考研数学-函数与极限.
高数考研重点罗列
考研数学高等数学重难点第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重要题型，要掌握求极限的几种经典方法）第一节映射与函数（一般章节）一集合（不用看）二映射（不用看）三函数（了解）第二节数列的极限（一般章节）（本节用极限定义证明极限的题目考纲不作要求，可不看）一数列极限的定义（了解）二收敛数列的性质（了解）第三节函数的极限（一般章节）一函数极限的定义（了解）二函数极限的性质（了解）第四节无穷小与无穷大（重要）一无穷小（重要）二无穷大（了解）第五节极限运算法则（注意运算法则的前提条件是极限存在）第六节极限存在准则（理解）两个重要极限（重要两个重要极限要会证明）第七节无穷小的比较（重要）第八节函数的连续性与间断点（重要基本必考小题）一函数的连续性二函数的间断点第九节连续函数的运算与初等函数的连续性（了解）一连续函数的和、差、积、商的连续性二反函数与复合函数的连续性三初等函数的连续性第十节闭区间上连续函数的性质（重要，不单独考大题，但考大题会用到）一有界性与最大值最小值定理（重要）二零点定理与介值定理（重要）三一致连续性。
（不用看）第二章导数与微分（小题的必考章节）第一节导数概念（重要）一引例（数三可只看切线问题举例）二导数的定义（重难点，考的频率很高）三导数的几何意义（理解）另外：数一数二要知道导数的物理意义，数三要知道导数的经济意义（边际与弹性）四函数可导性与连续性的关系（重要，要会证明）第二节函数的求导法则（考小题）一函数的和、差、积、商求导法则二反函数的求导法则三复合函数的求导法则四基本求导法则与求导公式（要非常熟）第三节高阶导数（重要，考的可能性大）第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数（考小题）、相关变化率（不用看）一隐函数的导数二由参数方程所确定的函数的导数三相关变化率（不用看）第五节函数的微分（考小题）一微分的定义二微分的几何意义三基本初等函数的微分公式与微分运算法则四微分在近似计算中的应用（不用看，基本上只要有近似两个字，考纲俊不作要求）第三章微分中值定理与导数的应用（考大题、难题经典章节）第一节微分中值定理（最重要，与中值定理的应用有关的证明题）一罗尔定理（要会证）二拉格朗日中值定理（要会证）三柯西中值定理（要会证）另外要会证明费马定理第二节洛比达法则（重要，基本上必定要考）第三节泰勒公式（掌握其应用，可以不用证明公式本身）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（考小题）一函数单调性的判定法二曲线的凹凸性与拐点第五节函数的极值与最大值最小值（考小题为主）一函数的极值及其求法二最大值最小值问题第六节函数图形的描绘（重要）第七节曲率（了解，只有数一数二考，数三不用看）一弧微分（不用看）二曲率及其计算公式（了解）三曲率圆与曲率半径（了解）四曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线（不用看）第八节方程的近似解（只要有近似，考研不考，不用看）第四章不定积分（重要）相对于数一、数三，本章数二考大题的可能性更大第一节不定积分的概念与性质一原函数与不定积分的概念（理解）二基本积分表（全背且熟练准确）三不定积分的性质（理解）第二节换元积分法（重要，其中第二类换元积分法更加重要）一第一类换元法二第二类换元法第三节分部积分法（考研必考）第四节有理函数的积分（重要）一有理函数的积分二可化为有理函数积分的习题举例第五节积分表的使用（不用看）第五章定积分（重要，考研必考）第一节定积分的概念与性质（理解）一定积分问题举例（了解）其中“变速直线运动的路程”数三不用看二定积分定义（理解）三定积分的近似计算（不用看）四定积分的性质（理解）第二节微积分基本公式（重要）一变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系（了解）数三不用看二积分上限的函数及其导数（极其重要，要会证明）三牛顿-莱布尼茨公式（重要，要会证明）第三节定积分的换元积分法与分部积分法（重要，分部积分法更重要）一定积分的换元法二定积分的分部积分法第四节反常积分（考小题）一无穷限的反常积分二无界函数的反常积分第五节反常积分的审敛法T函数（不用看）第六章定积分的应用（考小题为主）第一节定积分的元素法（理解）第二节定积分在几何学上的应用（面积最重要）一平面图形的面积二体积（数三只看旋转体的体积）三平面曲线的弧长（数三不用看，数一数二记住公式即可）第三节定积分在物理学上的应用（数三不用看，数一数二了解）一变力引直线所作的功二水压力三引力第七章微分方程（必考章节，本章相对于数学二相对最重要）第一节微分方程的基本概念（了解）第二节可分离变量的微分方程（理解）第三节齐次方程（理解）一齐次方程二可化为齐次的方程（不用看）第四节一阶线性微分方程（重要，熟记公式）一线性方程二伯努利方程（只有数一考，记住公式即可）第五节可降阶的高阶微分方程（只有数一数二考，理解）一型的微分方程二型的微分方程三型的微分方程第六节高阶线性微分方程（理解）一二阶线性微分方程举例（不用看）二线性微分方程的解的结构（重要）三常数变易法（不用看）第七节常系数齐次线性微分方程（最重要，考大题的备选章节）第八节常系数非齐次线性微分方程（最重要，考大题的备选章节）一型二第九节欧拉方程（只有数一考，了解）第九节常系数线性微分方程的解法举例（不用看）第八章空间解析几何与向量代数（只有数一考，考小题，了解）第一节向量及其线性运算一向量概念二向量的线性运算三空间向量坐标系四利用坐标作向量的线性运算五向量的模、方向角、投影第二节数量积、向量积、混合积一两向量的数量积二两向量的向量积三向量的混合积第三节曲面及其方程一曲面方程的概念二旋转曲面三柱面四二次曲面第四节空间曲线及其方程一空间曲线的一般方程二空间曲线的参数方程三空间曲线在坐标面上的投影第五节平面及其方程一平面的点法式方程二平面的一般方程三两平面的夹角第六节空间直线及其方程一空间直线的一般方程二空间直线的对称式方程与参数方程三两直线的夹角四直线与平面的夹角第九章多元函数微分法及其应用（考大题经典章节，但难度不大）第一节多元函数的基本概念（了解）一平面点集 n维空间二多元函数概念三多元函数的极限四多元函数的连续性第二节偏导数（理解）一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数（重要）第三节全微分（理解）一全微分的定义二全微分在近似计算中的应用（不用看）第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（理解小题）一一个方程的情形二方程组的情形（不用看）第六节多元函数微分学的几何应用（只有数一考，考小题）一一元向量值函数及其导数（不用看）二空间曲线的切线与法平面三曲面的切平面与法线第七节方向导数与梯度（只有数一考，考小题）一方向导数二梯度第八节多元函数的极值及其求法（重要，大题的常考题型）一多元函数的极值及最大值最小值二条件极值、拉格朗日乘数法第九节二元函数的泰勒公式（只有数一考，了解）一二元函数的泰勒公式(了解)二极值充分条件的证明（不用看）第十节最小二乘法（不用看）第十章重积分（重要，数二数三相对于数一，本章更加重要.数二数三基本必考大题）第一节二重积分的概念与性质（了解）一二重积分的概念（了解）二二重积分的性质（了解）第二节二重积分的计算法（重要，数二数三极其重要）一利用直角坐标计算二重积分二利用极坐标计算二重积分三二重积分的换元法（不用看）第三节三重积分（只有数一考，理解）一三重积分的概念（了解）二三重积分的计算（重要）第四节重积分的应用（只有数一考，了解）一曲面的面积二质心三转动惯量四引力第五节含参变量的积分（不用看）第十一章曲线积分与曲面积分（只有数一考，数二数三均不考；数一考大题、考难题经典章节）第一节对弧长的曲线积分（重要）一对弧长的曲线积分的概念（理解）与性质（了解）二对弧长的曲线积分的计算法（重要）第二节对坐标的曲线积分（重要）一对坐标的曲线积分的概念（理解）与性质（了解）二对坐标的曲线积分的计算法（重要）第三节格林公式及其应用（重要）一格林公式（重要）二平面上曲线积分与路径无关的条件（重要）三二元函数的全微分求积（理解）四曲线积分的基本定理（不用看）第四节对面积的曲面积分（重要）一对坐标的曲面积分的概念与性质（了解）二对坐标的曲面积分的计算法（重要）三两类曲面积分之间的联系（了解）第五节对坐标的曲面积分（重要）一对坐标的曲面积分的概念与性质（了解）二对面积的曲面积分的计算法（重要）第六节高斯公式（重要）、通量（不用看）与散度（了解）一高斯公式（重要）二沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件（不用看）三通量与散度（了解）第七节斯托克斯公式（重要）环流量与旋度（了解）一斯托克斯公式（重要）二空间曲面积分与路径无关的条件（不用看）三环流量与旋度第十二章无穷级数（数学二不考，不用看；数一数三考大题、考难题的经典章节）第一节常数项级数的概念与性质（一般考点）一常数项级数的概念（了解）二收敛级数的基本性质（考选择题章节）三柯西审敛原理（不用看）第二节常数项级数的审敛法（理解）一正项级数及其审敛法二交错级数及其审敛法三绝对收敛与条件收敛四绝对收敛级数的性质（不用看）第三节幂级数（重要）一函数项级数的概念（了解）二幂级数及其收敛性（最重要）三幂级数的运算（乘或除不用看）第四节函数展开为幂级数（数一相对数三本节更重要）第五节函数的幂级数展开式的应用（不用看）一近似计算二微分方程的幂级数解法三欧拉公式第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质（不用看）一函数项级数的一致收敛性二一致收敛级数的基本性质第七节傅里叶级数（数三不用看，数一了解）一三角函数系的正交性二函数展开为傅里叶级数三正弦级数和余弦级数第八节一般周期函数的傅里叶级数（数三不用看，数一了解）一周期为2l的周期函数的傅里叶级数二傅里叶级数的复数形式（不用看）。
