人教版高中数学选修21椭圆及其标准方程教案
人教课标版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程(第1课时)》教学设计
2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）一、教学目标 （一）学习目标 1.掌握椭圆的定义；2.掌握椭圆标准方程的推导和标准方程. （二）学习重点椭圆的定义及椭圆标准方程. （三）学习难点椭圆标准方程的建立和推导. 二、教学设计 （一）预习任务设计 1.预习任务 写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 距离的和 等于常数 c ，大于12||F F 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的 焦点 ，两定点间距离叫做 椭圆的焦距 .（2）椭圆的标准方程： 焦点在x 轴上： 2221(0)y a b a b+=>> .焦点在y 轴上： 2221(0)x a b a b+=>> .2.预习自测判断分别满足下列条件的动点M 的轨迹是否为椭圆（1）到点()12,0F -和点()22,0F 的距离之和为6的点的轨迹； （2）到点()12,0F -和点2(2,0)F 的距离之和为4的点的轨迹； （3）到点()12,0F -和点2(2,0)F 的距离之和为3的点的轨迹.【解题过程】当12||||2MF MF a +=，且122||a F F >的常数时M 点的轨迹为椭圆，故（2）（3）不是.【思路点拨】注意把握椭圆的定义. 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是.（4）已知动圆P 过定点(3,0)A -，并且与定圆22:(3)64B x y -+=内切，则动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A.线段B.直线C.圆D.椭圆 【解题过程】设动圆P 与定圆B 内切于M ，由条件知：||||||||||8PA PB PM PB BM +=+==，故P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆.【思路点拨】利用椭圆的定义解题. 【答案】D （二）课堂设计 1.新知讲解探究一 创设情景，认识椭圆 ●活动① 归纳提炼概念画一画：①将一条绳子的两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧，围绕定点旋转，笔尖形成的轨迹是什么？②将绳子的两端分别固定在两个定点上，笔尖勾直绳子，移动笔尖，得到的是轨迹是什么？ 动画演示作图过程.提出问题：①作图过程中，哪些量没有变？哪些量变了？ ②为什么要求作图过程中笔尖要绷紧？③笔尖所对应的动点M 到定点的距离有什么长度之间的关系？ 总结：笔尖对应的动点M 到直线两个端点的长度之和固定不变.【设计意图】学生可通过动手实践的过程去体会“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”，从而对椭圆定义中的条件有直观深刻的认识.提出问题：根据刚才动手实践的过程，能否总结椭圆的定义？（同学自由发言，再由学生进一步补充完善）我们把平面内到两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫作椭圆.●活动② 辨析概念问题1：定义中的常数等于21F F ，则动点的轨迹是什么？问题2：定义中的常数小于21F F ，则动点的轨迹是什么？椭圆相关概念：两个定点1F ，2F 叫作椭圆的焦点．．．．．，两个焦点1F ，2F 间的距离叫作椭圆的焦距．．．．．. 【设计意图】使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风. 探究二 推导椭圆的标准方程 ●活动① 利用定义求方程动手演算：让学生动手，求推导焦点在x 轴上的椭圆的标准方程①建系：观察椭圆的几何特征，如何建系能使方程更简洁？（利用椭圆的对称性特征）以直线21F F 为x 轴，以线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系.②设点：设焦距为()20c c >，则()()12,0,0F c F c -.设(),M x y 为椭圆上任意一点，点M 与点12F F 、的距离之和为()222a a c >.③列式：动点M 满足的几何约束条件: 122MF MF a += 2a =④化简：()()a y c x y c x 22222=+-+++1F 2F∴()()22222y c x a y c x +--=++∴两边同时平方、整理得：()222y c x acx a +-=-将上式两边平方、整理得：2222222222422y a c a cx a x a x c cx a a ++-=+-()()22222222c a a y a x c a-=+-122222=-+c a y a x 分析22c a -的几何含义，令222b c a =-得到焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是什么？（由学生动手列式，()()a c y x c y x 22222=-++++，引导学生观察焦点在x轴上与焦点在y 轴上式子的差异，从而用类比的方法得到焦点在y 轴上椭圆的标准方程）如果椭圆的焦点在y 轴上，其焦点坐标为()c F -,01，()c F ,02，用同样的方法可以推出它的标准方程()012222>>=+b a bx a y ●活动② 归纳梳理、理解提升 椭圆的标准方程及方程特点焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程： 12222=+b y a x （0>>b a ） 12222=+b x a y （0>>b a ）学生思考：（1）椭圆的标准方程中三个参数b c a ,,的关系怎样？（2）如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？总结方程特征：（1）.0,0222>>>>+=c a b a c b a ， （2）哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上.【设计意图】通过归纳总结让学生对两种方程进行对比分析，强化对椭圆方程的理解.有助于教学目标的实现，培养学生的总结归纳能力，而且使学生体会和学习类比的思想方法.●活动③ 互动交流、初步实践判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点的坐标（1）1162522=+y x （在x 轴上，焦点为()0,3-，()0,3）（2）116914422=+y x （在y 轴上，焦点为()5,0-，()5,0）（3）112222=++m y m x （在y 轴上，焦点为()1,0-，()1,0）●活动④ 巩固基础、检查反馈例1.已知a =c =，则椭圆的标准方程为（ ）A.2211312x y +=B.2211325x y +=或2212513x y += C.22113x y += D.22113x y +=或22113y x += 【知识点】椭圆的标准方程. 【解题过程】由222a b c =+知21b =. 【思路点拨】通过焦点的位置判断方程. 【答案】D同类训练 已知椭圆的焦点为(1,0)-和(1,0)，点(2,0)P 在椭圆上，则椭圆的方程为（ ）A.22143x y += B.2214x y += C.22143y x += D.2214y x += 【知识点】椭圆的标准方程. 【解题过程】由222a b c =+知23b =. 【思路点拨】通过焦点的位置判断方程. 【答案】A例2 椭圆22125x y +=上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.7D.8 【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由210a =知P 到另一个焦点的距离为8. 【思路点拨】通过定义122PF PF a +=计算. 【答案】D同类训练 已知F 1、F 2是椭圆 192522=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M 、N 两点，则三角形MF 2N 的周长为 . 【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由221212101020MN MF NF MF MF NF NF ++=+++=+=.【思路点拨】通过定义122PF PF a +=计算. 【答案】20. 3.课堂总结 知识梳理（1）椭圆的定义：平面内到两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的集合叫作椭圆.（2）椭圆的标准方程：焦点在x 轴上：12222=+by a x （0>>b a ）；焦点在y 轴上：12222=+bx a y （0>>b a ）.重难点归纳（1）区分焦点：哪个变量下的分母大，焦点就在哪个轴上；（2）标准方程中,,a b c 的关系：.0,0222>>>>+=c a b a c b a ， （三）课后作业 基础型 自主突破1.设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.圆D.线段 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6， ∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2. 【思路点拨】几何性质判断图形. 【答案】D.2.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是（ ） A.5 B.3或8 C.3或5 D.20 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】2c ＝2，c ＝1，故有m －4＝1或4－m ＝1，∴m ＝5或m ＝3，故选C.【思路点拨】确定焦点位置再结合222a b c =+可得m 的值. 【答案】C3.椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是（ ）A.(±a －b ，0)B.(±b －a ，0)C.(0，±a －b )D.(0，±b －a ) 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b ＝b －a ， ∴焦点坐标为(0，±b －a ).【思路点拨】将方程整理为椭圆的标准形式. 【答案】D4.中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是（ ）A.x 281＋y 245＝1B.x 281＋y 29＝1C.x 281＋y 272＝1D.x 281＋y 236＝1 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由长轴长为18知a ＝9，∵两个焦点将长轴长三等分，∴2c ＝13(2a )＝6，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选C. 【思路点拨】由几何性质即可. 【答案】C5.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________. 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意可得⎩⎨⎧ a ＋c ＝3，a －c ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.