第3章模糊控制论理论基础
智能控制(第三版)chap3-模糊控制理论基础
mA(x)
1 0
xA xA
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7
为其了中表A称示为模模糊糊概集念合，，引由入0模,1糊及集mA合(x)和构隶成属。函数的概
念m：A(x)表
示
元素
x属
于模
1
糊x集合AA
的程
度
，取
值范
围
为[0, 1]，称mmAA((xx))为x(属0,1于) 模x属 糊集于A合的A程 的隶度属度。
0
xA
清晰集合特征函数 模糊集合隶属函数
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8
2. 模糊集合的表示 ① 模糊集合A由离散元素构成，表示为：
m m m 这里的A 符 号“1 // ”x 、1 “ +2 ”和/x “2 ∫ ” 是 模i糊/x 集i合 的表
m m m 示于”方。式或，不A 表 示 ( x 数1 , 学1 运) ( 算x 2 ，, ,仅2 ) 代 表, , “( x 构i,成i) ” 或 , “属
② 模糊集合A由连续函数构成，各元素的隶属度就
构成了隶属度函A 数，此m时AA(x表)/示x为：
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9
C例好A(”3王.1此。五设时设)=论特三1。域征个三U函人=者数学{张无分习三差成别，别绩为李。总C四A评(，张分王三是五)=张1}，三，评9C5A语分(李为，四“李)=成四1绩9，0 分，王五85分，三人的成绩都好，但又有差异。
m mm mm A B A B ( u ) m A ( u ) a B ( , u ) x ) A ( u ( ) B ( u )
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17
模糊控制理论的基础和发展历程
模糊控制理论的基础和发展历程模糊控制理论是一种基于模糊逻辑和模糊集合的控制方法，它最早由日本学者山中伸彦于1965年提出，随后发展成熟并得到广泛应用。
模糊控制理论在现代控制领域占据重要地位，本文将探讨其基础和发展历程。
一、模糊控制理论的基础模糊控制理论的基础是模糊逻辑和模糊集合。
模糊逻辑是模糊控制理论的核心基础，它扩展了传统二进制逻辑，允许不确定性的表达和推理。
模糊逻辑中的概念和推理规则基于模糊集合的理论，模糊集合是对现实世界中模糊、不确定性和模糊性的数学上的描述。
二、模糊控制理论的发展历程1. 初期研究（1965-1980年）最早的模糊控制理论由山中伸彦提出，并于1965年发表在《计算机硬件及其应用》杂志上。
他提出了模糊集合和模糊逻辑的基本概念，并应用于水蒸气发生器的控制。
随后，日本学者田中秀夫在1969年进一步发展了模糊控制的理论框架和数学推理方法。
2. 理论完善与应用推广（1980-1990年）在上世纪八九十年代，模糊控制理论得到了进一步的完善和推广。
日本学者松井秀树于1985年提出了基于模糊推理的模糊PID控制器，极大地推动了模糊控制在实际应用中的发展。
同时，国外学者也开始关注和研究模糊控制理论，如美国学者Ebrahim Mamdani和Jerome H. Friedman等人。
3. 理论拓展与应用拓宽（1990年至今）进入21世纪，随着计算机技术和人工智能的发展，模糊控制理论得到了进一步的拓展和应用拓宽。
研究者们提出了各种新的模糊控制方法和算法，如模糊神经网络控制、模糊遗传算法控制等。
同时，模糊控制理论在各个领域得到了广泛应用，如工业控制、交通管理、机器人控制等。
总结模糊控制理论基于模糊逻辑和模糊集合，提供了一种处理不确定性和模糊性问题的有效方法。
经过多年的发展和完善，模糊控制理论在现代控制领域得到了广泛应用。
未来，随着人工智能和自动化技术的不断发展，模糊控制理论将继续发挥重要作用，并不断拓展其应用范围和理论框架。
智能控制基础-第3章 模糊建模和模糊辨识
13
智能控制 基础
3.2 模糊系统的通用近似特性
n
其中
p j ( x ) i1 Aij ( xi ) M
n
3-7
(
j 1
i 1
Aij ( xi
))
