课题研究数学家与函数
2024年终数学课题研究阶段性总结范文(2篇)
2024年终数学课题研究阶段性总结范文____年终数学课题研究阶段性总结____年是数学研究的关键时期，随着科技的快速发展和社会需求的变化，数学研究也面临着新的挑战和机遇。
在这一年的课题研究中，我主要集中在以下几个方面进行了深入的探索和研究，取得了一些初步的成果。
首先，我在代数方面的研究中主要关注了群论和环论。
群论是数学中非常基础和重要的一部分，它对代数学、几何学以及物理学等领域都有着广泛的应用。
通过对群和环的性质进行研究，我发现了一些新的结论，并在理论和应用上做出了一些突破。
例如，我发现了一种新的群结构，并探索了它在密码学中的应用。
此外，我还研究了环的同调代数和模论的一些新方法，为解决一些复杂的代数结构问题提供了新的思路。
其次，我在数论方面的研究中主要关注了素数和数论中的一些经典问题。
素数是数论研究的核心对象，其分布规律和性质一直是数学家们关注的热点问题。
通过分析素数的分布规律和性质，我发现了一些新的结论，并提出了一种新的素数筛法。
此外，我还研究了数论中一些经典问题，如哥德巴赫猜想和费马大定理，并在解决这些问题中取得了一些突破。
另外，我还在几何学方面进行了一些研究，主要集中在流形和曲面的性质和拓扑学的应用。
通过对流形和曲面的性质进行研究，我发现了一些新的拓扑学问题，并提出了一些新的解决方法。
此外，我还在图论和网络科学中应用了几何学的方法，解决了一些复杂网络结构和图的性质问题。
最后，在实际应用方面，我将数学理论与计算机科学、金融学、生物学等领域相结合，进行了一些交叉学科的研究。
例如，在金融学中，我研究了金融市场中的随机过程和期权定价模型，并提出了一种新的交易策略。
在生物学中，我研究了生物信息学和计算生物学的一些方法，并应用于基因组学和蛋白质结构预测等问题上。
总的来说，____年是我数学研究的一个丰收的一年。
在不同领域的研究中，我不断探索新的问题，提出新的方法，并取得了一些初步的成果。
然而，我也意识到数学研究仍然存在着许多挑战和困难，需要不断努力和深入探索。
关于一些数论函数的性质研究
ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｏ ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｓｏｕｒｃｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ Ｘ，砂，ｗｅ ｈａｖｅ ｇｉｖｅｎ ｄｏｕｂｌｅ Ｌ－ａｎｄ ｅｘｐｒｅｓｓｅｓ ｃ（七，ｌ，ｄ；ｘ，矽）ｓｉｍｐｌｅ ｆｏｒｍｕｌａ．Ｃｏｍｐａｒｅ ｗｉｔｈ Ｔｅｒｈｕｎｅ ｄｏｕｂｌｅ Ｌ－ａｎｄ ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａ，ｗｈｅｎ ｘ（一１）砂（一１）＝（一１）七＋“－ｄ＋１，ｗｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｅａｌ ｆｏｒｍ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｃ（七，ｌ，ｄ；Ｘ，砂）．
２
两北大学硕士学位论文
第 弟一 二早 章 数 鳅Ｔ论匕间简７Ｉ介’
§２．１数论的发展简史
人类从使用数字开始，生活中就伴随着自然数．随着实践的需要，数的概念 被进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整 数和负整数中间的中性数叫做０．它们合起来叫做整数（注：现在自然数的概 念有了改变，包括正整数和０）．对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算， 叫做四则运算．随着人们在对整数进行运算的应用和研究中，逐步熟悉了整数 的特性．如，整数可分为两大类：奇数和偶数．利用整数的一些基本性质，可以 进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今 来许多的数学家和学者不断地进行研究和探索．
ｌｌ
ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｎｕｍｂｅｒ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｎａｌｙｔｉｃ ｎｕｍｂｅｒ ｔｈｅｏｒｙ，ａｎｄ ｓｅｖｅｒａｌ ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｆｏｒｍｕｌａｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．
函数在生活中的应用
生活中的函数的观察与研究武山二中指导教师：周维强课题组长：康淑明课题组成员：王晨霞、赵小刚、裴正杰开题报告一、选题背景日新月异的崭新世界在告诉我们一个现实：知识本身的获得已经不是最重要的了，重要的是如何去获得知识，如何通过学习到的知识解决实际问题并将其应用到更广的范围。
《生活中的函数的观察与研究》主要是突出学生的主体地位，学生学习观察生活，师生共同研究探讨，学生收集资料，使学生获得成功，获得满足，为研究性学习进入数学教学做一点有益的探索。
二、研究目的我们这个星球，宛如飘浮在浩瀚宇宙中的一方岛屿，从茫茫中来，又向茫茫中去。
生息在这一星球上的生命，经历了数亿年的繁衍和进化，终于在创世纪的今天，造就了人类的高度智慧和文明。
这个世界的一切量，都跟随着时间纳变化而变化。
时间是员原始的自行变化的量，其他量则是因变量。
一般地说，如果在某一变化过程中有两个变量x，y，对于变量x在研究范围内的每一个确定的值．变量y都有唯一确定的值和它对应，那么变量n就称为自变量，而变量y则称为因变量，或变量x的函数．记为：y＝f(x)。
而有了函数，我们就可以用它来计算和观察分析这些量。
看它的变化规律。
继而把它运用到实际生活中，造福人类。
函数的意义就在此。
三、研究方案1.将研究课题分为几个方向，各自搜集资料，主要方向为：函数的历史;函数在生活中的应用。
2.要求：在指导老师的协调指导下，通过调查研究，小组合作共同完成一份探究性学习的报告。
3.研究方法图书馆资料查阅；生活中数据收集。
4.研究成果：研究论文5.研究步骤：（1）时间安排：2011.6.——2011.7（2）参与学生：高一（2）班部分学生（3）指导教师:数学老师三．函数的运用：研究性学习所做的工作(1)教师确定研究性学习的方向，生活实践中存在着各种各样问题，有一些是可以用函数知识来分析和解决的，找出它的解析式，这个函数的值是否存在最大或最小值？并且指出变量的意义。
(2)学生收集资料：①教科书、辅导书、网络②信息中心、图书馆③教师、家长社会科研机构专家及社会各方面的专业人才(3)整理资料：分析函数类型，对性质共同的函数类型进行探讨。
“课程思政”视域下中职数学教学设计——以“函数的概念”为例
“课程思政”视域下中职数学教学设计——以“函数的概念”为例发布时间：2023-03-06T03:04:58.576Z 来源：《教学与研究》2022年第20期作者：黄志维[导读] 函数是中职数学“十四五”职业教育国家规划教材基础模块的重要内容，同时是中职数学学习的重难点。
黄志维聊城高级财经职业学校山东聊城252000研究设计函数是中职数学“十四五”职业教育国家规划教材基础模块的重要内容，同时是中职数学学习的重难点。
在函数的教学设计过程中，通过结合我国日新月异发展进程、时事热点新闻、一带一路引领世界发展新格局、脱贫攻坚战的成就和我国数学家的卓越贡献等素材的嵌入和渗透，帮助中职生树立辩证唯物主义观、生态文明观、爱国爱党情怀，培养科技创新意识，养成良好的个性品格，有助于中职生形成正确的人生观、价值观和世界观，并将个人梦想融入到聊城地区发展的建设中和中华民族伟大复兴的中国梦中。
一、“课程思政”数学教学设计流程科学的教学设计框架是实现学科与思政融合的催化剂。
在“一四八”教学设计框架中坚持“一个核心”，即中职数学核心素养。
统筹课程思政切入点规划、数学基础分析、数学实施设计、教学评价设计“四个阶段”。
联结“八个融合点”，即：规划课程思政元素“切入点”；结合“学生特点”寻找数学核心素养与课程思政元素的“衔接点”，在 “契合点”上完成教学内容的重组；在教学目标的设定上体现“思政点”，教学过程中落实课程思政的“切入点”；通过教学评价，教师反思教学过程寻找“改进点”，通过学生评价实现“育人点”，达到课程育人的教学目标。
二、课程思政下“函数的概念”的教学设计分析2.1教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，中职阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻细函数，函数的思想方法将贯穿中职数学课程的始终。
通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用,函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等内容的联系也非常密切.函数的基础知识在现实生活，及其他学科中有着广泛的应用。
函数概念的发展史
函数概念的发展史函数概念的萌芽时期函数思想是随着人们开始运用数学知识研究事物的运动变化情况而出现的，16世纪，由于实践的需要，自然科学界开始转向对运动的量进行研究，各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家们关注的对象。
17世纪意大利数学家、科学家伽利略（Galileo，1564-16421是最早研究这方面的科学家，伽俐略在《两门新科学》一书中多处使用比例关系和文字表述了量与量之间的依赖关系，例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这实际上就运用了函数思想，与此同时，英国著名的物理学家、数学家、天文学家牛顿（Newton，1642-1727）在对微积分的讨论中，使用了“流量”一词来表示变量间的关系，1673年，法国数学家笛卡尔（Descartes，1596-1650）在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，引进了变量思想，并在他的《几何学》一书中指出：所谓变量是指“不知的和未定的量”，这成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了基础。
直到17世纪后期，在德国数学家莱布尼兹（Leib-niz，1646-1716）、牛顿建立微积分学时，还没有人明确函数的一般意义，大部分的函数是被当作研究曲线的工具，最早把“函数”（function）一词用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量，例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等，从这个定义，我们可以看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。
函数概念的初步形成18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展，瑞士著名数学家约翰·贝努利（Bernoulli Jo-hann，1667-1748）在研究积分计算问题时提出，积分工作的目的是在给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系，而要用莱布尼兹定义的函数表示出变量本身之间的关系是很困难的，于是，1718年贝努利从解析的角度，把函数定义为：变量的函数就是由某个变量及任意一个常数结合而成的量，其意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的函数，并且贝努利强调，函数要用公式来表示才行。
多元函数Taylor公式及其应用
2021年第08期256高教论坛多元函数Taylor公式及其应用刘心蕾西南石油大学，四川资阳000000一、课题背景：于一七一二年，泰勒公式由布瑞科泰勒所提出，他是英国的一位伟大的数学家.泰勒公式后来经过了拉格朗日以及柯西等数学家的进一步补充后，为数学理论未来的发展提供了非常有效的工具.近几年来关于公式的研究非常繁多，对泰勒公式在一些近似计算、向量值函数、等式与不等式、判断函数的敛散性和极限中都有特别深刻的研究.下面就我对其在几篇文章中的应用的理解为，在其中有一篇名为泰勒公式及其余项的证明中，主要研究的内容是先理解泰勒公式的一般型，在理解泰勒公式基本概念后，对泰勒公式的一般型进行一些推导，就可以分别得到佩诺型、拉格朗日型以及积分型三种不同形式的余项。