考研数学二极限试题及答案
考研数学二极限试题及答案# 考研数学二极限试题及答案## 题目一：求极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答步骤：1. 首先，我们考虑极限的类型，这是一个0/0型的不定式。
2. 为了解决这个问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）。
3. 应用洛必达法则，对分子和分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1}\]4. 当 \(x \to 0\) 时，\(\cos x\) 趋向于 1。
5. 因此，极限的值为 1。
答案：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]## 题目二：函数极限题目描述：求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2}\)。
解答步骤：1. 观察极限表达式，这是一个无穷大的倒数。
2. 当 \(x\) 趋向于无穷大时，\(x^2\) 也趋向于无穷大。
3. 任何数除以一个趋向于无穷大的数，结果都趋向于 0。
答案：\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\]## 题目三：复合函数的极限题目描述：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求极限 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)。
解答步骤：1. 直接将 \(x = 2\) 代入函数 \(f(x)\) 中。
2. 计算得到 \(f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2\)。
3. 简化得到 \(f(2) = 8 - 12 + 4\)。
4. 计算结果为 \(f(2) = 0\)。
答案：\[\lim_{x \to 2} f(x) = 0## 题目四：数列极限题目描述：考虑数列 \(a_n = \frac{1}{n}\)，求其极限。
2021考研数学：高等数学每章知识点汇总
2021考研数学：高等数学每章知识点汇总第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.会建立简单应用问题中的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
4.掌握基本初等函数的性质及图形。
5.理解复合函数及分段函数的相关概念，了解反函数及隐函数的概念。
6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存有与左右极限间的关系。
8.掌握极限存有的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9.掌握极限性质及四则运算法则。
10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练使用微分中值定理证明简单命题。
2.熟练使用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。
3.了解函数图形的作图步骤。
了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。
4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。
第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。
2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。
4.掌握不定积分的换元积分法。
第六章：定积分的应用1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。
2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。
函数的极限考研真题填空
函数的极限考研真题填空填空一：对于一个函数f(x)，当x无限靠近一个实数a时，如果f(x)的值也无限接近某个实数L，那么就称L为函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作：lim (x→a) f(x) = L填空二：要想计算函数的极限，我们可以通过一些特定的方法和定理来求解。
下面是一些常用的计算极限的方法：方法一：代入法当函数在某个点a处连续时，可以直接将a代入函数表达式中，求得极限的值。
方法二：夹逼定理当对于函数f(x)、g(x)和h(x)，在某个点a处有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim (x→a) f(x) = lim (x→a) h(x) = L时，我们可以推断lim (x→a) g(x) = L。
方法三：恒等变形通过将极限表达式进行恒等变形，通常是通过分子有理化、分解因式、提取公因式等操作，将极限转化为可以直接计算的形式。
填空三：解析题下面是一个函数的极限计算实例：例：已知函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，求lim (x→1) f(x)的值。
解：我们可以利用恒等变形的方法进行计算，首先分解f(x)为(x - 1)(x + 1)/(x - 1)，再将分子(x - 1)与(x + 1)相约去，得到f(x) = x + 1。
由于f(x)在x = 1处连续，所以我们可以直接将1代入f(x)，得到lim (x→1) f(x) = lim (x→1) (x + 1) = 2。
填空四：综合题下面是一个综合题的极限计算实例：例：已知函数f(x) = 3x^2 - x，g(x) = 2x - 1，求lim (x→2) (f(x) +g(x))的值。
解：我们可以利用恒等变形的方法将f(x)和g(x)进行合并，得到f(x) + g(x) = (3x^2 - x) + (2x - 1) = 3x^2 + x - 1。
将x = 2代入f(x) + g(x)，得到lim (x→2) (f(x) + g(x)) = lim (x→2) (3x^2 + x - 1) = 11。
考研数学大纲(数二)--2020版
三、一元函数积分学
考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和 基本性质 定积分中值定理 积分上限函数及其导数 牛顿—莱布尼兹公式 不定积 分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的 积分 反常（广义）积分 定积分的应用
考试要求 1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念. 2.理解不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换 元积分法与分部积分法. 3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分. 4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿—莱布尼兹公式. 5.了解反常积分的概念，会计算反常积分. 6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等） 及函数的平均值.
