数学建模规划问题的经典案例(PPT)

s.t.
x12 x13 Q
考 虑 从 产 地 出 发 的 运 量.
x12
x24
x25
x24
x34
x45
0; x47
0;
x13 x34 x36 0; x25 x45 x56 x57
0;
x36
x56
x67
0;
x47 x57 x67 Q
xij 0， i, j 1,2, ,7.
3
350
275
7
最短路线为:1-4-6-9-10，长度：650
例4：最小费用流问题
4
15
2
8
7 5
1
8
14 3
13
6
变量 设xij表示节点i到j沿该弧的运量
模型 min z 20x12 14x13 15x24 12x25 10x34 13x36
8x45 9x47 8x56 10x57 12x67 (总运费)
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。
时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。
本节课题
例1 加工奶制品的生产计划
一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，一桶牛 奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或者在乙类设 备上用8个小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1， A2全部都能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。 现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳 动时间为480小时，并且甲类设备每天之多能加工100公斤A1， 乙类设备没有加工能力限制。试为该厂制订一个生产计划，使 每天获利最大，并进一步讨论一以下3个附加问题：
每天平均费用
C(T ,Q)
c1 T
c2
Q2 2rT
c3
(rT Q)2 2rT
模型求解 求T ,Q满足
min C(T ,Q)
c1 T
c2
Q2 2rT
c3
(rT Q)2 2rT
用微分法 令 C(T ,Q) 0, C(T ,Q) 0
T
Q
T 2c1 c2 c3 Q 2c1r c3
c2r c3
周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。
2）缺货损失费愈大， 愈小，T 愈接近 T ，Q, R
愈接近 Q 。
3）当c3 时 ， 1，T T, Q Q, R Q
不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。
奶制品的生产与销售
企业生产计划
空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等 条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
q
Q
r
A
t
o
T
不允许缺货模型的存贮量q(t)
一个周期内存贮量 T q(t)dt QT (A的面积)
0
2
一个周期内存贮费
c2
T
q(t)dt
0
一个周期的总费用
T
QT
rT 2
C c1 c2 0 q(t )dt c1 c2 2 c1 c2 2
每天平均费用
C(T ) C T
c1 T
c2
rT 2
x67
0;
x47 x57 x67 1
xij 取0或1， i, j 1,2, ,7.
例3：最短路线问题算例
2-6-10
6-9-10
600
300
300
2
6
9-10
100
1-4-10 650
1
4-6-10 500
150 4
5-8-10
9
400
5
10
8-10
150
3-5-10
7-8-10
8
600
分析：目标是利润L；而利润是由电脑的产量x和手机的产量y决定
L 100x 80y
假设：1、两种产品的销量不受限制 2、原材料供应不受限制
约束条件：
2x 4y 80
3x y 60
x 0, y 0
装配线1的工时限制 装配线2的工时限制 变量约束
建立模型
max L 100x 80 y
寻找生产周期、产量、需求量、生产准备费和 存贮费之间的关系，使每天的费用最少。
模型假设
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ； 3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2； 4 生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量
降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，即 不允许缺货。
当 c1, c2 , r 有微小变化对生产周期影响不太大。
问题2 允许缺货的存贮模型
模型假设
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量； 2 产品每日的需求量为常数 r ； 3 每次生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2； 4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺
货，每天每件产品缺货损失费C3 ，但缺货数量需 在下次生产（订货）时补足。
各段上 的流量限制.
v0
存贮模型
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用； 车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用； 商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售； 水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。 存贮量多少合适？ 存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一 次性订购费用增加，或不能及时满足需求。
T 对c1 的敏感程度记为 S(T , c1 ) 2
S(T , c1 )
T c1
T
c1
dT dc1
c1 T
1 2
S(T
,
c2
)
1 2
S(T , r) 1 2
c2r c1 1 2c1 T 2 c2r
S(T , c1 )
1 2
S(T
,
c2
)
1 2
S(T , r) 1 2
意义是当准备费增加1%时，生产周期增加0.5% ； 而存贮费增加1%时，生产周期减少0.5% ； 日需求量增加1%时，生产周期减少0.5% 。
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?
• 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?
• A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
例1 加工奶制品的生产计划
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每天： 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1
问题分析 若每天生产一次，每次100件，无存贮费，生产准 备费5000元，每天费用5000元；
若10天生产一次，每次1000件，存贮费 900+800+…+100=4500元，生产准备费5000元， 总计9500元，平均每天费用950元；
若50天生产一次，每次5000件，存贮费 4900+4800+…+100=122500元，生产准备费5000 元，总计127500元，平均每天费用2550元；
模型建立
总费用=生产准备费+存贮费+缺货损失费 存贮费=存贮单价*存贮量 缺货损失费=缺货单价*缺货量 存贮量=？，缺货量=？
因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值， q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至q(T1) = 0，如 图。q(t) = Q-r t， Q = r T1 。
q
Q
问题1 不允许缺货的存贮模型
配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不 同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数 量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、 占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量 100件，生产准备费5000元，存贮费每日每件1元。 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货， 试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称 为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
x36
x56
x67
0;
x47 x57 x67 v
各段上的流量限制.v0
模型 maxv
s.t.
x12
x13
v.
x12
x24
x25
0;
x24
x34
x45
x47
0;
x13 x34 x36 0; x25 x45 x56 x57 0;
x36
x56
x67
0;
x47 x57 x67 v
模型建立 总费用与变量的关系 总费用=生产准备费+存贮费 存贮费=存贮单价*存贮量 存贮量=？
存贮量的计算
设 t 时刻的存贮量为 q(t) ，t = 0时生产 Q 件， 存贮量 q(0) = Q , q(t) 以需求速率 r 线性递减， 直至q(T) = 0，如图。q(t) = Q- r t， Q = r T 。
c2 c2 c3
每天平均最小费用 C C(T,Q)
每个周期的供货量 R rT
R r 2c1 c2 c3 c2r c3
c2 c3
c3
与不允许缺货模型相比较，有
T T, Q Q / , R Q
结果解释
T T, Q Q / , R Q c2 c3
c3
1） 1, T T, Q Q, R Q 即允许缺货时，
T 2c1 c2r
C 2c1c2r
在本例中
当 c1 5000, c2 1, r 100, 得 T 10， C 1000
这里得到的费用C与前面计算得950元有微小差别， 你能解释吗？
敏感性分析
讨论参数 c1, c2 , r 有微小变化时对生产周期T 影响。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
r