其次也研究了泰勒公式“中点函数”的可微性以及其余项“中间点”的渐进性.在高阶方向导数与多元泰勒定理的简单基本形式的文章中，泰勒公式对方向导数进行了推广.并且在对多元函数的研究中得到了高阶方向导数的概念及其相关方面的计算.最后，利用高阶方向导数从而推导出了多元函数泰勒公式的简单形式.泰勒是英国的一位伟大的数学家,他在函数值逼近上面做出了伟大的成就，而且他在函数值逼近上的研究结果显示:若这个函数具有一直到n + 1阶的导数，并且在某一个点的邻域中取得的值能用此函数在这一点的函数值和这个函数的各阶导数值所组成的n次多项式来近似表达出来，则由此产生的就称为泰勒公式.二、多元函数泰勒公式及其应用的发展状况:对于研究者来说，泰勒公式的证明与应用方面的研究一直都具有非常强大的吸引力.很多研究者在此领域中获得的成就很高，并且在一些优秀的文献中，有的作者在不等式和等式的证明和计算中都最大限度地利用了泰勒公式及其性质，而且使用的研究方法新颖又简便易懂，非常值得我们引以为我们学习的风向标.在泰勒提出公式后，一九九九年六月，就关于多元函数的高阶微分和泰勒共识这一篇文章的探讨中，它主要是研究了把一阶微分的微分定义为二阶微分的明确性，并且对多元函数泰勒公式也进行了一些推导，但在此文中仅仅是以二元函数来进行的展开。
凸函数的性质研究毕业论文完整版
凸函数性质研究摘要凸函数是分析学中一类重要的函数，最早是由Jensen提出。
它在纯粹数学与应用数学等诸多领域中应用十分广泛，现已成为对策论、数学规划、分形学、最优控制和数理经济学等学科的理论基础和有力工具。
为了理论上的突破，加强其在实践中的应用，凸函数的性质还在不断研究和完善中。
本文将散见于各文献中凸函数的概念进行了系统的归纳和总结，并给出了凸函数常见的判定定理，进而研究了凸函数的常用性质，列举了与凸函数相关的著名不等式；由于凸函数的定义是由不等式给出的，其广泛应用主要体现在不等式的证明中。
基于此，本文主要通过对凸函数的概念和性质进行系统的总结和研究，探索出凸函数在一般不等式，Jensen不等式，Holder不等式，Cauchy不等式，Young不等式，及Hadamard不等式证明中的应用，并简要阐述了凸函数在其它领域的贡献。
关键词：凸函数；不等式；导数；单调性Study on the properties of convex functionAbstractConvex function which was first proposed by Jensen is a kind of important functions in analytics. It is widely used in pure and applied mathematics ,etc. Convex function becomes the theoretical basis and the powerful tool of the game theory、mathematical programming theory、analysis、mathematical science、economics and other disciplines. In order to have a theoretical breakthrough which could strengthen the application in practice，the properties of convex function are being researched. In this article, the writer’s main work is summarizing the various concepts of convex functions which developed in different mathematical books. Furthermore, the writer also gives some definitions of common theorems and also enumerates the famous inequalities related to convex function. Because the definition of convex function is given by inequalities，its application mainly reflects in the proof of inequality. The writer mainly summarizes concepts and properties of the convex function and explores its application in the general inequality such as Jensen inequality, Holder inequality, Cauchy inequality, Young inequality and Hadamardinequality. Atlast, it discusses the contribution of convex function in other fields briefly.目录摘要 (1)第一章绪论 (2)1.1 凸函数的产生和发展 (2)1.2 凸函数研究的目的和意义 (2)第二章凸函数的定义及判定 (2)2.1 凸函数的定义及关系 (2)2.2 凸函数的判定定理 (2)第三章凸函数的性质 (2)3.1 凸函数的一般性质 (2)3.2 凸函数的运算性质 (2)3.3 凸函数的微分性质 (2)3.4 凸函数的积分性质 (2)3.5 凸函数的其他性质 (2)第四章凸函数的应用 (2)4.1 利用凸函数证明经典不等式 (2)4.2 凸函数的经典不等式在证明不等式中的应用[5] (2)4.3 利用凸函数的定义证明一般不等式[8] (2)4.4 凸函数在积分不等式中的应用 (2)4.5 凸函数在其它领域的应用简述 (2)4.5.1 凸函数在生产函数中的应用 (2)4.5.2 凸函数在消费者效用最大化问题中的应用 (2)第五章结论 (2)参考文献 (2)致 (2)第一章绪论1.1 凸函数的产生和发展函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象，而凸函数则是其中独特的一类。
陈建功(1893-1971)数学家,数学教育家。
陈建功（1893-1971）数学家，数学教育家。
早年在浙江大学数学系任教２０余年，后入复旦大学执教，后曾任杭州大学副校长。
研究领域涉及正交函数，三角级数，函数逼近，单叶函数与共形映照等。
是我国函数论研究的开拓者之一。
陈建功，字业成，１８９３年９月８日生于浙江绍兴府城里（今浙江省绍兴市）。
父亲陈心斋是城中慈善机构同善局里的一名小职员，月薪仅两块大洋。
陈建功是长子，有６个妹妹，家里生活十分清苦。
母亲鲁氏夫人贤淑勤俭，常为成衣铺作活，帮助维持生计。
陈老先生为人忠厚老实，供职２０余年，洁身自好，从无银钱上的差错，这不仅为人们所称道，也给子女以身教。
陈建功幼时，家贫无力延师。
５岁时开始附读于邻家私塾。
他聪颖好学，几年后就进了绍兴有名的蕺山书院。
１９０９年又考入绍兴府中学堂，鲁迅先生当年就在那里执教。
１９１０年进入杭州两级师范的高级师范求学。
３年中他最喜欢的课程是数学。
１９１３年毕业后，陈建功为了以科学富国强民，选择东渡日本深造的道路。
1914年，陈建功取得官费待遇考入日本东京高等工业学校学习染色工艺，然其数学志趣不减，故同时又考进了一所夜校——东京物理学校。
于是，他白天学化工，晚上念数学、物理，日以继夜地在两校辛勤学习。
５年中，他不仅学业突飞猛进，为以后打下坚实的基础，而且养成了珍惜时间的习惯。
１９１８年他毕业于高等工业学校，翌年春天又毕业于物理学校，满载学习成果回到祖国，任教于浙江甲种工业学校。
虽然教学任务繁重，但陈建功对数学的爱好有增无减；教学之余，全用力钻研数学，并指导着一个数学兴趣小组。
1920年，陈建功再度赴日求学。
他告别新婚之妻李国英（宁波人，１９３０年病故），来到日本仙台，考入东北帝国大学数学系，从此他开始了近代数学的研究。
１９２１年，陈建功的第一篇论文《Ｓｏｍｅｔｈｅｏｒｅｍｓｏｎｉｎｆｉｎｉｔｅｐｒｏｄｕｃｔｓ》在《东北数学杂志》发表了。
这是我国学者在国外最早发表的一批数学论文之一。
１９２３年，陈建功在东北帝国大学毕业后，回国任教于浙江工业专门学校，次年应聘为国立武昌大学数学系教授，从此开始了他的大学教学生涯。
有关数学史方面的论文参考范文
有关数学史方面的论文参考范文数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。
下文是店铺为大家整理的有关数学史方面的论文参考范文的内容，欢迎大家阅读参考!有关数学史方面的论文参考范文篇1浅析函数概念的提出与发展演变函数在当今社会应用广泛，在数学，计算机科学，金融，IT等领域发挥着举足轻重的作用;在数学发展的历史上，函数这一概念从提出到如今渗透到数学的各个层面，都在数学学科中有着不可撼动的地位。
学好函数、了解函数的发展历史不仅能提高我们对函数概念的认知度，还能有助于我们更好的运用函数解决实际问题。
1 函数产生的社会背景函数(function) 这一名称出自清朝数学家李善兰的着作《代数学》，书中所写“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.而在 16、17 世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴给人们的思想带来了觉醒，新兴的资本主义工业的繁荣和日益普遍的工业生产，促使技术科学和数学急速发展，这一时期的许多重大事件向数学提出了新的课题;哥白尼提出地动说，促使人们思考：行星运动的轨迹是什么、原理是什么。
牛顿通过落下的苹果发现万有引力，又自然使人想到在地球表面抛射物体的轨迹遵循什么原理等等。
函数就是在这样的一个思维爆炸的时代下渐渐被数学家们所认知和提出。
早在函数概念尚未明确之前，数学家已经接触过不少函数，并对他们进行了分析研究。
如牛顿在1669 年的《分析书》中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示;纳皮尔在1619 年阐明的对数原理为后世对数函数的发展提供有力依据。
1637年法国数学家笛卡尔创立直角坐标系，使得解析几何得以创力，为函数的提出和表述提供了更加直观的方式;直角坐标系可以很形象的表述两个变量之间的变化关系，但他还未意识到需要提炼一般的函数概念来阐述变量的关系。
17 世纪牛顿莱布尼兹提出微积分的概念，使得函数一般理论日趋完善，函数的一般概念表述呼之欲出。
高一各科学生研究性课题汇总
高一各科学生研究性课题汇总高一语文学科研究性学习课题名称：1、李白诗歌的月亮情结2、古典诗歌中的爱国情怀3、古典诗歌中的题材研究高一数学组参考选题：1、函数产生的社会背景2、函数概念发展的历史过程3、函数符号的故事4、数学家与函数（众多数学家对函数的完善作出了贡献，例如开普勒，伽利略，笛卡尔，牛顿，莱布尼兹，欧拉等，可以选取一位或者多位数学家，说明他们对函数发展作出的贡献，感受数学家的精神）目的：了解函数形成和发展的历史，体验合作学习的方式高一英语研究性课题：1、英语词汇的奥秘2、西方国家节日谈趣3、英语中的动物习语高一物理学科研究性学习课题名称：1、牛顿第一定律物理学史的探究2、伽利略对自由落体运动的研究3、力学单位制的发展过程4、生活中的超重失重现象的分析高一化学研究性课题：1.食品中的添加剂2.燃料电池发展前景及利用3.酸雨与人体健康.高一生物研究性课题：1. 病毒与生命科学，了解病毒相关知识以及病毒在生命科学中的重要作用。
2.关于健康饮水方法的研究，水是生命之源，怎样饮水才有利于身体健康？3.广告中的生物学知识，你知道的商品广告中有哪些生物学知识？有兴趣的话我们一起来研究吧！高一政治研究性课题：1.人民币知识探究，了解我国法币的发展，学会分析人民币发行的规律。
2.猪肉价格上升的短期影响，通过调查问卷，了解猪肉价格上升对生活、生产的影响，提升学生关注国计民生。
3.高一学生消费的心理调查，通过问卷案例了解学生消费心理，对学生消费心理进行分析和引导。
高一历史研究性学习课题名称1.微视角－－历史拐弯处的幽灵2.追索谱系乡谣，探寻宗族的前世3.穿梭古庙宗祠，感悟历史的沧桑。
研究性小课题参考题目