称为模糊基函数（Fuzzy Basis Function，FBF）,而式（3-6） 称为模糊系统的模糊基函数展开式。模糊基函数具有下列特点：
(1) 每条规则对应一个基函数； (2) 基函数是输入向量x的函数。一旦输入变量的模糊集合个数 及隶属函数确定，模糊基函数也就确定了；
i
3-10
( ( x ) ( x )) j 11 j2 1 i1
A1ji1
i
A2j2i
i
Chapter 5 Perspectives on Fuzzy Control
17
智能控制 基础
3.2 模糊系统的通用近似特性
k1 k2
n
f1( x )
f2( x )
(
z zj1 j2 12
)(
既然每条规则都推导出了一个精确输出，Tsukamoto 模糊模型通过加权平均的方法把每条规则的输出集成起来 ，这样就避免了耗时的解模糊过程。
Chapter 5 Perspectives on Fuzzy Control
7
智能控制 基础
3.1
模糊模型的类型与分割形式
最小或相乘
A1
B1
C1
A2
w1
X
j1 1 j2 1
k1 k2
n
i 1
( x ) ( x )) A1ji1
i
A2ji2
i
3-11
( ( x ) ( x )) j 11 j2 1 i1
第3章 模糊控制
期望值
＋ － y
e
ec
ke d/dt kec
E
EC
ห้องสมุดไป่ตู้
模糊
控制器
U
u
ku
图中ke、kec为量化因子，ku为比例因子
量化： 将一个论域离散成确定数目的几小段(量化 级)。每一段用某一个特定术语作为标记，这 样就形成一个离散域。
假设在实际中，误差的连续取值范围是 e=[eL,eH]，eL表示低限值，eH表示高限值。 将离散语言变量E的论域定义为{-m,„,-1, 0,1, „,m}。则有量化因子： 2m ke eH eL 量化因子实际上类似于增益的概念，在这 个意义上称量化因子为量化增益更为合适。
i Ri : IF x1 IS A1i AND x2 IS A2 AND xp IS Aip
i i THEN vi a0 a1 x aip x p i 1 , , N
(3 1)
vi 是模糊语言值; xi是一个输入变量；是输 i 出变量；系数集{a j }是待辨识的参数。模型的辨 i i ( N , p ) { A , a 识分两步。即结构参数 的辨识和系数 j j } 的确定。
1、最大隶属度函数法 简单地取所有规则推理结果的模糊集合中隶属 度最大的那个元素作为输出值。即： 当论域 V 中，其最大隶属度函数对应的输出 值多于一个时，简单取最大隶属度输出的平均即 可： U 0 max v (v) v V 为具有相同最大隶属度输出的总数。 此方法计算简单，但丢失信息，控制性能不高。
式中，<>代表取整运算。 模糊控制器的输出U可以通过下式转换为 实际的输出值u：
uH uL u ku U 2
问题的提出 变量量化会导致一定的量化误差。 解决方法 在量化级之间，加入插值运算。对于任意一 个连续的测量值可以通过相邻两个离散值的加 权运算得到模糊度的值。
第3章 模糊控制理论的基础讲解
（3）模糊控制易于被人们接受。模糊控 制的核心是控制规则，模糊规则是用语言 来表示的，如“今天气温高，则今天天气 暖和”，易于被一般人所接受。 （4）构造容易。模糊控制规则易于软件 实现。 （5）鲁棒性和适应性好。通过专家经验 设计的模糊规则可以对复杂的对象进行有 效的控制。
第二节 模糊集合
一、模糊集合 模糊集合是模糊控制的数学基础。
c (x) Min A (x), B (x)
② 代数积算子
c (x) A (x) B (x)
③ 有界积算子
c (x) Max0, A (x) B (x) 1
（2）并运算算子 设C=A∪B，有三种模糊算子： ① 模糊并算子
c (x) Max A (x), B (x)
c (x) A (x) B ( x) 1 1 (1 A (x)) (1 B (x))
γ取值为[0，1]。
当γ=0时， c (x) A (x) ，B相(x当) 于A∩B
时的算子。
当γ=1时，c (x) A(x) B (x) A(，x)相.B (x)
（3）等集
两个模糊集A和B，若对所有元素u，
它们的隶属函数相等，则A和B也相等。
即
