现代设计方法4-3 三角形三节点平面单元

0
ci
0 cj
0
cm
由单元节点位移{d }e求单元内部任一点位移{d (x,y)}
{d (x,y)}=[m(x,y)]{a }=[m(x,y)][L]{d }e
ai 0 a j 0 am 0
bi
0 bj
0 bm
0
[m(
x,
y)][L]
1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0 y
1 2
ci 0
三角形单元i, j, m在ij边上的形函数与第三个顶点 的坐标无关。
例：求图示单元Ⅰ和单元Ⅱ的形函数矩阵
y
4
ji
Ⅰ
m
1
P/2
3
m
Ⅱ
ij
x
2
P/2
y j (0, a)
y
(0, a)
i
Ⅱ
a
Ⅰ
b
m
(0, 0)
（a）
ix
(b)
(b,0)
分别如上图所示：
Ni
(x,
y)
1 2
(ai
bi x
ci
y)
ijm
(b, a)
a
Ⅰ
b
m
(0, 0)
ix
(b,0)
Ni (x,
y)
1 2
(ai
bi x
ci
y)
ijm
ai x j ym xm y j 0 a j xm yi xi ym 0
am xi y j x j yi ab
bbij
y j ym ym y j
a 0
bm yi y j a
function)。矩阵[N]称为形函数矩阵(shape function
matrix) 。
➢形函数物理意义：Ni(x,y) ，节点i单位位移，其它节点 位移分量为0，单元内部产生位移分布形状
形函数的性质：
在单元任一点上，三个形函数之和等于1。 形函数Ni在i点的函数值为1，在j点及m点的
函数值为零。
vj
j
uj
{di} = [ui vi]T
单元节点位移向量{d }e可写成
{d }e = [di dj dm]T
= [ui vi uj vi um vm]T
v
vm
u
m
um
三角形三节点单元
vi ui
i
x
六个位移分量需六个待定参数
a1，a2，……，a6
设单元内任一点位移分量是坐标(x,y)的线性函数：
u(x, v(x,
y) y)
a1 a4
a2 a5
x x
a3 a6
y y
(4.22)
写成矩阵的形式为：
a1
a
2
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(x,
y)
u(x, v(x,
y)
y)
1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0
y
a a
3 4
m(
x,
y)a
a
5
a6
(4.23)
(2) 由单元节点位移{d }e求位移参数{a }
单元分析的步骤：
节点 (1) 单元内部 (2) 单元 (3) 单元 (4) 节点
位移
各点位移
应变
应力
力
单元分析
2.1 由节点位移求单元内部任一点位移
(1) 单元位移模式
有限元法中，通常采用位移法进行计算，即取节点的位移分量
为基本未知量，单元中的位移、应变、应力等物理量，都和基
本未知量相关联。
y
节点i的位移分量可写成
a1
1 A
ui uj um
其中，
xi xj
yi yj
1
a2
1 A
1
ui uj
xm ym
1 um
1 xi yi A 1 xj yj
1 xm ym
yi yj
1
a3
1 A
1
xi xj
ym
1 xm
ui uj um (b)
对v同理可列出a4、a5、a6的方程 ：
vi = a4+a5 xi+a6 yi
0 ai
cj 0
0 aj
cm 0
0
am
0
bi
0 bj
0
bm
0 ci 0 c j 0 cm
Ni
(x, 0
y)
0 Ni (x, y)
N j (x, y) 0
0 N j (x, y)
Nm(x, y) 0
0
Nm
(
x,
y)
[N(x, y)]
Ni
(x,
y)
1 2
(ai
bi
x
ci
y)
ijm
d
(
x,
y
)
u(x, v(x,
y) y)
N
(
x,
y)d
e
u(x, y) Ni (x, y)ui N j (x, y)u j Nm (x, y)um
v(x,
y)
Ni
(x,
y)vi
N
j
(x,
y)v j
Nm
(x,
y)vm
Ni, Nj, Nm是坐标的连续函数，反映单元内位移的分布 状态，称为位移的形状函数，简称形函数(shape
1 2
1 A 11
2
xi xj
yi yj
1 xm ym
1 2
(x
j
ym
xm
yi
xi
y
j
xm
yj
xi
ym
xj
yi
)
将a写成矩阵形式，有{a }=[L]{d }e
ai 0 a j 0 am 0
bi
0 bj
0 bm
0
L
1 2
ci
0
0 ai
cj 0
0 aj
cm 0
0
am
0 bi 0 bj 0 bm
解出a1~ a6结果：
a1
1 2
(aiui
a ju
j
amum
)
a2
1 2
(biui
bju j
bmum )
a3
1 2
(ciui
c ju j
cmum
)
a
4
1 2
(aivi
ajvj
amvm
)
a5
1 2
(bivi
bjvj
bmvm )
a6
1 2
(civi
cjvj
cmvm )
{a }=[L]{d }e
为三角形单元面积。
m
jx
(b,0)
①单元Ⅰ如图所示。设a=1m, b=2m.
1
1
2 (xi y j xj yi xm yi xi ym xj ym xm y j ) 2 ab
(或直接由图形可知其面积)
②求系数ai, aj, am, bi, bj, bm, ci, cj, cm
y j (0, a)
4.3 平面问题的有限单元法
三角形三节点平面单元
有限元分析的基本步骤：
结构离散化
单元分析
整体分析
1 结构离散化
1m
例：图示一悬臂梁，梁的厚度为t，设泊松比m =1/3，
弹性模量为E，试用三节点三角形单元进行离散。
P/2
A
P/2 y
4
3
2m
l
ji
m
Ⅱ
P/2
Ⅰ
m
ij
x
1
2
P/2
2 单元分析
单元分析的主要内容：由节点位移求内部任一点的 位移，由节点位移求单元应变、应力和节点力。
i, j, m
解得： a4、a5、a6
为了书写的简便与规格化，引入记号
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
bi
1
1
yj ym
y j ym
1 ci 1
xj xm
xm x j
ijm
1 xi yi A 1 xj yj
1 xm ym
ai, bi, ci分别为行列式A中各行各个元素的代数余子式
设节点i，j，m坐标分别是xi，yi；xj，yj；xm，ym。把三个节点 的坐标及其水平位移代入式(4.22)中得：
uuij
a1 a1
a2 xi a2x
a3 yi j a3y
j
解得：um a1 a2 xm a3 ym
uuij
1 1
xi xj
yi yj
aa12
(a)
um 1 xm ym a3