1、初高中语文学习内容衔接及教学方法的适应和学习方法的摸索2、现代人如何理解隐士文化3、语文与生活4、传统节日和文化生活5、古典诗词的主题意象研究6、浙江籍诗人研究7、成语典故的特点及运用8、酒文化或茶文化研究9、中国古代礼仪研究10、学习古文能给我们带来什么11、古代史书中的客侠形象12、《围城》修辞手法的运用13、略论网络文学的优劣14、我眼中的诸葛亮15、保定市民中成年人阅读情况抽样调查及我的见解16、我校学生课外阅读的倾向17、如何处理好课外阅读与课本知识的关系18、《红楼梦》中金陵十二钗命运分析19、初探保定方言文化20、“韩寒”现象的出现对传统教育模式带来哪些冲击21、走近孔子——感受“仁”者情怀22、走近《论语》——却说“君子”与“小人”23、浅谈《论语》关于做人的问题24、聆听先贤的教诲——三省吾身25、聆听先贤的教诲——交友26、孔子论学习方法--新小说与动漫问卷调查--梁山灯戏的艺术特色--张爱玲小说特色研究--马桶的文化--青少年肥胖现象研究--保定市各博物馆、科技馆的中小学生观众的情况调查报告--家庭教育的现状分析及提出的解决方案--三种土特产的比较研究--探访医疗保险改革--宋词--古今中外神话及宗教故事--广播在中学生中的影响1、田径比赛中的数学2、产品包装中的数学3、球类运动技术的数学分析4、音乐与数学5、银行存贷款利息和利税的调查6、黄金数的广泛应用7、解三角形在日常生活中的应用8、城镇/农村饮食构成及优化设计9、通讯网络收费调查统计10、交通设施中的数学科学11、银行存款利息和利税的调查12、气象学中的数学应用问题13、投资人寿保险和投资银行的分析比较14、黄金数的广泛应用15、以“养老金”问题谈起16、中国体育彩票中的数学问题17、如何存款最合算18、哪家超市最便宜19、数学中的黄金分割20、数学中的最优化问题21、中国古代数学的发展史与西方数学发展史的异同22、对保定中学南门车流量的统计及道路设计23、计算器的使用对高中生数学计算能力的影响24、暑期用电高峰调查及如何设置峰谷电25、立体体积表面积与内切球半径关系研究26、魔方的秘诀27、余弦定理在日常生活中的应用--数学学习方法研究--函数在实际生活中的应用--商品价格中的数学问题--数形结合问题研究报告--数学建模--中西式早餐对比研究--线性规划--探究计算机病毒--数学在生活中的应用--中国数学家的感人故事--导数在中学物理中的应用--对数学思想方法的认识1、中西餐桌文化的比较2、英语色彩的“颜”外之意3、西方节日的由来4、英英和美英的差别5、广告英语的特点6、修辞手法在英文写作中的运用7、饮食英语8、英语学习中性别差异9、色彩在英语学习的背后故事10、英文广告说明书与英语学习11、中英美人之间的交际习惯12、日常交际用语的使用及理解13、保定景点英语导游词14、学生英语学习日志成长撰写15、英语歌曲鉴赏16、虚拟语气的错误归因及对策研究17、电子词典对现代高中英语教学的影响18、巧译中文古诗初探19、中文餐饮名字的英语翻译及文化内涵探究--国外学习制度研究--中学生出国利与弊--如何提高英语口语--多元英语学习方略--广告英语的特点--饮食英语--标志英语--趣味英语收集--英诗赏析--听英文歌曲有助于英语学习--阅读方法与英语学习效果--中、英、美的交际习惯--英语颜色词语与心理情绪--中学生如何说好口语1、温度对水的折射率的影响2、各种汽车加速性能的对比研究3、观察分析自行车上增加和减少摩擦的做法4、刹车时车轮被抱死的利与弊5、影响拔河胜负的因素6、调查灶具的演变7、刀中的力学知识8、玻璃幕墙的光污染与预防9、运用物理知识研究影响推铅球成绩的因素10、弹性材料的弹性研究11、估测高压锅内的水温12、研究弹簧环子的周期和小球质量的关系13、古代中国的物理学贡献14、生活中的电磁辐射15、物体从不同高度下落，所受空气阻力的大小关系16、水流速度研究17、研究泊松亮斑18、电阻的测量19、电动机转动中的物理量研究20、液体流速对电阻的影响21、注水肉与电阻率的关系22、污水的霍尔效应研究23、本地地磁场强度的测定24、本地重力加速度的测定25、探究接触力与非接触力的内在联系及形成电与磁的本质联系26、探究各种家用电器铭牌的含义27、电动自行车行驶安全隐患的研究--自行车发电及电能应用研究--电池寿命的研究-- “水位自动控制器”研究--冰融化为水与质量、温度和时间的关系研究--家用电度表的计量精确度研究--关于火星开发的构想--对现行热水器的改进建议及未来热水器展望--计算机的储存介质--传感器--奇妙的电路化学研究性学习参考课题1、酒精可燃与不可燃临界浓度的研究2、厨房里的化学3、食品中的化学4、红砖中氧化铁成分的检验5、关于海水淡化问题的研究6、手巾和餐巾纸利弊的研究7、你认为喝什么水好（如.纯净水.自来水.矿泉水.纯水及天然水等）8、鸡蛋中化学问题9、了解水垢的形成原理，调查本地区水成分并提出快速除去水垢的方法。
初中数学教科书函数领域“问题情境”的国际比较研究
2020年第5期中学数学月刊・43・初中数学教科书函数领域“问题情境”的国际比较研究胡雪M （天津师范大学教育学部 300387）1引言自20世纪初，德 育家克莱 数学家贝利将函数引入中学数学教材，函数 为 整个中学数学程的 之一.函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.1通过函数的学习，学 解数学知识来源 活' 活，能够对于数学本的认识.但函数的高度抽象性使得教师的 学生的学大苦难2.而函数 ％ ”的合一定程度上有 改变，帮助学生把握数学内容的 ，提高 解 的能力数学素，同时有学 、意志、态度的究将 科书中函数的亚洲育 对 的 作比较，分科书“问题& 类型上的共性，以期为数学教科书的编写学中的有参考.2 计2.1研究对象中国、新加坡'“亚洲圈&文 较，且三个 的教育世（开究将对 个 的教科书 比较研究.三版教科书分取2013 民教育出版版的育教科书《数学》（以下简 版）、2013 新加坡ShingleePublishers Ptelted 出版的数学教科书 New SyllabusMathematics !以下简称NSM 版）和2017 育出版株式 版的中学校数学（以下简版）.2.2分析框架，本研究选取 版、NSM 版 版三版教科书（版教科书函数 的 线.由；的 学生身规律及已有，所以本究将根据各版教科书函数知识的呈序对问题分析.•线 1所表1三版教科书函数知识发展主线版线人教版函数（包含正比例函数）、二次函数仮比例函数NSM 版函数（包含正比例函数）仮比例函数、二次函数版比函数'比函数'函数、二函数（《育数学课程标准（2011年版）》指出，素材的 当充分 学生的认 活动经验，在反映数学 的 下 能近学生的 ，将学生现分为生活、数学学科个方 3，研究将 活、数学科学：情个 度对 版 科书函数的类型文本分析,内容包含函数（包括正比例函数）、二次函数比例函数 分.后（ 础上通过对各版教科书的横向比较与纵分析,总 版教科书问题情境创设的共性与特色,探的 性质.3果据究框架，本节将根据各版本函数的呈序对 版数学 科书中函数 的编码，统计总数及各类型数得出：人教版中共涉及232个，具体 1所示；NSM 版共涉及150个，具体 2所示；日本版共涉及105个,具体如3 所 3分 下33. 1题情境类型统计与分析计 ：各版教科书函数重活、数学及 学科之间的 （类型在不同函数部分或不同学段所占比例有较大.以下将 个维度分3（1）生活：人教版中 函数部分 大量生活，但其数量 学生学段的提高而有所下;NSM 版中生活 数量较为稳定，但其占比呈减;日本版中生活 数量整体上亦随学段提高呈减 （ 比 函数 中 学 的 （该部分 大量的 ，有 学生对函数的理解.80 62一次函数 二次函数 反比例函数■生活问题情境刁数学问题情境■科学问题情境图1人教版三种问题情境题数量（2）数学 ：人教版数学 二次函数分，整体上占主导 ；NSM 版 版中数学数量随学生学段的提高而增6052一次函数 反比例函数 二次函数■生活问题情境2数学问题情境■科学问题情境图2 NSM 版三种问题情境题数量（3）科学 ：人教版科学 的数量学生学段的 有所提高;NSM 版中科学问题比例函数部分设置 （ 函数和二次函数部分中 的 之 ；日本版中科学 数量学 学段的 高 增 3*本文是人民教育出版社课程教材研究所“十三五”课题“数学教材中问题情境呈现的内容与方法”（编号:KC2019-055）的阶段性研究.・44・中学数学月刊2020年第5期正比例函数反比例函数一次函数二次函数■生活问题情境刁数学问题情境■科学问题情境图3日本版三种问题情境题数量3.2教题情景的通过对三个科书的精细，本章节将向比较分合的角度分析总有关函数领的共性(1)各版教科书％”的共性，都注重情境适应学生身.函数是学生较解的概念之一(科书在函数较为简单化、生活化的.情境的基础性保全体学能听懂学会，随着学生学段的(科书中活数量境逐渐减少,而数学科学问题情境比重逐渐增加(定程度上符合学生的身，都注重类型的.各版教科书在不同的函数部分不同的，既能保证学生对的理解、感受数学活之间的，又能不同学数学方面有不同的需要.后,都注重对函数的.•科书在函数的新后有“应用”章节,此时的逐其学科合，女版尤重将数学物理学科合(学生的能力、对的探究能力和对的运用能力.(2)各版教科书“问题情境”的特色・版版函数分尤为重视生活的创设.在函数分虽然三版教科书大量的生活(版函数部分所创的生活问题，更重学活之间的，符合学生的身的育能.人教版将中国古代发明合，既有动学生学，增强对一函数的理解(学解古代发明，感受古代人民的智慧和无穷的创造力,增强文化自信，发挥数学的育能章章引言.刘吉存、刘群究者学的角度章引言的：章言本身个适宜的，可以帮助学解该章的学目的,激发学生的学活力.人教版章的起始部分章章引言合的独特，对教师的学生的学起到了较大的辅助作用.・NSM版数学数量随学段提高增.NSM版较其他两版教科书相比,其生活数量较为稳定(学智力的、矢的提高，数学的数量大幅增加，更重对学生对知识的能的训练.・版重数学、科学插日本版数学数量科学数量学学段的逐步增加，其中科学不仅与物理学科(态、医学、化学科学配有丰富的插图,符合该学段学生的认，增强了的教材的可读性(直有动学的学4启示4.1结通过对各版教科书中的比较分析，可以获知版教科书中函数的重活、数学及学科之间的(类型的数量在不同函数分和不同学段较大•总体上(的重适应学生的身心(的类型，注重在函数知学后对的版版科书中函数分为重视活的一版(古代发明合(的育能，以章章引言:有的NSM版版中的数学科学比重学段的提高而逐大(版尤重中的插材的编写数学、学生认知、、教学目标及教师开五个维度有数学性探究性、基础性性、多元性与整合性、指向性文性性的4.2启m(1))类型多样化的基础上，应注重各类型比重的分配NSM版版在数学的重与学身适应，随学段增序渐进的提高数学问的比重(版二次函数中数学的数量增，在反比例函数部分骤减，这区两版教科书的方式(类型比重的分配适当调整.(2)促进数学与其他学科融合,创设更优化的科学问题情境程中，人教版中科学的创设更的物理学科的结合，而较尤文学科合.例如(将数学学、、生态、历史、美学科合，使的能参考文献严卿,胡典顺，汪P雯等.中美两程标准中高中函数内容的比较数学教育学报,2015(4).章建跃，陶维林.注重学参的函数概学数学通报,2009(6).夏，汪秉彝.数学情境的创设与数学问题的提-J.数学育学20031)陈志辉.中美两中数学课程的比较研究一一以“函数”内容为例数学教育学报,20161)刘吉存，刘群.引言教学的心理学意义数学教学究2002(9)。
开题报告-函数的凸性及应用
毕业论文开题报告信息与计算科学函数的凸性及应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）凸函数具有一些非常优良的性质[1], 有着较好的几何和代数性质，在数学各个领域中都有着广泛的应用。
1905年丹麦数学家Jensen首次给出了凸函数的定义，开创了凸函数研究的先河，经过近百年努力，凸函数的研究在各个方面正得到长足的发展，其中，凸函数的判据研究已接近完善，在现代学习和生活中的重要性已经不断的凸显出来。
凸分析是近年来凹凸函数发展起来的一门应用十分广泛的数学支，尤其是在最优化理论方面的应用更为突出，人们对凸分析的自身理论发展也进行了广泛的深入研究，使得凸函数的性质也得到了较好的发展。
在凸规划理论、尤其是非线性最优化中，函数的凸性分析是最基本的，又是最重要的，近年来，研究函数各种凸性的文献越来越多。
凸函数是一类重要的函数。
对函数凹凸性的研究，在数学的多个分支都有用处。
特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数都有着十分重要的作用。
同样凸函数是数学分析中的一个重要概念，它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用，而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义。
函数凸性的应用显著地体现在求最值、不等式的证明上。
不等式的证明方法很多，技巧性强，函数凸性是函数在区间上变化的整体形态，是研究不等式的重要方法之一，巧妙的构造凸函数，可以简单轻快得证明不等式。
凸函数在数学规划中有着广泛的应用背景,一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。
在不等式的研究中，凸函数所发挥的作用是无可替代的。
与凸函数有关的不等式是基础数学理论的重要工具，尤其在不等式的证明中发挥的作用是无可替代的，其中Jensen不等式与Hadamard不等式更是起到了重要的作用。
Jensen 不等式通常用来证明有限不等式，它是将无穷项求和与积分联系起来的重要桥梁。
利用Hadamard不等式可以对两个正数的几何平均数与算数平均数加细。
三角函数的正交完备性研究
三角函数的正交完备性研究
三角函数的正交完备性一直是数学研究者们关注并高度重视的研究课题，尤其是英国数学家巴贝奇在17世纪早期提出了对正交完备性的三角函数探讨后，更添了人们对此类研究的热情。
三角函数的正交完备性的研究和开发，主要是为了理解和推导出三角函数的表达形式，其中涉及到许多相互联系的概念，比如它的函数、几何关系、微分凄现象等。
它是一种完美的数学模型，可以用来描述宇宙中最复杂的运动规律。
巴贝奇在其“绝对完备几何图形”中提出，三角函数具有完美的正交完备性，即可以使用比较少的参数就能满足所有形状的曲线，这一理论，为数学家们在研究三角函数的参数形式的时候提供了非常重要的参考和借鉴。
