广义相对论的角动量守恒定律与广义守恒定律

其中ζ G 和 LF 分别表示引力场和除引力场以外的其他场的拉格朗日密度，则有[8]
ζG
=1 16π
g µν (Γµαβ Γνβα
− Γµαν Γαββ ) （2.9）
τ
µ ν
= tνµ
+ Tνµ
（2.10）
式中， tνµ 是应力-能量赝张量，与引力场相对应，Tνµ 是应力-能量张量，与引力场以外
的其他场对应，且有
则（4.1）式变为
X = Xa = X (Ι + α ) （3.3） 且有
x'µ ,α
=
∂xµ ∂xα
= aαµ
（3.4）
根据张量变换属性和（3.4）式，此时度规变化为
g'µν = x'µ ,α x'ν ,β g αβ = aαµ aνβ g αβ （3.5）
∫ Pµ ≡
(t
0 µ
− g )dx1dx 2dx3
V
而其总能量为
（2.14）
∫ E = −P0 ≡ −
(t
0 0
− g )dx1dx 2dx3
V
（2.15）
这个结果大家很熟悉。
3．新的广义相对论的角动量守恒定律的首次产生
对场作微量固有洛伦兹变换 x'µ = x µ = x µ + ανµ xν = aνµ xν （3.1）
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这里
aνµ = δνµ + ανµ
（3.2）
令
( ) ( ) α = ανµ ， a = aνµ ， ( ) ( ) ( ) ( ) X = x µ = x1, x2 , x3 , x0 ， X '= X = x'µ = x'1 , x'2 , x'3 , x'0
−
g' (φ A (x))
(1 +
∂δx α ∂x α
)d 4 x
（1.10）
令δI = I '−I ，则由（1.10）与（1.1）式得
∫ δI = {[ζ (φ A(x),φ A,µ (x)) − g'(φ A(x)) Ω
− ζ (φ A (x),φ A ,µ (x)) − g'(φ A (x) ]
x µ = x µ + α µ （2.1）
场函数也不变
Φ A = φ'A (x') = φ A
由于
（2.2）
∂x µ ∂α ν
= δνµ
∂Φ A ， ∂α µ
=0
（2.3）
当场函数满足拉格朗日方程（1.23）式或爱因斯坦引力场方程（1.23’）式时，由（1.34）
式和（1.35）式知，必存在一个张量
+ [ζ (φ A (x),φ A ,µ (x)) − g'(φ A (x)
− ζ (φ A (x),φ A,µ (x))
− g(φ A (x) ] + ζ (φ A (x),φ A ,µ (x))
−
g ' (φ
A
( x))
∂δxν ∂xν
}d
4
x
（1.11）
上式第一个方括号内的被积函数在忽略一级以上无穷小量的情况下为
引言
以往人们讨论广义相对论的守恒问题往往局部进行和较为复杂，特别是涉及到角动量
守恒问题时并不直观和完善[1—5]，本文较好地克服了这一问题，首次推导出了更为完整的
角动量守恒定律与广义守恒定律。
文中，xµ 为时空坐标（µ=0，1，2，3），其中 x1、x2 和 x3 分别表示三个空间坐标分量，
x0=t 表示时间坐标分量；φ A (x ) 为广义场函数，其角标 A 代表这个场函数的某个广义分量，
ζ (φ A (x),φ A ,µ (x)) − g'(φ A (x)) − ζ (φ A(x),φ A ,µ (x)) − g'(φ A (x))
=
∂(ζ − ∂xν
g
)
δxν
第二个方括号内的被积函数利用新引入的记号
（1.12）
δ 0φ A (x) = φ A (x) − φ A (x) （1.13） 或（符号δ 0 表示场函数形式的变分）
∂(ϑ
µ
∂x
−
µ
g
)
+
[ζ
− g ]φ A δ 0φ A = 0 （1.22）
（1.22）式正是我们要推导的广义相对论的广义守恒定律。
假设场函数满足广义拉格朗日方程，即
[ζ
− g ]φ A
= ∂(ζ − g ) − ∂
∂φ A
∂x µ
∂(ζ − g ) ∂φ A ,µ
=0 （1.23）
则由（1.22）式可导出守恒定律
考虑到四维体积元 d4x 与 d4x’具有如下关系
d 4 x' = Jd 4 x
（1.7）
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其中 J 为 Jacobi an 行列式
x1 ,1