【思路点拨】由椭圆定义及几何关系可得,,a b c 的值. 【答案】x 24＋y 23＝16.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________________.【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4. ∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3. 【思路点拨】由椭圆几何性质即可. 【答案】2 3 能力型 师生共研1.已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A.m <2B.1<m <2C.m <－1或1<m <2D.m <－1或1<m <32 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题意得⎩⎨⎧|m |－1>0，2－m >0，2－m >|m |－1.即⎩⎪⎨⎪⎧m >1或m <－1，m <2，m <32.∴1<m <32或m <－1，故选D.【思路点拨】根据焦点的位置可确定椭圆方程形式为22221(0)y x a b a a +=>>.【答案】D2.若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）A.x 225＋y 29＝1B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】∵|AB |＝8，△ABC 的周长为18，∴|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D. 【思路点拨】由椭圆定义即可. 【答案】D 探究型 多维突破1.求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；（2）a c ＝135，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】（1）由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2).由椭圆的定义知，28a =+=， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12. 又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1. （2）由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又135a c =，所以c ＝5， 所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1. 【思路点拨】由椭圆性质求解即可. 【答案】见解析2.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任一点，若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积.【知识点】椭圆的标准方程及几何性质. 【解题过程】设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中， 由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，∴(m ＋n )2－3mn ＝144， ∴mn ＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×2563×32＝6433. 【思路点拨】由定义可知焦点三角形12PF F 的面积：2tan2S b θ=，其中12F PF θ∠=.【答案】见解析自助餐1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (15，0)，直线y ＝x 与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为（ ）A.x 216＋y 2＝1B.x 2＋y 216＝1C.x 220＋y 25＝1D.x 25＋y 220＝1【知识点】椭圆的标准方程及几何性质.【解题过程】由椭圆过点(2,2)，排除A 、B 、D ，选C.【思路点拨】由椭圆定义即可.【答案】C2.已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上.若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.95B.3C.977D.94【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】a 2＝16，b 2＝9⇒c 2＝7⇒c ＝7.∵△PF 1F 2为直角三角形.且b ＝3>7＝c .∴F 1或F 2为直角三角形的直角顶点，∴点P 的横坐标为±7，设P (±7，|y |)，把x ＝±7代入椭圆方程，知716＋y 29＝1⇒y 2＝8116⇒|y |＝94.【思路点拨】由椭圆定义即可.【答案】D3.已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.射线D.直线【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线，∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上.【思路点拨】根据椭圆定义判断.【答案】A4.在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值是（ ）A. 3B.2C.2 3D.4【知识点】椭圆的定义及几何性质.【解题过程】由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.【思路点拨】根据椭圆定义判断..【答案】A5.已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________.【知识点】椭圆的标准方程.【解题过程】由题设知1c =. 结合椭圆的定义得：12122||||2||4a PF PF F F =+==，故2,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=. 【思路点拨】利用椭圆的定义求,a c ，再利用222a b c =+求b .【答案】22143x y += 6.如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性知，|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋12(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.【思路点拨】由椭圆定义，转换即可. 【答案】35。
新人教A版(选修2-1)《椭圆及其标准方程》word教案
学校：临清一中学科：数学编写人：周晨昌审稿人：张林椭圆及其标准方程【教学目标】1．使学生理解并掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，并能进行简单应用．2．通过数形结合，教学生猜想，培养学生的探索发现能力．3．帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和进取精神．【教学重难点】教学重点：对椭圆的定义的理解及其标准方程记忆，教学难点：椭圆标准方程的推导．【教学过程】一、复习并引入新课师：在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线．曲线和方程的关系是什么？生：如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x，y)=0的解，同时以方程f(x，y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线．师：圆的定义是：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？生：①平面上到两个定点(距离为2d)距离的平方和等于定值a(a＞2d2)的点的轨迹是圆；②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆．(以上结论在本节课之前书上习题中，请学生自己总结．)师：由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究．二、讲授新课1．请学生观察计算机演示如图2-23，并思考两个问题．(1)动点是在怎样的条件下运动的？(2)动点运动出的轨迹是什么？观察后请学生回答．生：动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下运动的，轨迹是椭圆．师：椭圆这种曲线你在哪些地方见过？生：立体几何中圆的直观图是椭圆．生：人造卫星的运行轨道．师：好，这种曲线在实际生活中是很常见的，很多物体的横截面的轮廓线也是椭圆，可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的．(联系实际生活进行教学可以使教学内容亲切，激发学生的学习热情．)师：是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？(学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考．)图2-24师：当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化？生：当两个定点重合时，轨迹变化为圆；当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段．师：可见圆是椭圆的特例．据此你能得到什么结论？生：平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点．说明：观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复……如图2-24．从而启发学生发现椭圆定义中的条件，然后师生共同小结完成下表，教师可用投影进行完整的总结．在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a＞|F1F2|．顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c(c＞0)表示．2．推导椭圆的标准方程．师：下面我们一起来推导椭圆的方程．教师提出问题：求到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹．师：求曲线方程的步骤是什么？生：求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性．师：那么此题应如何建立坐标系呢？建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线的斜率等)的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性．(让学生思考后回答)教师归纳大体上有如下三个方案：①取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图2-25；②以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；③以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案②，如图2-27，推导出方程．