巴贝奇曾宣称：“三角函数具有令人惊叹的正交完备性，它们之间相互补充，如此纯粹且完美，让人不得不怀疑，如此完美的函数是如何产生的？”他这句话令人深思，后来也被数学家们看做是未解之谜。
至今为止，虽然不少研究成果已经出台，但三角函数的正交完备性的研究仍耉贸不舍，历来都激发着广大数学家们对它的探索热情。
毕业论文《求函数极限的若干方法》
题目求极限的若干方法学生苗波年级 2012级专业数学与应用数学南京机电学士学位论文题目求极限的若干方法学生范秀龙指导教师孙玉莉年级2008级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年4月目录摘要 (1)关键词 (1)1.定义法 (2)2.利用极限四则运算法则 (3)3.利用夹逼性定理求极限 (3)4.利用两个重要极限求极限 (4)5.利迫敛性来求极限 (4)6.用洛必达法则求极限 (5)7.利用定积分求极限 (6)8.利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 (6)9.利用变量替换求极限 (7)10.利用递推公式计算或证明序列求极限 (7)11.利用等价无穷小量代换来求极限 (8)12.利用函数的连续性求极限 (9)13.利用泰勒公式求极限 (10)14.利用两个准则求极限 (10)15.利用级数收敛的必要条件求极限 (12)16.利用单侧极限求极限 (13)总结 (13)参考文献 (14)外文摘要 (15)求极限的若干方法范秀龙摘 要:在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。
本文主要探讨、总结求极限的一般方法并补充利用级数收敛及利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了详细重点说明,并以实例加以例解,弥补了一般教材的不足。
由于本文通过总结、研究对求极限的各种方法的很多细节作了具体注解,使方法更具针对性、技巧性,因此,克服了遇到问题无从下手的缺点,能够做到游刃有余关键词：夹逼准则；单调有界准则； 洛必达法则；微分中值定理；一·极限的定义性质及作用学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。
所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。
在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。
毕业论文：隐函数定理及其应用
摘要隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.关键词：隐函数定理；应用；优化理论；证明AbstractImplicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and it also for many branches of mathematics, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extreme conditions which is an important role. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and understanding.This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in all aspects of the application. This paper, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light of implicit function theorem in the calculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper.Key words:implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章隐函数 (2)1. 1 隐函数 (2)1. 2 隐函数组的概念 (2)1. 3 反函数组的概念 (3)第2章隐函数定理 (4)2. 1 隐函数定理 (4)2. 2 隐函数组定理 (6)2. 3 反函数组定理 (7)第3章隐函数定理的应用 (9)3. 1 计算导数和偏导数 (9)3. 1. 1 隐函数的导数 (9)3. 1. 2 隐函数组的导数 (9)3. 1. 3 对数求导法 (10)3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (10)3. 2 几何应用 (11)3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 (11)3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 (14)3. 3 条件极值 (15)3. 3. 1 无条件极值 (15)3. 3. 2 拉格朗日乘数法 (16)3. 4 最优化问题 (18)3. 4. 1 无约束最优化问题 (18)3. 4. 2 约束最优化问题 (19)结论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)绪论通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数. 但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用.本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用.第1章 隐函数隐函数与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式. 在这一章里，我们将具体地研究隐函数.1.1 隐函数以前接触的函数)(x f （对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这样的函数为显函数. 如2)(+=x x f ，)(x f =x cos 等.定义1. 1[1] 若自变量x 与因变量y 之间的对应关系f 是由某个方程0),(=y x F 所确定的，即有两个非空数集A 与B ，对任意A x ∈,通过方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈,这种对应关系称为由方程0),(=y x F 所确定的隐函数. 记为)(x f y =，A x ∈，B y ∈则成立恒等式0))(,(=x f x F ，A x ∈例如，二元方程02454),(=--=y x y x F 在R 上确定（从中解得）一个隐函数. 隐函数不一定能写成)(x f y =的形式，如122=+y x ，因此隐函数不一定是函数，而是方程. 其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数[2].1.2 隐函数组的概念定义1.2[3] 设),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 为定义在区域∈V 4R 上的两个四元函数，若存在平面区域D ,对于D 中每一点),(y x ，分别在区间J 和K 上有唯一一对值J u ∈,K v ∈,它们与x ，y 一起满足方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F (1-1) 则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域D 上，值域分别在J 和K 内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为),(y x f u =，),(y x g v =则在D 上成立恒等式0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x F ，0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x G1.3反函数组的概念定义1.3[4] 设有函数组,(yvu=，)xv=(1-2)),(yxu如果能从此函数组(1-2)中，把x，y分别用u，v的二元函数表示出来，即(vu,yy=(1-3)(v),ux=，)x则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组.第2章 隐函数定理在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念，设有方程0),(=y x F ，那么在什么条件下，此方程能确定一个隐函数)(x f y =？在本章里，我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.2.1 隐函数定理定理2. 1[5] 若函数),(y x F 满足下列条件(1)0),(00=y x F(2)在点),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中,函数),(y x F 连续(3)0),(00≠y x F y则有下列结论成立：①在点),(000y x P 的某个邻域⊂⊂)()(00P U P V 2R 内, 方程0),(=y x F 唯一确定了一个定义在某区间),(00ρρ+-x x 内的隐函数)(x f y =，满足)(00x f y =且0))(,(≡x f x F ；②)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内连续；③)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内具有连续的导数，满足),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 证 为了不失一般性，不妨设0),(00>y x F y .首先证明隐函数)(x f y =的存在性与惟一性.由0),(00≠y x F y ，我们知道),(y x F y 是连续的，由),(y x F y 的连续性与局部保号性可知，存在闭矩形域=D )(],[],[0'0'0'0'0p U y y x x ⊂+-⨯+-ρρρρ有0),(>y x F y )),((D y x ∈∀所以，对任意的],['0'0ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上严格单调增加. 因为0),(00=y x F ，所以可得0),(,0),('00'00>+<-ρρy x F y x F又由于),(),,('0'0ρρ+-y x F y x F 在],['0'0ρρ+-x x 上是连续的，所以存在)(0'ρρρ<>，使得)),((0),(,0),(00'0'0ρρρρ+-∈>+<-x x x y x F y x F 所以，对于每一个固定的),(00ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上都是严格单调增加的连续函数，并且有0),(,0),('0'0>+<-ρρy x F y x F因为零点存在定理，存在惟一的],['0'0ρρ+-∈y y y ，使得0),(=y x F . 因此由y 与x 的对应关系就确定了一个函数)(x f y =，其定义域为),(00ρρ+-x x ，值域包含于],['0'0ρρ+-y y ，记为：),(),()('0'0000ρρρρ+-⨯+-=y y x x P V从而结论①得以证明.其次证明隐函数)(x f y =的连续性. 任意取),(00ρρ+-∈x x x ，对于任意给定的充分小的0>ε，可以得到0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因为连续函数的保号性可知，存在0>δ，当),(),(00ρρδδ+-⊂+-∈x x x x x 时，有0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因此，当),(δδ+-∈x x x 时，由),(y x F 关于y 的单调性，相应于x 的隐函数值)(x f 满足εε+<<-y x f y )(，于是ε<-|)(|y x f ，即ε<-|)()(|x f x f ，所以)(x f y =在),(00ρρ+-x x 连续.最后证明隐函数)(x f y =的可微性.任取x 和x x ∆+都属于),(00ρρ+-x x ，它们相对应的隐函数值为)(x f y =和)(x x f y y ∆+=∆+，那么0),(,0),(=∆+∆+=y y x x F y x F由多元函数微分中值定理，可得y y y x x F x y y x x F y x F y y x x F y x ∆∆+∆++∆∆+∆+=-∆+∆+=),(),(),(),(0θθθθ 在这里， 10<<θ. 