一、函数、极限、连续
数学（二）
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、
分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大
量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的
六、二次型
考试内容 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的 标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性
考试要求 1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念， 了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理. 2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形. 3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法.
考研数学考前公式
考研数学考前公式
考研数学考试的内容主要涉及高等数学、线性代数和概率论与数理统计三大部分，每个部分包含的内容和公式如下：
高等数学部分：
1. 极限公式：
对数函数极限：lim(log(1+x)/x)=1，当x趋于0时
三角函数极限：lim(sin(x)/x)=1，当x趋于0时；lim((1-cos(x))/x)=0，当x趋于0时
2. 牛顿-莱布尼茨公式：∫abf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数
3. 泰勒公式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-
a)^n/n!+Rn(x)，其中，Rn(x)是余项，有Lagrange余项和Cauchy余项两种形式。
线性代数部分：
1. 向量公式：
向量的模：a=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)
向量的点积：a·b=x1y1+x2y2+...+xnyn
向量的叉积：a×b=(y1z2-y2z1)i-(x1z2-x2z1)j+(x1y2-x2y1)k
2. 矩阵公式：
矩阵的乘积：C=AB，其中Cij=∑(k=1到n)AikBkj
矩阵的逆：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵A^-1满足AA^-1=A^-
1A=E
矩阵的秩：矩阵的秩是指它的行与列的最大线性无关组数，也就是矩阵中含有的一个最大的非零子式的阶数。
概率论与数理统计部分：
这部分的公式涉及的内容较多，可以查阅考研数学大纲或者相关教辅书来获取更全面的信息。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅考研数学大纲或咨询专业教师。
考研数学高数1极限与函数
第一讲：极限与函数数列极限：数列极限的严格定义不需要掌握，但需要理解如下定理：lim {}n n n x a x a →∞=⇔-是无穷小量数列极限的四则运算：设lim n n x x →∞=，lim n n y y →∞=，则：lim()n n n x y x y →∞±=±、lim()n n n x y xy →∞=、lim()(0)n n n x xy y y→∞=≠ 推论：若lim 0n n x →∞=，数列{}n y 有界，则lim 0n n n x y →∞=例：计算下列极限n n n n n 323)1(lim ++-∞→ )12(lim --+∞→n n n n数列极限的性质唯一性：如果数列{}n x 收敛，则其期限必唯一 有界性：如果数列{}n x 收敛，则该数列必定有界保序性：设数列{}n x 、{}n y 均收敛，且当n 足够大时，有n n x y >，则必有lim lim n n n n x y →∞→∞≥保序性的推论（保号性）：设数列{}n x 收敛，且当n 足够大时，有0n x >，则必有lim 0n n x →∞≥注意：1、后面的不等式并不是严格的不等号；2、保序性的逆命题不一定成立思考：求如下几个数列的极限：1111{sin }{sin }{sin }n n n n n n、、数列极限的三个常用定理：数列与其子列的关系：如果数列{}n x 收敛，则其任意子列均收敛，且收敛于同一极限lim n n x →∞；如果数列{}n x 中存在两个子列收敛于不同的极限，或是一个收敛一个发散到无穷大，则{}n x必发散。
例：计算(1)1lim[]nn n n-→∞+夹逼准则：如果当n 足够大时，数列{}n x 、{}n y 、{}n z 满足不等式n n n x y z ≤≤，且{}n x 、{}n z 收敛于同一极限，则{}n y 必收敛于该极限例：计算下列极限1、设0>>>c b a ，nn n n n c b a x ++=，求222111lim (1)(2)nn n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦2、2lim n n →∞⎛⎫+++ 3、222111lim (1)(2)n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎣⎦4、（思考）⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→22222212111lim n n n n n （需要用定积分来求）单调有界数列必收敛定理：如果数列{}n x 单调递增且有上界，或是单调递减且有下界，则{}n x 必收敛。
第一章函数极限连续典型例题(考研数学)
第一章 函数、极限、连续典型例题1：函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界（ ）. A. (1,0)- B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 解析：有如下的两个重要结论：❶若()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()f x 在闭区间[,]a b 上有界；❷若()f x 在开区间(,)a b 内连续，且极限lim ()x af x +→与lim ()x bf x -→存在，则()f x 在开区间(,)a b 内有界.当0,1,2x ≠时，()f x 连续，而1sin 3lim ()18x f x +→-=-，0sin 2lim ()4x f x -→=-，0sin 2lim ()4x f x +→=，1lim ()x f x →=∞，2lim ()x f x →=∞.所以()f x 在(1,0)-内有界，选（A ）.2：设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且lim 0n n a →∞=，lim 1n n b →∞=，lim n n c →∞=∞，则必有（ ）.A ．n n a b <对任意n 成立B ．n n b c <对任意n 成立C ．lim n n n a c →∞不存在 D ．lim n n n b c →∞不存在解析：应选（D ）.由数列极限保号性的条件得A 、B 两项不是无条件成立的，故A 、B错误.C 项中的极限是“0⋅∞”的未定式，极限有可能是存在的，故C 项也错误.选D 项.3：设()f x 在0x =的某邻域内连续，0()lim 21cos x f x x→=-，则在0x =处()f x （ ）.A ．不可导B ．可导且(0)0f '≠C ．取得极大值D ．取得极小值 解析：应选（D ）.由0()lim21cos x f x x→=-可得，0x →时，1cos 0x -→，则()0f x →，而()f x 在点0x =的某邻域内连续，得(0)0f =.于是000()()(0)0()(0)2limlim lim 21cos 01cos 0x x x f x f x f x f x f x x x x x→→→---=⋅=⋅=----，而02limx x →=∞，因此0()(0)lim 00x f x f x →-=-，即'(0)0f =.（A ）（B ）均错误. 00()()(0)limlim 201cos 1cos x x f x f x f x x→→-==>--，由函数极限的局部保号性可得，(0,)U δ∃，(0,)x U δ∀∈，有()(0)01c o s f x f x->-，而1c o s 0x ->，得()(0)f x f >，因此()f x 在0x =处取得极小值.4：设lim ,n n a a →∞=且0,a ≠则当n 充分大时有（ ）.A. 2n a a >B. 2n a a <C. 1n a a n >-D. 1n a a n<+ 解析：应选（A ）.用排除法，令n a 为简单数列的通项. （1）令21n a n =+，则lim 1n n a →∞=，11n a n >+，排除（D ）.（2）令21n a n =-，则lim 1n n a →∞=，11n a n <-，排除（C ）.