A B A (u) B (u)
（4）补集 若 A 为A的补集，则
A A (u) 1 A (u)
例如，设A为“成绩好”的模糊集， 某学生 u0 属于“成绩好”的隶属度为：
A (u0 ) 0.8 则u0 属于“成绩差”的隶属度
第三章 模糊控制的理论基础
第一节 概 述 一、 模糊控制的提出
以往的各种传统控制方法均是建立在 被控对象精确数学模型基础上的，然而， 随着系统复杂程度的提高，将难以建立 系统的精确数学模型。
模糊控制的理论基础
继承
• 继承是指这样一种能力：它可以使用现有类的所有功能 ，并在无需重新编写原来的类的情况下对这些功能进行 扩展。
• 通过继承创建的新类称为“子类”或“派生类”。被继 承的类称为“基类”、“父类”或“超类”。继承的过 程，就是从一般到特殊的过程。
• 继承概念的实现方式有三类：实现继承、接口继承和可 视继承。
面向对象的模型
• 模型是对实体的特征和变化规律的一种表 示或抽象，即把对象实体通过适当的过滤 ，用适当的表现规则描绘出的模仿品。该 模型主要关心系统中对象的结构、属性和 操作，它是分析阶段三个模型的核心，是 其他两个模型的框架。
• 在面向对象的开发中，有对象模型、动态 模型和功能模型这三种常用模型。
2 模糊控制的特点 模糊控制是建立在人工经验基础之上的。对于一
个熟练的操作人员，他往往凭借丰富的实践经验， 采取适当的对策来巧妙地控制一个复杂过程。若能 将这些熟练操作员的实践经验加以总结和描述，并 用语言表达出来，就会得到一种定性的、不精确的 控制规则。如果用模糊数学将其定量化就转化为模 糊控制算法，形成模糊控制理论。
多态
• 多态性（polymorphism）是指同名的方法可在 不同的类中具有不同的运动规律。在父类演绎 为子类时，类的运动规律也同样可以演绎，演 绎使子类的同名运动规律或运动形式更具体， 甚至子类可以有不同于父类的运动规律或运动 形式。不同的子类可以演绎出不同的运动规律 。
模糊理论与模糊控制_第三章
二值逻辑排斥真值的中介过渡性，认为事物在形态和类属上 是非此即彼的。
多值逻辑突破了真值的两极性，承认真值有中介过渡性，但 是认为中介状态之间是彼此独立、界限分明的，和二值逻辑 一样仍然是一种精确逻辑。
不过，只要把这两个复合命题的文字略加修饰，变成“即使2＋ 2＝5 ，雪也是白的”和“如果2＋2＝5是真的，则雪就是黑的”就不 会觉得怪异了。 可见，真值蕴涵“若P则Q”的定义包含着语言和思维中最基本、
最本质的东西，因而具有高度概括性、包容性和科学性，完全能 满足逻辑本质要求的普适性和简单性。
例：若用P代表“室温高于26℃”；Q代表“打开空调”； C代表条件命题（P→Q）表示“如果室温高于26℃，则打开空
R T (A U ) (1 T (A)) (T ( A) T (U )) T (A) (T ( A) T (U ))
(2) 若A且B, 则U
英文表示成“if A and B then U”，并简记作(AB)→U。
它代表着像“星期天下雨的话，我就在家”、“水温低于60℃ 而且还在降低，则马上加热”这类条件命题。
空调”是对的。
后两种情况下，T(P)＝0，表明简单命题P为假，但这并不能否 定简单命题Q本身的意义。所以在“室温不高于26℃” 时，无论开 不开空调整个句子在逻辑上都认为是对的。
两个简单命题P和Q经蕴涵连接词构成复合命题P→Q，被称作“条 件命题”。 需要特别强调的是，条件命题不是从一个简单命题P “逻辑地推
语句命题判断
二值逻辑中把意义明确、具有真假特性的语句都归之为命题，认 为它们只有“真”和“假”两种结论。
命题常用英文大写字母A、B⋯表示，命题的真假叫作它的真值。 命题P的真值用T(P)表示，T(P)表示命题P属于“真”的程度， 在 二值逻辑中命题P的真值T(P)∈{0，1}：T(P)＝0时表示命题P为假， 而T(P)＝1时表示命题P为真，有时也用F表示假，用T表示真。
第三章、模糊控制系统
精确量(V0)
∴V0 = 5
当论域V中，其最大隶属度函数对应的输出值多于一个时， 简单取最大隶属度输出的平均即可：
即：当有（v1） µ 2）= L =µc (vJ ) 最大时 µ = （v
1 J 取v0 = ∑ v j J j =1