解析：1)建系：以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M(x，y)，设两定点坐标为：F1(-c，0)，F2(c，0)，2)则M满足：|MF1|+|MF2|=2a，4)化简．师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．师：好，下面我们就一起来完成这部分计算．(师生共同完成)a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．师：还有其它化简的方法吗？一般遇到化简根式的问题你应该想到什么？生：共轭根式．师：好，下面我们就通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式．(师生共同完成．此部分内容可根据学生情况选讲)(x+c)2+y2-[(x-c)2+y2]=4cx ②，由②÷①得：化简得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？(这里，数学审美成为研究发现的动力．)学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？师：请结合图形找出方程中a、c的关系．生：根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．师：很好！那我们不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？师：其中a与b的关系如何？为什么？生：a＞b＞0，因为a与b分别是Rt△MOF2的斜边、直角边．教师指出(*)式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1)方程中条件a＞b＞0不可缺少(结合图形)，当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；(这实际上是一种极限情况．)2)b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2；3)请学生猜想：若用方案③(即焦点在y轴上)，得到的方程形式又如何呢？(启发学生根据对称性进行猜想)师：请同学们课后进行推导验证．师：此时方程中a与b的关系又如何？(结合图形请学生将条件a＞b＞0补上．)三、例题例1．平面内两个定点间的距离为8，写出到这两个定点距离之和为10的点的轨迹方程．解析：所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用F1，F2表示，不妨以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则2a=10，2c＝8，因为b2=a2-c2=9，点评：很多学生不建立坐标系就写出了方程．强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系．变式训练1。
人教版高中数学选修2-1椭圆及其标准方程教案
椭圆及其标准方程(1)1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．3840，文P 32~ P 34找出疑惑之处）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c =y 轴上；⑶10,a b c +==．变式：方程214x y m+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．新 课 标第 一网小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．A ．B ．6C ．D ．12练2 ．方程219x y m-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升※ 学习小结1. 椭圆的定义：2. 椭圆的标准方程：※ 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）．A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C．(1,)+∞D．(0,1)3．如果椭圆22110036x y+=上一点P到焦点1F的距离等于6，那么点P到另一个焦点2F的距离是（）．A．4 B．14 C．12 D．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是．5．如果点(,)M x y在运动过程中，10=，点M的轨迹是，它的方程是．1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P-；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a=；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．。
人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计《人教版高中选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教学目标知识与技能：(1)初步掌握椭圆的定义及其标准方程。
(2)能对两个根号的代数式化简。
过程与方法：(1)能动手从圆中做出椭圆和用绳子画出椭圆，能将它转化成数学语言。
(2)能在分组讨论及引导下化简两个根号的代数式。
(3)类比圆的学习过程学习椭圆。
情感与价值观：体会数形结合的思想，方程思想，类比的思想在本节课中的应用。
感悟椭圆及椭圆方程的对称美。
教学重点：掌握椭圆的定义及其标准方程，理解坐标法的基本思想。
教学难点：椭圆标准方程的推导与化简。
教学过程：(一)椭圆概念的形成画一画，椭圆初步印象师：前面我们学习了圆，现在我们在圆中进行一个作图游戏，如图，圆的圆心为，在圆内取异于一定点，在圆上取一点，连接，做出线段的垂直平分线交于，然后在圆上依次取，依次得。
最后用一条光滑的曲线连接，。
为了方便大家画图，我给每个小组设计了一个画板。
请各小组合作完成作图。
(PPT演示一个作图例子)师：大家得到了什么图形呢?学生：椭圆师：为了图形更加的准确，我们用计算机验证一下。
(PPT几何画板演示)师：的确是一个椭圆，生活中还有哪些物品是椭圆形的呢?学生：师：我也准备了几个，请大家看看。
(PPT演示图片)师：椭圆就是我们这节课要研究的对象。
(PPT演示标题)。
通过本节课的学习，将达到以下目标。
(PPT演示三维目标)师：我们对椭圆已经有了一个初步印象，请分析刚才做出椭圆的过程中，哪些内容是确定的，哪些内容是变化的呢?(PPT演示作图例子) 学生：师：在平面内确定两个定点，动点到两个定点的距离之和为定值。
所以我们可以取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，就可以画出椭圆。
请各小组试一试。
议一议，椭圆定义的条件师：大家注意到，板上有3根绳子，大家选的那一根?学生：师：如果用另外两根，能画出什么图形呢?学生：一根画出线段，另外一根画不出任何图形。
人教版高中数学选修2-1第二章第一节《椭圆及其标准方程》说课稿
课题：椭圆及其标准方程（—）教材: 人教版高中数学选修2-1第二章第一节《椭圆及其标准方程》一、教材分析(一) 教材的地位和作用圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。
同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。
在本章中，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
(二) 教学目标1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程，理解椭圆标准方程的推导。
2. 过程与方法目标：通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：通过实验、观察、推理、类比、归纳等教学活动，使学生体验到数学学习活动充满着探索和创造,提高了学生的学习热情并体会数学的简洁美、对称美。
(三) 教学的重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程。
2. 教学难点：椭圆标准方程的推导。
在学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。
但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，学生对坐标法解决几何问题掌握还不够。
另外，学生对含有两个根式之和（差）等式化简的运算生疏，去根式的策略选择不当等是导致“标准方程的推导”成为学习难点的直接原因。
二、学情分析学生对曲线和方程的思想方法有了一些了解和运用的经验，对坐标法研究几何问题也有了初步的认识，因此，学生已经具备探究有关点的轨迹问题的知识基础和学习能力，但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，并且还受到高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会有些困难．如：由于学生对运用坐标法解决几何问题掌握还不够，因此从研究圆到椭圆，学生思维上会存在障碍．三、教法和学法(一) 教法：在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。
人教A版高中数学选修2-1教案椭圆及其标准方程
变式：它们的斜率之积是m（m＜０），点 的轨迹是什么？
求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.
（教师引导——示范书写）
例4在直角坐标系中，设椭圆C： （ ）的左右两个焦点分别为 ，过右焦点 且与 轴垂直的直线 与椭圆C相交，其中一个交点的坐标为（ ，1）。
情感态度与价值观
通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，同时培养学生运动、变化和对立统一的观点。
教学用具
教学重点
椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程.
教学难点
椭圆标准方程的建立和推导
教学步骤及要点：
4．举例求与椭圆有关的点的轨迹方程
例1在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足.当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？
相关点法：寻求点 的坐标 与中间 的关系，然后消去 ，得到点 的轨迹方程.
（教师引导——示范书写）
例2已知动圆M过定点A（-3，0），并且在定圆 的内部与其相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
（2）设 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 ，焦点 的坐标分别为 ， ，
（3）又设 与 的距离之和等于 ，根据椭圆的定义，则有 ，
（4）用两点间的距离公式代入，画简后的 ，此时引入 要讲清楚.
即椭圆的标准方程是 .根据对称性，若焦点在 轴上，则椭圆的标准方程是 .两个焦点坐标 .