（3）令11n a n=--，则lim 1n n a →∞=-，1112n a n -=+>，排除（B ）.5：设数列{}n x 满足110,sin (1,2,...).n n x x x n π+<<== （1）证明lim n n x →∞存在，并求该极限.（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证明（1） 由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=<，说明数列{}n x 单调减少且0n x >. 由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A .递推公式两边取极限得sin A A =，解得0A =. （2）原式21sin lim()nxn n nx x →∞=，为“1∞”型极限.因为离散型不能直接用洛必达法则，先考虑210sin lim()t t t t→. 22011sin lim ln 0sin lim()t ttt t t t e t→→=.其中2223220000011sin 1sin sin cos 112lim ln lim (1)lim lim lim 336t t t t t t t t t t t t t t t t t t →→→→→---=-====-. 所以 2221111016sin sin lim()lim()lim()nnxxn n x n n x nnx x x x x xe+→∞→∞→-===.6：41lim(cos 22sin )xx x x x →+解：（方法1）14441ln(cos22sin )limln(cos22sin )0lim(cos 22sin )lim xx x x x x x x xx x x x x x ee→++→→+==而42042040sin 2sin 2lim )sin 2sin 21ln(lim )sin 22ln(cos lim x xx x x x x x x x x x x x x +-=+-=+→→→121612lim 2sin 2lim 33030=⋅=+-=→→x x x x x x x ，所以原式31e =. （方法2）44121)sin 2sin 21(lim )sin 22(cos lim x x x x x x x x x x +-=+→→31sin 2sin 2sin 2sin 212422)sin 2sin 21(lim e x x x x xx x x x x x =+-=+-⋅+-→.7：1402sin lim ||1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解：1144002sin 2sin 2lim lim 11111x xx x x x e x e x x x e e --→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 1144002sin 2sin lim lim 01111x x x x x x e x e x x x e e ++→→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭； 左右极限存在且相等，所以1402sin lim 1.1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭8：22411limsin x x x x x x→-∞++++=+ .解：分子分母同时除以x （注意x 趋于负无穷大），可得2222411411limlimsin sin x x x x x x x x x x x xx x x→-∞→-∞++++++++=++ 22222241111141lim lim 1sin sin 1x x x x x x x x x x x x x x x →-∞→-∞+++-+-++++===+-+-.9：求221()lim 1n n n x f x x x →∞⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦的间断点，并判别类型. 解：当||1x <时，20nx→，则()1f x x =--，当||1x =时，则()f x x =-， 当||1x >时，2nx→∞，则()1f x x =-，1,||1(), ||11, ||1x x f x x x x x --<⎧⎪∴=-=⎨⎪->⎩.分段点为1x =±(1)1,(10)2,(10)0f f f =--=-+= (1)1,(10)2,(10)0f f f -=--=-+=则1x =±都为跳跃间断点.10：设)(x f 在[0,1]]连续，(1)0f =，212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，证明：（1）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()f ξξ=； （2）)(x f 在[0,1]上最大值大于1.证明：（1）由212()1lim112x f x x →-=⎛⎫- ⎪⎝⎭及)(x f 在[0,1]连续，得121=⎪⎭⎫⎝⎛f .令()()x f x x φ=-，111102222f φ⎛⎫⎛⎫=-=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)(1)110f φ=-=-<，由连续函数介值定理知存在1(,1)2ξ∈使()0φξ=，即()f ξξ=.（2）由于01211)(lim221>=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x f x ，由保号性定理知1111(,)(,)2222x δδ∀∈-+时，有()1f x >，故)(x f 在[0,1]上最大值大于1.。
考研数学高数定理定义总结
考研数学高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结高等数学是考研数学中的重要一部分，对于考研学生来说，掌握高等数学的知识点是非常重要的。
下面是对高等数学知识点的总结，希望对考研学生有所帮助。
一、函数与极限1. 函数的概念：函数的定义域、值域和图像2. 函数的性质：奇偶性、周期性等3. 极限的概念：数列极限和函数极限4. 极限的性质：极限的四则运算、夹逼定理等5. 单调性与有界性：单调递增、单调递减、有界二、导数与微分1. 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义2. 导数的运算法则：加法减法法则、乘法法则、复合函数法则等3. 高阶导数与隐函数求导4. 微分与微分近似三、高阶导数与泰勒公式1. 高阶导数的定义与运算法则2. 泰勒展开式与泰勒公式四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与运算法则2. 反常积分：可积性、柯西准则、比较判别法等3. 定积分的概念与性质：函数积分的线性性、可加性、区间可加性等4. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用五、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质：定义域、值域、图像等2. 偏导数的概念：一阶偏导数、高阶偏导数3. 隐函数求导与全微分的概念4. 多元函数的极值与条件极值六、重积分与曲线曲面积分1. 二重积分的概念与计算方法：极坐标法、换元法、直角坐标系下的积分法2. 三重积分的概念与计算方法：柱面坐标法、球面坐标法、直角坐标系下的积分法3. 曲线积分与曲面积分的概念与计算方法七、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：初值问题、解的存在唯一性2. 高阶线性常微分方程与常系数齐次线性方程3. 常微分方程的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性非齐次方程法等4. 常微分方程的应用：动力学模型、电路网络分析等八、级数1. 级数的概念与基本性质：收敛、发散、极限、级数的四则运算等2. 正项级数与比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 幂级数与泰勒级数展开高等数学知识点总结完毕，以上知识点对考研的高等数学考试来说是基础中的基础。
考研数学基础经典第一章函数与极限课件
函数与极限2
考研数学基础经典第一章函数与极限
11
•第一个重要极限
•应注意的问题
lim sin x =1 x0 x
在极限 lim
sina(x) a(x)
中
只要a(x)是无穷小
就有
lim
sina(x) a(x)
=1
这是因为 令u=a(x) 则u 0 于是
lim sina(x) =lim sinu =1 a(x) u0 u
x0
x
2 x
2
1
1
limarccotx=0, limarccotx=,limex =,limex =0.
x
x
x0
x0
2 . 极 限 不 存 在 的 例 子
1
limex， limarctanx,limarccotx,limex,limsinx,limcosx,
x x
x
x 0 x
x
1
1
1
limtanx,limcotx,limsin ,limcos ,limarctan .