U 1 , U 2 , L ,U n ：输出论域上模糊子集
总的模糊关系： R( 其中：
e , de , u ) = U Ri
n
当ki 取µv (vi )时
重心法
模糊化计算的其它方法：左取大、右取大等。
第二节：模糊控制系统的设计 一、模糊控制器的结构设计 模糊控制器的结构设计包括：输入输出变量选择、模糊化 算法、模糊推理规则和精确化计算方法。 一维模糊控制器 被控对象 输入输出 (按模糊控制器输入变量个数) 变量 多输入多输出 单输入单输出 二维模糊控制器 多维模糊控制器
例：x分成三档(NB、ZE、PB)； y y分成两档(NB、PB)； 模糊分区形式：
PB NB 0 NB ZE
R1
R2 R4
R3
PB 24
问：在此分档情况下，最大规则数为多少？
x
2 规则库 用一系列模糊条件描述的模糊控制规则就构成模糊控制规则库。 建立 规则库 选择输入变量和输出变量 建立规则（完备性、交叉性、一致性）
完备性：对于任意给定的输入均有相应的控制规则起作用。 交叉性：控制器的输出值总由数条规则来决定。 一致性：规则中不存在相互矛盾的规则。
模糊控制规则建立方法 1）专家经验法： 通过对专家控制经验的咨询形成控制规则库。 实质：通过语言条件语句来模拟人类的控制行为。
第3章 模糊控制系统
第3章 模糊控制系统在过去30年中，模糊控制也是智能控制的一个十分活跃的研究与应用领域。
Zadeh 于1935年提出的模糊集合成为处理现实世界各类物体的方法。
此后，对模糊集合和模糊控制的理论研究和实际应用获得广泛开展。
模糊控制是一类应用模糊集合理论的控制方法。
模糊控制的价值可从两个方面来考虑。
一方面，模糊控制提出一种新的机制用于实现基于知识（规则）甚至语义描述的控制规律。
另一方面，模糊控制为非线性控制器提出一个比较容易的设计方法，尤其是当受控装置（对象或过程）含有不确定性而且很难用常规非线性控制理论处理时，更是有效。
专家控制系统与模糊逻辑控制（FLC ）系统至少有一点是相同的，即两者都想要建立人类经验和决策行为模型。
然而，它们存在一些明显的区别：(1) 现存的FLC 系统源于控制工程而不是人工智能；(3) FLC 模型绝大多数为基于规则系统；(3) FLC 的应用领域要比专家控制系统窄；(4) FLC 系统的规则一般不是从人类专家提取，而是由FLC 的设计者构造的。
因此，有必要从专家控制系统中分出模糊控制系统，在本章独立讨论。
本章将首先简述用于控制的模糊集合和模糊逻辑的基本知识；然后讨论模糊逻辑控制器的类型、结构、设计和特性；最后举例说明FLC 的应用。
3.1 模糊控制的数学基础模糊控制是建立在模糊集合和模糊逻辑的基础上的，本节将简要地介绍模糊控制要用到的模糊数学的基本概念、运算法则、模糊逻辑推理和模糊判决等。
3.1.1 模糊集合、模糊逻辑及其运算首先，让我们介绍模糊集合与模糊逻辑的若干定义。
设为某些对象的集合，称为论域，可以是连续的或离散的；表示的元素，记作={}。
定义3.1 模糊集合（fuzzy sets ）论域到[0,1]区间的任一映射，即: →[0,1]，都确定的一个模糊子集；称为的隶属函数（membership function ）或隶属度（grade of membership ）。
模糊控制理论
模糊控制理论
模糊控制是一种新型的控制技术，它的基本思想是对模糊不确定性的一种控制策略。
它的核心是将非精确定量的模糊逻辑用于系统分析和控制，从而使系统具有智能化的特征。
模糊控制技术可以用来描述和控制无确定分类的物理系统，其特点是装置中各器件
以及系统特性都以变量来表示，以模糊论为基要素，可以把系统中未知变量以模糊语言
表达出來，由模糊逻辑来表达系统的不确定性，由模糊控制方法来确定系统的控制策略
和控制量。
模糊控制理论的基本内容主要有三个方面：一是模糊控制系统仿真、二是模糊控制算
法及其应用以及三是模糊控制系统的设计与开发。
首先，要了解模糊控制理论，就应该先
研究它的仿真模拟。
仿真模拟是模糊控制理论得以实现的基础，仿真可以实现对模糊控制
系统的分析，研究其行为特性，检验其性能等。
其次，模糊控制算法，即各种模糊控制策
略的研究，包括Mamdani模糊控制，小波模糊控制等，这些策略是实现模糊控制的分析工具，可以帮助我们更充分地把握模糊系统的概念。