通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式： 和
（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求 的面积
高中数学椭圆及其标准方程教案(第一课时)新人教版选修2
椭圆及其标准方程教学目标：理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，以及a，b，c三者的关系教学重点：椭圆的定义及标准方程教学难点：标准方程的推导教学过程：一、引入师：同学们，我们上两节课学习了方程与曲线的关系，把几何图形与坐标进行了挂钩，也即是一条曲线满足某个方程，我们就知道满足这个方程的点一定在这条曲线上，这条曲线上的点一定能满足这个方程，我们同时还学习了求一条曲线的方程一般步骤：建系，写出点的坐标的集合，建立方程，化简方程，检验。
曲线在我们是生活中到处可见，其中有不少都是非常有规则的，具有一些特殊性质的曲线，今天我们将要学习一种特殊的曲线，在学习之前我们先来看一段小视频。
这个是我们神六飞行的一些片段，好通过这个视频同学们可以看到神六绕地飞行的轨迹是一个椭圆，我们知道除了神六，我们太阳系里的行星绕太阳飞行的轨迹也是椭圆，椭圆在我们的生活中也是随处可见。
既然椭圆在生活中是如此的常见，人们是怎么准确的画出椭圆的呢？在画椭圆之前同学们回忆一下我们是怎样画圆的？定出圆心，去半径长，绕着圆心画一圈就可以了，对比圆，椭圆会不会有相似的画法呢？同学们看一看课本的探究活动，前面一部分同学们应该都清楚那是一个圆，我们现在来看后一部分，把细绳两端拉开一段距离，固定，拉紧绳子，移动笔尖，同学们想想，在这个过程中什么是不变的？（绳子长），对，鉴于用绳子操作起来比较麻烦，通过几何画板来给同学们演示一下。
画板上有固定的两点F1，F2，M三个点，现在我们保持MF1+MF2不变，同学们观察M 点会画出怎样的一条轨迹，留意这几个数字的变化。
根据这一变化，我们给椭圆下个定义：平面内到两个定点的F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
问：为什么这个常数要大于|F1F2|？如果没有这个限制会出现什么样的情况呢？生：学生讨论师：好我们现在同样通过几何画板来看看。
我们可以看到当等于|F1F2|是轨迹是线段F1F2，当小于|F1F2|时，这样的M点不存在。
高中数学《椭圆及其标准方程》公开课优秀教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计说明一、教学内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学》选修2-1中的第二章第二节第一课时的内容，其主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知识.解析几何是在直角坐标系的基础上，利用代数方法解决几何问题的一门学科.从知识上讲，本节是在必修课程《数学2》中直线和圆的基础上，对解析法的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，三种圆锥曲线独编为一章，体现椭圆的重要地位。
解析几何的意义主要表现在数形结合的思想上.在研究椭圆定义和方程的过程中，几何直观观察和代数严格推导相互结合，同时要借助圆作类比，用类比的思想为学生的思维搭桥铺路.因此本节课内容起到了承上启下的重要作用，是本章和本节的重点.教学重点：椭圆的定义及其标准方程。
二、教学目标设置1.课程目标（1）了解圆锥曲线与二次方程的关系；（2）掌握圆锥曲线的基本几何性质；（3）感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（4）结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.2.单元目标（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质；（4）能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；（5）通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.3.本节课教学目标（1）通过用细绳画椭圆的实验，能用自己的语言叙述椭圆的定义，会用定义判定点的轨迹；（2）类比建立圆的方程的方法，通过交流讨论，能选择适当的直角坐标系建立椭圆的方程；（3）结合椭圆的标准方程和它的几何图形，能指出参数a、b、c的几何意义；（4）会用椭圆定义和标准方程解决与课本上类似的题目；（5）通过椭圆知识的学习，体会类比思想、数形结合思想和坐标法。
人教版高中数学选修2《2.1.1 椭圆的定义与标准方程》教学设计
2.1.1椭圆的定义与标准方程一、教材分析1、地位与作用本章《圆锥曲线》主要研究圆锥曲线的定义、方程、几何性质，以及它们在实际中的简单应用。
它是继前面《必修二》解析几何初步研究直线和圆之后，用坐标法研究曲线问题的又一次实际演练。
椭圆是三种圆锥曲线中最重要的一种，教材中以椭圆为例，研究定义，推导方程，利用方程研究几何性质，从方法上，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；因此起着承前启后的作用。
学习本节内容有利于培养学生数形结合思想，转化思想，类比思想及分类讨论思想，有利于提高学生的数学思维能力，因此本节的内容既是本章的重点，也是本节的重点.2、教学目标：本着以“知识为载体、注重学生的能力、合作学习的精神的培养”的教学理念，教学目标制定如下：1）、知识与技能：掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，会根据条件确定椭圆的标准方程，用待定系数法求椭圆的标准方程。
2）、过程与方法：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力3）、情感、态度和价值观：通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生自主学习的能力，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，增强学生的数学应用意识，扩展学生的数学视野.3、教学重点与难点根据教学大纲，学生学习实际情况，结合以上分析.本节教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程。
教学难点：椭圆标准方程的建立和推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因关键：坐标系的建立和根式的化简难点突破策略：引导学生类比建立圆的方程的方法，经过学生独立思考与交流讨论，在椭圆上建立恰当的直角坐标系；化简动点满足的代数方程时，引导学生注意观察方程的特点，对其进行移项变形后再通过平方运算进行化简，配合多媒体演示。
二、学生情况分析学生已经学习了圆的概念及其方程，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，初步认识了解析几何课程的特征，即是一门借助坐标法研究几何的学科，并且已经初步体验到了数形结合的基本思想，在实际教学中，由于学生对解析几何的学习程度较浅，再加上文科学生的数学思维和计算能力相对较弱，学生难免会遇到障碍，如椭圆的定义表述不精准，和含有两个根式的方程化简问题。
人教A版选修2-1第二章第2节《椭圆及其标准方程》的教学设计
椭圆及其标准方程（人教A选修2-1第二章第二节）一、教学设计内容和内容解析（1）内容椭圆是常见的曲线，通过对引言及日常生活的体验，学生对椭圆已经有了一定的认识.本节将在此基础上，引导他们具体学习椭圆的定义、椭圆的标准方程的推导.本节是继直线与圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练.（2）内容解析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容之一.它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用.本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程.它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用.一方面，前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，另一方面，椭圆、双曲线、抛物线无论是定义、性质、方程还是坐标法运用上都有很多相似之处，可以说学习椭圆就是学习其他圆锥曲线的基础.第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想.而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习.第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础.目标和目标解析（1）目标通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生能够理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，并根据条件会求椭圆的标准方程.通过对椭圆的认识及其方程的推导，使学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力得到一定提高，用坐标法解决圆锥曲线问题的能力得到加强.鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望.