J
=
∂xµ ( ∂xν )
=
x1 ,2 x1 ,3
x1 ,4
x 2 ,1 x2 ,2 x 2 ,3 x2 ,4
α α =0 αLβ
（1.31）
δφ A (x) = ∂Φ A ∂α α Lβ
α α =0 αLβ
（1.32）
将（1.31）式、（1.32）式代入（1.21）式可得
ϑ µ = ϑ αLβµααLβ
（1.33）
其中
ϑ αLβµ
− g = [ζ
−g
∂xµ ∂α αLβ
−
∂(ζ ∂φ
−g
A ,µ
)
φ
A
,ν
x'µ = xµ + ∂xµ ∂ααLβ
α α =0 αLβ
（1.29）
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φ ' A (x' ) = φ A (x) + ∂Φ A ∂α α Lβ
α α =0 αLβ （1.30）
将上两式与（1.2）、（1.3）两式比较可知
δx µ = ∂ x µ ∂α αLβ
∫ Pµ ≡
(τ
0 µ
− g )dx1dx 2dx3
V
而其能量
（2.6）
∫ E = −P0 ≡ −
(τ
0 0
− g )dx1dx 2dx3
V
（2.7）
（2.7）式正是大家所熟知的广义相对论的能量守恒定律。
2.2 具体讨论
根据有关讨论可知，若将拉格朗日密度 ζ 定义为
ζ = ζ G + LF
（2.8）
tνµ
−g =ζG
−
gδνµ
−
∂(ζ G − ∂g A,µ
g)
g A,ν
（2.11）
自然，此时有
(τ
µ ν
− g ),µ = (tνµ
− g + Tνµ
− g ),µ = 0
（2.12）
当仅存在引力场时，由于Tµν = 0 ，故由（2.12）式知，此时的能量守恒方程变为
(tνµ − g ),ν = 0 （2.13） 因而由（2.6）式和（2.7）式知，其守恒量为
φ A (x) = φ A (x) + δ 0φ A (x) （1.14） 进行泰勒展开，仅取一级项得
[ζ (φ A (x),φ A ,µ (x)) − g' (φ A (x) − ζ (φ A (x),φ A,µ (x)) − g(φ A (x)]
=
∂(ζ − ∂φ A
g ) δ0φ A(x)
+
∂(ζ − g
x 3 ,1 x3 ,2 x3 ,3 x3 ,4
x 4 ,1 x 4 ,2 （1.8） x 4 ,3 x4 ,4
由（1.8）式容易证明，在忽略一级以上无穷小量的情况下
J
=1+
∂δx µ ∂x µ
（1.9）
将（1.2）——（1.9）式代入（1.4）式得
∫ I ' = ζ (φ A (x),φ A ,µ (x)) Ω
A ,µ
A,ν δxν
)
+
+
∂(ζ ∂φ
− g ) δφ
A ,µ
A (x)]源自文库+ [ζ
− g ]φ A δ 0φ A = 0 （1.20）
因此如果定义
ϑµ
− g = (ζ
−
gδνµ
−
∂
(ζ ∂φ
−
A ,µ
g
)
φ
A
,ν
)δxν
+
∂(ζ − g ) δφ A ∂φ A,µ
（1.21）
式中，δνµ 是一个 µ = ν 时为 1， µ ≠ ν 时为零的量，则存在着关系式
x → x'= x(x,α )
（1.26）
φ A (x) → φ'A (x') = φ A (x) = Φ A (x,α ) （1.27）
并且假设当α = 0 时是恒等变换
x(x,0) = x ， Φ A (x,0) = φ A （1.28）
则将（1.26）、（1.27）式对 α 进行泰勒展开并忽略一级以上高级小量得
约定。
1．广义相对论的广义守恒定律的首次产生
假设场的作用量
∫ I = ζ (φ A (x),φ A,µ (x)) − g d 4 x
Ω
（1.1）
对于下列微量变换
x µ → x'µ = x µ + δx µ （1.2）
φ A (x) → φ' A (x' ) = φ A (x) + δφ A (x) （1.3） 变为
∂(ϑαLβµ − g )
∂x µ
=0
（1.35）
由（0.1）式进一步知，（1.35）式对应着大家所熟知的守恒量
∫ T αLβ = ϑ αLβ 0 − g dV
V
（1.36）
积分限 V 为三维空间坐标对应的整个空间。
2．由广义守恒定律推证广义相对论的能量守恒定律
2.1 普适讨论
假设场的作用量 I 对下述位移变换保持不变
ϑνµ
−g =ζ
− gδνµ
−
∂(ζ ∂φ
−g
A ,µ
)
φ
A ,ν
≡