最后，模糊控制系统的设计和开发是我
们实现模糊控制的核心部分，如果把模糊控制理论用于实践，就必须深入研究各种系统设
计和开发工作，对模糊系统计算机实现进行合理的设计，确保实现中有效的控制可以获得
期望的控制效果。
总而言之，模糊控制理论是一种新型技术，具有准确表示模糊性、跟踪系统变化以及
提供有效控制结果的有效性，是一种专业的控制技术，在很多方面取得了巨大的成功，为
更广泛的领域的应用奠定了坚实的基础。
模糊控制理论及其应用
模糊控制理论及其应用模糊控制是一种用于处理复杂、非线性系统的控制方法，它采用模糊逻辑推理来解决问题。
该理论的核心思想是将模糊概念引入到控制系统中，通过模糊集合与模糊规则的定义和推理，实现系统的控制与决策。
本文将介绍模糊控制理论的基本原理，并探讨其在不同领域中的应用。
一、模糊控制原理1. 模糊数学基础模糊数学是模糊控制理论的基础，它试图描述那些无法用精确数值准确表示的现象。
模糊数学引入了模糊集合、模糊关系和模糊运算等概念，使得模糊集合的描述和处理成为可能。
2. 模糊控制系统的结构模糊控制系统由模糊化、模糊推理和解模糊三个部分组成。
其中，模糊化将输入的实际参数映射到模糊集合；模糊推理基于事先设定的模糊规则进行逻辑推理，得到系统的输出；解模糊则将模糊输出转化为具体的控制指令。
3. 模糊规则的建立模糊规则是模糊控制系统的核心，它通过将输入和输出的模糊集合进行匹配，形成一系列的规则。
这些规则可以基于专家的经验，也可以使用基于神经网络或遗传算法等方法进行自动学习。
1. 工业控制模糊控制在工业领域有着广泛的应用。
例如，在温度控制系统中，传统的PID控制器难以应对非线性的变量关系和外部扰动。
而模糊控制通过建立模糊规则和模糊推理，能够实现对温度控制系统的精确控制。
2. 交通控制交通控制是城市管理中的一个重要领域，而模糊控制在交通控制中的应用也越来越广泛。
通过收集交通流量、路况等数据，建立相应的模糊规则，可以实现交通信号灯的智能控制，提高交通流畅度和减少交通拥堵。
3. 金融风险评估金融领域的风险评估也是模糊控制的一个重要应用方向。
由于金融市场的复杂性和不确定性，传统的方法往往无法全面评估各种风险因素之间的相互影响。
而模糊控制通过模糊集合和模糊规则的定义，可以对不确定的因素进行量化和分析，提供准确的风险评估结果。
4. 人工智能人工智能是模糊控制的另一个重要应用领域。
模糊控制可以与神经网络、遗传算法等技术相结合，实现智能决策和控制。
模糊控制基本理论
模糊控制的基本原理模糊控制是以模糊集合理论、模糊语言及模糊逻辑为基础的控制，它是模糊数学在控制系统中的应用，是一种非线性智能控制。
模糊控制是利用人的知识对控制对象进行控制的一种方法，通常用“if条件，then结果”的形式来表现，所以又通俗地称为语言控制。
一般用于无法以严密的数学表示的控制对象模型，即可利用人(熟练专家)的经验和知识来很好地控制。
因此，利用人的智力，模糊地进行系统控制的方法就是模糊控制。
模糊控制的基本原理如图所示：模糊控制系统原理框图它的核心部分为模糊控制器。
模糊控制器的控制规律由计算机的程序实现，实现一步模糊控制算法的过程是：微机采样获取被控制量的精确值，然后将此量与给定值比较得到误差信号E；一般选误差信号E作为模糊控制器的一个输入量，把E的精确量进行模糊量化变成模糊量，误差E的模糊量可用相应的模糊语言表示；从而得到误差E的模糊语言集合的一个子集e(e实际上是一个模糊向量); 再由e和模糊控制规则R(模糊关系)根据推理的合成规则进行模糊决策，得到模糊控制量u为：式中u为一个模糊量；为了对被控对象施加精确的控制，还需要将模糊量u 进行非模糊化处理转换为精确量：得到精确数字量后，经数模转换变为精确的模拟量送给执行机构，对被控对象进行一步控制；然后，进行第二次采样，完成第二步控制……。
这样循环下去，就实现了被控对象的模糊控制。
模糊控制(Fuzzy Control)是以模糊集合理论、模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的一种计算机数字控制。
模糊控制同常规的控制方案相比，主要特点有：(1)模糊控制只要求掌握现场操作人员或有关专家的经验、知识或操作数据，不需要建立过程的数学模型，所以适用于不易获得精确数学模型的被控过程，或结构参数不很清楚等场合。