（2）目标解析椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对《圆锥曲线》这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习，它是后继学习的基础和示范.同时，也是求曲线方程的深化和巩固.因此，学生对椭圆定义的理解，直接影响到他们对后续双曲线及抛物线定义的理解，又因为对椭圆定义的学习及其标准方程的推导过程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材，所以让学生理解椭圆的定义及标准方程的推导，成为本节课的重点.另外，让学生集体参与、主动参与，让学生动手、动脑，通过观察、猜想、归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索.所以，在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度成为本节课要达成的情感目标.教学重点：椭圆的定义、椭圆标准方程的推导教学问题诊断分析（1）教学的第一个问题是椭圆是怎样画出的，椭圆中存在的等量关系是什么，定义中要有什么样的约束条件？解决方案：①可通过两定点距离、绳长与图形的关系，通过操作，完善定义；②利用三角形中的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边原理，完善定义.（2）教学的第二个问题是平面直角坐标系怎么建立可以使得标准方程变得简单.解决方案：引导学生类比“圆心在原点及不在原点的圆的方程的求解过程”得到建系的方法.（3）教学的第三个问题是椭圆标准方程的推导与化简中含有两个根式的等式化简.解决方案：由于用两边同时平方法化简较为繁琐，有些学生完成可能的有困难，老师要及时加以指导.（4）教学的第四个问题可能是焦点在Y轴上的椭圆方程的得出.解决方案：可以利用类比“化归”的思想，通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用焦点在x轴上椭圆的标准方程得到焦点在y轴上椭圆的标准方程，避免繁琐、重复的推导过程.教学难点：椭圆标准方程的推导教学支持条件分析①动手切割圆锥形的事物，结合教材中的课后阅读材料，让学生了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子.②对椭圆定义的引入，可借助多媒体辅助工具及实物模型，直观形象的进行展示，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念.③借助绳子及图钉等作为教具，动手绘制椭圆，通过演示，让学生掌握椭圆绘制方法并从中理解椭圆定义的实质.④注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系.⑤推导椭圆的标准方程时，可利用多媒体辅助工具，让学生类比圆的方程的求解方法，得到求椭圆标准方程的建系方法.⑥利用多媒体辅助翻转图形，启发学生得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程.然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识.⑦合理利用实物展台，对学生所获得的经验进行展示，引导学生积极参与学习活动,培养学生的好奇心和学习兴趣；体验学习数学的成功与快乐，增强自信心.教学过程(一)直观感受，形象体会①把装有咖啡的圆柱形杯子适度倾斜，让学生观察水面所形成的图形.②动手切割圆锥形的胡萝卜，让学生观察切片的形状.③多媒体辅助：圆及其水平放置的直观图，椭圆形状的实物.得出结论——椭圆，教材中的课后阅读材料，介绍“圆锥曲线”名称的由来.设计目的：利用生动形象的演示实验及实物展图，提高学生的学习兴趣、激活思维，使他们的注意力、记忆力、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，通过介绍“圆锥曲线”名称的由来,让学生对圆及椭圆之间的形变关系有一点点的体会.（二）新课教学1、椭圆的定义【问题一】将一根绳子的两端固定在同一个图钉处，再将铅笔套在绳子的折点处绷紧，然后旋转一周，便可在一块硬纸板上绘制出一个圆.如果将绳子的两端分别固定在距离小于绳长的两个图钉上，将铅笔卡在绳子内侧的任意位置绷紧，同样旋转一周，可以在硬纸板上绘制出什么样的图形呢？事实上，是可以做到的.将绳子的一端固定在硬纸板上的图钉处，将铅笔套在绳子的另一端，旋转一周，便得到一个圆.结合将装有咖啡的圆柱形杯子适度倾斜，得到的咖啡上底面是椭圆形，可知圆形和椭圆形存在着形变的关系.圆柱形杯子倾斜时，圆形水面的圆心便会向两侧均匀移动，圆心这个定点就拆分成为两个定点，到定点的距离也就变成了到两个定点之间的距离关系，再进行探索便可发现，当绳子的长度大于两个定点间的距离时，将铅笔卡在绳子上拉直，再旋转一周，所得到的图形便是椭圆形了.得出结果后，教师可就圆的绘制及椭圆的绘制过程及结果进行实践展示，加深学生的印象，也为后续问题做铺垫.设计目的：让学生对所掌握的知识重新进行归纳及整理，能大胆猜想，敢于实践，培养他们的探究精神.焦点及焦距的定义：椭圆的两个定点通常称为椭圆的两个焦点，两个焦点间的距离称之为焦距.【问题二】设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，椭圆上任一点P ,能否从以上绘制出的椭圆图形中，抽象出一个等量关系，并由此归纳椭圆的定义？由椭圆的绘制过程，容易观察出，绳子的长度始终是保持不变的，不妨设绳子的长度为2a ，焦距为2c ，则可得到等式：12|PF ||PF |2a +=（22a c >），定义：平面上到两个定点12,F F 的距离之和恒等于常数2a （122|FF |a >）的点的轨迹.设计目的：锻炼学生的观察能力，培养学生抽象概括的能力.【问题三】椭圆的定义中，去掉122|FF |a >这个条件，所得到的轨迹还是椭圆吗？事实上，当绳子的长度恰好等于两定点间的距离时，是无法绘制出椭圆的，即满足12|PF ||PF |2a +=（122|FF |a =）的点P 的轨迹是线段12F F ，当绳子的长度小于两定点间的距离时，是无法绘制出图像的，即满足12|PF ||PF |2a +=（122|FF |a <）的点P 是不存在的.设计目的：培养学生严密的逻辑思维能力，让他们懂得分析问题时，应注意全面性.在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于12|FF |.2、椭圆标准方程的推导播放课件：哈雷慧星1986年2月9日是上世纪第二次也是最后一次回归地球，天文学家推算出哈雷慧星每隔76年到达离地球最近点一次.【问题四】天文学家推算出76年以后它还将光临地球上空的依据是什么？原来，哈雷彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周期，预测它接近地球的时间.由此可说明轨迹方程有很大作用，怎样才能算出彗星运行轨道的方程呢？设计目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性.复习回顾：求曲线轨迹方程的步骤：建系——设点——列式——化简（坐标法）——验证启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系.学生可能会有如下几种建系方案：方案1：以定点1F 为原点，两定点的连线为X 轴；方案2：以定点2F 为原点，两定点的连线为X 轴；方案3：以两定点的连线为X 轴，其垂直平分线为Y 轴；方案4：以两定点的连线为Y 轴，其垂直平分线为X 轴.方案１ 方案２ 方案３ 方案4 【问题五】类比圆的方程的推导，四种建系方案中，哪些方案得出的椭圆的方程较为简便？事实上，圆心在原点，半径为r 的圆的方程为222x y r +=；圆心为(,0)a （0a ≠），半径为r 的圆的方程为222()x a y r -+=；圆心为(,)a b （,0a b ≠），半径为r 的圆的方程为222()()x a y b r -+-=，可观察得出，圆心在原点的圆的方程最为简便，抓住图形的对称性来建立直角坐标系是这种建系方案最大的特点.从而，可猜想，方案3及方案4的建系方法得出的椭圆的方程应该比较简便.以方案三为例，推导椭圆的标准方程：①建系：以21,F F 所在直线为x 轴，以线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.②设点：设),(1y x M 是椭圆上任意一点，为了使21,F F 的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设12||2(0)F F c c =>，则12(,0),(,0)F c F c -设M 与两定点21,F F 的距离的和等于a 2③列式：12||||2MF MF a += 2,a④化简：（这里是本节的一个难点.为突破难点，教师进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？还有没有其他方法，集思广议，进行筛选后，选择方案如下）2a -两边平方，得：22222()44()x c y a x c y ++=--+即2a cx -=两边平方，得：422222222()a a cx c x a x c a y -+=-+整理，得：22222222()()a c x a y a a c -+=-令222(0)a c b b -=>，则方程可简化为：222222b a y a x b =+ 整理成：)0(12222>>=+b a by a x 指出：方程)0(12222>>=+b a by a x 叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是22221),0,(),0,(b a c c F c F -=-【难点突破】1、学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法——将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.2、化简的方法还有很多，如等差中项法等，可布置为课后的思考题，发散学生的思维，进一步锻炼学生的计算能力.