广义相对论的角动量守恒定律与广义守恒定律

α α =0 αLβ
（1.31）
δφ A (x) = ∂Φ A ∂α α Lβ
α α =0 αLβ
（1.32）
将（1.31）式、（1.32）式代入（1.21）式可得
ϑ µ = ϑ αLβµααLβ
（1.33）
其中
ϑ αLβµ
− g = [ζ
−g
∂xµ ∂α αLβ
−
∂(ζ ∂φ
−g
A ,µ
)
φ
A
,ν
x µ = x µ + α µ （2.1）
场函数也不变
Φ A = φ'A (x') = φ A
由于
（2.2）
∂x µ ∂α ν
= δνµ
∂Φ A ， ∂α µ
=0
（2.3）
当场函数满足拉格朗日方程（1.23）式或爱因斯坦引力场方程（1.23’）式时，由（1.34）
式和（1.35）式知，必存在一个张量
x → x'= x(x,α )
（1.26）
φ A (x) → φ'A (x') = φ A (x) = Φ A (x,α ) （1.27）
并且假设当α = 0 时是恒等变换
x(x,0) = x ， Φ A (x,0) = φ A （1.28）
则将（1.26）、（1.27）式对 α 进行泰勒展开并忽略一级以上高级小量得
φ A (x) = φ A (x) + δ 0φ A (x) （1.14） 进行泰勒展开，仅取一级项得
[ζ (φ A (x),φ A ,µ (x)) − g' (φ A (x) − ζ (φ A (x),φ A,µ (x)) − g(φ A (x)]
=
∂(ζ − ∂φ A
g ) δ0φ A(x)
+
∂(ζ − g

广义相对论的角动量守恒定律与广义守恒定律
张春华
沧州师专物理与电子信息系，河北沧州（061001）
E-mail：chunhuazhang001@
摘 要：本文根据最小作用量原理，简明扼要首次推导出更为完整的角动量守恒定律与广义 守恒定律。 关键词： 广义相对论，角动量守恒，自旋守恒，广义守恒，最小作用量原理 中图分类号：O412.1
ζ (φ A (x),φ A ,µ (x)) − g'(φ A (x)) − ζ (φ A(x),φ A ,µ (x)) − g'(φ A (x))
=
∂(ζ − ∂xν
g
)
δxν
第二个方括号内的被积函数利用新引入的记号
（1.12）
δ 0φ A (x) = φ A (x) − φ A (x) （1.13） 或（符号δ 0 表示场函数形式的变分）
-5-

这里
aνµ = δνµ + ανµ
（3.2）
令
( ) ( ) α = ανµ ， a = aνµ ， ( ) ( ) ( ) ( ) X = x µ = x1, x2 , x3 , x0 ， X '= X = x'µ = x'1 , x'2 , x'3 , x'0
−
g' (φ A (x))
(1 +
∂δx α ∂x α
)d 4 x
（1.10）
令δI = I '−I ，则由（1.10）与（1.1）式得
∫ δI = {[ζ (φ A(x),φ A,µ (x)) − g'(φ A(x)) Ω
− ζ (φ A (x),φ A ,µ (x)) − g'(φ A (x) ]
则（4.1）式变为
X = Xa = X (Ι + α ) （3.3） 且有
x'µ ,α
=∂xµ ຫໍສະໝຸດ xα= aαµ（3.4）
根据张量变换属性和（3.4）式，此时度规变化为
g'µν = x'µ ,α x'ν ,β g αβ = aαµ aνβ g αβ （3.5）
A ,µ
A,ν δxν
)
+
+
∂(ζ ∂φ
− g ) δφ
A ,µ
A (x)] + [ζ
− g ]φ A δ 0φ A = 0 （1.20）
因此如果定义
ϑµ
− g = (ζ
−
gδνµ
−
∂
(ζ ∂φ
−
A ,µ
g
)
φ
A
,ν
)δxν
+
∂(ζ − g ) δφ A ∂φ A,µ
（1.21）
式中，δνµ 是一个 µ = ν 时为 1， µ ≠ ν 时为零的量，则存在着关系式
+ [ζ (φ A (x),φ A ,µ (x)) − g'(φ A (x)
− ζ (φ A (x),φ A,µ (x))
− g(φ A (x) ] + ζ (φ A (x),φ A ,µ (x))
−
g ' (φ
A
( x))
∂δxν ∂xν
}d
4
x
（1.11）
上式第一个方括号内的被积函数在忽略一级以上无穷小量的情况下为
考虑到四维体积元 d4x 与 d4x’具有如下关系
d 4 x' = Jd 4 x
（1.7）
-1-

