【详解】举反例： a n=3t a n=3t+10 n=3t+2nx ⎧⎪=⎨⎪⎩2.设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（）（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】()0f x ''=左边的零点为x a =，右边的零点为x b =，又0x =处()f x ''不存在.因为x a =的左右两侧()f x ''都大于零，所以(,())a f a 不是拐点；因为x b =左右两侧()f x ''异号，所以(,())b f b 为拐点，故()f x 有两个拐点.3、设{}2222(,)2,2D x y x y x x y y =+≤+≤，函数(,)f x y D 上连续，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰=（）2cos 2sin 4200042sin 2cos 42000410110()(cos ,sin )(cos ,sin )()(cos ,sin )(cos ,sin )()2(,)()2(,)xXA d f r r rdr d f r r rdrB d f r r rdr d f r r rdrC dx f x y dyD dx f x y dyππθθπππθθπθθθθθθθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【答案】(B)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★ 【详解】12(x,y)dxdy (x,y)dxdy (x,y)dxdy DD Df f f =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2sin 2cos 424(rcos ,sin )rdr (rcos ,sin )rdrd f r d f r ππθθπθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰4、下列级数中发散的是（）（A ）13n n n ∞=∑(B)11)n n ∞=+ (C)2(1)1ln n n n ∞=-+∑ (D)1!n n n n∞=∑【答案】C【考点】级数的敛散性【难易度】★★★【详解】21(1)112ln ln 2n n n n n∞∞==-+=∑∑，→∞→∞+=+=∞(-1)1lim lim [(-1)1]0或ln n n n n n n n5、设矩阵22111112,,14A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若集合(1,2)Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（）(),A a d ∉Ω∉Ω (),B a d ∉Ω∈Ω (),C a d ∈Ω∉Ω (),D a d ∈Ω∈Ω【答案】(D)【考点】线性方程组【难易度】★★【详解】[]()()()()2211111111,12011114001212A b a d a d a d a a d d ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ⇔=< 1a ⇔=或2a =且1d =或2d =6、设二次型1,23(,)f x x x 在正交变换x py =下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)p e e e =，若132(,,),Q e e e =-则123(,,)x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为（）（A ）2221232y y y -+ (B)2221232y y y +- (C)2221232y y y -- (D)2221232y y y ++【答案】(A) 【考点】二次型【难易度】★★【详解】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001TP AP ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥====-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A)7、设A,B 为任意两个随机事件，则（）（A ）()()()P AB P A P B ≤ (B)()()()P AB P A P B ≥(C) ()()()2P A P B P AB +≤(D)()()()2P A P B P AB +≥【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥)(2)()(AB P B P A P ≥+∴()()()2P A P B P AB +∴≤8、设总体(,)XB m θ，12,,n x x x 为来自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E x X =⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦∑（）（A ）(1)(1)m n θθ-- (B) (1)(1)m n θθ-- (C) (1)(1)(1)m n θθ--- (D) (1)mn θθ- 【答案】(B) 【考点】【难易度】★★★ 【详解】）（）（，），θθθθθθ--=-=-=---=--==∴∑∑==1m )1()1()()1())(11()1())((1m m m (~21212n DX n s E n X X n E n X X E DX EX B X n i i ni i 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2ln(cos )limx x x →∞=【答案】12-【考点】极限的计算【难易度】★★【详解】()22220001ln cos cos 112lim lim lim2x x x x x x x x x →→→--===-10、设函数()f x 连续，2()()x x xf t ϕ=⎰，若(1)ϕ1=，'(1)5ϕ=，则(1)f =【答案】2【考点】变限积分求导【难易度】★★ 【详解】22200()()()()2()x x x xf t dt x f t dt x x f x ϕϕ'=⇒=+⋅⋅⎰⎰110(1)()2(1)5,(1)()1(1)2f t dt f f t dt f ϕϕ'=+===⇒=⎰⎰11、若函数z = (,)z x y 由方程2+3z1x y e xyz ++=确定，则(0,0)dz =【答案】1233dx dy --【考点】隐函数求导【难易度】★★ 【详解】,0z zdz dx dy x x y∂∂=+=∂∂0y =0z = 两边对x 求导得：23(31)0x y z z ze yz xy x x++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==01|3x z x =∂=-∂ 两边对y 求导：23(32)0x y zz zexz xy y y++∂∂⋅+++=∂∂ 代入0,0x y ==02|3y z y =∂⇒=-∂(0,0)12|33dz dx dy ⇒=-- 12、设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在x =0处()y x 取得极值3，则()y x =【答案】22xx y ee -=+【考点】微分方程【难易度】★★ 【详解】通解是212xx y c ec e -=+则：12(0)33y c c ==+=，12(0)020y c c '==-+=121,2c c ⇒==22x x y e e -⇒=+13、设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 【答案】21【考点】矩阵的特征值【难易度】★★★【详解】22-2,1,A B A A E =-+的特征值为，，又由于3,7,121B B =所以的特征值为，故。

2003年全国硕士研究生入学统一考试《数学三》真题试卷

【分析】本题积分区域为全平面，但只有当 0 x 1,0 y x 1 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可. 2 解： I f ( x ) g ( y x ) dxdy = a dxdy
D 0 x 1, 0 y x 1
(1) 求 F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出 F(x)的表达式.
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八、（本题满分 8 分）设函数 f(x)在[0， 3]上连续，在（0， 3）内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 (0,3) ，使 f ( ) 0.
cov(Y , Z ) cov( X , Y ) = XY 0.9. DY DZ DX DY
n 1 n 1 n 1
(B) 若 an 绝对收敛，则 p n 与 qn 都收敛.
n 1 n 1 n 1
(C) 若 an 条件收敛，则 p n 与 qn 敛散性都不定.
n 1 n 1 n 1
(D) 若 an 绝对收敛，则 p n 与 qn 敛散性都不定.
n 1
x 2n ( x 1) 的和函数 f(x)及其极值. 2n
七、（本题满分 9 分）设 F(x)=f(x)g(x), 其中函数 f(x),g(x)在 ( , ) 内满足以下条件：
f ( x ) g ( x ) ， g ( x ) f ( x ) ，且 f(0)=0, f ( x ) g ( x ) 2e x .
围是________. （ 2 ）已知曲线 y x 3 3a 2 x b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为