考研数学-函数与极限.
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2n
u( x), 须使u( x ) 0；
(3)对数函数： ln[u( x )], 须使u( x ) 0； (4)arcsin u( x ),arccos u( x ), 须使 u( x) 1；
(5) tan u( x ),sec u( x ), 须使u( x ) k ,k =0, 1, 2, 2 (6)cot u( x ),csc u( x ), 须使u( x ) k ,k =0, 1, 2, (7)多个函数的代数和的定义域： 是其各自定义域的交集.
(1)定义域关于原点对称，奇偶性是整体概念；
(2)奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形 关于y 轴对称；
2 (3) 奇偶函数的定义域不一定是R.
如：y tan x在x k
时是奇函数吗？ 是
(4) 若 f ( x ) 在 x = 0 有定义 , 则当 f ( x )为奇函数时,则 f (0) 0. (5)设函数f ( x)的定义域D关于原点对称, 则f ( x )一定可以 表示成奇函数与偶函数的和. 事实上 1 1 f ( x )= f ( x ) f ( x ) + f ( x )+f ( x ) f ( x )=奇函数+偶函数 9 2 2
狄里克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
T
都是周期函数但都没有最小的正周期.
则f ( x )以 结论： 若f ( x )以T为最小正周期，
最小正周期， 0.
为
10
例1 f ( x )= x sin x e cos x ( x R )是( D )
( A)有界函数; ( B )单调函数; (C )周期函数; ( D)偶函数.
6
但无界不一定 无穷大一定无界， 3.区分无界与无穷大， 是无穷大. 1 1 如：f ( x ) sin 在( 1, 0) (0,1)上无界. x x 1 当x 时，f ( x ) (2k )sin(2k ) (2k ) 2 2 2 2 k 2 1 其中：k 0, 1, 2, 3, 而当x 时， 2k f ( x) 2k sin(2k ) 0， 找不到M 使 f ( x ) (2k ) M . 2 1 1 所以：f ( x ) sin 在( 1, 0) (0,1)上不是无穷大. x x
注意:(1)这里是严格单调 (2)单调性是局部概念.
y x 2在(0, )内是单调增加的，
y
x1 x 2 x
I
在(,0)内是单调减少.
8
(3)函数的奇偶性: 注意：
设D关于原点对称，对于 x D, 有 1） f ( x ) f ( x )， 则称f(x)为偶函数. 有 2）f ( x ) f ( x )， 则称f(x)为奇函数.
cos x = f ( x ) 选( D ) 解 f ( x )= x sin( x ) e cos( x ) = x sin x e
基础考研第一章
函数与极限
1
考研：
早开始比任何事情都重要.
2
一、函数
设x和y是两个变量， 1.函数定义： 如果对于每一个给定的 x D , 按照 法则，总有确 定的数值y和它对应，则称y是x的函数， 记作
y f ( x)
自变量
y
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域.
o
பைடு நூலகம்
当 x0 D 时，称 f ( x0 ) 为函数在点 x0 处的 函数值.
1 1 1 1， 如：f ( x ) 在[1, 2]上有界吗？ 2呢？ x x x
说明：1.界不唯一, 不一定找最小的界. 2.函数的有界性是局部概念.
但无界不一定 无穷大一定无界， 3.区分无界与无穷大， 是无穷大. 1 1 但它不是无穷大. 如：f ( x ) sin 在( 1, 0) (0,1)上无界， x x
4.还可定义有上界、有下界 有界的充分必要条件是既有上界又有下界
7
(2) 单调性 设函数 y f ( x ) , x D ,区间I D ,
x1 , x2 I , 当x1 x2时
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x )为 I 上的 单调增函数 ; 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x )为 I 上的 单调减函数 ;
相同 f ( x) x 2 sin2 x cos2 x与g(t ) t 2 +1是否相同？
f ( x)
3
x 4 -x 3 与g ( x ) x 3 x -1是否相同？相同
4
4.定义域的求法： 使函数解析式有意义的自变量的 取值范围是函数的（自然）定义域. (1)分式函数： 分母不等于零的自变量的值. (2)开偶次方：
(4) 周期性
设函数 y f ( x ) , x D x D , l 0 , 且 x l D ,若
则称 f ( x )为周期函数 , 称 l 为周期. 说明：10周期函数的定义域是无限的点集.
20周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f ( x ) C
5
5.函数的四种特性 设函数 y f ( x ) , x D , 区间 I D . (1)函数的有界性:
f ( x )在I 上有界 M 0使x I，都有- M f ( x ) M .
f ( x )在I 上无界 M 0，x0 I，使得 f ( x0 ) M .
函数值的全体组成的集合称为函数的值域.