【问题六】如果以21,F F 所在直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是),0(),,0(21c F c F -，椭圆的方程又如何呢？教师可结合多媒体进行辅助，翻转方案3的图形，引导学生得出焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a bx a y 【问题七】已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？引导学生思考：看2x ，2y 的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上.设计目的：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解；通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法，深化学生对椭圆标准方程的理解.（三）典型例题研究：例1、下列方程是否表示椭圆,为什么? (1)14422=+y x ;(2) 04322=+y x ;(3) 1522=+y x ;(4) 19422=-y x . <思考题>方程22Ax By C +=中，A 、B 、C 满足什么条件，方程可以表示椭圆？设计目的：使学生进一步熟悉椭圆的标准方程，在辨别中加深印象，加强对知识的理解.例2、已知4a =,3b =，求焦点分别在x 、y 轴上的椭圆的标准方程.分析：（略）<变式训练1> 根据已知条件，求焦点分别在x 、y 轴上的椭圆的标准方程．（1）6,4a b ==； （2）3,1a b ==；（3） 2,5==c a ； （4）2,3==c b ．设计目的：检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识，利于学生思维能力的培养.例3、已知椭圆两个焦点的坐标分别是()0,2-，()0,2，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23-25，，求它的标准方程.解：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为 ()012222>>=+b a by a x 由椭圆的定义知102232252322522222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a ， 所以10=a ，又因为2=c ，所以6410222=-=-=c a b . 因此，所求的椭圆的标准方程为161022=+y x . 【想一想】你还能用其他求它的方法吗？哪种方法更简单？你有什么体会？设计目的：教师板书示范，强调解题的规范．并让学生熟练椭圆标准方程的运用.让学生知道用待定系数法也可以解决这道题.<变式训练2>1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点()2,2-P 和()3,0-Q ，求此椭圆的标准方程.2.已知椭圆经过两个点()2,2-P 和()3,0-Q ，求此椭圆的标准方程.通过引导分析：焦点分别在x 轴和y 轴时对应有不同的方程，需要分两类来说明.变式1与例3类似，可以让学生自主练习，巩固方程的求法和待定系数法.变式2：引导学生观察,两道题条件有什么不同？当椭圆的焦点不确定时，应该如何选择方程？是否两类方程都适合呢？设计目的：这道题在设计上难度逐步加深，目的是要巩固知识，学习分类讨论的思想. ﹙四﹚ 课堂小结1.椭圆的定义（注意定义中的三个条件）2.椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）3.解析几何的基本思想设置目的：通过小结，使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.（五）作业布置(1)必做题：教材P 42 1，2，3(2)选做题：求与圆（x-2）2+y 2=1外切，且与圆（x+2）2+y 2=49内切的动圆圆心的轨迹方程.设计目的：作业由易到难，分必做题和选做题，体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步促进教学目标的实现.（六）板书设计板书设计目的：条理清晰，把本节课的重点、难点写在黑板最突出的地方，便于不断强化学生对本节课知识的掌握.二、教学实践心得创设良好的教学情境，提高高中数学教学的实效性任何一个学生与生俱来都具有探究问题的心理需求、被人认可或欣赏的精神满足、获得成功或失败的情感体验，而这一些的获取，必须在一定的教育教学情境中才能实现.因此教师在教学中必须把学生要学习的内容巧妙地转化为教学情境，让学生带着强烈的好奇心和探究欲望，愉快地参与教学活动.创设教学情境经常采用的方法有：1、利用信息技术创设教学情境现代的多媒体技术，能把生动的动画图象、清晰的文字、注解和优美的声音有机地合成，并显示在大屏幕上，具有很强的真实感和表现力，可以调动学生学习积极性.对一些抽象的概念、难以观察的现象、跨越时空的事物和不需实现的愿望，利用信息技术和多媒体创设教学情境，可以吸引学生注意力，激发学生的探究兴趣.教学实录1：（多媒体辅助教学）请欣赏下面几幅图片，行星运行的轨道，生活中的盘子，水果的切面，椭圆形的镜子，这些都给我们以椭圆的形象.教学实录2：播放课件：哈雷慧星1986年2月9日是上世纪第二次也是最后一次回归地球，天文学家推算出哈雷慧星每隔76年到达离地球最近点一次.天文学家推算出76年以后它还将光临地球上空的依据是什么？实践表明，采用多媒体辅助教学，不仅使抽象的内容形象化，使便于学生认识，而且能增加学生的探究兴趣.提高分析问题和解决问题的能力.2、联系生活实际创设教学情境数学来源于生活，又为生活服务.我们可以利用学生所熟悉的生产、生活情境，创设情境，让学生体会到生活中的数学美，这样容易激发学生的愉悦心情，触发学生的情感和求知欲，更能提升学生探究学习的兴趣.课堂实录：师：今天早晨老师冲了杯咖啡带来，请观察，此时水的横截面边缘是什么图形？（圆柱形杯子竖直放置）生：圆师：我们如果将杯子倾斜一定的角度，此时水的横截面边缘又是什么图形呢？生：椭圆师：今天我们一起来探讨“椭圆及其标准方程”（点明主题）3、创设让学生动手操作的情境苏霍姆林斯基曾指出：“在人的灵魂深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者.”心理学研究也认为：“智慧出于手指尖” . 国际学习科学研究领域也有句名言：“听来的忘得快，看到的记得住，动手做更能学得好.”因此，在教学当中，我们就应尽可能地创设各种动手操作的情境，在教学中尽可能让学生的手、眼、脑、口等多种感官共同参与知识的内化过程，既有助于知识的掌握，又培养了学生的动手能力和探索精神，满足学生作为个体的需要，集中学生的注意力，调动学生学习兴趣，激励学生去努力成为一个发现者，研究者、探索者.课堂实录1：利用一根绳子及一枚图钉，可以在一块硬纸板上绘制出一个圆，类比这圆的绘制方法，利用绳子及图钉在硬纸板上绘制出椭圆.4、创设问题情境通过情境，提出问题，使教学信息具有新奇性，从而使学生产生浓厚的好奇心及求知欲，极大地激发了学生探究动机和兴趣，是创设问题情境来实施教学的主要功能表现.在探索创新过程中渗透和运用一些创造性的方法提出假设，建立新理论、给出新方法，有利于培养学生在创新过程中所需要的思维素质和探究能力.教学实录：【问题情境一】利用一根绳子及一枚图钉，可以在一块硬纸板上绘制出一个圆，类比这圆的绘制方法，你能否利用绳子及图钉在硬纸板上绘制出椭圆呢？【问题情境二】设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，椭圆上任一点P ,能否从以上绘制出的椭圆图形中，抽象出一个等量关系，并由此归纳椭圆的定义？【问题情境三】椭圆的定义中，去掉122|FF |a >这个条件，所得到的轨迹还是椭圆吗？5、创设竞争情境美国心理学家、教育学家杰罗姆·布鲁纳强调，学习的最好动机是对所学材料的兴趣，是奖励、竞争之类的外在刺激.因此，教学中，教师可适当创设竞争情境，引入竞争教学模式，为学生创造展示自我、表现自我的机会，促进所有学生比、学、赶、超，以激发学习兴趣.教学实录：<思考题>方程22Ax By C +=中，A 、B 、C 满足什么条件，方程可以表示椭圆？在该思考题的教学中，可将班级分成8个小组进行讨论，然后将各小组的讨论结果用投影仪进行展示，教师再对各小组的收获进行评价与补充.总之，经过教师精心创设教学情境，可以激发学生的学习动机，让他们在思想上产生浓厚的兴趣，使他们自觉主动的去深思、探究、发现和解决问题，从而享受学习的乐趣，收获成功的喜悦，真正成为学习的主人.作为新课程改革进程下的教育教学工作者，我们背负着神圣的使命，要真正调动学生学习数学的积极性，培养他们自主创新的意识及能力，我们还需要做得更多.参考文献：1、章建跃．关于课堂教学中设置问题情境的几个问题【J】．数学通报，1994，6：3-4．2、钟启泉．课程与教学论【M】．广州：广东高等教育出版社，1999．3、张新华．关于在课堂多媒体网络环境下的情境创设【J】．电化教育研究，2001，5，48-52．4、王文静．情境认知与学习理论述评【J】．全球教育展望，2002，(1)：51．