2
考研数学基础经典第一章函数与极限
5
常用等价无穷小:
当 x0时 ,
sinx~ x, tanx~ x, arcsixn~ x, arctaxn~ x, ln1(x)~ x, ex 1~ x, 1co sx~1x2, ax 1~ xlna,
2
(1x)a 1~ax.
考研数学基础经典第一章函数与极限
6
例1 : 计算下列极限 .
解
原式 =
lim x ( 3
x
1 x3
1a
b x
)=0
lim( 3
x
2023考研数学高数重要定理：函数与极限
2023考研数学高数重要定理：函数与极限2023考研数学高数重要定理：函数与极限函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f〔x〕-geK1那么函数f 〔x〕在定义域上有下界，K1为下界假如有f〔x〕-leK2，那么有上界，K2称为上界。
函数f〔x〕在定义域内有界的充分要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理〔极限的性〕数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。
定理〔收敛数列的有界性〕假如数列xn收敛，那么数列xn一定有界。
假如数列xn无界，那么数列xn一定发散但假如数列xn 有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，〔-1〕n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的要条件而不是充分条件。
定理〔收敛数列与其子数列的关系〕假如数列xn收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.假如数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列1，-1，1，-1，〔-1〕n+1…中子数列x2k-1收敛于1，xnk收敛于-1，xn却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中定理〔极限的部分保号性〕假如lim〔x-rarrx0〕时f 〔x〕=A，而且A》0〔或A0〔或f〔x〕》0〕，反之也成立。
函数f〔x〕当x-rarrx0时极限存在的充分要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f〔x0-0〕=f〔x0+0〕，假设不相等那么limf〔x〕不存在。
一般的说，假如lim〔x-rarr-infin〕f〔x〕=c，那么直线y=c是函数y=f〔x〕的图形程度渐近线。
假如lim〔x-rarrx0〕f〔x〕=-infin，那么直线x=x0是函数y=f〔x〕图形的铅直渐近线。
4、极限运算法那么定理：有限个无穷小之和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理假如F1〔x〕-geF2〔x〕，而limF1〔x〕=a，limF2〔x〕=b，那么a-geb.5、极限存在准那么：两个重要极限lim〔x-rarr0〕〔sinx/x〕=1lim〔x-rarr-infin〕〔1+1/x〕x=1.夹逼准那么假如数列xn、yn、zn满足以下条件：yn-lexn-lezn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准那么也成立。
考研数学二(函数、极限、连续)-试卷5
考研数学二（函数、极限、连续）-试卷5(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设x→0时，ax 2 +bx+c—cosx是x 2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则( )（分数：2.00）√解析：解析：由题意得得c=1，又因为所以C。
3.设x→0时，(1+sinx) x一1是比xtanx n低阶的无穷小，而xtanx n是比(e sin2x一1)ln(1+x 2 )低阶的无穷小，则正整数n等于( )（分数：2.00）A.1B.2 √C.3D.4解析：解析：当x→0时，xtanx n～x.x n =x n+1。
因此2＜n+1＜4，则正整数n=2，故选B。
4.设当x→0时，(1一cosx)ln(1+x 2 )是比xsinx n高阶的无穷小，而xsinx n是比(e x2一1)高阶的无穷小，则正整数n等于( )（分数：2.00）A.1B.2 √C.3D.4解析：解析：因当x→0时，(1一cosx)ln(1+x 2 )是比xsinx n高阶的无穷小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinx n是比(e x一1)高阶的无穷小，知n+1＞2，即n＞1。
因此正整数n=2，故选B。
5.当x→0时，e x一(ax 2 +bx+1)是比x 2高阶的无穷小，则( )（分数：2.00）√B.a=1，b=1。
D.a=一1，b=1。
解析：解析：显然要使上式是比x 2高阶的无穷小(x→0时)，只要A。
6.当x→0时f(x)=x一sinax与g(x)=x 2 ln(1一bx)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）√解析：解析：本题可以利用排除法解答，由于ln(1一bx)与一bx为等价无穷小，则所以a 3 =一6b，故排除B，C。
2023考研数学高数必背定理：函数与极限
2023考研数学高数必背定理：函数与极限1500字函数与极限是数学高等教育中的重点内容，也是考研数学高数部分经常出现的题型。
为了帮助考生巩固相关知识，我将为大家介绍一些必背的函数与极限定理，希望对大家的备考有所帮助。
1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，有|f(x) - A| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为A，记作lim(x→x0)f(x) = A。
这个定义表达了函数在某点的极限值是指函数逼近某个常数。
2. 函数极限的性质：a. 唯一性：如果函数在某点的极限存在，那么它一定唯一；b. 保号性：若lim(x→x0)f(x) = A > 0，则存在x0的一个去心邻域，使得当x在该去心邻域内时，f(x) > 0。
3. 无穷大与无穷小：a. 无穷小定义：如果函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，并且lim(x→x0)f(x) = 0，那么称f(x)是当x趋于x0时的无穷小。
b. 无穷大定义：如果函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，并且lim(x→x0)|f(x)| = ∞，那么称f(x)是当x趋于x0时的无穷大。
4. 函数连续性定理：a. 第一类函数连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间上的每一个点x0处都满足lim(x→x0)f(x) = f(x0)，那么称函数在区间[a, b]上连续；b. 第二类函数连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且函数在x0的某一去心邻域内有定义，那么函数在点x0处连续的充分必要条件是函数在点x0的左右极限lim(x→x0-)f(x)和lim(x→x0+)f(x)存在且相等。
5. 闭区间上连续函数的性质：a. 有界性：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数在[a, b]上有界，即存在正数M，使得|f(x)| ≤ M对于所有的x∈[a, b]成立；b. 最值性：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
2024考研数学第一章节——函数极限,连续思维导图,脑图