因此，当y x ∆∆,充分小时),(),(y y x x F y y x x F x y y x∆+∆+∆+∆+-=∆∆θθθθ. 因为),(y x F x 和),(y x F y 是连续的，取极限0→∆x 可得),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 且)('x f 在),(00ρρ+-x x 内连续.相应的，我们能够得出由方程0),,,,(21=y x x x F n 所确定的n 元隐函数的存在定理：定理2. 2[6] 如果满足下列条件(1)0),,,,(000201=y x x x F n ； (2)在点),,,,(0002010y x x x P n 的一个邻域⊂)(0P U 1+n R 内,函数),,,,(21y x x x F n 连续； (3) 0),,,(00201≠y x x x F n n y ，那么则有以下结论成立：①在点),,,,(0002010y x x x P n 的某个邻域)()(00P U P V ⊂内, 方程0),,,,(21=y x x x F n 惟一确定了一个定义在点),,,(002010n x x x R 某邻域n R R U ⊂)(0内的隐函数),,,(21n x x x f y =，满足),,,(002010n x x x f y =，且0)),,,(,,,,(2121≡n n x x x f x x x F ；②),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内连续；③),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内具有连续的偏导数，满足n i y x x x F y x x x F x y n y n x i i ,,2,1,),,,,(),,,,(2121 =-=∂∂. 例2. 1 验证方程0),(=+=x y e xe y x F 在原点)0,0(的某邻域内确定唯一的连续函数)(x f y =.证 由于),(y x F 与x y y e xe F +='都在2R 上连续，当然在点)0,0(的邻域内连续，且01)0,0(,0)0,0(≠='=y F F由此可知方程0),(=y x F 在点)0,0(的某邻域内确定唯一连续的隐函数)(x f y =.2.2 隐函数组定理下面我们将给出由方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，所确定的隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x g v y x f u ，的存在定理.定理2. 3[7] 设),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 以及它们的一阶偏导数在以点),,,(00000v u y x P 为内点的某区域⊂V 4R 内连续，且满足(1)0),,,(,0),,,(00000000==v u y x G v u y x F (2)0),(),(0≠=∂∂=P v u vu G G F F v u G F J 则方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，在0P 的某邻域)(0P U 内唯一确定两个隐函数),(y x f u =，),(y x g v =，有下列结论成立：①),(),,(000000y x g v y x f u ==，则有⎩⎨⎧≡≡0)),(),,(,,(0),(),,(,,(y x g y x f y x G y x g y x f y x F ②),(),,(y x g v y x f u ==在邻域20)(R R U ⊂内具有连续的一阶偏导数，且),(),(1,),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂ ),(),(1,),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂例2. 2[8] 验证方程组⎩⎨⎧=+--=++-42822222v u y x v u y x 在点)1,2,1,3(-的邻域内确定隐函数组，并求x u ∂∂，xv ∂∂. 解 令 82),,,(-++-=v u y x v u y x F ，42),,,(2222-+--=v u y x v u y x G 则：0)1,2,1,3(,0)1,2,1,3(=-=-F GF 与G 以及它们的一阶偏导数都连续 且)(22211),(),(v u v u v u G F +=-=∂∂，06),(),()1,2,1,3(≠=∂∂-v u G F 所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 在方程两端同时对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂+∂∂+022201x v v x u u x x v x u 解得v u u x x u +-=∂∂，vu u x x v ++-=∂∂2.3 反函数组定理定理2. 4[9] 若函数组),(),,(y x v v y x u u ==满足如下条件：(1)),(),,(y x v v y x u u ==均具有连续的偏导数 (2)0),(),(≠∂∂=y x v u J 则函数组),(),,(y x v v y x u u ==可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组),(),,(v u y y v u x x ==且有y v J u x ∂∂=∂∂1，y u J v x ∂∂-=∂∂1，x v J u y ∂∂-=∂∂1，xu J v y ∂∂=∂∂1 及),(),(1),(),(y x v u v u y x ∂∂=∂∂或1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u 定理2. 5 若函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn x x x y y x x x y y 满足如下条件：(1)n y y y ,21,均具有连续的偏导数 (2)0),,(),,(2121≠∂∂n n x x x y y y则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn y y y x x y y y x x 且有1),,(),,(),,(),,(21212121=∂∂⋅∂∂n n n n x x x y y y y y y x x x例2. 2 [10]在3R 中的一点，其直角坐标),,(z y x 与相应球坐标),,(θϕr 的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 其中πθπϕ20,0,0≤≤≤≤+∞<<r ，则函数组（除去z 轴上的点）可确定反函数组.证 由于0sin 0sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos sin cos ),,(),,(2≠=--=∂∂ϕϕϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθϕr r r r r r r z y x由反函数组定理，函数组（除去z 轴上的点）可确定θϕ,,r 分别是z y x ,,的函数，事实上，函数组的反函数组为222z y x r ++=，x y arctan =ϕ，rzarccos =θ.第3章 隐函数定理的应用3.1 计算导数和偏导数3.1.1 隐函数的导数[11]设方程0),(=y x F 确定一个单值可导函数)(x f y =，将)(x f y =代入方程得恒等式0))(,(≡x y x F ，在恒等式两边对x 求导，便得到一个含有y '的方程，解出y '就求出了隐函数)(x f y =的导数，在恒等式两边对x 求导时，必须注意y 是x 的函数，要利用复合函数求导法.例3. 1 求由方程0103=-+y x 所确定的隐函数y 对x 的导数.解 我们在方程两端对x 求导，注意y 是x 的函数，于是3y 则是x 的复合函数，运用复合函数求导法可得0312='+y y 所以231y y -='. 3.1.2 隐函数组的导数[12]对方程组的各个方程两边对某自变量求导，遇见因变量就把它看作自变量的函数，最后解方程组，就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数.例3. 2 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 的偏导数.解 (1)当022≠+y x 时，有2222322222)()(2)(),(y x yx y y x x xy y x y y x f x +-=+⋅-+=' 2222322222)()(2)(),(y x xy y y x y xy y x x y x f y +-=+⋅-+=' (2)当022=+y x 时，根据偏导定义有：0lim )0,0()0,(lim)0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆xx f x f f x x x 000lim )0,0()0,(lim )0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆y y f y f f x x y综合(1) (2)得：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x y x y y x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x xy x y x f y 3.1.3 对数求导法某些显函数的导数直接去求十分繁琐，有时可以通过取对数的方法使其化为隐函数的形式，再用隐函数求导法去求导数，使其变得简单些，这样的求导方法我们称为对数求导法.例3. 3 计算3)3()2)(1(---=x x x y 的导数.解 先在两端取自然对数，得：)3ln 2ln 1(ln 31ln -+-+-=x x x y再应用隐函数求导法，在上式两端对x 求导，得)312111(311-+-+-='x x x y y 所以得)312111()3()2)(1(313-+-+----='x x x x x x y3.1.4 由参数方程所确定的函数的导数设由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕϕ确定了y 是x 的函数，)(x y y =则称这个函数为有参数方程所确定的函数，其中t 为参数，下面讨论由参数方程所确定的函数求导法：设函数)(t x ϕ=具有单调连续的反函数)(x t t =，且此反函数能与函数)(t y ϕ=复合成复合函数，则由上面参数方程所确定的函数)(x y y =就可以看成是由)(t y ϕ=，)(x t t =复合而成的函数))(()(x t x y y ϕ==，假设)(t x ϕ=，)(t y ϕ=都可导且0)(≠'t ϕ，则由复合函数求导法则和反函数求导公式有：dt dy dx dy =；dtdydx dt =；)()(1t t dtdx ϕϕ''= 即dtdxdt dyt t dx dy =''=)()(ϕϕ若)(),(t y t x ϕϕ==都二阶可导，则有：322))(()()()()()(t t t t t dx dy dx d dx y d ϕϕϕϕϕ''''-'''== 例3. 4已知抛物体的运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x 求抛物体在此时刻t 的运动速度的大小和方向.解 先求速度的大小，由于速度的水平分量为1v dt dx =，垂直分量为gt v dtdy-=2，所以抛物体运动速度大小为222122)()()(gt v v dtdydt dx v -+=+=再求速度的方向，即轨道的切线方向，设α是切线的倾角，则由导数的几何意义有12tan v gtv dtdx dt dydx dy -===α所以抛物体刚射出（即0=t ）时1200tan v v dx dyt t ====α当gv t 2=时 0tan 22====gv t gv t dx dyα这说明，这时运动方向是水平的，即抛物体达到最高点.3.2 几何应用3.2.1 空间曲线的切线与法平面[13] 3. 2. 1. 1空间曲线由参数方程给出的情况设空间曲线C 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x C []βα,∈t (3-1)取定曲线C 上点))(),(),((),,(0000000t z t y t x z y x P =，设式(3-1)中3个函数都在0t 点可导. 