55三、专家点评本节课选自高中数学人教A选修2—1第二章第二节第一课时，题目是《椭圆及其标准方程》，纵观这节课的教学设计，有以下几个特点：1、能灵活创设适宜的教学情境，引发学生的兴趣，如联系生活实际，引导观察圆柱形杯子中咖啡的截面形状，斜切圆锥形胡萝卜获得的截面等，多种角度给学生再一次的视觉体验，直观感受，进而引出课题.2、能很好的营造探究氛围，塑造学生的竞争意识，引导合作交流的能力.该设计环环相扣，选择的突出重点及突破难点的方法巧妙，还能经常性的以设问的方式，承上启下的进行教学，引导学生带着思索进入下一个环节.3、能抓住教学的本质，注重基础知识及基本技能的训练.如在推导椭圆的标准方程是，能引导学生复习回顾曲线方程的求解步骤，耐心的引导他们选择适当的坐标系、化简无理方程等.这样的一个过程既让学生进一步掌握用坐标法求曲线方程的方法和步骤，还为双曲线及抛物线定义的教学埋下了铺垫.既发散了学生的思维，还让学生抓住问题的核心，学会探究.4、能在教学设计中体现数学文化的传承，并渗透情感教育.有意识的加强对数学文化的传承.引导学生利用课余时间去研读课后的阅读材料，从而自然传播了“椭圆”一词的产生及其定义的完善与发展.还经常性地鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程.5、理解教学大纲及课程标准，合理应用教材.教案的编写体现了教师的教材观，作到了用好教材、用活教材.在实际问题的研究过程中引入椭圆的概念. 注意在前面学段的基础上进行学习，教学过程以问题为主线，层层推进，引导和组织学生的思维活动，使学生在问题解决过程中经历椭圆标准方程的推导.这节课的设计基于教材，又不拘泥于教材.教师利用教材中椭圆图形的形成过程设计了一个实验，同时教师还通过丰富的不同层次的实例，使学生理解椭圆的定义.在教学过程中，充分利用青年教师的优势，结合高二学生的活泼的特征，对信息技术合理、适度的使用，使得让学生难以理解的知识变得易于理解，起到了较好的教学辅助作用.（福建省南安第一中学张伟民）。
高中数学人教版A选修2-1教学设计：椭圆及其标准方程方程.参赛教案
《椭圆及其标准方程方程》教案
尼尔基一中数学教师：齐继鹏
【三维目标】
知识与技能：理解椭圆定义，能建立适当的坐标系推出椭圆标准方程，会根据所条件求出椭圆标准方程。
过程与方法：通过自主学习、合作探究，培养运用类比归纳的方法总结出椭圆定义，并导出椭圆的标准方程，体会数形结合的思想，培养了自主学习习惯，合作意识，创新能力。
情感态度与价值观：让学生感受数学问题探索的乐趣，体会数学的理性、严谨和实用，
体现数学的文化价值，和实际应用价值。
【教学重点】理解椭圆定义，能建立适当的坐标系推出椭圆标准方程，会根据所条件求出椭圆标准方程，注重培养数形结合的思想。
【教学难点】如何建立适当的坐标系推出椭圆标准方程
【教学方法】
引导发现法、探究法、归纳法、多媒体课件辅助教学。
【教学过程】。
人教版数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
人教版数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教学设计
教材：普通高中课程标准实验教科书选修2-1
章节：第二章 2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）
面向学生：高二年级
普通高中课程标准实验教科书选修2-1
椭圆及其标准方程（第一课时）
一、教学目标：
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.
3.培养探索数学的兴趣，培养探索数学的兴趣，提升数学抽象、数学建模、数学运算的数学素养。
二、二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。
2．难点：椭圆标准方程的推导。
三、三、教学过程设计。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
椭圆标准方程的教案6篇
椭圆标准方程的教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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人教A版高中数学选修21椭圆及其标准方程教案
课题：椭圆及其标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书——《数学》选修2-1 一、教材分析：《椭圆及其标准方程》是高中数学新教材选修2—1第二章第二节的第一课时。
从知识上说，它是运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础；所以说，无论从教材内容，还是从教学方法上都是起着承上启下的作用，它是学好本章内容的关键。
因此搞好这一节的教学，具有非常重要的意义。
二、教学目标分析：（一）知识与技能目标: 准确理解椭圆的定义,掌握椭圆的标准方程及其推导.（二）过程与方法目标: 通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力.（三）情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.三、教学重点、难点：（一）．重点：椭圆定义及其标准方程（二）．难点：椭圆标准方程的推导四、教学方法与教学手段采用启发和探究式教学相结合的教学模式，即在教师的引导下，创设情境，学生利用课前准备的工具亲自动手画出椭圆，并讨论椭圆上的点满足的条件，以此来充分调动学生学习的主动性和积极性，发展学生数形结合，等价转换等思想，培养学生综合运用知识解决问题的能力。
教学手段：计算机课件辅助教学。
五、教学过程：（一）认识椭圆，探求规律:1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师准备的有关椭圆的图片，让学生从感性上认识椭圆.2．通过演示动画，展示椭圆的形成过程，使学生认识到椭圆是点按一定“规律”运动的轨迹.（二）动手实验，亲身体会用上面所总结的规律，指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备细绳），并以此了解椭圆上的点的特征.请两名同学上黑板画（三）归纳定义，完善定义我们通过动画演示，实践操作，对椭圆有了一定的认识，下面由同学们归纳椭圆的定义.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F =2c ）的点的轨迹叫做椭圆。
新人教A版(选修2-1)《椭圆及其标准方程》word教案
学校：临清一中学科：数学编写人：周晨昌审稿人：张林椭圆及其标准方程【教学目标】1使学生理解并掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，并能进行简单应用.2•通过数形结合，教学生猜想，培养学生的探索发现能力.3•帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和进取精神.【教学重难点】教学重点：对椭圆的定义的理解及其标准方程记忆，教学难点：椭圆标准方程的推导.【教学过程】一、复习并引入新课师：在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线•曲线和方程的关系是什么？生：如果曲线上任意一点的坐标都是方程f(x , y)=0的解，同时以方程f(x , y)=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线.师：圆的定义是：在平面上，至U定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？生：①平面上到两个定点 (距离为2d)距离的平方和等于定值 a(a >2d2)的点的轨迹是圆；②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆.(以上结论在本节课之前书上习题中，请学生自己总结. )师：由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究.二、讲授新课1 •请学生观察计算机演示如图2-23，并思考两个问题.图 2-24(1) 动点是在怎样的条件下运动的？ (2) 动点运动出的轨迹是什么？ 观察后请学生回答.生：动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下 运动的，轨迹是椭圆.师：椭圆这种曲线你在哪些地方见过？ 生：立体几何中圆的直观图是椭圆. 生：人造卫星的运行轨道.师：好，这种曲线在实际生活中是很常见的，很多物体的横截面的轮廓线也是椭圆, 可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的.(联系实际生活进行教学可以使教学内容亲切，激发学生的学习热情. )师：是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？ (学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考.)师：当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化?生：当两个定点重合时，轨迹变化为圆；当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段.师：可见圆是椭圆的特例•据此你能得到什么结论？生：平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点.说明：观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复”如图2-24 .从而启发学生发现椭圆定义中的条件，然后师生共同小结完成下表，教师可用投影进行完整的总结.