(2)模糊控制是一种语言变量控制器，其控制规则只用语言变量的形式定性的表达，不用传递函数与状态方程，只要对人们的经验加以总结，进而从中提炼出规则，直接给出语言变量，再应用推理方法进行观察与控制。
智能控制技术-第三章
一个简单的求中间隶属度值的求取。
在模糊控制系统中，变量的量化给出了控 制器计算的简化和控制值的平滑之间的一 个折衷，为了消除大的误差，在量化级之 间的一些插值运算是必要的。
一个简单的方法是引入一个权系数w(.)：对 于一个连续的测量值可以通过相邻两个离 散值的加权运算得到模糊度的值。
模糊控制器结构指的是输入输出变 量、模糊化算法、模糊推理规则和精确 化计算方法。
控制器的设计第一步首先确定控制器的输 入输出变量。
1、控制器输入输出变量
主要讲单输入-单输出模糊控制结构。
单输入-单输出模糊控制结构指的是系 统控制量只有一个，系统输出量只有一个。
单输入-单输出模糊控制结构又分一维模糊 控制器、二维模糊控制器和多维模糊控制 器。
m
vik i
v0
i1 m
ki
i1
ki视情况而定。如果，那么加权平均法就变为重 心法。
面积重心法对于不同的隶属度函数形状会
有不同的推理输出结果。最大隶属度函数 法对隶属度函数的形状要求不高。
第二节 模糊控制系统设计
一、模糊控制器的结构设计 在设计模糊控制器前，首先根据被
控对象的具体情况来确定模糊控制器的 结构。
设被控对象用以下三个控制规律描述：
规律1： 如果Yn=PM 且Un=PM 那么Yn+1=PB； 规律2： 如果Yn=PS 且Un=NS 那么Yn+1=ZE； 规律3： 如果Yn=NS 且Un=PS 那么Yn+1=ZE； 规律4： 如果Yn=NM 且Un=NM 那么Yn+1=NB； 其中Y是输出，U是控制，n是离散时间。
例如：两个输出变量A、B下的一个模糊空 间划分示意图。
(新)第3章 模糊控制理论-5
19:59
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5
3.2 模糊数学的相关知识
和自动控制是在自动控制理论的基础上发展起来的一样， 模糊控制是在模糊数学的基础发上展起来的。只有掌握了 模糊数学相关的知识，才能实现模糊控制，本 主要学习模 糊数学的知识。
3.2.1普通集合及其运算规则
3.2.2模糊集合及其运算规则
~
~
18～30 20～30 18～30 18～35 15～36 18～35 15～25 18～30 14～25 17～30 17～30 18～30 17～25
18～35 18～30 18～30 18～35 18～30 18～30 16～32 17～30 18～26 16～28 15～30 17～30 18～29
风的强弱
19:59
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11
1) 模糊集合的概念
举例： 在模糊数学中，我们称没有明确边界（没有清晰外延）的集 B 合为模糊集合。常用大写字母下加波浪线的形式来表示，如 A 、 等。 元素属于模糊集合的程度用隶属度或模糊度来表示。 用于计算隶属度的函数称为隶属函数。
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集合相等
19:59
2) 普通集合的并、交、补运算
设A、B为同一论域上的集合，则A与B的并集 A B、交集A B)、补集 A) ( ( ( )
分别定义为：
A B {u u A or u B} A B {u u A and u B}
~
年龄 隶属次数 29 30 31 80 77 27
隶属度 0.62 0.60 0.21
模糊推理判决 计算出 控制量
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第3章 模糊理论
1 0.9 0.8
Degree of membership
2、论域为连续域
F F / u
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
20
30
10
40
50
速度/(km h 1 )