图形:
D
x
( 一般为曲线 )
3
定义域 和 对应法则 2.函数定义的两要素： • 定义域:使表达式及实际问题都有意义的自变量集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 (1)定义域相同，(2)对应法则相同 3.两个函数相同的条件：
x2 x 2 如：f ( x ) 与g( x ) x 1是否相同？ 不同 x2
u( x), 须使u( x ) 0；
(3)对数函数： ln[u( x )], 须使u( x ) 0； (4)arcsin u( x ),arccos u( x ), 须使 u( x) 1；
(5) tan u( x ),sec u( x ), 须使u( x ) k ,k =0, 1, 2, 2 (6)cot u( x ),csc u( x ), 须使u( x ) k ,k =0, 1, 2, (7)多个函数的代数和的定义域： 是其各自定义域的交集.
(1)定义域关于原点对称，奇偶性是整体概念；
(2)奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形 关于y 轴对称；
2 (3) 奇偶函数的定义域不一定是R.
如：y tan x在x k
时是奇函数吗？ 是
(4) 若 f ( x ) 在 x = 0 有定义 , 则当 f ( x )为奇函数时,则 f (0) 0. (5)设函数f ( x)的定义域D关于原点对称, 则f ( x )一定可以 表示成奇函数与偶函数的和. 事实上 1 1 f ( x )= f ( x ) f ( x ) + f ( x )+f ( x ) f ( x )=奇函数+偶函数 9 2 2
狄里克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
T
都是周期函数但都没有最小的正周期.
则f ( x )以 结论： 若f ( x )以T为最小正周期，
最小正周期， 0.
为
10
例1 f ( x )= x sin x e cos x ( x R )是( D )
( A)有界函数; ( B )单调函数; (C )周期函数; ( D)偶函数.
6
但无界不一定 无穷大一定无界， 3.区分无界与无穷大， 是无穷大. 1 1 如：f ( x ) sin 在( 1, 0) (0,1)上无界. x x 1 当x 时，f ( x ) (2k )sin(2k ) (2k ) 2 2 2 2 k 2 1 其中：k 0, 1, 2, 3, 而当x 时， 2k f ( x) 2k sin(2k ) 0， 找不到M 使 f ( x ) (2k ) M . 2 1 1 所以：f ( x ) sin 在( 1, 0) (0,1)上不是无穷大. x x
注意:(1)这里是严格单调 (2)单调性是局部概念.
y x 2在(0, )内是单调增加的，
y
x1 x 2 x
I
在(,0)内是单调减少.
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(3)函数的奇偶性: 注意：
设D关于原点对称，对于 x D, 有 1） f ( x ) f ( x )， 则称f(x)为偶函数. 有 2）f ( x ) f ( x )， 则称f(x)为奇函数.
cos x = f ( x ) 选( D ) 解 f ( x )= x sin( x ) e cos( x ) = x sin x e
基础考研第一章
函数与极限
1
考研：
早开始比任何事情都重要.
2
一、函数
设x和y是两个变量， 1.函数定义： 如果对于每一个给定的 x D , 按照 法则，总有确 定的数值y和它对应，则称y是x的函数， 记作
y f ( x)
自变量
y
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域.
o
பைடு நூலகம்
当 x0 D 时，称 f ( x0 ) 为函数在点 x0 处的 函数值.
1 1 1 1， 如：f ( x ) 在[1, 2]上有界吗？ 2呢？ x x x
说明：1.界不唯一, 不一定找最小的界. 2.函数的有界性是局部概念.
但无界不一定 无穷大一定无界， 3.区分无界与无穷大， 是无穷大. 1 1 但它不是无穷大. 如：f ( x ) sin 在( 1, 0) (0,1)上无界， x x
4.还可定义有上界、有下界 有界的充分必要条件是既有上界又有下界
7
(2) 单调性 设函数 y f ( x ) , x D ,区间I D ,
x1 , x2 I , 当x1 x2时
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x )为 I 上的 单调增函数 ; 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x )为 I 上的 单调减函数 ;
相同 f ( x) x 2 sin2 x cos2 x与g(t ) t 2 +1是否相同？
f ( x)
3
x 4 -x 3 与g ( x ) x 3 x -1是否相同？相同
4
4.定义域的求法： 使函数解析式有意义的自变量的 取值范围是函数的（自然）定义域. (1)分式函数： 分母不等于零的自变量的值. (2)开偶次方：
(4) 周期性
设函数 y f ( x ) , x D x D , l 0 , 且 x l D ,若
则称 f ( x )为周期函数 , 称 l 为周期. 说明：10周期函数的定义域是无限的点集.
20周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f ( x ) C
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5.函数的四种特性 设函数 y f ( x ) , x D , 区间 I D . (1)函数的有界性:
f ( x )在I 上有界 M 0使x I，都有- M f ( x ) M .
f ( x )在I 上无界 M 0，x0 I，使得 f ( x0 ) M .
函数值的全体组成的集合称为函数的值域.
图形:
D
x
( 一般为曲线 )
3
定义域 和 对应法则 2.函数定义的两要素： • 定义域:使表达式及实际问题都有意义的自变量集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 (1)定义域相同，(2)对应法则相同 3.两个函数相同的条件：
x2 x 2 如：f ( x ) 与g( x ) x 1是否相同？ 不同 x2