且[][][]0)()()(202020≠'+'+'t z t y t x在0P 的附近取动点C z z y y x x P ∈∆+∆+∆+),,(000，则割线P P 0方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 其中)()(00t x t t x x -∆+=∆，)()(00t y t t y y -∆+=∆，)()(00t z t t z z -∆+=∆. 以t ∆除以上式分母得tx x x ∆∆-0=t y y y ∆∆-0=t zz z ∆∆-0当0→∆t 时，0P P →,且)(0t x t x '=∆∆，)(0t y t y '=∆∆，)(0t z tz'=∆∆. 所以曲线C 在0P 处得切线方程为)(00t x x x '-=)(00t y y y '-=)(00t z z z '- 其切向量))(),(),((000t z t y t x l '''=.因为曲线C 在点0P 的法平面是垂直于切线的，所以法平面的法向量与l平行，设法平面的法向量为n ，则n=))(),(),((000t z t y t x '''. 从而过0P 点的法平面方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x特别地，如果空间曲线C 的参数方程以x 为参数，即：⎪⎩⎪⎨⎧===)()(:x z z x y y x x C []βα,∈x 则C 在点),,(0000z y x P 的切线方程为)()(100000z z z z x y y y x x '-='-=- 切向量为))(),(,1(00t z t y l ''=，C 在点0P 处的法平面方程为：0))(())(()(00000=-'+-'+-z z t z y y t y x x如果C 为平面曲线)(x f y =，[]b a x ,∈，则过点),(000y x P 切线方程为：)(1000x f y y x x '-=-或))((000x x x f y y -'=- 切向量为))(,1(0x f l '=.例 3.5[13] 求螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 在30π=t 处的切线方程与法平面方程.解 由b z t a y t a x ==-=',cos ,sin ，则切线方程为：bb z a a y a a x 33cos3sin 3sin3cos πππππ-=-=--即b bz a a y aa x 3223232π-=-=--因此法平面方程为：0)3()23(2)2(23=-+-+--b z b a y a a x a π3. 2. 1. 2 空间曲线为两曲面交线的情况设空间曲线L 由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F (3-2)给出，设它在点),,(0000z y x P 的邻域内满足隐函数组定理的条件（这里不妨设0),(),(0≠∂∂p y x G F ），则由隐函数存在定理可知在方程组(3-2)点0P 附近可确定唯一连续导数的隐函数组)(z x x =，)(z y y =，z z =（亦即L 的参数方程），满足：)(),(0000z y y z x x ==且00),(),(),(),()(0p p y x G F y z G F z x ∂∂∂∂-=' 0),(),(),(),()(0p p y x G F z x G F z y ∂∂∂∂-='故曲线L 在点0P 的切线方程为：),(),(0p z y G F x x ∂∂-=),(),(0p x z G F y y ∂∂-=),(),(0p y x G F z z ∂∂- (3-3)曲线L 在点0P 的法平面方程为：)(),(),(00x x z y G F p -∂∂+)(),(),(00y y x z G F p -∂∂+)(),(),(00z z y x G F p -∂∂=0 (3-4)同理，可证当0),(),(0≠∂∂p z y G F 或0),(),(0≠∂∂p x z G F 时，曲线L 在点0P 的切线方程为(3-3)式，曲线L 在点0P 的法平面方程为仍为(3-4)式.例3. 6 求曲线⎩⎨⎧=+-=++45323222z y x xz y x 在点)1,1,1(P 处的切线与法平面方程.解 令⎩⎨⎧-+-=-++=4532),,(3),,(222z y x z y x G x z y x z y x F ，首先求偏导数，得：32-=x F x ，y F y 2=，z F z 2=，2=x G ，3-=y G ，5=z G 则曲线在点P 的切线方向向量为：)1,9,16(3221,2512,5322,,-=⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F 故切线方程为1191161--=-=-z y x 法平面方程为24916=-+z y x3.2.2 空间曲面的切平面与法线[14]定义3. 1在空间曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线在点0P 处的切线都在同一平面上，则此平面称为曲面∑在点0P 的切平面.先讨论曲面∑的方程为0),,(=z y x F 的情形，其次把显式给出的曲面方程),(y x f z =作为它的特殊情形. 设曲面∑由方程0),,(=z y x F 给出，其中F 具有一阶连续的偏导数，在曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线的参数方程为)(),(),(t z z t y y t x x === βα≤≤t ，其中)(),(),(t z t y t x 均可导，则曲线在点0P 处的切线方向向量为))(),(),((000t z t y t x '''=τ，由于曲线在曲面∑上，故有0))(),(),((≡t z t y t x F ，对上式两端关于t 求导，得：0)()()()()()(000000=''+''+''t z P F t y P F t x P F z y x即 ))(),(),((000t z t y t x '''0))()()((000='+'+'P F P F P F z y x这表明向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''与曲面上过点0P 的任一曲线的切线都垂直，故所有切线都在以向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''为法向量且过点0P 的平面内，从而曲面∑过点0P 的切平面的法向量为：))(),(),(((000P F P F P F n z y x '''=于是过曲面∑上点),,(0000z y x P 处的切平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z P F y y P F x x P F z y x过点),,(0000z y x P 处的法线方程为：)(00P F x x x '-=)(00P F y y y '-=)(00P F z z z '- 上述讨论中，都假设)(),(),((000P F P F P F z y x '''不全为零，现在来考虑曲面∑的方程为),(y x f z =的情形，其中f 都有连续的偏导数，令),(),,(y x f z z y x F -=使方程变形为0),,(=z y x F则：1)(),,()(),,()(000000=''-=''-='P F y x f P F y x f P F z o y y x x所以曲面∑在点0P 的法向量为：)1),,(),,((000o y x y x f y x f n '-'-=故曲面∑在点0P 的切平面方程为：0000000))(,())(,(z z y y y x f x x y x f y x -=-'+-'曲面∑在点0P 的法线方程为：),(000y x f x x x '-=),(000y x f y y y '-=10--z z ，其中),(000y x f z =曲面∑：),(y x f z =上的法向量可以是)1,,(y x f f n '-'-= ，也可以是)1,,(-''=y x f f n，但当曲面∑的法向量向上时（即法向量正向与z 轴正向夹角γ满足大于0小于2π时）∑的法向量应为)1,,(y x f f n '-'-=.例3. 7[15] 求球面14222=++z y x 在点)3,2,1(处的切平面及法线方程. 解 设14),,(222-++=z y x z y x F ，则6)3,2,1(,4)3,2,1(2)3,2,1(,2),,(2),,(,2),,(======z y x z y x F F F z z y x F y z y x F x z y x F球面在点)3,2,1(处的法向量为{}6,4,2，所以球面在点)3,2,1(的切平面方程为：0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x即：01432=-++z y x法线方程为：332211-=-=-z y x .3.3 条件极值3.3.1 无条件极值 3. 3. 1. 1 极值的概念定义3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内有定义，如果对)(),(0P U y x ∈∀都有),(),(0o y x f y x f ≤或（),(),(0o y x f y x f ≥）则称),(0o y x f 为函数),(y x f 的一个极大值（或极小值），此时点0P 称为),(y x f 的极大值点（或极小值点），函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点.3. 3. 1. 2 极值存在的条件(1)极值存在的必要条件定理3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处具有偏导数，且在点),(000y x P 处有极值，则在该点的偏导数为零，即0),(0=o x y x f ，0),(0=o y y x f证 不妨设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处有极大值（极小值的情形可类似证明），由极大值定义，在点),(000y x P 的某邻域内异于点),(000y x P 的点),(y x P 都适合不等式),(y x f ﹤),(0o y x f ，特别的，在该邻域内取0y y =，0x x ≠的点，也有),(0y x f ﹤),(0o y x f ，这表明一元函数),(0y x f 在0x x =处取得极大值，因此必有0),(0=o x y x f ，同理，0),(0=o y y x f(2)极值存在的充分条件定理：设函数),(y x f z =在驻点),(00y x 的邻域内具有连续的一阶与二阶偏导数，记：),(0o xx y x f A =，),(0o xy y x f B =，),(0o yy y x f C =，①当AC B -2﹤0时，),(y x f 在点),(00y x 具有极值，且当A ﹤0时有极大值，当A ﹥0时有极小值. ②当AC B -2﹥0时),(y x f 在点),(00y x 没有极值. ③当AC B -2=0时，),(y x f 在点),(00y x 可能有极值，需另作讨论.例3.8[17]求函数22324y xy x x z -+-=的极值.解 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=+-=∂∂02202832y x y z y x x xz ，求得驻点为)0,0(和)2,2(再求出二阶偏导数8622-=∂∂x x z ，22=∂∂∂y x z ，222-=∂∂yz在点)0,0(处，2,2,8-==-=C B A ,0122<-=-AC B ,08<-=A ,故函数在点)0,0(处取得极大值0)0,0(=f ，在点)2,2(处，2,2,4-===C B A ，0122>=-AC B 故点)2,2(不是函数的极值点.3.3.2 拉格朗日乘数法自变量有附加条件限制多元函数的极值称为条件极值，比如函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ(3-5)下取得的极值就是条件极值. 现在讨论函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ取得极值的必要条件.