30
隶属度函数确立的方法：
1、模糊统计法 2、例证法 3、专家经验法 4、二元对比排序法
1、模糊统计法 基本思想：论域U上的一个确定的元素v0是否 属于一个可变动的清晰集合A*作出清晰的判断。 对于不同的实验者，清晰集合A*可以有不同 的边界。但它们都对应于同一个模糊集A。 模糊集A
年轻人 v0 清晰集A2*
清晰集A1*
17-30岁
20-35岁
所有人
论 域 U
隶属度函数确立的方法：
计算步骤：在每次统计中，v0是固定的（如某 一年龄），A*的值是可变的，作n次试验,则 模糊统计公式：
v0 A的次数 v0对A的隶属频率＝ 试验总次数 n
隶属度函数确立的方法：
例：求中等身材的集合A及 μA (1.64)
例： F ={(0,1.0), (1 ,0.9), (2 ,0.75), (3,0.5),(4 ,0.2),
(5 ,0.1) }
(3)向量表示法
F ={(u1),(u2),…,(un)} （元素u按次序排列）
例： F ={1.0 ,0.9, 0.75,0.5,0.2 ,0.1 }
例:以年龄为论域，取 U 0,100 。Zadeh给出了“年 轻”的模糊集F，其隶属函数为
确定隶属函数应遵守的一些基本原则：
第3章 模糊控制理论基础
模糊集合
1
6
13
② 隶属函数
常 用 术 语
模糊集合中的元素属于该集合的程度， 可从0—1之间连续的变化。并以“隶 属度”来表示。 模糊集合中的特征函 数，被称为：“隶属函数”。 隶属函数的性质： a) 定义为有序对； b) 隶属函数在0和1之间； c) 其值的确定具有主观性和个人 的偏好。
14
常 用 术 语
10
① 模糊集合
集合——具有某种特定属性的对象的全体。
常 用 术 语
精确集合（非此即彼）： A={X|X>6}
精确集合的特征函数：
A
1 0 如果 X A 如果 X A
11
模糊集合：现实世界中并非完全如此，存在“中
介状态”。为了描述这种“中介状态”，就将经 典集合扩展成为模糊集合。
A
(u )
(u ) 0 .4 0 .6 0 .6 1
A (u ) A (u ) 0 .4 0 .6 0 .4 0
38
模糊集合的逻辑运算实质上就是隶属
2 模 糊 算 子 函数的运算过程。采用隶属函数的取
大（MAX）-取小（MIN）进行模糊
集合的并、交逻辑运算是目前最常用
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模糊集合的概念是由美国加利福尼亚 大学著名教授L.A.Zadeh于1965年首
3 2 模 糊 集 合
先提出来的。模糊集合的引入，可将 人的判断、思维过程用比较简单的数 学形式直接表达出来。模糊集理论为 人类提供了能充分利用语言信息的有 效工具。 模糊集合是模糊控制的数学基础。
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对大多数应用系统而言，其主要且重要的信 息来源有两种 来自传感器的数据信息：常用0.5，2，3，3.5 等数字来表示 来自专家的语言信息：常用诸如“大”、 “小”、“中等”、“非常小”等文字来表 示。 传统的工程设计方法只能用数据信息而无 法使用语言信息。 人类解决问题时所使用的大量知识是经验 性的，它们通常是用语言信息来描述。 语言信息通常呈经验性，是模糊的。因此， 如何描述模糊语言信息成为解决问题的关键。
第3章 模糊理论
确定隶属函数应遵守的一些基本原则：
1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合
从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值是 必须是单调递减的,而不允许有波浪形。
二、模糊控制的特点 1、无需知道被控对象的数学模型 2、是一种反映人类智慧思维的智能控制 模糊控制采用人类思维中的模糊量，如“高”、
“中”、“低”等，且控制量由模糊推理导出
3、易于被人们所接受（核心：控制规则） 4、构造容易 5、鲁棒性好
第二节 模糊集合论基础
一、模糊集的概念
集合：具有某种特定属性的对象全体。 集合中的个体通常用小写英文字母如：u表 示； 集合的全体又称为论域。通常用大写英文字 母如：U表示。