其中 J 为 Jacobi an 行列式
x1 ,1
J
=
∂xµ ( ∂xν )
=
x1 ,2 x1 ,3
x1 ,4
x 2 ,1 x2 ,2 x 2 ,3 x2 ,4
∫ Pµ ≡
(t
0 µ
− g )dx1dx 2dx3
V
而其总能量为
（2.14）
∫ E = −P0 ≡ −
(t
0 0
− g )dx1dx 2dx3
V
（2.15）
这个结果大家很熟悉。
3．新的广义相对论的角动量守恒定律的首次产生
对场作微量固有洛伦兹变换 x'µ = x µ = x µ + ανµ xν = aνµ xν （3.1）
Ω 为场存在的整个时空范围。同时假定对任何一个场的体系，都存在着一个拉格朗日密度
ζ ，它是场函数φ A (x) 及其导数φ A,µ (x) 的泛函，并且假定在 Ω 的边界面 S 上场函数φ A (x) 及
其变分为零，即
φ A (x) S = 0 ，δφ A (x) S = 0
（0.1）
为便于讨论，除特别说明外，全文讨论都采用 h = c = G = 1的自然单位制和爱因斯坦求和
∂(ϑαLβµ − g )
∂x µ
=0
（1.35）
由（0.1）式进一步知，（1.35）式对应着大家所熟知的守恒量
∫ T αLβ = ϑ αLβ 0 − g dV
V
（1.36）
积分限 V 为三维空间坐标对应的整个空间。
2．由广义守恒定律推证广义相对论的能量守恒定律
2.1 普适讨论
假设场的作用量 I 对下述位移变换保持不变
∫ I ' = ζ (φ' A (x' ),φ ' A,µ (x' )) − g' (φ A (x' )d 4 x'
Ω'
（1.4）
式中， Ω' 表示在坐标系 x' 中所对应的积分区域。为便于讨论，令
x'µ ≡ x µ ，φ'A (x) ≡ φ A (x) （1.5） 于是有
φ'A (x') ≡ φ A (x) = φ A (x + δx) （1.6）
其中ζ G 和 LF 分别表示引力场和除引力场以外的其他场的拉格朗日密度，则有[8]
ζG
=1 16π
g µν (Γµαβ Γνβα
− Γµαν Γαββ ) （2.9）
τ
µ ν
= tνµ
+ Tνµ
（2.10）
式中， tνµ 是应力-能量赝张量，与引力场相对应，Tνµ 是应力-能量张量，与引力场以外
的其他场对应，且有
ϑνµ
−g =ζ
− gδνµ
−
∂(ζ ∂φ
−g
A ,µ
)
φ
A ,ν
≡
τ
µ ν
−g （2.4）
-4-

满足方程
(τ
µ ν
− g ),µ = 0
（2.5）
（2.4）式所定义的张量τ
µ ν
即为大家所熟知的场的总正则应力-能量赝张量[7]。
由推论 1 易知，此时必然存在一个守恒的一阶张量，即矢量
-2-

∂ ∂xν
(ζ
−
gδxν
+
∂(ζ ∂φ
−
A ,ν
g
)
δ0φ
A
)
+ [ζ
− g ]φ A δ0φ A = 0
由（1.3）式和（1.14）式可知
（1.18）
φ'A
(x')
=
φ
A(x
+ δx)
=φ
A (x)
+
∂φ A ∂x
(x)
µ
δx
µ
=
φ
A (x)
+ δ 0φ
约定。
1．广义相对论的广义守恒定律的首次产生
假设场的作用量
∫ I = ζ (φ A (x),φ A,µ (x)) − g d 4 x
Ω
（1.1）
对于下列微量变换
x µ → x'µ = x µ + δx µ （1.2）