设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内),(y x f ，),(y x ϕ均有连续的一阶偏导数，且0),(0≠o y y x ϕ，则方程0),(=y x ϕ能唯一确定y 是x 的具有连续导数的单值函数)(x y y =，将其代入函数),(y x f z =，得一元函数))(,(x y x f z =，于是二元函数))(,(x y x f z =在点0x 取得极大值的问题，由一元可导函数取得极大值的必要条件知应有：0),(),(00000=+===x x y x x x dxdy y x f y x f dxdz (3-6)又由隐函数求导公式，有：)0000,(),(0y x y x dxdy y x x x ϕϕ-==代入(3-6)式中得：0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ即：0),(),(),(),(00000000=⋅-y x y x y x f y x f y y x ϕϕ (3-7)(3-5)、(3-7)式就是),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下，在点),(00y x 取得极值的必要条件. 令),(),(0000y x y x f y y ϕλ-=即：0),(),(0000=+y x y x f y y λϕ (3-8) 则(3-7)式变为0),(),(0000=+y x y x f x x λϕ (3-9)由(3-5) (3-8) (3-9)式得函数),(y x f 在),(00y x 取得条件极值的必要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(000000000y x y x y x f y x y x f o y y x x ϕλϕλϕ (3-10)实际上(3-10)式可看作函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，在点),,(00λy x 取得无条件极值的必要条件. 因此为了便于记忆，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以构造辅助函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，其中λ为某一常数，称为拉格朗日乘数，称函数),,(λy x F 为拉格朗日函数，分别求),,(λy x F 对λ,,y x 的偏导数，并使它们同时为零，得联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x y x F y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλλϕλλϕλλ解此方程组得λ,,y x ，其中y x ,就是可能极值点的坐标，上述方法称为拉格朗日乘数法.例3. 9[18] 求函数222),,(cz by ax z y x f ++=，)0,0,0(>>>c b a 在条件1=++z y x 下的最小值.解 作拉格朗日函数)1(),,,(222-+++++=z y x cz by ax z y x L λλ对L 求偏导并令其为零，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+0020202z y x cz by ax λλλ 解得唯一稳定点：acbc ab ab z ac bc ab ac y ac bc ab bc x ++=++=++=,, 故所求最小值为： 2min )()(ac bc ab ab ac bc abc f ++++=3.4 最优化问题在现实中，我们通常要解决“投资最少”“成本最低”“效益最高”等问题，称这样的问题为最优化问题，这类问题在数学上可以归结为求某个函数在一定条件下的最大值或最小值问题. 最优化问题通常可以分为无约束最优化问题和有约束最优化问题.3.4.1 无约束最优化问题无约束最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组n x x x 21,使：),(max ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或： ),(min ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=这也是一个在D 上求函数),(21n x x x f 的最大值或最小值问题.例3. 10 用铁板做一个体积为22m 的有盖长方体水箱，问当长，宽，高分别为多少时，才能使用料最省？解 设水箱的长为x m,宽为y m ，则高为xy2m 水箱所用材料的面积为：)0,0(),22(2)22(2>>++=++=y x y x xy xy x xy y xy A 这样所给问题就转化为在域{}0,0),(>>y x y x D 上求使此函数达到最小的y x ,用求最大值、最小值的方法即可求得即解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=0)2(2),(0)2(2),(22yx y x A x y y x A y x得：332,2==y x根据题意可知，水箱所用材料面积A 的最小值一定存在，且在开区域{}0,0),(>>y x y x D 内取得，同时函数在D 内只有唯一驻点)2,2(33，因此可以肯定当332,2==y x ，A 取得最小值，即当水箱长、宽、高分别为32m 、32m 、32m 时，水箱所用材料最省.3.4.2 约束最优化问题在约束最优化问题中，约束条件又可分为等式约束条件和不等式约束条件，在此我们只讨论等式约束条件的情形. 这时对应的最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组满足约束条件0),(21=n x x x ϕ的**2*1,,n x x x ，使),(max ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或),(min ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=，这也是一个有条件地求函数),(21n x x x f 在D 上的最大值或最小值问题.求解有约束最优化问题有两种方法：一种方法是利用约束条件，将有约束最优化问题化为无约束最优化问题再求解. 令一种方法是拉格朗日乘数法.例3. 11 求表面积为2a 而体积最大的长方体的体积.解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,则问题就是求函数yxxyzV=z>,0,0(,>>)0在条件0)(2),,(2=-++=a zx yz xy z y x ϕ下的最大值利用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数[]2)(2),,,(a zx yz xy xyz z y z F -+++=λλ 对λ,,,z y x 分别求导，并令其同时为零，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=0222),,(0)(2),,,(0)(2),,,(0)(2),,,(2a xy yz xy z y x y x xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x ϕλλλλλλ 解此方程组得a z y x 66===，这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，即表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积最大，最大体积为3366a V =.结论本篇文章主要介绍的是隐函数定理及其应用，重点在于应用，难点在于如何将理论知识更深刻、更具体、更形象的运用在实际解题中．绪论中主要介绍了隐函数的历史发展、隐函数定理在数学分析中的重要地位，以及在现代生活中人们对隐函数的具体认识及其主要用途．本文介绍了隐函数存在性定理、连续性定理及可微性定理，并予以严谨的证明。
狄利克雷（Dirichlet）函数性质及应用（已处理）
狄利克雷（Dirichlet）函数性质及应用狄利克雷(Dirichlet)函数性质及应用作者指导教师马永传摘要:狄利克雷函数作为分析学中的一种构造性函数有着许多特殊的性质,它在数学分析、实变函数与泛函分析、复合函数等诸多领域均有十分广泛的应用,在数学发展过程中起过重要的作用。
本文将在性质与应用两个方面对狄利克雷函数进行讨论。
关键词:狄利克雷函数;性质;应用;反例函数概念最早出现在世纪英国数学家格雷戈里的文章《论圆和双曲线的求积》年中。
他定义函数是这样一个量:它是从一些其他量经过一系列代数运算或者任何其他可以想象到的运算而得到的。
世纪德国著名数学家莱布尼茨年在一篇手稿里使用了“函数”这一概念。
后来, 莱布尼茨又引进“常量”、“变量”和“参变量”的概念。
在数学史上, 这是一大进步, 它使得人们可以从数量上描述运动了。
当时的函数指的是可以用解析式表示的函数,但这种概念对数学和科学的进一步发展来说实在是太狭隘了。
历史上第一个给出函数一般定义的是世纪德国数学家狄利克雷()。
这也促成了微积分的严格性的开始。
事实上,如果严格性没有进入定义,那就无法在推理中体现严格性。
当时, 数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义,数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象。
狄利克雷在年给出了下面的著名函数(后人称为狄利克雷函数):这个函数具有三个特点:1没有解析式:使函数概念从解析式中解放了出来。
2没有图形:使函数概念从几何直观中解放了出来。
3没有实际背景:使函数概念从客观世界的束缚中解放了出来。
狄利克雷函数的出现,表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化,数学的一些“人造”特征开始展现出来。
这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”。
1 狄利克雷函数及其性质狄利克雷 [德]函数在数学分析、实变函数、泛函分析等研究领域中起着十分重要的作用。
1.1 狄利克雷函数的相应定义(1)对任意令,则称为定义在实数上的狄利克雷函数.(2)对任意令,则称为定义在实数上的狄利克雷拓展函数.(3)一般地,广义的狄利克雷函数可定义为:其中为实数,.1.2 狄利克雷函数与狄利克雷拓展函数的性质1.周期性定理1.1 任意的非零有理数都是及的周期;但是任何的无理数都不是的周期.证由对任意有理数,有故任意的有理数都是及的周期.对任意的无理数,有故任何的无理数都不是和.2.有界性定理1.2 都是有界函数.证由故知且,所以都是有界函数.3.奇偶性定理1.3 都是偶函数.证由且知负号不改变数的有理性及无理性,所以可得所以且,故及都是偶函数.4.单调性定理1.4 及在实数集的任何区间上都不具有单调性.证对,在区间上由实数的稠密性知,在区间上存在无数个有理数及无数个无理数.不妨设,、为无理数,为有理数,.则,;,;故可知在实数集的任何区间上都不具有单调性.5.连续性定理1.5 对于及都不存在.证对任意小的由实数的稠密性知在内存在一组递增的有理数组存在一组递增的无理数组且 .又易得可知及不存在,故和不存在.定理1.6 及在上处处不连续.证:由定理1.5知对于及都不存在.故知,又由在上处处不连续.6.可积性定理1.7 及在任何区间上非可积.证由对于的一个分割,任取点,,并作和式: 由实数的稠密性知,当取为有理数时,,则;而取为无理数时,;故在任何区间上非可积.由对于的一个分割,任取点,,并作和式: 当分别取有理数和无理数时,的值互为相反数且都不为零.故在任何区间上非可积.综上可知, 及在任何区间上非可积.2 狄利克雷函数的应用数学中的反例,是用以否定错误命题而举的例子。
数学家与函数
结题报告——数学家与函数研究课题：数学家与函数研究科目：数学指导教师：谷宇小组组长：刘莹小组成员：刘莹、赵鑫、黄世鑫、宋晨雪、李澍、刘爽、李佳数学是门高深的学科，它所涉及到的领域也很广，学好数学可以提高人们的逻辑推理思维能力和形成敏锐的洞察力，在这个世界上，有很多为数学做出贡献的科学家，他们这都是值得我们学习的人。
数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用。
有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用。
我们刚学过的函数就是这样的重要概念。
在笛卡尔引入变量以后，变量和函数等概念日益渗透到科学技术的各个领域。
纵览宇宙，运算天体，探索热的传导，揭示电磁秘密，这些都和函数概念息息相关。
正是在这些实践过程中，人们对函数的概念不断深化。
回顾一下函数概念的发展史，对于刚接触到函数的初中同学来说，虽然不可能有较深的理解，但无疑对加深理解课堂知识、激发学习兴趣将是有益的。
最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。
最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，如都叫函数。
以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标。
1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。