τ
µ ν
−g （2.4）
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满足方程
(τ
µ ν
− g ),µ = 0
（2.5）
（2.4）式所定义的张量τ
µ ν
即为大家所熟知的场的总正则应力-能量赝张量[7]。
由推论 1 易知，此时必然存在一个守恒的一阶张量，即矢量
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∂ ∂xν
(ζ
−
gδxν
+
∂(ζ ∂φ
−
A ,ν
g
)
δ0φ
A
)
+ [ζ
− g ]φ A δ0φ A = 0
由（1.3）式和（1.14）式可知
（1.18）
φ'A
(x')
=
φ
A(x
+ δx)
=φ
A (x)
+
∂φ A ∂x
(x)
µ
δx
µ
=
φ
A (x)
+ δ 0φ
式中，符号[ζ − g ]φ A 是广义拉格朗日变量，为
[ζ
− g ]φ A
≡ ∂(ζ − g ) − ∂
∂φ A
∂x µ
∂(ζ − g ) ∂φ A ,µ
（1.17）
假定作用量对变换（1.2）和（1.3）是不变的，即要求 δI = 0 ，则有（1.16）式的积分
等于零。因积分区域 Ω 是任意的，所以其被积函数应为零。因此
∂xν ∂α αLβ
+
∂(ζ ∂φ
−g
A ,µ
)
∂Φ A ∂α αLβ
]α =0 （1.34）
注意，上式中 Φ A ≡ φ'A (x') 。
当拉格朗日方程（1.23）式成立时，由（1.24）式、（1.33）式得
∂(ϑ αLβµ ∂x µ
− g ) ααLβ
=0
由于参数ααLβ 在α = 0 附近可以任意变化，所以
∂φ
A ,
µ
)
∂ ∂x µ
δ 0φ
A(x)
（1.15）
将（1.12）、（1.15）式代入（1.11）式，并略去（1.11）式最后一项中一级以上的无穷
小量，得
∫ δI = Ω
∂ {∂xν
(ζ
−
gδxν
+
∂(ζ − g
∂φ
A ,ν
)
δ 0φ
A)
+ [ζ
− g ]φ A δ 0φ A}d 4 x
（1.16）
A (x)
+
∂φ A ∂x
(
µ
x)
δx
µ
+
∂δ
0φ ∂x
A µ
(
x)
δx
µ
若忽略一级以上的无穷小量，即略去上式最后一项，并再考虑到（1.3）式，可得
δφ
A
(x)
=
δ
0φ
A
(x)
+
φ
A ,µ
( x)δx
µ
（1.19）
将（1.19）式代入（1.18）式可得
∂ ∂x µ
[(ζ
−
gδx µ
−
∂(ζ ∂φ
− g)φ
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广义相对论的角动量守恒定律与广义守恒定律
张春华
沧州师专物理与电子信息系，河北沧州（061001）
E-mail：chunhuazhang001@yahoo.com.cn
摘 要：本文根据最小作用量原理，简明扼要首次推导出更为完整的角动量守恒定律与广义 守恒定律。 关键词： 广义相对论，角动量守恒，自旋守恒，广义守恒，最小作用量原理 中图分类号：O412.1
Ω 为场存在的整个时空范围。同时假定对任何一个场的体系，都存在着一个拉格朗日密度
ζ ，它是场函数φ A (x) 及其导数φ A,µ (x) 的泛函，并且假定在 Ω 的边界面 S 上场函数φ A (x) 及
其变分为零，即
φ A (x) S = 0 ，δφ A (x) S = 0
（0.1）
为便于讨论，除特别说明外，全文讨论都采用 h = c = G = 1的自然单位制和爱因斯坦求和
∂(ϑ µ − g )
∂x µ
=0
（1.24）
当然，由广义拉格朗日方程（1.23）式亦可推出爱因斯坦引力场方程[6]
Rµν
−
1 2
g µν R
=
8πTµν
（1.23’）
假设（1.2）式和（1.3）式的微量变换是具有连续变化参数
{ } α = ααLβ
（1.25）
的变换，其中α 代表具有指标参数ααLβ 的集合。既有
∫ I ' = ζ (φ' A (x' ),φ ' A,µ (x' )) − g' (φ A (x' )d 4 x'
Ω'
（1.4）
式中， Ω' 表示在坐标系 x' 中所对应的积分区域。为便于讨论，令
x'µ ≡ x µ ，φ'A (x) ≡ φ A (x) （1.5） 于是有
φ'A (x') ≡ φ A (x) = φ A (x + δx) （1.6）