u U u U
例：设集合U由1到5的五个自然数组成，用上 述方法写出该集合的表达式。 解：(1)列举法 U={1,2,3,4,5}
(2)定义法 U={u|u为自然数且u5}
(3)归纳法 U={ui+1=ui+1, i=1,2,3, 4, u1=1}
经典集合论中任意一个元素与任意一个集 合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两 种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是 有明确分界线的元素的组合。
模糊集合 特征函数 隶属度函数（0～1连续变化 值）
例：人对温度的感觉(0C ~40C的感觉)：
“舒适”：15C ~25C “热”：25C以上 “冷”：15C 以下
经典集合：14.99C属于“冷”；15.01 C属于 舒适。与人的感觉一致吗？
(T) (T)
1.0 冷
舒
适 温
热
度
F 1.0 0.9 0.75 0.5 0.2 0.1 01 2 345
模糊控制的数学基础-3(3-16至3-30)模糊推理与模糊度量
3.Fuzzy 函数与Fuzzy 变量综上所述，我们可以在[0,1]闭区间上将Fuzzy 函数分成n 个有限等级。
再采用多值逻辑方法来处理Fuzzy 逻辑的问题。
以n=2为例加以分析n=2时，分成两级：第一级11≤≤x a ，第二级：10a x note ：这里虽然分为两级，但x 并不是二值变量。
假定给出Fuzzy 函数表达式为：------⋅⋅∨⋅∨⋅⋅=z y x y x z y x z y x f ),,(试问，当Fuzzy 函数处在第一级，即当1),,(1a z y x f ≥≥时，Fuzzy 变量x.,y ,z 应在什么范围内取值？这类问题是，已知Fuzzy 函数所处的等级，来求Fuzzy 变量的范围。
根据Fuzzy 函数的定义和基本公式，容易确定满足上述条件的x,y ,z 的范围。
方法如下： f(x,y ,z)≥1a 1a z y x ≥⋅⋅∴-必有 ① or 1a y x ≥⋅--② or 1a z y x ≥⋅⋅---③对①②③式再分解，如对①分解为：≥x 1a 与1a y ≥-与1a z ≥ 将1a y ≥-改写为 11a y -≤对②③同样处理，最后给出满足------⋅⋅∨⋅∨⋅⋅=z y x y x z y x z y x f ),,(的x,y ,z 的范围为：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≥1111az a y a x or ⎩⎨⎧-≤-≤1111a y a x or ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤-≤111111az a y a x 若已知Fuzzy 变量的范围，也可以推出Fuzzy 函数的表达式。
e.g.1如果Fuzzy 变量x,y ,z 满足如下逻辑条件，即⎩⎨⎧≥-≤111a ya x or ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤11111az a y a x or⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥≥1111az a y a x 试求属于第一级的Fuzzy 函数。
解：按题意，若Fuzzy 函数属于第一级，则必须满足()1..a z y x f ≥∴----⋅⋅∨⋅⋅∨⋅=zy x z y x y x z y x f ),,(作业2.e.g.2如果Fuzzy 变量x,y ,z 满足下列条件，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-≤-≤1111111az a z a y a x 或 or ⎩⎨⎧≥-≤111a z a x 试求在第一级的，即()1..a z y x f ≥的Fuzzy 函数 解：按题意，()1..a z y x f ≥∴()()zx z z y x z y x f ⋅∨∨⋅⋅=..五．Fuzzy 语言语言是思维的物质外壳，思维是语言的内容。