函数的极限、连续极限定义性质唯一性局部有界性局部保号性重要计算方法洛必达法则运算法则泰勒公式公式展开原则1无穷小比阶无穷小量高阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?02低阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?∞3等阶无穷小5lim f(x)\g(x)=x→\?14同阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?A(不包括0,1)6（7个）未定式的样式和已定式的具体解法未定式——0/0I——1^∞II——∞/∞III——∞-∞IV——0*∞V——∞^0VI——0^0VII已定式带入数值直接计算连续、间断连续点的定义间断点的分类第一间断点可去间断点左、右极限存在，并且相同子主题1跳跃间断点左、右极限存在，并且不相同子主题1第二间断点无穷间断点子主题1震荡间断点子主题1备注：1. 适用条件主要原则：相消不为零原则次要原则：上下同阶原则2. 函数f(x)趋向于∞的速度函数g(x)快可以理解为高阶比低阶3. 函数f(x)趋向于∞的速度函数g(x)慢可以理解为低阶比高阶4. 两个函数趋向于1的速度一样快（同阶）5. 适用条件：x趋向于0，？趋向于01、sin x~x ——(推广) sin ?=?2、arc sin x~x ——(推广)arc sin ?~?3、tan x~x ——(推广)tan ?~?4、arc tan x~x ——(推广)arc tan?~? 5、e^x-1~x ——(推广)e^?-1~? 6、ln (1+x)~x ——(推广)l n (1+?)~?7、1- cos x~1\2 x^2 ——(推广)1- cos?~1\2 ？^2 8、(1+x)^?-1~?x ——(推广) (1+?)^a-1~a?6. 两个函数趋向于A的速度差不多一样快（同阶）。
考研数学二极限真题及答案
考研数学二极限真题及答案考研数学二的极限题目是高等数学中的一个重要部分，通常考察学生对函数极限、数列极限以及极限运算法则的掌握情况。
以下是一些典型的考研数学二极限真题及答案，供参考。
题目一：设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处连续，证明\( \lim_{x \to x_0} [f(x) - f(x_0)] = 0 \)。
答案：由于\( f(x) \)在\( x_0 \)处连续，根据连续函数的定义，对于任意给定的正数\( \epsilon > 0 \)，存在正数\( \delta > 0 \)，使得当\( 0 < |x - x_0| < \delta \)时，有\( |f(x) - f(x_0)| <\epsilon \)。
因此，当\( x \)趋近于\( x_0 \)时，\( [f(x) -f(x_0)] \)的值可以任意接近于0，即\( \lim_{x \to x_0} [f(x) -f(x_0)] = 0 \)。
题目二：计算极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
答案：考虑\( \sin x \)的泰勒展开式，有\( \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^3) \)。
将\( \sin x \)代入原式，得到\( \frac{\sin x}{x}= 1 - \frac{x^2}{3!} + o(x^2) \)。
当\( x \)趋近于0时，\( \frac{x^2}{3!} \)和\( o(x^2) \)都趋近于0，因此原极限的值为1，即\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
题目三：求极限\( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \)。
答案：这个极限是著名的欧拉数\( e \)的极限形式。
考研数一知识点总结大全
考研数一知识点总结大全一、极限与连续1. 函数极限：定义、性质、极限存在准则、无穷小与无穷大、夹逼定理、洛必达法则等。
2. 数列极限：定义、性质、单调有界数列的极限、无穷小与无穷大、柯西收敛准则等。
3. 连续性：函数连续的概念、常用函数的连续性、间断点的分类与性质、闭区间连续函数的性质等。
二、微分学1. 导数的定义：函数在一点处的导数、导数的几何意义、导数的物理意义等。
2. 导数的运算：常见函数的导数、高阶导数、导数的四则运算、高阶导数的Leibniz 公式等。
3. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、洛必达法则等。
4. 隐函数与参数方程的求导：隐函数的导数、参数方程的求导、高阶导数的计算等。
三、积分学1. 不定积分：基本初等函数的不定积分、换元积分法、分部积分法等。
2. 定积分：定积分的定义、性质、牛顿-莱布尼茨公式、定积分中值定理等。
3. 积分中值定理：第一中值定理、第二中值定理等。
4. 微积分基本定理：微积分基本定理的两种形式、牛顿公式、柯西公式、Leibniz公式等。
四、级数1. 数项级数的收敛性：数项级数的概念、正项级数的收敛性判别法、一般项级数的审敛法、绝对收敛与条件收敛等。
2. 收敛级数的性质：收敛级数的四则运算、级数收敛性的不等式判别法、级数收敛的Cauchy准则等。
3. 函数项级数：函数项级数的概念、一致收敛性、函数项级数的积分法、逐项积分与微分等。
五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：常微分方程的定义、解的概念、初值问题、解的存在唯一性等。
2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程、齐次方程及一阶可降阶线性微分方程等。
3. 高阶常微分方程：高阶线性常微分方程、常系数齐次线性方程、常系数非齐次线性方程、欧拉方程等。
4. 线性常微分方程组：齐次线性常微分方程组、非齐次线性常微分方程组、解的结构等。
六、偏微分方程1. 偏微分方程的基本概念：偏微分方程的定义、分类、特征曲线、解的概念等。
考研数学-函数与极限
题型1 函数的性质一、基础知识例1.判别函数ln(y x =的奇偶性. 【答案】 ()()0f x f x +-=,奇函数.例2.在(,)-∞+∞内函数22(1)()1x f x x+=+为 【D 】 (A)奇函数. (B)偶函数. (C)无界函数. (D)有界函数. 例3.(04－34)函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界 【A 】(A)(1,0)-. (B)(0,1). (C)(1,2). (D)(2,3). 练习1.设sin ()tan xf x x xe=，则()f x 是 【C 】(A) 偶函数. (B)周期函数. (C)无界函数. (D)单调函数.题型2 数列的极限二、例题 (1) 考查定义例1.下列命题中正确的是 【D 】(A)当n 越大时,n u A -越小,则{}n u 必以A 为极限 (B) 当n 越大时,n u A -越接近于零,则{}n u 必以A 为极限(C)0,0,N ε∀>∃>当n N >时,有无穷项满足n u A ε-<,则{}n u 必以A 为极限 (D) 0,0,N ε∀>∃>当n N >时,仅有有限多项不满足n u A ε-<,则{}n u 必以A 为极限 (2)利用“单调有界准则”证明极限存在,求递归数列的极限例2.(022)设103x <<,1n x +=(1,2,)n =,证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限.【答案】32例3 (06-12-12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<==. (Ⅰ)证明lim n x x →∞存在,并求该极限 .(Ⅱ)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【答案】0,16e - 练习1.设1211112,2,,2,n nx x x x x +==-=-证明数列{}n x 的极限存在,并求此极限. 【答案】 12.