在平面上到两个定点 F i, F2距离之和等于定值 2a的点的轨迹为椭圆（加〉厲巧|）；弋线段（為=|F]Fj）1不存在（2枝<|耳兔）.最后由学生口述教师板书：把平面内与两个定点F i, F2距离之和等于定值 2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a> IF1F2I .顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c（c > 0）表示.2.推导椭圆的标准方程.师：下面我们一起来推导椭圆的方程.教师提出问题：求到两个定点F i, F2距离之和等于定值 2a（2a >|F1F2|）的点的轨迹.师：求曲线方程的步骤是什么？生：求曲线方程的步骤是：①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性.师：那么此题应如何建立坐标系呢？建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线的斜率等）的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性.（让学生思考后回答）教师归纳大体上有如下三个方案:①取一个定点为原点，以 F i , F 2所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图 2-25 ;②，如图2-27，推导出方程.解析：i)建系：以F i , 并设椭圆上任意一点的坐标为F 2所在直线为x 轴，线段F i F 2的中点为原点建立直角坐标系, M(x, y),设两定点坐标为:F i （-c , 0） , F 2（C , 0）, 2） 则 M 满足：|MF i |+|MF 2|=2a ,3） 坐标化即：J （x 二）行戸+J （x-5仃沪二2乳4） 化简.师：我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法?②以F i ，F 2所在直线为 ③以F i ，F 2所在直线为 y 轴，线段F 1F 2的中点为原点建立直角坐标系，如图 2-26 ；x 轴，线段F i F 2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案團 2-25生：化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法.师：好，下面我们就一起来完成这部分计算. (师生共同完成)十 C)? =2a- +y ；两边平方得:(x + c)2 + y 2 - 4a 2 -4a^(x - c)a + y 2 + (K - c)2 +『, 即f w J(n)2 + J ・两边再平方得：422 2 2 2 2 2 2 2 2a -2a cx+c x =a x -2a cx+a c +a y ，整理得：22 222 22 2(a -c )x +a y =a (a -c ).师：还有其它化简的方法吗？ 一般遇到化简根式的问题你应该想到什么？生：共轭根式.师：好，下面我们就通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式.(师生共同完成•此部分内容可根据学生情况选讲)2 2 2 2(x+c) +y -[(x-c) +y ]=4cx』(注+沪+寸=—+ a ©两边平方得 1 x 3 + 2cac + c 3 + y 3 = a a + 2cx + ——化简得： / 2 2、 2 2 2 2/ 2 2、 (a -c )x+a y =a (a -c ).师：到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x, y 的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？ (这里，数学审美成为研究发现的动力. )学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图 2-28，看看a 与c 的关系如何?②，由②十①得:③.①+③得:师：请结合图形找出方程中 a、c的关系.生：根据椭圆定义知道 a2> c2,且如图所示，a与c可以看成Rt△ MOF的斜边和直角边.师：很好！那我们不妨令 b2=a2-c2,则方程就变形为 b2x2+a2y2=a2b2,如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？生方程变册扌+春1・⑴师：其中a与b的关系如何？为什么？生：a> b>0,因为a与b分别是Rt△ MOF的斜边、直角边.教师指出（*）式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：1）方程中条件a>b>0不可缺少（结合图形），当a=b>0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；（这实际上是一种极限情况.）2）b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：b2=a2-c2;3）请学生猜想：若用方案③ （即焦点在y轴上），得到的方程形式又如何呢？（启发学生根据对称性进行猜想）生t方程形式为^ + ― = 1- a y师：请同学们课后进行推导验证.师：此时方程中a与b的关系又如何？（结合图形请学生将条件 a>b>0补上.）三、例题例1. 平面内两个定点间的距离为 8,写出到这两个定点距离之和为 10的点的轨迹方程.解析：所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用R, F2表示，不妨以R, F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则 2a=10, 2c = 8,因为b2=a2-c2=9, 故所求轨迹方程为寻+ ¥“•（另一种情况壬+ ^T也可以，但只有一解）点评：很多学生不建立坐标系就写出了方程•强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系.变式训练1。
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椭圆及其标准方程(2)
1．掌握点的轨迹的求法；
2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．
4142
，文P34~ P36找出疑惑之处）
复习1：椭圆上
22
1
259
x y
+=一点P到椭圆的左焦点
1
F的距离为3，则P到椭圆右焦点
2
F的距
离
是．
复习2：在椭圆的标准方程中,6
a=,b则椭
圆的标准方程是．
二、新课导学
※学习探究
问题：圆22650
x y x
+++=的圆心和半径分别是什么?
问题：圆上的所有点到(圆心)的距离都等于(半径) ；
反之,到点(3,0)
-的距离等于2的所有点都在
圆上．
※典型例题
例1在圆224
x y
+=上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32
DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？
小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．
例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49
-，求点M 的轨迹方程 ．
变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？
※ 动手试试
练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的动点的轨迹方程．
练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．
三、总结提升
※ 学习小结
1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；
②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．
※ 知识拓展
椭圆的第二定义：
到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点；
定直线l 是椭圆的准线；
常数e 是椭圆的离心率．
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）．
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．
A ．221259x y +=
B ．221259y x += (0)y ≠
C ．22
1169
x y +=(0)y ≠ D ．22
1259
x y +=(0)y ≠ 3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m
+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段
4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．
5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．
1．已知三角形ABC V 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程．
2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．。