”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数。
贝努利所强调的是函数要用公式来表示。
后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上。
只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以，至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准。
1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。
”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。
由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数。
他认为：“函数是随意画出的一条曲线。
傅里叶和函数
傅里叶和函数傅里叶(Fourier，Jean BaptisteJoseph，1768～1830)，法国数学家、物理学家．傅里叶在1822年发表了物理数学的经典文献之一的《热的解析理论》，并建立了一族以他的名字命名的级数，即傅里叶级数．他的工作不仅促进了偏微分方程理论的发展，而且使函数的概念产生了新的突破．在法国大革命中，随拿破仑远征埃及的队伍里有两位引人注目的人物，他们就是法国著名的数学家蒙日和傅里叶．傅里叶是随军文书，兼管外交、政治和科学考察．在此期间，他恪尽职守，深得拿破仑器重，后来傅里叶被任命为下埃及的总督．这次随军远征傅里叶也许是为了圆他青少年时代的梦．傅里叶清楚地记得，他志愿参加炮兵的申请书上，当局的批复是：傅里叶出身低微，不得参加炮兵，虽然他是第二个牛顿．这些话深深刺痛了傅里叶的心，使他参军报效祖国的热望成了一场梦．傅里叶的家庭的确不属于当时法国的上流社会．他出生在法国奥塞尔，父亲是个裁缝，他8岁时父母便撒手人寰，他便沦为孤儿，后被当地教堂的一名主教收养，将他送到地方军事学校读书．在那里，傅里叶很快就证明自己不同凡响．12岁时，他已经为巴黎主要教会人士撰写文体优美动人的布道稿．13岁他开始学习数学，显示出非凡的接受能力，不久他便被数学内在的美深深地吸引了．为了学习时照明，他在别人入睡后，到厨房及学校能找到蜡烛头的地方将它们收集起来，然后在一张屏风后面的“书房”中进入他所钟爱的数学世界．他与数学结下了不解之缘．傅里叶的数学才能逐步显露，16岁时便发现笛卡儿符号法则的一个新证法．由于他的学业成绩优异，他成为就读军事学校的数学教师，后被聘为著名的巴黎综合工科学校教授．为了推动法国数学的兴起，他在教学中实行改革，创立了卓有成效的讨论式授课法．他改变了以往那种照本宣科、死记硬背、死气沉沉的讲授法，以从历史引证的方法使数学课堂活跃起来．他还巧妙地用一些有趣的实际例子，解释和说明一些抽象的概念．这种新的教学风格，像一股春风吹进了教育界，影响和带动了法国数学教学的全面改革，从而引发了法国数学史和科学史上的辉煌时期的到来．傅里叶有极好的口才、广泛的兴趣和丰富的想象力，深受学生的爱戴．傅里叶在法国大革命时期，积极地关注着祖国的命运，并加入了平民党，充满热情地投身于其中．为了随拿破仑远征，他毅然辞去了巴黎综合工艺学校教授的职务．傅里叶人品极佳，他不但是忠诚老实、勤奋好学、成就卓著的学者，还是个见义勇为、深受人们尊敬的勇士．他曾为保护无辜进过监狱，在雅各宾党执政的“恐怖时期”，他还曾挺身而出保护了蒙斯图姆等一些无端受害的科学家．他被选为法国科学院院士后，当他发现阿贝尔这个天才由于柯西等人的失职被埋没后，立即公开表示歉意，并把科学院大奖发给了阿贝尔．“数学分析与自然界本身同样的广阔”，这是傅里叶对分析学的评价．他在这个广阔的天地里做出了无愧于“第二个牛顿”称号的工作．1807年，他开始热传导的数学研究工作，5年后他的研究项目荣获巴黎科学院的格兰德奖．历经15年的奋斗，他的名著《热的分析理论》出版了，这是将数学理论应用于物理学的典范．他的这项工作的重大意义是建立了傅里叶级数，并用它表示了相当一类函数，使数学家们开始对函数概念进行重新认识，从而从解析函数或可展成泰勒级数的函数的圈子里解放出来．傅里叶级数还对积分定义、级数一致收敛性概念、无穷行列式以及康托的集合论的建立和发展都起到了促进作用．傅里叶在1811年首先给出了级数收敛及级数和的正确定义，并指出了拉格朗日在级数收敛的判别法中的一个错误：∑U n的通项U n趋近于零并不是级数收敛的充要条件，而仅是必要条件．傅里叶从级数入手，引出了分析学的许多重大课题，从而开辟了分析学的新时代，因而他被公认为法国分析学派的代表．他除了《热的分析理论》外，还著有《方程测定分析》，其中包括他16岁对笛卡儿符号法则的改进证法和在此基础上得到的给定范围内n次代数方程实根个数的判别法．傅里叶的论著简洁而清晰，具有很强的几何直观和实际的物理意义，在问题的处理中表现出高超的技巧和过人的手法．他的级数由于理论的严整优美，被著名物理学家麦克斯韦尔誉为“一首伟大的数学诗．”傅里叶著名的数学理论源于热传导这个物理模型，加之他在埃及的科学实验使他对“热”情有独钟．传说关于热的研究使他坚信沙漠中的热是健康的理想环境．所以，他总是穿着厚厚的衣服，住在常人难以忍受的高温房间中．人们断言，正是他这种对“热”的痴迷，加剧了他的心脏负担，使他在63岁时就死于心脏病．傅里叶担任过法国科学院院士，后又成为该科学院的终身秘书，他还是英国皇家学会外籍会员和彼得堡科学院荣誉院士．他的至理名言：“对自然的深刻研究是数学发现的最丰富的源泉”正是对他一生科学研究的深刻而真实的写照．。
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华罗庚
已故数学大师华罗庚院士是中国科学院数学研究所的创始人。他关于典
型域上多元复变数函数论的研究，于1956年获得第一届国家自然科学奖一等
奖
。
华罗庚1958年在科学出版社出版了《多复变函数论中典型域上的调和分 析》一书。此书的初稿完成于1954年，是申请一等奖的依据。此书一出版就 引起了国际上的高度重视。首先是苏联科学院Steklov数学研究所于同年来函 要求将此书翻译成俄文出版（但由于苏联人同时精通中文及数学的不多，请 华罗庚先译成英文，再由他们译成俄文出版）。英文版是1963年从俄文版再 翻译成英文，由美国数学会出版的。英文版出版后，此书受到国际数学界的 普遍关注和高度评价，成为该领域研究的必然要引用的书籍。丘成桐教授 （菲尔兹奖、瑞典科学院卡拉夫奖、美国国家科学奖获得者）说，华罗庚这 方面的研究成果领先世界十年。
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祖冲之
他写的《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，作为唐代 国子监算数课本，可惜后来失传了。《隋书·律厉志》留下一小段关 于 圆 周 率 （ π ） 的 记 载 ， 祖 冲 之 算 出 π 的 真 值 在 3.1415926 和 3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，成为 当时世界上最先进的成就。祖冲之入选中国世界记录协会世界第一位 将圆周率值计算到小数第7位的科学家，创造了中国纪协世界之最。 这一纪录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。 祖冲之还给出π 的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确 到小数第7位，在西方直到16世纪才由荷兰数学家奥托重新发现。祖 冲之还和儿子祖暅一起圆满地利用「牟合方盖」解决了球体积的计算 问题，得到正确的球体积公式。
文水中学五二三班数学研究性课题
课题组成员：樊超然 李昀霖 王洋 王泽 赵一卓 霍佳浩
马文杰 蒋星等
图片收集：李昀霖
文字收集：王洋 王泽 赵一卓
研究时间：2015年9月27日-2015年11月1日
研究地点：学校图书馆 学校电脑室
数学家与函数： 什么是函数 中国数学家： 祖冲之 李善兰 华罗庚
我们的看法：治学严谨的数学家，科学成就斐然。在美国过着优越的生 活，但是心系祖国，新中国成立后，他毅然抛弃优厚的待遇回国支援国家建 设，并带动起一批海外人才的归国热潮，是当代知识分子的榜样。
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笛卡尔
笛卡尔最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡 儿时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头 脑中占有统治地位。笛卡儿致力于代数和几何联系起来的研究，于 1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成 就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现在仍是重要的数学方 法之一。笛卡尔不仅提出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其 发展方向。他在《几何学》中，将逻辑，几何，代数方法结合起来， 通过讨论作图问题，勾勒出解析几何的新方法，从此，数和形就走到 了一起，数轴是数和形的第一次接触。解析几何的创立是数学史上一 次划时代的转折。而平面直角坐标系的建立正是解析几何得以创立的 基础。直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几 何概念可以用代数形式来表示，几何图形也可以用代数形式来表示， 于是代数和几何就这样合为一家人了。
自幼喜好数学，后以诸生应试杭州，得元代著名数学家李冶撰 《测圆海镜》，据以钻研，造诣日深。道光间，陆续撰成《四元解》、 《麟德术解》、《弧矢启秘》、《方圆阐幽》及《对数探源》等，声 名大起。
我们的看法：李善兰创立了二次平方根的幂级数展开式,各种三角 函数,反三角函数和对数函数的幂级数展开式,这是李善兰也是19 世 纪中国数学界最重大的成就。
外国数学家： 笛卡尔 莱布尼茨 欧拉 柯西 狄利克雷
大家的感受：
李昀霖 霍佳浩 樊超然 王泽 王洋 赵一卓 蒋星 成昇 总的感受
什么是函数
函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关 系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数 所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的 集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义 在非空数集之间的映射称为函数。
我们的看法：祖冲之不仅是我国历史上杰出的科学家，而且在世 界科学发展史上也有崇高的地位。祖冲之创造“密率”，是世界闻名 的。我们应该纪念像祖冲之这样的科学家，珍视他们的宝贵遗产。
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李善兰
李善兰,原名李心兰,字竟芳,号秋纫,别号壬叔.生于 1811 年1 月 2 日,浙江海宁人,是近代著名的数学,天文学,力学和植物学家，创立 了二次平方根的幂级数展开式,各种三角函数,反三角函数和对数函数 的幂级数展开式,这是李善兰也是19 世纪中国数学界最重大的成就。
函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。 简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非 空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则， 若对X中的每个x，按对应 法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X 上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合 {y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y 叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是函数的两 个要素。
我们的看法：笛卡尔在哲学上是二元论者，并把上帝看。笛卡尔堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨 匠之一，被誉为“近代科学的始祖”。
莱布尼茨
戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz，1646年7月1日～1716年11月14日）德国最重要的自然科学 家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天 才，和牛顿（1643年1月4日—1727年3月31日）同为微积分的创建人。