的极限存在,并求此极限.【答案】23.(96-1)设110,x=1nx+=(1,2,)n =,试证数列{}n x的极限存在,并求此极限.【答案】3（3）利用“夹逼准则”与“定积分的定义”求n项和的极限例4.(04-2)lim ln(1)n n→∞+【B】（A）221ln xdx⎰. （B）212ln xdx⎰. （C）212ln(1)x dx+⎰. （D）221ln(1)x dx+⎰.例5. （98-1）求2sin sin sin lim()1112nn nn n nnπππ→∞++++++. 【答案】2π.练习1.(02-2)1lim 1cosn n→∞+=π.2.(99-4)设函数()(0,1),xf x a a a=>≠则21lim ln[(1)(2)()]nf f f nn→∞=1ln2a.题型3 函数的极限(**)ln ,x a ,x x n．起到简化运算的作用(一) 考查定义、性质、定理例1.设0lim ()lim ()x x x x f x g x →→与都不存在,则 【D 】(A)0lim[()()]x x f x g x →+一定不存在.(B) 0lim[()()]x x f x g x →－一定不存在.(C)当0lim[()()]x x f x g x →+与0lim[()()]x x f x g x →－有一个存在，则另一个一定存在.(D)0lim[()()]x x f x g x →+与0lim[()()]x x f x g x →－都有可能存在.例2．设0x x →时，()f x 不是无穷大，则下述结论正确的是 【D 】 (A)若()g x 是无穷小，则()()f x g x 必是无穷小. (B) 若()g x 不是无穷小，则()()f x g x 必不是无穷小. (C)若在0x x =的邻域内()g x 无界，则()()f x g x 必是无穷大. (D) 若在0x x =的邻域内()g x 有界，则()()f x g x 必不是无穷大. （二）0,00∞∞-∞⋅∞∞，，型未定式极限例3.(07-2) 30arctan sin limx x x x →-=16-. 例4.(07-34)3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞++++=0. 例5.(06-2) 0ln(1)lim1cos x x x x→+-=2.例6.(06-34-7分)设1sin(,),0,01arctan xy yyf x y x y xyxπ-=->>+求（1）()lim (,)y g x f x y →+∞=;（2）0lim ()x g x +→. 【答案】(1) 11()arctan xg x x x π-=-; (2)π. 例7.(05-34) 12sin lim 2+∞→x xx x = 2.例8.011lim()1x x x e x →++-= 12-. 练习1.0lim ln (0)nx x x n +→>=0.2.(99-2)0x →= 12-. 3.(92-1)x x →4.(93-2) lim )x x x →-∞=－50.5.(99-1) 211lim()tan x x x x →-=13. 6.(91-2)1101lim x x xex e+→-+ 1-.（三）幂指函数求极限（001,0,∞∞）例9.（06-34）()11lim nn n n -→∞+⎛⎫=⎪⎝⎭1.例10.（04-2-10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【答案】16-例11. (90-1)设a 是非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-2a e . 练习1.(03-1) 21ln(1)lim cos x x x+→=12e -.2.tan 0lim(arcsin )xx x +→=1.3.1ln 0lim(cot )xx x +→= 1e -.(四)无穷小阶的比较例12.(07-1234)当0x +→等价的无穷小量是【B 】(A)1-(B) ln(1.(C) 1. (D) 1-例13.(04-12)把0x +→时的无穷小2cos xt dt α=⎰,2x β=⎰,30t dt γ=排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是 【B 】(A),,αβγ. (B),,αγβ. (C),,βαγ. (D),,βγα.练习1.(97-3)设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()()f x g x 是的 【C 】(A)同阶非等价. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)低阶无穷小.2.(97-4) 设(),()f x x ϕ在点0x =的某邻域内连续,且当0x →时,()()f x x ϕ是的高阶无穷小,则当0x →时,()sin xf t tdt ⎰是0()xt t dt ϕ⎰的 【C 】(A)同阶非等价. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)低阶无穷小. （五）由无穷小量阶的比较确定未知量的值例14.（05-2）已知当0x →时,2()x kx α=与()x β=是等价无穷小,则常数k =34． 例15. (02-1)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续函数,且(0)0f ≠,'(0)0f ≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小,试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==- 方法一:导数定义 方法二:连续函数在一点的极限可直接代值 方法三:泰勒定理例16. (06-24)试确定常数,,A B C 的值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax O x ++=++，其中3()O x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.【答案】121,,336A B C ==-= 练习1. (91-1)已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =32-．。
年考研数学函数与极限解题技巧与方法分享
考研数学函数与极限解题方法总结
解题方法的归纳与总结
极限的定义和性质：理解极限的概念，掌握极限的性质和运算法则
极限的计算方法：掌握极限的计算方法，如洛必达法则、泰勒公式等
函数的连续性：理解函数的连续性，掌握连续函数的性质和运算法则
导数的定义和性质：理解导数的概念，掌握导数的性质和运算法则
添加标题
导数与积分的关系：导数是积分的基础，积分是导数的推广
添加标题
导数在函数与极限中的应用：通过求导，可以找到函数的极值点，从而求解极限问题
添加标题
积分在函数与极限中的应用：通过积分，可以求解一些复杂的极限问题，如无穷小量、无穷大量等
添加标题
函数与极限的应用题解题技巧
掌握解题式法：将函数展开为泰勒级数，然后求极限
直接代入法：将函数值代入极限表达式，直接求解
极限的存在性定理
极限的存在性定理与连续性的关系：如果函数在某一点处的极限值存在，那么该点处的函数值也存在，即函数在该点处连续
极限的存在性定理的应用：判断函数在某一点处的极限值是否存在，以及求解极限值
极限的存在性定理：如果函数在某一点处的极限值存在，那么该点处的函数值也存在
/单击此处添加副标题内容/
考研数学函数与极限解题技巧与方法分享
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目录
Part One.
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Part Two.
考研数学函数与极限概述
Part Three.
考研数学函数解题技巧
Part Four.
考研数学极限解题技巧
Part Five.
考研数学函数与极限综合解题技巧
Part Six.
极限的应用，如求极值、最值、凹凸性等
Part Three
考研数二高等数学教材要考的范围
考研数二高等数学教材要考的范围高等数学是考研数学科目中的一项重要内容，数二即高等数学二，是考研数学中的一部分。
要顺利通过考研数二高等数学科目，了解教材要考的范围是非常重要的。
本文将介绍考研数二高等数学教材要考的范围，以帮助考生更好地备考。
一、函数与极限1.1 函数的概念及性质1.2 极限的概念与性质1.3 极限存在准则1.4 函数的连续性与间断点二、导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 微分的概念与性质2.3 函数的求导法则2.4 高阶导数与高阶微分2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 高阶导数的应用三、不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.2 基本积分公式与常用积分公式3.3 定积分的概念与性质3.4 定积分的计算方法3.5 反常积分的概念与性质四、级数4.1 数项级数的概念与性质4.2 收敛级数与发散级数4.3 正项级数的审敛法4.4 幂级数的概念与性质五、多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数的概念与性质5.3 隐函数的求导法则与全微分5.4 多元函数的极值与条件极值六、重积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法七、向量与空间解析几何7.1 向量的概念与性质7.2 空间直线与平面的方程7.3 空间曲线与曲面的方程7.4 空间向量的内积与外积八、常微分方程8.1 常微分方程的基本概念8.2 一阶常微分方程的解法8.3 高阶常微分方程的解法上述是考研数二高等数学教材要考的范围，考生在备考时应该系统学习、掌握这些内容。
在学习过程中，可以结合教材中的例题和习题进行练习，以加深对知识点的理解和记忆。
同时，要注重理论与实际的结合，关注数学知识在实际问题中的应用。
此外，通过解析历年真题，了解考研数二高等数学的出题特点，对备考也会有所帮助。
在解题过程中，要注重思维方法的培养，提高解题的效率和准确性。
总之，考研数二高等数学教材要考的范围包括了函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、级数、多元函数与偏导数、重积分、向量与空间解析几何、常微分方程等内容。
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y x 2在(0, )内是单调增加的，
y
x1 x 2 x
I
在(,0)内是单调减少.
8
(3)函数的奇偶性: 注意：
设D关于原点对称，对于 x D, 有 1） f ( x ) f ( x )， 则称f(x)为偶函数. 有 2）f ( x ) f ( x )， 则称f(x)为奇函数.
狄里克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
T
都是周期函数但都没有最小的正周期.
则f ( x )以 结论： 若f ( x )以T为最小正周期，
最小正周期， 0.
为
10
例1 f ( x )= x sin x e cos x ( x R )是( D )
( A)有界函数; ( B )单调函数; (C )周期函数; ( D)偶函数.
4.还可定义有上界、有下界 有界的充分必要条件是既有上界又有下界
7
(2) 单调性 设函数 y f ( x ) , x D ,区间I D ,
x1 , x2 I , 当x1 x2时
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x )为 I 上的 单调增函数 ; 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x )为 I 上的 单调减函数 ;
(4) 周期性
设函数 y f ( x ) , x D x D , l 0 , 且 x l D ,若
则称 f ( x )为周期函数 , 称 l 为周期. 说明：10周期函数的定义域是无限的点集.
20周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f ( x ) C
相同 f ( x) x 2 sin2 x cos2 x与g(t ) t 2 +1是否相同？
f ( x)
3
x 4 -x 3 与g ( x ) x 3 x -1是否相同？相同
4
4.定义域的求法： 使函数解析式有意义的自变量的 取值范围是函数的（自然）定义域. (1)分式函数： 分母不等于零的自变量的值. (2)开偶次方：
(1)定义域关于原点对称，奇偶性是整体概念；
(2)奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形 关于y 轴对称；
2 (3) 奇偶函数的定义域不一定是R.
如：y tan x在x k
时是奇函数吗？ 是
(4) 若 f ( x ) 在 x = 0 有定义 , 则当 f ( x )为奇函数时,则 f (0) 0. (5)设函数f ( x)的定义域D关于原点对称, 则f ( x )一定可以 表示成奇函数与偶函数的和. 事实上 1 1 f ( x )= f ( x ) f ( x ) + f ( x )+f ( x ) f ( x )=奇函数+偶函数 9 2 2
2n
u( x), 须使u( x ) 0；
(3)对数函数： ln[u( x )], 须使u( x ) 0； (4)arcsin u( x ),arccos u( x ), 须使 u( x) 1；
(5) tan u( x ),sec u( x ), 须使u( x ) k ,k =0, 1, 2, 2 (6)cot u( x ),csc u( x ), 须使u( x ) k ,k =0, 1, 2, (7)多个函数的代数和的定义域： 是其各自定义域的交集.
5
5.函数的四种特性 设函数 y f ( x ) , x D , 区间 I D . ( 0使x I，都有- M f ( x ) M .
f ( x )在I 上无界 M 0，x0 I，使得 f ( x0 ) M .
6
但无界不一定 无穷大一定无界， 3.区分无界与无穷大， 是无穷大. 1 1 如：f ( x ) sin 在( 1, 0) (0,1)上无界. x x 1 当x 时，f ( x ) (2k )sin(2k ) (2k ) 2 2 2 2 k 2 1 其中：k 0, 1, 2, 3, 而当x 时， 2k f ( x) 2k sin(2k ) 0， 找不到M 使 f ( x ) (2k ) M . 2 1 1 所以：f ( x ) sin 在( 1, 0) (0,1)上不是无穷大. x x
函数值的全体组成的集合称为函数的值域.
图形:
D
x
( 一般为曲线 )
3
定义域 和 对应法则 2.函数定义的两要素： • 定义域:使表达式及实际问题都有意义的自变量集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 (1)定义域相同，(2)对应法则相同 3.两个函数相同的条件：
x2 x 2 如：f ( x ) 与g( x ) x 1是否相同？ 不同 x2
基础考研第一章
函数与极限
1
考研：
早开始比任何事情都重要.
2
一、函数
设x和y是两个变量， 1.函数定义： 如果对于每一个给定的 x D , 按照 法则，总有确 定的数值y和它对应，则称y是x的函数， 记作
y f ( x)
自变量
y
y f ( x)
因变量
数集D叫做这个函数的定义域.
o
当 x0 D 时，称 f ( x0 ) 为函数在点 x0 处的 函数值.
1 1 1 1， 如：f ( x ) 在[1, 2]上有界吗？ 2呢？ x x x
说明：1.界不唯一, 不一定找最小的界. 2.函数的有界性是局部概念.
但无界不一定 无穷大一定无界， 3.区分无界与无穷大， 是无穷大. 1 1 但它不是无穷大. 如：f ( x ) sin 在( 1, 0) (0,1)上无界， x x
cos x = f ( x ) 选( D ) 解 f ( x )= x sin( x ) e cos( x ) = x sin x e